FORMACIN CONTINUACursoMATEMTICAS BASICAS
PROFRA. MILDRED MUOZ FLORIOPROFRA. ELISA RAMREZ AGUILARPROFR.
JULIO CESAR RAMOS LOPEZPROFR. ROMEO SALINAS PEREZCLAUDIA YAZBET
CASTELLANOS CASTELLANOSMTRO. JOSE ANTONIO GMEZ CRUZMTRO. GILDARDO
PEREA VELAZQUEZMTRO. RAMON ISRAEL URBINA GMEZ
CINTALAPA DE FIGUEROA, CHIAPAS, A 10 DE ABRIL DEL 2014
INTRODUCCINlgebra, rama de las matemticas en la que se usan
letras para representar relaciones aritmticas. Al igual que en la
aritmtica, las operaciones fundamentales del lgebra son adicin,
sustraccin, multiplicacin, divisin y clculo de races. La aritmtica,
sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemticas,
como el teorema de Pitgoras, que dice que en un tringulo rectngulo
el rea del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la
suma de las reas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La
aritmtica slo da casos particulares de esta relacin (por ejemplo,
3, 4 y 5, ya que 32+42 =52). El lgebra, por el contrario, puede dar
una generalizacin que cumple las condiciones del
teorema:a2+b2=c2.El lgebra clsica, que se ocupa de resolver
ecuaciones, utiliza smbolos en vez de nmeros especficos y
operaciones aritmticas para determinar cmo usar dichos smbolos. El
lgebra moderna ha evolucionado desde el lgebra clsica al poner ms
atencin en las estructuras matemticas. Los matemticos consideran al
lgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los
conectan o relacionan. As, en su forma ms general, se dice que el
lgebra es el idioma de las matemticas.HISTORIA La historia del
lgebra comenz en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron
capaces de resolver ecuaciones lineales (ax=b) y cuadrticas
(ax2+bx=c), as como ecuaciones indeterminadas comox2+y2 =z2, con
varias incgnitas. Los antiguos babilonios resolvan cualquier
ecuacin cuadrtica empleando esencialmente los mismos mtodos que hoy
se ensean.Los matemticos alejandrinos Hern y Diofante continuaron
con la tradicin de Egipto y Babilonia, aunque el libroLas
aritmticasde Diofante es de bastante ms nivel y presenta muchas
soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas difciles.
Esta antigua sabidura sobre resolucin de ecuaciones encontr, a su
vez, acogida en el mundo islmico, en donde se la llam ciencia de
reduccin y equilibrio. (La palabra rabeal-abrque significa
`reduccin', es el origen de la palabralgebra).
En el siglo IX, el matemtico al-Jwarizmi escribi uno de los
primeros libros rabes de lgebra, una presentacin sistemtica de la
teora fundamental de ecuaciones, conejemplosy demostraciones
incluidas. A finales del siglo IX, el matemtico egipcio Abu Kamil
enunci y demostr las leyes fundamentales e identidades del lgebra,
y resolvi problemas tan complicados como encontrar lasx, y,zque
cumplenx+y+z=10,x2+y2=z2, yxz=y2.
