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CAMPO GRAVITATORIO
CONCEPTO
DE CAMPO
CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO
Es una región del espacio afectada por una determinada
magnitud que cambia con la posición. Ésta puede ser, por
ejemplo una Tª, una fuerza…
En todos los campos “los espacios se deforman” debido a las
fuerzas que le son introducidas.
TIPOS DE CAMPO
a)ESCALAR
Si la magnitud física asociada a cada punto del
espacio es escalar. Por ejemplo la temperatura.
b) VECTORIAL
Si la magnitud física asociada a cada punto es
vectorial. Por ejemplo una fuerza.
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO
a) CAMPO ESCALAR
Se representa mediante líneas
equipotenciales, que son líneas
que unen los puntos donde la
magnitud física asociada al campo
tiene el mismo valor.
Temperatura → Isotermas
Presión → Isobaras
También se las conoce como curvas de nivel y no se cortan nunca.
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO
b) CAMPO VECTORIAL
Se representa mediante líneas de campo, que son
líneas que representan en cada punto la dirección
del campo e indican la trayectoria que sigue el
movimiento de una partícula colocada en ese
punto del campo.
Las líneas de campo
(o líneas de fuerza)
no se cortan nunca
REPRESENTACIÓN DE UN CAMPO
b) CAMPO VECTORIAL
Si los campos vectoriales son conservativos podemos
definir un potencial que es una magnitud que sólo
depende de la posición (escalar).
Podemos representarlas.
Van a ser siempre
perpendiculares a las
líneas de campo.
CAMPO
GRAVITATORIO
CAMPO GRAVITATORIO
• Es una propiedad de la masa material de las partículas
que se manifiesta como fuerza de atracción sobre otras
partículas con masa.
• Es un campo vectorial porque alrededor de la masa, lo
que se distribuye es una magnitud vectorial (𝐹 ).
Intensidad de Campo: (𝒈)
Es la fuerza ejercida por unidad de masa. 𝑔 =𝐹
𝑚
𝑔 =−𝐺·𝑀
𝑟2 𝑢𝑟 𝑁
𝐾𝑔 Vector de campo gravitatorio
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Para calcular la intensidad de campo gravitatorio creado por
varias masas, se calcula la intensidad creada por cada una
de ellas como si las otras no existirán.
La intensidad total será la suma vectorial de las intensidades
de cada masa.
𝒈𝑻 = 𝒈𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒈𝒊 = −𝑮 · 𝒎𝒊
𝒓𝒊𝟐
𝒖𝒓
ACELERACIÓN EN UN CAMPO GRAVITATORIO
𝐹𝐶 = 𝐺 ·𝑀 · 𝑚
𝑅2
𝐹 = 𝑚 · 𝑎
𝑚 · 𝑎 = 𝐺 ·𝑀 · 𝑚
𝑅2
𝑎 = 𝐺 ·𝑀
𝑅2
→ 𝑔 = 𝐺 ·𝑀
𝑅2
LÍNEAS DE CAMPO GRAVITATORIO
Para una sola masa, las líneas
de campo acaban en ella.
Para dos masa las líneas de
campo se complican porque se
tuercen un poco por la
existencia de la otra masa.
CARÁCTER CONSERVATIVO
El trabajo que realiza una fuerza para producir un
desplazamiento entre dos puntos A y B no depende de
la trayectoria seguida, sólo de la posición inicial y final.
(¡¡¡Gracias a Dios!!! si no las integrales serían terribles
y mucho más habituales)
𝑾𝑨𝑩𝟏 = 𝑾𝑨𝑩
𝟐
𝑾𝑨𝑩 = 𝑭 · 𝒅𝒓𝑩
𝑨 y 𝑭 =
−𝑮𝑴𝒎
𝒓𝟐 𝒖𝒓
CARÁCTER CONSERVATIVO
𝑾𝑨𝑩 = 𝑭 · 𝒅𝒓 · 𝐜𝐨𝐬 𝝅 = −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝟐
𝑩
𝑨
𝑩
𝑨
· 𝒅𝒓 = −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 𝒅𝒓
𝒓𝟐
𝑩
𝑨
𝑾𝑨𝑩 = −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 ·−𝟏
𝒓 𝑩𝑨
= 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 ·𝟏
𝒓 𝑩
− 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 ·𝟏
𝒓 𝑨
Recordamos cómo se calcula el producto escalar de dos vectores y tenemos
en cuenta que 𝑭 𝒚 𝒅𝒓 son siempre paralelos.
