proceso estocástico manual

FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA

Ing. Luis Hugo HUACASI VASQUEZ

1

PROCESOS ESTOCASTICOS

Algunas veces se esta interesado en como cambia una variable aleatoria con el

tiempo. Por ejemplo es posible que se desee saber cómo evoluciona el precio

de una parte de las acciones o la participación en el mercado de una empresa.

El estudio de cómo una variable aleatoria cambia con el tiempo incluye

procesos estocásticos, y para poder explicar este tipo de estudio en particular

de proceso estocásticos discretos se fija la atención en un tipo de proceso

estocástico conocido como cadena de Markov. Las cadenas se Markov se han

aplicado en áreas como la educación, comercialización, servicios de salud,

finazas contabilidad y producción. Un proceso estocástico continúo en el

tiempo. Es simplemente un proceso estocástico en el que el estado del

sistema se puede ver en cualquier instante, no solo en instantes discretos del

tiempo. Por ejemplo el número de personas en un supermercado t minutos

después que la tienda abre se considerar como un proceso estocástico

continúo en el tiempo.

¿Qué es un proceso estocástico?

Supongamos que se observan algunas características en de un sistema en

puntos discretos en el tiempo (identificados como 0,1,2,3, …). Sea Xt el valor

de la característica del sistema en el tiempo t. En la mayoría de las situaciones,

Xt no se conoce con certeza antes del tiempo t y se podría considerar como

una variable aleatoria. Un proceso estocástico discreto en el tiempo es

simplemente una descripción de la relación entre las variables aleatorias

X0,X1,X2, . . .

En Matemáticas y en concreto en Estadística y Teoría de la Probabilidad un

proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve

para caracterizar y estudiar todo tipo fenómenos aleatorios (estocásticos) que

evolucionan, generalmente, con el tiempo.

Una definición informal sería la siguiente:



2

Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias indexadas por

una variable (continua o discreta), generalmente, el tiempo. Cada una de las

variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de

probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.

A continuación se dan algunos ejemplos de procesos estocásticos discretos en

el tiempo.

La ruina del jugador

En el tiempo 0, tengo $2 en los tiempos 1,2, . . ., participo en un juego en el que

apuesto $1. Con probabilidad p, gano el juego, y con probabilidad 1-p, pierdo el

juego. Mi objetivo es incrementar el capital a $4, y cuando lo logre se termina el

juego El juego también se termina si mi capital se reduce a $0. Si se define Xt

como mi capital después de que se juega el tiempo en el tiempo t(si existe)

entonces X0,X1, X2, . . .Xt se podría considerar como un proceso estocástico

discreto en el tiempo t. Observe que X0=2 , es una constante conocida, pero X1

y las Xt posteriores son aleatorias. Por ejemplo con probabilidad p, X1=3, y con

probabilidad (1-p), X1= 1. Observe que Xt=4 ,entonces Xt+1 y las Xt posteriores

también serán igual a 4. de manera similar, si Xt = 0, entonces todas las

posteriores Xt-1 y las adicionales Xt también serán igual a 0, por razones

evidentes, este tipo de situaciones se llama la ruina del jugador.

Elección de colas de una Urna

Por ejemplo una urna tiene dos bolas sin pintar. Se elige una bola al azar y se

lanza una moneda. Si la bola elegida no esta pintada y resulta cara en la

moneda, se pinta de rojo la bola; si la bola está pintada, entonces (ya sea que

resulte cara o cruz en los lanzamientos de la moneda) se cambia el color de la

bola (de rojo a negro y de negro a rojo). Para modelar esta situación como un

proceso estocástico, se define el tiempo t como el tiempo después que se lanzo

la moneda por t-ésima vez y se pinto la bola elegida.

El estado en cualquier instante se podría describir mediante el vector [u r b] ,

donde u es el numero de bolas sin pintar en la urna, r es el numero de bolas

rojas en la urna y b es el numero de bolas negras en la urna. Se tiene que X0 =



3

[2 0 0]. Después del lanzamiento de la primera moneda, se tiene una bola

pintada de rojo o negro y el estado será [1 1 0] o [1 0 1]. Por consiguiente, se

puede estar seguro de que X1= [1 1 0] ó X1=[1 0 1]. Resulta claro que debe de

haber alguna clase de relación entre las Xt. Por ejemplo, si Xt= [0 2 0], se

puede estar seguro de que Xt+1 será [0 1 1]

El concepto de variable aleatoria

Los experimentos se conciben de manera que los resultados del espacio

muestral son cualitativos o cuantitativos.

Ejemplo:

Como resultados cualitativos se tienen

a) El lanzamiento de una moneda es cara o sello

b) Un producto manufacturado en una fabrica puede ser “defectuoso2 o “no

defectuoso”

c) Una persona en particular puede preferir la loción X sobre la loción Y.

Entonces podemos decir que puede ser útil la cuantificación de los resultados

cualitativos de un espacio maestral y, mediante el empleo de medidas

numérica, estudiar su comportamiento aleatorio. Por lo que el concepto de

variable aleatoria proporciona un medio para relacionar cualquier resultado con

una medida cuantitativa.

Definición

Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una función de

distribución de probabilidad. Sea X una función de valor real definida sobre S,

de manera que transforme los resultados de S en puntos sobre la recta de los

reales. Se dice entonces que X es una variable aleatoria.

Se dice que S es aleatoria por que involucra la probabilidad de los resultados

del espacio muestral, y X es una función definida sobre el espacio muestral, de

manera que transforma todos los posibles resultados del espacio muestral en

cantidades numéricas.

Ejemplo



4

Considérese como variable aleatoria el lanzamiento de una moneda. El espacio

muestral esta constituido por dos posibles resultados “Cara” y “Sello“. Sea

X(sello)= 0 y X(cara)=1; de esta manera se a transformado los dos posibles

resultados del espacio muestral en puntos sobre la recta de los reales.

Por P(X=0) se entenderá de que la variable aleatoria tome el valor cero o, de

manera equivalente, la probabilidad de que caiga sello cuando se lance la

moneda.

Variable aleatoria discreta

Se dice que una variables aleatoria X es discreta si el numero de valores que

puede tomar es contable (ya sea finito o infinito), y si estos pueden arreglarse

en una secuencia que corresponde con los enteros positivos En general la

variables aleatorias discretas representan datos que provienen del conteo del

numero de elementos.

Variable aleatoria Continua

Se dice que una variable aleatoria X es continua si sus valores consisten en

uno o más intervalos de la recta de los reales. En general las variables

aleatorias continuas representan mediciones, como, tiempo, peso, longitud,

unidades monetarias, etc.

Distribución de probabilidad de Variables aleatorias discretas.

Una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio

muestral en forma tal que por P(X=x) se entenderá la probabilidad de que X

tomo el valor de x. de esta forma al considerar los valores de una variable

aleatoria es posible desarrolla una función matemática que asigne una

probabilidad a cada realización de x de la variable aleatoria X. Esta funcion

recibe el nombre de Función de probabilidad de la variablea aleatoria X.

El termino mas general, Distribución de Probabilidad, se refiere a la

colección de valores de la variable aleatoria y a la distribución de probabilidad

entre éstos.

Entonces hacer referencia a la distribución de probabilidad de X no sólo implica

la existencia de la función de probabilidad, sino también la existencia de la

función de distribución acumulativa.



5

Definición sea X una variable aleatoria discreta, se denomina funcion (ley o

modelo o distribución) de probabilidad de X, a la función f(x) definida para

todo x numero real por:

f(x) = p(x)=P(X=x)

si satisface las siguientes condiciones o propiedades:

1) p(x) >= 0 para todos los valores de x de X que pertenecen a los reales

2) ( ) 1x

p x

La función de distribución a cumulada de la variable aleatoria x es la

probabilidad de que X sea menor o igual a un valor esperadote x y esta dada

por:

( ) ( ) ( )i

i

x x

F x P X x p x

Por lo tanto en el caso discreto, una variable aleatoria X está caracterizada por

la función de la probabilidad puntual p(x), la cual determina la probabilidad

puntuadle que X=x, y por la función de distribución acumulada F(x) la que

representa la suma de las probabilidades puntuales hasta el valor x de X

inclusive.

Ejemplo: considere el lanzamiento de dos dados. Si X es la variable aleatoria

que representa la suma de las caras,

a) Cual es el espacio muestral

b) Cual es la función de probabilidad de X

c) Representa gráficamente la suma de las caras de los dados

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6



6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,5 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,5 6,5 6,6

Resultados Valor de

la v.a.

