Tem.int.Concep UNID 2

7/23/2019 Tem.int.Concep UNID 2

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Definicin de conjuntos

Un conjunto es un agregado o coleccin de objetos de cualquier naturaleza concaractersticas bien defnidas de manera que se puedan distinguir todos sus elementos. A

los objetos que lo componen se les llama elementos del conjunto.

Notacin: A los conjuntos se les denota con letras maysculas y a sus elementos conletras minsculas; a los elementos se les encierra entre "llaves" ( { ! y se separan con"comas" ( # !. As por ejemplo# el conjunto $ cuyos elementos son los nmeros queaparecen al lanzar un dado se escribe%

$ & {'# # )# *# +# ,

Notacin de conjuntos

-ara defnir a los conjuntos# es /lido determinar una propiedad que cumplan loselementos# pero que slo ellos la cumplan para no caer en la ambig0edad de la inclusin ono del elemento# o en el peor de los casos# en una paradoja.

Un conjunto se puede determinar de dos maneras%

Determinacin de un conjunto por extensin

Un conjunto est/ determinado por e1tensin cuando se escriben uno a uno todos suselementos.

Ejemplo

2os nmeros menores que5%A= {1, 2, 3, 4}.

Determinacin por compresin

Un conjunto est/ determinado por compresin cuando solamente se menciona unacaracterstica comn de todos los elementos.

Ejemplo

3l conjunto de ocales del abecedario%X= {x:xes una vocal}.

Conjuntos explcitos e implcitos

'


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2os conjuntos se pueden escribir en 4orma implcita (por descripcin! cuando no seenumeran o enlistan todos sus elementos# o en 4orma e1plcita (por enumeracin! cuandose enlistan todos sus elementos; por ejemplo# el conjunto de los das de la semana sepuede escribir en 4orma implcita as%

es un da de la semana

3ste se lee# 5 es el conjunto de los 1 tales que 1 es un da de la semana.

6ambi7n podemos escribirlo en 4orma e1plcita%

5 & {domingo# lunes# martes# mi7rcoles# juees# iernes# s/bado

Conjuntos finitos e infinitos

5egn la cantidad de elementos que tenga un conjunto# estos se pueden clasifcar enconjuntos fnitos# los que tienen un nmero conocido de elementos# los que se puedancontar y los conjuntos infnitos# los que tienen un nmero ilimitado de elementos.

5egn la cantidad de elementos que tenga un conjunto# estos se pueden clasifcar enconjuntos fnitos# los que tienen un nmero conocido de elementos# y los conjuntosinfnitos# los que tienen un nmero ilimitado de elementos y que no termina.

2os siguientes son ejemplos de conjuntos fnitos%

2os siguientes son ejemplos de conjuntos fnitos%

3n este caso# los elementos del conjunto no se pueden contar# pues 8entre dos

nmeros reales# siempre e1iste otro nmero real9.:uando queremos indicar que un elemento pertenece a un conjunto o que es un miembrodel conjunto usamos el smbolo "e " que se lee# "pertenece a", o "es elemento de"; ycuando queremos indicar que no pertenece al conjunto#usamos%


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2a cardinalidad de un conjunto (! se defne como el nmero de elementos de unconjunto. $e esta 4orma%

(:! &' debido a que solamente e1iste un elemento.

(-! &''

El conjunto universal3l conjunto uniersal U es el conjunto de todos los elementos considerados en unproblema o situacin dada. -or ejemplo# si solo queremos trabajar con los nmeros reales

positios# el conjunto uniersal ser/ o si queremos trabajarcon los nmeros que aparecen en un dado# el conjunto uniersal ser/ U & {'# # )# *# +#,.

' & ?.

3jemplo .@

3l conjunto de los meses del ao con @ das.

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto aco o conjunto nulo lo quedenotamos por el smbolo .

)


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-or ejemplo%

Sean A= { 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A B.

