TALLER DE DISTRIBUCIONES PROFESOR CARLOS IVAN RESTREPO

1) La función de densidad de probabilidad de peso neto en libras de un paquete de herbicida químico es igual a f(x)=2 para 49.75<x<50.25 libras.

a) calcule la probabilidad de que un paquete pese más de 50 libras.b) Cuanto herbicida estará contenido en el 90% de los paquetes.

2) Sea X La variable aleatoria que denota la vida en meses de cierto positivo electrónico. la función densidad de probabilidad es

a)

f ( x )=¿ { 1

9x3−16 x¿ ¿¿¿

b)

f ( x )=¿ {x3+5x2−4x3si x>2 ¿¿¿¿

c)

f ( x )=¿ {(2−3x )dx

4 x2−11si x>2¿ ¿¿¿

d)f ( x )=¿ { x2 ex2 si x>2 ¿ ¿¿¿

e)f ( x )=¿ {x ln x si x>2¿ ¿¿¿

Determine cuáles de las funciones densidades dadas anteriormente es la adecuada para encontrar la vida esperada y cuál de ellas presenta mayor vida útil del dispositivo electrónico

3) Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas  de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos? b) Encuentre la media esperada de arresto por posesión de narcóticos

4) Supóngase que f(x)=e-x para 0<x. Determine las siguientes probabilidades.a) p (1<x) b) P(1<x<2,5) c)P(x<4)

5) Suponga que f(x)= x2lnx para 4<x hallara) P(8<x<12)

6)7) Suponga que el número de camisas lavada en una lavadora alquilada casera entre las 8am y las 9 am

en cualquier martes designado en una casa para lavar la camisas de su habitantes tiene la siguiente distribución de probabilidad

x 6 7 8 9 10 11P(X=x) 1/8 1/8 1/4 1/4 1/2 1/2

donde g(x) =2x+2 es la cantidad de dinero que recibe el administrador que alquila las lavadoras casera . Encuentre las ganancias esperadas por el administrador

8) Se selecciona al azar 2 tarros de pinturas de una caja que contiene 4 tarros pintura roja, 3 tarro de pintura azul y 2 tarros de pintura amarilla. Si X es el número de tarros roja y Y el número de tarro de pintura azul que se seleccionan al azar encuentre a) La función de probabilidad conjunta f(x,y)

b) P [(X ,Y )∈ A ] donde A es la región {(x , y )/ x+ y≤1 }c) construya la tabla de distribuciones marginales g(x) y h(y) d) Encuentre la distribución condicional de X dado que Y=1

9) Suponga que el error de un químico al realizar un experimento es una variable continua X con respecto a los miligramos que debe usar para su experimento y que tiene la función de densidad de probabilidad es

a)

f ( x )=¿ {ln x si 1<x<e ¿ ¿¿¿

b)

f ( x )=¿ { dxx √1−x ¿ ¿¿¿

c)

f ( x )=¿ { −dx0.6020 x2+3 .6120x+4 .8160

si 0 <x<1 ¿ ¿¿¿

d)

f ( x )=¿ { (x+2 ) ln2

√x2+2 x−3si 1<x<3 ¿¿¿¿

Verifique cuál de las 4 funciones cumple la segunda condición de función densidad de probabilidad10) Sea f(x)=2/x2 en el intervalo [a b]=[1 2]   verifique la segunda condición de la función densidad,

Si X admite esta función de densidad de probabilidad, entonces hallar P(1 5 X 2)11)  Una calculadora genera números al azar en el intervalo [0,1], con igual probabilidad para cada número

del intervalo. Una variable así definida es continua, y además se reparte uniformemente la probabilidad en el intervalo [0,1]. La función de densidad es :

verificar si esta función cumple las 2 primeras condiciones de la función de probabilidad12)  Dada la función 

