2. Problemas de campo gravitatorio

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

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HOJA 2 – CAMPO GRAVITATORIO

TIPO 6 LIBRO PÁGINA 99: ejercicio 25.

2.1. Indica si es cierta o falsa la siguiente afirmación: “Si el valor del campo gravitatorio debido a una masa M1 en un punto A es -‐8 N/kg, y el campo en ese mismo punto creado por una masa M2 es -‐4 N/kg, el campo debido a la acción conjunta de ambas masas en el punto A es -‐12 N/kg.

2.2. Dado el siguiente sistema de la figura en el que la masa m3 se encuentra sometida exclusivamente a la acción de las otras dos. Calcula la intensidad de campo existente en la posición que ocupa m3.

Sol: 𝒈𝑻 = − 𝟒!𝟐𝟕 · 𝟏𝟎!𝟏𝟐 ! + 𝟐!𝟑𝟕 · 𝟏𝟎!𝟏𝟏 ! 𝑵

2.3. Una masa puntual de 6 kg está situada en el punto (0,0). Otra masa puntual de 8 kg está situada en el punto (10,0). ¿En qué punto del eje de abscisas es nulo el campo gravitatorio? Sol: 4’641 m

2.4. Calcula la intensidad de campo en los puntos (3, 2, 5) y (2, –5, 3) en el campo gravitatorio creado por una

esfera de 5000 kg que ocupa el origen de coordenadas.

2.5. En los vértices A, B y C de un cuadrado de 10 m de lado, existen masas de 10, 20 y 30 kg, respectivamente. Calcula la intensidad de campo gravitatorio en el centro del cuadrado y en el vértice D.

2.6. Los tres vértices de un triángulo equilátero de 5 m de lado están ocupados por masas de 100 kg. Calcula la intensidad de campo que generan dos masas en la posición que ocupa la tercera.

TIPO 7 LIBRO PÁGINA 99: ejercicio 22.

2.7. Dos masas iguales de 300 g se suponen concentradas en dos puntos, A y B, separados entre sí 0’16 m. Desde

un punto C, situado sobre la perpendicular por el punto medio a la línea que une las dos masas anteriores y a una altura de 0’06 m se suelta una tercera masa m = 1 kg, sometida exclusivamente a la acción de las dos primeras. Calcula: a) La aceleración de m en el instante en que es soltada. b) La velocidad de m cuando pasa por el punto medio de la línea que une A y B. c) La aceleración de m cuando se encuentra en ese punto medio. Sol: a) 𝒂 = 𝟐!𝟒 · 𝟏𝟎!𝟗 ! 𝒎/𝒔𝟐; b) 𝒗 = 𝟏!𝟒𝟏 · 𝟏𝟎!𝟓 𝒎/𝒔; c) 𝒂 = 𝟎

2.8. Calcula la aceleración que tendría una partícula de 2 kg en los puntos (3, 2, 5) y (2, –5, 3) en el campo

gravitatorio creado por una esfera de 5000 kg que ocupa el origen de coordenadas.



2.9. En los vértices A, B y C de un cuadrado de 10 m de lado, existen masas de 10, 20 y 30 kg, respectivamente.

Calcula la aceleración que tendría una masa de 0’1 kg en el centro del cuadrado y en el vértice D.

2.10. Los tres vértices de un triángulo equilátero de 5 m de lado están ocupados por masas de 100 kg. Calcula la aceleración de las tres masas en un primer instante si las dejamos libres.

2.11. Dado el siguiente sistema de la figura en el que la masa m3 se encuentra sometida exclusivamente a la acción de las otras dos. a) Calcula la aceleración que sufre en un primer

instante m3 si la dejamos libre. b) Supongamos que la masa inercial fuese diferente a

la masa gravitatoria. Los valores que aparecen en la figura corresponden a la masa gravitatoria, las masas inerciales valdrán M1 = 8 kg, M2 = 8 kg y M3 = 400 g. Repite para esta situación el apartado a).

2.12. Calcula la aceleración de la gravedad a la que está sometido un cuerpo en un punto situado a una distancia

de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).

Llamamos g0 al valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y suponemos que vale 9!8 𝑚/𝑠!. Obtenemos la expresión de la aceleración en función de la distancia igualando las expresiones para calcular la fuerza que actúa sobre el cuerpo:

𝐹 = 𝐺 ·𝑀! ·𝑚𝑅! + ℎ ! = 𝑚 · 𝑎 = 𝑚 · 𝑔 → 𝑔 = 𝐺 ·

𝑀!

𝑅! + ℎ !

𝑔 = 𝐺 ·𝑀!