El resultado de AB= { }, muestra que no ay elementos entre las lla!es, s" este es el caso se le llamar#

con$unto !ac%o & nulo y se 'uede re'resentar como( A B=

Subconjuntos

Un conjunto B es "subconjunto" de un conjunto A siC todos los elementos de B pertenecen

a A y se escribe . 3sto se lee% "B est/ D contenido en AC "B es subconjunto de A"

3jemplo .E

3l conjunto de los nmeros naturales < & {?# '# # )# *#.... es un subconjunto del conjunto

de los nmeros enteros.F & { D)# D# D'# ?# '# # )# *#

G 7ste a su ez es subconjunto del conjunto de los nmero racionales H# que es elconjunto de los nmeros que se pueden e1presar de la donde m y n sonenteros y n I ?.

-or lo tanto# se tiene la relacin

Diagrama de Venn

:ualquier fgura geom7trica cerrada (crculos# rect/ngulos# tri/ngulos# alos# etc! sirepara representar gr/fcamente D las operaciones entre conjuntos# estos gr/fcos sonllamados diagramas de Jenn; normalmente al conjunto uniersal se le representa con unrect/ngulo y los conjuntos con un crculo# tri/ngulo# elipse# etc.

2a parte rayada representa A UB

2a parte sombreada representa A ) B

*


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2a parte r a y a d a representa Ac

2a parte rayada representa A D B

2os diagramas de Jenn en ningn momento constituyen una prueba matem/tica# sinembargo# permiten tener una isin intuitia de la relacin que puede e1istir entre losconjuntos.

Kperaciones con :onjuntos

Unin

*a un"&n de los con$untos A y B es el con$unto de todos los elementos de A con todos los elementosde B s"n re'et"r n"n+uno y se denota como ALB. Esto es(

+


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Interseccin

*a "ntersecc"&n de los con$untos A y B es el con$unto de los elementos de A que tam"-n 'ertenecen a

B y se denota como A) B. Esto es(

os con$untos son a$enos o d"s$untos cuando su "ntersecc"&n es el con$unto !ac%o, es dec"r, que no t"enen

nada en com/n. 0or e$em'lo(

Diferencia

*a d"erenc"a de los con$untos A y B en ese orden es el con$unto de los elementos que 'ertenecen a

A y no 'ertenecen a B y se denota como A B . Esto es(

,


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Complemento

El com'lemento del con$unto A con res'ecto al con$unto un"!ersal es el con$unto de todos los

elementos de que no est#n en A y se denota como A . Esto es(

e!es o propiedades de la teora de conjuntos

Al+unas de estas o'erac"ones 'oseen 'ro'"edades s"m"lares a las o'erac"ones con n/meros. 0or e$em'lo,la un"&n y la "ntersecc"&n son conmutat"!asy asoc"at"!as. El con$unto !ac%o es el elemento neutrode la

un"&n, y el elemento asorentede la "ntersecc"&n y el 'roducto cartes"ano. El con$unto un"!ersales el

elemento neutro de la "ntersecc"&n y el elemento asorente de la un"&n.

Adem#s, las o'erac"ones de un"&n, "ntersecc"&n, d"erenc"a y com'lemento son muy s"m"lares a las

o'erac"ones en un #l+era de Boole, as% como a los conectores l&+"cosde la l&+"ca 'ro'os"c"onal.

"ropiedades#

@
http://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_absorbentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universalhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boolehttp://es.wikipedia.org/wiki/Conectivas_l%C3%B3gicashttp://es.wikipedia.org/wiki/Conectivas_l%C3%B3gicashttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Asociatividad_(%C3%A1lgebra)http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_absorbentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_universalhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_Boolehttp://es.wikipedia.org/wiki/Conectivas_l%C3%B3gicashttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_proposicionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conmutatividad


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2eyes de Mdentidad

2eyes de Mdempotencia

2eyes del :omplemento

2eyes de la :onmutatiidad

2eyes de la Asociatiidad

2eyes $istributias

2eyes de Norgan

:ardinal de un :onjunto

5e considera el Cardinal de un conjuntoal nmero de elementos o miembros quecontenga un conjunto. -or ejemplo%

E


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A = {1, a, I, alpha}

3l cardinal del conjunto A& * porque A contiene * elementos o miembros.

3l :ardinal de un conjunto se denota de las siguientes 4ormas%

:ard (A)

A

!A

Propiedades

1)

2)

3)

2a "cardinalidad" solo puede darse en el caso de conjuntos fnitos# ya que en el caso de losconjuntos "infnitos"# no es posible contar el nmero de elementos incluidos en ellos.