En las civilizaciones antiguas se escriban las expresiones
algebraicas utilizando abreviaturas slo ocasionalmente; sin
embargo, en la edad media, los matemticos rabes fueron capaces de
describir cualquier potencia de la incgnitax,y desarrollaron el
lgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los smbolos
modernos. Esta lgebra inclua multiplicar, dividir y extraer races
cuadradas de polinomios, as como el conocimiento del teorema del
binomio. El matemtico, poeta y astrnomo persa Omar Khayyam mostr
cmo expresar las races de ecuaciones cbicas utilizando los
segmentos obtenidos por interseccin de secciones cnicas, aunque no
fue capaz de encontrar una frmula para las races. La traduccin al
latn dellgebrade al-Jwarizmi fue publicada en el siglo XII. A
principios del siglo XIII, el matemtico italiano Leonardo Fibonacci
consigui encontrar una aproximacin cercana a la solucin de la
ecuacin cbicax3+2x2+cx=d.Fibonacci haba viajado a pases rabes, por
lo que con seguridad utiliz el mtodo arbigo de aproximaciones
sucesivas.A principios del siglo XVI los matemticos italianos
Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la
ecuacin cbica general en funcin de las constantes que aparecen en
la ecuacin. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano, pronto encontr la
solucin exacta para la ecuacin de cuarto grado y, como
consecuencia, ciertos matemticos de los siglos posteriores
intentaron encontrar la frmula de las races de las ecuaciones de
quinto grado y superior. Sin embargo, a principios del siglo XIX el
matemtico noruego Niels Abel y el francs variste Galois demostraron
la inexistencia de dicha frmula.Un avance importante en el lgebra
fue la introduccin, en el siglo XVI, de smbolos para las incgnitas
y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este
avance, el Libro III de laGeometra(1637), escrito por el matemtico
y filsofo francs Ren Descartes se parece bastante a un texto
moderno de lgebra. Sin embargo, la contribucin ms importante de
Descartes a las matemticas fue el descubrimiento de la geometra
analtica, que reduce la resolucin de problemas geomtricos a la
resolucin de problemas algebraicos. Su libro de geometra contiene
tambin los fundamentos de un curso de teora de ecuaciones,
incluyendo lo que el propio Descartes llam laregla de los
signospara contar el nmero de races verdaderas (positivas) y falsas
(negativas) de una ecuacin. Durante el siglo XVIII se continu
trabajando en la teora de ecuaciones y en 1799 el matemtico alemn
Carl Friedrich Gauss public la demostracin de que toda ecuacin
polinmica tiene al menos una raz en el plano complejo (vaseNmero
(matemticas):Nmeros complejos).En los tiempos de Gauss, el lgebra
haba entrado en su etapa moderna. El foco de atencin se traslad de
las ecuaciones polinmicas al estudio de la estructura de sistemas
matemticos abstractos, cuyos axiomas estaban basados en el
comportamiento de objetos matemticos, como los nmeros complejos,
que los matemticos haban encontrado al estudiar las ecuaciones
polinmicas. Dosejemplosde dichos sistemas son los grupos y las
cuaternas, que comparten algunas de laspropiedadesde los sistemas
numricos, aunque tambin difieren de ellos de manera sustancial. Los
grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones
(vaseCombinatoria) de las races de polinomios, pero evolucionaron
para llegar a ser uno de los ms importantes conceptos unificadores
de las matemticas en el siglo XIX. Los matemticos franceses Galois
y Augustin Cauchy, el britnico Arthur Cayley y los noruegos Niels
Abel y Sophus Lie hicieron importantes contribuciones a su
estudio.
Las cuaternas fueron descubiertas por el matemtico y astrnomo
irlands William Rowan Hamilton, quien desarroll la aritmtica de los
nmeros complejos para las cuaternas; mientras que los nmeros
complejos son de la formaa+bi,las cuaternas son de la
formaa+bi+cj+dk.
Despus del descubrimiento de Hamilton, el matemtico alemn
Hermann Grassmann empez a investigar los vectores. A pesar de su
carcter abstracto, el fsico estadounidense J. W. Gibbs encontr en
el lgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los fsicos,
del mismo modo que Hamilton haba hecho con las cuaternas. La amplia
influencia de este enfoque abstracto llev a George Boole a
escribirInvestigacin sobre las leyes del pensamiento(1854),
untratamientoalgebraico de la lgica bsica.
