Aplicaciones del Análisis de Fourier al Diseño Geométrico Asistido por Computadora

(CAGD)

Parte I: Introducción y aplicaciones al diseño de curvas

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ALEJANDRO DOMÍNGUEZ TORRES (alexdfar@yahoo.com) DIVISIÓN ACADÉMICA

FUNDACIÓN ARTURO ROSENBLUETH Resumen El propósito de este trabajo es delinear los desarrollos principales y nuevas investigaciones que se han generado por la utilización del Análisis de Fourier en el Diseño Geométrico Asistido por Computadora. La utilización y aplicación fundamentales del Análisis de Fourier en esta área es con el fin de representar, analizar y sintetizar información acerca de la forma de objetos geométricos arbitrarios. La importancia de obtener nuevos métodos y aplicar nuevas herramientas matemáticas, en conjunción con el poder de las comutadoras digitales, en el Diseño Geométrico es de gran relevancia dentro de las industrías manufacturadoras debido a la creciente utilización de técnicas de CAD/CAM/CAE, las cuales requieren de una descripción geométrica, más que analítica, de los productos a ser diseñados. 1. Introducción Muchos de los paquetes comerciales para el diseño de objetos por computadora ofrecen la facilidad de suavizar los bordes y las esquinas de los mismos; y más aún, suavizar las uniones de dos o más objetos. La necesidad de realizar un suavizamiento en estos bordes, esquinas y uniones se debe primordialmente a que la geometría en estos puntos y sus alrededores cambia bruscamente. Para objetos con geometría compleja, el realizar este tipo de procesos de suavizamiento puede requerir del cálculo de cientos o miles de operaciones aritméticas [12]. Otro tipo de sistemas permiten al usuario construir, de forma independiente, la parte suavizada (denominada patch en inglés) y agregarla al objeto original por medio de operaciones booleanas [12]. Estos últimos sistemas emplean métodos de suavizamiento local y, por lo tanto, no toman en cuenta la totalidad de la geometría del objeto en consideración, de tal forma que las partes así construidas parecen no ser parte del objeto mismo.

1 Publicado en la Revista “Soluciones Avanzadas”, 1995.

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El considerar un método de suavizamiento global en los puntos críticos de la geometría de un objeto significa que éste se puede suavizar en una sola y única operación o proceso. Para dar una idea intuitiva del método de suavizamiento global, se puede decir que este método toma en cuenta la geometría del objeto entero, en oposición de los métodos locales en donde se considera únicamente una pequeña parte del objeto mismo. Más aún, la idea detrás del método global es el de construir curvas y superficies lo suficientemente suaves a partir de objetos geométricos primitivos y que tomen en cuenta la totalidad de tales objetos. El propósito de este artículo, el cual se publicará en tres partes, es el de mostrar que tal método o métodos globales están fuertemente relacionados con el Análisis de Fourier (AF). El AF aplicado a este tipo de problemas es un área creciente de investigación y que tiene sus orígenes en el Procesamiento Digital de Imágenes (PDI) [5] y de Señales (PDS) [2], y por lo tanto en el análisis espectral [2]. Sin embargo el AF es un área relativamente nueva en las matemáticas, cuyas bases se fundamentaron a principios del siglo XIX por J. Fourier, definiendo lo que hoy se conoce como series (finitas o infinitas) y transformadas de Fourier [2]. Por otro lado, el análisis espectral ha sido una de las herramientas principales para entender muchos de los procesos y fenomenos en la física y ha jugado un papel importante en todo este siglo. Sin embargo, el PDI y el PDS no podrían haberse realizado de forma práctica sin el advenimiento de las computadoras digitales, ambientes gráficos de alta resolución, bajo costo del almacenamiento de la información, más una gran variedad de algoritmos rápidos, entre los que destaca el algoritmo denominado Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier Transform, FFT), el cual reduce el número de operaciones involucradas en un gran porcentaje, lo que conduce a un menor tiempo de ejecución. Por ejemplo, para dar una idea intuitiva del poder del algorítmo de FFT, supóngase que se desea efectuar la transformada unidimensional discreta de

