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CUADERNO DE TRABAJO MATEMATICAS VI AREAS 1 Y 2
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1
2
FUNCIONES Determine el Dominio de las siguientes funciones
2
2
2
2
2
2
3 2
2
1. ( ) 3 2
2. ( ) 2 1
3. ( ) 3
14. ( )
25. ( )
( 2)( 1)
2 7 36. ( )
3
257. ( )
5
28. ( )
1
2 19. ( )
2 15
710. ( )
7 6
111. ( )
4 6
12. ( ) 1
13. ( ) 4 5
14. ( ) 4
1
f x x
f x x x
f x
f xx
xf x
x x
x xf x
x
xf x
x
f xx
xf x
x x
xf x
x x
xf x
x x x
f x x
f x x
f x x
2
2
2
2
1
5. ( ) 9
16. ( ) 4 5
17. ( )
118. ( )
1
19. ( )2
120. ( )
9
21. ( ) 3
22. ( )
23. ( ) log( 1)
24. ( ) ln(2 3)
25. ( ) 5cos( )
x
f x x
f x x x
f x x x
xf x
x
xf x
x
f xx
f x senx
f x e
f x x
f x x
f x x
3
-6 si x-3
26. f(x)= -2 si -3x3
4 si x3
-1/2 si x 4
27. f(x)= 1 si -1 x 4
3 si x -1
3x si x 1
28. f(x)=
3x+3 si x 2
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
I. Expresar explícitamente las siguientes funciones implícitas
1. 3xy - 8y - 9x – y =0
2. xy + x - 3y – 4 =0
3. xy - 3x + 2y – 4 =0
4. xy – x – y – 3 =0
5. xy + x - 2y – 1 =0
6. x + xy + y =2
7. x2
+ y2=16
8. 4x2
+ 9y2
=36
II. Clasifique las siguientes funciones como Inyectiva, Suprayectiva o biyectiva
1. y = 5
2. y = 2x-3
3. y = x2
4. y = x3
5. y = x2-4x+3
6. y=ln(x)
7. y=2x
8. y=1/x
4
6. 7.
8.
III. Clasifique las siguientes funciones como crecientes o decrecientes
1. y= x-2
2. y=ex+1
3. y=5-2x
4. y=2 -x+4
5. y=x3
6. y=log(x+3)
7. y=x2
8. y=x2+4x-6
9. y=Sen(x) en el intervalo de [0,2π]
10. y=Cos(x) en el intervalo de [0,2π]
2
3
4
5
4
9
16
25
-1
0
1
1
-2
-1
0
1
2
1
2
5
5
IV. Clasifique las siguientes funciones como continuas o discontinuas y determine el dominio
de cada una de ellas
1. y=2
2. y=x2-5x+4
3. y=3x-1
2
2
14.
3
2 55.
4 3
16.
3 27.
4 3
8.
xy
x
xy
x x
yx
xy
x x
y Senx
EVALUACIÓN DE FUNCIONES
7)10(,;
1log)(.9
0;)()(
),1(),6(;)(.8
)3(),2(),2
1(),0(;4)(.7
)4(),5(),0(),4(;16)(.6
0;)()(
;1
)(.5
0;)()(
;)(.4
0;)()(
),1(),3(;74)(.3
)3(),2(),4(),0(;1
3)(.2
)(),(),0(),1(;65)(.1
7
3
2
3
2
2
2
fuedemostrarqy
yf
hh
xfhxffencontrarfxxxf
fffencontrarfxf
xfffencontrarfxxf
hh
xfhxfencontrar
xxf
hh
xfhxfencontrarxxf
hh
xfhxfbfaencontrarfxxxf
xfaffencontrarfx
xxf
hxfhffencontrarfxxxf
x
10. f(x)= 3x Demostrar que:
)5()1(
)4()
)(3
26)1()2()
)()(*)()
)(2)()1()
fxf
xfd
xfxfxfc
zyfzfyfb
xfxfxfa
6
11. f(x)= 5x Demostrar que:
)3()1(
)2()
)(5
624)1()3()
)(4)()1()
fxf
xfc
xfxfxfb
xfxfxfa
12.f(x)= logx2 Demostrar que:
x
hxxfhxf
log2)()(
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Determine el Dominio, Rango y gráfica de las siguientes funciones
1. f(x)=x+2
2. f(x)=–3x+8
3. f(x)=x2+2x+3
4. f(x)= x2+6x+8
5. f(x)=-x2+4x-6
6. f(x)=3sen(x + / 3)
7. f(x)=2sen(x – π / 6)
8. f(x)=5cos(x-)
9. f(x)=|x|
10. f(x)=ex-1
11. f(x)=2x+1
12. f(x)=log(x-1)
13. f(x)=ln(2x+3)
14. f(x)=log2(3x-6)
215. ( )
5
3 216. ( )
4 6
xf x
x
xf x
x
-3 si x 5
17. f(x)= 0 si 0 x 5
2 si x 0
2x-1 si x 0
18. f(x)=
x2 si x 0
x2 si x 0
19. f(x)=
x si x 0
7
OPERACIONES CON FUNCIONES
Determinar f + g ; f – g ; f * g y f / g indicando el dominio de la función resultante
84)(;35)(.10
1
2)(;
1
2)(.9
1)(;
1
1)(.8
1)(;4)(.7
3)(;1)(.6
1
2)(;
3
5)(.5
2
3)(;
4)(.4
73)(;6)(.3
38)(;56)(.2
43)(;63)(.1
2
2
xxgxxf
x
xxg
x
xxf
xxg
x
xxf
xxgxxf
xxgxxf
x
xxg
x
xxf
xxg
xxf
xxgxxf
xxgxxf
xxgxxf
FUNCIÓN COMPUESTA
Determine f o g ; g o f ; f o f ; g o g. Indique el dominio de la función compuesta
1. ( ) 2; ( ) 5
2. ( ) 2 3; ( ) 5 6
f x x g x x
f x x g x x
2
2
2
2
2
1 13. ( ) ; ( )
1
4. ( ) 3; ( ) 2 7
15. ( ) ; ( )
6. ( ) ; ( ) 4
7. ( ) 2 4 5; ( ) 3 6
18. ( ) 1; ( )
1
19. ( ) ; ( ) 2 3
1
1 110. ( ) ; ( )
1
xf x g x
x x
f x x g x x x
f x x g xx
f x x g x x
f x x x g x x
f x x g xx
f x g x xx
xf x g x
x x
8
FUNCIÓN INVERSA Determine la inversa de las siguientes funciones
)32ln()(.15
1)(.14
29)(.13
2)(.12
)(.11
)(.10
)1ln()(.9
)3ln()(.8
3
2)(.7
3)(.6
43)(.5
1)(.4
1)(.3
1
2)(.2
12)(.1
3
3
3
12
3
3
xxf
xxf
xxf
xf
exf
exf
xxf
xxf
x
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
x
xxf
xxf
x
x
x
Demostrar que los siguientes pares de funciones son inversas
10;1
)(;1
1)(.3
9)(;9)(.2
6
3)(;36)(.1
2
2
xx
xxg
xxf
xxgxxf
xxgxxf
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES 1. Suponga que el costo total en dólares por la fabricación de q unidades de un cierto
artículo está dado por la función C(q)=q3-30q
2+400q+500
a) Determine el dominio de la función
b) Calcule el costo de fabricación de 20 unidades
c) Calcule el costo de fabricación de la vigésima unidad (costo marginal)
2. Un vendedor tiene un salario base de $1000 al mes más una comisión del 8% de las
ventas totales que realiza por arriba de $6000
a) Exprese los ingresos mensuales del vendedor como una función de x, donde x
representa el monto de sus ventas totales
b) ¿Cuál es el dominio de la función?