𝑅! + 60𝑅! ! = 𝐺 ·𝑀!

61𝑅! ! =161!

· 𝐺 ·𝑀!

𝑅! ! =161!

· 𝑔!

𝒈 = 𝟐!𝟔𝟑 · 𝟏𝟎!𝟑 𝒎/𝒔𝟐

TIPO 8 LIBRO PÁGINA 76: ejercicio 19. 2.13. Llamando 𝒈𝟎 a la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra determina, en función del

radio terrestre, la altura sobre la superficie a la cual la intensidad del camp gravitatorio es 𝒈𝟎/𝟐.

𝑔 = 𝐺𝑀!

𝑅!!→

𝑔!2= 𝐺

𝑀!

2𝑅!!= 𝐺

𝑀!

𝑟! → 𝑟! = 2𝑅!! → 𝑟 = 2 · 𝑅!

Como 𝑟 = 𝑅! + ℎ → 𝑅! + ℎ = 2 · 𝑅! → ℎ = 2 · 𝑅! − 𝑅!

𝒉 = 𝑹𝑻 · 𝟐 − 𝟏



TIPO 9 LIBRO PÁGINAS 98, 99 y 100: ejercicios 8, 11, 14, 15, 16, 20, 30 y 33.

2.14. Se quiere lanzar una sonda de 900 kg de masa que llegue hasta los 200 km de altura. Calcula la velocidad inicial que hay que darle y la energía necesaria. Sol: 𝒗 = 𝟏!𝟗𝟓 · 𝟏𝟎𝟑 𝒎/𝒔 𝑬𝑪 = 𝟏′𝟕𝟏 · 𝟏𝟎𝟗 𝑱

2.15. Calcula la energía potencial de una masa de 5 kg que se encuentra en el centro de un cuadrado de 3 m de lado cuyos vértices están ocupados por masas de 100, 200, 300 y 400 kg. Sol: 𝑬𝑷 = −𝟏!𝟓𝟕 · 𝟏𝟎!𝟕 𝑱

2.16. Calcula la energía potencial que tendría una partícula de 2 kg en los puntos (3, 2, 5) y (2, –5, 3) en el campo

gravitatorio creado por una esfera de 5000 kg que ocupa el origen de coordenadas. Explica el resultado.

2.17. En los vértices A, B y C de un cuadrado de 10 m de lado, existen masas de 10, 20 y 30 kg, respectivamente. Calcula la energía potencial que tendría una masa de 0’1 kg en el centro del cuadrado y en el vértice D.

2.18. Los tres vértices de un triángulo equilátero de 5 m de lado están ocupados por masas de 100 kg. Calcula la energía potencial de las tres masas.

2.19. Cuatro masas puntuales de 10, 20, 30 y 40 kg cada una se encuentran en los puntos 𝟎,𝟎,𝟎 , 𝟎,𝟔,𝟎 , 𝟖,𝟔,𝟎 y 𝟖,𝟎,𝟎 , respectivamente. Calcula la energía potencial gravitatoria que tendrá una quinta masa de 50 kg que se encuentre en 𝟒,𝟑,𝟎 debido a la presencia de las otras cuatro masas.

Sabemos que la energía potencial gravitatoria total de la quinta masa será igual a la suma escalar de las energías potenciales parciales debidas a la presencia de cada una de las masas:

𝐸!" = 𝐸!"

!

!!!

= 𝐸!! + 𝐸!! + 𝐸!! + 𝐸!!

Primero tendremos que calcular la distancia existente entre las masas de los vértices del rectángulo y la masa central.

𝑑 = 4 𝑚 ! + 3 𝑚 ! = 5 𝑚

Podemos comprobar en seguida que la distancia a la masa central desde cada uno de los vértices es siempre la misma.

𝐸!" = −𝐺𝑚! ·𝑚!

𝑑!"− 𝐺

𝑚! ·𝑚!

𝑑!"− 𝐺

𝑚! ·𝑚!

𝑑!"− 𝐺

𝑚! ·𝑚!

𝑑!"= −

𝐺 ·𝑚!

𝑑· 𝑚! +𝑚! +𝑚! +𝑚!

𝐸!" = −6!67 · 10!!!𝑁 ·𝑚!

𝑘𝑔! · 50 𝑘𝑔

5 𝑚· 10 𝑘𝑔 + 20 𝑘𝑔 + 30 𝑘𝑔 + 40 𝑘𝑔

𝑬𝑷𝑻 = 𝟔!𝟔𝟕 · 𝟏𝟎!𝟖 𝑱



TIPO 10

2.20. Indica si es cierta o falsa la siguiente afirmación: “Si el valor del potencial gravitatorio debido a una masa M1 en un punto A es -‐8 J/kg, y el potencial en ese mismo punto creado por una masa M2 es -‐4 J/kg, el potencial debido a la acción conjunta de ambas masas en el punto A es -‐12 J/kg.