Numero de

ocurrencia

Probabilidad

(1,1) 2 1 1/36

(1,2), (2,1) 3 2 2/36

(1,3), (2,2), (3,1) 4 3 3/36

(1,4), (2,3), (3,2), (4,1) 5 4 4/36

(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 6 5 5/36

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) 7 6 6/36

(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 8 5 5/36

(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) 9 4 4/36

(4,6), (5,5), (6,4) 10 3 3/36

(5,6), (6,5) 11 2 2/36

(6,6) 12 1 1/36

la función de probabilidad de X

6 (7 )

2,3,4,...,12( ) 36

0

xx

p x

paracualquier otrovalor



7

0

1/50

1/25

3/50

2/25

1/10

3/25

7/50

4/25

9/50

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

El proceso de Poisson y la distribución exponencial

En la mayoría de los sistemas de colas, el proceso de llegadas sigue una

distribución de Poisson. Se demuestra que si se da esta circunstancia, la

duración de los intervalos entre llegadas tiene una distribución exponencial o

una combinación continua de exponenciales, es decir, una distribución gamma,

que recibe el nombre de distribución erlangiana, o distribución K.

En efecto, si llamamos

P tn ( )

a la probabilidad de que en un tiempo t el número de usuarios que acceden al

sistema sea n y esta probabilidad sigue una ley de Poisson de la forma:

P t e

t

nn

t

n

( )!

entonces, la probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor o igual a

T (que es igual a la probabilidad de que no haya ninguna llegada en un

intervalo de duración T ), es:

P t T P T e T 0 ( )



8

Por tanto, la probabilidad de que el intervalo entre llegadas sea menor o

igual a T es:

P t T e T 1

que es una ley de distribución exponencial. En estas condiciones, el valor

medio del intervalo entre llegadas será:

E T 1

donde es el número de llegadas por unidad de tiempo, que recibe el nombre

de tasa de llegadas.

La distribución exponencial tiene la propiedad de pérdida de memoria:

P t T S t SP t T S t S

P t S

P t T S

P t S

e

ee P t T

T S

S

T

; ( )

Puesto que el número de llegadas en un intervalo de tiempo es una

magnitud completamente aleatoria que sigue un proceso de Poisson, es claro

que el proceso de llegadas es un proceso de nacimiento puro. Por tanto, el

proceso de servicio se debe diseñar de forma que su duración sea de forma

exponencial pura, es decir, como un proceso de muerte pura. De esta forma, el

sistema de colas podrá estudiarse como un proceso de nacimiento y muerte.

A continuación veremos algunos ejemplos de manejo de las

distribuciones de Poisson y exponencial.

Ejemplo 1:

Supongamos un ordenador al que llegan dos tipos de trabajos, largos y

cortos, según distribuciones de Poisson independientes con parámetros L y

C , respectivamente. Se pide:

a) Probar que la probabilidad de que lleguen exactamente m trabajos

cortos entre dos largos es:

L

L C

C

L C

m



9

b) Suponiendo que en un cierto intervalo llegan al ordenador n trabajos,

¿cuál es la probabilidad de que k de ellos sean del tipo corto?

Supongamos que el primer trabajo largo llega en un instante t1 0 ; el

segundo trabajo largo llegará en otro instante t t2 . La longitud t de este

intervalo será la realización de una variable exponencial de parámetro L .

Llamaremos N tC0, al número de trabajos cortos que llegan en ese intervalo. La

probabilidad pedida es:

P N m P N m T t f t dttC

tC

T0 00

, , ( )

donde f tT ( ) es la exponencial antes referida. Entonces:

P N me t

me dtt

Ct

C

m

Lt

C

L0

0,

!

0

1

1 !dtet

m

tLCmm

LC

mLC

LmC

Por otra parte, la función Gamma responde a la siguiente expresión:

dxex x

0

1

y una de sus propiedades es que se cumple:

1

por tanto, recursivamente, resulta:

!1



10

Si hacemos 1 m y atx , tenemos

!10

1

0

mdtetadtaeatm atmmatm

y, por tanto,

1!0

1

dtetm

a atmm

de donde, haciendo CLa , obtenemos que

mLC

LmCC

t mNP

,0

En respuesta a la segunda cuestión, el número total de trabajos que

llegan al ordenador en un cierto intervalo será:

N NtL

tC

0 0, ,

que, por ser ambas distribuciones independientes, será una distribución de

Poisson de parámetro L C . Por tanto, la probabilidad pedida será:

P N k N N n

P N k N N n

P N N nt

Ct

Lt

C tC

tL

tC

tL

tC0 0 0

0 0 0

0 0

, , ,

, , ,

, ,

;

P N k N n k

P N N n

e t

k

e t

n k

e t

n

tC

tL

tL

tC

tc

k tL

n k

tL C

n

C L

L C

0 0

0 0

, ,

, ,

; ! !

!

Ck

Ln k

L C

n

Ck

Ln k

L C

n

C

L C

k

L

L C

n kn

n k k

n

k

n

k

!

! !

que corresponde a una distribución binomial de parámetros:

Bin n C

L C

,



11

Ejemplo 2:

El tiempo de vida de un tubo fluorescente hasta que deja de funcionar es

una exponencial de parámetro 10 horas. Una persona entra en una habitación

mientras el tubo fluorescente está funcionando. Si quiere trabajar cinco horas,

¿cuál es la probabilidad de que finalice su trabajo antes de que el fluorescente

deje de funcionar? ¿Si la vida del fluorescente no fuese exponencial, cuál sería

la probabilidad anterior?

Si llamamos t al tiempo de vida del tubo fluorescente, la probabilidad

pedida es:

P t P t F e e 5 1 5 1 0 60655

1

2(5) .

Si el tiempo de funcionamiento no es exponencial, puede ser que siga

una distribución con memoria. Por tanto, en general:

P T t T tF t

F t

5

1 5( )

( )

Ejemplo 3:

En un equipo de música compuesto por radio y altavoz, el tiempo de vida

de la radio es exponencial de parámetro 1000 horas y el del altavoz es

exponencial con parámetro 500 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que falle

antes la radio?

Si llamamos X1 al tiempo de vida de la radio y X 2 al del altavoz, la

probabilidad pedida es:

P X X P X X X x f x dx P X x e dxXx

1 2 1 2 20

1 20

2

2

( )

1 1 22

0

e e dxx x

2

02

0

2 1 2e dx e dxx x

Como la primera integral es igual a uno, tenemos:

P X X1 22

1 2

1

1 2

11

3



12

Ejemplo 4:

Consideremos un punto fijo en una autopista. Sean U U1 2, , ... la sucesión

de tiempos entre llegadas de vehículo a este punto. Supongamos que U U1 2, , ...

son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con

distribución:

P U t e tekt t 1

Calcular la distribución del número de vehículos que pasan por ese

punto fijo durante el intervalo de tiempo 0, t .

Llamemos N t al número de vehículos que pasan por el punto durante un

intervalo de duración t y Tn al instante en el que pasa el n-ésimo vehículo.

Entonces la probabilidad de que el n-ésimo vehículo pase dentro del intervalo

0, t es igual a la probabilidad de que el número de vehículos que pasa durante

el intervalo sea mayor que n :

P T t P N ne t

kpara tn t

t k

k

n

1 00

1

!

Una variable aleatoria Tn que tiene una distribución de este tipo, se dice

que sigue una distribución de Erlang de parámetros ,n ; en concreto, las

variables U k siguen una distribución de Erlang de parámetros ,2 .



13

Proceso Estocástico Líneas de Espera

¿Qué es una Línea de Espera?

Un sistema de línea de espera se define de modo que incluya la propia línea de

espera (o cola) y los camales de servicio. El numero de clientes en el sistema

en el que cualquier instante en el tiempo esta dado por el número de la línea

más el numero en servicio. La figura 01 muestra los elementos básicos de un

sistema de colas con c servidores en paralelo. .[Taha, 1981, Pág. 452]

Figura 01 Modelo de línea de espera (cola)

Se introducen ahora varias definiciones y notaciones básicas que se utilizan en

la solución de procesos de colas.

Características existentes en modelos de colas o líneas de espera.

Un sistema de espera se especifica completamente por seis características

principales.

1. Distribución de entradas o llegadas (tiempo entre llegadas).

2. Distribución de salidas o retiros (tiempo de servicio).

3. Canales de servicio.

4. Disciplina de servicio.

5. Numero máximo de clientes permitidos en el sistema.



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6. Fuente o población.

