UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

Listado 2Calculo III IN1009CPrimer Semestre de 2015

Integrales dobles

1. Evaluar las siguientes integrales iteradas:

(1.1)11

10

(x4y + y2) dy dx

(1.2)pi/20

10

(y cosx+ 2) dy dx

(1.3)01

21

(x log y) dy dx

(1.4)21

21x

x2

y2 dy dx

(1.5)33

5y24

(x+ 2y) dx dy

(1.6)2pi0

aa sen

r dr d

2. Evaluar las integrales del ejercicio 1 cambiando el orden de integracion.

3. Evaluar las integrales dobles donde R es el rectangulo [0, 2] [1, 0].

(3.1)R

(x2y2 + x) dy dx (3.2)R

(|y| cos 14pix) dy dx (3.3)R

(xex sen 12piy) dy dx

4. Hallar el volumen acotado por la grafica de f(x, y) = 1 + 2x + 3y, el rectangulo R = [1, 2] [0, 1] y loscuatro lados verticales del rectangulo R, es decir, hallar el marea del recinto de ordenadas.

5. Hallar el volumen acotado por la grafica de f(x, y) = x4 + y2, el rectangulo R = [1, 1] [3,2] y loscuatro lados verticales del rectangulo R.

6. Evaluar cada una de las integrales siguientes si R = [0, 1] [0, 1].

(6.1)Ryexy dA

(6.2)R

(xy)2 cosx3 dA

(6.3)R

ln(x+ 1)(y + 1) dA

(6.4)R

(ax+ by + c) dA

7. Calcular el volumen del solido acotado por la grafica z = x2 + y, el rectangulo R = [0, 1] [1, 2] y loslados verticales de R.

8. Dibujar las regiones de integracion de las integrales:

(8.1) 26 2yy2

4 1f(x, y) dx dy (8.2)

31

x+9x2

f(x, y) dy dx (8.3) 30

25x20

f(x, y) dy dx

9. Colocar los lmites de integracion en:Df(x, y) dA donde el recinto D esta determinado por las desigual-

dades:

(9.1) x 0, y 0, x+ y 1(9.2) x2 + y2 x

(9.3) y x, x 1, y 1(9.4) 0 y a

10. Evaluar las siguientes integrales iteradas y trazar las regiones D determinadas por los lmites. Decir si lasregiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos tipos.

1

(10.1) 10

x20

dy dx

(10.2) 21

3x+12x

dy dx

(10.3) 10

x2x3y dy dx

(10.4) 23 y20

(x2 + y) dx dy

(10.5) 11 |x|2|x| e

x+y dy dx

(10.6) 10

yy2

(xn + ym) dx dy

11. Usar integrales dobles para determinar el area de una elipse con semiejes de longitud a y b.

12. Cual es el volumen de un granero que tiene una base rectangular de 6 m por 12 m, y paredes verticalesde 9 m de altura al frente (que esta del lado que mide 6 m) y 12 m atras? El granero tiene un techo plano.Usar integrales dobles para calcular el volumen.

13. Sea D la region acotada por el eje y y la parabola x = y2 + 3. Calcular Dx3y dx dy.

14. Sea D la region dada como el conjunto de (x, y) donde 1 x2 + y2 2 y y 0. Es D una regionelemental? Evaluar

Df(x, y) dA donde f(x, y) = 1 + xy.

15. Calcular el volumen de un cono de base de radio r y altura h.

16. Cambiar el orden de integracion de las integrales:

(16.1) 40

12x3x2

f(x, y) dy dx

(16.2) 10

3x2xf(x, y) dy dx

(16.3) 10

1y1y2 f(x, y) dx dy

(16.4) pi0

sen x0

f(x, y) dy dx

17. Cambiar el orden de integracion, esbozar las regiones correspondientes y evaluar las integrales.

(17.1) 10

1xxy dy dx

(17.2) pi/20

cos 0

cos dr d

(17.3) 10

2y1

(x+ y)2 dx dy

(17.4) 41

x1

(x2 + y2) dy dx

(17.5) 10

11y(x+ y

2) dx dy

(17.6) 10

1x(x+ y)2 dy dx

18. Hallar las integrales

(18.1) 11 1|y|(x+ y)

2 dx dy (18.2) 40

2y/2

ex2

dx dy (18.3) 10

pi/4arctan y

(sec5 x) dx dy

19. CalcularDf(x, y) dA, donde f(x, y) = y2

x y D es el conjunto de (x, y) donde x > 0, y > x2 y

y < 10 x2.20. Evaluar

Dex+y dx dy, donde D es el interior del triangulo con vertices (0, 0), (1, 3) y (2, 2).