Determínese el valor de k para que f sea una función de densidad

13) Se lanza 2 dados escriba:

a) el espacio muestral b) determine las probabilidades de cada una de las suma de ellos

c) Realice un gráfico de líneasd) realice el grafico del histograma

14)  Si lanzamos una moneda legal y representamos por X el número de ensayos realizados hasta que aparece por primera vez cara , entonces, el espacio muestra correspondiente es infinito, ya que hay un número infinito de numerable de resultados, a saber, 1, 2, 2, 3, … De hecho, X=1 significa que aparece cara en el primer ensayo, X=2, indica que primero se obtiene sello y en el segundo tiro, una cara , etc. Puesto que las caras y los sellos son igualmente probables, y los ensayos son independientes, escribir

a) la función de probabilidad

b) completar la siguiente tabla

X .f(x)1234

15)  Encuentre los valores de la función distribución acumulada F(X) de la variable aleatoria X descrita en el ejemplo anterior

16) Se extraen dos tornillos al azar de un conjunto de 10 tornillos, cuatro de los cuales están defectuosos.

Encontrar y dibujar la función de probabilidad  de la variable aleatoria X = número de tornillos defectuosos extraídos.

17) La función densidad de probabilidad normal estándar se define por:

donde

graficar para -3<x<3

18) Determinar el valor de la constante c tal que f(x) defina una función densidad en el intervalo dado y determinar la regla de correspondencia de la función de distribución acumulada correspondiente.

a. , 

b. , 

19) Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabil idad, la esperanza matemática y la varianza

20) Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabil idad y la esperanza matemática del juego

21) En el parque de Tuluá existe personas que venden boletas de r i fas a diario, si una persona compra una boleta en una ri fa, en la que puede ganar 500000 ó un segundo premio de 200000 con probabil idades de: 0.001 y 0.003.

a) ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la boleta?b) El número de la boleta que t iene como probabil idad 0,001 es de cuantas

cifras?22) Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabil idad es:

x .f(x)

0 0,11 0.22 0.33 0.14 0.25 0.1a) Calcular, representar gráficamente la función de distr ibución acumulada F(X)

b) Calcular las siguientes probabil idades:

p (X < 4.5)

c) p (X ≥ 3)

23) Un jugador lanza dos monedas. Gana $1000 ó $2000 si aparecen una o dos caras.

Por otra parte pierde $5000 si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática

del juego y si éste es favorable.

24) Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las

puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabil idad, la esperanza matemática

y la varianza

25) Sea la v.a. X que toma los valores -1 y 0 con probabil idades 0,1 y 0,2

respectivamente y además toma valores en el intervalo (0,2) de acuerdo con la

función de densidad:

f ( x )=¿ {k (2x−1 ) si x∈(1,2) ¿¿¿¿ a) Hallar el valor de k. b) hal lar E(X).

26) Se debe elegir entre 2 procesos para la fabricación de pernos cuya longitud sigue

una distr ibución continua, con funciones de densidad dadas por f y g para el proceso

1 y el proceso 2 respectivamente.

f ( x )=¿ { 3x 4 si x>1¿ ¿¿¿ g( x )=¿ { 4x5 si x>1¿ ¿¿¿

Si solo se aceptan pernos con longitudes entre 1,1 y 2 cm,

a) ¿qué proceso produce mayor porcentaje de pernos aceptables?

b) Calcular la longitud media y la varianza de los pernos producidos en cada

proceso.

24)La variable aleatoria X representa la duración, en minutos, de las l lamadas a

una línea telefónica y su f.d.p. está dada por:

f ( x )=¿ {12 e−x2 si x>0¿ ¿¿¿

Calcular la probabil idad de que el t iempo de duración de una l lamada esté entre 5 y 10

minutos

25) Una máquina de fabricar proyecti les produce balas, cuyo diámetro, medido en

milímetros, es una v.a. X con f.d.p.:

f ( x )=¿ {k ( x−8 )(9−x ) si 8≤x≤9¿ ¿¿¿

26) Para establecer el precio a pagar por cada l i tro de leche, se ha tenido en cuenta el

contenido de materia grasa por l i tro de leche. Se consideraron 3 categorías:

Categoría 1: contenido en materia grasa inferior al 4%.

Categoría 2: contenido en materia grasa entre el 4% y el 5%.

Categoría 3: contenido en materia grasa superior al 5%.