c) ¿Cuál será el salario total del vendedor cuando realiza ventas por $5000 y $8000?
9
3. Un electricista cobra $55 por una visita domiciliaria más $30 por hora de trabajo
adicional. Exprese el costo C de llamar a un electricista a su casa como una función del
número de horas x que dure la visita.
4. Un estacionamiento tiene una tarifa de $12.00 por la primera hora y $5.00 por cada hora
adicional o fracción de ella. Exprese la tarifa del estacionamiento como una función del
número de horas que un automóvil se encuentra estacionado
5. Una maquina que revela el tipo sanguíneo vale $24000 y se deprecia en $3000 al año.
Empleando depreciación lineal, exprese el valor V de la maquina como una función del
número de años t.
6. Suponga que con un cartón rectangular de 12 x 18 cm. se desea construir una caja sin
tapa recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas y doblando para formar los
lados. Si x representa la longitud de cada uno de los lados de los cuadrados recortados
en las esquinas, expresar el volumen de la caja en función de x.
7. Un trozo de alambre de 50 cm. de longitud, se quiere doblar para formar un rectángulo
de tal manera que su área sea máxima. Expresar el área en función de uno de los lados
del rectángulo.
8. Se desea construir una lata de aceite en forma cilíndrica que tenga capacidad de 2 litros
(2000 cm3. ). El material usado para hacer la tapa y el fondo cuesta $3.00 el cm
2. y el
material para hacer el costado cuesta $2.00 el cm2. Si r es el radio y h la altura de la lata,
expresar el costo C de la lata en función del radio.
9. Un grupo de estudiantes desean hacer una excursión. La compañía de autobuses ofrece
un camión para 100 personas, pero indica que debe haber un mínimo de 40 para que se
pueda realizar el viaje. La compañía cobrará $350.00 por estudiante si viajan
exactamente 40, pero reducirá el costo en $2.50 por cada persona adicional después de
los 40. ¿Cuántos estudiantes tendrían que viajar para que la ganancia de la compañía de
autobuses sea máxima?
10. Se desea cercar tres costados de un campo rectangular, el cuarto lado no se cercará ya
que se va a aprovechar la barda de un terreno contiguo; para la cerca se cuenta con 40m.
De alambre. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea
máxima?
11. Un analista de costos concluye que el costo de producción de x artículos está dado por
una función de la forma C(x)= ax2+bx +c donde C es la cantidad en dólares. Hallar la
función si el costo de producir 100 artículos es de 980dls; el costo de 300 asciende a
1060dls y el de 500 es de 1300dls. ¿Cuál será el nivel de producción que arroje el costo
mínimo?
12. El costo de un recorrido en taxi en cierta área metropolitana es de $5.40 para cualquier
recorrido de hasta un kilómetro. Después de esta distancia, el pasajero paga una
cantidad adicional a razón de 78 centavos por km. Determine la función de costo total
de un recorrido de x kilómetros.
LÍMITES. Determine el límite de las siguientes funciones
10
2
2
23
3
3 2
1
5 2 6
3
3
1 4 2
2
1
3
2
2
1
2
3 2
2
5
1.lim 4 3 9
32
42.lim1
3.lim 2 3 4
4.lim ( 4) ( 7)
7 45.lim
9 6 2
2 36.lim
1
87.lim
2
8 2 38.lim
2 1
39.lim
4 3
7 1010.lim
5
1
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x x
xx
x
y y y
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
x x
x
2
4 2
2
2
2
1 2
2
2
2
4 2
4 3
0
0
10 241.lim
8 16
6 24 2412.lim
3 6
3 213.lim
4 3
12 11 214.lim
3 2
3 17 2015.lim
4 25 36
416.lim
64
2 217.lim
3 318.lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
0
1
0
0
4
3
5 2
3 2
3
4 3 2
2
3 2
1
3 2
1
5 2519.lim
3 220.lim
1
1 121.lim
22.lim
223.lim
4
12524.lim
25
4 11 3025.lim
3
5 7 41 3026.lim
2
2 427.lim
1
2 11 1228.lim
1
x
x
x
h
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a h a
h
x
x
x
x
x x x
x
x x x x
x
x x x
x
x x x
x
3 2
2
3 2
1
4
1
0
3 2
2 2
2
1
3 1829.lim
2
7 930.lim
1
531.lim
1
1
32.lim1
1
633.lim ( )
3 9
1 434.lim ( )
2 4
135.lim ( )
1 ( 1)
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x x x
x
x x
x
xx
x
x x
x x
x x
x
x x x
11
1
4 3 2
2
3
0
1 3
3 2
3 2
3
1 2
2
4 23
16
2
1 2
2
1
136.lim
11
4 2 1237.lim
2
238.lim
8
139.lim
1
2 340.lim
4 21
8 141.lim
6 5 1
342.lim
1
1643.lim
4
2 5 344.lim
6 7 2
