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MEF
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Introducción a los
Métodos de
Elementos Finitos George Oscar Hualpa Sotelo
Bachiller en Matemáticas e Informática
Introducción
El método de los elementos finitos (MEF) es un
método numérico que en estos últimos años ha adquirido una gran importancia en la solución de
problemas finitos de ingeniería y de la física
matemática.
Las soluciones analíticas son los dados por una expresión matemática que da los valores de las
cantidades deseadas desconocidos en cualquier
ubicación en un cuerpo y, por tanto válida para un
número infinito de lugares en el mismo.
En pocas palabras, la solución para los
problemas estructurales típicamente se refiere a la determinación de los desplazamientos en
cada nodo y las tensiones dentro de cada
elemento que componen la estructura que se
somete a las cargas aplicadas.
Breve historia del método
El desarrollo moderno del método de los elementos
finitos se inició en la década de 1940 en el campo de
la ingeniería estructural con el trabajo por Hrennikoff
en 1941 y McHenry en 1943.
Courant propuso la creación de la solución de las
tensiones en una forma variacional en 1943.
En 1947 Levy desarrolló la flexibilidad o el método de
la fuerza, y en 1953 su obra sugiere que otro método
(el método de desplazamiento o rigidez).
El primer tratamiento de elementos bidimensionales
era por Turner en 1956.
En 1954 Argyris y Kelsey desarrollado métodos
matriciales de análisis estructural utilizando los
principios de la energía.
Extensión del método de elementos finitos para
problemas tridimensionales con el desarrollo de
una matriz de rigidez tetraédrica hecho por
Martin en 1961, por Gallagher et al en 1962, y en
1963 por melosh.
Adicionales elementos tridimensionales fueron
estudiados por Argyris en 1964, el caso especial
de los sólidos axisimétricas fue considerado por
Clough y rashid y Wilson en 1965.
Conceptos Generales
La idea general del método de los elementos
finitos es la división de un continuo en un
conjunto de pequeños elementos
interconectados por una serie de puntos
llamados nodos.
Las ecuaciones que rigen el comportamiento
del continuo regirán también el del elemento.
De esta forma se consigue pasar de un sistema
continuo (infinitos grados de libertad), que es
regido por una ecuación diferencial o un
sistema de ecuaciones diferenciales, a un
sistema con un número de grados de libertad
finito cuyo comportamiento se modela por un
sistema de ecuaciones, lineales o no.
Discretizacion
Pasos a seguir en el empleo
del MEF A continuación se presentan los pasos, junto con las
explicaciones necesarias en este momento, que se utilizan en la
formulación de elementos finitos y la solución de un problema
estructural.
PASO 1.- Discretizar y seleccionar los tipos de elementos,
consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de
elementos finitos con nodos asociados y seleccionando el
tipo de elemento más adecuado para modelar más de
cerca el comportamiento físico real.
PASO 2.- consiste en elegir una función de desplazamiento
dentro de cada elemento. La función se define dentro del elemento utilizando los valores nodales del elemento.
Polinomios lineales, cuadráticas y cúbicas son funciones de uso
frecuente debido a que son fáciles de trabajar en la
formulación de elementos finitos. Sin embargo, las series
trigonométricas también se puede utilizar.
PASO 3.- Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la
tensión / deformación cepa / desplazamiento y de esfuerzo / deformación relaciones que son necesarias para derivar las
ecuaciones para cada elemento finito.
PASO 4.- Deducir la Matriz de rigidez del elemento y
ecuaciones inicialmente, el desarrollo de matrices de rigidez
del elemento y ecuaciones elemento se basa en el concepto
de coeficientes de influencia de rigidez.
Paso 5.- ensamblar las ecuaciones elemento para obtener las ecuaciones globales o total e introducir condiciones de
contorno.
La ecuación final ensamblados global o por escrito en la forma es
{F} = [k] {d}
PASO 6.- Resuelve para los Grados desconocidos de la
Libertad (o desplazamientos generalizados)
PASO7.- Resuelva para las cepas del elemento y subraya.
PASO 8.- Interpretar los resultados
Tipos de elementos finitos Elementos unidimensionales
◦ En estructuras son elementos tipo barra.
Elementos bidimensionales
◦ En estructuras son elementos planos cuadrilaterales o triangulares.
Elementos tridimensionales
◦ En estructuras son elementos tetraédricos, hexaédricos o prismáticos.
