Manual matematicas1

7/17/2019 Manual matematicas1

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Tema: Polígonos y ángulos.

Las rectas y los ángulos. Clasificación de los ángulos.

Ángulos: como se mide. Uso de transportador y compás.

LAS RECTAS EN EL PLANO

Según la posición que adopten las rectas en el plano, estas se pueden clasificar en paralelas o secantes (incidentes).

Dos rectas son paralelas cuando, por más que las alarguemos, estas no se cortan. Dos rectas son secantes si se cortan en algún punto. A su vez, dentro de las rectas secantes podemos distinguir dos clases: las rectas perpendiculares (al cortarse forman un ángulo de

90º ) y oblicuas (al cortarse forman 4 ángulos que no son de 90º).

En el mapa que vemos arriba, encontramos que las calles Catamarca y La

Rioja son paralelas, ya que no se cruzan. Por otro lado, las calles Catamarca y Moreno son perpendiculares porque

se cruzan (se cortan) formando

un

ángulo

de

90º (ángulo recto).

CONSTRUCCION DE RECTAS SECANTES Y PARALELAS

Podemos construir rectas, paralelas y secantes, fácilmente utilizando una regla y una escuadra. La escuadra, es una herramienta que tiene la forma de un triángulo rectángulo, es decir, consta de un ángulo recto (ángulo de 90°) y en uno de sus catetos podemos encontrar una escala graduada en centímetros (generalmente) para realizar mediciones.



A continuación, veremos cómo construir rectas paralelas utilizando regla y escuadra.

EJEMPLO:

Dibujar dos rectas, una en color azul y otra en color verde, que sean paralelas a la que podemos ver en la hoja.

Primer paso: alineamos con la recta el cateto mayor de la escuadra.

Segundo paso: alineamos la regla con el cateto menor. De esta manera, podremos desplazar la escuadra de abajo hacia arriba y viceversa, obteniendo así todas las rectas paralelas a la primera (en color negro).

Escala graduada,

útil

para

realizar

mediciones.

Catetos

ESCUADRA



Tercer

paso: dibujamos las rectas paralelas.

Por último, el dibujo que nos queda es el siguiente. A cada una de las rectas le asignamos un nombre y para ello utilizamos alguna letra del alfabeto en mayúscula.

También podemos expresar, de forma simbólica, lo que vemos en el dibujo.

A

B

C



A // B // C

Se lee: A es paralela a B y B es paralela a C.

¿COMO DIBUJAR RECTAS PERPENDICULARES CON REGLA Y ESCUADRA?

Al utilizar la escuadra, todo resulta más sencillo. Primero trazamos una recta y a continuación alineamos con esta, uno de los catetos de la escuadra (hacemos uso del ángulo recto que tiene la escuadra).

EJEMPLO: dibujar dos rectas perpendiculares a la que se ve dibujada en color rojo.

Recta inicial, sobre la cual debemos dibujar dos rectas perpendiculares.

Alineamos uno de los catetos de la escuadra con la recta inicial (en color rojo). Luego, nos desplazamos hacia un lado y al otro trazando las rectas perpendiculares.

Dibu o final

A

B

C



EJERCICIO 1

Copiar la siguiente figura utilizando, regla y escuadra.

EJERCICIO 2

a)

Trazar una recta perpendicular ( ) a la recta A (en color negro), que pase por el punto azul. Y una recta oblicua ( ) a la recta A, que pase por el punto rojo.

Nota: para construir dos rectas secantes y oblicuas, basta con utilizar la regla y dibujar dos

rectas que se corten en algún punto, sin dejar que se forme un ángulo de 90°.

Rectas

secantes

y

oblicuas.

[Espacio destinado para dibujar]



Por último, escribimos: A B

(la recta A es perpendicular con la recta B) y A

C

(la recta A

y la recta C

son

oblicuas).

b) Trazar una recta paralela ( // ) a la recta A, que a su vez pase por el punto de color verde. Y una recta oblicua ( ) a la recta A, que pase por el punto amarillo.

Finalmente escribimos: A

//

B (la recta A es paralela a la recta B) y A C (la recta A

y la recta C son oblicuas).

MEDIATRIZ

La mediatriz es la recta que divide en dos partes iguales a un segmento. Es decir, pasa por el punto medio del segmento quedando de esta forma, cada punto de la mediatriz, a la misa distancia de los extremos del mismo.

A

C

B

A

C

B



¿COMO

TRAZAR

LA

MEDIATRIZ

UTILIZANDO

COMPAS?

El compás, es un instrumento que se utiliza para dibujar circunferencias o arcos. También se utiliza para medir distancias. Como vemos en la imagen de la derecha, el instrumento consta de dos “brazos”. En uno de

ellos, hay una punta metálica que nos permite fijar la herramienta al papel (al dibujar una

circunferencia, la punta metálica, se debe colocar en el centro de la misma). Y en el otro

encontramos un lápiz, el cual, nos permitirá dibujar la figura deseada.

El compás se puede utilizar para trazar la mediatriz de un segmento. A continuación vemos un

ejemplo donde se trazará la mediatriz del segmento ab.

Primer

paso: utilizando el compás, pinchamos en uno de los extremos del segmento ab y tomamos una medida, que sea al menos, mayor que la mitad de la longitud del segmento. Luego trazamos dos arcos, cada uno, a ambos lados de ab.

a b

M En la imagen, podemos ver que la recta M

(mediatriz) pasa por el punto medio del segmento ab, dividiéndolo en dos partes

iguales. La

mediatriz

y el

segmento

son

perpendiculares. Si observamos con atención, veremos que

cualquier punto de la mediatriz está a la

misma distancia, tanto del punto “a” como del punto “b”.

a b



Segundo paso: repetimos el primer paso pero ahora pinchando en el otro extremo del segmento ab, manteniendo la misma abertura del compás.

Tercer

paso:

trazamos

la

recta

(la

mediatriz)

que

pasa

por

los

puntos

que

se

formaron

a

partir

de la intersección de los pares de arcos.