45.lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x x x x
x
x
x
x
x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x x
2
1
3
2 4
3
1( )
1 1
846.lim
16
1 1
347.lim
3
x
y
x
x x
x
x
y
y
x2-4 si x 2
48. limx2g(x) para g(x)=
x3-4x si x 2
(x2-9)/(x-3) si x -3
49. limx3 f(x) para f(x)=
2x-6 si x -3
(x2-x-6)/(x +2) si x -2
50. limx-2f(x) para f(x)=
2x-3 si x -2
12
LIMITES LATERALES
Determine los siguientes límites
3
96lim.9
1
1lim.8
8
1lim.7
25
5lim.6
)21(lim.5
)4(lim.4
3
1021lim.3
)6(lim.2
)325(lim.1
2
3
2
1
8
25
2
0
5
6
2
5
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x +2 si x 5
10. f(x)=
-x+10 si x 5
Determinar: a) limx5+f(x) b)limx5-f(x) c) limx5f(x)
x2 si x 2
11. f(x)=
8-2x si 2 x
Determinar: a) limx2+f(x) b)limx2-f(x) c) limx2f(x)
2x+3 si x 1
12. f(x)= 2 si x = 1
7-2x si x 1
Determinar: a) limx1+f(x) b)limx1-f(x) c) limx1f(x)
x2+3 si x -2
13. f(x)= 0 si x =-2
11-x2 si -2 x
Determinar: a) limx-2+f(x) b)limx-2-f(x) c) limx-2f(x)
13
LIMITES AL INFINITO
Determine el límite de las siguientes funciones
3
2 3 4
2
2
2
2
2
3
3 2
3
2
2
2 3
3 2
1.lim 2 20 3
2.lim 1 3
2 33.lim
3 5
7 3 54.lim
5 9
7 35.lim
4 8
3 2 16.lim
7 2
1
7.lim1
2
6 18.lim
7 5
3 49.lim
2 5
1 1010.lim
9 3 6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x
xx
xx
x
x
x
x
x x
x x
2
3
2
2
2
2
3 3
2
2
2
2
5
8 2 311.lim
2 3 1
2 3 412.lim
5 7 1
13.lim ( )
14.lim ( 3 )
15.lim1
816.lim
2
217.lim ( )
1
418.lim
3 1
6 319.lim
9 2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
14
2
2
2
2
2 2
2
2
3 2
2 3
3 2
2
2
3
2
20.lim ( 1 )
21.lim ( 5 )
22.lim ( 9 )
23.lim ( 1)
24.lim ( 4 8)
425.lim
12
2 3 426.lim
5 7
27.lim ( )2 1 2 1
28.lim ( 1 )
29.lim (1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x x
x x
x x
x x x x
x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x x
x
x
3
3 2
4 3 2
3 2
3
2
2
2
2
)
330.lim
31.lim 2 3
32.lim 5 12 3 2
2 133.lim
2 3 10
4 3 134.lim
2 6
( 1)35.lim
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x x x
x x x
x x
x x
x x
x
x
CONTINUIDAD
Determine si las siguientes funciones son continuas o discontinuas en el punto que se indica
1. f(x)= x3-1 en x = 0
2. f(x)= 3x2-x +3 en x = 1
3. f(x)= 5x2 +4x-3 en x = -1
2
3
14. ( ) . , 1
1
275. ( ) . , 3
3
xf x en x
x
xf x en x
x
15
2
3 2
2
16. ( ) . , 2
2
27. ( ) . 0
5 68. ( ) . , 2, 3
6
f x en xx
x xf x enx
x
x x xf x en x x
x x
2-x si x 1
9. f(x)= en x = 1
x si x 1
x-2 si x 0
10. f(x)= en x = 0
x2+4 si x 0
Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones
2
3 2
2
2
2
2
3
2
2
3
4
2
2
2
21.
4
3 12.
4 3
5 23.
5 6
34.
4
5. 3
2 66.
4 13 3
2 87.
3 10 8
2 5 28.
8
2 5 39.
6 7 2
810.
16
211.
4 7
3 17 2012.
4 25 36
yx
xy
x x
xy
x x x
xy
x
y x
xy
x x
xy
x x
x xy
x
x xy
x x
xy
x
xy
x x
x xy
x x
16
LA DERIVADA
Derivar por definición o regla de los cuatro pasos las siguientes funciones
2
2
2
3
2
1. 2 3
2.
3. 5
4. 4 2 7
5.
6. ( 5)(2 3)
7. ( 4)
18.
2 59.
1
10. 5
11. 2 5
12. (3 2)( 1)
y x
y x
y x x
y x x
y x
y x x
y x
xy
x
xy
x
y x
y x
y x x
Derivar por regla o fórmula las siguientes funciones
2
5 3
2
3 4
3
2
5 3
3
3 2
1. 5 3
62. 1
7
3. 4 9
4. ( ) 3 5 3
15. ( )
4 36. 2
5
3 17.
8. 3 ( 1)
9. ( 3 2)
10. 3 2
11. (2 3)
3 412.
y x
y x
s t t
f x x x
g x xx
y x xx
yx x
y x x
y x
y x x
y x
x xy
x
17
2 4
2
3
3
2
2
4 2
3 3
8 5
2 3 213.
5
14. 2
4 115. 2
3
16. ( 1)
217.
118.
19.
20. 5 2 6
x x xy
x
y x x
s tt t
y x x
x xy
x
y x xx x
y x x
y x x
3 4
5 2
3 3
2
3 433
2
2 3
2 2
1 2 121. 1
2
22.
123.
2 1 124.
3
25. 2 (3 1)( 2 3)
yx x x
y x x x
y x x
x
st t t
y x x x x
Regla del producto
2
2
2 4
3 2
2 3
2 3 4
2 2
2
1. (1 2 )(3 )
2. ( )(3 1)
3. (3 2 )( 3 1)
4. 9( 1)(2 3)
5. ( 3 )(2 3 5)
6. ( 2 1)( 1)
7. ( 1)(2 1)(3 1)
8. ( 1)( )(3 2 1)
9. 2 (3 1)( 2 3)
10. (4 )(2 )
y x x
y x x x
y x x x x
y x x
y x x x x
y x x x
y x x x
y x x x x x
y x x x x
y x x x
18
Regla del cociente
xa
xay
x
xy
xx
xxy
x
xxy
x
xy
.5
7
32.4
2.3
12.2
32.1
2
2
2
1
23.10
32
23.9
23
5.8
32
52.7
.6
2
3
2
3
2
2
22
22
x
xxy
x
xy
xx
xxy
xx
xxy
xa
xay
Regla de la cadena
2
2 2 5
4 3
2
5
2
2 3
2 4
3
2
3 2
4
1. (2 1)
2. ( )
3. ( 5 )
4. (1 5 )
5. ( 5 3)
6. (3 2 )
7. 2 9
8. 5 3 6
9. 3 5
10. ( 5)
y x
y x a
y x x
y x
y x x
y x
y x
y x x
y x x
s t
19
2
2
2
2 2 3
3 3 2
2 3
3
2 2
4
3
2 2
5
2
2
2 3
35
3 23
11. 2 1
12. 2 4
13. 2
14. ( )
15. 1 2
16. (2 3 )
17. 4 9
118.
119.