Proposiciones

-roposicin .'

5ea A cualquier subconjunto del conjunto uniersal U# entonces n (Ac! & n (U! D n(A!.

5abemos que A U Ac& U y que A ) A &. -or consiguiente# por la propiedad ) tenemosque%

n (U! & n (A U Ac! & n (A! > n (Ac!.

$espejando n (Ac! & n (U! D n (A!. c.q.d.-roposicin .

5i A y B son dos subconjuntos cualesquiera del conjunto uniersal U# entonces% n (A U BO &n(A! > n (Bj P n(A)B!.

Kbseremos que A se puede escribir como la unin de dos conjuntos disjuntos# y Btambi7n.

Q


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'?


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a necesidad de contar dentro de la evolucin $umana

3mpieza a 4ormase desde que el =ombre io la necedad de contar objetos y empezar acuantifcar sus propiedades# animales# cosec=as# dinero.

3numerado en los resultados

3s el an/lisis combinatorio o c/lculo combinatorio que permite calcular el nmero de casoso posibles resultados obtenidos por diagramas conteos etc.

Kbteniendo el total de los posibles resultados

5e refere a los posibles resultados obtenidos en sus casos# diagramas# conteos# ocombinaciones de sus objetos basados en los posibles resultados.

''


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%&todos para reali'ar un conteo

a) A travs de diagramas

i. Diagrama de Venn

2os diagramas de Jenn son ilustraciones usadas en la rama de las matem/ticas conocidacomo teora de conjuntos.

3stos diagramas se usan para mostrar gr/fcamente la relacin matem/tica o lgica entredi4erentes grupos de cosas (conjuntos!# representando cada conjunto mediante un alo ocrculo.

2a 4orma en que esos crculos se sobreponen entre s muestra todas las posibles relacioneslgicas entre los conjuntos que representan. -or ejemplo# cuando los crculos se

superponen# indican la e1istencia de subconjuntos con algunas caractersticas comunes.ii. Diagrama de rbol

Un diagrama de /rbol es una =erramienta que se utiliza para determinar todos los posiblesresultados de un e1perimento aleatorio. 3n el c/lculo de la probabilidad se requiereconocer el nmero de elementos que 4orman parte del espacio muestral# estos se puedendeterminar con la construccin del diagrama de /rbol.

3l diagrama de /rbol es una representacin gr/fca de los posibles resultados dele1perimento# el cual consta una serie de pasos# donde cada uno de los pasos tiene unnmero fnito de maneras de ser lleado a cabo. 5e utiliza en los problemas de conteo yprobabilidad.

-ara la construccin de un diagrama en /rbol se partir/ poniendo una rama para cada unade las posibilidades# acompaada de su probabilidad. :ada una de esta rama se conocecomo rama de primera generacin.

3n el fnal de cada rama de primera generacin se constituye a su ez# un nudo del cualparten nueas ramas conocidas como ramas de segunda generacin segn lasposibilidades del siguiente paso# salo si el nudo representa un posible fnal dele1perimento (nudo fnal!.

Ray que tener en cuenta que la construccin de un /rbol no depende de tener el mismonmero de ramas de segunda generacin que salen de cada rama de primera generaciny que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo =a de dar '.

31iste un principio sencillo de los diagramas de /rbol que =ace que 7stos sean muc=o m/stiles para los c/lculos r/pidos de probabilidad% multiplicamos las probabilidades si setrata de ramas adyacentes (contiguas!.

'


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:aja de rayas

3s un gr/fco basado en cuartiles# mediante el cual se isualiza un conjunto de datos. 3st/compuesto por un rect/ngulo# la caja# dos brazos bigotes.

b) Principio multiplicativo

La tcnica de la multiplicacin: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa,

hay m x n formas da hacer ambas cosas

En trminos de frmula

!mero total de arre"los # m x n

Esto puede ser extendido a m$s de dos e%entos& 'ara tres e%entos, m, n, y o:

!mero total de arre"los # m x n x o

c) A travs de frmulas o reglas de conteoi. K eventos en n intentos

Si cual(uiera de e%entos mutuamente excluyentes y colecti%amente exhausti%os puede ocurr* en

cada de de sus intentos, el n!mero de resultados posibles es i"ual a n

ii. Para !"#"$.n eventos

Si hay , e%entos del primer intento& 2 en e%ento del se"undo intento++&,y n e%entos ensimo del

n intento entonces el n!mero del resultado posibles es 1) 2) ++&&n)

iii. n ob%etos tomados todos a la ve&

El n!mero de las formas en (ue las n ob-etos pueden ordenarse .n/#nn01)+&1)

onde n/ se denomina n factorial y o/ se define como 1&

El n!mero de formas en (ue los seis libros pueden ordenarse es n/#/# ))4)3)2)1)#526

iv. Permutaciones

En matem$ticas, dado un con-unto finito, llamamos permutacin a cada una de las posibles

ordenaciones de todos los elementos de dicho con-unto&

'or e-emplo, en el con-unto 71,2,38, cada ordenacin posible de sus elementos, sin repetirlos, es una

permutacin& Existe un total de permutaciones para estos elementos: 91,2,39, 91,3,29, 92,1,39, 92,3,19,

93,1,29 y 93,2,1Es todo arre"lo de elementos en donde nos interesa el lu"ar o posicin (ue ocupa cada

uno de los elementos (ue constituyen dicho arre"lo

v. 'ombinaciones

')


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na combinacin es un arre"lo donde el orden ; es importante& La notacin para las combinaciones

es elementos seleccionados, =r> a la %e?& Es i"ual a

la cantidad de permutaciones de =n> elementos tomados =r> a la %e? di%idido por =r> factorial& Esto ser*a

'n,r)@r/ en notacin matem$tica& 8

E-emplo: Si se seleccionan cinco cartas de un "rupo de nue%e Acu$ntas combinaciones de cinco

cartas habr*aB

La cantidad de combinaciones posibles ser*a: 'C,)@/ # CDD5DD)@D4D3D2D1) # 12 combinaciones

posibles&

IN()*DUCCI+N , , ")*-,-IID,D

En cual(uier cultura se puede obser%ar la distincin de dos tipos de fenmenos: los (ue se =producen

siempre>, como podr*a ser la ca*da de un cuerpo pesado si no existen obst$culos en el camino y los

(ue se =producen m$s o menos frecuentemente>, como el (ue despus de una noche estrellada

amane?ca un d*a claro y soleado& Fl primer tipo de fenmenos el pensamiento helnico los denomin

fenmenos afectados de necesidad, y al se"undo tipo fenmenos contin"entes&

F partir de a(u* distin"ue Fristteles dos tipos de ra?onamiento: el ra?onamiento demostrati%o y el

ra?onamiento dialctico& El ra?onamiento demostrati%o es a(uel (ue est$ afectado de necesidadG es

decir, a(uel (ue partiendo de unas premisas ciertas lle"a necesariamente a una conclusiones

determinadas& 'or su parte, el ra?onamiento dialctico ser$ a(uel (ue est$ afectado de incertidumbre,

a(uel (ue partiendo de una premisa cierta no alcan?a necesariamente una determinada conclusin&

=Hay demostracin cuando el ra?onamiento parte de las cosas %erdaderas y primordiales, o de cosas

cuyo conocimiento se ori"ina a tra%s de cosas primordiales y %erdaderasG en cambio es dialctico el

ra?onamiento construido a partir de las cosas plausibles>

C*NCE"(*S -.SIC*S DE ")*-,-IID,D

Experimento aleatorio " ensa"o#

31perimentos Aleatorios% 5on aquellos en donde no se puede anticipar el resultado queocurrir/# pero si se tiene una completa idea acerca de todos los resultados posibles dele1perimento cuando 7ste es ejecutado.

'*


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Una sola ejecucin del e1perimento se llama ensayo.

Espacio muestral " e$ento

Al conjunto de todos los posibles resultados de un e1perimento se llama espacio muestrao espacio maestraldel e1perimento# y se denota por 5. :ada uno de los resultados dele1perimento se llama elemento o punto de 5. 5e dice que un espacio muestra es fnito oinfnito# cuando el conjunto 5 tiene un nmero fnito o infnito de elementos#respectiamente.