2.21. Calcula el potencial gravitatorio en un punto situado a 390 km de altura sobre la superficie terrestre. Sol: 𝑽 = −𝟓!𝟗 · 𝟏𝟎𝟕 𝑱/𝒌𝒈

2.22. Dado el siguiente sistema de la figura en el que la masa m3 se encuentra sometida exclusivamente a la acción de las otras dos. Si eliminamos m3, calcula el potencial en un punto situado a 6 m de m2 en la dirección de la recta que une m1 y m2 y en el sentido de m1 a m2.

Sol: 𝑽𝑻 = −𝟑!𝟓𝟔 · 𝟏𝟎!𝟏𝟏 𝑱/𝒌𝒈 2.23. Calcula el potencial en los puntos (3, 2, 5) y (2, –5, 3) en el campo gravitatorio creado por una esfera de 5000

kg que ocupa el origen de coordenadas. Explica el resultado y representa las superficies equipotenciales.

2.24. En los vértices A, B y C de un cuadrado de 10 m de lado, existen masas de 10, 20 y 30 kg, respectivamente. Calcula el potencial en el centro del cuadrado y en el vértice D.

2.25. Los tres vértices de un triángulo equilátero de 5 m de lado están ocupados por masas de 100 kg. Calcula el potencial que generan dos masas en la posición que ocupa la tercera.

2.26. Razona cuál de las siguientes respuestas es correcta. Dadas dos masas puntuales iguales, el campo y el

potencial en el punto medio de la línea que une ambas masas es: a) 𝒈 = 𝟎; 𝑽 < 𝟎 b) 𝒈 = 𝟎; 𝑽 = 𝟎 c) 𝒈 = 𝟎; 𝑽 > 𝟎

d) 𝒈 ≠ 𝟎; 𝑽 < 𝟎 e) 𝒈 ≠ 𝟎; 𝑽 = 𝟎 f) 𝒈 ≠ 𝟎; 𝑽 > 𝟎

En el punto medio de la línea que las une, como los vectores de posición y las masas son iguales, el módulo del campo será también igual. La dirección también es la misma y, al ser sus sentidos diferentes, el resultado será cero. Además, el potencial gravitatorio no se anula ni podrá ser positivo, ya que es una función escalar cuyo signo es siempre negativo. Con todo esto, la opción a) es la correcta.

TIPO 11 LIBRO PÁGINAS 98, 99 y 100: ejercicios 2, 4, 10, 19, 36, 38 y 40.

2.27. Calcula el trabajo necesario para llevar una partícula de 2 kg de masa desde el punto (3, 2, 5) al punto (2, –5, 3) en el campo gravitatorio creado por una esfera de 5000 kg que ocupa el origen de coordenadas. Explica el resultado. Sol: 𝑾 = 𝟎 𝑱



2.28. Una masa se desplaza en un campo gravitatorio desde un lugar en el que su energía potencial vale -‐200 J hasta

otro donde vale -‐400 J. ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza del campo? Sol: 𝐖 = 𝟐𝟎𝟎 𝐉

2.29. En los vértices A, B y C de un cuadrado de 10 m de lado, existen masas de 10, 20 y 30 kg, respectivamente. Calcula el trabajo que hay que hacer para desplazar una masa de 0,1 kg desde el centro del cuadrado al vértice D. Sol: 𝑾 = −𝟐!𝟎𝟓 · 𝟏𝟎!𝟏𝟏 𝑱

2.30. Los tres vértices de un triángulo equilátero de 5 m de lado están ocupados por masas de 100 kg. Calcula el trabajo necesario para alejar sucesivamente las masas desde los puntos que ocupan hasta el infinito. Sol: 𝑾𝟏 = 𝟐!𝟔𝟕 · 𝟏𝟎!𝟕 𝑱; 𝑾𝟐 = 𝟏!𝟑𝟑 · 𝟏𝟎!𝟕 𝑱; 𝑾𝟑 = 𝟎 𝑱

2.31. Un cuadrado de 2 m de lado está situada en un campo de fuerzas F en el sistema de coordenadas definido por sus lados. Comprueba que el campo es conservativo calculando el trabajo que se realiza para llevar la partícula desde el origen (0, 0) a la esquina opuesta (2, 2) directamente y siguiendo los lados.