21. Dado que la integral dobleDf(x, y) dx dy de una funcion continua positiva f es igual a la integral

iterada 10

2y2y

f(x, y)dx dy, esbozar la region D e intercambiar el orden de integracion.

22. Sea D la region en el plano xy dentro del crculo unitario x2 + y2 = 1. EvaluarDx2y2dx dy.

23. Esbozar e identificar el tipo de la region (correspondiente a la, manera como esta escrita, la integral) yevaluar las integrales.

(23.1) pi0

3 sen xsen x

x(1 + y) dy dx

(23.2) 20

32

4x2

324x2

(52+x

+ y3)dy dx

(23.3) 42

y3y21 3 dx dy

(23.4) 10

3y0ex+y dx dy

24. Integrar la funcion f(x, y) = x2 + 2xy2 + 2 sobre la region D acotada por la grafica de y = x2 + x, el ejex y las rectas x = 0 y x = 2.

25. Mostrar que: 4pi D

(x2 + y2 + 1) dx dy 20pi donde D es el disco de radio 2 con centro en el origen.

2

26. Al integrar f(x, y) = 3x2 2xy sobre una region D de R2, se obtiene:D

f =

10

y0

f(x, y) dxdy +

21

2y0

f(x, y) dxdy.

Escribir la expresion anterior como una sola integral doble y calcule.

27. CalcularR

(x + y)d(x, y), donde R es la region del primer cuadrante interior a x2 + y2 = 4 que esta

acotada por y =

3x e y = 0.

28. El volumen bajo la superficie z = f(x, y) y sobre la region S del plano xy, esta dado por

V =

21

x2x

f(x, y)dydx+

82

8x

f(x, y)dydx.

Expresar V mediante una integral iterada en la que el orden de integracion este invertido.

29. Sea f : R2 R, definida por f(x, y) = g(x)h(y), donde g y h son funciones reales de variable realy continuas. Si R es el rectangulo

{(x, y) R2 : a x b, c y d}, probar que

Rf(x, y)d(x, y) = b

ag(t)dt

dch(t)dt y deducir que

41

20ex

2

sen[(y 1)3]dydx = 0.

30. DeterminarEex

2y2d(x, y), donde E ={

(x, y) R2 : a2 x2 + y2 b2}.31. Hallar el volumen limitado por z = x2 + y2 y z = 2y.

Integral triple, formula de cambio de variables y aplicaciones

32. Se W = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. Evaluar las integrales:

(32.1)

Wx2 dV (32.2)

Wexyy dV (32.3)

Wxy2z3 dV

33. Evaluar

Wx2 cos z dV donde W es la region acotada por los planos z = 0, z = pi, y = 0, y = 1, x = 0,

y x+ y = 1.

34. Evaluar 10

2x0

x+yx2+y2

dz dy dx y esbozar la region de integracion.

35. Calcular la integral de la funcion f(x, y, z) = z sobre la region W en el primer octante de R3 acotada porlos planos y = 0, z = 0, x+ y = 2, 2y + x = 6 y el cilindro y2 + z2 = 4.

36. Calcular los lmites de integracion en la integral triple

Vf(x, y, z) dx dy dz para las regiones de inte-

gracion:

(36.1) V es un tetraedro limitado por los planos x+ y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0

(36.2) V es un cilindro limitado por las superficies x2 + y2 = R2, z = 0, z = H

(36.3) V es un volumen limitado por las superficies z = 1 x2 y2, z = 0.37. Calcular las integrales

(37.1) 10

10

10

dz dy dxx+ y + z + 1 (37.2)

20

2x0

4xy22

0 x dz dy dx(37.3)

10

1x0

1xy0

xyz dz dy dx

38. Cambiar el orden de integracion en 10

x0

y0f(x, y, z) dz dy dx para obtener otras cinco formas de la

respuesta. Esbozar la region de integracion.

