patrones 03

5/10/2018 patrones 03 - slidepdf.com

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INSTITUTO SUPERIOR SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE

CURSO A DISTANCIA: “UN CAMINO HACIA EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN”

CLASE 3

Mendoza 444 – Rosario – Santa Fe – ArgentinaTel. y Fax 0341-4245631 – www.lasalleterciario.com..ar

LA GEOMETRÍA Y SUS PATRONES

El estudio de las regularidades ofrece un amplio campo para la inserción, no

sólo de los conceptos aritméticos, sino de una amplia gama de otros, no menos

importantes, conocimientos matemáticos, como por ejemplo aquellos

pertenecientes al campo de la geometría.

PROPUESTA DE ACTIVIDAD 11

Objetivo: Reconocer y crear dibujos, guardas, etc., usando simetrías,

traslaciones y rotaciones.

Desarrollo: Para llevar a cabo esta actividad es necesario que los alumnos

aporten muestras de papel para decorar paredes, guardas, embaldosados,

alfombras, etc.

La tarea consiste en analizar los diferentes diseños, detectando la unidad

que los genera, para poder reproducirla y aplicarla a nuevos dibujos. Una vez

reconocida la unidad se estudian las transformaciones que le fueron aplicadas para

obtener ese diseño.Se propone a los alumnos crear una guarda para decorar el aula. Una vez

terminada la tarea se analiza cada patrón. Estas pueden ser algunas preguntas:

¿Cuál es la parte del dibujo que se repite constantemente?

¿Quién ha usado traslaciones en su guarda?

¿Y simetrías?

Si en este dibujo se hubiera usado una traslación, en lugar de una simetría

¿cómo hubiera resultado?

Si se cubre esta parte de la guarda ¿ podría saberse cómo continúa? Otra forma de trabajar estos patrones es pidiéndoles a los alumnos que

realicen el mismo dibujo en cuatro hojas cuadradas y luego los combinen

utilizando distintas transformaciones.

Tomemos el siguiente ejemplo y algunas de sus posibles combinaciones.

– [email protected] 1





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ACTIVIDAD PARA EL DOCENTE 3

Busque 3 ejemplos de patrones geométricos en el medio que lo rodea,

busque el dibujo unidad y analícelo.

Cree 4 dibujos base como presenta el ejemplo de la actividad propuesta

anterior y proponga varias combinaciones posibles indicando las transformaciones

realizadas.

Busque en internet imágenes correspondientes a los embaldosados y

guardas del castillo de la Alambra de Granada. Observe los patrones y realice un

análisis de algunos de ellos.

Visite páginas en internet que muestren imágenes del Palacio de la

Alhambra

Visitar: www.elmonasterio.org/escritos/2005/08/03/53

http://201.116.18.153/laciencia/matematicas_sec/mg_patrones/patrones.htm


Objetivo: Expresión y generalización de patrones utilizando lenguaje

simbólico.

Desarrollo: Se prepara un cuadrado de 8 x 8 y se coloca el borde de la

siguiente manera:

¿ Cuántas unidades cuadradas tiene la figura?

¿ Y el borde?

Escribe una expresión que permita describir y calcular el número de

cuadrados del borde.

Se deja trabajar al alumno libremente, buscando su propia “fórmula”, por

así decirlo, que luego se constratará con las de sus compañeros degrupo, en una puesta en común.

http://www.elmonasterio.org/escritos/2005/08/03/53



http://www.elmonasterio.org/escritos/2005/08/03/53





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A continuación se explora sobre otros cuadrados (6x6, 9x9, 10x10, etc.)

esta tarea puede ser llevada a cabo en grupos pequeños. Elinterrogatorio que el docente desarrolla debe orientar el proceso de

exploración para alcanzar el objetivo propuesto.

Si el número de unidades cuadrada del interior de la figura es 100

¿ cuántas tendrá la totalidad de la figura?

¿Y su borde?

¿Puede tener el cuadrado original 40 unidades cuadradas? ¿por qué?

La idea es ir conduciendo la investigación para encontrar relaciones

entre el número de unidades cuadradas del cuadrado original, su interior

y su borde.

Por último, llega el momento de la generalización.

Los matemáticos suelen usar expresiones como cuadrado de nxn, ¿ a

qué se refieren en ese caso?, ¿ qué se entiende por un cuadrado de

nxn?