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1

Copiar la siguiente figura de la izquierda tomando como base el dibujo de la derecha, utilizando únicamente regla y compás. Pista: trazando la mediatriz, resulta más sencillo.

Mediatriz



Lo primero que haremos, será trazar la mediatriz utilizando el compás. Luego, con la regla tomamos la medida de uno de los lados (al tratarse de un cuadrado, todos los lados son iguales) guiándonos con las dos diagonales dibujadas previamente.

EJERCICIO 2

Copiar la siguiente figura de la izquierda tomando como base el dibujo de la derecha, utilizando únicamente escuadra y compás. No hace falta utilizar la escala de la escuadra para medir.

Para comenzar, trazaremos la bisectriz de cada uno de los lados del cuadrado utilizando el compás y la escuadra.



Una vez que trazamos la bisectriz, borramos las líneas excedentes. Pinchando con el compás en el punto medio de uno de los lados, tomando al mismo tiempo la medida hasta uno de los vértices, dibujamos una circunferencia. Repetimos el procedimiento en cada uno de los lados del cuadrado.

Colocando el compás en cada uno de los vértices del cuadrado, vamos dibujando los arcos necesarios para trazar la bisectriz (utilizando la escuadra).

Dibujaremos una circunferencia como esta, pinchando con el compás, en cada uno de los lugares donde encontramos un punto rojo ( ).



LOS ÁNGULOS

Llamamos ángulo a la región comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

CLASIFICACION DE ÁNGULOS

Los ángulos se pueden ser:

Ángulo

Vértice

SemirrectaSemirrecta o

p r

Para nombrar un ángulo, generalmente, se utilizan las letras griegas α (alfa), β (beta), γ (gamma), entre otras. Por ejemplo:

Otra forma que tenemos para nombrar un ángulo es:

Se

lee:

ángulo

alfa ( α ).

Se lee: ángulo

beta ( β ).

o p r

Utilizando las letras que vemos en la

figura, nombramos el ángulo pôr .

Al vértice, por lo general, se le asigna la

letra “ o” , pero podría utilizarse otra letra.

Al nombrar un ángulo de esta manera,

siempre debemos colocar la letra que

corresponde al vértice en el medio.



Agudos: Un ángulo es agudo, si su valor está comprendido entre 0º y 90º.

Rectos: Un ángulo es recto, si su valor es 90º.

Obtusos: Un ángulo es obtuso, si su valor está comprendido entre 90º y 180º.

Llanos: Un ángulo es llano, si su valor es igual a 180º.

Un giro: Un ángulo es un giro completo, cuando su valor es igual a 360º.

0°

<

<

90°

=

90°

90° < < 180°

= 180°

=

360°



Nulo: Un ángulo es nulo, cuando su valor es igual a 0º.

A

continuación,

vemos

la

representación

de

algunos

ángulos

con

sus

valores.

= 0°

ANGULOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

Un ángulo

que

tiene

una

amplitud

mayor

a 180°

y menor

a 360° ,

se

llama

cóncavo.

Un ángulo que tiene una amplitud mayor a 0° y menor a 180° , se llama convexo.

(Convexo)

(Cóncavo)



¿COMO UTILZAMOS EL TRANSPORTADOR?

Para medir los ángulos, utilizamos el transportador.

EJEMPLO 1

Medir el siguiente ángulo con transportador.

Primer

paso: tomamos el transportador y hacemos coincidir el centro del mismo con el vértice, luego el cero del transportador debe pasar por uno de los lados.

El transportador,

es

un

instrumento

que

puede

tener una forma circular o semicircular. Y está

dividido en 360 partes iguales (en el caso del circular) y en 180 partes iguales (si es el semicircular). Cada una de esas partes representa a 1°. El transportador se utiliza tanto para medir, como para construir ángulos.

Vértice



Segundo paso: el otro lado pasa por la escala graduada del transportador dándonos el valor del ángulo en grados.

Observemos

que

el

transportador

tiene

una

doble

escala,

la

cual

es

útil

para

medir

ángulos

en

un

sentido

u

el

otro.

EJEMPLO 2

Construir un ángulo de 50° utilizando transportador.

Primer paso: trazamos una recta y marcamos un punto sobre ella. Este punto, más adelante, será nuestro vértice.

Segundo

paso: colocamos el transportador sobre la recta y alineamos el cero del mismo con la

línea, también hacemos coincidir el centro del transportador con el punto.

Tercer

paso: buscamos la medida (50°) sobre la escala graduada, marcamos un punto (de color

rojo, en este caso) en el lugar y luego unimos este punto con el primer punto (en color negro).

= 165°



Cuarto

paso: borramos las líneas excedentes y le asignamos un nombre al ángulo marcando su

valor.

Cuando comparamos dos ángulos en particular, estos pueden ser:

Consecutivos: comparten un lado y un mismo vértice.

=

50°



Los

ángulos

son

dos

ángulos

consecutivos

y

además:

+=180°

Por

lo

tanto,

son

adyacentes.

Opuestos por el vértice: son ángulos iguales y sus lados son semirrectas opuestas.

Suplementarios:

dos

ángulos

son

suplementarios,

cuando

sumados

dan

como

resultado

180°.

Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando sumados dan como resultado

90°.

ÁNGULOS ADYASENTES

Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y a la vez son suplementarios.



BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

La bisectriz de un ángulo, es la semirrecta que surge en el vértice y divide al ángulo en dos partes iguales. Cada punto de la bisectriz respecto a cada uno de los lados, que forman el ángulo, se

encuentra a la misma distancia.

CONSTRUCCION DE LA BISECTRIZ CON REGLA Y COMPÁS

Utilizando regla y compás podemos trazar la bisectriz de cualquier ángulo siguiendo estos pasos.

Primer

paso: tomamos el compás (con una abertura cualquiera) y pinchamos con él en el vértice. Luego trazamos un arco de circunferencia que corte los lados del ángulo.

Segundo paso: conservando la misma abertura del compás, pinchamos sobre los puntos en color rojo y dibujamos dos arcos.

Tercer paso: los arcos dibujados en el paso anterior, se cortan en un punto (indicado en color verde). Por último, utilizando la regla dibujamos una semirrecta (bisectriz) que una el vértice con el punto de color verde.

