CAPITULO IICAPITULO III.- I.- MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTO DE UNA FUERZA Y MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS.MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS.
Producto vectorial, escalar y triple producto. Momento de una fuerza respecto a un punto. Teorema de Varignon. Componentes rectangulares del momento de una
fuerza. Momentos de una fuerza respecto a un eje dado. Definición de un par de fuerzas. Momento de un par. Pares equivalentes y suma de pares. Descomposición de una fuerza dada en una fuerza y
un par. Sistema equivalente de fuerzas. Análisis y solución de problemas.
Producto vectorial
El PRODUCTO VECTORIAL también llamado PRODUCTO CRUZ de dos vectores A y B da por resultado el vector C, que se escribe:
A
B
C
BAC
Se lee: “C igual a A cruz B
SenABC Magnitud del vector C = Angulo formado entre A y B
0º 180º
DIRECCIÓN. El vector C tiene una dirección que es perpendicular al plano que contiene los dos vectores A y B, de tal manera que A, B y C formen un sistema derecho. El SENTIDO de C se especifica por la regla de la mano derecha, doblando los dedos de la mano derecha desde el vector A (cruz) hacia el vector B. El pulgar apunta entonces en la dirección de C, como indica la Figura.
Conociendo tanto la magnitud como la dirección de C, podemos escribir:
CC )SenAB(CBAC
Donde el escalar AB sen define la magnitud de C y el vector unitario Uc define la dirección de C.
C
C
Si el producto vectorial , entonces:
0BA
0C)SenAB(
Como A 0 y B 0 , es necesario que Sen = 0, así que = 0° o = 180°. Esto sucede si A es paralelo a B.De manera semejante:
A
B
0)A(AAA
Leyes de operación del Producto Vectorial
1.- La ley conmutativa no es válida, es decir:
ABBA
ABBA
Pero:
3.- La ley distributiva:
2.- Multiplicación por un escalar:
m)BA()Bm(AB)Am()BA(m
)DA()BA()DB(A
Formulación vectorial cartesiana
Para determinar el producto cruz de cada uno de los vectores unitarios cartesianos hacemos uso de la ecuación:
C)SenAB(BAC
1 )90º(Sen)1)(1(ji Magnitud de i j
La dirección la determinamos usando la regla de la mano derecha, como se observa en la figura siguiente:
kji
jik
ikj
kji
De la misma forma se tiene:
ijk
kij
jki
0
0
0
kk
jj
ii
i
j k
i
j k
Consideremos ahora el producto cruz de dos vectores cualesquiera:
kAjAiAA zyx
BAC
kBjBiBB zyx
)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx
)ki(BA)ji(BA)ii(BAC zxyxxx
)kj(BA)jj(BA)ij(BA zyyyxy
)kk(BA)jk(BA)ik(BA zzyzxz
)ki(BA)ji(BAC zxyx
)kj(BA)ij(BA zyxy
)jk(BA)ik(BA yzxz
iBAjBAiBAkBAjBAkBAC yzxzzyxyzxyx
i
j k
k)BABA(j)BABA(i)BABA(C xyyxxzzxyzzy
Esta ecuación puede escribirse de manera más compacta como:
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BAC
DETERMINANTE DE 3X3DETERMINANTE DE 3X3
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
)BA(C
yxzyx
yxzyx
BBBBB
AAAAA
jikji
(+)(-)i)BA(C zy
j)BA( xz k)BA( yx
j)BA( zx i)BA( yz k)BA( xy
k)BABA(j)BABA(i)BABA()AB(C xyyxxzzxyzzy
DETERMINANTE DE 3X3DETERMINANTE DE 3X3
DETERMINANTE DE 3X3DETERMINANTE DE 3X3
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
)BA(
iBB
AA)BA(
zy
zy
jBB
AA
zx
zx kBB
AA
yx
yx
+ +–
+– +– +–k)BABA(j)BABA(i)BABA()BA( xyyxxzzxyzzy
Producto EscalarEl PRODUCTO ESCALAR también llamado PRODUCTO PUNTO de dos vectores A y B, se escribe:A
B
Se define como el producto de la magnitud de los vectores A y B por el coseno del ángulo entre ellos. Expresado en forma de ecuación
BA
Se lee: A punto B
CosABBA
180º0º
90º0CosABBASi
Lo anterior indica que el producto escalar de vectores perpendiculares es igual a cero.
Considerando vectores unitarios tenemos:
1kkjjii CosABBA
0jkikkjijkiji
Leyes de operación del Producto Escalar
1.- Ley Conmutativa. ABBA
2.- Multiplicación por un escalar:
m)BA()Bm(AB)Am()BA(m
3.- Ley Distributiva. )DA()BA()DB(A
Producto Escalar de dos vectores A y B
)kBjBiB()kAjAiA(BA zyxzyx
zzyyxx BABABABA
Aplicaciones del Aplicaciones del Producto Producto EscalarEscalar1.- Calcular el ángulo formado entre dos vectores o rectas que se intersecan.
CosABBA
ABBA
Cos
1 180º0º
B
A
2.- Calcular la proyección de un vector a lo largo de un eje.
apˆACosAA
ap
ˆCosAA
a
aaapˆ)ˆA(ˆ)CosA(A
k4i3A
k4j4i2B
BA
ABBA
Cos
1
5)4(3A 22
6)4(42B 222
)6)(5(
)k4j4i2()k4i3(Cos 1
30
166Cos 1
º8.42
Aplicaciones del Aplicaciones del Producto Producto EscalarEscalar
A PA
ABABpˆ)ˆA(A
AB
ABˆAB
222AB
)4(42
k4j4i2ˆ
k3
2j
3
2i
3
1ˆAB
k4i3A
AB32
32
31
pˆ))kji()k4i3((A
)kji)(1(A 32
32
31
38
p
kjiA 922
922
911
p
2
9222
9222
911
pA
m6667.3Ap
Aplicaciones del Aplicaciones del Producto Producto EscalarEscalar
Triple producto
zyx
zyx
zyx
CCC
BBB
AAA
)CB(A
xzy
zy ACC
BB)CB(A
y
zx
zx ACC
BB z
yx
yxA
CC
BB
+ +–
+– +– +–zxyyxyxzzxxyzzy A)CBCB(A)CBCB(A)CBCB()CB(A