Por estudios anteriores, se sabe que el porcentaje de materia grasa por l i tro de leche

procesado por esta empresa es una variable aleatoria X con función de densidad:

f ( x )=¿ {2 (6−x )9si 3<x<6 ¿ ¿¿¿

Sabiendo que el precio del l i tro de leche pagado por una empresa es de 3$ para la

categoría 1; 3,5$ para la categoría 2 y 4$ para la categoría 3, obténgase el precio medio del

l i tro de leche pagado por la empresa láctea.

27) -Sea (X, Y) v.a.b. con f.d.p.c. dada por:

f ( x , y )=¿ {k ( x+ y ) si 0<x<10 ,0< y<5 ¿ ¿¿¿a) Calcular el valor de la constante k.

b) Calcular la densidad marginal de la v.a.Y.

c) Calcular P(X < 7/ Y = 3)=

∫−∞

7

g( x /3)dx

d) Calcular E(X/Y = 3)

Nota: v.a.b= variable aleatoria bidimensional

fdpc= función de densidad de probabil idad continua

28) Sea X la variable aleatoria que mide la temperatura ambiental, en grados centígrados,

que necesita un motor diesel para encender, e Y la variable que mide el t iempo

transcurrido, en minutos, hasta que enciende. Suponiendo que la f.d.p.c. viene dada por:

f ( x , y )=¿ {k ( 4 x+2 y+1 ) si 0≤x≤40 ;0≤2¿ ¿¿¿

a) Calcular el valor de la constante k.

b) Calcular las funciones de densidad marginales.

29) la densidad conjunta para las variables aleatorias (X, Y) donde X es el cambio de

temperatura unitario y Y es la proporción de desplazamiento espectral que produce cierta

partícula atómica es

f ( x , y )=¿ {10 xy2 0<x< y<1¿ ¿¿¿

30) Se seleccionan al azar 2 cables para arreglar un pc, si en una caja hay 3 cables

azules, 2 amari l los y 3 naranjas. Si X es el número de cables azules y Y es el número de

cables amari l los que se seleccionan encuentre el valor esperado de

a) g(x,y)=XY b) g(x,y) =X+Y sabiendo que X, Y son variables aleatorias con distr ibución

de probabil idad conjunta

31) sea X una variable aleatoria con la siguiente distr ibución de probabil idad

x -3 6 9

.f(x) 1/6 1/2 1/3

Encuentre

μg( X ) ,donde g(x)=(2x+1) 2

32) Sea X la variable aleatoria que denota la vida en horas de cierto disposit ivo electrónico

, si la función de densidad es

f ( x )=¿ {8000000x3, x>200 ¿¿¿¿

33) Una encuesta halla la siguiente distribución de las probabilidades para le edad de un coche alquilado:

Edad (Años) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

Probabilidad .10 .26 .28 .20 .11 .04 .01

a) dibujar el histograma

b) Calcular la probabilidad de que un coche alquilado tenga entre 0 y 4 años de edad

34) La distr ibución de probabil idad de la variable aleatoria discreta X es

f ( x )=¿ (3 ¿ ) ¿¿

¿¿, si x=0,1,2,3

encuentre la media de X

35) Para cual constante k es f(x)=ke-x  una función de densidad de probabilidad definida en

 [0 1]?

36) Se lanza una moneda tres veces; sea X el número de caras obtenidas. Hallar la

función de probabil idad y de distr ibución de X.o sea la función acumulada

37) Una variable aleatoria t iene la siguiente función de probabil idad,

x 1 2 3 4 5

P(x) 0,05 0,2 0,05 0,45 0,25

a) . Comprobar que es una función de probabil idad.

b) Calcular P(x ≤ 3).

c) Calcular P(x > 3).

38) Sea X una variable aleatoria que t iene como función de densidad de probabil idad

f(x) = k(1 + x 2) si x ∈ (0,3) y f(x) = 0 en los demás casos. Se pide:

a) Hallar k y la función de distr ibución de X.

b) Hallar la probabil idad de que X este comprendido entre 1 y 2.

c) . P(X < 1).

d) P(X < 2|X > 1).