Desde entonces, el lgebra moderna tambin llamada lgebra
abstracta ha seguido evolucionando; se han obtenido resultados
importantes y se le han encontrado aplicaciones en todas las ramas
de las matemticas y en muchas otras ciencias.1. Las operaciones
simples de la matemtica.La operacin matemtica 7 + 2, que es la
suma, es de fcil comprensin, y an ms fcil es su ejecucin. Sin error
exclamamos 9 !. A esta expresin, "siete ms dos", asociamos la idea
natural que teniendosieteobjetos le agregamosdosobjetos, para
obtener un total denueveobjetos.La operacin matemtica 9 - 4, que es
la resta, a veces tambin es de fcil comprensin. En este ejemplo, la
podemos interpretar como: tengonueveobjetos y entrego (o me
quitan)cuatro objetos, entonces me quedo concincoobjetos. Y
rpidamente decimos "nueve menos cuatro es igual a cinco".Lo que
queremos decir con esto, que las operaciones matemticas, por lo
general, tienen una interpretacin de situaciones fsicas en el mundo
real. Por ejemplo, la operacin 6 + 2, puede significar que tengo
seis CD de msica rock, y me han regalado 2 CD de msica rock, lo que
en total hacen en mi poder 8 CD de msica rock.De igual manera, la
operacin 7 - 5, puede significar que tengo 7 billetes de mil pesos,
al inicio de la semana, y durante el transcurso de ella, he gastado
5 billetes de mil pesos, por lo que me queda en mi poder solamente
2 billetes de mil pesos.Entregue una interpretacin lo ms real
posible (y redctelas) para las siguientes operaciones matemticas:a)
5 - 4 b) 10 + 1 c) 12 - 6 e) 365 - 174 f) 13 + 8Lo que puede
resultar complicado, tanto del punto de vista del clculo matemtico,
como la interpretacin en la vida real es la siguiente operacin
matemtica: 5 - 9. Cinco menos nueve. Ya no es tan evidente que el
resultado de esta operacin sea - 4 (y se lee menos cuatro). Sin
embargo, como vamos a ver ahora, tambin es una operacin que es
normal en nuestra vida diaria.Suponga usted que tiene 5 billetes de
mil pesos, y usted debe al almacn de la esquina 9 billetes de mil
pesos (por lo menos es lo que me ocurre con mi casera). Si
decidimos pagarle, entonces le quedar debiendo 4 billetes de mil
pesos, es decir le quedar en su cuenta personal una deuda (con el
almacn) de 4 mil pesos. Y eso se pone en trminos matemticos como 5
- 9 = - 4. Digamos que, para este ejemplo, la cantidad negativa
representa una deuda, o algo que falta y que hay que considerarla a
futuro para llevar bien las cuentas. Qu otra interpretacin puede
tener la expresin matemtica 5-9?Supongamos que tenemos 9
trabajadores que necesitan, obviamente, nueve puestos de trabajos,
y sin embargo la municipalidad solamente ofrece 5 puestos de
trabajo. Es decir faltan 9 puestos de trabajo (- 9) y la
municipalidad ofrece 5 puestos de trabajo (+5), por lo tanto el
problema se reduce a que ahora faltan 4 puestos de trabajo (-
4).Encuentre una interpretacin, lo ms real posible, a las
siguientes diferenciasa) 10 - 21 b) 9 - 11 c) 3 - 30 d) 5 - 7 e) 15
- 152. Un nuevo lenguajeLa matemtica, entonces, sirve para la vida
real. Lo que sucede a veces, que no puede estar estudiando caso a
caso, las diferentes problemticas que se pueden resolver con las
operaciones matemticas. Es entonces que inventa un nuevo lenguaje
llamadolgebra. Esta lgebra consiste en asociar a los nmeros las
unidades que representa. Por ejemplo, si son los billetes de mil
pesos que podamos tener o no tener, que podamos sumar o restar
entre cantidades de billetes de mil pesos, podemos abreviar, por
ejemplo, la expresin "tengo siete billetes de mil pesos" por 7m,
donde la letra m representa a "un billete de mil pesos". De manera
que la expresin algebraica 7m + 5m significa, tener 12m (doce
billetes de mil pesos).De igual manera, es posible que la letra m
represente la expresin "un CD de rock", de manera que 7m + 5m est
representando que tengo 12m (doce CD de msica rock)Este nuevo
lenguaje nos permite operar matemticamente con distintas unidades.
Por ejemplo, que interpretacin le podramos dar a la expresin 7a +
5b + 2a - 3bEn primer lugar, que tenemos "unidades distintas" de
cosas, que hay objetos de la clase "a", y objetos de la clase "b",
donde por ejemplo "a" represente "un disco de CD de msica rock" y
"b" represente "un billete de mil pesos", de manera que la expresin
7a + 5b + 2a - 3b puede significar que, en total tengo 9a (nueve
discos CD de msica rock) y 2b (dos billetes de mil pesos). Observe
que cada una de las operaciones efectuadas, la suma de los trminos
en "a", y la suma de los trminos en "b", tienen su respectiva
interpretacin.Sumar o restar los trminos que tienen la misma letra
(la misma unidad diremos nosotros) es lo que los profesores de
matemticas llamamos "reducir los trminos semejantes".Entonces a
veces, uno olvida lo que cada letra representa, y nos ponemos a
operar con los trminos que son semejantes.Veamos un ejemplo ms
complicado, si la unidad es m, por ejemplo m representa un billete
de mil pesos o vulgarmente "una luca", como se dice en trminos
chilenos. Cmo puede usted expresar "media luca", o quinientos
pesos?. Es claro que la media luca es la mitad de una luca, de
manera que en trminos de la unidad m, la "media luca" se escribe
como 0.5m o que es lo mismo m. De manera que podemos trabajar con
expresiones algebraicas del tipo 0.7a + 3b - 0.4a + 0.5b y cuyo
resultado es 0.3a + 3.5b esto es que los trminos semejantes se
suman o restan de la manera habitual. Un procedimiento ordenado
sera 0.7a + 3b - 0.4a + 0.5b = 0.7a - 0.4a + 3b + 0.5b = 0.3a +
3.5bEjercicio: Suponga que usted tiene 2 billetes de mil pesos (2
"lucas"), y tiene cinco monedas de cien pesos (cinco "gambas"). Cmo
puede usted expresar la suma total de estas cantidades de dinero
mediante una expresin algebraica?Respuesta: Supongamos que la letra
"m" representa un billete de mil pesos (una "luca"), luego si tengo
dos billetes de luca, lo representamos por 2m. Por otro lado, cinco
monedas de cienpesos (cinco "gambas") equivale a "media luca", esto
es 0.5m. Por lo tanto, la cantidad de dinero total es: 2m +
0.5m.