Fourier de N puntos por los métodos directos. Bajo esta situación se necesitan N2

multiplicaciones de números complejos, N2 sumas de números complejos y N2 substracciones de números complejos, mientras que utilizando el algoritmo de FFT

el número de operaciones se reduce a ( / ) logN N2 2 [2], respectivamente. Así, si

N=512, lo anterior representa una reducción de más de 50 a 1. Hoy en día existen en el mercado de hardware chips conteniendo el algoritmo de FFT, lo cual implica que el tiempo de ejecución se reduce aún más. De esta forma la técnicas que en el pasado se utilizarón de forma exclusiva para el PDI y PDS, y fueron computacionalmente caras hasta hace algunos años, hoy pueden ser relevantes y económicas en otras disciplinas.

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Las técnicas discutidas en este trabajo están enfocadas principalmente al diseño de curvas y superficies más suaves generadas a partir de otras más simples en geometría utilizando el AF. Este primer artículo se refiere básicamente, al diseño de curvas planas utilizando dos métodos: el método de los descriptores de Fourier y el método de la convolución. Los resultados que se presentan en esta parte fueron obtenidos por diferentes autores, de tal forma que la discusión está dada por una descripción de tales resultados. El segundo artículo de esta serie se refiere a la discusión de algunos métodos para el diseño de superficies, haciendo resaltar las similitudes y diferencias de los métodos con aquellos de la primera parte. En particular, se pondrá especial atención a la técnica desarrollada por Fowler [7]. El tercer artículo, y último, contiene una metodología unificada para el diseño de curvas y superficies. La metodología que se presenta es una generalización y extensión de los métodos discutidos en los dos priemeros artículos y representan un trabajo nuevo y de investigación futura . 2. El AF y la geometría La utilización del AF, es decir series (finitas o infinitas) y transformadas de Fourier y la teoría derivada de ambas, a la geometría y algunos tópicos relacionados, ha sido el objeto de estudio de varios autores en el presente siglo. El primer trabajo es debido a Hurwitz en el año de 1902 [10], el cual proporciona una solución al problema isoperimétrico que plantearon los antiguos griegos. Este problema consiste en encontrar la forma de una figura simple cerrada de longitud l y que encierra un área máxima A. El hecho de que el círculo sea la figura que encierra un área máxima se conjeturó en la antigüedad y se demostró por varios métodos, pero las demostraciones más rigurosas se obtuvieron sólo como resultado de la aplicación de las técnicas más modernas. El resultado que obtuvo Hurwitz, después de expandir las ecuaciones paramétricas de la figura en series de Fourier y utilizar algunos resultados adicionales, es que tal que su longitud y área deben de cumplir la siguiente desigualdad

Al

p

2

40,

donde el perímetro de la figura es l y el área que encierra este perímetro es A. El signo de igualdad se cumple si y sólo si el borde de la curva es un círculo, demostrando además el carácter isoperimétrico del círculo. Después de casi 50 años del trabajo de Hurwitz, el autor considerado como el padre de los splines, I.J. Schoenberg, publica un artículo sobre algunas aplicaciones de las series de Fourier a la geometría elemental [13]. Entre estas