Las distribuciones de llegadas y retiros

Determinan los modelos por los cuales el número de clientes llega y sale del

sistema. Las llegadas también pueden representarse por el tiempo entre

llegadas, que define el periodo entre dos llegadas sucesivas. Similarmente,

las salidas pueden describirse utilizando el tiempo de servicio, (entre

salidas) que define el tiempo entre los inicios de dos servicios sucesivos.

Estas distribuciones usualmente están determinadas por muestreo de las

situaciones reales

Los canales de servicio

Pueden disponerse en paralelo o en serie, o como una combinación mas

complicada de ambas, dependiendo del diseño del mecanismo de servicio

del sistema. En el caso de canales paralelo, varios clientes pueden ser

atendidos simultáneamente. Para canales en serie, un cliente pasa

sucesivamente por todos los canales antes de que se termine el servicio.

Un modelo de colas se denomina modelo de un servicio cuando el sistema

tiene solamente un servidor, y como modelo de múltiples servidores cuando

el sistema tiene un cierto numero de canales en paralelo cada uno con un

servidor.. Pueden construir también modelos para situaciones en serie y

como redes. El análisis en estos últimos casos, sin embargo, no es tan

simple como en el modelo de un solo servidor y de múltiples servidores.

La disciplina de servicio

Es una regla para seleccionar clientes de la línea de espera al inicio del

servicio. La disciplina mas común es la denominada "primero en llegar,

primero en salir (o ser atendido)" donde los clientes son atendidos para

comenzar el servicio en el orden estricto de sus llegadas. Otras disciplinas

son las que se designan por "ultimo en llegar, primero en salir", "al alzar" y

de “prioridad". El último caso ocurre cuando al llegar un cliente se le

concede prioridad para el servicio antes que a otros clientes que ya están

en el sistema.

El número máximo en el sistema

Puede ser finito o infinito, dependiendo del diseño de la instalación. Por

ejemplo, en algunas instalaciones únicamente se permite que espere en el



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sistema un numero limitado de clientes. En este caso, a los nuevos clientes

que llegan no se les permiten unirse ala cola cuando se ha alcanzado su

limita máximo. En este caso se debe diferenciar del de frustración, en el que

un cliente se rehúsa unirse ala cola porque es demasiado larga, o el de

deserción, donde un cliente sale del sistema porque el tiempo de espera es

demasiado largo.

La fuente (o población)

Representa un factor importante en el análisis de teoría de las colas ya que

el modelo de llegadas depende de la fuente de donde provienen los

clientes. La fuente que genera las llegadas puede ser finita o infinita. Existe

una fuente finita cuando una llegada afecta la tasa de llegadas de futuros

clientes potenciales. Un ejemplo ocurre en las situaciones de reparación de

maquinas con un total de M maquinas. Antes de que cualquier maquina se

descomponga la fuente consta de M clientes potenciales. Una vez que una

maquina se ha descompuesto, se convierte en cliente y entonces es

incapaz de generar otra llamada hasta que se le haya servido (reparado).

Debe hacerse una distinción entre esto y la situación donde la "causa" para

generar llamadas es ilimitada; sin embargo, esta causa limitada es capaz de

generar un numero infinito de llegadas. Por ejemplo en un lugar donde se

tiene varias mecanógrafas, el numero de usuarios es limitado, pero cada

usuario teóricamente podría generar un numero infinito de llegadas

(material para mecanografía).

Notación de Kendall y Lee

Para clasificar los posibles tipos de sistemas de colas debemos especificar las

características que determinan los elementos que lo componen. Así D.G.

Kendall (1953) introdujo una notación útil para modelos de espera con

servidores múltiples, que describe las características de un modelo de línea de

espera, la distribución de llegadas, la distribución de salidas y el número de

canales de servicio en paralelo. Posteriormente A. Lee (1966) agrego la cuarta

y quinta característica a la notación; esto es, la disciplina de servicio y el



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número máximo en el sistema. Y por ultimo de en la notación de D.G. Kendall

y Lee se aumenta con la sexta característica que describe la fuente. La

notación completa se tiene en la siguiente forma simbólica.

(a/b/c): (d/e/f)

Donde:

a Distribución de llegadas (o tiempos entre llagadas)

b Distribución de salidas (o tiempos de servicio)

c Numero de canales de servicio en paralelo en el sistema

d Disciplina de servicio

e Numero máximo permitido (en servicio más esperando) en el sistema

f Fuente o población

Los siguientes códigos convencionales usualmente se utilizan para

reemplazar los símbolos a, b y d.

Símbolos a y b

M Distribución de poisson (markoviana) de llegadas o salidas (o,

equivalentemente, distribución exponencial de los tiempos entre llegadas

o de servicio).

D tiempo determinístico entre llagadas o servicio.

KE Distribución de Erlang o gamma con parámetro k de tiempos entre

llegadas o de servicio

GI Distribución general independiente de llegadas (o tiempo entre

llegadas)

G distribución general de salidas (o tiempos de servicio)

Símbolo d

FCFS “primero en llegar, primero en salir” (first come, first served)

LCFS “ultimo en llegar, primero en salir” (last come, first served)

SIRO servicio en orden aleatorio (service in random order)

GD disciplina de servicio general (general service discipline)



17

El símbolo c se reemplaza por cualquier número positivo que representa el

número positivo que represente el número de servidores en paralelo. Los

símbolos e y f representan un numero finito o infinito en el sistema y la fuente

finita o infinita.

Para ilustrar el uso de esa notación, considere (M / M / c): (FCFS / N / ). Esto

representa llegadas según poisson (tiempo exponencial entre llegadas), salidas

según poisson (tiempo exponencial de servidor), c servidores en paralelo, la

disciplina “primero en llegar, primero en salir”. N numero máximo permitido en

el sistema y fuente infinita.

Esta notación no es adecuada para describir modelos complicados tales como

de colas en redes o colas en serie. Será adecuado, sin embargo, para los fines

del presente estudio.

Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el

cual la variable aleatoria se define como el numero de transacciones en el

sistema en un momento dado; el conjunto de valores que puede tomar dicha

variable es {0,1,2,….N} y cada una de ellas tiene asociada un probabilidad de

ocurrencia {P0, P1,P2,…PN}.

Definiciones de estado transitorio y estable.

El análisis de la teoría de línea de espera involucra el estudio de un

comportamiento del sistema en el tiempo. Se dice que un sistema esta en un

estado transitorio cuando sus características de operación (comportamiento)

varían con el tiempo. Usualmente esto ocurre en las primeras etapas de la

operación del sistema donde su comportamiento todavía depende de las

condiciones iniciales. Sin embargo, ya que esta mas interesado en el

comportamiento a “largo plazo”, la mayor parte de la atención del análisis de la

teoría de líneas de espera se ha dirigido a los resultados de estado estable. Se

dice que prevalece una condición de estado estable cuando el comportamiento

del sistema llega a ser independiente del tiempo.

Una condición estable para alcanzar el estado estable que es el tiempo que se

pasa desde el inicio de la operación sea suficientemente grande (en términos



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matemáticos, esto equivale a decir que ese tiempo tiende a infinito). Esta

condición sin embargo, no es suficiente, ya que los parámetros del sistema

pueden no permitir la existencia de un estado estable. Lo anterior significa que

los parámetros del sistema también deben verificarse. Por ejemplo, si algunas

situaciones la tasa de llegadas es mayor que la tasa de servicio no puede

alcanzar un estado estable, independientemente del tiempo que transcurra. En

efecto, en este caso la longitud de la cola aumenta al transcurrir el tiempo y

teóricamente podría hacerse infinita.

En este manual únicamente se considera el análisis de estados estables.

Aunque se dispone de las soluciones de estado transitorio para algunos

modelos, las herramientas matemáticas complicadas necesarias para obtener

estas soluciones están fuera de alcance de este manual. Se presentaran, sin

embargo, las ecuaciones diferenciales y de diferencias que pueden utilizarse

para lograr soluciones transitorias.

Símbolos utilizados para representa problemas de colas de servicios

Los símbolos siguientes se utilizan en relación con modelos de colas. Se

recuerda al lector que un sistema de líneas de espera incluye por definición lo

canales de servicio y las colas (véase en la figura 01)

n = numero de clientes en el sistema.

np (t )= probabilidad de estado transitorio de exactamente n clientes en el

sistema en el tiempo t suponiendo que el sistema comenzó sus

operaciones en el tiempo cero.

np = probabilidades de estado estable de exactamente n clientes en el sistema.

= tasa media de llegadas (numero de clientes que llegan por unidad de

tiempo).

