Resumen de razonamiento lógico udea ejercisios

7/30/2019 Resumen de razonamiento lgico udea ejercisios

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Resumen de razonamiento lgico

Utilizacin de smbolosEn adelante, designaremos tambin a las proposiciones con el nombre de frmulas, trmino ms usado para las proposiciones matemticas.

Una vez establecidas las reglas de formacin para frmulas se pueden introducir abreviaciones con el fin de simplificar la escritura. Estas abreviaciones son el objeto de

las definiciones matemticas.

Definicin: Sean R y S frmulas, entonces:

La frmula ( R S) se denota abreviadamente como R S y se llama conjuncin lgicade R y S, la cual se lee "R y S".

La frmula R S se denota como y se llama condicional de R y S. La figura lgica del condicional, responde a conectar dos proposiciones mediante

el esquema "si ...., entonces ...". Para leer una proposicin de la forma , se puede usar alguna de las siguientes expresiones:

Si R entonces S.

R es suficiente para S.

S es necesario para R.

S siempre que R.

R slo si S.

A la frmula R se le llama antecedente, y a la frmula S consecuente. Cuando el condicional es lgicamente verdadero se dice que existe implicacin y en este caso selee la expresin como:

R implica S

la cual se denota:

La frmula ( ) ^ ( ) se denota por y se llama bicondicionalde R y S. Esta expresin se puede leer como:

R si y slo si S

R es suficiente y necesario para S.

Cuando el bicondicional es lgicamente verdadero, se dice que hay equivalencia . En este caso, se lee:

R equivale a S

y se denota:


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Nota: Los criterios para decidir sobre la verdad del condicional y el bicondicional se vern mas adelante.

Ejercicios

Simbolizar completamente las proposiciones siguientes, utilizando los smbolos correspondientes a cada trmino de enlace. Indicar las proposicionessimples sustituidas por cada letra mayscula.

1. En el hemisferio sur, julio no es un mes de verano.2. Si dos pulsaciones se atraviesan, continan conservando la forma original.3. O Jaime no es puntual o Toms llega tarde.4. Ni Antonio ni Ana estudian en la Universidad.5. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.6. Si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey est sobre el cuadro rojo.7. A la vez si este cuadro es negro entonces aquel cuadro es rojo y su rey est sobre el cuadro rojo.8. Patinaremos si y slo si el hielo no es demasiado delgado.

SiP, Q ,R , Sdesignan las proposiciones:

P: Juan viaj en el avin de las 8 a.m.

Q: Pedro lleg a tiempo al aeropuerto.

R: El proyecto se expuso ante la junta directiva.

S: El vuelo se retras

expresar en el lenguaje ordinario las siguientes proposiciones:

Analizar cules de ellas tienen el mismo significado.

Expresar en funcin de los signos definidos requeridos las frmulas:


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Encuentra usted alguna ventaja en esta ltima presentacin?

Uso de tablas de verdad

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretacin de los signos lgicos, ,

como: no, o, y, si ... entonces, si y slo si, respectivamente. La interpretacin corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deduccin lgico matemtica. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen

un mtodo de decisinpara chequear si una proposicin es o no un teorema.

Para la construccin de la tabla se asignar el valor 1 (uno) a una proposicin verdadera y 0 (cero) a una proposicin falsa.

Negacin: El valor de verdad de la negacin es el contrario de la proposicin negada.

Disyuncin: La disyuncin solamente es falsa si lo son sus dos componentes.


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Conjuncin: Solamente si las componentes de la conjuncin son verdaderas, la conjuncin es verdadera.

Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Bicondicional: El bicondicional solamente es verdadero si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

Nota: Con respecto a la proposicin condicional es importante hacer notar que este tipo de enunciado lo nico que dice es que cuando se da el antecedente tiene que

darse el consecuente, si esto no ocurre no se obliga a nada, es decir, el consecuente puede o no darse.

Se denomina tautologa una proposicin que es verdadera para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la ltima columna de su tabla de verdad estar

formada nicamente por unos.

Contradiccines la negacin de una tautologa, luego es una proposicin falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La ltima columna de la tabla de

verdad de una contradiccin estar formada nicamente por ceros.

Teora deductiva

Designamos bajo este nombre toda teora que se fundamenta en dos principios: Definiciones y demostraciones.

En su desarrollo debe cumplir bsicamente las siguientes condiciones:


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Enunciar explcitamente los trminos primeros o primitivos con ayuda de los cuales se propone definir los dems trminos de la teora.

Enunciar explcitamente las relaciones primeras o primitivas. Con la misma esencia anterior, son relaciones que el hombre pone en la base de su

conocimiento.

Enunciar explcitamente las proposiciones primeras o primitivas, con ayuda de las cuales se propone demostrar otras proposiciones de la teora. Estas

proposiciones primeras se denominan Axiomas y relacionan entre s los trminos primitivos y la s relaciones primitivas.

Que las relaciones enunciadas entre los trminos sean nicamente relaciones lgicas, permaneciendo independientes del sentido concreto o interpretacin

que pueda darse a los trminos.

Que en las demostraciones solo intervengan dichas relaciones.

Axioma o postulado:

Es una proposicin primitiva que se admite como cierta. En la construccin de una teora axiomtica se ha de partir de un conjunto de axiomas, escogidos

de tal forma que dicho conjunto ha de ser: compatible, suficiente, independiente.

Analicemos estas caractersticas:

Compatibilidad: Dos axiomas no pueden formular en ellos, ni producir en sus resultados derivados, relaciones contradictorias.

Suficiencia: Toda proposicin verdadera ha de ser deducible dentro del sistema.

Independencia:Ningn axioma ha de poderse deducir de otros.

Estableciendo el sistema de axiomas (que por cierto, no tienen porque ser "evidentes"), se comienza a construir la teora enunciando y demostrando los

teoremas.

Signos usados

Letras latinas maysculas.

Signos especficos: (negacin), (disyuncin)

Signos de puntuacin: (, ) (parntesis).

Reglas formativas

R.F.1 SiPdesigna una frmula, entonces (P) designa tambin una frmula.

R.F.2 SiP, Q designan frmulas, entonces (P) (Q) designa tambin una frmula.

Signos definidos

( )

SiP, Q designan frmulas, entonces:

es el nombre de

es el nombre de

es el nombre de

Reglas axiomticas

SiP, Q ,R , Sdesignan frmulas se tiene:

R.A.1 designa un axioma.


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R.A.2 designa un axioma



1. Determinar cules de las frmulas siguientes son axiomas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2. SiP, Q ,R , Sdesignan frmulas, cules de las siguientes expresiones designan tambin frmulas.

1.

2.

3.

4.

5.

La demostracin

El proceso demostrativo consiste bsicamente en: A partir de unas proposiciones dadas que llamaremospremisas, obtener otra proposicin que

llamaremos conclusin mediante la aplicacin de unas reglas lgicas .

Para demostrar que una proposicin especfica es un teorema en una teora deductiva dada procedemos as:

1. Se enuncian explcitamente los axiomas de la teora.2. Se fijan las reglas que validan el proceso demostrativo, estas reglas se denominan reglas de validezy se reducen a las siguientes:

Regla de validez 1: Todo axioma puede figurar en cualquier paso de una demostracin.

Regla de validez 2: Si figura en una demostracin y P tambin figura en la misma demostracin, entonces se puede concluir Q en la demostracin. Esta

regla universal se conoce con el nombre de Modus Ponendo Ponens o Modus Ponens.

Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes se puede sustituir la una por la otra en cualquier parte de una demostracin. Esta regla se conoce con el nombre

de sustitucin por equivalencia.

3. Efectuar una demostracin de una proposicin especfica Q, consiste en obtener la proposicin Q como la ltima en el proceso demostrativo por aplicacinreiterada de las reglas de validez 1, 2 y 3.

Certeza y validez


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Es necesario que distingamos en esta etapa del proceso demostrativo el significado de dos trminos que frecuentemente se confunden: Certeza y validez.Una cosa es que

cada enunciado est bien estructurado y otra que la argumentacin est bien construida. Una cosa es que la argumentacin sea correcta o vlida, y otra que

cada enunciado sea verdadero.

. Podemos tener certeza de algo falso, o tener certeza de que algo es falso siendo verdadero

En forma similar, en el lenguaje ordinario confundimos "verdadero" con correcto o vlido. Pero en la lgica hay que distinguir entre una conclusin verdadera y

una argumentacin correcta o vlida. A esa cualidad de ser correcto o vlido que tiene un razonamiento es lo que llamamos su validez.

Un argumento es vlido si en todas las situaciones pensables o en todos los modelos posibles en los que las premisas se cumplen, la conclusin tambin debe cumplirse.

En este sentido podemos agregar que la validez radica en la estructura misma del razonamiento independientemente del modelo particular en el cual se aplica.

Una argumentacin en la que todos los pasos se apoyen en argumentos vlidos se llama deduccin , y se dice que la conclusin est demostrada ; una conclusin

demostrada a partir de axiomas de una teora se llama teorema de esa teora

Reglas de inferencia

Son reglas que nos sirven para probar que a partir de unas premisas dadas es posible hacer la demostracin para una conclusin especfica. Su objetivo es abreviar las

demostraciones. A continuacin destacamos las reglas de mayor utilizacin en las demostraciones matemticas:

Transitividad en la implicacin o silogismo hipottico

Inferencia conjuntiva o conjuncin

Simplificacin en la conjuncin

Modus tollendo ponens


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Modus tollendo tollens

Mtodo de casos o silogismo disyuntivo

Adjuncin

Nota: Una demostracin formal en la lgica se fundamenta y desarrolla estrictamente utilizando nicamente las reglas de validez enunciadas en el numeral 3.3 (La

demostracin). Con base en ellas puede demostrarse que las implicaciones implcitas en cada una de las reglas de inferencia son teoremas.