Vértice

Bisectriz



Como podemos ver, siguiendo estos pasos podemos trazar la bisectriz de cualquier ángulo.

EJERCICIO 1

En la siguiente figura, podemos encontrar ángulos que corresponden a las clases ya vistas hasta el momento. ¿Cuántos puedes encontrar?

Ejemplo:

sôq es un ángulo recto.

uôr es un ángulo agudo.

Los ángulos uôr y rôm son complementarios.

EJERCICIO 2

Calcular el ángulo complementario y suplementario para cada uno de los siguientes ángulos.

Ejemplo:

= 15°

Calculamos el ángulo complementario de .

o

q p

s

t i

u

r

m



Sabemos que la suma de dos ángulos complementarios da como resultado 90°. Teniendo esto en cuenta, completamos el valor de hasta llegar a 90°.

+ …. = 90°

15° + 75° = 90°

Respuesta: el valor del ángulo complementario a es 75°.

Ahora calculamos el ángulo suplementario. Teniendo en cuenta que dos ángulos son suplementarios si sumados dan 180°, planteamos:

+ …. = 180°

15° + 165° = 180°

Respuesta: el valor del ángulo suplementario a es 165°.

Ángulos:

= 25° = 53° eût = 67°

EJERCICIO 3

Dibujar, utilizando regla y compás, la bisectriz de los siguientes ángulos. Luego, comprobar los resultados midiendo los ángulos con el transportador. Nota: el ángulo que medimos desde uno de los lados hasta la bisectriz, debe ser la mitad del ángulo inicial.



SISTEMA SEXAGESIMAL

El

sistema

sexagesimal

se

utiliza

para

medir

ángulos.

En

este

sistema,

un

giro

equivale

a

360°

y

cada grado es igual a 60 minutos (1° = 60’) y a su vez cada minuto es igual a 60 segundos (1’ =

60’’).

[Tomar esta imagen como ejemplo. Se disponen las operaciones en una tabla. Las operaciones se deben cambiar por las siguientes cuentas.]

ADICION

12° 15’ 40’’ + 4° 30’ 25’’ = 16° 46’ 5’’

SUSTRACCION

40° 45’ 20’’ ‐ 32° 30’ 45’’ = 8° 14’ 35‘’

MULTIPLICACION

110° 35’ 25’’ X 3 = 331° 46’ 15’’

DIVISION

33° 25’ 40’’ ÷ 2 = 16° 42’ 50’’

EJERCICIO 1

Nota: si no recuerdan como son las operaciones con el sistema sexagesimal, pueden

repasarlo volviendo al tema:

medidas

–

Unidades

de

tiempo.

Operaciones. Los procedimientos son los mismos, sólo que en este caso cambiamos la unidad de tiempo

(horas) por la unidad de medida de los ángulos (grados).



Calcular el ángulo faltante.

EJERCICIO 2

Resolver las siguientes operaciones con ángulos.

235° 75’ 25’’ ÷ 5 =

47° 12’ x 8 =

78° 54’ 63’’ ÷ 4 =

301° 9’ 47’’ x 4=

EJERCICIO 3

a) Obtener el valor del ángulo adyacente a y dibujarlo.

= 93° 14’ 7’’

b) Obtener el ángulo complementario a y dibujarlo.

= 5° 53’ 31’’

22° 15’’ 59’’ 51° 18’’ 36’’ 13° 5’’ 57’’



TRIÁNGULOS: CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS O SUS LADOS. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.

TRIÁNGULOS

Comenzaremos por la definición: un triángulo es un polígono de tres lados. Los triángulos se pueden clasificar por sus lados o también por sus ángulos interiores.

Estudiando las partes de un triángulo encontramos:

Si tomamos un triángulo y prolongamos cada uno de sus lados con una línea de puntos, veremos que se forma un ángulo entre la línea de puntos y el lado siguiente del triángulo. A

este ángulo lo llamamos ángulo

exterior .

Los ángulos , y son los ángulos exteriores. En el dibujo de arriba, los puntos “a”, “e” y “u” son los vértices del triángulo. En este caso, utilizaremos también las letras a, e y u para nombrar a los ángulos interiores â, ê

y û.

Clasificación de triángulos:

Ángulo

exterior Ángulo

interior

Lado

Lado

Lado

Vértice



EJERCICIO

RESUELTO

Clasificar los siguientes triángulos por sus lados y por sus ángulos.

a) Como podemos ver, el siguiente triángulo tiene todos sus lados distintos, es decir,

cada

uno

de

sus

lados

tienen

distintas

longitudes.

Por

lo

tanto,

si

clasificamos

el

triángulo

por

sus

lados

diremos

que

es

escaleno.

Por

otro

lado,

si

analizamos

los

ángulos

interiores

del

triángulo

nos

daremos

cuenta

que todos sus ángulos son agudos (son menores a 90°). Por lo tanto, si clasificamos la

figura por sus ángulos, diremos que es un

triángulo

acutángulo.

Ángulo agudo



b) Si observamos con atención el triángulo que vemos a continuación, notaremos que

dos de sus lados tienen la misma longitud mientras que el restante no, por lo tanto, si clasificamos a la figura por sus lados diremos que es un triángulo isósceles.

Ahora si analizamos los ángulos interiores del triángulo, veremos que hay dos ángulos agudos

y

uno

recto

(90°),

por

lo

tanto

el

triángulo

es

un

triángulo

rectángulo.

c)

En el siguiente triángulo, podemos ver que todos sus lados tienen distintas longitudes. Por lo tanto, se trata de un triángulo

escaleno.

Por otro lado, podemos ver que el triángulo tiene un ángulo recto, por lo tanto se trata de un

triángulo

rectángulo.

Ángulo

de 90°



EJERCICIO 1

Clasificar los siguientes triángulos por sus lados y sus ángulos.

a)

b)

c)

d)

PROPIEDAD DE LOS TRIÁNGULOS

En todo triángulo la suma de los lados más

pequeños es mayor que el lado más

largo. De lo

contrario no podría formarse el triángulo. Verifiquemos esto con algunos ejemplos:

2

5

6

5 5

8

Como vemos en este triángulo, el lado más largo mide 6 cm y los

lados más pequeños miden 2 cm y 5

cm respectivamente.