= tasa media de servidor por servidor ocupado (numero servido de clientes

por unidad de tiempo).

C = numero de servidores en paralelo.

P =

= intensidad de grafico.

c

= factor de utilización para c instalaciones de servicio.



19

w T = f.d.p. del tiempo de espera en el sistema.

sw = tiempo promedio de espera por cliente en el sistema.

= tiempo promedio de espera por cliente en la cola.

sL = numero esperado de clientes en el sistema.

qL =numero esperado de clientes en la cola

Relaciones entre , ,s q S qw w L yL

Puede comprobarse en condiciones muy generales de llegada, salida y

disciplina de servicio que se verificaran las formulas

q SL w Y q qL w

Estas formulas son puntos clave al establecer las siguientes relaciones

importantes entre , , ,s q s qW W L L por definición

1q sW W

Multiplicando ambos lados por y sustituyendo de las de las formulas

anteriores, se obtiene.

q sL L

Esto significa que el conocimiento de uno de los cuatro valores esperados

(junto con y ) deberá proporcionar inmediatamente los otros tres valores.

En modelos de colas, suele ser mas fácil determinar sL (o qL ) a partir de np ;

esto es

0

s n

n

L np

y ( )q n

n c

L n c p

qw



20

Por otra parte, una evaluación directa de sw y qw puede no ser tan simple en

este caso dada ( )s qL oL , pueden utilizarse las formulas generales anteriores

para determinar sW Y qW

Las relaciones dadas no se cumplen directamente para los casos especiales

donde las llegadas ocurren con una tasa , pero no todas las llegadas se unen

al sistema (por ejemplo, en casos donde se alcanza la longitud de cola máxima

permisible y no se permite que ninguna nueva llegada se une a ala fila).sin

embargo redefiniendo para incluir únicamente estas llegadas que se unen al

sistema, se cumplen estas relaciones por consiguiente, si ef define la tasa de

llegadas, el valor de ef puede determinar convenientemente de

ef

q sL L

Lo cual proporciona

( )ef s qL L

(En algunos modelos, puede ser posible determinar ef diferentemente de los

parámetros del problema). Una vez que ef se conoce, entonces.

ss

ef

LW

y

q

q

ef

LW

DEDUCCION AXIOMATICA DE LAS DISTRIBUCIONES DE LLEGADAS Y DE

SALIDAS EN EL CASO DE LINEAS DE ESPERA DE COLAS DE POISSON.

Esta sección, se deducirán las distribuciones de llagadas y de salidas en las

filas de poisson. Primero, se enunciaran los axiomas básicos que gobiernan

este tipo de filas.

Axiomas básicos.



21

Axioma 1: dado N (t), el numero de llagadas o salidas durante el intervalo

del tiempo (o, t), el proceso de probabilidad que describe N (t) tiene

incrementos independientes estacionarios.

Este axioma se aplica como sigue. Dado h, un incremento positivo,

entonces para 0 1 ...... , ( 1)kt t t k puntos en el tiempo, las dos variables

aleatorias 1{ ( ) ( )i iN t N t y 1{ ( ) ( )}i iN t h N t h , siendo i=0,1,……., k –

1, son independientes e idénticamente distribuidas.

Axioma 2: en cualquier intervalo 0h , existe una probabilidad positiva de

llegada (salida) pero esta probabilidad no es segura; esto es

{ ( ) 2} 0P N h .

Estos axiomas serán utilizados ahora para deducir las distribuciones de

llegadas y salidas.

Distribución de llegadas (modelo de nacimiento puro).

En este modelo se supone que únicamente se permiten las llegadas con

tasa por unidad de tiempo. Este caso algunas veces se denomina

modelo de nacimiento puro. Se supone que no existe nadie en el sistema e t

= 0 . las distribuciones de llegadas, por consiguiente, puede desarrollarse

como sigue.

Los axiomas anteriores implican que la probabilidad de una llegada durante

0( 0) , un pequeño incremento en el tiempo, es igual a 20( )h h , donde

20( )h es un término con orden de magnitud mucho mas pequeño que h, y

entonces tendera a cero cuando 20h .por el axioma 3, la probabilidad de

mas de una llegada tiende a cero cuando 0h .esto significa que la

probabilidad de ninguna llegada durante h es aproximadamente igual a

(1 ),h donde por el axioma 2, se tiene que 0 1 1h .



22

(0) llegadas

n n n-1 n

0 0

h

t t+h

figura 02

Considere las probabilidades ( )np t y ( )np t h se n clientes en el sistema

en los tiempos t y t + h, respectivamente. La figura 02 muestra todos los

cambios posibles en el numero en el sistema entre tiempos t y t + h. para

n > 0, el sistema tendrá n clientes en t + h si (a) existen n cliente en t y

ninguna llegada ocurre una llegada durante h. para n = 0, el sistema no

tendrá clientes en t + h si no existen clientes en t y ninguna llegada ocurre

durante h. ya que por el axioma 1, todas las probabilidades son

independientes e idénticamente distribuidas.

1( ) ( )(1 ) ( ) ,n n np t h p t h p t h n >0

( ) ( )(1 ),o op t h p t h n = 0

Reordenando los términos, se obtiene.

1

( ) ( )( ) ( )n n

n n

p t h p tp t p t

h

( ) ( )( )o o

o

p t h p tp t

h



23

Tomando los limites cuando 0h , se encuentra que

1( ) ( )np t p t

0 0( ) ( )p t p t

Donde ( )np t es la primera derivada de ( )np t con respecto al tiempo t .

Las ecuaciones resultantes se conocen como las ecuaciones diferenciales

y de diferencias, y su solución esta dada por.

( )( ) ,

!

n t

n

t ep t

n

n = 0, 1, 2, 3,…………

La cual es la distribución de poisson con su valor esperado igual a t. Esto

significa que según los axiomas básicos. Las llegadas ocurren conforma a

una distribución de poisson.

Obtención de resultados

Las dos ecuaciones diferenciales anteriores pueden resolverse

directamente por inducción. Sin embargo, se utilizara la transformada z

introducida en la sección. Por consiguiente, la primera ecuación

proporciona

1 1 1

( ) ( ) ( )n n n

n n

n n n

p t z p t z t z

Sumando la segunda ecuación queda

1

0 0 1

( ) ( ) ( )n n n

n n n

n n n

p t z p t z p t z

Sustituyendo



24

0

( , ) ( ) n

n

n

P z t p t z

Se obtiene

1 1 ( 1) 1{ ( , )} { } { }z t t tzZ P z t Z e e Z e

La ecuación de la transformación z se convierte en

( , ) ( , ) ( , )p z t P z t zP z t

O bien ( , )

( 1)( , )

dP z tz dt

P z t

Resolviendo esta ecuación diferencial en t,

Donde B es una constante. Ya que

0( ,0) (0) 1P z p

Entonces B =1 esto proporciona

( 1)( , ) z tP z t e

Utilizando la transformada z inversa, se encuentra que

1 1 ( 1) 1{ ( , )} { } { }z t t tzZ P z t Z e e Z e

Esto da

( )( ) ,

!

t n

n

e tp t

n

n = 0, 1, 2,…….

La cual es la distribución de poisson con media y varianza igual a t.

Distribución de tiempos entre llegadas

Los tiempos entre llegadas se definen como intervalos de tiempo entre dos

llegadas sucesivas. Dada la distribución entre llegadas como sigue. Sea f (t ), t

>0, la función densidad de probabilidad de tiempo entre llegadas y definamos F

(t ) como la FDA de f ( t ).por consiguiente,

( 1)( , ) z tP z t Be



25

0( ) ( )

t

F t f u du

Puesto que el que no haya llegadas durante el intervalo (o,t ) equivale a un

tiempo entre llegadas mayor que t, resulta

00

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )t

tp t f u f u du F t

De los resultados que 0( ) tp t e

Entonces 1 ( )te F t

Derivando F (t) con respecto a t:

, 0( )

0; 0

te tf t

t

Esto demuestra que, para llegadas según poisson, la distribución de tiempo

entre llegadas es exponencial con media 1/ y varianza 21/

La distribución exponencial tiene la propiedad única de que, en cualquier

punto en el tiempo, el lapso hasta que ocurra la siguiente llegada es

independiente del que ha pasado desde que ocurrió de la ultima llegada.

Esto es equivalente a expresar que.