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aplicaciones, este autor resuelve el problema isoperimétrico para el caso de polígonos equiláteros. En el año de 1985 Fisher, Ruoff y Shilleto publican un artículo en el cual utilizan la teoría de series de Fourier para resolver problemas geométricos de diferente naturaleza, entre los que se encuentran algunos problemas tratados en el artículo de Schoenberg [6]. Más recientemente, hace seis años, aparece un artículo de Kiryati y Maydan en el cual el área, la ubicación del centroide y el momento de segundo orden de una región geométrica dada se determinan y se expresan en forma cerrada en términos de los coeficientes de la serie de Fourier de la función que describe a su borde [11]. En este mismo artículo, la orientación de los ejes centrales y el momento de segundo orden se obtienen de una forma clara y sencilla utilizando la misma herramienta. Así mismo, las cotas del perímetro de la región se derivan en términos de dichos coeficientes. Como se puede ver, la aplicación del AF a la geometría no se ha utilizado únicamente para resolver problemas previamente resuletos, sino también para dar respuestas alternativas a problemas (algunos puramente teóricos) ya resueltos por medio de otras técnicas, tal como lo muestran los trabajos de los autores antes mencionados. Estos trabajos también reflejan que, en algunos casos, la utilización del AF ha sugerido la generalización de la teoría previamente establecida. Debido a este éxito del AF en la geometría, y a la ventaja de que este tipo de análisis se puede llevar a cabo de una forma rápida y económica utilizando el algoritmo de FFT y/o de los chips que lo contienen, es natural preguntarse si el AF se podría utilizar para representar, analizar y sintetizar información acerca de la forma de los objetos, es decir, si se puede utilizar en la rama de la ciencia denominada Diseño Geométrico Asistido por Computadora (Computer Aided Geometric Design, CAGD). En particular, se buscan aplicaciones del AF al diseño de curvas y superficies (y por ende de cualquier tipo de objeto geométrico) a partir de curvas y superficies más sencillas en su geometría. 3. El AF y el diseño de curvas: el método de los descriptores de Fourier En referencia a la utilización del AF al diseño de curvas a partir de algunas más simples en su geometría, existen hoy en día dos tendencias principales. La primera de ellas se basa en el método de descriptores de Fourier, una breve descripción de éste método se dará en esta sección. La segunda tendencia se basa en la operación de convolución, que se describirá en la siguiente sección. Considérese una curva plana cerrada, representada paramétricamente como una función de su longitud de arco. Claramente, y debido a que la curva es cerrada, la representación paramétrica es una función periódica con periodo igual a la longitud del perímetro de la curva. A partir de esta representación, el problema consiste en extraer un conjunto finito de propiedades geométricas de la curva.

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Esas propiedades deben ser tales que dividan y clasifiquen dicha curva en algún tipo específico. Para llevar a cabo este propósito se utilizan los descriptores de Fourier de Cosgriff [3]. Con la representación paramétrica anterior, ésta se expande en series de Fourier. Debido a la naturaleza de estos coeficientes, éstos contienen información de la forma y propiedades geométricas de la curva, tales como la continuidad y orden de derivabilidad de ésta. Si el número de coeficientes se reduce a un número finito, los coeficientes resultantes se pueden utilizar como descriptores de la forma de la curva, tales descriptores se llaman descriptores de Fourier. Los descriptores de orden más alto representan cambios en la dirección de la curva sobre arcos de longitud muy pequeños. Lo anterior es debido a que los coeficientes de orden alto contienen información del ruído existente en la curva; i.e., contienen información de los cambios bruscos en la geometría del objeto. De esta forma los coeficientes de bajo orden contienen información macroscópica de la forma de la curva. Una vez que se obtienen los descriptores de Fourier adecuados, se toma la serie inversa de Fourier y se dibuja la curva resultante. Ligeras variaciones de este método general han sido utilizadas por varios autores [1, 14, 15]. Algunos de los resultados obtenidos estos autores se ilustran en las Figuras 1-3

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Figura 1. Ejemplos de curvas generadas utilizando los descriptores de Fourier según el método de Zahn y Roskies. Las propiedades de simetría rotacional y axial de las curvas se pueden controlar del todo a partir de las propiedades algebraicas de estos descriptores.

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(a)(b)

(c)

Figura 2. Ejemplo del método de descriptores de Fourier según Abter. (a) Contorno de la letra F. (b) Descriptores de Fourier en términos de la variable de espectral k . (c) Síntesis de Fourier de la letra F considerando los primeros N 4 6 8 18, , ,

descriptores.

