IDENTIDADES NOTABLES Y RACIONALIZACIÓN

Identidades notables I

Las potencias se comportan de forma “regular” con productos y divisiones.

El término “identidades notables” se refiere a una serie de productos de binomios.

Identidades notables IILas identidades notables son las siguientes:

( ) abbaba 2222 −+=−

( ) abbaba 2222 ++=+

( )( ) 22 bababa −=+−

Ejemplo I

( ) ( ) 42025204252522525 22222 ++=++=⋅⋅++=+ xxxxxxx

( ) 225 +x

Para calcular el siguiente cuadrado, primero elegiremos la identidad correspondiente

( ) abbaba 2222 ++=+se corresponde con la identidad

Asociamos a y b con el correspondiente valor (a vale en este caso 5x y b vale 2). Por último, desarrollamos:

2a 2b ab2

Ejemplo II

( ) ( ) 42025204252522525 22222 +−=−+=⋅⋅−+=− xxxxxxx

( ) 225 −x

Para calcular el siguiente cuadrado, primero elegiremos la identidad correspondiente

( ) abbaba 2222 −+=−se corresponde con la identidad

Asociamos a y b con el correspondiente valor (a vale en este caso 5x y b vale 2). Por último, desarrollamos:

2a 2b ab2

Ejemplo III

( ) ( ) 42525)25(25 222 −=−=−+ xxxx

( ) )25(25 −+ xx

Para calcular la siguiente expresión elegiremos la identidad correspondiente

( ) 22)( bababa −=−+se corresponde con la identidad

Asociamos a y b con el correspondiente valor (a vale en este caso 5x y b vale 2). Por último, desarrollamos:

2a 2b

Ejemplo IV

2

22

1

−− x

Para calcular el siguiente cuadrado, primero elegiremos la identidad correspondiente

( ) abbaba 2222 −+=−se corresponde con la identidad

Asociamos a y b con el correspondiente valor:

2a2b

ab2

Por último, desarrollamos

22

1

=

−=

b

xa

44

14

4

12

2

122

2

12

2

1 22222

++=++=⋅

−⋅−+

−=

−− xxxxxxx

Racionalización

Racionalizar un cociente consiste en buscar una expresión equivalente (otro cociente) cuyo denominador no tenga radicales.

Es importante recordar que cuando disponemos de un cociente, obtenemos otro equivalente si multiplicamos y dividimos el numerador y el denominador por la misma expresión

Ejemplos I

( ) 5

53

5

53

55

53

5

32

==⋅

=En este caso hemos multiplicado por la raíz de 5 el numerador y el denominador pues el cuadrado de la raíz de 5, es 5

( )( )( ) ( ) 3

522

41

522

51

522

5151

512

51

222

+−=−

+=−

+=+−

+=−

En este ejercicio hemos multiplicado por el conjugado del denominador para aprovechar la identidad notable que relaciona el producto de la suma y la diferencia de un binomio

Ejemplos II

5

53

5

53

55

53

5

3 3

3 3

3

33 2

3

3 2==

⋅=

En este ejercicio hemos multiplicado numerador y denominador por el radical que al ser multiplicado por el denominador hace que el índice de la raíz coincida con el exponente del radicando, de tal forma que exponente e índice del radical se simplifiquen

Ejemplos III

63

4

63

2 +−

Para realizar esta operación, antes racionalizaremos ambos sumandos

( )( )( )

18

64

63

64

663

64

63

4

3

626

69

626

6363

632

63

2

=⋅

==

+=−

+=+−

+=−

Ejemplo III (continuación)

( )18

61636

18

6461236

18

64

18

6266

18

64

3

626 +=++=++=++

Ahora sumamos los términos ya racionalizados

Simplificamos el resultado, dividiendo numerador y denominador por 2

9

6818

18

61636 +=+