¿ Cuántas unidades corresponden al borde de un cuadrado de nxn?

¿ Y al interior?

¿ Cómo se pueden expresar ambas relaciones?

ACTIVIDAD PARA EL DOCENTE 4

Sigamos estudiando, les propongo resolver la actividad anterior.

Números triangulares

Los números están íntimamente relacionados con la geometría. A algunos de

ellos se les atribuye incluso formas. Se habla de números rectangulares, cuadrados,

triangulares, ...

Se pueden encontrar números que forman triángulos colocando filas de

fichas, unas debajo de las otras. En la primera fila se pone una ficha, en la segunda

se ponen dos, en la tercera tres, y así sucesivamente. Los números totales de

fichas que se obtienen en cada paso reciben el nombre de números triangulares.

Así pues, los cuatro primeros números triangulares son el 1, el 3, el 6, y el 10.

** * *

* * * * * *

* * * * * * * * * *1 1 + 2 = 3 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10





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¿Cuál es el décimo número triangular?

Una manera de saberlo sería naturalmente haciendo la suma:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

Pero también se puede dar una respuesta geométrica a esta pregunta .

Observemos que tomando dos veces el décimo número triangular se forma un

rectángulo de base 10 fichas y de altura 11 fichas.

X X X X X X X X X XO X X X X X X X X XO O X X X X X X X X

O O O X X X X X X XO O O O X X X X X XO O O O O X X X X XO O O O O O X X X XO O O O O O O X X XO O O O O O O O X XO O O O O O O O O XO O O O O O O O O O

De esta forma se obtiene la siguiente fórmula:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 10.11/2 = 55


¿ Cuál de los siguientes cuadrados continúa en las secuencias que se indican acontinuación?

1 2 3 4

1)

2)

3)





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4)

Historia sobre representación de números naturales

En el análisis estructural que realiza Guitel (1975) sobre los números

naturales establece tres tipos de numeraciones: numeraciones figuradas,

numeraciones habladas y numeraciones escritas, dando a las primeras un sentido

amplio que incluye a las representaciones puntuales. Esta consideración de un triple

sistema de representación para los números naturales y que considera como

sistema alternativo la representación mediante figuras para los términos de unasecuencia numérica es reconocida igualmente por distintos historiadores; en

particular, destacan el interés del sistema simbólico de representación de números

que denominamos números figurados. Así Heath (1981) argumenta que el origen

de los números figurados se encuentra en los primeros pitagóricos y señala

distintos autores griegos que trabajaron sobre estos conceptos. Dhombres (1987)

indica que la corriente pitagórica ha influido en la enseñanza hasta el Renacimiento,

a través de la introducción de la Aritmética del neopitagórico Nicómaco de Gerasa.

Eves (1976) señala que hay un acuerdo general sobre que los números figuradostuvieron su origen en los primeros pitagóricos y afirman que la representación

mediante puntos según ciertas configuraciones geométricas, representan un enlace

entre la geometría y la aritmética. Croosly (1987) interpreta con detalle algunos de

los primeros documentos históricos en los que aparecen los números figurados.

El término patrón, utilizado en algunos apartados anteriores, es la traducción

de la expresión inglesa pattern. Se podría haber traducido por otros vocablos

sinónimos como pauta, original, molde, muestra. La idea que se asocia a patrón es “algo” que se repite con regularidad. Los números poligonales, según se desprende

de las figuras son un ejemplo importante de patrones puntuales, también se les

suele considerar patrones geométricos.

Comienza con las civilizaciones egipcia y babilónica (alrededor de 500 años

antes de Cristo) en este periodo la matemática consistía, fundamentalmente, en el

estudio de números.

Desde los 500 años antes de Cristo hasta los 300 años después de Cristo,

que coincide con la era de la Matemática Griega. Los griegos se interesan por la





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matemática no solo como una herramienta sino que le asocian interés intelectual al

contemplar en ella elementos estéticos y religiosos. La matemática durante estaépoca estará más relacionada con la geometría, es indudable que no se olvidan los

números y se tratan a la vez que la geometría por lo que se puede decir de esta

época que la matemática es la ciencia que se ocupa de números y figuras.