Como un objetivo prctico a lograr es abreviar los procesos demostrativos, se introducen las reglas de inferencia; stas, conjuntamente con las reglas de validez permiten

ampliar y facilitar la obtencin de los resultados vlidos en esta teora.

Elaborar, utilizando las reglas de validez e inferencia necesarias, una demostracin para probar que de las premisas dadas, es posible obtener la conclusin establecida.


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Ejemplo de un esquema de demostracin

Veamos inicialmente, mediante un esquema simple, los elementos bsicos que soporta este mtodo y que a continuacin se analizarn detalladamente.

Objetivo: Demostrar por el mtodo directo que una proposicin especfica de la forma es teorema.

2.Nos ubicamos a continuacin en la proposicin Q , cuya verdad tenemos como objetivo probar, e iniciamos el proceso regresivo preguntndonos: Cmo o cundo

podemos concluir que la proposicin Q es verdadera? La manera en la cual se formula esta pregunta es decisiva puesto que debemos estar en capacidad de responderla.

Esta pregunta se denominar en adelante pregunta de abstraccin , y no deber contener ni los smbolos, ni la notacin del problema especfico bajo consideracin.


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El paso siguiente en el proceso regresivo es contestarla. Observemos que la respuesta a la pregunta de abstraccin es un proceso de dos fases: Primero damos una

respuesta abstracta (general) a una pregunta abstracta; luego aplicamos esta respuesta a la situacin especfica (particular) que tenemos bajo estudio.

El proceso que incluye la formulacin de la pregunta de abstraccin, contestarla abstractamente y aplicarla a la situacin especfica se denominar proceso de

abstraccin . El proceso de abstraccin produce como resultado una proposicin nueva con la propiedad de que si es verdadera entonces Q es verdadera.

( teorema).

Desarrollamos de nuevo el proceso de abstraccin teniendo ahora como objetivo probar que es verdadera (y en consecuencia Q ). Podemos continuar realimentando

este proceso regresivo pero, preguntndonos en cada ocasin de qu manera, la informacin suministrada por la hiptesis Pnos puede permitir la seleccin en un

momento dado, de la pregunta de abstraccin.

Si ello no fuera posible continuamos en la etapa regresiva; generando nuevas proposiciones con las propiedades descritas.

4. El proceso progresivo se inicia con la proposicin P, que hemos asumido verdadera, y se obtiene a partir de ella otra proposicin,P1 tambin verdadera como

consecuencia de la anterior ( teorema)

Es necesario aclarar que las proposiciones que en esta forma se derivan de Pno se deben al azar. Por el contrario, deben estar dirigidas hacia la obtencin de la ltima

proposicin generada en el proceso regresivo. Esta ltima proposicin debe actuar como gua en el proceso progresivo.

5. El proceso concluye cuando se logra encadenar la ltima proposicin generada en el proceso regresivo con la ltima generada en el proceso progresivo.

6. Una fase ltima consiste en redactar la argumentacin en forma detallada o simplificada, de acuerdo al objetivo del texto, siguiendo el sentido progresivo desde la

hiptesis hasta la tesis.


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Observaciones.

Siendo conscientes de la dificultad propia de cada demostracin en su rea respectiva y sin un afn reduccionista en cuanto a la aplicacin del modelo propuesto,

consideramos importante destacar los siguientes aspectos.

1. La clave de muchas demostraciones es la formulacin correcta de la pregunta de abstraccin.

2. Una de las dificultades que puede surgir en el proceso de abstraccin es la posibilidad de que haya ms de una pregunta de abstraccin ante una proposicin analizada;

en este caso procederemos por ensayo y error. Aqu es donde la intuicin, ingenio, creatividad, experiencia, diagramas y grficas pueden jugar un papel importante. Por

esta razn la consulta permanente a la informacin aportada por la hiptesis o sus proposiciones derivadas es obligatoria para conducir por buen camino el proceso.

3. El proceso es dinmico en el sentido en que, tanto en la fase regresiva como en la progresiva, se pueden combinar las nuevas proposiciones para producir otras

proposiciones verdaderas.

4. Uno de los problemas con el proceso progresivo es la posibilidad de generar proposiciones intiles, en el sentido de no aportar nada a la argumentacin necesaria en la

demostracin.

5. Finalmente debemos recordar que el buen conocimiento de los contenidos bsicos del rea de trabajo es un requisito indispensable para llevar a buen trmino el

objetivo propuesto, ya que nos provee de mejores y mayores recursos como definiciones, proposiciones equivalentes, y en general una intuicin ilustrada en torno al

desarrollo de la argumentacin.


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Lgica cuantificacional

La lgica formal, al nivel de la lgica de enunciados, slo puede analizar formalmente aquellos razonamientos en cuya validez no desempea ningn papel la estructura

interna de las proposiciones que los componen.

Hay razonamientos formalmente vlidos que no lo son simplemente en virtud de las conexiones externas entre los enunciados. Es decir, su forma no puede exhibirse tan

solo mediante letras y conectivos, sino que es preciso penetrar en la estructura interna del enunciado, para buscar la validez de la inferencia en cuestin.

Ejemplo:

P: Ningn rbol puede hablar.

Q: Juan puede hablar.

Luego,

R: Juan no es un rbol.

La lgica proposicional no puede explicar por qu R se deduce de P y de Q.

Se trata entonces de construir a partir del clculo proposicional, nuevos elementos de anlisis para poder tener un instrumento adicional de deduccin.

Dada una proposicin, la lgica cuantificacional distingue en esta a los individuosy a sus propiedades .

Ejemplo:

Lina estudia mucho.

Jardn es un municipio muy prspero.

El Atrato es muy caudaloso.

En las tres proposiciones anteriores los individuos son: "Lina", "Jardn" y "El Atrato". Las propiedades atribuidas a dichos individuos son las frases: "estudia mucho", "es

un municipio muy prspero" y "es muy caudaloso".

Este tipo de proposiciones en donde se atribuye una propiedad a un individuo determinado son las llamadas proposiciones mondicas . Los nombres propios hacen

referencia a cualquier tipo de individuos determinados: personas, animales, pases, ros, etc. Se simbolizarn con letras minsculas a, b, c ... y se llamarn constantes

individualeso trminos . Se llamar predicadoa la propiedad que se afirma acerca del sujeto o trmino, y se simbolizar con letras maysculas: A, B, C...

Si en el ejemplo anterior se simboliza a:

Lina, por la letra l

Jardn, por la letra j.

El Atrato, por la letra a.

Estudia mucho, por la letra P.

Es un municipio muy prspero, por la letra R.


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Es muy caudaloso, por la letra T.

Entonces, la simbolizacin de las anteriores proposiciones es:

Pl

Rj

Ta.

Las proposiciones simples pueden combinarse mediante conectivos lgicos para formar proposiciones compuestas tales como:

"Pedro duerme y Mara lee"

que se puede simbolizar as:

3 Cuantificadores

Las expresiones:

Todo hombre es mortal.

Algunos hombres son sabios.

pueden traducirse respectivamente como:

Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal.

Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.

Otros giros utilizados para la expresin "para todo x" son:

Todo x

cualquiera x

cada x

que se simbolizan por y se llama cuantificador universal.

Otros giros utilizados para la expresin 'Existe un x" son:

Hay x

Existe x, tal que

Algn x


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Algunos x

que se simbolizan por y se llama cuantificador existencial.

Existen tres formas de convertir una funcin proposicional en una proposicin a saber:

Haciendo la sustitucin de las variables por un trmino especfico.

Anteponiendo la expresin "para todo x" o cuantificador universal.

Anteponiendo la expresin "existe al menos un x" o cuantificador existencial.

El enunciado "existe al menos un x tal que " se representa como:

El enunciado "para todo x, " se representa como:

Al anteponer a la funcin proposicional un cuantificador, se dice que la variable x ha pasado a servariable ligada.

Una proposicin de la forma es verdadera cuando todas las sustituciones de la variable x por trminos especficos del conjunto de referencia,

convierten a en enunciado verdadero.

Un enunciado de la forma es verdadero cuando al menos un caso de sustitucin de la variable x por un trmino especfico del conjunto de referencia,

convierte a en un enunciado verdadero.

Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el enunciado: "No todos son mecnicos". En este caso la simbolizacin

ser: donde M x es la funcin proposicional "X es mecnico" que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los

hombres.

Las palabras "ningn", "ninguno", "nada", "nadie" corresponden tambin a enunciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones

anteriores. La proposicin "ninguno es mecnico" no equivale a la proposicin "no todos son mecnicos" sino a la expresin "para todo x, x no es mecnico" que se

simboliza .

Las proposiciones existenciales pueden estar negadas, como por ejemplo "no es cierto que hay fantasmas" la cual se simboliza como donde F

x simboliza la expresin "x es un fantasma". Anlogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales pueden tener negaciones

internas como "algo no es mortal" la cual se simboliza como donde M x simboliza la expresin "x es mortal".

Para cada enunciado que se propone a continuacin, se requiere simbolizarlo en trminos de expresiones cuantificadas y luego expresarlo en trminos de cuantificadores

restringidos.

Existe un nmero real que no es positivo y no es negativo.


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Simbolizacin:

Cuantificacin restringida:

Existe un paralelogramo que es equiltero y equingulo.

Designemos:Px :x es un paralelogramo.

Ex :x es equiltero.

A x :x es equingulo.

Simbolizacin:


Todo nmero real elevado al cuadrado es no negativo.

Simbolizacin:


Existe un nmero real; que sumado con cualquier nmero real, da por resultado este ltimo.

Simbolizacin:


Reglas de inferencia para enunciados cuantificados

4.6.1 Particularizacin Universal (P.U).Dado un enunciado verdadero de la forma ( " x)(P x ), todo caso de sustitucin de la variable x por constantes de su conjunto

de referencia, da lugar a un enunciado verdadero.