Ahora si consideramos a "m" como un billete de 1000 pesos, y a
"c" como una moneda de cien pesos, lo anterior tambin se puede
expresar como 2m + 5c
Un Acertijo: Cul es el nmero que falta?
-2=4
Bueno pues, la respuesta es 6, no? Porque 6-2=4.Bien, en lgebra
no usamos espacios vacos o cajas sino que usamos una letra
(normalmente una x o una y, pero cualquier letra est bien).
Entonces escribiramos:x-2=4
Es as de sencillo. La letra (en este caso una x) slo quiere
decir an no lo sabemos y se la llama
frecuentementeincgnitaovariable.Y una vez que la resuelves,
escribes:x=6
Por qu usar una letra?Porque:
es ms fcil escribir x que dibujar cajitas vacas (y ms fcil decir
x que caja vaca)
si hubiera muchas cajitas vacas (muchas incgnitas) podramos
utilizar una letra diferente para cada una.
Cmo ResolverEl lgebra es como un acertijo donde empiezas con
algo como x-2=4 y quieres llegar a algo como x=6.Pero en lugar de
decir obviamente x=6, usa el siguiente mtodo paso a paso: Piensa qu
eslo que debes quitarpara llegar a x= Qutalohaciendo lo
opuesto(sumar es opuesto a restar) Esto ltimo hazlo enambos
ladosAqu tienes un ejemplo:Queremos quitar el -2Para quitarlo,haz
lo opuesto, en este caso suma 2Hazlo enambos lados:Lo cual es
...Resuelto!
Por qu agregamos 2 a ambos lados?Para mantener el
equilibrioAgrega 2 a la izquierdaAgrega 2 a la derecha tambin
EquilibradaDesequilibrada!Equilibrada de nuevo
Acurdate de esto:Para mantener el equilibrio, lo que se hace aun
ladodel =tambin debe hacerse alotro lado!
Otro AcertijoResuelve ste:x+5=12
Comienza con:x + 5 = 12
Lo que ests buscando es una respuesta como x= y el +5 est
molestando!Si restas 5, puedes cancelar el +5 (porque 5-5=0)
Entonces, intentemos restar 5 enambos lados:x+5-5= 12-5
Un poquito de aritmtica (5-5=0 y 12-5=7) da como resultado:x+0 =
7
Lo cual es simplemente:x = 7
Resuelto!
(chequeo rpido: 7+5=12)
3. Ecuaciones de primer grado.
Unaecuacin de primer gradooecuacin linealsignifica que es un
planteamiento de igualdad, involucrando una o ms variables a la
primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es
decir, unaecuacinque involucra solamente sumas y restasde
unavariablea laprimera potencia. En todoanillo conmutativopueden
definirse ecuaciones de primer grado.
En general pararesolver una ecuacin de primer grado debemos
seguir los siguientespasos:1Quitar parntesis.2Quitar
denominadores.3Agrupar los trminos enxen un miembro y los trminos
independientes en el otro.4Reducir los trminos semejantes.5Despejar
la incgnita.
Despejamos la incgnita:
Agrupamos los trminos semejantes y los independientes, y
sumamos:
Quitamos parntesis:
Agrupamos trminos y sumamos:
Despejamos la incgnita:
Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el
mnimo comn mltiplo.