Hasta mediados del siglo diecisiete no se aprecian cambios significativos. A

partir de que Newton y Leibniz independientemente inventasen el cálculo, la

matemática (que hasta entonces había estado restringida a situaciones estáticas de

contar, medir o describir figuras) se podrá dedicar a estudiar los números, las

figuras, el cambio el movimiento y el espacio.

El siglo y medio que abarca desde la mitad del siglo dieciocho hasta final del

siglo diecinueve, se caracteriza por el interés en las aplicaciones que pueden tener

la matemática en otras ciencias como la física y otras relacionadas con el desarrollo

de la vida humana. Se llega así a que la matemática trata del estudio de los

números, las figuras, el movimiento cambio, espacio y de las herramientas

necesarias y usadas para el estudio de problemas surgidos en otras ciencias.

Durante el siglo veinte, la matemática no ha sido ajena al avance

espectacular que ha tenido la ciencia. Su crecimiento no ha estado sólo en ampliar

los conocimientos existentes sino también en la aparición de diversas ramas de la

matemática con contenido específico y diferenciado. En esta situación, la respuesta

a ¿qué es actualmente la matemática? no es sencilla y se habla de una determinada

forma de trabajar. Hay una expresión emergente y que muchos matemáticos

aceptan, se dice que la Matemática es la ciencia de los patrones. Lo que la

matemática hace es examinar patrones abstractos, patrones numéricos, patrones

de figura, patrones de movimiento etc. Estos patrones pueden ser reales o

imaginados, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos a cuantitativos,

con interés utilitario, o puramente recreativos.

Algunos naturales particulares- Una razón de su propuesta en el diseño curricular

En el diseño curricular se encuentran, entre otros, los nombres de algunos

números ya descubiertos por los pitagóricos:números triangulares, cuadrangulares,

pentagonales, hexagonales copos de nieve, etc.

El origen y la representación de estos números son, en algunos casos, muy

remotos.





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Pitágoras ( - 575, - 495 ) desarrolló un método para representar a los

números mediante agrupamientos de piedras.

Pitágoras creía en el número como una idea

divina, ordenadora del universo. "Todo es

número", decian los pitagóricos y concebían

al Universo ordenado matemáticamente.

C4

En la figura anterior tenemos un ejemplo de lo que los pitagóricos entendían

por número cuadrado (el número 16, suma de los impares sucesivos 1,3,5 y 7 )

O4

En este recuadro uno de los números

que llamaban oblongos ( el 20 , suma

de pares consecutivos )

Aquí tenemos uno de los números

triangulares ( el 10, suma de naturales

consecutivos 1, 2, 3 y 4)

Estos números, conocidos también como números figurados, no están

mencionados en el diseño sólo por una cuestión de curiosidad sino que dan lugar a

un interesante trabajo en problemas que permiten iniciar al alumno en una forma

típica de razonamiento en Matemática:

"descubrir, a partir de ejemplos, regularidades que tendrá que validar o

refutar ".

Es decir: descubierta la posible regularidad, el alumno tendrá que ser capaz

de expresarla en términos matemáticos para poder hallar una estrategia que

permita validar o negar esa regularidad.

Al respecto, es importante enfatizar que el alumno debe tener claro que una

conjetura (que es lo que él tiene en mente cuando supone esa regularidad), no es

más que eso, es decir: una presunción o sospecha de que algo es cierto, pero tal

suposición puede fallar.






CLASE 3


Veamos un ejemplo de ésto.

A. Einstein dijo: " Ninguna cantidad de experimentos puede demostrar que estoy en lo cierto, pero un solo experimento puede demostrar que me equivoqué"

!Las apariencias engañan !

Un estudiante observó que

3. (5+6 ) = 3 + (5 . 6 )

y generalizó que para tres números naturales cualesquiera

a, b, y c se tiene :

a . ( b + c ) = a + ( b . c )

¿ Es correcta su apreciación ?. Justifique la respuesta.

Resumamos, entonces, la secuencia a seguir:


Experimentar

Conjeturar

Demostrar

Probar la validezo falsedad delenunciadoanterior

Proponer unenunciado quedescriba la

regularidaddescubierta

Para descubrirregularidades

En lo que sigue, mostramos, describiendo las distintas etapas

(experimenta- conjetura- demuestra) una forma de lograr una expresión que

permite obtener la suma de los n primeros números naturales (1 + 2 + 3 +...+ n )

cualquiera sea el número n .