𝑾𝑨𝑩 = 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝟏
𝒓𝑩−
𝟏
𝒓𝑨
Como el trabajo realizado por la fuerza sólo depende de 𝒓𝑨(posición
inicial) y 𝒓𝑩(posición final) puedo decir que es CONSERVATIVO.
VARIACIONES
DE LA
INTENSIDAD DE CAMPO
CON LA
ALTURA
Vamos a estudiar el campo gravitatorio
creado por una masa esférica.
El estudio sirve tanto para esferas huecas
como macizas. Se comporta como si toda la
masa estuviera concentrada en el centro.
1. En la superficie:
𝒈𝟎 = −𝑮 · 𝑴
𝑹𝟐𝒖𝒓
2. Lejos de la superficie, a una altura “h”:
𝒈 = 𝑮𝑴
𝒓𝟐 𝒚 𝒓 = 𝑹 + 𝒉
𝒈 =𝑮𝑴
𝒓𝟐·𝑹𝟐
𝑹𝟐=
𝑮𝑴
𝑹𝟐·𝑹𝟐
𝒓𝟐= 𝒈𝟎 ·
𝑹𝟐
𝒓𝟐
𝒈 = 𝒈𝟎 ·𝑹𝟐
𝑹 + 𝒉 𝟐
Como 𝑹𝟐 < 𝑹 + 𝒉 𝟐 ⇒𝑹𝟐
𝑹+𝒉 𝟐 < 𝟏 obtenemos que siempre se cumple:
𝒈 < 𝒈𝟎
EJEMPLO
¿Qué relación existe entre la intensidad del campo gravitatorio creado
por una esfera de radio 10 m en la superficie y a una altura de 100 m?
R = 10 m h = 100 m
𝑔 = 𝑔0 ·𝑅2
𝑅 + 2= 𝑔0 ·
10 𝑚 2
10 𝑚 + 100 𝑚 2=
= 𝑔𝑜 ·100 𝑚2
12100 𝑚2= 𝑔𝑜 ·
1
121
𝑔 =𝑔𝑜
121
′ = −27′32𝑚
EJEMPLO
Calcular a qué altura 𝑔 =𝑔𝑜
3:
𝑔 =𝑔𝑜
3
𝑔 = 𝑔0 ·100 𝑚2
100𝑚 + 20 + 2
1
3𝑔𝑜 = 𝑔𝑜 ·
100
100 + 20 + 2
300 = 100 + 20 + 2 = 7′32 𝑚
ENERGÍA
POTENCIAL
GRAVITATORIA
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Como hemos demostrado que el campo
gravitatorio es una fuerza conservativa podemos
definir una energía potencial gravitatoria.
Es una magnitud escalar cuyo valor está
relacionado con la posición que ocupa una masa
respecto a la masa que genera el campo.
En un campo conservativo, la E. potencial es una
magnitud cuya variación indica el trabajo que hay
que realizar para llevar una masa de un punto a
otro.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Recordamos que ya definimos que 𝑾𝑨𝑩 = 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐𝟏
𝒓𝑩−
𝟏
𝒓𝑨
y como 𝑬𝒑𝑩= −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐
𝟏
𝒓𝑩 y 𝑬𝒑𝑨
= −𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐𝟏
𝒓𝑨:
𝑾𝑨𝑩 = 𝑬𝒑𝑨− 𝑬𝒑𝑩
= −∆𝑬𝒑
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Diferencia de la energía potencial (¡¡¡es absurdo decir que la energía potencial en un
punto vale x si no se pone antes un valor de referencia!!!)
𝑬𝒑 = 𝟎 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 → ∞
donde la masa no tiene influencia sobre ningún objeto que se coloque.