2.32. Se tienen dos masas MA = 100 kg y MB = 400 kg colocadas en los puntos de coordenadas A(2,0) y B(-‐1,0) medidas en metros. a) Calcule en qué punto de la recta que une ambas masas se anula el campo gravitatorio debido a ellas. b) Determine el trabajo necesario para trasladar un objeto de masa m = 10 kg desde dicho punto al

origen de coordenadas. Interprete el signo. a) El campo gravitatorio es una propiedad de la masa material de las partículas que se manifiesta como fuerza

de atracción sobre otras partículas con masa. El campo gravitatorio es una magnitud vectorial definida como:

𝑔 =−𝐺 ·𝑀𝑟!

𝑢! Lo primero y principal en este problema es ayudarnos de un buen dibujo:

Dada la simetría del problema, podemos trabajar en una única dimensión (ambos vectores intensidad de campo sólo tienen componente x). Vamos a calcular dichos vectores:

𝑔! = 𝐺𝑀!𝑟!!

𝚤 = 𝐺𝑀!

3 − 𝑑 𝑚 ! 𝚤

𝑔! = −𝐺𝑀!

𝑟!!𝚤 = −𝐺

𝑀!

𝑑!𝚤



Aplicamos el Principio de Superposición para calcular el campo total:

𝑔! = 𝑔!

!

!!!

= 𝑔! + 𝑔!

𝑔! = 𝐺𝑀!

3 − 𝑑 𝑚 ! 𝚤 + −𝐺𝑀!

𝑑!𝚤

𝑔! = 𝐺𝑀!

3 − 𝑑 𝑚 ! −𝑀!

𝑑!𝚤

Esta expresión nos permite calcular al valor de la Intensidad total de campo en cualquier punto del eje x, en función del valor que le demos a la variable d. El problema nos pide calcular el punto en el cual el campo se anula, es decir 𝑔! = 0, por lo tanto:

𝑔! = 𝐺𝑀!

3 − 𝑑 𝑚 ! −𝑀!

𝑑!𝚤 = 0

𝑀!

3 − 𝑑 𝑚 ! −𝑀!

𝑑!= 0

100

3 − 𝑑 𝑚 ! =400𝑑!

100 · 𝑑! = 400 · 3 − 𝑑 !

100 · 𝑑! = 400 · 9 + 𝑑! − 6𝑑

100 · 𝑑! = 3600 + 400𝑑! − 2400𝑑

300𝑑! − 2400𝑑 + 3600 = 0

𝑑! − 8𝑑 + 12 = 0

𝑑! = 6 𝑚 y 𝑑! = 2 𝑚

Pero si volvemos al dibujo que hemos hecho, hemos definido 𝑑 < 3 𝑚, que es la distancia que separa MA y MB. Por lo tanto, el resultado con significado físico es:

𝒅 = 𝟐 𝒎 Esta distancia corresponde a un punto de coordenadas (1,0) m.

b) El trabajo es la energía necesaria para trasladar un objeto desde un punto a otro y lo podemos definir como:

𝑊 = m · ∇𝑉



Para calcular el trabajo necesario para trasladar la masa de 10 kg hasta el origen tendremos que multiplicar dicha masa por la diferencia de potencial existente entre ambos puntos. Sabemos que el potencial se calcula como:

𝑉 = −𝐺𝑀𝑟

Y sabemos que, habiendo varias masas (en nuestro caso MA y MB) el potencial en un punto es la suma escalar de los potenciales debidos a cada masa:

𝑉! = 𝑉!

!

!!!

= 𝑉! + 𝑉! = −𝐺𝑀!𝑟!+ −𝐺

𝑀!

𝑟!= −𝐺

𝑀!𝑟!+𝑀!

𝑟!

Tenemos que calcular el potencial en x = 1 y en x = 0:

• Para x = 1: 𝑟! = 1 𝑚 y 𝑟! = 2 𝑚

𝑉! 𝑥 = 1 = −6’67 · 10!!! 𝑁𝑚!

𝑘𝑔!·100 𝑘𝑔1 𝑚

+400 𝑘𝑔2 𝑚

𝑉! 𝑥 = 1 = −2!001 · 10!!𝐽𝑘𝑔

• Para x = 0: 𝑟! = 2 𝑚 y 𝑟! = 1 𝑚

𝑉𝑇 𝑥 = 0 = −6’67 · 10!!! 𝑁𝑚!