Para ello, comenzamos por plantear algunas de estas sumas y dando,

simultáneamente, una representación figurativa de las mismas.





CLASE 3


EXPERIMENTA

1•


1 + 2 • • •

1 + 2 + 3 • • • • • •

.... ..............................................................................................................................

Como ya dijimos, queremos obtener una fórmula que nos dé el valor de cada

una de estas sumas (el total de los puntos de la figura asociada), sin necesidad deefectuarla (o de contar los puntos).

Las figuras dan un patrón deformación que permiterepresentar la suma de los n primeros números naturales,cualquiera sea el número n desumandos de la misma.

Repitamos, en cada una de las figuras anteriores, el mismo esquema de

puntos que representa a cada una, pero realizándolo ahora, de abajo hacia arriba y

con otro color como mostramos

La simple observación de cada una de

estas nuevas figuras (y quizás laconfección de alguna más que siga el

mismo patrón de formación), nos

permite afirmar que:

el total de puntos negros de cada figura, es la mitad del total de puntos de la

misma

Hemos encontrado una regularidad relativa a las sumas que hemos

considerado.

Nuestro próximo objetivo es proponer un enunciado que describa esa

regularidad.





CLASE 3


Para ello, observemos que el total de puntos de cada figura se dispone en un

rectángulo que tiene:• en la base:

tantos puntos como indica el último término de la suma que representan los puntos

negros, más uno.

( Por ejemplo, en la segunda figura, el número de puntos de la base es 3 y los

puntos negros representan la suma 1 + 2 )

• en la altura:

tantos puntos como indica el último término de la suma representada por los

puntos negros

De este modo y, por ejemplo, para la suma:

1 + 2 + 3 ,

el número de puntos del rectángulo correspondiente es :

4 × 3

por lo que, el número de puntos negros ( que es la suma de los tres primeros

números naturales ), es :

4 3

2

×

Esto parece darnos la pista acerca de la fórmula que estamos buscando. Por

ejemplo, para la suma de los veinte primeros números naturales, lo anterior nos

sugiere que:

1 + 2 + 3 + . . . + 20 =

20 21

2

×

(Una simple disposición de puntos como las anteriores o, el cálculo directo de dicha

suma, nos permitiría verificar este resultado).

Ahora, resulta razonable proponer la fórmula buscada para la suma de los n

primeros números naturales como:






CLASE 3


CONJETURA

1 + 2 + 3 + . . . + n =

n n( )+1

2

Esto nos conduce a la última etapa, es decir, la de demostrar la validez o

falsedad de nuestra conjetura.

En este nivel y para esta demostración,

proponemos trabajar como se supone lo

hizo C. F. Gauss a una muy temprana edad

y que comenzamos a contarle partiendo deuna conocida anécdota .

Se cuenta que, cuando Gauss era pequeño,

su maestro pidió a la clase que calculara la

suma de los cien primeros números

naturales, suponiendo que, con esto los

mantendría ocupados por un largo rato.

Carl F. Gauss, matemático alemán(1775- 1855) es considerado uno delos más grandes de todos los tiempos.

A diferencia de muchos otrosmatemáticos importantes, fue un niñoprodigio. Su enseñanza media ysuperior la realizó en Alemania bajo laprotección del duque de Brunswick.El Álgebra, el Análisis y la Geometríacuentan con el valioso aporte de lostrabajos e investigaciones de Gauss.No en vano el nombre de "príncipe dela Matemática " con que se lo conoce.

Sin embargo, la respuesta de Gauss no tardó en llegar y fue la correcta:

5050

¿ Cómo razonó ?

Muy probablemente, el futuro príncipe de la matemática ( como fue llamado por

sus contemporáneos ) haya pensado como le mostramos:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ..... + 2 + 1

(1 + 100 ) + (2 +99) + (3 +98) + (4 +97) + .....+ (100 +1 )


101 × 100





CLASE 3


De donde, la suma que buscamos es:

101 1002×

Este razonamiento es evidentemente válido en general.

En efecto, cualquiera sea el natural n la suma, Sn de

DEMUESTRA

los n primeros números naturales es : Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n

Así , escribiendo :

Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n

Sn = n + n - 1 + n - 2 + . . . + 1

2 Sn = (n +1) + (n +1) + (n + 1) + . . . + ( n + 1)

Por propiedadconmutativa dela suma

sumandomiembro amiembro

De donde ,

2 Sn = n.(n +1)

y, por lo tanto:

Sn =

n n. ( + )1

2

En este momento conviene que hagamos una observación relativa a esta

tercer etapa: la de la demostración.