4.6.2 Generalizacin Universal (G.U).Si una funcin proposicional tiene todos sus casos de sustitucin por constantes de su conjunto de referencia verdaderos, se

infiere la verdad del enunciado ( " x)(P x ).

4.6.3 Ejemplificacin Existencial (E.E).Dado un enunciado verdadero de la forma ( $ x)(P x ), se infiere de l un caso de sustitucin de la funcin proposicional, con la

restriccin de que se utilice una constante que no halla figurado antes dentro de la demostracin. Es decir, que no se halla especificado.


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La restriccin indicada tiene la funcin de evitar inferencias invlidas tales como:

"Pedro es un hombre"

"Algunos hombres son sabios. Luego Pedro es sabio".

Hp

( $ x)(H x S x )

Hp Sp por E.E (si no existiera la restriccin).

Sp por simplificacin en 2.

Puesto que la constante p ya ha aparecido en la proposicin 1, la restriccin impide que se la utilice en el paso 3.

4.6.4 Generalizacin Existencial (G.E). Si una funcin proposicional tiene por lo menos uno de sus casos de sustitucin por constantes de su conjunto de referencia

verdadero, se infiere la verdad del enunciado ( $ x)(P x ).

Nota: Cuando en una demostracin haya que aplicar la E.E y P.U como en el ejemplo siguiente, es necesario aplicar en primer trmino E.E que es la regla que tiene

restricciones y luego la P.U puede hacerse en la misma constante sin ningn problema.

Ejemplo. Mostrar la validez del siguiente razonamiento:

Los perros son vertebrados y mamferos.

Algunos perros son guardianes.

Luego,

algunos vertebrados son guardianes.

1. ( " x)(P x V x M x ).

2. ( $ x)(P x G x ) / \ ( $ x)(V x G x ).

3. P w G w E.E en 2 (W es una constante determinada pero no especificada).

4. P w V w M w P.U en 1.


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5. V w M w Simplificacin en 3 y RV2.

6. V w simplificacin en 5.

7. G w simplificacin en 3.

8. G w V w conjuncin 6 y 7.

9. ( $ x) (G x V x ) G. E en 8.

Traslado del cuantificador existencial. Sea un teorema. Si bajo el supuesto de quePes verdadera se puede probar que Q es verdadera,

entonces es teorema en la teora inicial.

Esta regla tiene un esquema operativo que podemos resumir as:

1. Premisa

2. Supongamos: P ( Hiptesis auxiliar )

__________

__________

n. Q

n+1. Traslado del existencial.

Observaciones Generales.

Presentamos ahora un resumen de observaciones metodolgicas, que facilitan la comprensin y aplicacin de las reglas de inferencia anteriores.

Pruebas de existencia:

El axioma 5 permite establecer un procedimiento para demostrar que una frmula especfica de la forma es teorema.

Esquema Operativo general.


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Objetivo: Demostrar que es teorema.

Verificar que es verdadero para una constante a especfica.

. Axioma 5.

. Regla de validez 2.

Ilustracin 5.

Demostrar que es teorema.

Designamos porPx :

es verdadera.

Luego es teorema.

4.6.6.2 Pruebas de generalizacin universal:

Fundamentados en el principio de que si una propiedad es vlida para un objeto indeterminado cualquiera (variable), lo es para todos los objetos de su universo

referencial, se proceder as en este tipo de prueba.

Esquema operativo general.

Objetivo: Demostrar que una frmula especfica de la forma es teorema.

Se demuestra quePes teorema.

Se concluye que es teorema, por la regla G.U.

Proposiciones categricas.

Designamos inicialmente las cuatro formas de proposiciones categricas, a saber:

Universal afirmativa: . Se designar por A.


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Universal negativa: . Se designar por E.

Particular afirmativa: . Se designar por I.

Particular negativa: . Se designar por O.

Estas proposiciones estructuran el denominado cuadro de oposicin de la lgica tradicional:

La distincin entre proposiciones afirmativas y negativas se llama distincin (u oposicin) de cualidad , en tanto que la distincin entre universales y existenciales se

denomina distincin (u oposicin) de cantidad .

El diagrama representa la oposicin de proposiciones de las cuatro formas. Dos proposiciones que tienen trminos idnticos se dice que son opuestas entre s, si difieren

en cantidad, o en calidad, o en cantidad y calidad a la vez.

A y E son contrarias, y las proposiciones contrarias se definen como aquellos pares de proposiciones universales que difieren en la cualidad. I y O son subcontrarias, son

proposiciones existenciales que difieren en cualidad. A y E son, respectivamente, las contradic torias de O e I, difiriendo tanto en cantidad como en cualidad.

Obsrvese que la negacin de cualquiera de las cuatro frmulas analizadas es precisamente su contradictoria. Destaquemos adems que toda proposicin categrica

presenta un trmino - sujeto y un trmino - predicado.

Reglas de validez para el silogismo categrico.

Un silogismo es vlido, si y slo si, satisface todas las reglas siguientes

El trmino medio debe ser antecedente como mnimo en una premisa.

Si un trmino es antecedente en la conclusin, debe ser antecedente en la premisa donde figure.

Las premisas no pueden ser ambas negativas.

Si una de las premisas es negativa, la conclusin debe ser negativa; y si la conclusin es negativa una premisa debe ser negativa.

Ilustremos dos situaciones especficas. Considrense las formas simblicas de los silogismos:

Todo M es V


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Todo A es V

Todo A es M

En este caso podemos observar que el trmino medio V es consecuente en ambas premisas, y por esta razn se dice que viola la regla 1 y en consecuencia este silogismo

(AAA - 2) es invlido . Un ejemplo de esta estructura es:

Todos los mamferos son vertebrados.

Todas las aves son vertebrados .

Todas las aves son mamferos.

2) Todo V es S

Todo V es A

Todo A es S. El trmino A es antecedente en la conclusin, pero no lo es en la premisa donde figura (premisa menor) violando la regla 2 y en consecuencia este

silogismo (AAA - 3) es invlido .

Un ejemplo de esta estructura es:

Todos los vertebrados tienen reproduccin sexual.

Todos los vertebrados son animales.

Todos los animales tienen reproduccin sexual.

Mtodo grfico para probar la validez de un silogismo.

Un mtodo interesante para la determinacin de la validez de un silogismo, es el mtodo del diagrama, establecido por el lgico ingls John Venn (1.834 - 1.883) y

conocido como diagramas de Venn.

Si consideramos una funcin proposicional, recordaremos que su dominio est dividido en dos conjuntos disjuntos: el conjunto de verdad y el de no verdad. Lo anterior

se ilustrar mediante un rectngulo que representa el dominio y un rea del mismo, limitada por una circunferencia que representa el conjunto de verdad. As en la

funcin proposicional designada comoPx con dominioD ; su representacin grfica se da en la figura 1.

Figura 1

Convenciones para la diagramacin.


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1. Para representar la proposicin con valor de verdad verdadero, se sombrea la regin del dominio que no pertenece al dominio de verdadde la funcin proposicional. Ver figura 2.

2. Para representar la proposicin con valor de verdad verdadero, se indica mediante una X que el conjunto de verdad Px es no vaco.

Ver figura 3.

Veamos ahora la representacin de las cuatro formas categricas.

Universal afirmativa y su negacin: A y O

Universal negativa y su negacin: E e I


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Observacin.

Utilice la cuantificacin restringida para indicar con mayor facilidad, las formas categricas.

Como puede apreciarse a travs de las figuras anteriores, cada diagrama de Venn tiene su equivalente, tal como se estableci en la negacin de proposiciones

cuantificadas; esto es:

Aplicacin del mtodo del diagrama a silogismos.

Analicemos la siguiente argumentacin.

Todos los hombres son mortales.

Todos los presidentes son hombres .

Por tanto, todos los presidentes son mortales.

Representacin simblica (Cdigo A A A - 1).

Puede observarse que el dominio comn a todas las funciones proposicionales es el conjunto de todos los humanos.


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Para construir el diagrama, llevamos primero la informacin suministrada por las dos premisas como se indica en la figura 8, donde el punteado corresponde a la

proposicin 1 y el rayado a la proposicin 2.

Ahora la conclusin vlida debemos leerla en el diagrama tomando el trmino presidentes como sujeto y mortales como conclusin, para lo cual sus conjuntos

respectivos se destacan en un rectngulo en la figura 9.

Interpretacin de resultados.

Observamos ahora en las regiones P y M que, de las cuatro formas categricas, se encuentra diagramada la universal afirmativa todos los presidentes son mortales .


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Resumiendo, podemos decir que Es suficiente diagramar las premisas de un argumento vlido para que quede diagramada tambin su conclusin, sin agregar trazos

adicionales en los crculos.

Ilustracin 13.

Graficar la siguiente argumentacin.

Ningn pato es tigre.

Todos los tigres son carnvoros .

Por tanto, algunos carnvoros no son patos.

Representacin simblica. (Cdigo EAO -3 ).

Aplicando el mtodo del diagrama, podemos observar que la conclusin no es vlida, puesto que la regin correspondiente a la conclusin, no aparece diagramada.

Ilustracin 14.



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Ningn ave es un cuadrpedo.

Todos los osos son cuadrpedos

En consecuencia: ningn oso es un ave.

Representacin simblica. (Cdigo EAE - 1)

Aplicando el mtodo del diagrama, podemos observar que la conclusin es vlida, puesto que la regin correspondiente a la conclusin, ha quedado diagramada.

Ilustracin 15.


Todo mamfero es un vertebrado

Todo mamfero es un animal de sangre caliente.

En consecuencia, hay un animal de sangre caliente que es vertebrado.