𝑾𝑩∞ = −∆𝑬𝒑𝑩∞
= −(𝑬𝒑∞− 𝑬𝒑𝑩
) = 𝑬𝒑𝑩
Vamos a demostrar esta afirmación con mayor rigurosidad matemática:
𝑾𝑩∞ = 𝑭∞
𝑩
𝒅𝒓 = 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 ·𝟏
𝒓 ∞
𝑩= 𝑮𝒎𝟏𝒎𝟐 𝟎 −
𝟏
𝒓𝑩= −𝑮
𝒎𝟏𝒎𝟐
𝒓𝑩;
𝑾𝑩∞ = 𝑬𝒑𝑩 𝒄. 𝒒. 𝒅.
𝑬𝒑 = −𝑮𝒎𝟏 · 𝒎𝟐
𝒓; 𝑱
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
Algo que no podemos dejar de tener en cuenta es que la
energía potencial en un punto es, por definición, negativa.
Por lo tanto 𝑾𝑩∞ = 𝑬𝒑𝑩< 𝟎 En este caso el trabajo es
negativo, porque el objeto se mueve desde B → ∞, quiere
salir del campo y eso tiene un coste de energía que se debe
hacer desde fuera para conseguir mover al objeto.
El caso de 𝑾∞𝑩 = −𝑬𝒑𝑩> 𝟎 En este caso el trabajo es
positivo, porque el objeto, que se mueve desde ∞ → B, lo
hace sólo, a favor del campo y sin necesidad de aporte
externo de energía.
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
A parte de la energía potencial, que tendrá cualquier
masa por el mero hecho de estar situada en un punto
del campo, si la masa se mueve tendrá también tendrá
ENERGÍA CINÉTICA:
𝑬𝑴 = −𝑮𝑴𝒎
𝑹+
𝟏
𝟐𝒎𝒗𝟐
EN LA TIERRA Vamos a calcular el incremento de energía potencial gravitatoria desde
la superficie terrestre hasta una altura “h”.
∆𝑬𝒑𝟎→𝒉= −
𝑮𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻 + 𝒉−
−𝑮𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻= 𝑮𝑴𝑻𝒎
𝟏
𝑹𝑻−
𝟏
𝑹𝑻 + 𝒉=
Obtenemos el denominador común y simplificamos:
= 𝑮𝑴𝑻𝒎𝑹𝑻 +𝒉 − 𝑹𝑻
𝑹𝑻 𝑹𝑻 + 𝒉= 𝑮𝑴𝑻𝒎
𝒉
𝑹𝑻𝟐 + 𝑹𝑻𝒉
=
Sacamos del paréntesis un 𝑹𝑻𝟐 dividiendo y tenemos en cuenta que 𝒈𝟎 =
𝑮𝑴𝑻
𝑹𝑻𝟐 :
=𝑮𝑴𝑻𝒎
𝑹𝑻𝟐
𝒉
𝟏 + 𝒉𝑹𝑻
= 𝒈𝟎𝒎 ·𝒉
𝟏 + 𝒉𝑹𝑻
EN LA TIERRA
Podemos aproximar diciendo que la altura “h” es mucho más pequeña
que el radio terrestre (𝑹𝑻 = 𝟔. 𝟑𝟕𝟖 𝒌𝒎), por lo tanto 𝒉
𝑹𝑻 → 𝟎.
∆𝑬𝒑 = 𝒎 · 𝒈𝟎 · 𝒉 donde 𝒈𝟎 = 𝟗′𝟖 𝒎/𝒔𝟐
POTENCIAL
GRAVITATORIO (DIFERENCIA DE POTENCIAL)
POTENCIAL GRAVITATORIO
El Potencial Gravitatorio (V) se define en un punto de un campo
gravitatorio como la 𝑬𝒑 que tendrían el sistema formado por la
masa creadora del campo y la unidad de masa situada en ese
punto.
𝑽 = −𝑮𝑴
𝑹;
𝑱
𝒌𝒈
El Potencial Gravitatorio (V) en un punto es el trabajo que
realizan las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa
desde un punto al infinito.
POTENCIAL GRAVITATORIO
Para una masa “m”:
𝑬𝒑 = 𝒎 · 𝑽
Por lo tanto, el trabajo podemos escribirlo como:
𝑾𝑨𝑩 = −∆𝑬𝒑 = −∆𝑽 · 𝒎
𝑾𝑨𝑩 = −𝒎 · 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 ; 𝑱
POTENCIAL GRAVITATORIO
Si tengo varias masas, el potencial en un punto es la suma
escalar de los potenciales debidos a cada masa.