Es sabido que ésta es la etapa que más cuesta a los alumnos del nivel que

nos ocupa, quienes se enfrentan con ella a la complejidad intrínseca de la cuestión

en estudio y a la falta de experiencia en tal aspecto.

Por supuesto, el docente sabrá discernir sobre la posibilidad de realizar, o

no, algunas de estas demostraciones. Pero, cuando decida no realizar una

demostración, es importante que a sus alumnos le quede claro que, la propiedad

que está aceptando ha sido demostrada rigurosamente en su momento .

El triángulo de Tartaglia y los Números figurados






CLASE 3


Desde los cursos iniciales , los alumnos han resuelto problemas de este tipo:

• Completá esta guarda con las figuras que siguen.

• Completá los cuadraditos con los números que siguen

3, 6, 9, 12, , , ...

descubriendo un" patrón de formación" que les permitió dar respuesta a lo pedido.

Este tipo de problemas puede retomarse con actividades de complejidad

creciente en el nivel medio (con la idea de niveles de profundización de un

contenido según las distintas edades evolutivas de los alumnos) .

Consideremos por ejemplo, el patrón que permite construir el conocido

triángulo de Tartaglia

1

1 + 1

1 + 2 + 1

1 3 + 3 1

....................................................

A partir del análisis de los elementos de este triángulo pueden descubrirse

algunas cuestiones relativas a los números naturales propuestas en el diseño.

Consideremos, para una de estas cuestiones, los elementos de la diagonal

del siguiente triángulo que hemos identificado con la flecha.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1............................................................................

Veamos los números que la constituyen: 1, 3, 6, 10, ...

En efecto:

1 = S 1 ,

3 = 1 + 2 = S 2 ,






CLASE 3


6 = 1 + 2 + 3 = S 3 ,

10 = 1 + 2 + 3 + 4 = S 4 ,… . . . . . . .

Cada uno de estos números suele representarse por "figuras geométricas "

especiales que justifica el nombre de números triangulares con que se los conoce y

una de cuyas forma exhibimos.

•

• • •

• • • • • •

1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3

•


• •

• • •

• • • •

10 = 1 + 2 + 3+ 4

El tetrakys o trianón

(el número 10) era para

los pitagóricos un

Como vemos, estas figuras están formadas por puntos que están ubicados

sobre los lados de triángulos equiláteros cuyos lados aumentan una unidad de

longitud cada vez que se representa el número triangular siguiente. En la base de

cada triángulo, la distancia entre dos puntos consecutivos de estos es esa unidad.

Observemos además que, en la representación del 1, estamos conviniendo

en identificar un punto con un triángulo equilátero de lado cero.

Lo anterior nos permite deducir un patrón geométrico para la obtención de

los números triangulares.

En la siguiente figura indicamos el triángulo correspondiente al número

triangular 10•

• •

• • •

• • • • 6

10

Lo anterior nos dá un patrón geométrico de formación de los números

triangulares.





CLASE 3


Pero, como es evidente, también tenemos uno numérico ya que, cada uno

de estos números es el resultado de una suma de la forma:1 + 2 + 3 + … + n

Así, podemos decir que:

• El "resultado" de cada suma de los primeros n números naturales es un número

triangular.

• Un número triangular se puede obtener utilizandola fórmula :

1 + 2 + 3 + . . . + n =n n( )+1

2, n ∈Ν

Los números triangulares forman una de las diagonales del Triángulo de

Tartaglia

Por esto los números triangulares siguen la secuencia 1, 3, 6, 10, 15, ...A

partir de T1 todas las representaciones se obtienen de la anterior, poniendo una

nueva fila con un punto mas. Esto en la expresión numérica equivale a sumar elnúmero natural consecutivo. Se obtiene así el patrón:

1 = T1 = 1

3 = T2 = 1 + 2

6 = T3 = 1 + 2 + 3

10 = T4 = 1 + 2 + 3 + 4

15 = T5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

…………………………………………………

Así, la fórmula para el n-ésimo número triangular es1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n = n(n+1)/2.También es igual al coeficiente binomial

Números poligonales

Repasando: Los números que se pueden organizar mediante configuraciones

que son polígonos se les denominan números poligonales. Dependiendo del tipo de

polígono serán números triangulares, cuadrangulares, pentagonales, .... Cada uno


http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial





CLASE 3


de estos tipos forman una secuencia de números que comparten una estructura,

siguen el mismo patrón.