Representacin simblica. (Cdigo AAI - 3)


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Aplicando el mtodo del diagrama, podemos observar que la conclusin no es vlida, puesto que la regin correspondiente (existencia) a la conclusin, ha quedado vaca.

Axioma 3. (Axioma de Seleccin o Separacin).

Sean: Tun conjunto, una frmula.

Para todo conjunto Texiste un subconjuntoA y solo uno formado por todos los elementos de Tque verifican la propiedad .

Esto es:

Notacin.

El conjuntoA descrito por el Axioma 3 lo notamos: que se lee: A es el conjunto

formado por todos los elementosx, tales que yx verifica la propiedadP. Esta notacin la designamos notacin por comprensin.

Observaciones.


27/163

1. Al describir el conjuntoA en la forma anterior, la frmula la denominamos la propiedad caracterstica o definitoria del conjuntoA .

2. En esta formaA est constituido nicamente por todos aquellos objetos que verifican la propiedad caracterstica.

3. Intuitivamente podemos interpretar el significado de este axioma as: Dado un conjunto T, podemos obtener nuevos conjuntos (subconjuntos de T), tomando

diferentes propiedades y seleccionando de los elementos de T, aquellos que las verifiquen.

As, dados: Tconjunto, : frmulas.

Figura 3

luego

Qu ocurre si todos los elementos de Tverifican a ?

Qu ocurre si ningn elemento de Tverifica a ?

Ilustracin 1.

Sean:Z: Conjunto de los nmeros enteros


28/163

Definimos: Conjunto de nmeros pares

__________ Conjunto de nmeros impares

__________ Conjunto de mltiplos de 5.

Figura 4

5.4Definicin. Complemento de un conjunto

Sean:X,Mconjuntos, .

Definimos mediante el Axioma 3, un conjunto con la propiedad: dicho conjunto lo llamaremos Complemento del conjunto M

respecto al conjunto X y lo notamos .

Esto es: .

Consecuencias

i)

ii)


29/163

Representacin grfica.

Figura 5

Teorema 2. Primeras propiedades del complemento.

Sean:M,N,Xconjuntos

1. Si entonces .

2. Sean: , . si y slo si .

Nota.

En adelante simplificaremos la redaccin de las demostraciones, asumiendo la comprensin que a este nivel debe tenerse sobre el lenguaje empleado, pero manteniendo

desde luego el rigor, la coherencia.

Demostracin de 1:

Supongamos: (Hip. aux.. 1)

Supongamos Hip. aux. 2

en consecuencia Def. Complemento


30/163

esto es: Consec. Def. complem.

Por tanto

Conclusin: (1)

Supongamos: Hip. aux. 2

__________________ De la hiptesis 1.

__________________Luego es verdadera, como tambin

__________________ , esta ltima equivale a:

__________________ ; por tanto

__________________ es verdadera, que a su vez equivale a

Conclusin: (2)

. Conjuncin de (1) y (2).

Por tanto: Si entonces .

Ejercicio. Demostrar el numeral 2.

5.5 Definicin. Conjunto vaco

Sea:Xun conjunto.


31/163

Definimos mediante el Axioma 3, un conjunto con la propiedad: , dicho conjunto lo llamaremos Conjunto vaco y lo notamos por

la letra griega (fi).

Esto es:

Consecuencias:

1.

2.

Observaciones.

1. El conjunto vaco es un conjunto que no tiene elementos, puesto que su propiedad caracterstica corresponde a una contradiccin, la cual no es satisfecha por ningn

objeto.

2. La frmula de la derecha, en la equivalencia ii) es el teorema del medio excluido, lo que permite establecer formalmente como teorema que ningn elemento pertenece

al conjunto f .

Teorema 3. Propiedades del conjunto vaco.

1. .

2. SiXes un conjunto entonces .

3. SiXes un conjunto entonces .

4. SiA es un conjunto entonces

Demostracin de 2.

1. SeaXun conjunto. Hiptesis general

2. Teorema 3.1. P.U.

3. Adjuncin en 2.

4. Def. de implicacin en 3.


32/163

5. G.U. en 4.

6. Def. de inclusin en 5.

7. Si X es un conjunto, entonces . Mtodo directo.

Observaciones.

1. Este resultado se expresa diciendo que el conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto.

2. El numeral 4 establece que, para demostrar que un conjunto dado no es el conjunto vaco, basta probar que tiene al menos un elemento.

Ejercicio. Demostrar los numerales: 1, 3 y 4.

5.6 Conjuntos finitos. Notacin por extensin.

Intuitivamente, diremos que un conjunto es finito si el nmero de sus elementos se puede expresar como n , siendo n el cero o un nmero natural. En caso contrario

diremos que el conjunto es infinito. (En la ltima seccin de este captulo precisaremos este concepto).

Como consecuencia de esta nocin podemos afirmar que el conjunto es finito.

Definicin. Conjunto Unitario.

Al conjunto cuyo nico elemento esx , lo notamos {x } y se denomina conjunto unitario.

Consecuencias.

i)

ii)

Definicin. Conjunto binario.

Al conjunto cuyos nicos elementos son x ,y lo notamos {x ,y } y se denomina conjunto binario. Este conjunto lo podemos notar tambin por comprensin as:

Consecuencias.


33/163

i)

ii)

En forma anloga podemos construir conjuntos de tres, cuatro, etc. y cualquier nmero finito de elementos.

Teorema 4.

1.

2.

3.

Demostracin de 2.

1. Consecuencia def conjunto binario.

2.____________ Equivalencia en la disyuncin

3.____________ Consecuencia def conjunto unitario

4. transitividad en la equivalencia.

5. G.U. de (4)

6. . Axioma 2 (Extensin)

7. ____________R.V.3 de 5) y 6).

Observaciones.

1. El numeral 2 establece el principio de que en un conjunto, los elementos que se repiten, se consideran solamente una vez.

2. El numeral 3 establece una relacin fundamental para distinguir e integrar en sus contextos respectivos las relaciones de pertenencia e inclusin.


34/163

3. Una notacin por extensin para el conjunto vaco corresponde a:

Ejercicio. Demostrar los numerales 1 y 3.

5.7Conjunto de partes de un conjunto

Axioma 4.

SiA es un conjunto entonces existe un conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A Este conjunto se denomina Conjunto de partes deA y lo

notamosP(A ).

Este conjunto lo notamos por comprensin as:

Consecuencias:

i)

ii)

Teorema 5.

SeanA ,B conjuntos, entonces:

1.

2.

3.

4. si y solo si

Demostracin de 4.

Probemos la implicacin de izquierda a derecha.


35/163

Supongamos: Hiptesis 1


es equivalente a . Consecuencia def. cjto. de partes y de la hip. 1 por transitividad (T1) se tiene que , que equivale a .

Mtodo directo

. G.U. y definicin de inclusin.

Mtodo directo.

Ejercicio. Demostrar la implicacin recproca y los numerales 1, 2 y 3.

Ilustracin 2.

Dados los conjuntos: determinar los

conjuntos

; adems y

; adems y

; adems y

; adems y

Podemos observar una ley de formacin entre el nmero de elementos de un conjunto Xy el nmero de elementos deP(X), la cual puede demostrarse por Induccin.

Si n (X)= kentonces . Esta relacin permite caracterizar tambin el conjuntoP(X) con el nombre de conjunto potencia deX.


36/163

Unin de conjuntos

Axioma 5.

SiA ,B son conjuntos, existe un conjunto que los contiene. Dicho conjunto tiene como propiedad caracterstica .

Definicin. Conjunto unin de dos conjuntos.

SiA ,B son conjuntos, al conjunto cuyos elementos verifican la propiedad , lo denominamos conjunto unin deA yB y lo

notamos


Consecuencias.

i)

ii)

Representacin grfica

Figura 6_________________________Figura 7

Teorema 6. Propiedades de la Unin.

Sean:A ,B , C,D ,Xconjuntos, entonces:

1. ; .


37/163

2. . Conmutativa.

3. . Asociativa.

4.

5.

6. Si y entonces .

7. Si y entonces .

Demostracin de 1.

1. . Axioma

2. consecuencia definicin de unin.

3. G.U. y definicin de inclusin.

Demostracin de 5.

Veamos que .

Supongamos: Hiptesis 1.

Esto es , pero es teorema, por tanto

Luego (1)

Veamos que . Teorema 6.1.

Conclusin: .

Ejercicio. Demostrar los numerales 2, 3, 4, 6 y 7.


38/163

5.10Interseccin de Conjuntos.

Definicin.

SeanA ,B conjuntos, el Axioma 3 nos permite definir un conjunto con la propiedad , dicho conjunto lo denominamos conjunto

interseccin deA yB y lo notamos .


Consecuencias.

i)

ii)

Representacin grfica

Figura 8__________________________Figura 9

Definicin.

Si pero decimos queA yB son conjuntos disjuntos.

Teorema 7. Propiedades de la Interseccin.

Sean:A ,B , C,D ,Xconjuntos, entonces:


39/163

1. ,

2. .

3.

4.

5.

6. Si y entonces

7. Si y entonces

Demostracin de 1.

Supongamos: Hiptesis

Consecuencia def. de interseccin

. Simplificacin.

Mtodo directo

G.U. y definicin de inclusin.

Demostracin de 3.



Equivalencia Asociatividad en



G.U. Axioma de Extensin


40/163

Ejercicio. Demostrar los numerales 2, 4, 5, 6 y 7.

Teorema 8. Leyes distributivas.

Sean:A ,B , Cconjuntos, entonces:

1.

2. .

Demostracin de 1.

Consecuencia def. Inters. de cjtos.

Consecuencia def. de unin de conj.

Equivalencia Ley Distributiva


Consecuencia def. de unin


Corolario.

Sean:A ,B conjuntos, entonces:

1.