Quitamos parntesis, agrupamos y sumamos los trminos
semejantes:
Despejamos la incgnita:
Quitamos parntesis y simplificamos:
Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los trminos
semejantes:
Quitamos corchete:
Quitamos parntesis:
Quitamos denominadores:
Quitamos parntesis:
Agrupamos trminos:
Sumamos:
Dividimos los dos miembros por: 9
IV. Polinomios
Enmatemticas, unpolinomio(dellatnpolynomius, y este delgriego,
[polys] muchos y [nmos] regla, prescripcin, distribucin)123es
unaexpresin matemticaconstituida por un conjunto finito
devariables(no determinadaso desconocidas) y constantes(nmeros
fijos llamadoscoeficientes), utilizando nicamente las
operacionesaritmticasde suma, resta y multiplicacin, as como
tambinexponentesenterospositivos. En trminos ms precisos, es
unarelacin n-ariademonomios, o una sucesin de sumas y restas de
potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.Es
frecuente el trminopolinmico(ocasionalmente tambin el
anglicismopolinomial), como adjetivo, para designar cantidades que
se pueden expresar como polinomios de algn parmetro, como por
ejemplo:tiempo polinmico, etc.Los polinomios son objetos muy
utilizados en matemticas y en ciencia. En la prctica, son
utilizados enclculoyanlisis matemtico para aproximar
cualquierfuncin derivable; lasecuaciones polinmicasy las funciones
polinmicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas,
desde la matemtica elemental y ellgebrahasta reas como
lafsica,qumica,economay lasciencias sociales.Enlgebra abstracta,
los polinomios son utilizados para construir losanillos de
polinomios, un concepto central enteora de nmeros
algebraicosygeometra algebraica.Un polinomio es una expresin hecha
con constantes, variables y exponentes, que estn combinados usando
sumas, restas y multiplicaciones, pero no divisiones.Los exponentes
slo pueden ser 0.1,2,3 etc. No puede tener un nmero infinito de
trminos.Son polinomios o no?
Estossonpolinomios: 3x + y x - 2 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y +
0.5Y estosnoson polinomios 2/(x+2)no lo es, porque dividir no est
permitido 3xy-2no lo es, porque un exponente es "-2" (los
exponentes slo pueden ser 0,1,2,...)Peroestosest permitido: x/2est
permitido, porque tambin es()x(la constante es , o 0.5)
tambin3x/8por la misma razn (la constante es 3/8, o 0.375)Monomios,
binomios, trinomiosHay nombres especiales para los polinomios con
1, 2 o 3 trminos:
Cmo te aprendes los nombres?Piensa en bicicletas!
(Tambin existen cuatrinomio (4 trminos) y quintinomio (5
trminos), pero se usan poco)Muchos trminosLos polinomios pueden
tener montones de trminos,pero noinfinitostrminos.Qu tienen de
especial los polinomios?Por su definicin tan estricta, es fcil
trabajar con polinomios.Por ejemplo sabemos que: Sisumas o restas
polinomioste sale un polinomio Simultiplicas polinomioste sale un
polinomioAs que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con
ellos, y siempre sale un polinomio al final.GradoElgradode un
polinomio con una sola variable es elmayor exponentede esa
variable.Ejemplo:El grado es3(el mayor exponente dex)
Para casos ms complicados, se leeGrado (de una expresin).
Trminos similares:"Trminos similares" sontrminoscuyas variables
(y susexponentescomo el 2 en x2) son los mismos.En otras palabras,
trminos que "se parecen". (Nota: loscoeficientespueden ser
distintos)Ejemplos:TrminosPor qu son "similares"
7xX-2xporque las variables son todasx
(1/3)xy2-2xy26xy2porque las variables son todasxy2
Puedes sumar lostrminos similarespara hacer un solo
trmino:Ejemplo: 7x+x= 8xTrminos no similaresSi no son trminos
similares, simplemente se les llama "trminos no
similares":TrminosPor qu no son "similares"
-3xy-3y12y2estos sontrminos no similares(xy,yey2son todos
diferentes)
Qu es una ecuacin?Una ecuacin dice que dos cosas son iguales.