Un Triángulo más general que el de Tartaglia es el conocido con el nombre

de Triángulo de Pascal que supone, para su formación, un mecanismo análogo al

del Triángulo Tartaglia partiendo ahora de dos naturales a y b cualesquiera.


Suponiendo a = 2 y b = 1 , resulta:

A

2 1 B

2 3 1

(Blaise Pascal

(1623 - 1662 )utilizó el triánguloen el estudio decuestiones deprobabilidad )

2 5 4 1

2 7 9 5 1

2 9 16 14 10 1

...........................................

Invitamos a trabajar en este triángulo, con las diagonales indicadas con A y

B ¿Qué clase de números son los de la diagonal que indicamos con A?

Los números de la diagonal que llamamos B se denominan cuadrangulares o

cuadrados

¿ Con qué figura geométrica los puede representar?. ¿Cómo lo hace?

Proponga una representación de los mismos.

Probablemente, al resolver la actividad anterior ha obtenido:

•

1 4 9

1 1 + 3 1 + 3 + 5

¿Qué regularidades observa? ¿Cómo las expresa?

Indique dos números que sean a la vez cuadrangulares y triangulares





CLASE 3


Al iniciar el estudio de los números figurados nombramos los números pentagonales

y los hexagonales. A título informativo le mostramos las respectivas configuracionesgeométricas de los mismos.

Pentágonos

equiláteros

semejantes

cuyos lados se

incrementan en

una unidad

Pentagonales

1 5 12

Deduce del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números

pentagonales






CLASE 3


Hexagonales

Hexágonosequiláteros

semejantes

cuyos lados se

incrementan en

una unidad

1 6 15

Observemos que, en el

Triángulo de Pascal que empieza con 3 y

1 los números de la diagonal indicadacon A son números pentagonales.

3 1

3 4 1 A

3 7 5 1

3 10 12 6 1

3 13 22 18 7 1

......................................

Un pasatiempo

Indique, en el Triángulo de Pascal que

comienza con 3 y 1 la ubicación de los

números que son diferencia de númerospentagonales consecutivos.

Construya el Triángulo de Pascal que

comienza con 4 y 1. ¿Dónde ubica los

números hexagonales ? ¿Dónde la dife-

rencia de hexagonales consecutivos ?






CLASE 3


Suma de dos números triangulares consecutivos: número cuadrado.

La suma de dos números triangulares consecutivos, Tn y Tn−

1 es uncuadrado perfecto, o, si se quiere en la terminología pitagórica, un número

cuadrado. Demostrémoslo. Sean

Tn =

Tn − 1 = =

Números cuadrados y oblongos.

Tn + Tn − 1 = +

es decir

Tn + Tn − 1 = n

quedando demostrado lo propuesto. Podemos comprobarlo con dos números

triangulares consecutivos cualesquiera, por ejemplo T3 = 6 y T4 = 10.

Efectivamente,

T3 + T4 = 6 + 10 = 16 = 42

Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo,

que conforma la figura de un romboide. Veamos su término general:

Tn + Tn = 2Tn = 2

2Tn = n(n + 1)

que es la expresión buscada. En la figura se ve como del número triangular T4

resulta el número oblongo de (5·4) puntos.


http://es.wikipedia.org/wiki/Romboide

http://es.wikipedia.org/wiki/Romboide





CLASE 3


El Nuevo Testamento presenta tres aplicaciones de números triangulares,

más conocidos en la jerga de numerología y de mancias como Valor Secreto de un

Número. El Antiguo Testamento presenta una, la misma que es aplicada en la

referencia bíblica AP.13,18. Lo más sorprendente es que habiendo tantos números

triangulares como el infinito, la serie que se repite, sobre el mismo número más

cercana a nuestro raciocinio es esa precisamente, el 666 es doblemente triangular

(!).

En los polígonos estrellados

Deduce del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números estrellados






CLASE 3


En el espacio


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