(1 3 )
20. ( 4 1)
21. ( ) (4 9)
22. ( ) 7 2 3
23. ( ) (8 3 1)
24. (2 7)
25. (5 4 )
y x x
y x
y ax x
y a x
r
s t
y x
ya x
yx
s t t
f x x
f x x x
f x x x
y x
y x
Derivar las siguientes funciones
2 3
3 2 10
3
4
2 4
4 2 5
2 2
2 2
2 2
2 2
1. ( ) (4 1)
2. ( ) (2 5 4)
3. ( ) (2 1)
4. ( ) (10 5 )
5. ( ) ( 4 5)
6. ( ) (2 8 1)
7. ( ) ( 4)
8. ( ) (5 12 3)(4 8 5)
9. ( ) ( 3 8)(3 4)
10. ( ) (5 7 6)(6 3 1)
11. (
f x x
f x x x
f x x
f x x
f x x x
f x x x
f x x
f x x x x x
f x x x x
f x x x x x
f x
2 3)
4 1
x
x
20
2
2
2 2
5 2
3
3
2
3
2
2
2 5 812. ( )
3 7
13. ( ) (5 1) 3 2
14. ( ) (2 5) ( 1)
15. ( )
5 1 916. ( ) ; (́ )
4 1 2 (5 1)(4 1)
1 2 217. ( ) ; (́ )
1 2 (1 2 ) 1 4
18. ( ) 2 4 5
19. ( )1
20. ( ) 1 4
21.
x xf x
x x
f x x x
f x x x
a bxf x
a bx
xf x f x
x x x
xf x f x
x x x
f x x x
xf x
x
f x x
f
2
2
3
3 2
1
2 3
2
3 2
2
1
2 3
3 3 2
2 23
( ) 2 3
22. ( ) (5 3 )
23. ( ) 4 1
24. ( ) (5 2 )
125.
25
26. ( ) 4 1
127. ( )
25
28. ( ) (5 2 )
2 529. ( )
3 1
30. ( ) 2 5
31. ( ) (3 5 1)
5 632. ( )
5 4
s s
f x x
g x x
f x x
yx
f x x
f xx
f x x
xf x
x
f x x x x
f x x x
tf t
t
21
3
43
2
2 60
5 3
4 9
3 4 2
2 4 2 2 2 3 2 2
2
133. ( )
1
4 634. ( )
3 4
35. ( ) (2 4 1)
136. ( )
(2 7)
137. ( )
(3 8)
38. ( ) (1 ) (1 2 ) ; (́ ) (1 ) (1 2 )(1 10 )
39. ( 1) ( 2) ; ´ 4 ( 1) ( 2)(3 5)
40. ( ) (3 5) (
xf x
x
xf x
x x
f x x x
f xx
f xx x
f x x x f x x x x
y x x y x x x x
f x x
3 2
2 5
2 3
3 6
2 5
3 2
4
2 2
2 2
2 2
6 1) ; (́ ) 6(3 5)(6 1) (15 14)
41. ( ) (4 7) (2 3)
42. ( ) (5 6) ( 13)
43. ( ) ( 2) ( 5)
44. ( ) ( 4)
45. ( ) (2 3) (5 4)
46. ( ) (3 7)
147. ; '
1 (1 ) 1
48. ;
x f x x x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
f x x x
cx cy y
cx cx c x
a xy
a x
2
2 2 4 4
32 4
3 3
3 4
3
2 2 2 22
2
2
5 3
2 22 2
2'
( )
2 3 449. ;
2 3(2 3 ) (2 3 )
50. 2 ;
2 651. ( ) ; '( )
(1 ) (1 )
52. ( ) ( ) ; '( ) 3
353. ( ) 3 5; (́ )
3 5
54. ( ) ( 2 ) ; (́ ) 5( 1)( 2 )
55
a xy
a x a x
t dss
t dtt t
dy py px
dx y
f x f xx x
f x x a f x x x a
xf x x f x
x
f x x x f x x x x
2
2. ( ) 2 ; (́ )
2
a xf x ax x f x
ax x
22
Derivar implícitamente las siguientes funciones
2
23 3 3
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
23 3
2
1 1 1
2 2 2
2
21. 4 ; '
2. ; '
23. 1; '
2
44.2 3 ; '
6
5. 1; '
4 3 86.2 3 5 8 3 ; '
3 10 3
7. 3 0; '
8. ; '
9.( ) 2
ay ax y
y
xx y a y
y
x yx xy y y
y x
xx y ay y
a y
x y b xy
a b a y
x yx xy y x y y
x y
ay xx y axy y
y ax
yx y a y
x
x y
3 24 2 2 4
2 3
2 2 2
3 2 2 3
3 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
3
2 2
3 2 3
; '
10. 2 4 ; '1
11.
12. 2 3 3
13. 3 2 6
14.
15. 1
16. 0
17. 2
18. 3 1
19. 4 4 32
20. 3 8
21.
a x yax y
y x
x xyx x y y y y
x y y
x y r
x x y xy y
x xy y xy
b x a y a b
x xy y
x xy y
x xy y
x xy y
x y y
x x y y
x
3 2
2 3
2 2
2
3 12
22.5 7 2 7
23.3 4 0
24.3 5 12 3
y xy y
x xy x x y
x xy y
xy xy y x
23
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR O DERIVADAS SUCESIVAS
Determine la segunda derivada de las siguientes funciones
3 2
4 3 2
3
2 2 3
3 2
8 5
3 4
2 3 2
3
1. ( ) 2 3 1
2. ( ) 3 12 5 7 4
3. ( 1) ; '' 6( 1)(2 1)
4. ( 1) ; '' 20 12
5. ( ) 2 3 6 87
6. ( ) 5 2 6
7. 200 8
8. (3 2) ; '' 4(3 2)(45 24 2)
9. ( 1) ; '' 6(
f x x x x
f x x x x x
y x x y x x
y x x y x x
f x x x x
f x x x
y x x
y x x y x x x
y x x y
2 2 3
2
3
2
2
2 2
2 2 2
2 2
1)(2 1)
10. ( 1) ; '' 20 12
(1 ) 211. ; ''
12. 4
13. 4 32
14. 2 5 0
15.
16.
217. ( )
1
18. (4 1)(2 3)
219.
2 3
x x
y x x y x x
xy y
x x
y ax
x xy
x xy y
x y r
y x a x
xf x
x
y x x
xy
x
4 220. (3 1) ; '' 108(3 1)y x y x
Determine la tercera derivada de las siguientes funciones
4 3 2
3 2
3 2
3
4
4 3
3 2 5 2
4 3
1. 5 3
2. 4 9 12 3
3. ( ) 2 3 6 4
4. ( 1) ; ''' 24 18
5. (2 3)
6. 7 2 8 5
7 (2 4 )(3 )
8. (2 1)(5 6 )
y x x x
y x x x
s t t t t
y x x y x
y x
y x x x
y x x x x
y x x x
24
Límites de funciones trigonométricas
0
0
0
0
0
0
0
0
20
2
0
2
0
3 2
31.lim
42.lim
3.lim
4.lim2
25.lim
6
96.lim
7
7.lim2
tan 58.lim
9.lim
tan10.lim
1 cos11.lim
( 3) tan( 3)12.lim
6 9
13.li
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
sen x
x
sen x
x
x
senx
x
sen x
sen x
sen x
sen x
sen x
senx
x
x
x
senx
x
x
x
x
x
x x
x x
0 2
0 2
0
2
0
2
0 2
0
0
0
1 cosm
5
1 cos14.lim
4
215.lim
tan
16.lim1 cos
1 cos17.lim
2
cos 218.lim
cos3
tan 219.lim
3
2sec20.lim
csc
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
sen x
x
sen x
x
x
x
x
x
x
sen x
x
x
25
DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES
Derivadas Trigonométricas
2
2
4 3
2
3 2
2 2 2 2 2
3
1. cos3 ; ' 3 3
2. tan 2 ; ' 2sec 2
3. (2 5)
4. (3 2 )
5. 5 cos3
16.