𝑘𝑔!·100 𝑘𝑔2 𝑚

+400 𝑘𝑔1 𝑚

𝑉! 𝑥 = 0 = −3′0015 · 10!!𝐽𝑘𝑔

Por lo tanto, la diferencia de potencial será:

∇𝑉 = 𝑉! 𝑥 = 1 − 𝑉! 𝑥 = 0

∇𝑉 = −2!001 · 10!!𝐽𝑘𝑔

− −3′0015 · 10!!𝐽𝑘𝑔

∇𝑉 ≈ 10!𝐽𝑘𝑔

Ya podemos calcular el trabajo:

𝑊 = m · ∇𝑉 = 10 𝑘𝑔 · 10!𝐽𝑘𝑔

𝑾 = 𝟏𝟎𝟕𝑱

El signo es positivo, lo cual indica que el trabajo se realiza a favor del campo (sin necesidad de aporte externo de energía). Lo cual parece razonable, ya que el objeto se desplaza alejándose de una posición sin campo hacia otra con un valor de campo distinto de cero; es decir, se mueve a favor de campo, sin necesidad de aporte externo de energía.



2.33. Tres masas 𝐦𝐀 = 𝐦𝐁 = 𝟓𝟎𝟎 𝐤𝐠 y 𝐦𝐂 = 𝟐𝟎𝟎 𝐤𝐠 se encuentran situadas en los puntos 𝐀 𝟎,𝟎 ; 𝐁 𝟒,𝟎 y

𝐂 𝟐,𝟐 medidas en metros. Calcule: a) En qué punto del espacio se anula el campo gravitatorio. b) El trabajo necesario para trasladar la masa C desde su posición hasta la posición 𝑫 𝟐,−𝟐 . Explica el

resultado.

a) Queremos encontrar en qué punto del espacio se anula el campo gravitatorio, es decir, en qué punto se anulan las componentes horizontales y verticales del campo. Lo primero que hacemos es representar gráficamente el problema con la descomposición vectorial adecuada:

A partir de la representación gráfica del problema obtenemos una serie de conclusiones:

Ø Para que se anule la componente horizontal del campo gravitatorio se debe cumplir:

𝑔!" + 𝑔!" = 0 Dado que la masa A y la masa B son iguales y que la expresión del campo depende de sólo dos variables (masa y distancia) los únicos puntos del espacio que cumplen dicha condición son aquellos que equidistan de A y B. Es decir, el punto donde se anula el campo gravitatorio será 𝑬 𝟐,𝒚 .

Ø Para que se anule la componente vertical del campo gravitatorio se debe cumplir:

𝑔!" + 𝑔!" + 𝑔! = 0 De nuevo, como la masa A y la masa B son iguales 𝑔!" = 𝑔!" . Por lo tanto:

2𝑔!" + 𝑔! = 0

2𝑔!" = −𝑔!



Si estudiamos esta expresión teniendo en cuenta módulo y dirección por separado observamos:

- La dirección de ambos vectores debe ser opuesta para que se anule el campo gravitatorio. Esta condición se cumple para todos los puntos que cumplen 𝒚 < 𝟐.

- Analizando los módulos debe cumplirse que:

2 𝑔!" = 𝑔! ⟶ 2 ·𝐺 ·𝑚!

𝑟!!=𝐺 ·𝑚!

𝑟!! ⟶ 𝑟!! = 2

𝑚!

𝑚!· 𝑟!!

𝑟! = 2𝑚!

𝑚!· 𝑟! = 2 ·

500 𝑘𝑔200 𝑘𝑔

· 𝑟! = 5 · 𝑟!

Por otro lado, si las componentes del punto 𝐷 son 𝑥, 𝑦 , entonces 𝑟! = 𝑥! + 𝑦!. Ya habíamos resuelto que 𝑥 = 2. Por tanto 𝑟! = 4 + 𝑦!. Además, 𝑟! = 2 − 𝑦. Sustituyendo todo en la primera expresión obtenemos una ecuación con variable 𝑦:

4 + 𝑦! = 5 2 − 𝑦 ⟶ 4 + 𝑦! = 5 · (4 + 𝑦! − 4𝑦)

4 + 𝑦! = 20 + 5𝑦! − 20𝑦 ⟶ 4𝑦! − 20𝑦 + 16 = 0

𝑦! − 5𝑦 + 4 = 0 Resolvemos la ecuación y obtenemos: 𝑦! = 4 𝑒 𝒚𝟐 = 𝟏. La solución 𝑦! no nos vale ya que incumple la condición 𝑦 < 2, anteriormente marcada.