Si sumamos 2

cm

+

5 cm obtenemos como resultado 7 cm que

efectivamente es una longitud

mayor que 6

cm.

En esta figura, el lado más largo

mide 8 cm mientras que los

lados más pequeños miden 5

cm. Si

sumamos

5

cm

+

5

cm

obtenemos como resultado 10

cm, y este valor efectivamente

es más largo que 8 cm.



EJERCICIO

1

Los valores que se encuentran a continuación, corresponden a los lados de un triángulo. Indicar con cuáles de estos conjuntos de valores es posible formar un triángulo y dibujarlo.

EJEMPLO

Tenemos el siguiente conjunto de valores: 4

cm, 8 cm y 10 cm. Debemos indicar si con este conjunto de valores podemos formar un triángulo, entonces, primero buscamos el lado más largo (en este caso 10 cm) y luego sumamos los valores restantes (4

cm y 8 cm). El resultado de la suma es 12

cm.

Como 12

cm

es

mayor

que

10

cm

(el

lado

más

largo),

entonces

es

posible formar

un

triángulo

con estos valores.

En el

siguiente

conjunto

de

valores

realizamos

los

mismos

pasos

que

en

caso

anterior.

7

cm,

3

cm

y

2

cm

Sumamos los lados más pequeños (2 cm y 3 cm) obteniendo como resultado 5 cm, pero 5 cm

es más pequeño que 7 cm (el cual sería el lado más largo). Por lo tanto, no

es

posible

formar

un

triángulo con estos valores.

a)

2 cm, 5 cm y 6 cm.

b)

3 cm,

3 cm

y 6 cm.

4 cm

8 cm

10 cm

7 cm

2 cm 3 cm

Como

vemos

en

el

dibujo,

no

se

puede

completar

la

figura

de

un

triángulo

con

estos

valores

de

longitud.



c)

4 cm, 35 mm y 50 mm.

d)

24

mm,

53

mm

y

90

mm.

CONSTRUCCION DE TRIÁNGULOS CON REGLA Y COMPÁS.

Para construir triángulos fácilmente podemos ayudarnos si utilizamos una regla y un compás. Vamos a ver cuáles son los pasos a seguir (para construir un triángulo con regla y compás) con

un ejemplo.

Las

medidas

del

triángulo

son:

5

cm,

4

cm

y

2

cm.

Primer paso: elegimos una de las tres medidas y la dibujamos, en este caso dibujaremos un

segmento de 5 cm.

Segundo

paso: tomamos el compás y (tomando la siguiente medida, 4 cm) pinchamos en uno

de los extremos del segmento, luego trazamos un arco con el compás por encima del segmento.

Tercer

paso: tomamos la última medida con el compás (2 cm) y pinchamos en el otro extremo

del segmento, a continuación dibujamos un arco el cual se cortará (en un punto, indicado en

color rojo) con el arco anterior.

5 cm

5 cm

5 cm



Cuarto

paso: finalmente, con la regla dibujamos los segmentos que van a unir los extremos del segmento mayor (5 cm) con el punto indicado en color rojo. De esta forma, logramos dibujar el triángulo cuyos lados miden 5 cm, 4 cm y 2 cm.

EJERCICIO

Construir los siguientes triángulos con regla y compás a partir de las siguientes medidas. Luego

clasificarlos por sus lados y sus ángulos.

8 cm, 6 cm y 3 cm.

3 cm, 3 cm y 4,2 cm.

3

cm,

4

cm

y

4

cm.

5 cm 5 cm

4 cm 2 cm

Espacio

para

dibujar



CONSTRUCCION DE TRIÁNGULOS CON REGLA Y TRANSPORTADOR

También

podemos

utilizar

regla

y

transportador

para

construir

triángulos.

En

ocasiones

tenemos como datos, para construir un triángulo, solo dos lados y un ángulo. En estos casos, los pasos a seguir son los siguientes:

Construir un triángulo que tenga un lado de 5 cm, otro de 4 cm y además que el ángulo

comprendido entre ellos sea de 22°.

Primer

paso: dibujamos un segmento de 5 cm.

Segundo

paso: tomamos el transportador y ubicamos el centro del mismo sobre el extremo

izquierdo del segmento, alineando al mismo tiempo el cero (del transportador) con el segmento. Luego marcamos los 22° sobre la hoja con un punto rojo.

Tercer paso: trazamos, con la regla, una línea de puntos (en color verde) que une el extremo

izquierdo del segmento con el punto rojo. Esta línea nos servirá de guía y sobre ésta

dibujaremos un segmento de 4 cm a continuación del primer segmento.

Cuarto

paso: por último, unimos los extremos (con un segmento, que en este caso mide 2 cm) que quedan libres, cerrando la figura y quedando así un triángulo.

5 cm

5 cm

5 cm

4 cm



EJERCICIO

Dibujar los siguientes triángulos y luego clasificarlos por sus lados y sus ángulos. A

continuación se dan las medidas de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

5

cm,

5

cm

y

40°.

6 cm, 3 cm y 43°.

4 cm, 4,5 cm y 120°.

ANGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO

En

todo

triángulo

se

cumple

que

la

suma

de

todos

sus

ángulos

interiores

es

igual

a

180°.

Podemos comprobar esto partiendo de la siguiente figura.

4 cm

5

cm

2 cm

Espacio

para

dibujar



A continuación veremos un caso particular.

Dibujamos un rectángulo cualquiera, es decir, no importa las medidas que elijamos para sus lados.

Luego, dividimos el rectángulo anterior (en dos partes iguales) cortándolo a lo largo de una de

las diagonales

del

mismo.

Es preciso aclarar que esto es un caso particular, que utilizamos para poder visualizar de

manera gráfica, como deducir la suma de los ángulos interiores de un triángulo a partir de una

datos conocidos (como lo son los ángulos interiores de un rectángulo, donde cada uno mide

90°).