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Figura 3. Ejemplo del método de descriptores de Fourier según Schwarzwälder. (a) Contorno original. (b) Descriptores de Fourier en términos de la variable de frecuencia K . (c) Síntesis de Fourier del contorno original. (d) Aproximación del contorno original por medio de los primeros N=1,4,7,10,13,16,19,25 descriptores.

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Para la Figuras 2 y 3 es importante señalar que las curvas obtenidas son, en cierto sentido, más suaves que las curvas originales. Más específicamente, en el caso de la Figura 2, a partir de la letra F se puede obtener una letra F más estilizada y que representa, además, una aproximación a la letra original. Para la Figura 3, de igual forma se obtienen figuras más suaves comparadas con la curva original. En particular, esta figura sugiere que se pueden obtener varios diseños del perfil de un automóvil a partir de aumentar o disminuir el número de descriptores de Fourier. 4. El AF y el diseño de curvas: métodos particulares de convolución. La operación de convolución juega un papel primordial en el AF y, por ende, en aplicaciones tales como el PDI [5] y PDS [2]. Desde el punto de vista matemático, esta operación es el promedio pesado de una función sobre el rango de variación de alguna variable, siendo el peso de otra función [2]. De esta forma, si f x( ) es la

primera función y k x( ) representa la segunda función, entonces la convolución

está dada por la integral [2]

f k x dI

( ) ( ) z

donde I es el intervalo de variación de la variable . Una interpretación física, y relativamente simple de la operación de convolución, es la de suavizar la función

f x( ) en una forma que está determinada por k x( ) (a esta segunda función se le

llamará de ahora en adelante kernel). Más aún esta operación, que en cierta forma es bastante compleja en el espacio real, al tomarle su serie o transformada de Fourier se convierte en una simple multiplicación de sus coeficientes o transformadas, respectivamente. Lo anterior representa una ventaja bastante considerable en su evaluación si se considera el algoritmo de FFT. El efectuar la convolución de la representación paramétrica de una curva con un kernel dado es, en el fondo, la base del método de los descriptores de Fourier, mencionados anteriormente. En efecto, el considerar un número finito de coeficientes significa, en el espacio real, efectuar la convolución de la representación paramétrica de la curva con un kernel del tipo

sincsin

( )( )

x

x

x

Métodos particulares de convolución para el caso de curvas y superficies han aparecido en la literatura en los últimos 25 años. A continuación se mencionarán 3 de estos trabajos por orden de aparición para el caso de diseño de curvas. El primero de estos trabajos es debido a Dessimoz [4]. En este trabajo las curvas se expresan como funciones paramétricas las cuales son digitalizadas. Esta digitalización induce de forma natural cierto tipo de ruido, el cual se puede reducir

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a través de una convolución sucesiva con un tipo de kernel cuya transformada de Fourier es un filtro pasa-bajas. En cada iteración, el proceso de convolución genera una curva cada vez más suavizada y estilizada a partir de la curva original. Un ejemplo que ilustra el método se muestra en la Figura 4, en donde la representación paramétrica de la curva se ha convolucionado con un kernel del tipo

h s Lsi L s L

de otra forma

( )

RS|T|

1 1

2

1

2

0

La convolución de este kernel con una función arbitraria significa obtener el promedio de la función en su intervalo de definición [2].

Figura 4. Ejemplo del método utilizado por Dessimoz.