Los nodos no tienen por qué estar solamente en los vértices. Puede haber en los lados y en el interior del elemento
◦ Esto implica más complejidad en el estudio del elemento
En cada nodo puede interesarnos considerar uno o varios grados de libertad.
◦ Recordemos: los grados de libertad en problemas estructurales simples son desplazamientos y/o giros de los nodos.
◦ A menor número de G.D.L. más simple es el problema.
Cuadrilateral
Hexaédrico
Resumen del método 1. Discretizar la estructura en elementos
2. Obtener la matriz de funciones de forma [Ne]
◦ Funciones que tienen valor 1 en el nodo correspondiente y 0 en el resto.
3. Identificar las condiciones de
◦ Compatibilidad [∂]: que relacionan deformaciones y desplazamientos de los elementos.
◦ Comportamiento [D]: que relacionan tensiones y deformaciones. Ley de Hooke en casos elásticos. (TENSION)
4. Obtener la llamada matriz de deformación del elemento [Be]
5. Obtener la matriz de rigidez del elemento [ke]
6. Pasar las matrices de rigidez elementales a coordenadas globales si es necesario
7. Ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura.
8. Obtener el vector de fuerzas {Fe} a través de las fuerzas en los nodos equivalentes a las cargas distribuidas de volumen qe o de superficie pe. Considerando los diferentes vectores de fuerzas elementales se obtiene el global {F0}
9. Resolver la ecuación matricial para obtener los desplazamientos de los nodos y las reacciones.
eu
D
e eB N
e
T
e e
V
e B D B Vek d
e
e
e
T
e e e
V
T
e e e
S
e
P
N q dV
N p dS
F
00 0F K
Algunos ejemplos de simulación
numérica del MEF
Estructuras civiles
Comportamiento mecánico de una presa de concreto
Pandeo en elementos de acero
Proceso de fractura en el concreto simple
Comportamiento
mecánico de los tableros del puente
Proceso de
fractura en el concreto reforzado
Estructuras mecánicas Simulación numérica del comportamiento mecánico
Biomecánica
Estudio del odio medio
Comportamiento mecánico de los ligamentos
Comportamiento de la estructura ósea
Interacción de flujo sanguíneo con la pared arterial
Aplicaciones de los Métodos
de Elementos Finitos
La discretización de la torre del control (28 nudos, 48
elementos de viga) con grados de libertad típicos mostrados
en el. El propósito de este análisis fue para localizar áreas de
alta concentración de tensiones en el extremo del vástago.
La Figura anterior ilustra una torre
de control de un ferrocarril. La
torre es una estructura
tridimensional que comprende
una serie de elementos de tipo de
viga. Los 48 elementos son
etiquetados por los números
dentro de círculos, mientras que
los 28 nodos se indican mediante
los números fuera del círculo.
Cada nodo tiene tres rotación y
tres componentes de
desplazamiento asociados. Las
rotaciones (θs) y desplazamientos
(ds) son llamados los grados de
libertad.
Otras Aplicaciones
Ingeniería estructural
Resistencia de materiales
Mecánica de fluidos
Ingeniería nuclear
Electromagnetismo
Campos eléctricos
Propagación de ondas
Conducción del calor
Procesos de convección – difusión
Ingeniería de petróleo
Procesos de reacción – difusión
Ventajas del MEF
Tratamiento de geometrías complicadas
Condiciones de borde generales
Propiedades materiales no lineales o variables
La estructura clara del método permite crear códigos
multipropósito generales
Fundamentos teóricos sólidos
Confiabilidad
Posibilidad de estimación de error
Existen dos métodos.
Una de ellas es utilizar grandes programas
comerciales, muchos de los cuales han sido
configurados para ejecutarse en ordenadores
personales con el propósito general están
diseñados para resolver muchos tipos de
problemas.
El otro es el desarrollo variados pequeños
programas de propósito especial para resolver
problemas específicos
Programas informáticos para el
Método de los Elementos Finitos
Bibliografía recomendada: El Método de los Elementos Finitos aplicado
al análisis estructural. Manuel Vázquez, Eloísa López. Ed. Noela 2001.
Cálculo de Estructuras por el Método de los
Elementos Finitos. Análisis elástico lineal.
Eugenio Oñate. Ed. UPC 2004.
The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. O.C. Zienkiewicz, CBE, FRS.
Sixt edition 2005
MUCHAS GRACIAS POR SU
ATENCION