Tendr un signo de igualdad "=", por ejemplo:X+2=6
Lo que esta ecuacin dice:lo que est a la izquierda (x + 2) es
igual que lo que est en la derecha (6)As que una ecuacin es como
unaafirmacin"estoes igual aaquello"Partes de una ecuacin: Para que
la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las
diferentes partes (mejor que decir "esta cosa de aqu"!)Aqu tenemos
una ecuacin que dice4x-7es igual a5, y todas sus
partes:Unavariablees un smbolo para un nmero que todava no
conocemos. Normalmente es una letra como x o y.Un nmero solo se
llama unaconstante.Uncoeficientees un nmero que est multiplicando a
una variable (4x significa 4 por x, as que 4 es un
coeficiente)Unoperadores un smbolo (como +, , etc) que representa
una operacin (es decir, algo que quieres hacer con los
valores).
Untrminoes o bien un nmero o variable solo, o nmeros y variables
multiplicados juntos.Unaexpresines un grupo de trminos (los trminos
estn separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresin slo tiene dos
trminos", o "el segundo trmino es constante", o incluso "ests
seguro de que el coeficiente es 4?"Exponente!Elexponente(como el 2
en x2) dicecuntas vecesusar el valor en una multiplicacin.
Ejemplos:
82= 8 8 = 64 y3= y y y y2z = y y z
Los exponentes hacen ms fcil escribir y usar muchas
multiplicacionesEjemplo:y4z2es ms fcil quey y y y z z, o
inclusoyyyyzz
Un ejemplo de un polinomio:3x2+ x 2
Unpolinomiopuede tenerconstantes,variablesy losexponentes
0,1,2,3,...Y se puede combinar haciendo sumas, restas y
multiplicaciones...pero no divisiones!Grado de un polinomio:Es el
grado del trmino de mayor grado.El trminode primer grado se llama
trmino lineal.El trminode grado cero se denomina trmino
independiente.Valor numrico de un polinomio:Para hallar el valor
numrico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus
valores y se efectan lasoperacionesindicadas.Adicin de
polinmios:Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuacin
de otro, intercalando entre ambos el signo de la adicin, y se
reducen trminos semejantes.Sustraccin de polinomios:La sustraccin
de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del
sustraendo.Expresionesalgebraicas:Una expresin algebraica es un
conjunto de nmeros y letras unidas por los signos de las
operacionesaritmticas.Definicinyejemplosde polinomiosUnpolinomioes
una expresin algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma
de monomios no semejantes.Si recordamos la suma de monomios, cuando
estos no eran semejantes, no se podan sumar. En este caso lo que se
obtiene es por tanto un polinomio.Ejemplo 8.- Son polinomios las
expresiones siguientes:a)4ax4y3+x2y+3ab2y3b)4x4-2x3+3x2- 2x + 5En
el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios,
cada uno de ellos es untrminodel polinomio, luego tiene tres
trminos., cada uno con varias letras, mientras que en el segundo
caso el polinomio tiene 5 trminos. Si un trmino slo consta de un
nmero se le llama trmino independiente(5 en el caso b y no existe
en el caso a)Cuando un polinomio consta de dos monomios se
denominabinomio:x2y+3ab2y3;2x + 3son dos binomiosCuando consta de
tres monomios se denominatrinomio: elcaso a)anterior o-2x3+3x2+
5son dos trinomios.Con ms de tres trminos (monomios) ya se denomina
en general polinomio.Respecto algradode un polinomio, se dice que
tiene por grado el mayor de los grados de los monomios que lo
forman.As en elcaso a)los grados de los monomios (suma de los
exponentes de las letras) son 8, 3 y 6, luego elgrado del polinomio
es 8.En elcaso b) el grado es 4.Los nmeros que acompaan como
factores a las letras (coeficientes de los monomios), se llaman
tambincoeficientesdel polinomio: 4 , -2 , 3 , -2 , y 5
respectivamente en el caso b)."Lo ms habitual que nos vamos a
encontrar son polinomios del tipo del caso b), por tanto con una
sola letra, que habitualmente ser la x".En este caso a la letra se
le suele llamar variable.Suma y resta de polinomiosLa suma de
polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema. Se
podrn sumar los trminos (monomios) que sean semejantes de los
polinomios objeto de la suma."A partir de este momento trabajaremos
ya slo con polinomios con una sola letra (x) por considerar que son