El segundo trabajo, desarrollado utilizando la operación de convolución, es debido a Horn y Weldon [9]. El método consiste en representar una curva cerrada en términos del radio de curvatura versus la dirección normal, la cual garantiza (según los autores), de cierta forma, que después de aplicar una operación de convolución, la curva en cuestión siga siendo cerrada, y de tamaño similar a la original. El tipo de kernel que se utiliza en la operación de convolución es nuevamente aquel cuya transformada de Fourier se comporta como un filtro pasa-bajas. El método se complementa realizando al final una suma booleana entre la curva original y la curva resultante. La Figura 5 (a) muestra un cuadrado, el cual representa el objeto geométrico original. En las Figuras 5 (b-d) se muestra el mismo cuadrado después de haber filtrado la serie de Fourier de su representación paramétrica con algunos filtros pasa-bajas, los cuales en su representación en el espacio real son rectángulos de diferentes anchos, del tipo utilizados por Dessimoz. Es importante mencionar que tales rectángulos tienen en particular las siguientes propiedades: son funciones (kernels) periódicas, no negativas y cuya integral en un periodo es la unidad (área uno). A la

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representación en serie de Fourier de tales kernels el autor les llama filtros suavizantes.

Figura 5. Ejemplo del método utilizado por Horn y Weldon utilizando diferentes filtros pasa-bajo.

Por otro lado, la Figura 6 muestra la suma booleana de cuadrados y círculos.

Figura 6. Suma de cuadrados y círculos. (a) Cuadrado. (b) 2/3 de un cuadrado, 1/3 de un circulo. (c) 1/3 de un cuadrado, 2/3 de un circulo. (d) Circulo.

El tercer trabajo es debido a dos japoneses [8]. El método utilizado para obtener curvas difiere significativamente de los dos trabajos anteriores en la construcción de la función a ser convolucionada con los kernels. En cuanto a estos últimos, los autores consideran tres tipos diferentes de kernels. Como los autores lo mencionan explícitamente en su artículo, el propósito es introducir un método para generar curvas cerradas con representaciones de Fourier que pasan a través de una sucesión de puntos (puntos de control) o en

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una vecindad de ellos. La suseción de puntos que se utilizan de entrada en este caso es relativamente pequeña comparado con el número de puntos requerido en los dos trabajos anteriores. Explícitamente, el algoritmo consiste en los siguientes pasos, bajo la suposición de que se tienen únicamente un número N de puntos de control en el plano:

1. Interpolar estos puntos utilizando como funciones interpoladoras la derivada (generalizada) del kernel utilizado por Dessimoz (kernel impulsivo), el kernel mismo (kernel rectangular), y la convolución de este consigo mismo (kernel triangular).

2. Construir la serie finita de Fourier de cada una de las funciones resultantes

en el paso anterior. 3. Truncar la serie anterior hasta cierto número, lo que significa reducir el

número de coeficientes. 4. Construir la serie inversa de Fourier de la serie truncada.

Algunos pasos del algoritmo anterior merecen comentarios adicionales. En el paso 1, la fórmula de interpolación utilizada es la descrita comúnmente en la literatura para funciones periódicas (v.g. [2]). Esta fórmula en el fondo es una operación de convolución de los puntos de control con los kernels utilizados, Por otro lado, el truncar la serie en el paso tres es equivalente, como ya se mencionó anteriormente, a una operación de convolución. De esta forma el método consiste en llevar a cabo dos operaciones de convolución. Los resultados obtenidos por los dos autores para diferentes truncamientos de la serie de Fourier y para cada uno de los tres diferentes tipos de kernels interpoladores se muestran en la Figura 7.

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Figura 7. Ejemplo del método utilizado por Fukushima y Namikawa para los kernels impulsivo, rectangular y triangular para 3 y 10 términos

5. Las primeras conclusiones Como es fácil ver de la discusión anterior, exceptuando el método de Dessimoz, todos los demás métodos se refieren a la construcción de curvas cerradas, la cuales provienen de objetos con un perímetro cerrado. El motivo por el cual los autores anteriores se refieren exclusivamente a objetos con perímetros cerrado es que, de alguna forma, su representación paramétrica es una función periódica, la cual cumple con la condición primordial requerida para que una función se pueda representar en términos de una serie de Fourier [2]. Sin embargo, para el caso de Dessimoz, la Figura 4 muestra que el final de la curva suavizada no coincide con el final de la curva original. Este fenómeno es quizá el motivo por el cual los demás autores consideran sólo curvas cerradas. La pregunta que surge en este punto es si existe un método para el diseño de curvas igualmente válido para curvas abiertas y cerradas. La respuesta a esta pregunta se dará en la tercera parte de este trabajo.