En

todo

triángulo,

ya

sea

rectángulo,

obtusángulo

o

acutángulo

la

suma

de

sus

ángulos

interiores

es

igual

a

180°.

Como podemos

ver

este

rectángulo

posee 4 ángulos rectos, es decir, tiene 4

ángulos de 90°. Si sumamos cada uno de sus ángulos interiores:

90° + 90° + 90° + 90° = 360°

Al cortar el rectángulo por la diagonal, obtenemos un triángulo. Es decir, dividimos el rectángulo en dos partes iguales y lo mismo sucede con la suma de

sus ángulos interiores.

Suma de los ángulos interiores de un

rectángulo: 360°.

360°:2 = 180°

Analizando los dibujos, llegamos a

obtener la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

En todo triángulo la suma de sus ángulos

interiores es igual a 180°.



También podemos asegurar, que en todo triángulo la suma de su ángulo interior más el exterior es igual a 180° (medio giro o llano).

Por último diéremos que en todo triángulo, el perímetro es igual a la suma de todos sus lados.

ALTURA DE UN TRIÁNGULO

En todo triángulo la altura es igual a la longitud del segmento que nace perpendicularmente en

la base de triángulo, y llega hasta el vértice opuesto a la misma. Todos los triángulos se pueden dibujar tres alturas, una por cada vértice.

180°

Ángulo exterior Ángulo interior

5 cm

7 cm

3 cm Perímetro = 5 cm + 7 cm + 3 cm



Dibujando todas las alturas de cada triángulo:

h

h h

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

La altura del triángulo la indicamos como

un segmento (en color rojo). En este caso, la

altura

coincide

con

uno

de

los

catetos

del triángulo.

TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

La altura del triángulo la indicamos como

un segmento

(en

color

rojo),

en

este

caso

el segmento que indica la altura cae afuera

de la figura. Para este triángulo, nos ayudamos dibujando una línea auxiliar (línea de puntos) que prolonga la base.

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

La altura

del

triángulo

la

indicamos

como

un segmento (en color rojo) el cuál es perpendicular a la base y llega hasta el vértice opuesto a la misma.



EJERCICIO 1

Calcular el perímetro de los siguientes triángulos y calcular el ángulo faltante.

EJEMPLO

¡OBSERVACIÓN!

El segmento que representa la altura en un triángulo isósceles es también bisectriz del

ángulo opuesto

a la

base.

BisectrizAmbos ángulos

son iguales.

Triángulo

isósceles

h

3 cm

60° 60°

Sabemos que en todo triángulo la suma de sus ángulos interiores debe ser igual a 180°. En el dibujo vemos que dos de sus ángulos valen 60°, por lo tanto el ángulo en color rojo también vale

60°. 60° + 60° + 60° = 180°

En todo

triángulo,

el

perímetro

es

igual

a la

suma

de

todos

sus

lados.

En

este

caso,

el

triángulo tiene todos sus lados iguales (triángulo equilátero).

Perímetro = 3 cm + 3 cm + 3 cm

Perímetro

=

9

cm

¡Observación! Todo triángulo equilátero tiene sus tres lados iguales y sus tres ángulos interiores iguales.

3 cm 3 cm



a)

b)

c)

d)

EJERCICIO 2

Dibujar todas las alturas de los triángulos del ejercicio 1.

EJERCICIO 3

5,8 cm 3 cm

5 cm

30° 57’ 49’’

5 cm

60°

11 cm

53° 7’ 48’’

8,9 cm 5 cm

26° 23’ 54’’

6 cm30°

6 cm

10,4 cm

60°



Calcular la amplitud de los ángulos exteriores de cada uno de los triángulos del ejercicio 1.

EJEMPLO

Calcular los ángulos exteriores (en color rojo) del siguiente triángulo.

Sabiendo que la suma del ángulo interior y exterior de un triángulo es igual a 180°, planteamos lo siguiente para el triángulo anterior:

= 180° ‐ 29° 55’ 35’’ = 150° 4’ 25’’

= 180° ‐ 86° 10’ 39’’ = 93° 49’ 21’’

= 180° ‐ 63° 53’ 46’’ = 116° 6’ 14’’

29° 55’

35’’ 63°

53’

46’’

86° 10’ 39’’

150°

4’

25’’

93°

49’

21’’

116°

6’

14’’



TEMA: POLÍGONOS Y ÁNGULOS.

POLÍGONOS

REGULARES.

POLÍGONOS

Un polígono es una figura cerrada cuyos lados son segmentos. La palabra polígonos se puede

interpretar

como:

figura

de

muchos

ángulos.

Los

triángulos,

por

ejemplo

son

polígonos

de

tres

lados.

Los

cuadrados,

rectángulos,

paralelogramos,

rombos,

romboides

y

trapecios

son

también

polígonos

(en

este

caso

son

polígonos de cuatro lados).

Los

polígonos

llevan

distintos

nombres

según

la

cantidad

de

lados

que

tengan.

La tabla que vemos a continuación indica los nombres para cada polígono.

Cantidad de lados del polígono

Nombre

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5

Pentágono

6 Hexágono

7

Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11

Undecágono

12 Dodecágono

20

Icoságono

Cuando

tenemos

polígonos

de

muchos

lados,

también

podemos

nombrarlos

de

la

siguiente

forma,

por

ejemplo:

Cantidad de lados: 17

Lo indicamos diciendo: polígono de 17 lados.

Los puntos a, b, c, d, e y f son los vértices del polígono.

Cada uno de los segmentos ab, bc, cd, de, ef y

fa conforman los lados del polígono.

Los

ángulos

,

,

, ,

y

son

los

ángulos

interiores

del

polígono

mientras

que

los

ángulos

,

,

,

,

y

corresponden

a

los

ángulos

exteriores del polígono.

b

a

c

d

e

f

Diagonal:

es

el

segmento

que

uno

dos

vértices

no

consecutivos.



POLÍGONOS

CONVEXOS

Al

trabajar

con

polígonos

simbolizaremos

la

cantidad

de

ángulos

interiores

y

exteriores,

la

cantidad

de

lados

y

la

cantidad

de

vértices

utilizando

la

letra

n según

corresponda.