41/163

2. .

Ejercicio. Demostrar el numeral 2 del teorema 8 y el corolario.

Teorema 9. Leyes de DMorgan.

Sean:A ,B ,X, conjuntos tales que entonces:

1.

2. .

Demostracin de 2.

Consecuencia def. de complemento

Consecuencia definicin de interseccin

Equivalencia Ley Distributiva

Consecuencia definicin de complemento

Consecuencia def. de unin


Ejercicio. Demostrar el numeral 1.

5.11 Diferencia entre conjuntos


42/163

Definicin.

SeanA ,B conjuntos. El axioma 3 nos permite definir un conjunto con la propiedad , dicho conjunto lo denominamos Conjunto

diferencia de los conjuntosA yB en este orden y lo notamos .


Consecuencias.

1.

2.

Ilustracin 3.

Indicar para cada una de las representaciones grficas, los conjuntos correspondientes a: ,

a._______________________c.

Figura 10____________________Figura 12

b._______________________d.


43/163

Figura 11_______________________________Figura 13

Observacin.

Como se desprende de la definicin de ambos conjuntos, siA ,B son conjuntos, siempre est definido, en tanto que slo est definido

si .

Teorema 10.

Sean:A ,B ,Xconjuntos, entonces:

1. Si , entonces

2. , .

3. si y slo si

Demostracin de 3.



Teorema, luego , que equivale a

y en consecuencia

(1)


44/163



, luego y de la hiptesis 1 se concluye que . Por conjuncin se

tiene que equivale a ; concluyndose en consecuencia:

. Como concluimos que:

(2)

si y slo si . De (1) y (2).

Observacin.

La unin y la interseccin entre conjuntos podemos generalizarlas as:

Sean conjuntos.

1. Al conjunto lo denominamos la unin de y

lo notamos as:

2. Al conjunto lo denominamos la interseccin de y lo notamos

as:


45/163

Ilustracin 4.

Sean: ; ; ;

; .

Luego

1 Relacin entre teora de probabilidad y conjuntos.

En la teora moderna de la probabilidad, se toman todos los posibles resultados de un experimento, juego, etc. Como puntos de un espacio llamado espacio muestral S.

Si Scontiene solamente un nmero finito de puntos, entonces a cada punto puede asociarse un nmero no negativo, llamado probabilidad , tal que la suma de todos los

nmeros correspondientes a todos los puntos de Ssumen 1. Un suceso es un sistema o subconjunto de puntos de Stal como se indica en el diagrama y que designamos

porE1 yE2 respectivamente.

Figura 14

El sucesoE1 +E2 es el formado por los puntos que estn enE1 E2 en ambos, mientras que el sucesoE1 yE2 est formado por los puntos comunes aE1 yE2 .

En el lenguaje de la teora de conjuntos los conceptos anteriores se corresponden as: , . Sedefine la probabilidad de un sucesoE1 como la suma de las probabilidades de todos aquellos puntos que estn contenidos enE1 .

Anlogamente, la probabilidad de , designada por es la suma de las probabilidades asociadas a todos los puntos contenidos en el

sistema . Si no tienen puntos en comn, es decir, los sucesos son mutuamente excluyentes,


46/163

entonces . Si tienen puntos en comn

entonces .

Anlogamente, puede extenderse a ms de dos sistemas. En esta concepcin moderna, una variable aleatoria es una funcin definida en cada punto del espacio muestral.

En el caso de que Stenga infinitos puntos, las ideas anteriores pueden extenderse por medio de conceptos que requieren del clculo.

Definicin.

SiA es un conjunto finito, llamaremos cardinal deA y lo notamosn (A ) al nmero de elementos deA .

Definicin.

DadosA ,B , Cfinitos, se tiene:

1.

2.

Ejercicio. Utilizando los diagramas de Venn, verificar las ecuaciones anteriores.

Observacin.

Como se desprende de las ecuaciones anteriores podemos afirmar que, conociendo el cardinal de ciertos conjuntos dados, es posible obtener el cardinal de otros

conjuntos que son unin, interseccin, diferencia o complementos de los conjuntos dados.

Ilustracin 5.

Una encuesta realizada a un grupo de profesores donde todos respondieron, revel que 450 tienen casa propia; 260 tienen automovil; 360 tienen computador; 200 tienen

casa y automovil; 250 tienen casa y computador; 150 tienen automovil y computador y 100 tienen casa, automovil y computador.

Calcular:

1. Cuntos fueron los profesores encuestados?

2. Cuntas personas tienen solamente casa propia?

3. Cuntas personas tienen solamente automovil?


47/163

4. Cuntas personas tienen casa y automovil, pero no tienen computador?

5. Cuntas personas tienen casa y computador pero no automovil?

Designemos los conjuntos as:

Figura 15___________________Figura 16

1. Sirvindonos del diagrama, colocamos inicialmente el cardinal asociado a la triple interseccin, y en su orden podemos determinar los asociados a las intersecciones

dobles (figura 15).

2. Podemos determinar a continuacin los cardinales correspondientes a los conjuntos: solamente C, solamenteA , solamenteB ; teniendo en cuenta n ( C), n (A )

y n (B ) y los cardinales determinados en el numeral anterior (figura 16).

3. Podemos finalmente determinar el cardinal de , sumando los cardinales de los conjuntos disjuntos en que hemos particionado la unin, o

aplicando la frmula establecida.

En esta forma las respuestas a las preguntas planteadas, corresponden en su orden:

1. Profesores encuestados: 570

2. Profesores que tienen nicamente casa propia: 100

3. Profesores que tienen nicamente automovil: 10

4. Profesores que tienen casa propia y automovil, pero no tienen computador: 100


48/163

5. Profesores que tienen casa y computador pero no automovil: 150

5.12.2 Mtodo de las regiones disjuntas para el trabajo en los diagramas.

Un mtodo sencillo pero til para la representacin en diagramas de Venn-Euler, del resultado de una serie de operaciones, que por el procedimiento usual del

demarcado paso a paso, resultara muy complicado es el siguiente:

Paso 1.

Enumerar todos y cada uno de los conjuntos disjuntos que podemos identificar en un diagrama de Venn-Euler.

Paso 2.

Asignar a cada uno de los conjuntos principales, los numerales asociados a sus subconjuntos disjuntos.

Paso 3.

Al efectuar las operaciones indicadas paso a paso, determinar las regiones que intervienen en cada resultado parcial, hasta obtener el resultado final.

Ilustracin 6.

1. Determinar la regin correspondiente a la siguiente operacin entre conjuntos:

Conjunto

A

B

C

A -B


49/163

Regin

1,2,3,6

1,2,4,5

1,3,4,7

3,6

3

6,3,7,8

6,3,7,8

Observacin.

Puede verificarse del resultado anterior que:

2. Determinar la regin correspondiente a la siguiente operacin entre conjuntos:

Conjunto

A

B

C


50/163

Regin

1,2,3,6

1,2,4,5

1,3,4,7

1,3

1,2,3,4,5,6

7,8

1,3

1

Solucin.

Observacin.

Puede verificarse del resultado anterior que:

Comentario.


51/163

El mtodo propuesto permite de una manera sistemtica y sencilla, verificar las igualdades surgidas en las leyes generales de la teora de conjuntos. Adems facilita la

exploracin de otras propiedades que el alumno puede someter a prueba para determinar con absoluta validez su resultado. En consecuencia el maestro debe

aprovecharlo al mximo.

Relaciones

En el estudio que hemos adelantado hasta el momento, hemos tenido la oportunidad de observar en todo su esplendor, el lenguaje de la lgica proposicional y

cuantificacional en la construccin de la teora de conjuntos.

Cuando se afirma a su vez que la teora de conjuntos es el lenguaje de la matemtica, entra en juego un conjunto que podemos considerar como el ncleo generador de

este lenguaje, y que corresponde al par ordenado. Este a su vez nos permite fundamentar un conjunto de importancia trascendental en el esquema de la matemtica

moderna: las relaciones binarias. Mediante ellas es posible vincular elementos de dos conjuntos, no necesariamente diferentes, y segn sea el tipo de conexin se tienen

las distintas clases de relaciones que soportan el maravilloso edificio de la matemtica. Esta es la razn por la cual, aunque estamos trabajando sobre el mismo tema, su

importancia amerita un captulo aparte.

6.2Par ordenado. Producto cartesiano

Definicin. Par ordenado.

Definimos un conjunto de dos elementos en el cual se tiene en cuenta el orden de sus elementos . Este conjunto se denomina par ordenado de componentes a y b y se

nota ( a , b ). Esto es:

Teorema 1.

Observaciones.

1. Es claro que si entonces . En efecto y

obviamente .

2. Dado decimos que a es la primera componente y b es la segunda componente del par ordenado.

3. . Justificar esta afirmacin.

Definicin. Producto Cartesiano.

Sean A y B conjuntos.


52/163

Al conjunto formado por todos los pares ordenados de primera componente en A y segunda componente enB , lo denominamos producto cartesiano de los

conjuntosA yB y lo notamosA xB .


Consecuencias.

i)

ii)

Observacin.

Para facilitar el manejo del producto cartesiano, utilizaremos la siguiente notacin abreviada:

Consecuencias.

i)

ii)

Representaciones grficas particulares del producto cartesiano.

En el conjunto de los nmeros reales.

Existe una correspondencia biunvoca entre y el conjunto de puntos del plano cartesiano.


53/163

Ilustracin 1.

1. Sean: ; .

Determinar y representar en el plano cartesiano los siguientes conjuntos:

; ; ;


54/163

Figura 1

2. Sean , .

Determinar y representar en el plano cartesiano.

; ; ; .


55/163

Figura 2

Observaciones.

1. Es importante resaltar la diferencia entre las representaciones correspondientes a conjuntos finitos y las respectivas a los conjuntos infinitos.