los ms utilizados en la prctica"Ejemplo 9.- Paracalcularla suma de
los polinomios:(4x4- 2x3+3x2- 2x + 5) + (5x3-x2+ 2x )Bastasumarlos
trminos de grados 3, 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de
los trminos del primero como est.Podemos indicar la suma de la
siguiente forma para verla mejor:4x4-2x3+3x2-2x +
5+----5x3---x2+2x_____________________4x4+ 3x3+2x2+ -----5Por
tanto: Para sumar dos o ms polinomios se suman los trminos
semejantes de cada uno de ellos.Si en lugar de sumar dos polinomios
se tratara derestarlos, bastara cambiar el signo a todos los
trminos del segundo y sumar los resultados.Ejemplo 10.-
Paracalcularla diferencia o resta de los dos polinomios
anteriores:(4x4- 2x3+3x2- 2x + 5) - (5x3-x2+ 2x )Se calcula la
suma:(4x4- 2x3+3x2- 2x + 5) + (- 5x3+x2- 2x ) = 4x4- 7x3+4x2- 4x +
5Producto de polinomiosPara multiplicar dos polinomios se deben
multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y
sumar los resultados. ("Atencin especial al producto de potencias
de la misma base")Si uno de los dos polinomios es un monomio, la
operacin es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la
que se pueden variar los coeficientes.En el caso en que ambos
polinomios consten de varios trminos, se puede indicar la
multiplicacin de forma semejante a como se hace con nmero de varias
cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean
semejantes.En la siguiente imagen se puede ver el producto de dos
polinomios de varios trminos.Ejemplo 11.-
En la prctica no suele indicarse la multiplicacin como en esta
imagen, sino que suelen colocarse todos los trminos seguidos y
sumar despus los que sean semejantes. As:Ejemplo 12.-(- 2x3+3x2- 2x
+ 5) (x + 1) =(-2x4+3x3-2x2+ 5x- 2x3+3x2- 2x + 5) =- 2x4+x3+ x2+3x
+ 5Igualdades notables:Se denominan as a algunasoperacionescon
polinomios de especial inters ya que aparecern frecuentemente en
los clculos.Las ms usuales son:Cuadrado de un binomio: suma(a +
b)2o diferencia(a - b)2Naturalmente realizar un cuadrado es
multiplicar el binomio por s mismo, luego:(a + b)2= (a + b ) (a +
b) = a2 + ab + ba + b2 =a2+ 2ab + b2"El cuadrado de una suma es
igual al cuadrado del primero ms dos veces el primero por el
segundo ms el cuadrado del segundo "De modo similar:(a + b)2= a2-
2ab + b2(igual que antes pero cambiando el signo central)."En
cualquier caso se debe tener en cuenta que el primer trmino "a"
tambin puede ser negativo y por tanto cambiar el signo central".
"En general se puede considerar siempre como una suma y para cada
trmino asignarle el signo que le preceda (ver ejemplo 13 -
b)Ejemplo 13.-a)(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 2x 3y + (3y)2 = 4x2 +12xy +
9y2b) (- x + 3)2 = (-x)2 + 2 (-x) 3 + 32 = x2 - 6x + 9Suma por
diferencia: se refiere al producto de la suma de dos monomios por
la diferencia de ellos mismos:(a + b) (a - b)= a2 - ab + ba + b2
=a2- b2Siempre recordamos que "suma por diferencia es igual a la
diferencia de los cuadrados".Otras igualdades importantes pero
menos utilizadas pueden son:Cubo de una suma:(a + b)3=a3+ 3a2b +
3ab2+b3Cuadrado de un trinomio:(a + b + c)2= a2+ b2+c2+ 2ab+ 2ac +
2bcDivisin de polinomiosLa divisin de polinomios, en general se
realiza de forma semejante a la de nmeros de varias cifras, aunque
lasoperacionesque realizamos rpidamente con los nmeros, con los
polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:Con los
polinomiosdividendo y divisor ordenador de mayor a menor grado:- Se
divide el primer trmino del dividendo entre el primero del divisor,
dando lugar al primer trmino del cociente- Se multiplica dicho
trmino por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los
signos contrarios, cuidando que debajo de cada trmino se coloque
otro semejante- Se suman los polinomios colocados al efecto,
obtenindose un polinomio de grado menor al inicial- Se continua el
proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor
por ser de menor grado.Normalmente se dividen polinomios con una
sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor. Enla
imagensiguiente se puede ver una divisin completa:Ejemplo 14.-
Como se ve se ha obtenido decociente4x + 1y deresto- 3x + 2.