La cantidad de diagonales que se pueden dibujar desde un vértice, se calcula haciendo la

siguiente

cuenta:

n‐3 (cantidad de lados del polígono menos tres).

La

cantidad

de

triángulos

que

se

pueden

formar

dentro

de

un

polígono

es

igual

a

n‐2.

La cantidad de diagonales que tiene un polígono en total es igual a

.

.

SUMA DE LOS ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO

Para

calcular

el

valor

de

la

suma

de

los

ángulos

interiores

de

un

polígono,

podemos

comenzar dibujando todas las diagonales que se puedan trazar desde uno de los vértices, dividiendo de

Para

el

hexágono:

n = 6.

n – 3 = 6 – 3 = 3

La cantidad de diagonales por vértice es 3.

Para

el

hexágono:

n = 6.

n – 2 =

6 – 2 =

4

La

cantidad

de

triángulos

es 4.

Para

el

hexágono:

n = 6.

.

=

.

=

9

La

cantidad

de

diagonales

en

el

polígono

es

9.



esta forma al polígono en triángulos. Luego, recordando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, sumamos tantas veces 180° como triángulos tengamos dentro

de

la

figura.

Razonando

de

esta

forma

llegamos

la

siguiente

expresión:

180°.(n ‐

2)

=

Suma

de

los

ángulos

interiores

del

polígono

La

suma

de

los ángulos exteriores en todo polígono convexo es siempre 360°.

POLÍGONOS CONCAVOS

Un

polígono

cóncavo

es

aquel,

en

el

cual,

podemos

encontrar

al

menos

un

ángulo

interior

mayor a 180°. Vemos un ejemplo:

Otra

forma

que

tenemos

para

diferenciar

entre

un

polígono

cóncavo

y

uno

convexo

es

la

siguiente:

Marcamos dos puntos dentro del polígono y luego los unimos con una línea recta. Si

la

línea

queda

contenida

completamente

dentro

de

la

figura,

entonces,

el

polígono

es

convexo, de lo contrario es cóncavo.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Cantidad de triángulos adentro del polígono.

Polígono cóncavo

Ángulo mayor a 180°



Polígono

cóncavo:

POLÍGONOS

REGULARES

Los polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos interiores iguales.

En

todo

polígono

regular,

cada

ángulo

interior

es

igual

a

la

suma

de

los

ángulos

interiores

dividido la cantidad de lados.

°

Por

otro

lado,

cada

ángulo

exterior

es

igual

a

360° : n.

Como vemos en el dibujo, al trazar la línea, no

queda

contenida

completamente

dentro

del

polígono.

Por

lo

tanto,

se

trata

de

un

polígono

cóncavo.

En este polígono, sea donde sea que ubiquemos el

par

de

puntos,

el

segmento

que

se

forma

queda

contenido

completamente

dentro

de

la

figura.

Por

lo

tanto,

el

polígono

es

convexo.



ANGULO

CENTRAL

DE

UN

POLÍGONO

Para calcular el ángulo central de un polígono regular debemos tomar al ángulo de 360° (un

giro)

y

dividirlo

por

la

cantidad

de

lados

que

tiene

el

polígono.

Ángulo central = 360°:n

Por ejemplo, si queremos calcular el ángulo central de un hexágono debemos seguir estos pasos:

n = 6

360°:6

=

60°

Ángulo

central

=

60°

60°



onstrucción de polígonos regulares

Todo

polígono

regular

se

puede

dibujar

dentro

de

una

circunferencia,

es

decir,

que

queda inscripto dentro de ella.

¿Cuáles son los pasos a seguir para dibujar correctamente un determinado polígono?

Veamos

el

procedimiento

con

un

ejemplo:

Construir

un

hexágono

regular

inscripto

en

una

circunferencia

de

3

cm

de

radio.

Primer paso:

en

principio

podemos

trazar

una

línea

sobre

la

cual

marcaremos

un

segmento

de 3 cm, medida que corresponde justamente al radio de la circunferencia.

Segundo paso:

pinchamos

en

uno

de

los

extremos

del

segmento

y

tomando

la

medida

del mismo

con

el

compás,

dibujamos

una

circunferencia.

Tercer paso: calculamos el ángulo central correspondiente al polígono que se quiere dibujar. En

este

caso,

el

polígono

es

un

hexágono

y

como

ya

sabemos

el

ángulo

central

correspondiente

a

esta

figura

tiene

un

valor

de

60°

(360°:6

=

60°).

A

continuación,

marcamos

este ángulo en la circunferencia.

3 cm

60°



Cuarto paso: entre los lados que forman el ángulo y la circunferencia se producen dos intersecciones, entonces, tomamos la regla y unimos con una línea estos dos puntos (con esto

dibujamos

uno

de

los

lados

del

polígono).

Ahora

tomando

la

medida

de

este

segmento

(lado

del polígono) con el compás, nos ubicamos en uno de los extremos del mismo y marcamos, a

lo largo de toda la circunferencia, esa misma longitud hasta completar toda la vuelta.

Quinto paso: finalmente

con

la

regla

completamos

el

dibujo.

EJERCICIO

1

a) Construir un pentágono regular, el cual

se

encuentre

inscripto

dentro de una

circunferencia de radio 2 cm. b) Dibujar un cuadrado, inscripto en una circunferencia de diámetro igual a 8 cm. c)

Dibujar

un

octógono

regular,

inscripto

en

una

circunferencia

de

10

cm

de

diámetro.

EJERCICIO

2

Calcular

el

valor

de

cada

ángulo

interior

de

los

siguientes

polígonos

regulares,

el

ángulo

central

y la cantidad total de diagonales.

60°

60°



EJEMPLO

Calculamos

lo

pedido

en

el

enunciado,

utilizando

un

eneágono

(polígono

de

9

lados).

a)

b)

c)

n:

cantidad

de

lados

que

tiene

el

polígono.

n = 9

360°:n

Ángulo

central

360°:9

=

40°

.

Cantidad total de diagonales.

