Resistencia de Materiales I UAP

Método de Área de Momentos

Introducción

El conocimiento del cálculo de giros y desplazamiento es necesario para poder entender los efectos que producen las cargas externas en el interior de la viga.

El presente trabajo está basado en uno de los métodos para calcular el giro y desplazamientos en cualquier punto de una viga sometida a cargas utilizando el diagrama de momentos.

Orígenes

Entre los siglos XV y XVI se destaca Leonardo da Vinci, posiblemente el genio más versátil de todos los tiempos. Fue el primero en introducir el concepto de: “momento de una fuerza” y prácticamente fijó el principio denominado “tercera ley del movimiento de Newton”.

Sus esfuerzos dieron resultados en campos tan diversos como: la pintura, la escultura, la anatomía, la astronomía, la Física, la botánica, la cartografía, estudios de la atmósfera, canales y edificaciones e interpretación de fósiles.

También estudio la flexión de vigas apoyadas en sus extremos y la resistencia de vigas en voladizo; la resistencia de alambres de varias longitudes; hizo algunas investigaciones sobre la resistencia de las columnas, estableciendo que ésta varía inversamente con su longitud y directamente con alguna relación de su sección transversal.

En el siglo XVI Andrea Palladio usó las primeras cerchas en la construcción de puentes y techos de edificaciones, aunque sus diseños no tenían como base un análisis racional. En su obra el mismo Palladio expresaba que para su dimensionamiento y concepción, ”no es posible establecer reglas ciertas y determinadas”3. Antes solo se usaban en la construcción vigas, columnas, arcos y cúpulas. Sin embargo se necesitaron dos siglos más para que los constructores se dieran cuenta de la importancia de esta nueva forma estructural y fuera usada masivamente.

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Palladio, puente en madera sobre el río Cismone

En el capítulo VII del libro tercero de su obra: Quatro Libri del l´Architettura, Palladio comenta sobre el puente sobre el río Cismone, cerca a Trento, de 30 m de luz, cuyo esquema se muestra en la figura 1.3:

Los puentes de esta clase son muy sólidos, bellos y cómodos. Su fuerza consiste en que todas sus partes se sostienen mutuamente, el entrelazado de todas sus piezas es muy bello y lo que los hace ser cómodos es que su piso se encuentra al nivel del camino de tierra firme.4

Simon Stevin (1548-1620), ingeniero belga, merece ser mencionado pues introdujo el principio del “triángulo de fuerzas” y escribió sobre varios temas de Estática e Hidrostática.

Galileo Galilei (1564-1642) inauguró la edad de la razón en el análisis estructural. Fue el primero en estudiar la resistencia de los sólidos a la rotura, creando, por así decirlo, la Mecánica de Materiales. En su segundo libro: “Diálogos sobre Dos Nuevas Ciencias”, discutió el problema de la viga en voladizo bajo su peso propio y una carga concentrada en el extremo. Consideraba que la viga permanecía rígida, excepto en la sección de falla y que la compresión se concentraba en la parte inferior de esta sección, con una tensión constante en el resto de ella. Este problema denominado “El problema de Galileo” no fue resuelto correcta y completamente sino en 1855. Aunque sus resultados no fueron correctos, su trabajo llamó

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la atención sobre la existencia e importancia de lo que denominamos la mecánica de los materiales.

I. Generalidades

1.1 Objetivos:

El objetivo principal es aplicar los conocimientos previos de diagramación, en este caso del momento flector, para calcular pendientes y deflexiones en una viga sometida a cargas puntuales o distribuidas.

a) Teorema 1:

· Entender la relación de la curvatura con la pendiente de la elástica.· Establecer las condiciones iniciales, de giros, y utilizar medios diferenciales para el cálculo de la pendiente.

b) teorema 2:

· Establecer una relación entre la curva y la deflexión.· Calcular el desplazamiento vertical de la elástica usando el diagrama de momentos.

1.2 Glosario

a) Módulo de elasticidad: (E)

El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que se aplica una fuerza. Siendo una constante independiente del esfuerzo y es siempre mayor que cero.

b) Eje neutro:

Es la intersección de la superficie neutra (superficie que no sufre deformación e=0) con la sección transversal.

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c) Curva elástica:

Llamada también Elástica. La ecuación de la elástica es la ecuación diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la forma concreta de la curva elástica. Concretamente la ecuación de la elástica es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada o flectada final.

d) Giro (θ):

Al trazar rectas tangentes a la curva elástica estas forman con la horizontal ángulos muy pequeños, estos ángulos son los ángulos de giro de la curva elástica.