1
7. cos 2 ; ' 8cos 2 2
8. 3
9. 3sec 2
10. cos 2 ; ' 2 (cos 2 2 2 )
11. 1 ; '
y x y sen x
y y
y sen x
y sen x x
y sen x x
senxy
senx
y x y xsen x
y sen x
y x
y x x y x x x sen x
y sen x y
2
3
2 2
2
2
3
23
3 cos
2 1
12. sec 2 tan 2 ; ' 2sec 2 (sec 2 tan 2 )
2 4 213. tan( ); ' sec ( )
2 (2 ) 2
314. cos3 ; '
(cos3 )
sen x x
sen x
y x x y x x x
x xy y
x x x
sex xy x y
x
3 2
3
2 3
2 2
2
2
3
2
5
3
15. ( ) 2 tan 3
16. ( ) tan 2
17. ( ) cos 3 csc 2
18. ( ) sec 2 tan 2
219. ( )
1 cos 2
cot20. ( )
1
21. sec 2
22. cos (5 2 )
23. cos 4
24. 1 2
25. sec 5
f x sen x x
f x x
f x x x
f t t t
sen xf x
x
axf x
x
y x
y x
y x
y sen x
y x
26
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 1 2
1
1
1 2
1
1
2
21 2 1 2
4
1 2
2 2
1
2
1
1. ( )
2. ( ) cos 3
3. ( ) tan 2
4. ( ) cot
5. ( ) tan 1
5 56. ( ) ; '
3 9 25
27. tan ; ' tan
1
8. sec 3; '( 3) 2
39. (3 2); '
1 (3 2)
10. cos ( 3
f x sen x
f x x
f x x
f x x
f x x
f x sen x yx
xy x x y x
x
xy x y
x x
y sen x yx
y sen
1
1 21 3
2
1
1
2
1
)
11.
6(tan 2 )12. (tan 2 ) ; '
1 4
213.
114. ; '
3 9
15.2
x
y sen x
xy x y
x
sen xy
x
xy sen y
x
xy sen
1
1 3
1
2 1
1
2
1
1 2
4
1
1 1
16.2
17. (1 3 )
18.
19. tan 2
2 120. tan ; '
1 2 1
21. cos ( 3 )
222. csc 4 ; '
16 1
23. cos 3 1
24. tan cot
xy xsen
y sen x
senxy
sen x
y x x
xy y
x x
y sen x
y x yx x
y x
y x x
27
DERIVADAS LOGARITMICAS
2
2
2
2 2
2
1. ln(1 2 )
2. ln(2 3 5)
3. ln( 3 2)
2 14. ln
3
5. [ln(2 1)]
16. ln
1
17. ln ; ' sec
1
8. ln
9. ( ) ln 1
2 310. ln( )
11. ln( )
12. ln( 1 )
13. ln sec 4
14. ln
y x
y x x
y x x
xy
x
y sen x
xy
x
senxy y x
senx
a xy
a x
f x x
xy
x
x ay
x a
y x x
y x
y
2
2
2
(2 3 8)
15. ln(sec tan ); ' sec
216. ln 9 2 ; '
9 2
sen x x
y x x y x
xy x y
x
2 2 2
2
2 2
2
4
17. ln ; '
18. ln ; ' 1 ln
219. ln
1
20. ln ; ' 2 (1 2ln )
21. ln 1
22. ln1
23. ln 5 2 3
24. ln( )
a bt aby y
a bt a b t
y x x y x
xy
x
y x x y x x
y x x
xy
x
y x x
y senx
28
Derivadas de funciones exponenciales
2
2 2
4
3 2
3
4 1
2
2 2
2 22
2 2
2
4 3 4 3
2 5
2
2 4
1.
2.
3. 3
44. ; '
( )
45. ; '
( 2)
6. ; '( )
7. ; ' (2 4)
8. ( 3 5)
9. (1 3 )
10.
11. (
x x
sen x
x
x x
x x x x
x x
x x
x x x
x x
x x x x
x
x
x x
x
y e
y e
y e
e ey y
e e e e
y e y ex
xe x e ey y
x e x e
y e y x e
y x x e
y e
y e
y e x
2
2
2
3
tan 2
3 7 1
3 4
2
2 2 2 2
2 2)
12. tan
13. tan 4
14.
15.
16. ( 1)
17. ln
18. (1 ) ; ' 4 (1 )
119.
1
x
x
x
x x
x
x
x x x
x
x
x
y e
y e x
y e
y e
y e
y e x
y e y e e
ey
e
2
1 2
2
tan
2
20. ( )
21. tan
22. sec
23.
24. cos5
25.
126.