3n muc=os problemas pr/cticos no estamos tan interesados en los resultados indiidualesdel e1perimento sino en el =ec=o de que un resultado se encuentre contenido en un ciertoconjunto de resultados.

3s claro que cada conjunto de este tipo es un subconjunto del espacio muestra 5# 3stesubconjunto se llama eento o suceso.

(I"*S DE EVEN(*S

3ento simple

Un suceso o eento simple es un subconjunto del espacio muestral que contiene un nicoelemento.

3jemplos de espacios muestrales y sucesos elementales%

S 5i se trata de contar objetos y el espacio muestral 5 & {?# '# # )# ... (los nmerosnaturales!# entonces los sucesos elementales son cada uno de los conjuntos {T# donde T W!# los nmeros reales#los sucesos elementales son todos los conjuntos {1# donde 1 .

2os sucesos elementales pueden tener probabilidades que son estrictamente mayores quecero# cero# no defnidas o cualquier combinacin de estas. -or ejemplo# la probabilidad de

cualquier ariable aleatoria discreta est/ determinada por las probabilidades asignadas alos sucesos elementales del e1perimento que determina la ariable. -or otra parte#cualquier suceso elemental tiene probabilidad cero en cualquier ariable aleatoriacontinua. 31isten distribuciones mi1tas que no son completamente continuas# nicompletamente discretas# entre las que pueden darse ambas situaciones.

'+


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EVENTO COMPUESTO

2os eentos compuestos se generan al aplicar las operaciones b/sicas de los conjuntos alos eentos simples. 2as uniones# intersecciones y complementos de eentos son deinter7s 4recuente. 2a probabilidad de un eento compuesto a menudo puede obtenerse a

partir de las probabilidades de cada uno de los eentos que lo 4orman. 3n ocasiones# lasoperaciones b/sicas de los conjuntos tambi7n son tiles para determinar la probabilidadde un eento compuesto.

EVENTOS MUTUMENTE E!CU#ENTES

$os o m/s eentos son mutuamente e1cluyentes o disjuntos# si no pueden ocurrirsimult/neamente. 3s decir# la ocurrencia de un eento impide autom/ticamente laocurrencia del otro eento (o eentos!.

3jemplo%

Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la ez#esto quiere decir que estos eentos son e1cluyentes.

$os o m/s eentos son no e1cluyentes# o conjuntos# cuando es posible que ocurranambos. 3sto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eentos en 4ormasimult/nea.

3jemplo%

5i consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis# estos eentosson no e1cluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.

5ean A y B eentos de un e1perimento# A y B son mutuamente e1cluyentes si y solo si%

EVENTOS COECT$VMENTE E!%UST$VOS

X $os sucesos A y B son colectiamente e1=austios cuando al menos uno de ellos debaocurrir siempre que se realiza el e1perimento.

X $ic=o en otras palabras# deber/ cumplirse que la suma de las probabilidades de todoslos sucesos deber/ ser igual a '.

EVENTOS COMPEMENT&$OS

$os eentos se denominan complementarios cuando su unin da el espacio muestral y suinterseccin es aca. 2a suma de las probabilidades de dos eentos complementarios esigual a '.

',


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5e denomina Ac al eento complementario del eento A.

5on aquellos que si no se da uno# obligatoriamente se tiene que dar el otro.

DE/INICI*NES DE ")*-,-IID,D

A. 3z!

3l en4oque cl/sico de la probabilidad se basa en la suposicin de que cada resultado seaigualmente posible. 3ste en4oque es llamado en4oque a priori porque permite# (en caso deque pueda aplicarse! calcular el alor de probabilidad antes de obserar cualquier eentode muestra.

B. 3


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6anto el en4oque cl/sico como el en4oque emprico conducen a alores objetios deprobabilidad# en el sentido de que los alores de probabilidad indican al largo plazo la tasarelatia de ocurrencia del eento.

:. AVMKNA5 BZ5M:K5 $3 2A -]KBABM2M$A$

2a probabilidad de un eento A se defne como el nmero -(A!# tal que cumple con lossiguientes a1iomas%

AVMKNA '% 2a probabilidad -(A! de cualquier eento no debe ser menor que cero ni mayorque uno% ? -(A! '

AVMKNA % -(A! & '

AVMKNA )% 5i A y B son dos eentos mutuamente e1cluyentes (A n B & ? !# entonces% - (A

U B! & -(A! > -(B!