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II. MARCO TEÓRICO

Método De Área Momento

Este método se basa en la relación que existe entre el momento M y la curvatura y proporciona medios prácticos y eficientes para calcular la pendiente y la deflexión de la curva elástica de vigas y pórticos.

El método tiene dos teoremas. El primero relaciona la curvatura con la pendiente de la curva elástica y el segundo la curvatura con la deflexión.

De la ecuación general de flexión tenemos:

Integrando:

Tengamos presente que curvatura de un elemento viga.

2.1.Teorema 1:

El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica.

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: Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A.Se mide en radianes.Áreas positivas indican que la pendiente crece.

2.2 Teorema 2:

Por teoría de los ángulos pequeños tenemos:

, si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B.

Momento de primer orden con respecto a A del área

bajo la curva de entre A Y B.

El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la

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curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro

punto B, es igual al momento del área bajo la curva entre los puntos Ay B con respecto a un eje A.Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por articulaciones.Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha.

III. EJERCICIOS

1.- Para la siguiente viga determinar la deflexión y rotación en el punto C en función de EI.

 

 

 

adimensional (radianes)

condición de apoyo

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Flecha = momento de primer orden con respecto a B

si

por no existir momento en ese tramo.

 

Ejercicio

D

 

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 Determinar y

 

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20/EI

 

M/EI

 

YD

 

∆C/A

 

∆D/A

 

θD/A

 

DESVIACIÓN POSITIVA

NEGATIVA

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remplazando en 1:

 

Busquemos el punto de tangencia cero, , punto de

 

 

Viga conjugada:

 

Recordando las relaciones entre carga, cortante y momento tenemos:

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la pendiente del diagrama de momentos es el cortante

la pendiente del diagrama de cortante es la carga

Variación del momento = área bajo la curva de cortante

Para hallar el momento se integra la curva de cortante

V = para hallar el cortante se integra la curva de carga

 

Si una viga la cargamos con una carga ficticia W igual a la curva del diagrama de momentos dividido EI, entonces podemos decir:

: área bajo el diagrama de cortante de la viga cargada con:

y: diagrama de momentos de la viga conjugada

: área bajo el diagrama

: diagrama de corte de la viga conjugada

 

 

 

 Análogas con las vigas

 

 

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 Ejercicios método del área momento

 

 

 

 

 

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desplazamiento para debajo de la viga.

    

 Cambio de temperatura

 

Despreciar deformaciones axiales, sólo por curvatura.

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para aumento de temperatura en la fibra superior concavidad

 

   

  

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Ejemplos

 

Le marco de acero de la figura se somete a una carga constante de temperatura en el mismo miembro superior.

Despreciando la deformación axial calcule

 

 

 

   

 

 

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IV. ANEXOS:

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El techo proporciona una carga distribuida a la viga, siendo ésta menor en los extremos y mayor en el centro de la viga, a esto se suma el peso propio del techo. La acción del viento sobre el techo también presenta un tipo de carga distribuida sobre la viga.

La viga transmite la carga a la columna, en los apoyos de esta la deflexión es nula.

Este ensayo demuestra la gran deflexión que sufre la viga en su centro al momento de fallar.

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TEOREMA DE MOHRLas deformaciones hay que limitarlas al igual que las tensiones, bien por razones de seguridad, de mantenimiento o simplemente de estética. Así, en numerosos casos, los elementos estructurales se dimensionarán aparte de a Resistencia, limitando sus tensiones máximas, (tal y como hemos visto en el tema anterior), a RIGIDEZ, haciendo que las deformaciones máximas no sobrepases unos determinados valores admisibles. En diferentes normativas se fijan los valores admisibles de las deformaciones para diferentes elementos estructurales. Con el estudio de las deformaciones de una viga a Flexión, calcularemos los GIROS (θz , θy ) que sufren las secciones transversales alrededor del eje neutro y las FLECHAS o DESPLAZAMIENTOS (y, z) de sus centros de gravedad.

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Teoremas de MohrLos teoremas de Mohr, describen la relacion entre el momento flector y las deformaciones que este produce sobre una estructura. Los teoremas de Mohr permiten calcular deformaciones a partir del momento y viceversa. Son metodos de cálculo validos para estructuras isostaticas e hiperestaticas regidas por un comportamiento elastico del material.Usualmente estos teoremas conocen como Teoremas de Mohr, sin embargo fueron presentados por el matemático britanico Green en 1873.

