Conjunto

Es la agrupación bien definida de elementos que comparten características o rasgos similares. Cuando decimos bien definida queremos decir que dado un conjunto, se debe poder determinar si un objeto dado pertenece al conjunto en mención o no.

Conjunto universal

Son los conjuntos que sujeta todos los elementos a razonar, denotado por U.

Ejemplo: Razonemos el conjunto hecho por números reales mayor que mayor que -8 y menor que -2. Podemos escribir el conjunto como U = {-7,-6,-5,-4,-3} y nuestro conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números reales

Formas de Conjuntos

Por extensión: es así cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno, ejemplo.

U = {9,2,4,7}, V = {k,d,i,p,s }

Por comprensión: está en esta condición cuando los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada, ejemplo.

U = {U V / 4<U<9} los números naturales mayores 4y menores a 9

Subconjuntos

Si tomamos partes de un conjunto tenemos algo que se llama un subconjunto.

Ejemplo planteamos el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Un subconjunto es {1, 2, 3}. Otro subconjunto es {3, 4} .En cambio, {1, 6} no es un subconjunto, porque contiene un elemento (el 6) que no está en el conjunto

U es subconjunto de V si y sólo si cada elemento de U está en V.

¿Es A subconjunto de B, si A = {1, 3, 4} y B = {1, 4, 3, 2}?

Si porque cada elemento de A esta dentro de los elementos de B

Conjunto potencia

Un conjunto potencia es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto, ejemplo.

Todos los subconjuntos

Si tenemos un conjunto {a,b,c}: si se hace una lista de todos los subconjuntos de S={a,b,c} tendrás el conjunto potencia de {a,b,c}; también seria P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Existen diferentes formas de elegir los elementos, incluyendo tomarlos todos o ninguno. Si el conjunto original tiene n elementos, el conjunto potencia tendrá 2n elementos, ejemplo.

En el ejemplo {a,b,c} de arriba hay tres elementos (a,b ,c). Así que el conjunto potencia tendrá 23 = 8

Igualdad de Conjuntos

Si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces dichos conjuntos son iguales, ejemplo.

El conjunto de los números que se obtienen al lanzar un dado corriente y el conjunto de los números naturales divisores de 60 que sean menores que 10

El primer conjunto es U = {1,2,3,4,5,6}.Los divisores naturales de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, pero, de ellos, los menores que 10 son solamente 1, 2, 3, 4, 5 y 6, por tanto el conjunto A = B.

Cuando dos conjuntos A y B no son iguales, se indica con la siguiente notación A ≠ B

Unión de conjuntos

Se realiza a cabo resultando en otro conjunto, esos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales, ejemplo; el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos. La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A y de B

La unión de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, o que, x pertenezca a B.

La operación de unión es:

Conmutativa: A∪B=B∪A

Asociativa: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

Elemento neutro: A∪∅=∅∪A=A

Intersección de conjuntos

Es el conjunto establecido por los elementos que poseen en común los unos y los otros conjuntos. La intersección de A y B se denota . En diagramas se figuran primero todos los elementos en sus pertinentes conjuntos , ejemplo;

A∩B={x∈U | x∈A y x∈B}

La intersección de A y B, es el conjunto de elementos x de U, tal que, x pertenezca a A, y que, x pertenezca a B.

Operaciones de Intercepción

Conmutativa: A∩B=B∩A

Asociativa: (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

Elemento neutro: A∩∅=∅∩A=∅Elemento inverso: A∩Ac=Ac∩A=∅, donde Ac representa el concepto "complementario".

Estas son algunas de las propiedades que se cumplen entre las intersecciones y las uniones.

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

(B∪C)∩A=(B∩A)∪(C∩A) (propiedad distributiva respecto de la unión)

A∪(A∩B)=A=A∩(A∪B) (ley de absorción)

Diferencia de conjuntos

Teniendo A y B dos conjuntos cualesquiera. El conjunto diferencia de A y B, que se representa por A−B o A B, es el conjunto hecho por todos los elementos que están en A, pero no están en B.

A−B={x∈A y x∉B}

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos A−B son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. Ejemplo

Si A={a,b,c,d} y B={b,d}, la diferencia de conjuntos A−B es A−B={a,c}.

Si A={a,b,c,d} y B={c,d,e,f}, entonces A−B={a,b}.

Si W={x | x impar y x<13} y Z={7,8,9,10,11,12,13}, entonces W−Z={1,3,5} y Z−W={8,10,12,13}.

Complemento de un conjunto

Es otro conjunto el cual tiene todos los elementos que no están en el conjunto original, es preciso puntualizar qué tipo de elementos se

están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, al hablar de numeros naturales, el complementario del conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C, estando hecho por los números compuestos y el.

Algebra de Conjuntos

Es el estudio de las procedimientos primordiales que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación,.

A U A = A I A = A

1. Leyes Asociativas

A U (BUC) = (AUB) U C

A I (BIC) = (AIB) I C

2. Leyes Conmutativas

A U B = B U A

A I B = B I A

3. Leyes Distributivas

A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C)

Leyes de Identidad

A U f = A I f = f

Leyes de Dominación

A U U = U U: conjunto universal

A I U = A

Leyes de Complementación

A U C(A) = U

A I C(A) = f f f) = U

C (C(A)) = A

Producto Cartesiano

Se ejecuta y resulta en otro conjunto, tales elementos son todos los pares ordenados que pudieran realizarse considerando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto, ejemplo; nos dan el conjuntó A está hecho por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:

Ax B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}

consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia

de conjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjunto.

Operaciones Generalizados

A Este conjunto {A1, A2, & , An} se llama familia Indizada de conjuntos; y es denotado por {Ai}iÎ I.

Ejemplo

Una familia {Ai}iÎ I, donde I={1, 2, 3, 4} y determinar por extensión cada miembro de la familia.

Partición

Siendo Y un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de Y. Se decimos que {Ai}iÎ I es una partición de Y, si y sólo si:

Una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no vacío, el empalme entre dos partes de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X

Ejemplo

Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.