.

=

27



POLÍGONOS IRREGULARES

Los

polígonos irregulares

son

aquellos

que

tienen

sus

lados

y

ángulos

interiores

distintos.

Los

vértices de un polígono irregular no se pueden dibujar dentro de una circunferencia, es decir, los vértices no quedan inscriptos en la circunferencia.

A

continuación

vemos

algunos

ejemplos:

EJERCICIO: Dibujar un decágono

irregular

(elegir

las

longitudes

de

cada

uno

de

sus

lados).

¿Cómo

podemos

calcular

el

ángulo

faltante

en

un

polígono

irregular?

Lo primero que haremos será dividir el polígono en triángulos trazando todas las diagonales posibles desde uno de los vértices de la figura.

35°

154°

55°¿?

131°

81°

35°

154°

55°¿?

131°

81°



Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°, podemos calcular

el

valor

de

la

suma

de

los

ángulos

interiores

del

polígono.

Como

dentro

de

la

figura

se

formaron 4 triángulos, entonces, si sumamos 4 veces 180° obtendremos el valor de la suma de

los ángulos interiores del polígono.

180° + 180° + 180° + 180° = 4 x 180° = 720°

Ahora

sabemos

que

la

suma

de

todos

los

ángulos

interiores

debe

dar

720°,

así

que

procedemos

a

sumar

todos

los

valores

de

los

ángulos

interiores

hasta

completar

720°.

De

esta

forma, podemos averiguar cuál es el valor del ángulo faltante.

131° + 154° + 55° + 81° + X + 35° = 720°

Si

hacemos

las

cuentas,

nos

damos

cuenta

rápidamente

que

el

valor

del

ángulo

faltante

es:

X = 264°

Respuesta: el ángulo faltante tiene un valor de 264°.

EJERCICIO

1

Averiguar el valor del ángulo faltante en las siguientes figuras:

a)

b)

¿?

118°

95°

125°

107°

150°135°

115°

154° 257°

114° 120°

124°

¿?



PERÍMETRO

DE

UN

POLÍGONO

En todo polígono, el perímetro es igual a la suma de todos sus lados.

EJERCICIO

Calcular

el

perímetro

de

las

siguientes

figuras.

EJERCICIOS

ADICIONALES

1)

Los

siguientes

valores

corresponden

a

la

suma

de

los

ángulos

interiores

de

polígonos

regulares.

Indicar

para

cada

uno

de

los

valores

a

qué

polígono

corresponde.

4 cm

4 cm

6 cm

5 cm

6 cm

Perímetro = 5 cm + 6 cm + 4 cm + 4 cm + 6 cm

Perímetro = 25 cm

6

cm

4 cm

4 cm

5

cm

3,5 cm

4 cm 4 cm

2

cm

3

cm

1,5 cm2,5 cm

3,5

cm

4,5

cm

1,5 cm



a) 2700° b) 2340° c)

2880°

d) 1620°

2)

Colocar

una

cruz

en

la

siguiente

tabla

para

indicar

el

nombre

del

polígono

correspondiente. Completar los espacios en blanco con la figura y el nombre del polígono que corresponda.

3) Dibujar un dodecágono regular cuyos lados midan 2 cm.



POLÍGONOS Y ÁNGULOS

CUADRILÁTEROS. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS.

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican según sus lados opuestos.

PARALELOGRAMO

Si los 2

pares

de

lados

opuestos de un cuadrilátero son

paralelos, entonces lo llamamos paralelogramo.

Dato: en todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.

Dentro de esta clasificación podemos distinguir a los paralelogramos que tienen

4

ángulos

rectos.

A

estos

paralelogramos

los

llamamos

rectángulos.

En el caso que el paralelogramo no tenga los 4 ángulos interiores iguales, pero tenga los 4

lados

iguales, entonces, en este caso lo llamamos rombo.

La

figura

que

vemos

aquí

tiene

dos

pares

de

lados iguales, es decir, el lado 1 es igual al

lado

2

y

el

lado

3

es

igual

al

lado

4.

Además,

cada

uno

de

estos

pares

son

pares

paralelos. El lado 1 es paralelo con el lado 2 y

el lado 3 es paralelo con el lado 4.

Este paralelogramo tiene dos pares de lados

paralelos y además tiene 4 ángulos interiores

rectos, por lo tanto lo llamamos

paralelogramo rectángulo. Aunque muchas

veces,

solo

lo

llamamos

rectángulo.

Este

paralelogramo

tiene

los

cuatro

lados

iguales y no tiene ningún ángulo interior igual

a 90°, entonces lo llamamos rombo.

1

2

3 4



Finalmente, dentro de los paralelogramos, llegamos a la figura que tiene los 4

lados

iguales y

4

ángulos

interiores

rectos.

Cuando

la

figura

reúne

estas

características

la

llamamos

cuadrado.

TRAPECIOS

Si el cuadrilátero solo tiene un 1 par de lados paralelos, entonces lo llamamos trapecio.

Cuando encontramos un cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos y además tiene dos lados

iguales,

entonces

lo

llamamos

trapecio

isósceles.

Cuando el trapecio tiene un ángulo recto, lo llamamos trapecio rectángulo.

Este paralelogramo tiene los cuatro lados

iguales

y

sus

4

ángulos

interiores

son

iguales

a

90°,

entonces

lo

llamamos

cuadrado.

Este cuadrilátero solo tiene dos lados

paralelos

y

además

tiene

sus

cuatro

lados

distintos,

por

lo

tanto

es

un

trapecio.

Este trapecio, al tener dos lados iguales (de la

misma

longitud),

se

llama

trapecio

isósceles.

En

la

figura

los

lados

1

y

2

son

iguales.



TRAPEZOIDES

Los

trapezoides

son

cuadriláteros

que

no

tienen

ningún

lado

paralelo.

ANGULOS

INTERIORES

EN

UN

CUADRILÁTERO.

En

todo

cuadrilátero

la

suma

de

sus

ángulos

interiores

es

igual

a

360°.

Podemos

comprobarlo

gráficamente.