39. Sea B la region determinada por las condiciones 0 z 1, 0 y 1, y 0 z xy. Hallar

3

(39.1) El volumen de B (39.2)

Bz dx dy dz (39.3)

Bxy dx dy dz.

40. Definir T (x, y) =(xy

2, x

+y2

). Mostrar que T rota el cuadrado unitario D = [0, 1] [0, 1].

41. Sea D el paralelogramo acotado por las rectas y = 3x 4, y = 3x, y = 12x, y y = 12 (x + 4). SeaD = [0, 1] [0, 1]. Hallar T tal que D es la imagen de D bajo T .

42. Sea D la region 0 y x y 0 x 1. Evaluar D

(x+y) dx dy, haciendo el cambio de variables x = u+v,y = uv. Verificar la respuesta obtenida evaluando directamente la integral, usando una integral iterada.

43. Sea T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) la funcion definida por T (u, v) = (4u, 2u + 3v). Sea D el rectangulo[0, 1] [1, 2]. Hallar D = T (D) y evaluar

(43.1)Dxy dx dy (43.2)

D

(x y) dx dy,

haciendo un cambio de variables para evaluarlas como integrales sobre D.

44. Definir T (u, v) = (u2 v2, 2uv). Sea D el conjunto de (u, v) con u2 v2 1, u 0, v 0. HallarT (D) = D). Evaluar

(44.1)Ddx dy (44.2)

D

dxdyx2+y2

.

45. Pasar a las coordenadas polares r y y colocar los lmites de integracion para las nuevas variables en lasintegrales:

(45.1) 10

10f(x, y) dy dx (45.2)

20

x0f(x2 + y2) dy dx

46. Evaluar las integrales usando coordenadas polares.

(46.1)D

(x2 + y2)3/2dx dy donde D es el disco x2 + y2 4.(46.2)

S

a2 x2 y2 dx dy donde S es el semicrculo de radio a con centro en el origen de coordenadas,

situado sobre el eje OX.

(46.3) a0

a2x20

x2 + y2 dy dx.

(46.4)D

(1 + x2 + y2)3/2 dx dy donde D es el disco unitario.

47. Efectuar el cambio de variable u = x+ y, v = x y el la integral: 10

10f(x, y) dy dx.

48. Evaluar las integrales usando un cambio de variable adecuado:

(48.1)R

(x+y)2exydx dy donde R es la region acotada por x+y = 1, x+y = 4, xy = 1, y xy = 1.(48.2)

S

1 x2a2 y

2

b2 dx dy donde S es la region limitada por la elipsex2

a2 +y2

b2 = 1.

(48.3)Bxy dx dy donde B es la region limitada por las lneas y = ax3, y = bx3, y2 = px, y2 = qx

(0 < a < b, 0 < p < q).

49. Evaluar las integrales usando coordenadas cilndricas.

(49.1)

Bzdx dy dz donde B es la region dentro del cilindro x2 + y2 = 1, sobre el plano xy y debajo del

cono z = (x2 + y2)1/2.

(49.2)D

(x2 + y2 + z2)1/2dx dy dz donde D es la region determinada por las condiciones 12 z 1 yx2 + y2 + z2 1.

(49.3)

Vdx dy dz donde V es la region limitada por las superficies x2 + y2 + z2 = 2Rz, x2 + y2 = z2 y

que contiene al punto (0, 0, R).

4

(49.4) 20

2x20

10zx2 + y2 dz dy dx

50. Evaluar las integrales usando coordenadas esfericas.

(50.1) RRR2x2R2x2

R2x2y20

(x2 + y2)dz dy dx

(50.2)

V

x2 + y2 + z2 dx dy dz donde V es la parte interna de la esfera x2 + y2 + z2 x

(50.3)

Sdx dy dz

(x2+y2+z2)3/2donde S es el solido acotado por las dos esferas x2+y2+z2 = a2 y x2+y2+z2 = b2,

donde 0 < b < a.

51. EvaluarB

(x + y)dx dy donde B es el rectangulo en el plano xy con vertices en (0, 1), (1, 0), (3, 4) y(4, 3).