2. Es fundamental tener presente que en la representacin de un conjunto en el plano cartesiano, todo punto es la representacin de un par ordenado y viceversa.

Teorema 2. Propiedades del producto cartesiano.

Sean:A ,B , C,D ,X, Yconjuntos, entonces:

1. Si y entonces


56/163

2. si y solo si .

3. Si entonces

4.

5.

6.

7.

Demostracin de 1.



esto es consecuencia def. pcto. Cartesiano

luego ; pero de la hip. 1 se tiene que y tambin

en consecuencia es decir

Conclusin:

Demostracin de 4.

Consec. def. pcto. Cartesiano


Equivalencia

Equiv. Leyes conm y asoc.


57/163

Consec. def. pcto. cartesiano

Consecuencia def. interseccin

G.U. Axioma de extensin.

Ejercicio. Demostrar los numerales: 2, 3, 5, 6, 7.

6.3 Relaciones

Definicin. Relacin.

Una relacin es un conjunto de parejas ordenadas. As:

Notacin.

SiR designa una relacin y , lo notamos tambin como: xRy, y se lee x est relacionado conybajo la relacinR . La

negacin la notamos tambinx y .

As para el ejemplo anterior:

esto es

esto es

6.3.1 Representacin de una relacin.

Sea R una relacin. En el caso de conjuntos finitos podemos utilizar las siguientes formas de representacin.


58/163

1. Notacin conjuntista (extensin y/o comprension)

2. Mediante diagramas de Venn

3. Mediante un grfico cartesiano. En este caso se consideran como abscisas las primeras componentes y como ordenadas las segundas componentes. Mediante paralelas

a los ejes trazados por los puntos de divisin se forma una cuadrcula cuyos elementos son los vrtices de un producto cartesiano; de estos se sealan los que pertenecen a

la relacinR .

4. Mediante una matriz. Sobre una columna se anotan los elementos correspondientes a las primeras componentes y sobre una fila las correspondientes a las segundas. En

el extremo superior izquierdo se coloca el designante de la relacin. En la interseccin entre el elemento correspondiente a una fila y el respectivo de la columna se

coloca 1 si estn relacionadas y 0 si no lo estn.

Ilustracin 2.

Representemos la relacinR 2 .

Figura 3

6.3.2 Definicin. Relacin inversa.

SeaR una relacin. Definimos la relacin inversa de R y la notamosR -1 , al conjunto con la siguiente propiedad:


59/163

Consecuencias.

i)

ii)

Ilustracin 3.

Para las relacionesR 1 yR 2 , presentadas anteriormente se tiene:

;

6.3.3 Definicin. Relacin compuesta.

Sean R, S relaciones. Definimos la relacin compuesta de S y R y la notamos , al conjunto con la siguiente propiedad:

Consecuencias.

i)

ii)

Ilustracin 4.

Sean:


60/163

Determinemos: y

Figura 4

Observacin.

De la ilustracin anterior se concluye que la composicin de relaciones no es conmutativa.

Teorema 3.

Sean: G, H, J relaciones, entonces:

1.

2.

3.


61/163

Demostracin de 3.

Probemos que


esto es consecuencia definicin de inversa

que equivale a def. de compuesta

Supongamos . Hiptesis 2.

Esto es , que equivale a

. Consecuencia de la inversa.

Por tanto

. Traslado del existencial.

pero esto equivale a . Consecuencia def. de compuesta

luego

y en consecuencia:

Ejercicio. Demostrar la inclusin recproca y los numerales 1 y 2.

Definicin. Dominio de una relacin.

SeaR una relacin.

Definimos el dominio deR como el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamosD (R ) o dom (R ). Dicho

conjunto lo representamos por comprensin as:


62/163

Consecuencias.

i)

ii)

6.3.5 Definicin. Rango de una relacin.

SeaR una relacin.

Definimos el rango deR como el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R y lo notamos r(R ) o ran (R ). Dicho

conjunto lo representamos por comprensin as:

Consecuencias.

i)

ii)

Ilustracin 5.

Para las relaciones R y S de la ilustracin 10 se tiene.

;

;

;

;


63/163

Observaciones.

Tngase en cuenta que y . Puede generalizarse esta propiedad?

Teorema 4.

Sean: G ,Hrelaciones, entonces:

1.

2.

3.

4.

5. Si entonces

Funciones

Como un caso particular de las relaciones, el concepto de funcin conjuntamente con el de lmite se constituyen en la parte fundamental de la matemtica moderna.

La nocin de funcin hoy estrictamente formal, est relacionada con la nocin de curva. Los griegos construyen ya varias curvas planas y dividen los problemasgeomtricos en planos, para los que bastan la recta y la circunferencia, constituyendo as la parte ms apreciada de la geometra; slidos para los que se requiere el uso de

las cnicas; y curvilneas, para las que se necesitan otras curvas ms complicadas, cuyo trazado no puede ser exacto. Descartes (1596 - 1650) en el comienzo del libro

segundo de su Geometra introduce las curvas algebraicas, justificando como deben ser admitidas en la geometra con el mismo derecho que las cnicas, y las distingue

de las mecnicas, que no pueden ser tratadas con rigor, porque no se conoce un procedimiento exacto de generacin ni siquiera en teora; as mismo, Descartes, y

anteriormente Fermat, al referir las curvas a ejes coordenados crean los fundamentos de la geometra analtica estableciendo un puente entre la geometra y el lgebra.

La palabra funcin, y su concepto como correspondencia entre una variable dependiente y otra independiente, se elaboran a fines del siglo XVII y principios del XVIII,

especialmente por obra de Juan Bernoulli (1667 - 1748) y de L. Euler (1707 - 1783) quien da la siguiente definicin en Introductio in Analysin Infinitorum (1748):

Una funcin de una cantidad variable es una expresin analtica compuesta arbitrariamente de aquella cantidad variable y nmeros o cantidades constantes.

Esta definicin es un tanto vaga, pues el modo analtico de obtencin del valor de la funcin no est suficientemente precisado. Mrito grande de Euler es el incluir

expresamente las funciones implcitas adems de las explcitas, as como la divisin entre uniformes y pluriformes. Respecto del modo de formacin de la expresin

analtica distingue perfectamente entre funciones algebraicas y no algebraicas que llama trascendentes, pero la caracterizacin de estas ltimas es insuficiente

7.2 Definicin. Funcin de A en B

Sean:A ,B conjuntos no vacos.fes una funcin deA enB si y solo si:


64/163

fes una relacin deA enB en la cual a todo elemento deA , le corresponde un nico elemento deB .

Notacin.

Sifes una funcin deA enB , lo notaremos en general as:

Esta ltima expresin se lee: y es la imagen dexbajof.

Observaciones.

1. En general utilizamos las letras minsculas: f,g, h , etc. para designar funciones deA enB .

2. Sifes una funcin y , lo representamos tambin como ; el trminox lo denominamos en general pre - imagen ; el

trminoy lo denominamos en general imagen .

3. Sifes una funcin deA enB , utilizaremos las siguientes designaciones:

A : Dominio defo Conjunto de partida o conjunto de pre - imgenes.

B : Codominio defo Conjunto de llegada.

4. En general, la asignacin de imgenes a las respectivas pre - imgenes se establece normalmente en las funciones de variable real, mediante ecuaciones algebraicas.

Ilustracin 1.

1. Definimos una funcinfdeNenNas:

Esta funcin la podemos representar tambin as:

a. Por comprensin

b. Mediante un diagrama sagital.


65/163

Figura 1

c. Representacin en el plano cartesiano.

Ejercicios propuestos 7.2

1. Sean: ,

Definimos las siguientes relaciones deA enB .

Cules de ellas son funciones deA enB ?


66/163

2. Representar en el plano cartesiano (o en el espacio) las siguientes funciones.

2.1 Sea

2.2

2.3

2.4 Sean:

7.3Funciones de la variable real

Sean: , . De toda funcin diremos que es una funcin de variable real. Generalmente estas funciones se definen

mediante ecuaciones algebraicas.

Criterios grficos.

1. Dada la grfica de una relacin, esta corresponder a una funcin si toda recta perpendicular al eje xcorta a la grfica a lo sumo en un punto. En caso contrario la

relacin no es una funcin.

2. El dominio de una relacin (respectivamente de una funcin) corresponde a la proyeccin de la grfica sobre el eje x .

3. El rango de una relacin (respectivamente de una funcin) corresponde a la proyeccin de la grfica sobre el eje y .

Ilustracin 2.

Sean:


67/163

Determinar cules de las relaciones dadas son funciones, aplicando el criterio grfico. Especificar para cada una, dominio y rango.

1. Paraf

x - 2 0

y 1 3

Figura 2

Podemos concluir quefes una funcin.Dom(f)=R Ran(f)=R .

Expresemos su notacin convencional:

2. Parag.


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Figura 3

Podemos concluir queges una funcin.Dom(g)=R Ran(g)= { - 2}.

Su notacin convencional corresponde:

3. Para k x=y 2

x 0 1 4

y 0


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Figura 4

Podemos concluir que la relacin kno es una funcin.Dom(k)= [0, )Ran(k)=R .

Observacin.

Aunque kno es una funcin, podemos obtener algunos subconjuntos de kque si son funciones, por ejemplo k'y kdeterminados as:

Figura 5

dom(k')= [0, ) dom(k)=[0, )

ran(k') = [0, ) ran(k')= ( - , 0]

Ejercicio. Completar el anlisis de las dems relaciones.

7.3.1 Imgenes directa e inversa.

Definicin. Imagen directa de subconjuntos del dominio.

Sean: ; ; entonces el subconjunto formado por todas las imgenes de los elementos de C, se denomina imagen directa de Cbajof y

se notaf(C) .