{ / } { }P t T S t S P t T

Para demostrar lo anterior considere que

({ , } {{ / }

{ } {

T ST

S

P t T S t S P t T S eP t T S t S e

P t S P t S e

La cual es independiente de S. esta propiedad usualmente se conoce como

“carencia de memoria” u “olvido” de la distribución exponencial



26

Distribución de salidas (modelo de fallecimiento puro)

En este modelo se suponme que existen N cliente en el sistema cuando t =

0. También se supone que no se permite ninguna llegada. Las salidas

ocurren según la tasa por unidad de tiempo. El objetivo es obtener la

distribución de salidas de este sistema con base en los axiomas de la

sección 2.1.

Para h > 0 pequeño, entonces 20( )uh h da la probabilidad de una salida

durante h. por el mismo argumento que en la sección 2.2, el término

20( ) 0h cuando 0h . Por consiguiente, la probabilidad que no haya

salida es aproximadamente 1 .h entonces,

( ) ( )(1 ),N Np t h p t h n = N

1( ) ( )(1 ) ( ) ,n n np t h p t h p t h 0 < n < N

0 0 1( ) ( ).1 ( ) ,p t h p t p t h n = 0

Reordenando los términos y tomando los límites cuando 0h , se tiene

( ) ( )N Np t p t n = N

1( ) ( ) ,n n np t p t p 0 < n < N

0 1( ) ( )p t p t n = 0

Estas ecuaciones dan

( )( ) ,

( )!

N n t

n

t ep t

N n

n = 1, 2, ……..N

1

( ) 1 ( )N

o n

n

p t p t



27

La cual es la distribución de poisson truncada.

Obtención de los resultados:

Este caso se resolverá por inducción. De la ecuación para n = N,

( ) ( )n np t p t

Lo cual de la solución

( ) ,t

Np t Be B constante

Por las condiciones iniciales; (0) 1Np por lo que B =1, o bien, ( ) t

Np t e

De la ecuación para 0 < n < N, se tiene que n = N – 1 y ( ) t

Np t e dan,

1 1 1( ) ( ) ( ) t

N N Np t e p t p t e

La solución de esta ecuación diferencial es

1 ( )t t t

np e e dt B t B e

Ya que 1(0) 0,Np entonces B = 0 y

1( ) t

Np t te

En general, puede comprobarse por inducción que

1

( )( ) ,

!

t t

N

e tp t

i

i = 1, 2, …….N - 1

O, haciendo que N – i = n ,

( )( ) ,

( )

tN n

n

t ep t

N n

n = 1, 2, …….,N

Para n = 0, la ecuación diferencial

1

0 1

( )( ) ( )

( )!

N tt ep t p t

N n

Da , por integración por partes sucesivas ,



28

0

1 1

( )( ) 1 1 ( )

( )!

N n tN N

n

n n

t ep t p t

N n

Este resultado también se deduce, ya que

0

( ) 1n

n

n

p t

Distribución de tiempos de servicio

Sea g (t ) la función densidad probabilidades ( f.d.p. )de tiempos de servicio.

Para obtener g (t) para el coso de salidas según Poisson, la probabilidad de

ningún servicio durante el periodo (0,T) es equivalente para la probabilidad

de no tener salidas

La ecuación diferencial general de la forma ( ) ( )y a t y b t

Tiene la solución

( ) ( ){ ( ) tan }fa t fa t dty e b t e dt cons te

Mismo periodo. por consiguientes

P {tiempo de servicio t > T} = P {ninguna salida durante T}

o sea 0

1 ( ) ( )

T

T

Ng t dt p t e

Por tanto, 0

( ) 1

T

Tg t dt e

Esto da, por derivación , 0

( )0., 0

te tg t

t

Lo cual muestra que la distribución de los tiempos de servicio es

exponencial con media

MODELOS DE LINEA ESPERA DE POISSION

Los resultados de la sección II indican que los axiomas dados llevan a llegaras

según poisson (tiempo entre llegaras exponencial) y tiempo de servicio

exponencial (salidas según poisson). En estas son las distribuciones que

representan las líneas de espera de poisson. En esta sección se presenta un



29

número de líneas de espera de poisson con diferentes características. Estas se

resumen para cada modelo utilizando la notación de Kendall

Modelo (M/ M/ 1): (FCFS / / )

Este modelo. Llamado modelo de nacimiento y fallecimiento, combina los

modelos de nacimiento y fallecimiento de tal manera que se permitan

simultáneamente llegadas y salidas. El modelo, como se indico con la notación

de Kendall, supone que únicamente un servidor para atender de una línea de

espera de longitud y fuente ilimitada.

Las ecuaciones diferenciales y diferencia que describen este modelo se

obtienen como sigue. La posibilidad de n (> 0) en el sistema en el tiempo t + h

es aproximadamente la suma de

(i)P { n en el sistema en t, y ninguna llegara y ninguna salida durante h }

(ii) P { n-1 en el sistema en t , y ninguna llegada y ninguna salida durante h }

(iii) P { n+1en el sistema en t ,y ninguna llegara y ninguna salida durante h}

por consiguiente, sumando las tres probabilidades y notando que los términos

en 2h implican la ocurrencia de dos eventos simultáneos durante h, así que

tendrán a cero cuando h llega a ser suficientemente pequeña, entonces para

n > 0,

1 1( ) ( ){1 } ( )( ) ( )( )n n n np t h p t h h p t h p t h

Similarmente, para n = 0,

0 0 1 0 1( ) ( ){(1 ).1} ( )( )( ) ( )(1 ) ( )( )p t h p t h p t h t h p t h p t h

Si uno toma los limites cuando h = 0, las dos ecuaciones anteriores dan

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n n np t p t p t p t n = 0

0 0 1( ) ( ) ( ),p t p t p t n = 0

La solución de las dos ecuaciones anteriores proporcionara ( )np t , las

probabilidades transitorias. Como se menciono anteriormente, estos

resultados requieren herramientas matemáticas complicadas y, en con

secuencia no se representaran aquí. el lector puede recurrir a saaty ´[7]para la

obtención de np (t).



30

Es posible comprobar que existe la solución de estado estable cuando

.t y suponiendo que ocurre esta restricción, se obtiene las

ecuaciones de estado estable reconocimiento que, cuando , ( ) 0nt p t y

( ) .n np t p para n = 0, 1, 2,…….esto da

0 1 0p p , n = 0

1 1 ( ) 0,n n np p p n = 0

Estas ecuaciones de diferencias resultan en

(1 ) , 0,1,2,......n

np n

Donde / 1 . Esta es una distribución geométrica con

( )1

E n

y

2var( )

(1 )n

Las medidas , , ,s q s qL L W W se obtienen de las formulas generales

{ }1

sL E n

2

1q sL L

1

(1 )

ss

LW

1

(1 )

q

q

LW

Deducciones de resultados

Las ecuaciones anteriores de diferencias pueden escribirse como

1 1( 1) ,n n np p pP P n = 0

0 1( 1) ,np P P P n = 0

La transformada z para las dos ecuaciones es

0

1 1( 1) ( ) ( ) ( )

zp P z pzP z P z p

z z



31

Esto da

0 0

1 1( )

( 1) ( 1 1

z zP z p p

z pz z z pz

De la transformada z inversa es

1 1

0 0

1{ ( )}

1

nZ P z p Z p ppz

O sea, ,n

n op p p n =0, 1, 2,………

El valor de 0p determina reconociendo que 0 1,nnp

por consiguiente,

0 0

0

11

1

n

n

p p pp

O bien (1 )op p

La serie 0

n

np

converge únicamente si p < 1, lo cual concuerda con los

requisitos de estado estable. Esto finalmente da

(1 ) ,n

np p p n = 0, 1, 2,……

La media E{n} = sL puede obtenerse de la definición básica del valor esperado

o de las propiedades de la trasformada z De la sección 9.11. (Propiedad 4)

00 12 2

{ } (1) /(1 ) (1 )

z

pPpE n p p

pz p

Como 0 (1 ),p p

{ }1

s

pL E n

p



32

Distribución de tiempos de espera para la disciplina de servicio FCFS

Sea t el tiempo que llega una persona debe de esperar en el sistema; esto es,

hasta que se realiza su servicio. Con base en la disciplina d e servicio FCFS,

su cliente que llega encuentra n personas delante se el en el sistema,

1 2 1.......... nt t t

Donde '

1t es el tiempo que tarda en salir el cliente que está siendo atendido y

1 2, ,......,

nt t t son los tiempos de servicio para los n-1 clientes en la línea. El

tiempo 1nt , por consiguiente, representa el tiempo de servicio para el cliente

que llega.