52. Calcular la integral

D

xy dA, donde D es la region de R2 definida por:

D =

{(x, y) R2 : y x, y x, y

2

2, x2 + y2 1

}.

53. Use integracion y coordenadas polares para calcular la integral:R

dA(x2 + y2)3

,

sobre la region R limitada por la circunferencia x2 + y2 = 4 y las rectas:

x+ y = 4, y = 0, y = x.

54. Use integracion y coordenadas cilndricas para calcular el volumen encerrado por los conos:

z = 4x2 + y2 y z =

x2 + y2.

55. Use intregracion y coordenas esfericas, para probar que el volumen de una esfera de radio R es igual a4

3piR3. Explique su procedimiento.

56. Calcular

W

x2 + y2d(x, y, z) donde W es el solido limitado por x2 + y2 = 1, z = 1 x2 y2 y por

debajo del plano z = 4.

57. Calcular E

e(x2+y2+z2)

32 dV,

donde E es el solido limitado por la esfera centrada en el origen de radio 4 y por los conos z =

3(x2 + y2)

y z =

x2+y2

3 .

58. A partir del cambio de variables x = u+v e y = uv, determinar el valor de la integral Se(x

2+xy+y2)d(x, y),

donde S ={

(x, y) R2 : x2 + xy + y2 1}.59. Hallar el volumen de la region interior a la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y sobre la hoja superior del cono

z2 sen2 = (x2 + y2) cos2 , donde 0 pi2

. Deducir luego el volumen de una esfera.

60. DeterminarAxy d(x, y) si A es la region del plano limitada por la traza de paralelogramo con vertices

en (0, 0), (2, 1), (3, 4) y (1, 3).

61. Determinar el volumen de A =

{(x, y, z) R3 : x2 + y

2

9+z2

16 1, x 0, y , z 0

}.

5

62. Un solido esta acotado inferiormente por el plano z = 1, lateralmente por el cono z2 = x2 + y2 ysuperiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 18. Cual es el volumen del solido?

63. Cual es volumen acotado por x2 + y2 = 2 y z2 = x2 + y2 1?64. Encontrar el volumen de la region acotada lateralmente por el cilindro x2 + y2 = x, superiormente por el

cono z = 16x2 + y2 e inferiormente por el plano xy.

65. Usar todos los ordenes posibles de integracion para hallar el valor de la integral triple que permite calcularel volumen encerrado por las superficies z = 0, x+ z = 1 y x = y2.

66. Hallar el centro de masa de la region entre y = x2 y y = x si la densidad es x+ y.

67. Hallar el centro de masa de la region entre y = 0 y y = x2, donde 0 x 12 .68. Una placa de oro grabada D esta definida por 0 x 2pi y 0 y pi (centmetros) y tiene una

densidad de masa (x, y) = y2 sen2 4x + 2 (gramos por centmetro cuadrado). Si el oro cuesta 7 dls porgramo, cuanto vale el oro en la placa? cual es la densidad de masa promedio en gramos por centmetrocuadrado?

69.(69.1) Hallar la masa de la caja [0, 12 ] [0, 1] [0, 2], suponiendo que la densidad es uniforme.(69.2) Igual que en la parte (a), pero con una densidad de masa (x, y, z) = x2 + 3y2 + z + 1.

70. Hallar el valor promedio de sen2 piz cos2 pix sobre el cubo [0, 2] [0, 4] [0, 6].71. Hallar el momento de inercia alrededor del eje y para la bola x2 + y2 + z2 R2 si la densidad de masa es

una constante .

72. Encontrar el momento de inercia respecto al eje Z del solido homogeneo limitado por los planos coorde-nados y el plano xa +

yb +

zc = 1 con a, b, c numeros positivos.

La mayora de los problemas son tomados de los libros: Marsden J., Tromba A. (1991). CalculoVectorial, Delaware, Ed. Addison Wesley Iberoamericana, S.A.. Tercera Edicion y Demidovich B.(1986). Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico, Ed. Latinoamericana. La respuestas a estosproblemas se pueden encontrar en estos textos.

DC/JC/EG/RL/AP/NS Lunes 25 de Mayo de 2015

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