Si tomamos un cuadrilátero cualquiera y trazamos una de sus diagonales, se formarán dos triángulos.

Teniendo

en

cuenta

que

la

suma

de

los

ángulos

interiores

en

todo

triángulo

es

igual

a 180° y en este caso se forman 2 triángulos, entonces, la suma de los ángulos interiores en un

cuadrilátero

es

igual

a

360°.

Trapezoide

Romboide

Pertenece a los trapezoides y se

caracteriza por tener dos pares de

lados iguales consecutivos.

180°

180°



Suma

de

los

ángulos

interiores

de

un

cuadrilátero

=

180°

+

180°

=

360°

¿CÓMO

DIBUJAR

UN

PARALELOGRAMO

CON

REGLA,

COMPÁS

Y

TRANSPORTADOR?

Para

construir

un

rectángulo

nos

basta

con

tener

las

medidas

de

dos

de

sus

lados

y

uno

de

sus

ángulos interiores. Vemos ahora, los pasos a seguir para construir un paralelogramo que tiene un ángulo interior

igual

a

32°,

uno

de

sus

lados

mide

8

cm

y

otro

mide

5

cm.

Primer

paso: utilizando la regla trazamos una línea y a continuación marcamos un segmento

de 8 cm sobre la misma.

Segundo

paso:

con

el

transportador

ubicado

en

uno

de

los

extremos

del

segmento

marcamos

un

ángulo

de

32°

y

trazamos

una

línea

sobre

la

cual

medimos

un

segmento

de

5

cm

(que

corresponde a otro de los lados).

8

cm

32°

32°

5

cm



Tercer

paso: ahora tomamos el compás y pinchando en el vértice copiamos la medida de uno

de los lados (por ejemplo el lado de 5 cm), luego nos trasladamos al extremo opuesto de del lado

de

8

cm

y

sin

cambiar

la

amplitud

dibujamos

un

arco.

Cuarto

paso: realizamos el mismo procedimiento que en el paso anterior pero ahora tomando

la medida del otro lado.

Quinto

paso:

finalmente,

con

la

regla,

unimos

los

extremos

de

cada

segmento

con

la

intersección de los dos arcos dibujados anteriormente. De esta forma completamos la figura

32°

32°

32° 32°

32°



Borramos las líneas excedentes.

Observación:

en

todo

paralelogramo

los

ángulos

opuestos

son

iguales.

Los

ángulos

que

tienen

el

mismo

color

son

iguales.

EJERCICIOS

1) Construir un trapecio isósceles donde uno de su base mayor mida 5 cm. 2) Construir un paralelogramo donde uno de sus ángulos interiores mida 50°, y cada uno

de

sus

lados

midan

7

cm

y

4

cm.

3)

Construir

un

cuadrado

de

3

cm

de

lado.

4)

Copiar

la

siguiente

figura

utilizando

únicamente

escuadra

(sin

hacer

mediciones)

y

compás.

32°

32°

5 cm

8 cm

5

cm

8 cm

32°

148°

148°

32°

32°



5) Calcular los ángulos faltantes en cada cuadrilátero.

¿CÓMO

CONSTRUIR

UN

ROMBOIDE

CON

REGLA

Y

COMPÁS?

Conociendo la medida de la diagonal mayor y la medida de dos de sus lados distintos podemos construir rápidamente el romboide utilizando regla y compás.

Datos:

Diagonal

mayor:

6

cm

Lado 1 = 2 cm

62° ?

?

90°

90°

90°

?

123°

77°?

39°

51°

? 129°

72°



Lado 2 = 5 cm

Primer

paso:

dibujamos

la

diagonal

mayor

y

luego

con

el

compás

tomamos

la

medida

de

uno

de

los

lados

(2

cm

por

ejemplo)

y

trazamos

una

circunferencia.

A

continuación

tomamos

la

medida del otro lado (5 cm) y marcamos otra circunferencia.

OBSERVACION: en el ejemplo

anterior

no

es

necesario

dibujar

la

circunferencia

completa,

con

solo

trazar

el

arco

los

arcos

alcanza.

Segundo paso: las

dos

circunferencias

se

cortan

en

dos

puntos

(indicados

en

color

rojo).

Luego

solo

resta

unir

estos

puntos,

con

los

extremos

de

la

diagonal

mayor,

mediante

una

línea

que

trazaremos

con

la

regla.

2

cm 5

cm



Finalmente

borramos

las

líneas

excedentes

y

colocamos

los

valores

a

cada

uno

de

los

lados.

CIRCUNFERENCIA

La

circunferencia

es

aquella

figura

geométrica

en

la

cual

todos

los

puntos

se

encuentran

a

la

misma

distancia

de

un

punto

al

cual

llamamos

centro.

En toda circunferencia encontramos los siguientes elementos:

Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro de la

misma.

Radio:

es

el

segmento

que

une

el

centro

de

la

circunferencia

con

un

punto

de

la

misma.

La

longitud del radio, siempre, es igual a la mitad del diámetro.

Cuerda:

es

un

segmento

que

une

dos

puntos

de

la

circunferencia

y

no

pasa

por

el

centro.

Arco

de

circunferencia:

es

un

segmento

de

circunferencia

que

corresponde

a

un

ángulo.

2 cm

5

cm

2 cm

5

cm



El instrumento que utilizamos para dibujar a las circunferencias es el compás.

¿Cómo dibujar una circunferencia?

Para

poder

dibujar

una

circunferencia,

lo

que

necesitamos

saber

es

el

radio

de

la

misma.

Tomamos la medida del radio con el compás y luego dibujamos.

En el caso de tener como dato

el

diámetro,

antes

de

dibujar,

lo

primero

que

haremos

será

dividirlo

por

dos

(para

obtener

el

radio)

y

luego

trazamos

la

circunferencia.

EJERCICIO

1) Dibujar una circunferencia de radio 3 cm.

2) Dibujar una circunferencia de 10 cm de diámetro e indicar el diámetro y el radio en la

figura.

3) Copiar la siguiente figura con el compás.

Centro

Diámetro

Cuerda

Radio

Circunferencia

Documents

Manual matematicas1