Por lo tanto, el punto en el que se anula el campo gravitatorio es 𝑬 𝟐,𝟏 .

b) La posición 𝐷 (2,−2) es totalmente simétrica a la posición 𝐶 2, 2 , en la que se encuentra actualmente la masa 𝑚! . Por lo tanto 𝑊!→! = 0. Demostración:

𝑊!→! = −𝑚! · 𝑉! − 𝑉!

𝑉! = 𝑉! 𝑚! + 𝑉! 𝑚! = 2𝑉! 𝑚! = −2𝐺𝑚!

𝑟!"

𝑉! = 𝑉! 𝑚! + 𝑉! 𝑚! = 2𝑉! 𝑚! = −2𝐺𝑚!

𝑟!�

Dado que 𝑟!" = 2! + 2! = 8 y que 𝑟!" = 2! + −2 ! = 8 concluimos que 𝑉! = 𝑉! . Por lo tanto:

𝑊!→! = −𝑚! · 𝑉! − 𝑉! = −𝑚! · 𝑉! − 𝑉! = −𝑚! · 0

𝑾𝑪→𝑫 = 𝟎 𝑱



TIPO 12 LIBRO PÁGINAS 98, 99 y 100: ejercicios 7, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32 y 37. 2.34. La Luna describe alrededor de la Tierra una órbita que se puede considerar circular. Calcula la velocidad de la

Luna en su movimiento de traslación alrededor de la Tierra considerando que la distancia media es 384 400 km y que su período es de 28 días. Sol: 𝒗 = 𝟗𝟗𝟖 𝒎/𝒔

2.35. Calcula la fuerza con que se atraen la Tierra y la Luna y comprueba que esta fuerza, actuando como centrípeta, hace que la Luna gire alrededor de la Tierra en un movimiento circular uniforme cuyo período es aproximadamente 28 días. Sol: 𝑭 = 𝟏!𝟗𝟗 · 𝟏𝟎𝟐𝟎 𝑵

2.36. Demuestra que la energía que hay que comunicar a un satélite de masa m que se encuentra en una órbita de radio 𝑅! para colocarlo en otra de radio 𝑅! es:

𝐸 = 𝐺𝑀! ·𝑚2

1𝑅!−1𝑅!

2.37. Un satélite artificial de 100 kg de masa describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 500

km sobre la superficie terrestre. Sabiendo que su periodo de revolución es T1 = 5665 s, determina: a) Velocidad del satélite en la órbita. b) Energía cinética, energía potencial y energía total del satélite en la citada órbita. c) Energía necesaria para transferir este satélite a otra órbita de periodo T2 = 7200 s Sol: a) 𝒗 = 𝟕𝟔𝟐𝟎 𝒎/𝒔; b) 𝑬𝑪 = 𝟐!𝟗 · 𝟏𝟎𝟗 𝑱, 𝑬𝑷 = −𝟓!𝟖 · 𝟏𝟎𝟗 𝑱, 𝑬𝑻 = −𝟐!𝟗 · 𝟏𝟎𝟗 𝑱; c) ∆𝑬 = 𝟒 · 𝟏𝟎𝟖 𝑱

2.38. La distancia entre el Sol y Mercurio es de 57’9·∙106 km, y entre el Sol y la Tierra es de 149’6·∙106 km. Suponiendo que las órbitas de ambos planetas son circulares, calcula su velocidad de rotación alrededor del Sol. Datos: MSOL = 1’99·∙1030 kg Sol: 𝒗𝑴 = 𝟒!𝟕𝟗 · 𝟏𝟎𝟒 𝒎/𝒔 𝒚 𝒗⨁ = 𝟐!𝟗𝟖 · 𝟏𝟎𝟒 𝒎/𝒔

2.39. La menor velocidad de giro de un satélite de la Tierra, conocida como primera velocidad cósmica, es la que se obtendría para un radio orbital igual al radio terrestre RT. Calcula: a) La primera velocidad cósmica. b) El periodo de revolución correspondiente. Sol: a) 𝒗 = 𝟕𝟗𝟏𝟑 𝒎/𝒔; b) 𝑻 ≈ 𝟏!𝟒𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔

2.40. Un satélite de 300 kg de masa está en órbita circular en torno a la Tierra a una altura de 400 km sobre la superficie. Calcular: a) Su velocidad y su periodo de revolución. b) La energía que fue necesaria para poner el satélite en órbita con la velocidad calculada. Sol: a) 𝒗 = 𝟓!𝟒 · 𝟏𝟎!𝟖 𝒎/𝒔, 𝑻 ≈ 𝟐′𝟏𝟕 · 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔; b) 𝑬 = 𝟖!𝟖𝟒 · 𝟏𝟎𝟗 𝑱



TIPO 13 LIBRO PÁGINA 98: ejercicios 5 y 12.