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Por comprensin:

Consecuencias.

i)

ii)

iii)

iv)

Definicin. Imagen inversa de subconjuntos del codominio.

Sean: ; ; entonces el conjunto formado por todas las pre - imgenes de los elementos deD , se denomina imagen inversa

deDbajof y se notaf-1 (D) .

Por comprensin:

Consecuencias.

i)

ii)

iii)

Podemos dar una representacin grfica de estos dos conjuntos, as:


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Figura 6 Figura 7

Ilustracin 3.

Dada la funcin: como se ilustra en el diagrama.

Figura 8

Determinemos los siguientes conjuntos:

1.


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2.

3.

4.

5.

7.3.2 Algunas funciones especiales.

Estableceremos una caracterizacin de algunas funciones cuya aplicacin en la matemtica tiene gran importancia.

7.3.2.1 Funcin uno a uno (Inyectiva).

Sea: ; decimos quefes inyectiva si y solo si:

o en forma equivalentefes inyectiva si y solo si:

Consecuencia.fno es uno a uno si y solo si

.

Intuitivamente, si una funcin es inyectiva no puede darse que elementos distintos del dominio tengan la misma imagen. En el diagrama sagital correspondiente a una

funcin uno a uno (1 - 1) ningn elemento del codominio puede estar asociado a ms de un elemento del dominio.

Ilustracin 4.

1. Seanf,glas funciones definidas en la grfica.


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Figura 9 - Figura 10

Podemos concluir quefes una funcin 1 - 1; perogno es una funcin 1 - 1 en particular:

f(5)=f(7) 5 7.

2. Seanfyglas funciones que se definen as:

Veamos sifes inyectiva.

Supongamos: . Hiptesis

luego

en consecuencia .

Por tantofes uno a uno.

Veamos siges inyectiva.

Supongamos: . Hiptesis

esto es


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y en consecuencia .

o en forma equivalente ;

que equivale a:

Por tantogno es uno a uno .

7.3.2.2Funcin Sobreyectiva (Sobre).

Sea: ; decimos quefes sobreyectiva si y solo si:

Esto equivale tambin a afirmar:

fes sobreyectiva si y solo si: ran(f)=B .

Ilustracin 5.

1. En el ejemplo grfico anterior nif, nigson sobreyectivas puesto que y

2. Para las funcionesfygdefinidas por comprensin, podemos afirmar que: fes sobreyectiva, puesto que ran(f)=R , perogno es sobreyectiva puesto

que , esto es .

7.3.2.3 Funcin biyectiva.

Sea: ; decimos quefes biyectiva si y solo si:

fes inyectiva y sobreyectiva.

Ilustracin 6.

1. En el ejemplo anterior, ninguna de las dos funciones representadas en el diagrama es biyectiva.

2. De las funciones representadas por comprensin,fes biyectiva perogno lo es.

3. Es posible establecer restricciones engpara definir funciones biyectivas?


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4. Analicemos estas dos funciones:

Ejercicio. Pruebe queg'ygson biyectivas.

7.3.2.4Funcin identidad.

Aunque ya la habamos presentado en la relacin idntica con dominio en A , podemos contextualizarla como una funcin:

La representacin de esta funcin con dominio en R corresponde, en el plano cartesiano, a una recta que biseca el primer y el tercer cuadrante. Como puede concluirse de

su definicin, esta funcin es biyectiva.

7.3.2.5 Funcin constante.

Es aquella funcin en la cual todos los elementos del dominio tienen la misma imagen en el codominio.

Sea:

c constante, .

En las funciones de variable real, la grfica de una funcin constante corresponde a una recta paralela al eje x .

Ejercicio. Responder a las siguientes preguntas:

1. Puede una funcin constante ser inyectiva?

2. Puede una funcin constante ser sobreyectiva?

3. Puede una funcin constante ser biyectiva?


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7.3.2.6.Funcin compuesta (Composicin de funciones).

Sean: , . Definimos una funcin deA en C, que llamaremos la funcin compuesta de fyg, y que notaremos

as:

Observaciones.

1. Intuitivamente, podemos observar en la composicin de funciones, la transitividad que nos permite transitar entreA y C, utilizando el conjuntoB como un

intermediario o puente.

2. Con respecto a la notacin, debe tenerse en cuenta que la funcin que se coloca al interior (de derecha a izquierda) es la primera que acta en el proceso de

composicin.

3.Aunque usualmente la definicin de la composicin de funciones se presenta en la forma ya indicada, debemos precisar que la condicin mnima suficiente para

garantizar la existencia de esta funcin es que .

Una representacin grfica del proceso de la composicin, lo podemos presentar as:

Figura 11


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Figura 12

Ilustracin 7.

Sean:

Nota.

Nota.

Nota.

Determinar cules de las siguientes funciones estn definidas, precisando dominio, codominio y la ecuacin respectiva.

a. , est definida; porque .


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b. , est definida.

c. , no est definida porque .

Ejercicio. Desarrollar lo establecido en la ilustracin para las siguientes composiciones: , , , .

Observacin.

Podemos concluir que en general, la composicin de funciones no es conmutativa.

Nota.

Aunque la igualdad de funciones es un caso particular de lo establecido para las relaciones, consideramos importante precisarlo por las aplicaciones que requieren este

concepto.

7.3.2.7 Definicin. Igualdad de funciones.

Sean: , .f= gsi y solo si .

Intuitivamente, dos funciones son iguales si para todo elemento de su dominio que es igual, sus imgenes son iguales en cada una de las dos funciones.

Teorema 1. Algunas propiedades de la composicin.

Sean: , , .

1. .


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2. Sifygson 1 - 1, entonces es 1 - 1.

3. Sifygson sobreyectivas, entonces es sobreyectiva.

4. Si es 1 - 1, entoncesfes 1 - 1.

5. Si es sobreyectiva, entoncesges sobreyectiva.

Demostracin de 1.

Sea . Debemos probar:

definicin funcin compuesta




Demostracin de 2.

Supongamosfygson 1 - 1. Hiptesis 1.

Supongamos Hiptesis 2.

Esto es: . Definicin funcin compuesta

comoges 1 - 1 entonces ; y tambin por serf1 - 1, .

Esto es es 1 - 1.

7.3.2.8Funcin Inversa.


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Sea: una funcin biyectiva.

Entonces existe una funcin deB enA , llamada funcin inversa defdefinida as: Para

entonces

Consecuencias.

i)

ii)

Teorema 2. Propiedades de la inversa.

Si: yfes biyectiva, entonces:

1.

2.

3. e

Ilustracin 8.

1. Sea

dondefes biyectiva . Determinar .

a.

luego,


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b. En laprctica, dado el uso generalizado de designar como x la preimagen (variable independiente), y como y la imagen (variable dependiente), efectuamos una

redesignacin de variables as:

en esta forma, definimos explcitamente la funcin inversa as:

2. Sea

siendofbiyectiva. Determinarf-1 .

Podemos utilizar una forma alterna, aplicando la siguiente propiedad de la inversa:

; luego ; y en consecuencia

Cardinalidad

No podramos terminar este recorrido inicial por los primeros niveles del majestuoso edificio de la Teora de Conjuntos, sin asomarnos, as sea de una manera sencilla

pero precisa, al apasionante tema de la numeralidad y la clebre Hiptesis del Continuo, formulacin que el propio Cantor trabaj hasta su muerte tratando de demostrar

sin lograrlo, y que convoc a su estudio a eminentes matemticos como K. Gdel y Paul Cohen entre otros, obteniendo este ltimo un sorprendente resultado cual fue su

indecibilidad en la Teora de Conjuntos.

8.2Coordinabilidad o Equipotencia

Sean los conjuntosA yB . Si es posible establecer una biyeccin entre sus elementos, se dir que A yBson conjuntos coordinables o equipotentes, y se denotar A~B .

Simblicamente podemos definirlo:

A~B si y slo si es una biyeccin.


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Es de comprensin inmediata e intuitiva que si se trata de conjuntos finitos, son equipotentes aquellos que tengan el mismo nmero de elementos . Y en esta lnea de

intuicin poco analtica, cabra pensar que, a su vez todos los conjuntos infinitos son biyeccionables y, por tanto, equipotentes. De hecho tal error se mantuvo hasta que

George Cantor definiera la equipotencia como anteriormente ha quedado establecida. No todos los conjuntos infinitos son equipotentes entre s.

La relacin de equipotencia es una relacin de equivalencia. En efecto:

A~A

A~B B~A

(A~B) (B~C) A~C

8.3Conjuntos finitos e infinitos

Conviene matematizar estos dos conceptos, a los que nos hemos venido refiriendo previamente y cuyo manejo indiscriminado en las acepciones generales, puede

inducirnos a errores.

8.3.1 Conjunto infinito:A es un conjunto infinito si es equipotente con una de sus partes.

Ilustracin 1.

Dados los conjuntosNy ; , definimos:

Esta funcin es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). Luego los conjuntos NyPson equipotentes, y en consecuencia Nes infinito.

Sea el intervalo real [0,1] representado por todos los puntos del segmento de la recta realR .

Sea otro intervalo real [0.2,0.8] representado por el segmento . Consideremos la funcin , tal que haga corresponder a

cada un obtenido trasladando primero aXsegn t, y proyectando luego t(x)=X', desde un punto fijo O , sobreR ,

en X, de modo que f(x)=X.

Esta aplicacinfes claramente inyectiva y sobreyectiva; se trata, pues, de una biyeccin.

Se establece en esta forma una biyeccin entre el intervalo [0,1] y un subconjunto suyo [0.2,0.8]. Lo que nos permite afirmar que

[0,1]~[0.2,0.8]

Esta equipotencia establecida, caracteriza al intervalo [0,1] como infinito.