Sea | 1w n la función densidad de probabilidad condicional de ,

dados n clientes en el sistema antes del cliente que llega. Ya que it , para toda

i , está exponencialmente distribuida, por la propiedad de que no existe

memoria, '

1t también tendrá la misma distribución exponencial que 1 2, ,......,t t y

1nt . En consecuencia, es la suma de n+1 distribuciones exponenciales

idénticamente distribuidas e independientes. Esto significa que w | 1n tiene

distribución gamma con parámetros , 1n (vea el Ejemplo 9.9-1). Por

consiguiente,

0 0

| 1 1!

n

n

n

n n

w w n pn

e

1

0

1 1 , 0!

n

n

e en

La cual es una distribución exponencial con media

1

1

La media realmente es igual a sw , el tiempo promedio de espera en el

sistema.



33

Ejemplo

La ventanilla de un banco realiza las transacciones en un tiempo medio de 2

minutos. Los clientes llegan a la ventanilla con una tasa de 20 clientes por hora.

Si se supone que las llegadas son de Poisson y los servicios exponenciales, se

pide:

a) Porcentaje de tiempo en que el cajero está ocioso.

b) Tiempo medio de estancia de los clientes en la cola.

c) Fracción de clientes que deben esperar.

Si la atención a los clientes dura un promedio de 2 minutos, podemos

decir que la tasa de servicio es de 30 clientes por hora. Como

2

31

Podemos afirmar que el sistema es estacionario.

En esta situación, el porcentaje de tiempo que el cajero está ocioso es

igual a la probabilidad de que no haya ningún usuario en el sistema:

P0 1 03333 .

luego el cajero estará ocioso un 33.33% del tiempo.

El tiempo medio que un usuario pasa en la cola es:

Wq

20

30 100 0667. horas

es decir, 4 minutos.

Por último, la fracción de clientes que deben esperar es:

L

L

q

2

1

1

2

3

Ejemplo:

Una tienda de alimentación es atendida por una persona. La llegada de

clientes los sábados es un proceso de Poisson con una tasa de 10 personas

por hora y los clientes son atendidos según una polítca FIFO con un tiempo

medio de servicio de 4 minutos. Se pide:



34

a) Probabilidad de que haya cola.

b) Longitud media de la cola.

c) Tiempo medio de espera en cola.

d) Probabilidad de que el cliente esté menos de 12 minutos en la tienda.

La tasa de servicio es de 15 clientes por hora. Como , el sistema es

estable con 23.

La probabilidad de que haya cola es:

P n t P P P Po( ) ( ) . 1 1 1 1 1 1 0 44440 1 0

La longitud media de la cola será:

Lq

2

1

49

13

4

313333.

El tiempo medio de espera en cola:

Wq

10

15 501333. horas

es decir, de 8 minutos.

Por último, la probabilidad de que un cliente está menos de 12 minutos

en la tienda es equivalente a la probabilidad es la probabilidad de que el tiempo

de espera más el de servicio sean menores que 12, lo cual tiene una

distribución exponencial con parámetros , 1 . Por tanto:

P T e et

12 1 1 0 6321115

1

3

12

60 ( ) .



35

Modelo (M/M/1): (GD/N/ )

Este modo es esencialmente el mismo que el modelo (M/M/1): (FCFS/ / ),

excepto que el número máximo en el sistema está limitado a N (longitud

máxima de la línea=N-1).Ya que la distribución de tiempo de espera no se

dedujo en este modelo, se utiliza la disciplina de servicio GB para indicar que

los resultados obtenidos son aplicables a cualquiera de las tres disciplinas

comunes de servicio.

Por comparación con (M/M/1): (FCFS/ / ), las ecuaciones de estado

estable para este modelo son

1

1 1

1 1

1

0, 0

1 0, 0

0,

0,

o

n n n

n n n

N N

p p n

n p p n p n c

c p p c p c n N

p c p n N

La solución de estas ecuaciones de diferencias da

1

1, 0,1,2,...,

1

n

n Np n N

Se nota en este caso que

no necesita ser menor que 1. El lector deberá

verificar matemáticamente este resultado. Intuitivamente, sin embargo, el

número permitido en el sistema está controlado por la longitud máxima de la

línea, N-1, y no por la tasas relativas de llegada y salida. En consecuencia, la

tasa d llegada no afecta la condición de estado estable del sistema.

El número esperado en el sistema es

1

1

1 1

1 1

N N

s N

N NL

Las otras medidas ,q s qL w yw , pueden obtenerse de sL

Sin embargo, debido a que existe un límite de fila, se pierden algunos clientes.

Por consiguiente, es necesario calcular .ef ,la tasa efectiva de llegadas. Ya que

la probabilidad de que se pierda un cliente está dada por Np ,



36

.ef = (1 )Np y

. 1

q q

q

ef N

L Lw

p

1ef N

s q q

pL L L

1

1

ss q

N

Lw w

p

El valor de .ef también puede obtenerse utilizando la fórmula

.ef s qL L

Ejemplo

Los pacientes llegan a una clínica según un distribución de Poisson con una

tasa de 30 por hora, El cupo de la sala de espera es de 14 personas. El tiempo

de examen por persona es exponencial con tasa media de 20 por Hora.

a) Encuentre la tasa de llegada efectiva en la clínica

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llega no espera?

¿Encontrara un asiento desocupado en la sala?

c) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera hasta que un paciente salga de

la clínica?

Solución

Probabilidades lada Tasa de llegada Ls

P0 0.00076238 30 0.0228714 0 0

P1 0.00114357 30 0.0343071 1 0.00114357

P2 0.00171536 30 0.05146066 2 0.00343071

P3 0.00257303 30 0.07719098 3 0.0077191

P4 0.00385955 30 0.11578648 4 0.0154382

P5 0.00578932 30 0.17367972 5 0.02894662

P6 0.00868399 30 0.26051957 6 0.05210391

P7 0.01302598 30 0.39077936 7 0.09118185

P8 0.01953897 30 0.58616904 8 0.15631174

P9 0.02930845 30 0.87925356 9 0.26377607

P10 0.04396268 30 1.31888034 10 0.43962678

P11 0.06594402 30 1.97832051 11 0.72538419

P12 0.09891603 30 2.96748077 12 1.18699231

P13 0.14837404 30 4.45122116 13 1.9288625

P14 0.22256106 30 6.67683173 14 3.11585481

P15 0.33384159 19.9847524 15 5.0076238

Suma 1 Ls 13.0243962

1-0.3338= 0.66615841 Ws 0.65171666



37

La tasa de llegada efectiva

.ef = (1 )Np = 30(1-0.666) =19.9847524

La probabilidad de que un paciente que llega no espera? ¿Encontrara un

asiento desocupado en la sala?

Es que la clínica aun tenga espacio para el paciente

P15=1-0.33384159=0.66615841

El tiempo promedio de espera hasta que un paciente salga de la clínica

1ef N

s q q

pL L L

Ls=13.0243962

1 13.02439616

0.6517166641 19.9847524

ss q

N

Lw w

p



38

MODELO (M/M/c): (GD/ / )

Hasta aquí únicamente se han considerado las líneas de pisson con un

servidor, en esta sección, se considerará un modelo con c servidores en

paralelo ( 1c ) de tal manera que se puede servir a c clientes

simultáneamente. Se supone que todos los canales tienen la misma

distribución de servicio (exponencial) con tasa media por unidad de tiempo.

La obtención de ecuaciones diferenciales para este modelo es la misma que en

el modelo de un solo servidor, excepto la probabilidad de un servicio durante h

es aproximadamente n h para n c y c h para 5.n c Por consiguiente,

cuando 0,h

'

0 1 0 0p t p t p t n

'

1 11 , 0 0n n n np t p t n p t n p t n

'

1 1 ,n n n np t p t c p t c p t n c

Suponiendo que los parámetros del sistema son tales que existe una

solución de estado estable, las ecuaciones de estado estable están dadas por

0 1

1 1

1 10

0, 0

1 0, 0

0,n

n n n

n n

p p n

p n p n p n c

p c p c p n c

La solución de estado estable está dada como

, 0!

,!

n

o

n

on c

p n cn

np n c

c c

p

Donde

1

1

0 !! 1

n cc

o

n

pn

cc

y



39

1 1oc c

También

1

2 21 !

1

c

q o c

s q

q

q

s q

cL p p

c c c

L L

Lw

w w

Para 1c , los resultados anteriores se reducen a los del modelo (M/M/1):

(GD/ / )

Los cálculos asociados a este modelo pueden ser tediosos. dados

aproximaciones útiles para o y qp L . Para mucho más pequeño que uno

1

21

c

o qy Lc

y para /p c muy cercano a 1,

1 !

o qc

c cp y L

c c

Obtención de los resultados:

El método de inducción será utilizado para obtener los resultados de este

modelo. Al lector se le pide en el problema 13.17 que obtenga la misma

solución con la trasformada z.