2.41. Dado un planeta cuya masa es 1/20 de la masa del planeta Tierra y cuyo radio es 1/3 del radio terrestre. Se

pide: a) Valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta. b) Velocidad mínima con la que se tiene que lanzar un cuerpo desde la superficie del planeta para que el

cuerpo escape de su atracción gravitatoria. c) Si para el planeta estudiado, el periodo de rotación entorno a su eje es aproximadamente igual al de la

Tierra, calcular el radio de la órbita de un satélite geoestacionario orbitando sobre el ecuador de dicho planeta.

Sol: a) 𝒈 = 𝒈𝒐 · 𝟗/𝟐𝟎; b) 𝒗𝑺 = 𝟒𝟑𝟑𝟒 𝒎/𝒔; c) 𝑹𝑮 = 𝟏𝟒𝟖𝟏𝟏 𝒌𝒎

2.42. ¿A qué distancia de la Tierra la velocidad orbital es igual a la mitad de la velocidad de escape en su superficie? Sol: 𝒉 = 𝑹𝑻

2.43. Un astronauta con 100 kg de masa (incluye el traje), está en la superficie de un asteroide de forma prácticamente esférica, con 2’4 km de diámetro y densidad media 2’2 g·∙cm-‐3. Determina: a) ¿Con qué velocidad debe impulsarse el astronauta para abandonar el asteroide? b) ¿Cómo se denomina rigurosamente esa velocidad? c) El astronauta carga ahora con una mochila que pesa 40 kg. ¿Le será más fácil salir del planeta? ¿Por qué? Sol: a) 𝒗 = 𝟏!𝟑𝟑 𝒎/𝒔

2.44. Se llama agujero negro a los cuerpos celestes en cuya superficie la velocidad de escape es igual o superior a la

velocidad de la luz. Calcula la densidad que debe tener un cuerpo celeste de 10 km de diámetro para que sea considerado un agujero negro. Sol: 𝝆 = 𝟔!𝟒𝟒 · 𝟏𝟎𝟏𝟖 𝒌𝒈/𝒎𝟑

TIPO 14 LIBRO PÁGINA 98: ejercicios 9 y 17.

2.45. Se desea situar un satélite artificial de 50 kg de masa en una órbita circular situada en el plano del ecuador y

con un radio igual al doble del terrestre. Calcula: a) Energía que hay que comunicar al satélite y velocidad final de éste. b) Energía adicional que habría que aportar al satélite en órbita para que escape de la acción del campo

gravitatorio terrestre. Sol: a) 𝑬 = 𝟐!𝟑𝟒 · 𝟏𝟎𝟗 𝑱, 𝒗 ≈ 𝟓𝟓𝟗𝟓 𝒎/𝒔; b) 𝒗𝑺 = 𝟑!𝟏𝟑 · 𝟏𝟎𝟕 𝒎/𝒔

2.46. La nave espacial Lunar Prospector permanece en órbita circulando alrededor de la Luna a una altura de 100 km sobre su superficie. Determina: a) La velocidad lineal de la nave y el periodo de movimiento. b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita. Datos: RLUNA = 1740 km; MLUNA = 7’36·∙1022 kg Sol: a) 𝒗 = 𝟏𝟔𝟑𝟑 𝒎/𝒔, 𝑻 ≈ 𝟏!𝟗𝟕 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔



2.47. Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 300 kg de masa hasta situarlo en una órbita circular a

una distancia de la superficie terrestre que es igual a ¾ del radio de la Tierra. Calcule: a) Velocidad y periodo que tendrá el satélite en la órbita. b) La energía cinética, potencial y mecánica del satélite en la órbita. c) La relación entre la velocidad de escape desde la superficie de la tierra y desde la órbita del satélite.

a) En el caso de un satélite en órbita siempre se cumple que la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta, generando la aceleración normal necesaria para que el satélite permanezca en dicha órbita:

𝐹! = 𝐹! → 𝑚 · 𝑣!

𝑅= 𝐺

𝑀 ·𝑚𝑅!

→ 𝑣 =𝐺𝑀𝑅

Por otro lado, teniendo en cuenta que 𝑣 = 𝜔 · 𝑅 y que 𝜔 = !!!:

𝑣 = !!!· 𝑅

!!!· 𝑅 = !!

!; 𝑇 = 2𝜋 !!

!"