x x
x
x
x
x
x
x
y e e
y e
y x e
y e
y e x
y e
ye
29
APLICACIONES DE LA DERIVADA
I. Calcular la pendiente de las siguientes curvas en los puntos que se indican:
2
3 2
3
2
2
2
2 2
2 2
3 2 3
1. 5 9;( 2,5)
2. 4 ;(2,8)
3. 4;(5,3)
4. 4;(1, 3)
5. ( 2) ;( 3,1)
(2 5)6. ;(2,9)
6 3
7. 5 4 ;(1,3)
8. 13;(2,3)
9. 2 28;(2,3)
10. 3 1;(2, 1)
11. ( ) ; (3,3)2
12. ( )
y x x
y x x
y x
y x
y x
xy
x
y x
x y
x xy y
x xy y
xf x
x
f x
3 3 ;(1,4)x x
II. Hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a las curvas siguientes en el
punto indicado:
3
3 2
2 2
2
2
2 2
1. 3 ;(2,2). .9 16 0; 9 20 0
2 32. ;(2,7)
3
3. 1;(2,3)
4. 4 3;(3,3)
5. 3 5 3;(1,2). .4 2 0; 4 9 0
6.2 16;(3,2)
7. 2 4 4 0;(1, 2)
8. 2 8 12 0;(0,2)
9.2 3
y x x sol x y x y
xy
x
y x
y x
y x x x sol x y x y
x xy y
y y x
y x y
x xy y
3
18;(3,1)
110. ;(4,8)
8y x
2
3 2
11. 64 ;(0,8)
12. 3 4 5 18;(2,0)
y x
y x x x
30
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Aplicando el criterio de la primera derivada, determine los puntos máximos y máximos
relativos de las siguientes funciones:
3
4 2
3 2
3 2
4 3 2
3 2
3 2
1. 2 12
2. 2 4 5
3. 2 3 12 5
4. ( ) 2 3 72 3
5. ( ) 3 4 12
6. 2 9 5
7. 3 9
y x x
y x x
y x x x
f x x x x
f x x x x
y x x
y x x x
4 3 2
3 2
3
8. ( ) 3 4 36 1
9. ( ) 3 1
10. ( ) 3 2
f x x x x
f x x x
f x x x
Aplicando el criterio de la segunda derivada, determine los puntos máximos y mínimos
relativos, los puntos de inflexión y la gráfica de las siguientes funciones:
3 2
3 2
3 2
3 2
2 3
3 2
3 2
3 2
3
3 2
3 2
3
3
1. ( ) 2 3 12
2. ( ) 3 3
3. 6 9 1
4. 2 15 36 20
5. 10 12 3 2
6. 2 3 12 7
7. 6 9 5
8. 3 3 1
9. ( ) 3
10. ( ) 3
11. 3 2
12. ( ) 12
13. ( ) 2 2
f x x x x
f x x x
y x x x
y x x x
y x x x
y x x x
y x x x
y x x x
f x x x
f x x x
y x x
f x x x
f x x x
2
3 2
4 3 2
12 7
114. ( ) 3 4
3
15. ( ) 6 24 2
x
f x x x x
f x x x x x
31
APLICACIONES DE LOS MAXIMOS Y MINIMOS
1. Una caja de base cuadrada con tapa debe ser construida con 192 cm2 de material. ¿Cuáles
deben ser las dimensiones de la caja para obtener el máximo volumen?, ¿Cuál es el máximo
volumen?
2. Se intenta bardear un campo rectangular con 600 m. de material y después subdividirlo en
dos partes con una barda paralela a uno de los lados. De todos los terrenos en los cuales se
puede hacer esta operación, ¿Cuales son las dimensiones del que tiene área máxima?
3. Hallar las dimensiones de un recipiente cilíndrico de latón de 1200 plg3 de capacidad, que
requiere la menor cantidad de material.
4. Un hombre puede arrendar sus 40 departamentos si la renta es de $100 mensuales cada uno.
Sin embargo, por cada $5 en que aumente la renta, arrendará un departamento menos. ¿Qué
renta debe cobrar para obtener el máximo ingreso?
5. Se debe construir una caja rectangular sin tapa de la siguiente manera: A una placa de estaño
de 10x16 pulgadas se le hará un pequeño corte cuadrado en las esquinas y enseguida los bordes
se doblan hacia arriba. ¿Cuál debe ser el tamaño de los cuadrados recortados para que la caja
tenga un mayor volumen posible?
6. El departamento de recreación de una ciudad planea construir un campo de juego rectangular
que tenga un área de 3600 m2
y rodearlo con un cercado. ¿Cuál sería la mínima cantidad de
cerca requerida?
7. Se desea construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y de 125cm3 de
volumen; hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima en
caso de que:
a) El recipiente sea abierto
b) El recipiente sea cerrado.
8. Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 250cm3. El material para la
base y la parte superior de la caja cuesta $2.00 dólares por cm2 y el material para los lados
cuesta $1.00 dólar por cm2. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para que el costo sea
mínimo?
9. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto sea máximo
10. La diferencia de dos números es 50. Elegir los dos números de modo que su
producto sea mínimo
11. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea mínima
12. ¿Qué número positivo x minimiza la suma de x y su reciproco?
13. Hallar dos números cuya suma es 12 y la suma de sus cuadrados sea mínima
14. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que su altura sobre el suelo después
de t segundos es:
32
I. s= -16t2+96t+880
II. s= -16t2+48t+160
III. s=-16t2+128t+320
IV. s=-16t2+64t+80
V. s=-4.9t2+84t+245
VI .s=-4.9t2+98t+320
Determinar en cada caso:
a) La velocidad y aceleración del objeto
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada?
c) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al piso?
d) ¿Con que velocidad llega al piso?
15. Una carga de dinamita impulsa una roca pesada hacia arriba, con una velocidad de
lanzamiento de 160 pies por segundo. Alcanza una altura de s = 160t-16t2 pies después de t
segundos:
a) ¿Qué tan alto llega la roca?
b) ¿Cuál es la velocidad de la roca cuando está a 256 pies sobre el suelo yendo hacia
arriba?, ¿yendo hacia abajo?
c) ¿Cuál es la aceleración de la roca en cualquier instante t?
d) ¿Cuándo toca el suelo la roca?
INTEGRALES DIRECTAS
Determine la integral indefinida de las siguientes funciones
33
7
4
2
1
3
3
4
5
5
22
2 3
3 4
2 3
2 2
1
3
2
2 3
3 2
1.
2. 3
3. 7
4. 2
5.
6. (7 )
7. (4 6 5)
38. ( 14 )
3 49. ( )
10. (1 )
11. (2 3 )
12. ( 2)
(2 3)13.
1 2 114. ( )
3 215.
16. ( 3
x dx
x dx
x dx
x dx
y dy
x dx
x x dx
x x dxx
dx
xx
x x dx
x x dx
x x dx
xdx
x
dxx x x
x x x xdx
x
x
2
2
2
3
1 1
3 3
2 2
2
)( 1)
17. (2 )(3 )
18. (7 5 3)
19. ( 1)
20. (1 )
5 221.
122. ( )
x dx
x x dx
x x x dx
x x dx
x dx
x xdx
x
x dxx
34
4
5 3
1
2 22
5 7
2 3
3
4 2
32 2
5 33 22 22
3
23. ( 3)
24. (2 2 6)
2 325. (5 7 )
3 226.
3 1 127. ( )
28. (1 2 3 )
729. ( 3 5)
30. ( 2) ; 2 43
4 8 331. (2 4 3 2) ; 2
5 3 2
2 432.
x x dx
x x x dx
x x dxx x
xdx
x
dxx x x
x x dx
x x dxx
xx dx x x c
x x xx x x dx x c
x x
x
3
5
2
2 3
333. ( )
4
34. ( )
35. ( )
dx
xdx
x
y y a dy
x x x dx
Integración por sustitución 3
2
32
3
2
2 9
2 164
4
2
( 2)1. ( 2) ;
3
(2 3)2. (2 3) ;
6
3. ( 3)
4. 3 2
5. (5 4)
6. 5 (3 7 )
7. (3 7 )
8. (2 3 )
9. (5 2)
xx dx c
xx dx c
x dx
xdx
x x dx
x x dx
x x dx
x dx
x dx
35
2
3
2
2 3
2
23
3
4 2
2
2
3 23
2 3
2
3
2
10. (3 4 )
11. 2 3
12.5 7
13.4
14. ( 3)
15. (2 )
16. 2 5
17. 5 4
218.