$. -]KBABM2M$A$ 5UBO36MJA

3l en4oque subjetio% $ice que la probabilidad de ocurrencia de un eento es el grado decreencia por parte de un indiiduo de que un eento ocurra# basado en toda la eidencia asu disposicin. Bajo esta premisa se puede decir que este en4oque es adecuado cuandosolo =ay una oportunidad de ocurrencia del eento. 3s decir# que el eento ocurrir/ o noocurrir/ esa sola ez. 3l alor de probabilidad bajo este en4oque es un juicio personal.

3l alor de la probabilidad% 3l alor m/s pequeo que puede tener la probabilidad deocurrencia de un eento es igual a ?# el cual indica que el eento es imposible# y el alormayor es '# que indica que el eento ciertamente ocurrir/. 3ntonces si decimos que -(A!es la probabilidad de ocurrencia de un eento A y -(A ! la probabilidad de noDocurrenciade A# tenemos que%

? -(A! '

-(A! > -(A! & '

C.CU* DE ")*-,-IID,DES

-ara calcular la probabilidad de un eento se toma en cuenta todos los casos posibles deocurrencia del mismo; es decir# de cu/ntas 4ormas puede ocurrir determinada situacin.

2os casos 4aorables de ocurrencia de un eento ser/n los que cumplan con la condicinque estamos buscando.

'E


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2a probabilidad toma alores entre ? y ' (o e1presados en tanto por ciento# entre ?` y'??`!%

3l alor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo% lanzamos un dado al aire y laprobabilidad de que salga el nmero @ es cero.

3l alor uno corresponde al suceso seguro# ejemplo% lanzamos un dado al aire y laprobabilidad de que salga cualquier nmero del ' al , es igual a uno ('??`!.

3l resto de sucesos tendr/ probabilidades entre cero y uno% que ser/ tanto mayor cuantom/s probable sea que dic=o suceso tenga lugar.

(A)%A&'A DE C%I*ECIA

3n estadstica las tablas de contingencia se emplean para registrar y analizar la relacinentre dos o m/s ariables# =abitualmente de naturaleza cualitatia (nominales uordinales!.

2as ci4ras en la columna de la derec=a y en la fla in4erior reciben el nombre de 4recuenciasmarginales y la ci4ra situada en la esquina in4erior derec=a es el gran total.

2a tabla nos permite er de un istazo que la proporcin de =ombres diestros esapro1imadamente igual a la proporcin de mujeres diestras. 5in embargo# ambasproporciones no son id7nticas y la signifcacin estadstica de la di4erencia entre ellaspuede ser ealuada con el test :=i :uadrado de -earson# supuesto que las ci4ras de latabla son una muestra aleatoria de una poblacin. 5i la proporcin de indiiduos en cadacolumna ara entre las diersas flas y iceersa# se dice que e1iste.

Asociacin entre las dos ariables. 5i no e1iste asociacin se dice que ambas ariables sonindependientes.

3l grado de asociacin entre dos ariables se puede ealuar empleando distintoscoefcientes% el m/s simple es el coefciente p=i que se defne por & ( h


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cuestin. 3l nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puedeobtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.

Ejemplo +ro/a/ilidad simple

:antidad de 4ormas en que un resultado especfco a a suceder

-robabilidad &

:antidad total de posibles resultados

(C) +&A&I'IDAD C0%A

$efnicin de -robabilidad :onjunta% :uando dos o m/s ariables tienen comportamientosconjuntos lo cual es igual a $efnicin de -robabilidad Narginal% :omportamiento de unaariable sin considerar otra.

(D)E*'A *EEA' DE 'A ADICI2

3stablece que si dos eentos A y B son mutuamente e1cluyentes la probabilidad de queuno u otro eento ocurran es igual a la suma de sus probabilidades.

$e lo anterior se puede deducir que la probabilidad de que ocurra A m/s la probabilidadde que no ocurra A debe sumar '. A esto se le llama la regla del complemento. 3sta reglaestablece que para determinar la probabilidad de que ocurra un eento se puede restar de' la probabilidad de que no ocurra.