Primer teorema de MohrPermite obtener el giro relativo entre dos secciones de una barra prismatica.El angulo _AB entre las tangentes a la curva elastica en dos puntos A y B dela misma, viene dado por el area del diagrama de momentos ectores comprendidaentre ambos puntos, dividida por EIy

La demostraci_on es sencilla. De acuerdo con la ley de Hooke, la tension en cualquierpunto de la seccion transversal de la barra es:

siendo ex la deformacion unitaria del punto considerado. La hipotesis de Navier-Bernoulli puede expresarse como

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Sustituyendo, se obtiene:

Teniendo en cuenta que el ector actuante sobre la secci_on es est_aticamente equivalente a la distribuci_on de tensiones sobre la secci_on, se obtiene:

siendo b el ancho de la seccion transversal en el punto considerado e Iy el momentode inercia de la secci_on transversal respecto al eje y. Despejando d_ de (13.17) seobtiene el _angulo diferencial entre dos secciones separadas ds.

Al ser los desplazamientos peque~nos, se puede sustituir el arco ds por la distanciahorizonal dx ; integrando entre los puntos A y B se obtiene:

donde la integral representa el _area del diagrama de momentos ectores comprendidaentre ambos puntos, dividida por EIy.CASO PARTICULAREn el caso de que el módulo de rigidez de la viga sea constante: E.Iz = cte, la ecuación º1 se podrá expresar también de la siguiente manera:

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Esta ecuación que nos dice: “el ángulo θz (AB) que forman entre sí dos secciones de la viga flexionada, es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendida entre A y B: ) ( M AB S , dividido por el módulo de rigidez de la viga: E.Iz”

Observaciones: 1º.- En las expresiones del primer teorema de Mohr se consideran positivos los ángulos θz que vayan en sentido horario, siempre que la sección A esté situada a la izquierda de la sección B. 2º.- En el caso de una viga en la que conozcamos una sección que no gire (por ejemplo casos de empotramientos), podremos conocer mediante este teorema, de forma directa, el giro de cualquier otra sección de la misma

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR: La mìnima distancia desde un punto A de la curva el_astica hasta la tangente a otropunto B de la curva el_astica, es igual al momento est_atico del _area del diagrama demomentos flectores respecto del punto A, dividido por EIy

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Para demostrar este teorema, se comprueba que la m__nima distancia dw desde elpunto A de la curva el_astica a la tangente a la el_astica en el punto de abscisa x+dx,que se muestra en la Figura

Aplicando el primer teorema de Mohr e integrando (13.21) entre los puntos A y Bse obtiene la distancia m__nima desde el punto A de la curva el_astica a la tangente ala el_astica en el punto B. Por la hip_otesis de peque~nos desplazamientos se aproximadicha distancia a la medida entre el punto A de la curva el_astica y la intersecci_on dela vertical trazada por A con la tangente en B.En aquellos casos en que la ley de momentos ectores sea sencilla, las _areas ymomentos est_aticos de la misma pueden ser calculados f_acilmente sin necesidad de

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realizar las integrales. Los sentidos de los desplazamientos y giros se pueden obtenera partir de las dos reglas siguientes:Teniendo en cuenta el criterio de signos adoptado para los momentos en unasecci_on de la pieza y asociando estos mismos signos a las _areas de los diagramasde momentos ectores, un _area total positiva corresponde a un giro antihorariode la tangente a la el_astica en el punto B respecto a la tangente a la el_asticaen el punto A.Tomando como positivas las distancias que van en el sentido positivo de lasabscisas x, un momento est_atico total positivo supone que el punto A de laelastica est_a por encima de la tangente a la curva el_astica en el punto B

Caso particular: En el caso de que el módulo de rigidez de la viga sea constante: E.Iz = cte, la ecuación º1 Se podrá expresar también de la siguiente manera:

ecuación que nos dice: “la distancia en vertical: δBA que hay desde un punto B de la elástica a la tangente en otro punto A de la misma, es igual al momento estático respecto del primer punto B del área del diagrama de momentos flectores comprendida entre ambos puntos: M AB QB , dividido por el módulo de rigidez a flexión de la viga: E.Iz”

Observaciones: 1º.- En las expresiones del segundo teorema de Mohr, cuando δBA>0, indicará que el punto B está situado por encima de la tangente en A, independientemente, en este caso, del orden en que estén situados los puntos A y B. 2º.- En el caso de una viga en la que conozcamos una sección que no gire (por ejemplo casos de empotramientos), podremos conocer mediante este teorema, de forma directa, la flecha en un punto cualquiera de la misma.