( 3)
319.
5
220.
3 4
21.( 1)
22. 3 4
23.( )
124.
2
25
x dx
ydy
dx
x
dx
b x
y y dy
y y dy
x x dx
y y dy
x dx
x
axdx
x
y ydy
y y
zdz
z
w w dw
dx
a bx
xdx
x x
2 3 2
3
4 2
4
5 2
2
3
2
2
. ( )
126.
( 4 )
5 1027.
5
28.2 3
29.1
330.
6
x a bx dx
xdx
x x
y ydy
y y
ydy
y
zdz
z
xdx
x x
36
3
2
2
2
3
2
3
4
2
3
2
3
2
2
31.1
32. ( 2)
33.3 2
4 434.
3 6
35.3 2
236.
1
2 137.
( 1)
538
15 2
39.5 2
40.5
41.
2 342.
3
dy
y
x dx
xdx
x
wdw
w w
xdx
x
xdx
x
xdx
x x
xdx
x x
dy
y
x dx
x
ydy
a by
ydy
y y
Integración de funciones trigonométricas directas
1. (2 )
2. cos(3 )
3. tan(5 )
4. csc(6 )
5. sec(8 ) tan(8 )
6. csc(6 )cot(6 )
7. cot( )5
28. ( )
3
sen x dx
y dy
x dx
x dx
x x dx
x x dx
xdx
sen x dx
37
2
2
2
2 3
2
2
2
2
9. sec (2 )
10. csc (3 )
11. cos(5 )
12. cot(3 1)
13. csc (5 2)
14. cos( )
15. sec( ) tan( )2 2
16. ( )
17.cos (4 )
2 218. csc( ) cot( )
3 3
19. cos( )2
20. sec( )
21.( )
22. sec
x dx
x dx
x dx
x dx
x
x x dx
x xdx
xsen x dx
dy
y
x x dx
xdx
x x dx
dy
sen y
2
2
2
2
2
2
(3 ) tan(3 )
23. (tan( ) sec( ))
24. (tan( ) cot( ))
25. sec (5 )
26. csc (2 3 )
3 327. csc( ) cot( )
4 4
28.tan(3 )
29.cot(2 )
30.(5 )
31. (sec( ) 1)
x x dx
x x dx
x x dx
x dx
x dx
x x dx
dx
x
dx
x
dx
sen x
x dx
38
Integración por sustitución (Funciones trigonométricas)
3
2
2 2
2
2
3
5
3
1. ( ) cos( )
2 cos ( ) ( )
3. tan sec
4. sec (3 ) tan(3 )
5. (5 )cos(5 )
6. cot( ) csc ( )2 2
7. sec(2 )sec(2 ) tan(2 )
8. sec ( ) tan( )
9. (2 ) cos(2 )
cos(2 )10.
(2 )
cos11.
sen x x dx
x sen x dx
x xdx
x x dx
sen x x dx
x xdx
x x x dx
x x dx
sen x x dx
xdx
sen x
4
2
3
2
2
2
(3 )
(3 )
(3 )12.
cos (3 )
csc ( )13.
3cot( ) 2
2 3tan( )14.
cos ( )
( )15.
cos( ) 1
sec ( )16.
1 2 tan( )
(3 )17.
cos(3 ) 1
csc( ) cot( )18.
2 3csc( )
sec (5 )19.
2 3 tan(5 )
se20.
xdx
sen x
sen x
x dx
zdz
z
xdx
x
sen xdx
x
xdx
x
sen tdt
t
x xdx
x
xdx
x
c(3 ) tan(3 )
2sec(3 ) 2
x xdx
x
39
Determine la integral indefinida de las siguientes funciones exponenciales
2
4
2
2
5 7
2 1
2
9
3
7
2
3
3 2
2
3
2 1
4
sec(2 )
cos(
1. 12
2.
3.
4.
5. 2
6.
47.
8. 5
9.
10. 8
11.
12. ( 1)
13. (1 )
14.
15.
16. sec(2 ) tan(2 )
( )17.
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
e dx
e dx
e dx
dy
e
e dx
xe dx
dxe
e dx
e dx
x e dx
e e dx
e dx
e dx
e dx
xe dx
e x x dx
sen x
e
)
3
3 2
18.3
19.(1 2 )
20.1
21.2
222.
2 4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
edx
e
edx
e
edx
e
edx
e
edx
e x
40
Integrales que producen funciones trigonométricas inversas
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
2
2
2
2
6
2
2
2
2
1.4
2.9
3.16
4.9
5.4 9
6.16 9
7.4 1
8.9 4
49.
2
10.( 2) 4
11.9 ( 2)
12.2 5
413.
4 9
514.
9 25
215.
4 ( 2)
316.
4 16
317.
25
18
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
xdx
x
dx
x
dx
x
dy
y y
xdx
x
dxx
dxx
dxx
dxx
2.
16 ( 6)
dx
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
19.25 4
20.16 9
21.4 (1 2 )
22.16
23.4 9
24. 4 9
25. (3 1) 2
26.4 3
27.4 13
28.2 5
29.8 7
30.4 2
31.1
2 132.
1
3 133.
3 9
734.
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x x
dt
t t
t dt
z dz
dy
y y
dx
x x
dx
x x
dx
x x
dx
x x
dy
y y
xdx
x
tdt
t
2
2
1 5
xdx
x
41
Integración de funciones trigonométricas. Casos especiales
Caso I a) ( ) ; cos ( )n
msen u du u du (donde n es un entero positivo impar)
3
3
5
3
5
3
1. ( )
2. cos ( )
3. ( )
4.
5. 4
6. cos (5 )
sen x dx
x dx
sen x dx
sen ydy
sen xdx
y dy
Caso I b) (n es un entero positivo par) 2
4
1. ( )
2. cos ( )
sen x dx
x dx
4
2
4
6
3. (3 )
4. cos (5 )
5. cos (2 )
6. ( )
sen x dx
x dx
x dx
sen x dx
Caso II. a) ( )cos ( )m nsen x x dx Si m o n son enteros positivos impares y el otro exponente es
un número cualquiera 3 4
2 3
3 3
7 2
5 2
4 3
1. ( ) cos ( )
2. ( ) cos ( )
3. ( ) cos ( )
4. (3 )cos (3 )
5. cos ( ) ( )
6. (2 )cos (2 )
sen x x dx
sen x x dx
sen x x dx
sen x x dx
x sen x dx
sen x x dx
Caso II. b) Si tanto m como n son pares 2 4
4 4
4 2
2 4
2 2
1. ( ) cos ( )
2. (2 )cos (2 )
3. ( ) cos ( )
4. (5 )cos (5 )
5. (3 )cos (3 )
sen x x dx
sen x x dx
sen x x dx
sen x x dx
sen x x dx
42
Caso III. tan ( ) ; cot ( )n nx dx x dx
3
4
7
5
6
1. tan ( )
2. cot ( )
3. tan ( )
4. tan (3 )
5. cot (2 )
x dx
x dx
x dx
x dx
x dx
Caso III. sec ; cscn nudu udu
4
4
6
6
1. sec 3
2. csc 3
3. sec 7
4. csc
xdx
xdx
xdx
xdx
Caso IV. a) tan sec ; cot cscm n m nu udu u udu a) n par; m cualquier número
4 4
4
4 6
4
3
4 4
1. tan ( )sec ( )
sec ( )2.