Sea n+1 =k, entonces para 0<n<c, las ecuaciones de diferencias llegan a ser

1 2

11 , 2k k kp k p p k c

k

y también la ecuación de diferencia correspondiente a n c será

1 2

1, 1k k kp c p p k c

c

Estas dos ecuaciones, junto con la ecuación de diferencia para n=0, pueden

utilizarse ahora en el procedimiento de inducción.



40

El valor de op se determina de 0

1nnp

, la cual da

111 1

0 0 0! ! ! !

jn c n c n cc c

o n cn n c n j

pn c c n c c

1

1

0

1, 1

! !1

n cc

n n c c

c

La expresión para qL se obtiene como sigue:

0 0 0 !

k c

q n k c okn k k

kL n c p kp p

c c

1

20

1

! !1

kc c

o o

k

p k pc c c c c

c

1

2 21 !

c

o c

cp p

c c c

MODELO (M/M/c): (GD/N/ ), c<N

En este modelo, el numero máximo en el sistema está limitado a N, donde N>c.

la obtención de las ecuaciones diferenciales es similar a la de (M/M/c):

(GD/ / ) presentada en el modelo (M/M/c): (GD/ / ), excepto que se

necesita una cuarta ecuación que tome en cuanta el limite del número en el

sistema. Por consiguiente, las ecuaciones de estado estable están dadas como

1

1 1

1 1

1

0, 0

1 0, 0

0,

0,

o

n n n

n n n

N N

p p n

n p p n p n c

c p p c p c n N

p c p n N



41

La solución de estas ecuaciones de diferencia está dada como

, 0

,

!

!

n

o n c

n

o c n Nn c

pn

np

c c

p

, 0,1,2,...!

n

n

ep t n

n

Donde

11

11

o

0 1 0

1

p! ! !

! 1

N c

c

n n nc N c

n cn n c n

c

n c c nc

c

y / c no necesita ser menor que 1. La diferencia entre este modelo y de la

(M/M/c): (GD/ / ) ocurre solamente en la expresión para op .

1

21 1

1 !

N c N cc

q o

ef

s q q

L p N cc c cc c

L L c c L

Donde c = número de servidores ociosos = 0

c

n

n

c n p

y 1ef Np c c

Note la interpretación de ef en este caso. Ya que c c representa el número

esperado de canales ocupados, c c representa el número de servicios

reales por unidad de tiempo y, como consecuencia, la tasa efectiva de

llegadas.



42

Obtención de resultados:

La expresión para np se determina esencialmente en la misma forma

que en el modelo anterior y, en consecuencia, no se repetirá aquí. Para obtener

qL , uno tiene

1

1 1 1!

jcN N c N c

q n j c o

n c j j

L n c p jp p jc c c

=

1

21 1

1 !

N c N cc

op N cc c cc c

Para determinar .ef , considere

1

N

q n

n c

L n c p

=0 0 0

1N N c

n n n

n n n

np np c p

= 0

c

s n s

n

L c c n p L c c

O bien , s qL L c c

En consecuencia,

.ef c c

Esto significa que debe mantenerse la siguiente igualdad

. 1ef Nc c p

MODELO (M/M/ ): (GD/ / )

Este modelo representa una situación con tasas de servicio que dependen del

estado donde el número de servidores es directamente proporcional al número

en el sistema. Esta situación es equivalente a un modelo de servidores

múltiples, excepto que el número de servidores es limitado en este caso. Una

aplicación común la constituyen las instalaciones de autoservicio.

La obtención de las ecuaciones diferenciales para este modelo es

esencialmente la misma que en (M/M/c): (GD/ / ), excepto que la



43

probabilidad de una sola para toda 0n es aproximadamente .n h Por

consiguiente,

'

1 , 0o op t p t p t n

'

1 1( ) 1 , 1n n n np t n p t p t n p t n

Las ecuaciones de diferencia de estado estable están dadas por

1

1 1

0, 0

1 0, 1

o

n n n

p p n

n p p n p n

La solución para np t se obtiene del primer conjunto de ecuaciones

diferenciales como

, 0,1,2,...!

n

n

ep t n

n

Donde 1 te . Esta es una distribución de poisson con media

/E n t .

La solución de este estado estable puede obtenerse tomando el límite de np t

cuando t , o resolviendo las ecuaciones de diferencia. Esto, proporciona,

para cualquier 0 ,

, 0,1,2,.!

n

n

e pp n

n

La cual es de nuevo una distribución de poisson con media E n .

También,

sL E n

1

sw

0q qL w

Estos resultados también pueden obtenerse tomando el límite cuando cde

los resultados correspondientes en (M/M/c): (GD/ / ). No existe tiempo de

espera en la fila qw , y el tiempo de espera en el sistema sw es igual al tiempo



44

de servicio. Esto es posible ya que el número de servidores siempre es igual al

número de clientes.

Ejemplo

Una sucursal bancaria tiene dos cajas igualmente eficientes, capaces de

atender un promedio de 60 operaciones por hora con tiempos reales de

servicio que se observan exponenciales. Los clientes llegan con una tasa de

100 por hora. Determinar:

a) Probabilidad de que haya más de 3 usuarios simultáneamente en el

banco.

b) Probabilidad de que alguno de los cajeros esté ocioso.

c) Probabilidad de que un cliente permanezca más de 3 minutos en la

cola.

Tenemos un sistema con =100 usuarios por hora, =60 servicios por

hora y C 2 . Como se verifica que C , podemos afirmar que el sistema es

estacionario.

Entonces, la probabilidad de que haya más de tres usuarios es:

P n P P P P 3 1 0 1 2 3

donde sabemos que:

Pn C

C

C

n

n

C C

0

0

11

1 1

! !

11

2

2

21

100

60

1

2

100

60

120

120 1000 0909

21

21

!.

Pn

P P

PC C

P P

n

n C

n

1 0 0

2 0

2

0

2

1 100

600 0909 01515

1 1

2

1

2

100

600 0909 01263

!. .

!. .

PC C

P Pn C

n

3 0

3

0

31 1

2 2

1

4

100

600 0909 01052

! !. .

de forma que:



45

P n P P P P 3 1 052610 1 2 3 .

La probabilidad de que uno de los cajeros esté ocioso es:

P n P P 2 00909 01515 024240 1 . . .

La función de distribución del tiempo de espera en cola es

0)0(!1

1

0

!

1

00

)(

0

0

tsiFPCC

e

tsiP

CC

C

tsi

tTPtF

qT

tC

C

C

qqT

Donde deberemos expresar la tasa de llegadas y la de servicio en unidades por

minuto:

100

6016667. usuarios por minuto

60

601 usuario por minuto

Por tanto, la probabilidad de que un cliente permanezca más de tres minutos

en la cola es:

)0(!1

1

1313 0

3

qT

C

C

qq FPCC

e

TPTP

donde



46

F

C

C C

PT

C

q( )

!

. .0 1 1

2100

60

2 2100

60

0 0909 0 24250

2

y entonces, la probabilidad pedida es:

P T

e

3 1

100

601

2 166670 0909 0 2425 0 2786

23 2 1 6667.

.. . .

Ejemplo:

Una oficina estatal de transportes tiene 3 equipos de investigación de

seguridad vial cuyo trabajo consiste en analizar las condiciones de las

carreteras cuando se produce un accidente mortal. Los equipos son igualmente

eficientes y cada uno destina un promedio de 2 días a investigar y realizar el

informe correspondiente en cada caso, con un tiempo real aparentemente

exponencial. El número de accidentes mortales en carretera sigue una

distribución de Poisson con tasa media de 300 accidentes por año.

Determínese:

a) Número medio de accidentes cuya investigación no ha comenzado.

b) Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se

empieza a investigar.

c) Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que finaliza

la investigación.

d) Número medio de accidentes cuya investigación aún no ha terminado.

Estamos ante un sistema de colas con tasa de llegadas 300

accidentes por año o, lo que es lo mismo, 082. accidentes por día, con tasa

de servicio 05. investigaciones por día y con C 3 canales de servicio.

El número medio de accidentes cuya investigación aún no ha

comenzado es el número medio de usuarios en cola:



47

L P

C CP Pq

C

0 2 0

3

2 01

082

05082 05

2 15 08219555

!

.

.. .