𝑣 =𝐺𝑀𝑅

Con estas fórmulas, aplicadas a nuestro caso, podemos calcular la velocidad del satélite en la órbita y su periodo. Tenemos que tener en cuenta que el radio de la órbita será la suma del radio terrestre y la altura a la cual está situado dicho satélite:

𝑅 = 𝑅! +34𝑅! 𝑅 =

!!𝑅! = 11147500 𝑚

𝒗 =𝐺𝑀!

𝑅=

6’67 · 10!!! 𝑁 𝑚!

𝑘𝑔! · 5’98 · 10!" 𝑘𝑔

11147500 𝑚≈ 𝟓𝟗𝟖𝟏′𝟕𝒎 𝒔

𝑻 = 2𝜋𝑅!

𝐺𝑀!= 2𝜋

11147500 𝑚 !

6’67 · 10!!! 𝑁 𝑚!

𝑘𝑔! · 5’98 · 10!" 𝑘𝑔

= 𝟏𝟏𝟕𝟎𝟗!𝟑 𝒔 = 𝟑!𝟐𝟓 𝒉

b) Para calcular la energía cinética del satélite aplicamos la fórmula 𝐸! =!!𝑚𝑣!; como nos dan su masa y ya

hemos calculado su velocidad en el apartado anterior sustituimos:

𝑬𝑪 =12· 300 𝑘𝑔 · 5981′7𝑚 𝑠 ! ≈ 𝟓!𝟑𝟕 · 𝟏𝟎𝟗 𝑱

Para calcular la energía potencial aplicamos la fórmula 𝐸! = −𝐺 !·!!; conocemos todos los datos, por lo

tanto sustituimos y calculamos directamente:

𝑬𝑷 = −6’67 · 10!!! 𝑁𝑚!

𝑘𝑔!·5’98 · 10!" 𝑘𝑔 · 300 𝑘𝑔

11147500 𝑚≈ −𝟏!𝟎𝟕 · 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝑱



Sabemos que la energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial:

𝐸! = 𝐸! + 𝐸! = 5!37 · 10! 𝐽 + −1!07 · 10!" 𝐽

𝑬𝑴 = −𝟓!𝟑𝟑 · 𝟏𝟎𝟗 𝑱

Este resultado era esperable, ya que, para que un cuerpo se mantenga en órbita alrededor de otro, la energía mecánica debe ser negativa. Este resultado indica que el satélite está ligado a la Tierra.

c) La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que proporcionar a un cuerpo o masa que está sometida a la atracción de un campo gravitatorio para que escape del mismo. La condición de escape es que la energía total del cuerpo, una vez ha escapado del campo, sea cero. Es decir, la velocidad de escape es aquella que anula la energía mecánica del cuerpo. Si es satélite se encuentra en la superficie, la energía cinética es cero y nos encontramos a una distancia del centro de la Tierra 𝑅!:

𝐸 = 𝐸!" + 𝐸! = 𝐸! + 𝐸! =12𝑚𝑣!! − 𝐺

𝑀𝑚𝑅!

= 0

12𝑚𝑣!! = 𝐺

𝑀𝑚𝑅!

→ 𝑣! =2𝐺𝑀𝑅!

= 6395 𝑚/𝑠

Si nos encontramos ya en la órbita del satélite la velocidad ya no es cero. Aprovechamos que hemos calculado la energía de la órbita en el segundo apartado del problema:

𝐸 = 𝐸!" + 𝐸! =12𝑚𝑣!! − 5!33 · 10! 𝐽 = 0

𝑣! =2 · 5!33 · 10! 𝐽

𝑚= 5961 𝑚/𝑠

Nos piden la relación entre la velocidad de escape en la superficie terrestre y desde la órbita. El único parámetro que va a variar va a ser el radio, llamaremos 𝑣! a la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra y 𝑣! a la velocidad de escape desde la órbita:

𝑣!𝑣!

=6395 𝑚/𝑠5961 𝑚/𝑠

= 𝟏′𝟎𝟕

Por lo tanto, 𝑣! = 1!07 · 𝑣!. Resultado lógico, ya que la velocidad de escape debe ser mayor desde la superficie terrestre que desde la órbita, más alejada de la Tierra, y por tanto, sometida a una menor intensidad de campo.



EXTRA LIBRO PÁGINA 98: ejercicio 13.

2.48. En una zona del espacio donde está establecido el campo de fuerzas uniforme con 𝐹 = 3𝚤 + 9𝚥 𝑁 (NO ES LA

FUERZA GRAVITATORIA) se mueve una partícula desde el punto A(2, 3) al punto B(6, 2). Calcula la diferencia de energía potencial que experimenta en el traslado. Sol: ∆𝑬𝑷 = −𝟑 𝑱

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2. Problemas de campo gravitatorio