En el punto p calculo el
potencial de cada una de las
masas (𝑽𝟏, 𝑽𝟐, … 𝑽𝒊).
𝑽𝒑 = 𝑽𝒏
𝒊
𝒏=𝟏
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Las superficies equipotenciales
son aquellas superficies en las
cuales todos sus puntos se
caracterizan por tener el mismo
potencial.
Para el caso de una masa “m” las
superficies equipotenciales son
ESFERAS CONCÉNTRICAS
perpendiculares a las líneas de
campo. (Lógico, ya que el campo
gravitatorio es un campo central)
SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
El sentido del campo siempre apunta hacia potenciales
decrecientes.
¡¡¡OJO!!! El valor del potencial es definido negativo, por lo que
el valor “cero” del potencial en el infinito es el mayor valor que
puede tomar el potencial.
Es interesante observar que, ya que el campo gravitatorio es
conservativo, cuando me muevo sobre una superficie
equipotencial no hago ningún trabajo.
𝑊 = −𝑚 · ∆𝑉 = −𝑚 · 0 = 0
GRADIENTE DE POTENCIAL
• Como el campo gravitatorio es perpendicular a las superficies
equipotenciales, al movernos en dirección radial un ∆𝑟
atravesamos superficies equipotenciales.
• El gradiente de potencial entre dos puntos es una medida del
campo gravitatorio que describe la rapidez de variación del campo
al desplazarnos desde un punto en dirección radial. (Es como la
pendiente de una cuesta).
𝐺𝑟𝑎𝑑 𝑉 = 𝛻 · 𝑉 = −∆𝑉
∆𝑟 ⇒ 𝑔 = −
∆𝑉
∆𝑟
MOVIMIENTO DE
PLANETAS Y
SATÉLITES
PERIODO DE REVOLUCIÓN
a) Las órbitas son elípticas, cerradas y planas. (Radio medio a).
Aproximamos a órbitas circulares de radio R = a.
b) Los satélites están sometidos a una fuerza de atracción
gravitatoria. Esta es una fuerza centrípeta que mantiene al
satélite girando.
𝐹𝑔 = 𝐹𝑐 ⇒ 𝐺𝑀 · 𝑚
𝑅2=
𝑚𝑣2
𝑅
𝑣 =𝐺𝑀
𝑅;
𝑚
𝑠
Observamos que la velocidad del satélite no depende de la masa del
mismo, sólo de la masa del planeta y la distancia al mismo.
SATÉLITES GEOESTACIONARIOS
Es un satélite que gira en el plano del ecuador terrestre. Está siempre en la
misma posición sobre la Tierra. Es decir, el periodo de rotación de la Tierra
y el periodo de traslación del satélite coinciden.
𝑇𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑎𝑡é𝑙𝑖𝑡𝑒 = 𝑇𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 24
Vamos a calcular el radio de estos satélites:
𝑇 = 2𝜋𝑅𝑅
𝐺𝑀
𝑇2 =4𝜋2𝑅3
𝐺𝑀
𝑅 =𝐺𝑀𝑇2
4𝜋2
3
≈ 42300 𝑘𝑚 (∼ 36000 𝑘𝑚 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒)
CUESTIÓN PARA LA CLASE
Estos son tres tipos de órbitas
¿puede haber más?
VELOCIDAD DE
ESCAPE
VELOCIDAD DE ESCAPE • Es la velocidad mínima que hay que proporcionar a un cuerpo o masa que
está sometida a un campo gravitatorio para que escape del mismo.
• La condición de escape es que la energía total del cuerpo (una vez ha
escapado del campo gravitatorio) sea cero.
• Es decir, la velocidad de escape es aquella que anula la energía mecánica
de un cuerpo.
𝐸 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑝 =1
2𝑚𝑣2 − 𝐺
𝑀𝑚
𝑅= 0
1
2𝑚𝑣2 = 𝐺
𝑀𝑚
𝑅
𝑣2 =2𝐺𝑀
𝑅
𝑣𝑒 =2𝐺𝑀
𝑅