. ..

donde

Pn C

C

C

n

n

C C

0

0

11

1 1

! !

11

2

1

6

3

3

1082

05

1

2

082

05

1

6

082

05

15

15 08201784

2 31

2 31

.

.

.

.

.

.

.

. ..

Así pues, el número de accidentes cuya investigación aún no ha comenzado

es:

L Pq 19555 0 34890. .

El tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a

investigar es el tiempo medio de espera:

WL

q

q

0 3489

0820 4255

.

.. dias

El tiempo medio desde que se produce el accidente hasta que finaliza la

investigación es el tiempo medio de permanencia en el sistema:

W Wq 1

2 4255

. dias

Por otra parte, el número medio de accidentes cuya investigación aún no ha

finalizado es el número medio de usuarios en el sistema:



48

L W 19889.

Una clínica canina tiene 3 veterinarios para vacunar perros. El número de

perros que llegan a la clínica sigue una distribución de Poisson con una tasa

media de 12 por hora. El tiempo medio empleado en vacunar a cada perro es

de 2 minutos. Determinar:

a) Porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía.

b) Tiempo medio de espera.

c) Tiempo medio de permanencia de los perros en la clínica.

d) Número medio de perros en la clínica.

e) Probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos para ser

vacunado.

Estamos ante un sistema de colas con una tasa de llegadas de 12 usuarios

por hora, una tasa de servicio de 30 servicios por hora y con C 3 canales

de servicio. Como se cumple que

C

Podemos afirmar que el sistema es estacionario.

El porcentaje de tiempo con la sala de vacunación vacía es:

Pn C

C

C

n

n

C C

0

0

11

1 1

! !

11

2

1

6

3

3

2 31

112

30

1

2

12

30

1

6

12

30

90

90 120 6701

2 31

.

Es decir, el porcentaje de tiempo con la cola vacía es:

P0 67 01% .



49

El tiempo medio de espera es:

WL

q

q

donde

L P

C Cq

C

0 2

3

2

3

10 6701

12

3012 30

2 90 12127 10

!. .

luego el tiempo medio de espera será de:

Wq 106 10 0 38164. horas . segundos

El tiempo medio de permanencia en la clínica es:

W Wq 1 1

30106 10 0 0334 2 00644

. . horas . minutos

El número medio de perros en la clínica es:

L W 12 106 10 000134. .

Y, por último, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:

P T P T P T

10

6001667 1 01667. .

P T P T P T

e

C CP F

C

C

Tq

10

6001667 1 0 667 1

1

10

0 1667

0. .!

( )

.

Donde es necesario expresar las tasas de llegadas y de servicio en unidades

por minuto:



50

12

600 2. Perros por minuto

30

6005. Perros por minuto

Entonces:

F

C

C C

PT

C

q( )

!

.

.

.

.

. .0 1 1

30 2

05

6 30 2

05

0 6701 0 99180

3

y, entonces, la probabilidad de que un perro espere más de 10 minutos es:

P T

e

10

601

050 2

051

2 15 0 20 6701 0 9918 0 0009

30 1667 15 0 2

..

.

. .. . .

. . .



51

Cadenas de Markov

Definición : Sea la secuencia x1,...,xn,...,xL; xi X; i {1,...,L}. Para que un

proceso sea markoviano de orden n, se tiene que cumplir que:

P{xL+1 / xL,...,x1} = P{xL+1 / xL,...,xL-n+1}

Aunque el caso que nos ocupa es con índice "i" y variable aleatoria discretos,

también hay procesos markovianos con índice y/o variable aleatoria continuos.

Definición: Un proceso markoviano de orden 1 es un proceso estocástico de

orden 1 en el cual su pasado no tiene ninguna influencia en el futuro si su

presente está especificado. Es decir:

Si tn-1 < tn, entonces:

P{ X(tn) Xn/X(t) , t tn-1 } = P{ X(tn) Xn/X(tn-1) }

Luego, si t1 < t2 < ... < tn:

P{ X(tn) Xn / X(tn-1),...,X(t1) } = P{ X(tn) Xn / X(tn-1) }

En el objeto de estudio, que son las cadenas markovianas, en una cadena

markoviana de primer orden se cumplirá:

P{xL+1 / xL,...,x1} = P{xL+1 / xL}

Definimos un estado como:

sL = {xL, xL-1, ... , xL-n+1}

Por lo tanto:

P{xL+1 / xL, xL-1, ... , xL-n+1} = P{xL+1 / sL}

De la misma manera obtenemos:

sL+1 = {xL+1, ... , xL+2-n}

P{xL+1 / xL, xL-1, ... , xL-n+1} = P{sL+1 / sL}

Por lo tanto, según se ha deducido, mediante los estados podemos pasar de

una cadena de orden n a otra de orden 1, ya que hemos formado con los

estados la cadena

p(s1,...,sn) = p(s1)·p(s2 / s1)·p(s3 / s2)·...·p(sn / sn-1),

que es una cadena es de orden 1.



52

Ejemplo: Cadena markoviana de 2º orden.

p(x1,...,xn) = p(x1,x2)·p(x3/x1,x2)·p(x4/x2,x3)·...·p(xn/xn-2,xn-1)

Si por ejemplo la secuencia es del tipo abaabbaaab..., tendremos:

p(abaabbaaab...)=p(ab)·p(a/ab)·p(a/ba)·p(b/aa)·p(b/ab)·p(a/bb)·p(a/ba)·p(a/aa)·

...

Por estados:

Cuando ocurre que:

P{xL+1=j / xL=i} = P{x2=j / x1=i}

se dice que estamos ante una cadena markoviana invariante en el tiempo u

homogénea.



53

En el ejemplo anterior:

Definición: Matriz de probabilidades de transición:

P = , siendo P{xn+1= j / xn= i} = pij

Propiedades de P:

Es una matriz cuadrada.

pij 0, i,j

pij = 1

Ahora sean:

n = ( p(xn=1) , ... , p(xn=M) )

n+1 = ( p(xn+1=1) , ... , p(xn+1=M) )

p(xn+1= j) = p(xn= i, xn+1= j) = p(xn= i)·pij

Las probabilidades de transición del estado n+1 son:

n+1 = n·[P]



54

Por lo tanto, dado 1, se obtiene

n = 1·[P]n-1

Ejemplo:

Dado el diagrama de estados

una secuencia válida podría ser: abadcb...

Como cada estado depende del anterior (cadena markoviana), se observa

como una característica de este ejemplo que, si el estado inicial es a, los

estados a y c sólo pueden aparecer en posiciones impares de la cadena, y los

estados b y d sólo en posiciones pares. Ocurriría lo mismo si el estado inicial

fuera el c, y ocurriría lo contrario si el estado inicial fuera b ó d.

Periodicidad

La probabilidad de ir del estado i al estado j en n saltos se expresa como:

Pij(n) = P{xL+n= j / xL= i} = pih·phj

(n-1)

La probabilidad de llegar al mismo símbolo (estado i) tras L saltos será Pii(L). Si

Pii(L) , entonces diremos que el estado i es un estado periódico de periodo d=L.

Si todos los estados tienen el mismo periodo, la cadena es periódica.

Cadenas de Markov reducibles e irreducibles



55

Ejemplo:

Se ve claramente que Pac(n) 0, pero Pca

(n) = 0, n

Los estados conectados entre sí forman un cluster. En el dibujo hay dos, y

están rodeados en rojo y azul.

Un estado es transitorio si, después de pasar por él una o varias veces, no se

vuelve a pasar después por él ninguna vez más.

Si todos los estados están conectados entre sí y no son transitorios, se dice

que la cadena es irreducible.

En el ejemplo anterior, hay una cadena reducible compuesta por dos cadenas

irreducibles (los clusters antes mencionados). Cuando se pasa del estado b al c

(transición en color verde), ya no hay manera de volver a los estados a y b. Por

lo tanto, estos dos estados son transitorios en la cadena total.

Si la cadena es aperiódica, irreducible y homogénea, entonces

existe un tal que = ·[P]

Si en el instante n la distribución es n = , entonces en el instante n+1 será

n+1 = . Por lo tanto, en una cadena de este tipo:

n+L = , L

Una cadena de tres v.a. X, Y, Z es de Markov si cumplen:



56

p(x,y,z) = p(x)·p(y/x)·p(z/y)

Consecuencias: (para la cadena de Markov X -> Y -> Z)

Si Z = f(Y) => X -> Y -> Z

Independencia condicionada: X y Z condicionadas por Y son independientes.

Entonces:

Simetría:

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proceso estocástico manual