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Por otro lado, en cada punto donde la curva original tiene un cambio brusco en su geometría, dependiendo de su representación paramétrica, la ecuación que la representa puede reflejar una discontinuidad y/o un cambio brusco alrededor del valor del parámetro respectivo. De esta forma al aproximar esta función alrededor de estos puntos a través de la serie de Fourier se genera un fenómeno llamado fenómeno de Gibbs. Este fenómeno consiste en oscilaciones y sobresaltos alrededor de los puntos donde la geometría cambia bruscamente [2]. Este fenómeno se puede observar claramente en la figura 7 en donde aparecen algunos rizos alrededor de los punto de control, mientras que es perceptible en menor grado en las otras figuras, . ¿Existen kernels que eliminen el fenómeno de Gibbs?. De igual forma que en la pregunta anterior, la respuesta se dará en la tercera parte de este artículo. Mientras tanto, en la segunda parte se discutirán algunos métodos para el diseño de superficies desde varios puntos de vista. Referencias Comentadas Es difícil dar algunas referencias de carácter introductorio sobre la temática de este trabajo ya que, hasta el momento, no existen libros o artículos que traten el tema de esta forma. Las razones de ésto son claras: son temas actuales de investigación y en cierta forma la teoría expuesta no es parte aún de la teoría clasica que se puede encontrar en libros referentes a la temática [12]. [1] Arbter, K. Erkennung und Vermessung von Kontouren mit Hilfe der

Fouriertransformation. Wissenchaftlinches Berichtswesen del DFVLR- (Mit-teilung/Deutsche Forschungs- und Versuchsanstalt fur Luft- und Raumfhart) Forschungsbereich Flugmechanik/Flugführung. Institut Dynamik der Flugsysteme. Abteilung Automatisierung. D-8031.- (DFVLR-Mitt. 81-22), 1981.

La principal temática es el reconocimiento y medida de contornos utilizando

la Transformada de Fourier. Independientemente del idioma, es un artículo difícil de leer si no se tiene conocimiento previo sobre los descriptores de Fourier. No es fácil de adquirir una copia debido a que es un reporte interno.

[2] Bracewell, R.N. "The Fourier transform and its applications". Second Edition

Revised. McGraw-Hill Book Company. New York, 1986. Este es un libro clásico sobre la transformada de Fourier. Es de fácil lectura

y trata muchas de las aplicaciones. Recomendable para lectores que desean evitar el tratamiento riguroso de la teoría.

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[3] Cosgriff, R.L. Identification of shape. Ohio State University Research Foundation, Columbus, Rep. 820-11, ASTIA AD 254 792, Dec. 1960.

Este es el primer artículo en donde se trata el tema de los descriptores de

Fourier para la identificación de la forma de los objetos. Se requieren conocimientos previos análisis de Fourier.

[4] Dessimoz, J-D Curve smoothing for improved feature extraction from

digitized pictures. Signal Processing, 1 (1979), pp. 205-210. Un artículo fácil de leer, aunque se requieren conocimientos básicos de

PDS, específicamente del concepto de filtrado. [5] Domínguez, A. Procesamiento digital de imágenes. Soluciones Avanzadas,

Año 2. No. 15, pp. 13-20, Noviembre 1994. Artículo introductorio en el que se describen los métodos y procedimientos

generales del PDI. Debido a esta característica, no se requiere tener conocimientos previos sobre el tema para poder leerlo.

[6] Fisher, J.C., D. Ruoff y J. Shilleto. Perpendicular polygons. The American

Mathematical Monthly, 92 (1985), pp. 23-37. No es un artículo introductorio. Difícil de leer si no se poseen conocimientos

de geometría algebráica. La rigurosidad matemática está presente en todo el artículo.

