Efecto de la Curvatura terrestre en la PlanimetriaSe considerara los casos de medidas radiales, perimetrales y superficiales. Medidas RadialesPara este caso se estudia las diferencias entre las longitudes de la tangente y la cuerda de un determinado arco de la superficie terrestre. Estas diferencias nos indicaran el error cometido en la proyeccin en la situacin considerada.Supongamos un arco AB de crculo mximo de la esfera terrestre y admitamos adems que el levantamiento de la superficie correspondiente va a realizarse tomando como plano de proyeccin el tangente a su centro C y con direccin de proyeccin la de la vertical en cada punto, pues esta es la manera de estacionar los aparatos topogrficos.

En la figura podemos ver como los puntos A y B de la superficie terrestre se proyectaran, segn el sistema acotado, en a y b. Si efectuamos la proyeccin segn la vertical obtendremos los puntos a y b. De esta manera, estamos cometiendo un error por exceso en las medidas radiales, siendo las magnitudes aa y bb los errores cometidos, que resultan de la diferencia entre la tangente (ab) y la cuerda (ab).Las diferencias entre la tangente, el arco y la cuerda pueden considerarse insignificantes dentro de unos ciertos lmites. Veamoslos:El error radia ( e ) cometido al proyectar un arco de circulo mximo terrestre AB sobre un plano tangente puede ser expresado mediante la siguiente frmula emprica :

En el grfico de la Fig. 21 puede apreciarse la evolucin de este error. En abcisas se representan, en kilmetros, las distancias entre los puntos extremos de un arco de crculo mximo (AB). En ordenadas se indican los errores, en milmetros, que se comenten al efectuar la proyeccin acotada.

La precisin en la medida de distancias se expresa como el cociente entre la magnitud del error y la distancia medida. Por ejemplo, si medimos una distancia de 100 metros y cometemos un error de 1cm, tendremos:

Se considera que mediciones con precisin de 10-6 son de alta precisin. Con este dato podemos determinar la distancia mxima que podemos medir en el terreno manteniendo dicha precisin:

Por tanto, segn el grfico de la Fig. 21 estaramos al nivel de alta precisin slo si las longitudes de arco (AB = D) son menores de 22 Km.Asi, tenemos que se cumple esta condicin para los vrtices de la Red Geodesica Nacional de tercer orden (ver capitulo 2), que tienen un espaciamiento comprendido entre 5 y 10 Km. Como veremos ms adelante, la triangulacin de tercer orden considera como planos a los tringulos determinados por los vrtices, efectuando los clculos correspondientes con esta premisa. En las triangulaciones de primero y segundo orden de los tringulos se consideran elipsodicos.Esta conclusin es muy importante, pues nos lleva a que si enmarcamos el trabajo topogrfico dentro de dicha red de tercer orden, podemos despreciar la influencia de la esfericidad terrestre en el levantamiento planimtrico.Si la superficie considerada es de mayores dimensiones y suponemos que estacionamos en los puntos E1 , E2 , E3 , (Fig. 22) siendo siempre las distancias AB menores de los 22 Km. Determinados anteriormente, lo que hacemos al operar es proyectar el terreno levantaado en cada estacin sobre el respectivo plano tangente (determinado por la lnea ab para la estacin E1 , etc.). As, el arco inicial EC queda sustituido por la poligonal Eabc. Posteriormente, al representar el plano y despreciar la esfericidad terrestre haremos algo como girar la lnea bc alrededor de b hasta que el punto c pase a ocupar la posicin c en prolongacin de ab. Depus giraramos la lnea ac alrededor de a hasta que c pase a la posicin c y b a b ; y as sucesivamente. Por lo tanto, lo que hemos hecho ha sido sustituir el arco inicial EC por la lnea en el plano Ec, tangente en E.

Como vimos anteriormente, los errores que hemos cometido son los derivados de que se ha efectuado la proyeccin radial segn la direccin de la plomada en lugar de cumplir las condiciones del sistema acotado. Sin embargo, segn las condiciones de precisin establecidas hemos llegado a la conclusin de que la tangente, el arco y la cuerda tienen longitudes prcticamente iguales ( y mas teniendo en cuenta que las distancias EE1 , E1E2 , siempre van a ser considerados menores de este caso extremo de 22 Km). Por lo tanto, puede afirmarse que el radio Ec del levantamiento es equivalente al arco EC rectificado.De aqu obtenemos de nuevo una importante conclusin practica: cuando se realiza un levantamiento lineal, como una carretera, un ferrocarril o un cana, no se comete error apreciable al prescindir de la esfericidad terrestre y, por tanto, los mtodos topogrficos no tienen lmite en cuanto a la longitud de un posible levantamiento.

Medidas PerimetralesCuando se trata de medir el permetro de la zona de estudio no ocurre exactamente lo mismo que en las medidas radiales.El casquete esfrico de polo C (Fig. 23), con base la circunferencia de radio DB, se representar esta ltima en el plano por una circunferencia de radio Cb (pues es sta la obtenida al estacionar los aparatos en vertical, como ya hemos visto). La proyeccin acotada correspondera a una circunferencia de radio DB = Cb.

El error relativo perimetral cometido ser el expresado por:

Como vimos en el apartado anterior, puede considerarse que la longitud Cb es equivalente al arco CB, dentro de las consideraciones de precisin establecidas, con lo que la frmula anterior se expresara:

Llegamos as a la conclusin de que los mtodos exclusivamente topogrficos solo sern aplicables en medidas perimetrales si la relacin semiarco semicuerda, correspondiente a la superficie de estudio, puede considerarse a unidad, pues el error sera nulo. Por tanto, si la distancia entre puntos extremos A-B de arcos de crculo mximo es mayor de 22 Km., no estaremos cumpliendo los requisitos de precisin establecidos y ser necesario construir un Mapa Topogrfico fundamentado en la Geodesia.

Medidas SuperficialesEn el caso de medidas de superficies tendremos que la superficie agraria (en proyeccin acotada) del casquete del ejemplo anterior viene dada por la expresin (DB)2 , mientras que la determinada con la topografa sera igual a (Cb)2. El error relativo cometido en la evaluacin del rea de dicha superficie ser:

En este caso, la limitacin de los planos planimtricos con relacin a la medida de superficies viene determinada por la relacin entre los cuadrados del semiarco y la semicuerda. Siempre que dicha relacin pueda considerarse igual a la unidad estaremos dentro de la precisin requerida.Como resumen de todo lo expuesto en cuanto a levantamientos planimtricos, podemos decir que los mtodos topogrficos deben aplicarse en aquellas superficies limitadas por los vrtices de la red geodsica de tercer orden, y que las redes topogrficas subsecuentes deben incluir siempre los vrtices geodsicos, con el objeto de aprovechar las correcciones arco-cuerda.