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Figura 1

8.3.2 Conjunto finito.A es un conjunto finito si no es equipotente con alguna de sus partes.

Todo conjunto finito presenta las siguientes caractersticas esenciales:

Es posible su ordenacin con primero y ltimo elementos;

todo subconjunto ordenado tambin tiene primero y ltimo elementos.

8.4Numerabilidad

Si un conjuntoA es equipotente con el conjunto de nmeros naturalesN, se dice que es numerable y se le asigna el propio cardinal de N, representado por

(Primera letra del alfabeto hebreo y se lee alef cero').

Por extensin todo conjunto finito se considera numerable por ser coordinable con un subconjunto de N.

Enunciaremos a continuacin algunos teoremas fundamentales, que se refieren a la numerabilidad.

Teorema 1. Todo conjunto infinito, tiene, al menos un subconjunto numerable.

Teorema 2. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

Teorema 3. La unin de todos los conjuntos disjuntos numerables de una familia numerable es numerable.

Teorema 4. El conjunto de los nmeros racionales Q es numerable.

En efecto: Sea . Definimos la funcin:


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Esta funcin es inyectiva, en consecuencia Q + ~A siendo .

Admitido que es numerable y segn el teorema 2, Q + es numerable. En forma idntica se prueba que Q - es numerable y en consecuencia se concluye

que Q es numerable.

Existen conjuntos infinitos en los que no es posible establecer una biyeccin con los naturales; no son equipotentes a Ny se dice que son conjuntos no numerables .

El conjunto infinito de mayor representatividad es el intervalo cerrado [0,1], el intervalo unidad.

De todo conjunto infinito no numerable, equipotente con el intervalo unidad [0,1], se dice que tiene la potencia del continuo y se le asigna el propio cardinal de [0,1],

denotado (alef 1).

Ilustracin 2.

Sea el intervalo cerrado y la funcin:

fes biyeccin, luego [0,1]~ y el cardinal de es .

Se define una funcinfas:

, donde ctg representa la cotangente.

Esta funcin es biyectiva, luegoR~ .

En consecuencia el conjunto de los nmeros reales tiene la potencia del continuo y su cardinal es .

8.5 Nmeros cardinales

Siendo la relacin de equipotencia o coordinabilidad una relacin de equivalencia, tiene la propiedad de particionar los conjuntos en clases disjuntas, cada una de las

cuales es un nmero cardinal .


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Los cardinales pueden ser finitos o infinitos. Los primeros son el cardinal de la familia de conjuntos equipotentes con y los de todas las familias de equipotencia de

cada uno de los subconjuntos propios deN:

de los segundos, de nmero ilimitado (a justificar luego, por el teorema de Cantor), se han establecido hasta ahora dos:

Teorema 5. Teorema de Cantor.

Establecido un cardinal cualquiera, siempre existe otro mayor que l. En efecto, entre un conjunto cualquiera A y el conjunto de sus partesP(A) siempre se verifica que

si a = Card(A) , entonces a


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Hiptesis del continuo.

No existe un cardinal , tal que .

Un enunciado equivalente al anterior, que describe los trminos propios de la investigacin al respecto es:

Hiptesis del continuo.

Toda parte infinita deR es equipotente aNo aR .

Durante toda su vida Cantor trat de probar la Hiptesis del continuo, pero no pudo lograrlo, Kurt Gdel en 1.938 encontr que la Hiptesis del continuo poda

considerarse verdadera sin que contradijera los axiomas de la teora de conjuntos.

As estuvieron las cosas hasta que en 1.963 el matemtico Paul J. Cohen de la Universidad de Stanford, corroborando las ideas de Gdel, alcanz la extraordinaria

justificacin de que la hiptesis del continuo es una proposicin indecidible o lo que es igual: que la Hiptesis del continuo es un axioma independiente dentro del

edificio matemtico establecido y que, aceptada o negada, sustenta dos teoras de conjuntos infinitos correctas . Cantoriana y no Cantoriana.

Haciendo un paralelo sucede igual que en la geometra con el postulado de paralelismo (Quinto postulado) que segn se acepte o se niegue origina dos geometras

diferentes pero consistentes y vlidas.

Muchos matemticos esperan y creen que algn da se hallar un axioma que adicionado a la teora de conjuntos haga decidible la Hiptesis del continuo. Tanto Gdel

como Cohen esperan que as ocurra y estn convencidos de que la hiptesis del continuo es falsa ; a diferencia de Cantor, quien crey y esper que fuese verdadera.

Para la ampliacin de este tema de por s apasionante, remito a la lectura del artculo: Aleph cero y aleph uno . (Captulo 5. Miscelnea Matemtica).

Problemas

9 MODELOS DE SITUACIONES APLICADOS A LA LGICA PROPOSICIONAL

Introduccin

No puedo terminar este texto sin integrar a l, un tema con el cual t iene una filiacin natural como lo expres en la Introduccin, cual es la Metodologa de las situaciones

problema, que se ha consolidado como una estrategia didctica muy importante, en los procesos de enseanza y aprendizaje.

En este contexto, concibo una situacin problema como un espacio de interrogantes que posibilita, tanto la conceptualizacin como la simbolizacin y aplicacin

significativa de los conceptos orientados a plantear y resolver problemas de tipo matemtico.

Con los Modelos que he diseado busco fomentar la movilizacin de habilidades bsicas, tanto del pensamiento cientfico como matemtico. En cuanto al primero, son

generalmente reconocidas lahabilidades para observar e interrogar los fenmenos, adems de sistematizarlos, estructurarlos y explicarlos. En cuanto al segundo, la

comprensin significativa de los conceptos, la ejercitacin de algoritmos y la resolucin de problemas parecen dar cuenta de lo esencial en cuanto a la habilidad

matemtica.

Debo agregar que en la estructura planteada, en el diseo y graduacin de las preguntas, he buscado ajustarme al proceso propuesto por el profesor Gastn Mialaret,

conocido como el paso de la accin concreta a la representacin simblica, desde luego ajustado a las posibilidades cognitivas del auditorio al cual me dirijo.

9.2. OBJETIVOS


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9.2.1 Establecer las bases necesarias para la constitucin del esquema de la implicacin, a travs de diferentes aproximaciones, desde las experiencias observables para

identificar causas y efectos, hasta la utilizacin e identificacin de lenguajes precisos para designar sus elementos fundamentales.

En consecuencia el proceso propuesto permitir la indagacin por:

Situaciones posibles y no posibles.

Relaciones causaefecto. Condiciones suficientes.

Condiciones necesarias.

Condiciones suficientes y necesarias.

9.2.2. Precisar, con base en el trabajo del numeral anterior, el contenido de verdad propio de la implicacin y de las implicaciones derivadas: recproca, contraria

y contrarrecproca.

Para ello, se har nfasis en estos aspectos:

Dada una implicacin identificar su recproca, contraria y contrarrecproca.

Determinar el valor de verdad de una implicacin, sustentado, desde luego, en el contenido real de la situacin problema descrita.

Relacionar los valores de verdad de una implicacin con los correspondientes a las implicaciones derivadas.

9.2.3. Introducir, en una forma sencilla, las argumentaciones directas que sern el prembulo para la formulacin posterior del mtodo de demostracin directo. En este

caso, se establecen premisas (hiptesis auxiliares) y se pide determinar la validez o no de una conclusin determinada. Ello obliga a la construccin de una

argumentacin coherente, mediada, desde luego, por las condiciones fijadas en el proceso.

9.2.4. Mostrar cmo, partiendo de unas premisas dadas, es posible obtener determinadas conclusiones sobre ciertas situaciones y cmo no es posible afirmar algo de

otras. Se observar, adems, por qu es necesario tener un control del estado de ciertas variables y que los resultados dependern de los estados de las mismas. En estas

situaciones, se introduce en la prctica el anlisis de casos.

9.2.5. Presentar premisas que lleven implcitamente una contradiccin y motivar la elaboracin de argumentaciones simples que hagan explcita la contradiccin. Se

busca, en esta forma, sentar las bases del mtodo de reduccin al absurdo.

9.2.6. Destacar una actividad, poco trabajada, relacionada con el esquema de la implicacin, y que en cierta forma involucra una accin de reversibilidad importante en

los procesos de enseanza y aprendizaje. La actividad consiste en que, a partir de implicaciones falsas, se determinan los valores de verdad de las proposiciones

constitutivas; obligando, desde luego, a un anlisis detallado de las condiciones fijadas en el proceso.

9.2.7. Mostrar la funcin vital que cumple la implicacin en la construccin de las argumentaciones lgicas y cmo se estructura, en torno a ella, el proceso demostrativo.

9.2.8. Identificar en las argumentaciones los elementos bsicos de la estructura demostrativa: Hiptesis, tesis y la argumentacin de soporte, que conduce de la

Hiptesis a la tesis.

9.2.9. Presentar las reglas de inferencia que validan el proceso demostrativo y propiciar su identificacin dentro de las argumentaciones.

9.2.10. Analizar la estructura lgica subyacente a las argumentaciones y, mediante la utilizacin de las reglas de inferencia, distinguir una argumentacin vlida de una

argumentacin falaz.

9.2.11. Sealar los modelos ms generales que se encuentran en los procesos deductivos y que conocemos como los mtodos de demostracin, indicando cundo y cmo

se pueden utilizar como estrategias para una demostracin.

9.2.12. Destacar la necesidad de un lenguaje preciso que elimine las ambigedades usuales en el lenguaje ordinario, especficamente el lenguaje del clculo de

proposiciones, y mostrar como su utilizacin permite ver con claridad la estructura lgica subyacente en las argumentaciones y determinar su validez e invalidez.


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9.2.13. Utilizar argumentaciones basadas en los dos Modelos propuestos en las cuales las condiciones

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Resumen de razonamiento lógico udea ejercisios