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3º.- Si la flexión de la viga fuera debida a un momento flector My y por tanto la elástica estuviera en el plano xz las expresiones de los teoremas de Mohr serían las mismos, sin más que cambiar: Mz → My E.Iz → E.Iy y los giros y flechas obtenidos serían: θz → θy y → z 4º.- Si la flexión de la viga fuese debida a Mz y My conjuntamente se procedería de forma análoga a lo indicado para los otros dos métodos expuestos.

DIAGRAMA DE MOMENTOS CORTANTES Y FLEXIONANTES

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CALCULO DE DEFORMACIONES EN VIGAS ISOSTATICAS

Estructuras isostáticasComo se ha dicho anteriormente, las estructuras isostaticas son aquellas en las cualeslas ecuaciones de equilibrio de la estatica son suficientes para determinar los esfuerzos axiles en todas las barras, asi como las reacciones.

Metodologia general de analisis. Matriz de conexionPara fijar ideas, considerese la estructura articulada isostatica representada en la Figura. Supóngase que en dicha estructura se han numerado los nudos y las barras(ambos de forma independiente). Es evidente que puesto que la reacción en el nudo4 es horizontal, el apoyo en dicho punto puede sustituirse por una barra horizontal de

rigidez (producto EA=L) in_nita. Asimismo, el apoyo 5 puede sustituirse por dos barras, una horizontal y otra vertical, de rigidez tambien infinita. Logicamente,los valores de las reacciones en ambos puntos coincidiran con el valor del esfuerzo axil en las barras ficticias. Este simple artificio facilitara el calculo.En el caso particular de que algun apoyo fuera elastico, la barra ficticia correspondiente tendra una rigidez igual a la rigidez del apoyo elastico, es decir, si R = -kd, se tendra que EA=L = k.Dentro de una barra cualquiera, se denominara extremo A al de menor numeraciónglobal, y extremo B al de numeración global mayor. Al mismo tiempo, los ejes localesse elegiran de forma que el sentido del vector base e1 sea el que va del extremo A al BSi se denomina NI al esfuerzo axil en la barra I, es evidente que la fuerza axil que actua en el extremo B vendra dada en coordenadas globales por NIeI 1, mientrasque la que actua en el extremo A valdra –NieI.

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Con las consideraciones y definiciones anteriores, es ya posible ir nudo a nudo paraestablecer las correspondientes ecuaciones de equilibrio. Asi por ejemplo, en la figurapueden verse las fuerzas axiles de extremo de barra de las piezas que concurren enel nudo 2, asì como las fuerzas que actuan en el nudo. Por equilibrio, es evidente que

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la suma de todas las fuerzas que actuan en el nudo debe ser cero, o lo que es lo mismo:la fuerza externa F2 que actua en el nudo debe ser igual a la suma de las fuerzas de extremo de barra que concurren en el, es decir:

Análogamente para los demás nudos:

Las anteriores ecuaciones forman un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas:

que también puede escribirse como:

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Sistema que, resuelto, proporciona el valor de las incógnitas N, es decir, los valoresde los esfuerzos axiles y de las reacciones.A la matriz Co se le denomina matriz de conexión del sistema isostático, la cual enun caso general se forma de la siguiente manera: Obsérvese que las de Co hacen referencia a nudos, mientras que las columnas hacen referencia a barras,por lo que el elemento (i; J) de Co se re_ere al nudo i y a la barra J. Su valor será0 si la barra J no concurre al nudo i

si la barra J concurre al nudo i, y dicho nudo corresponde al extremo B (extremode numeración mayor) de la barra J.

si la barra J concurre al nudo i, y dicho nudo corresponde al extremo A (extremo de numeración menor) de la barra J

Respecto a la matriz de conexión Co, es importante recalcar que es cuadrada debidoa que la estructura es isostática. En el caso de una estructura hiperestática será unamatriz con más columnas que las. Por el contrario, en el caso de un mecanismo setendrán más filas que columnas. Podría también darse el caso de una estructura en que Co fuera cuadrada pero singular. En tal caso se estará en presencia de una estructura crítica.

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