2a ]egla de la Adicin e1presa que% la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesosA y B es igual a% -(A o B! & -(A! U -(B! & -(A! > -(B! si A y B son mutuamente e1cluyente

-(A o B! & -(A! > -(B! D -(A y B! si A y B son no e1cluyentes 5iendo% -(A! & probabilidad deocurrencia del eento A -(B! & probabilidad de ocurrencia del eento B -(A y B! &probabilidad de ocurrencia simultanea de los eentos A y B

3jemplo% 5i A y B son dos eentos que no son mutuamente e1cluyentes# entonces -(A o B!se calcula con la siguiente 4rmula% -(A o B! & -(A! > -(B! D -(A y B!

(E)+&A&I'IDAD CDICIA' E IDE+EDECIA E-%ADI-%ICA

-robabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un eento A# sabiendo que

tambi7n sucede otro eento B. 2a probabilidad condicional se escribe -(AB!# y se lee laprobabilidad de A dado B.


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pertenecen al /mbito de la probabilidad. -ueden desempear un papel o no dependiendode la interpretacin que se le d7 a los eentos.

3l condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Mndependencia estadstica

$os ariables estadsticas son estadsticamente independientes cuando elcomportamiento estadstico de una de ellas no se e a4ectado por los alores que toma laotra; esto es cuando las relatias de las distribuciones condicionadas no se en a4ectadaspor la condicin# y coinciden en todos los casos con las 4recuencias relatias marginales.

3n teora de probabilidades# se dice que dos sucesos aleatorios son independientes entres cuando la probabilidad de cada uno de ellos no est/ inkuida por que el otro sucesoocurra o no# es decir# cuando ambos sucesos no est/n correlacionados.

E*'A DE .'%I+'ICACI2

6ambi7n llamado 8-rincipio 4undamental de conteo9%

5i una decisin# operacin o accin# puede tomarse de N 4ormas di4erentes y s despu7sde que =a sido e4ectuada de una de esas 4ormas# una segunda decisin puede tomarse de< 4ormas di4erentes# entonces el nmero total de 4ormas di4erentes en que las dosdecisiones pueden tomarse siguiendo el orden mencionado es igual a N 1


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3n la teora de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por 6=omasBayes en '@,) que e1presa la probabilidad condicional de un eento aleatorio A dado Ben t7rminos de la distribucin de probabilidad condicional del eento B dado A y ladistribucin de probabilidad marginal de slo A.

3n t7rminos m/s generales y menos matem/ticos# el teorema de Bayes es de enormereleancia puesto que incula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.3s decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe#se podra saber Dsi se tiene algn dato m/sD# la probabilidad de tener gripe si se tiene undolor de cabeza# muestra este sencillo ejemplo la alta releancia del teorema en cuestinpara la ciencia en todas sus ramas# puesto que tiene inculacin ntima con lacomprensin de la probabilidad de aspectos causales dados los e4ectos obserados.

3l teorema de Bayes es /lido en todas las aplicaciones de la teora de la probabilidad. 5inembargo# =ay una controersia sobre el tipo de probabilidades que emplea. 3n esencia#los seguidores de la estadstica tradicional slo admiten probabilidades basadas en

e1perimentos repetibles y que tengan una confrmacin emprica mientras que losllamados estadsticos bayesianos permiten probabilidades subjetias. 3l teorema puedeserir entonces para indicar cmo debemos modifcar nuestras probabilidades subjetiascuando recibimos in4ormacin adicional de un e1perimento. 2a estadstica bayesiana est/demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetio apriori y el =ec=o de permitir reisar esas estimaciones en 4uncin de la eidencia empricaes lo que est/ abriendo nueas 4ormas de =acer conocimiento.

3l 6eorema de Bayes iene a seguir el proceso inerso al que =emos isto en el 6eoremade la probabilidad total%

6eorema de la probabilidad total% a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidadde que lluea o de que =aga buen tiempo! deducimos la probabilidad del suceso B (queocurra un accidente!.

6eorema de Bayes% a partir de que =a ocurrido el suceso B (=a ocurrido un accidente!deducimos las probabilidades del suceso A (^estaba lloiendo o =aca buen tiempo_!.

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