Pengertian-Pengertian

PengertianPersamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:1.Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa danpersamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.2.3.2532 d y d y y e xContoh:dx3dx2x2 1adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.Persamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian

SolusiSuatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatupersamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.dyke x y 0Contoh:adalah solusi dari persamaany dtdy ke xke xadalahkarena turunany dtdan jika ini kita masukkan dalam persamaan akankita perolehke x ke x 0Persamaan terpenuhi.Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusimengandung n tetapan sembarang.yangPersamaan Diferensial, Pengertian-Pengertian

Persamaan Diferensial Orde SatuDengan Peubah YangDapat Dipisahkan

Pemisahan PeubahJika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaandiferensial dapat kita tuliskan dalam bentukf ( y)dy g ( x)dx 0Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusiumum dengan satu tetapan sembarang K, yaituSuku-suku terbentuk dari peubah yang berbedaf ( y)dy g ( x)dx) KPersamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah

dye x yContoh:dxe xdyPersamaan ini dapat kita tuliskane ydxyang kemudian dapat kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisahe y dy e x dx 0 e y dy e x dx KIntegrasi keduaruas memberikan:e y e xe y e xatau K KsehinggaPersamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah

dy1Contoh:dx xyPemisahan peubah akan memberikanbentukdxdxydy 0ydy atauxxdxydy KIntegrasi keduaruas:x2y ln x K2atauy ln x2 K Persamaan Diferensial, Persamaan Orde Satu Peubah Dapat Dipisah

Persamaan Diferensial HomogenOrde Satu

Persamaan Diferensial Homogen Orde SatuSuatu persamaandisebut homogen jika ia dapat dituliskandalambentukdyy F dxx Ini dapat dijadikan sebagai peubahbebas baruyyangakan memberikanv xy vxdandvdydvv x F (v) v xdxdxdxdvxF (v) vdxPemisahan peubah:dxdvF (v) vxdxdv 0atau:xv F (v)Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu

( x2 y 2 )dx 2xydy 0Contoh:2yx2 (1 Usahakan menjadi homogen)dx 2xydy 0x22yy(1 )dx 2 dyx2x2dy 1 ( y / x) F ( y / x)dxdy2( y / x)2 1 vPeubahbaru v = y/x F (v)dx2vy vx v xv2dv1 v x dydvdxdv2vdxdx221 v 1 3v v xdx2v2vdx2vdv2vdvdx 0Peubah terpisah atau1 3v21 3v 2xxPersamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu

Kita harus mencari solusipersamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.dx2vdv 01 3v2xSuku ke-dua ini berbentuk 1/x dankita tahu bahwa1d (ln x)xdx222d ln(1 3v )d ln(1 3v ) d (1 3v )1Kita coba hitung(6v)d (1 3v 2 )1 3v 2dvdvHasil hitungan ini dapatpersamaan menjadidigunakan untuk mengubah2bentukdx1 d ln(1 3v )dv 0x 3dvln x 1 ln(1 3v2 ) K 1 ln K Integrasi ke-dua ruas:33 ln x ln(1 3v2 ) x3 (1 3v 2 ) 3K ln K K x3 1 3( y / x)2 xx2 3 y 2 K K Persamaan Diferensial, Persamaan Homogen Orde Satu

Persamaan Diferensial LinierOrde Satu

Dalam persamaan diferensial linier,semua suku berderajat satu atau nolOleh karena itu persamaan diferensial orde satuyang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentukP dan Q merupakan fungsi x atau tetapanPembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagaidya by f (t )dtDalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalubervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.dy Py QdxPersamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui padaperistiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik. Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaanPeubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi penggerak.Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakanjumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan homogendya by 0dtPersamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaan yang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen, makay = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebabd f f dy12a by a b( f1 f 2 )dtdtdfdfdf121 a bf1 a bf 2 a bf1 0dtdtdtJadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlahdari solusi khusus dan solusi homogen.Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

SolusiHomogendyPersamaan homogena by 0dtJika ya adalah solusinya makadya b dt 0yaaIntegrasi kedua ruas memberikanbbln y t Kln y t KaaaasehinggaInilah solusi homogen b t Kya e a K a e (b / a)tPersamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Jika solusi khusus adalah yp , makadypa by f (t )pdtBentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.f (t ) 0 y p 0JikaJikaJikaJikaf (t ) A konstan, y p konstan KAetKetf (t ) eksponensial, y p eksponensial f (t ) A sin t , atau f (t ) A cos t y p K c cos t K s sin tDugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) ini dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dapat dipenuhiJika dugaan solusi total adalahMasih harus ditentukan melalui kondisi awal.ytotal y p K a e (b / a)t

Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Contoh:Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaandtCarilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.Persamaan ini merupakan persamaan homogen,Solusi khusus bernilai nol.dvf(t) = 0. 1000dt 0vln v 1000t Ke 1000t Ke 1000tv Ka12 K aPenerapan kondisi awal:Solusi total:v 12e 1000t Vdv 1000v 0Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Contoh:Suatu analisis rangkaian memberikan persamaandtDengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapanlengkap.dvdv 103 dt103aaSolusihomogen: 0 va 0dtva1000tva K a ev p 12Solusi khusus:karena f(t) = 12K a e 1000t0 12 K avtotal 12 Solusi total (dugaan): 12K aPenerapan kondisi awal:Solusi total:vtotal 12 12e 1000t V103 dv v 12Persamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transienContoh:dvmenghasilkan persamaanCarilah solusi total.dv 5v 100 cos10tdtdvaaSolusi homogen: 5va 0 5dt 0dtvaK a e 5tln va 5t As sin 10tvaKSolusikhusus:v p Ac cos10t 10 Ac sin 10t 10 As cos10t 5 Ac cos10t 5 As sin 10t 100 cos10t10 As cos10t 5 Ac cos10t 100 cos10t10 As 5 Ac 10010 Ac 5 As 010 Ac sin 10t 5 As sin 10t 0Ac 4As 8K a e 5tv 4 cos10t 8 sin 10t Solusitotal (dugaan):K a 4Penerapan kondisi awal: 0 4 K aSolusi total :v 4 cos10t 8 sin 10t 4e 5tPersamaan Diferensial, Persamaan Linier Orde Satu

Course WarePersamaan DiferensialOrde-1Sudaryatno Sudirham