39) Sean X e Y las desviaciones absolutas vert ical y horizontal, medidas en metros, con

respecto a un blanco f i jo, de un misi l lanzado por un cañón. Se ha comprobado que

la función de densidad conjunta de ambas variables es:

f ( x )=¿ {x .e−x (1+ y ) si x , y≥0 ¿ ¿¿¿

a) Calcular las funciones de densidad marginales.

b) Calcular la probabil idad de no desviarse del blanco en menos de 2 metros en

dirección vert ical y en menos de tres metros en dirección horizontal.

c) Dado que es posible ajustar la pieza en orientación de forma que Y = 0, es decir,

anulando el error horizontal, ¿cuál es en este caso el valor más probable para las

desviaciones vert icalesy cuál el valor esperado para esta variable?

40) Sea X una v.a. continua cuya función de distr ibución es:

F ( x )=¿ {0 para x≤0 ¿ {x3 para 0<x≤1 ¿ ¿¿¿obtener la función densidad

41)En las vías del país existe control para los vehículos de carga pesada los cuales

en los puestos de control deben pasar por una báscula de t ipo digital cuya magnitud

viene expresada en toneladas. ¿Cuál es la probabil idad de que en una pesada el

valor real dif iera del dado por la báscula en más de 200 Kg?

42) La velocidad (en Km/h) de los coches que pasan por determinado punto de una

carretera es una variable aleatoria con función de densidad:

f ( x )=¿ { x10000

si 0<x<100¿ {200−x10000si 100≤x<200 ¿¿¿¿

a) Calcule la probabil idad de que un vehículo circule a más de 120 Km/h si se sabe

que circula a más de 100 Km/h.

b) En ese punto de la carretera se encuentra ubicado un radar que controla la

velocidad de los vehículos. Si la velocidad es inferior a 100 Km/h el importe de la

multa es de $0 (no hay multa), en cambio si la velocidad está comprendida entre 100

y 120 Km/h la multa es de $100 y si la velocidad supera los 120 Km/h la multa es de

$200.

c) Calcule e interprete el valor de la esperanza matemática de la variable aleatoria

importe de la multa que t iene que pagar un vehículo elegido al azar.

43) La función de densidad de probabil idad de probabil idad del t iempo de fal la ( en

horas) de un componente electrónico de una copiadora.

f ( x )= e−x /1000

1000=

Para x>0

Calcule la probabil idad de que:

a) El componente tarde más de 3 mil horas en fal lar.

b) El componente fal le en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas.

c) El componente fal le antes de 1000 horas.

44) Con la siguiente función f(x) =0.125x para 0<x<4, calcular la media, la

varianza y la desviación estándar.

45) Demuestre que el valor esperado de una variable aleatoria uniforme continua es

(a+b)/2

46) Demuestre que la varianza de una variable aleatoria uniforme continua esta dada

por la expresión

(b−a )2

12

47) Suponga que X t iene una distr ibución uniforme continua en el intervalo

[1.5, 5.5].

a) Calcule la media, la varianza y la desviación estancar de X.

b) Cual es la probabil idad de p(x<2.5).

48) Suponga que X t iene una distr ibución uniforme continua en el intervalo [-1, 1] a)

Obtenga la media la varianza y la desviación estándar. b) Calcule el valor de X talque

p(-x < X < x)=0.90

49) Una fábrica de dulces distr ibuye cajas de chocolates con un surt ido de cremas ,

espesas y nueces cubiertas con chocolate claro y oscuro. Para una caja seleccionada

ala azar, sean X y Y respectivamente, las proporciones de chocolates claros y oscuros

que son cremas y suponga que la densidad conjunta es

f ( x )=¿ { 132 ( x2+ y2 )dx 1≤x≤3 ,−1≤ y≤2 ¿ ¿¿¿

a) Verif ique la condición 2 de la definición de densidad conjunta

b)

p [(X ,Y )∈ A ]=P [1,5< x<2;0< y<1 ]

50) Encuentre E(X/Y) para la función densidad

f ( x , y )=¿ {x (1+3 y2)40<x<2,0< y<1 ¿¿¿¿

WEBGRAFIA

http://www.ing.unlp.edu.ar/f ismat/estadist ica/probabil idades/archivos/Problemas_Variables

%20aleatorias_.pdf

http://www.vitutor.com/pro/3/a_a.html

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/cprob/cprob2.html

http://personales.unican.es/gonzaleof/I top/variables.pdf

http://www3.uj i .es/~mateu/t4-alumnos.pdf