[7] Fowler, E. "Global blending in Fourier based CAD". MSc Thesis, Department

of Applied Computing and Mathematics, Cranfield Institute of Technology. Cranfield, Bedford, England, September 1990.

El contenido de esta tesis se describirá en el segundo artículo de esta serie.

Fácil de leer si se tienen conocimientos básicos de PDI y CAGD. Fue premiada como la mejor tesis experimental de 1990 por la editorial Ellis Hordwood de Inglaterra.

[8] Fukushima, S. y K. Namikawa. Generation of a closed curve with Fourier

representation. Systems ansd Computers in Japan, 19 (1988), pp. 90-97. La lectura de este artículo es relativamente sencilla si se cuenta con

conocimientos básicos de transfromada discreta de Fourier. Debido a que es una traducción al inglés de un artículo originalmente escrito en japonés, existen algunas ideas fundamentales que se pierden en el texto o que no muestran coherencia en el mismo.

[9] Horn, B.K.P. y E.J. Weldon Jr. Filtering closed curves. IEEE Transactions on

Pattern Analysis and Machine Intelligence, 8 (1986), pp. 665-668.

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Además de conocimientos básicos de análisis de Fourier, para poder leerlo

se requiere tambien los correspondientes en geometría diferencial y álgebra booleana para la medelación de objetos..

[10] Hurwitz, M.A. Sur quelques applications géométriques des séries de Fourier.

Ann. Ecole. Sup. de Pissa, 19 (1902), pp. 357-408. Este es un artículo extenso sobre muy pocas aplicaciones de las series de

Fourier a la geometría. Debido a esta característica, el resultado primordial no es facilemente identificable en el texto. Para su lectura se debe de tomar en cuenta que se escribio en francés deprincipios de siglo.

[11] Kiriaty. N. y D. Maydan. Calculating geometric properties from Fourier

representation. Pattern Recognition, 22 (1989), pp. 469-475. Este artículo detalla claramente la derivación de las ecuaciones y resultados

matemáticos. Los requerimientos para su lectura son, de nueva cuenta, el análisis de Fourier y la geometría diferencial.

[12] Rooney, J. y P. Steadman (Editores). "Principles of computer-aided design".

Pitman Publishing in association with The Open University. London, 1987. Un excelente libro de caracter introductorio para los interesados en

CAD/CAM/CAE. Es recomendable hacer una lectura previa de la teoría clásica y/o tradicional descrita en los Capítulos 6, 7 y 8 con el fin de hacer una comparación con la teoría expuesta aquí.

[13] Schoenberg, I.J. The finite Fourier series and elementary geometry. The

American Mathematical Monthly, 57(1950), pp. 390-404. La forma de escribir de este autor es extremadamente sencilla y clara. Lo

anterior aunado a que en el artículo se tratan temas de geometría elemental, hacen que el mismo sea de fácil lectura. Se requieren conocimientos básicos de sucesiones y series para un mejor comprensión de la teoría.

[14] Schwarzwälder, R.H. FOUKAN, grafish unterstütztes Test- und

Entwicklungssystem für die Erkennung und Vermessung von Kontouren mit Hilfe der Fouriertransformation. FZI Forschungszentrum Informatik an der Universität Karlsruhe (TH) CAD-/CAM-Gruppe, 1986.

Es un reporte descriptivo, por lo que no existe ninguna ecuación en el texto.

Es artículo sólo esta disponible en aleman, aunque es de fácil lectura si se tienen conocimientos de este idioma.

[15] Zahn, C.T. y R.Z. Roskies. Fourier descriptors for plane closed curves. IEEE

Transactions on Computers, C-21 (1972), pp. 269-281.

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Es un artículo introductorio para iniciarse en la temática de los descriptores

de Fourier. Requiere de conocimientos básicos en geometría diferencial.