tan( )
3. sec ( ) tan ( )
sec ( )4.
tan ( )
5. cot (3 )csc (3 )
x x dx
xdx
x
x x dx
xdx
x
x x dx
Caso IV. b) M impar; n cualquier número
5 3
3 3
3
3 4
3
5 2
1. tan ( )sec ( )
2. tan (3 )sec (3 )
3. cot( ) csc ( )
4. tan ( )sec ( )
5. tan (2 )sec(2 )
6. tan (3 )sec (3 )
x x dx
x x dx
x x dx
x x dx
x x dx
x x dx
43
Caso V. cos ; ; cos cos ;senmx nxdx sexmxsennxdx mx nxdx m n
1. (5 ) (3 )
2. (2 )cos(4 )
3. cos(4 )cos(3 )
4. (4 ) (3 )
5. (7 )cos(3 )
6. cos(9 )cos(5 )
sen x sen x dx
sen x x dx
x x dx
sen x sen x dx
sen x x dx
x x dx
METODOS DE INTEGRACIÓN
Integración por partes.
Determine la integral indefinida de las siguientes funciones
1
1
2
1
2
3
1
7
5
5
1. cos
2.
3. cos
4. ln
5. tan
6.
7.
8. se
9. ln
10. sec
11.
12. 1
13. tan 3
14.
15. ( 3)
16. cos3
17. ( 9)
18. ln
19. 5
x
x
x
x
x xdx
xsenxdx
xdx
x xdx
xdx
xe dx
xe dx
n xdx
xdx
x xdx
xe dx
x x dx
xdx
e senxdx
x x dx
x xdx
x x dx
x xdx
x x
20. cos 4
dx
x xdx
44
2
2
2
3
21.
22. cos
23. (ln )
24. sec
25. cos
x
x
x e dx
x xdx
x dx
xdx
e xdx
Integración por sustitución trigonométrica
2
2
3
2 2
3
2 2
2
3
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
1.4
2.4 9
3.
(9 )
4.
( 2)
5. 4
6.
(5 )
7.9
8.5
9.9
10.7
11.4
xdx
x
dx
x x
dx
x
dx
x
x x dx
dx
x
xdx
x
dx
x x
xdx
x
dx
x x
xdx
x
Integración por fracciones parciales
Caso I. Factores lineales no repetidos
3 2
3 21.
2
xdx
x x x
45
3 2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2 32.
2
13.
5
14.
36
2 15.
( 3 2)
166.
2 8
17.
( 4)
18.
( 5)( 3)
19.
4 12 5
110.
( 1)( 2))( 3)
111.
212.
4
2 313.
6 7
5 314.
xdx
x x x
dxx x
dxx
xdx
x x x
xdx
x x
xdx
x x
dxx x
dxx x
x xdx
x x x
dxx x
xdx
x x
xdx
x x
x
x
2 2 3
2 115.
( 1)( 2)( 3)
dxx
xdx
x x x
Caso II. Factores lineales repetidos
3 2
2
2
2
2
2
11.
3
4 3 12.
( 1)
3.( 2)
3 54.
( 1)( 1)
dxx x
x xdx
x x
zdz
z
x xdx
x x
46
2
2
2
2
2
2
3 2
3 2
3
3 75.
( 1) (2 3)
5 36
4 4
17.
( 1)
28.
( 1)
3 6 29.
2
4 2 110.
( 2)( 1)
x xdx
x x
xdx
x x
dxx x
xdx
x x
x xdx
x x x
x x xdx
x x
Caso III.
3
3
2
3
2
2
2
2
3
41.
4
2.2
4 63.
3
6 3 14.
(4 1)( 1)
2 8 85.
( 2)( 4)
46.
4
dxx x
dx
x x
xdx
x x
x xdx
x x
x xdx
x x
xdx
x x
Caso IV. 2
2 2
3
2 2
3
2 2
5
2 2
5 3
2 3
6 15 221.
( 3)( 2)
2 32.
( 1)
33.
( 1)
4.( 4)
45.
( 2)
x xdx
x x
x xdx
x
x xdx
x
xdx
x
x xdx
x
47
INTEGRAL DEFINIDA 4
1
12
0
32
1
43
0
32
0
32
2
32
2
14 3
0
1. 2
2. ( 1)
3. ( 4 3)
4. (16 )
5. (3 4 1)
6. (6 )
7. ( 5)
8. ( 3 1)
xdx
x x dx
x x dx
x x dx
x x dx
x x dx
x dx
x x dx
23 2
0
4
23
32 2
0
12 3
0
25
32
3
22
23
4
9. ( 3 3)
10.25
11. ( 4)
12. 8 ( 1)
13.5
214.
1
15. sec
x x x dx
xdx
x
x x dx
x x dx
xdx
x
xdx
x
xdx
Área bajo una curva
Determine el área bajo la curva que tiene por ecuación la que se indica, desde x=a hasta x=b.
2
3 2
2 2
3 2
2 2
1.y=6x+4 x=2 ; x=8
2.y=1+x x=-1 ; x=1
153.y=x x=1 , x=2 ; A=
4
644. x=0 , x=4 ; A=
3
815. 9 ; x=0 , x=3 ; A=
4
1286. 8 ; x=4 , x=8 ; A=
3
7. 25 4 ; x=0 ,
u
y x u
y x x u
y x x u
y x
262 x=6 ; A=
3u
48
Área entre dos curvas
Determine el área comprendida entre las curvas cuyas ecuaciones se indican
2
2
2 2
1. 5 ; y=x-1
2. 2 ; y=-x
93. 2 ; y=x sol. A=
2
y x
y x x
y x u
2 2
3 2
94. ; 4y=3x sol. A=
128
5. ; y=4x sol. A=8u
y x u
y x
Integrales múltiples
2
2
2
12
00
2
2
01
1
01
32 5
2
1 22
1 11
00
11 1
0 0 0
1. ( 2)
2.
3. ( )
4.
5.
6.
y
x
x
y
yx
x dxdy
ydxdy
x y dxdy
xy dzdxdy
xdzdxdy
zdzdydx
