El análisis de Fourier

Teoria de las Telecomunicaciones

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El análisis de Fourier

La señal de onda senoidal es un tipo de una sola frecuencia; por consiguiente. Su derivada (representativa de la velocidad de

variación) es de la misma forma que ella (así como su integral). Con una señal que contenga armónicos es posible analizar la forma de

onda compleja por cálculo y obtener información sobre los armónicos particulares que constituyen la señal compuesta. Lo que permite

averiguar los factores de fase relativa y amplitud. Para fines analíticos la forma de onda compleja puede ser la de un oscilograma o una

fotografía, una versión grafica producida por un trazador X-Y, valores tabulados o puntos fijos de una forma de onda, o bien una

ecuación que represente la señal.

En el análisis de una forma de onda compleja que tenga características periódicas, la serie de Fourier es una herramienta matemática

de uso cómodo en la práctica de diseño y en el estudio analítico de los sistemas. En la industria se utilizan ampliamente analizadores

comerciales de onda y medidores de distorsión para las síntesis electrónicas de forma de onda y medición de la distorsión total

armónica.

Dos vectores giratorios desplazados un ángulo de θ

e = r sen ωt e1 = r1 sen (ωt + θ)

El conocimiento de la serie de Fourier ayuda a comprender la naturaleza de los armónicos, las ondas complejas y los factores

relacionados con la distorsión de la señal. Como muestra la anterior, las amplitudes instantáneas de una onda senoidal se pueden,

asociar a un vector giratorio que tenga una longitud (radio del circulo) igual a la amplitud de cresta de la forma de onda. Por las

funciones trigonométricas podemos hallar el valor instantáneo de la tensión o la corriente multiplicando la máxima amplitud por el seno

del ángulo.

e = E sen θ

donde

e = valor instantáneo de la tensión

E = máximo valor (de cresta) de la tensión

θ =ángulo formado por el vector y la línea de tensión

Los mismos factores se aplican a la corriente instantánea (i).

i = I sen θ

Si en el análisis matemático interesase principalmente conocer las amplitudes relativas sin asignarlas particularmente a la tensión o la

corriente, la formula será

A= A sen θ

Con respecto al tiempo (I).en segundos, también podemos utilizar 2πf (6,28f), que se denomina velocidad angular (ω), a causa de que

el vector indica la variación angular continua con las amplitudes instantáneas y por consiguiente indica la velocidad de la señal de onda

senoidal:


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e = E sen ωt

donde

e = valor instantáneo de la tensión

E = valor máximo de la tensión

θ = velocidad angular 2πf

t = tiempo en segundos

Nuevamente podemos utilizar i o a, como se desee. Si interesa la señal fundamental y las señales armónicas, podemos identificar la

amplitud de cresta, la tensión o la corriente utilizan-do subíndices para distinguirlas:

a1 = A1 sen ωt (fundamental)

a2 = A2 sen ωt (segundo armónico)

a3 = A3sen ωt (tercer armónico)

Como la longitud del vector giratorio es igual a la amplitud de cresta, podemos introducir r en la formula,

a = r sen ωt

Las relaciones de fase están representadas en la figura anterior. Los vectores giratorios r y rr tienen la misma velocidad angular, pero

están separados por un ángulo fijo θ, llamado ángulo de fase. Cuando t = 0, una forma de onda tiene amplitud cero y comienza a

aumentar en el sentido de amplitud positiva, estando representada por e = r sen ωt

t= 0

Onda coseno (an)

t = 0

Onda seno (bn)

Componentes en cuadratura v en fase

. Sin embargo, en la otra forma esta adelantada con respecto a esta posición en el ángulo 0, y por tanto se la expresa por

e1 = r1 sen (ωt + θ)

La evaluación de las componentes de señal de una forma de onda compleja implica magnitud y fase. La primera figura representa una

componente de serial que alcanza el valor cero 90° después del instante en que t = 0, llamada componente en cuadratura. Si

sustituimos r por a para representar la amplitud de cresta, esta componente se puede expresar por . .

an cos ωt

Para distinguir la componente seno de la componente en cuadratura se utiliza b como indicativo de amplitud de cresta:

bn sen ωt


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Así, las condiciones de adelanto o retraso de una señal, además de la amplitud, se evalúan añadiendo las dos componentes que están

en cuadratura para obtener

La serie de Fourier representa, una onda compleja mediante una expresión compuesta de los términos medio (a0), coseno {an) y seno

(bn):

a0 es la designación del término de c.c (valor medio). Las a1 y b1 de las series coseno y seno representan la componente de la señal

fundamental de la forma de onda compleja. La señal de frecuencia más baja contenida en la forma de onda compleja representa

también la frecuencia fundamental de la propia señal compleja y debe ser considerada en cualquier serie de Fourier. Los subíndices

más altos asignados a y b indican los armónicos de orden más alto de la fundamental (múltiplos de la frecuencia fundamental de la

señal).

La serie de Fourier se puede expresar así

Las formulas que dan los valores de a0, an y bn para un ciclo de una forma de onda compleja entre los limites de ωt = 0 y ωt = 2π

Estos son los coeficientes de la serie de Fourier. Los términos seno (o coseno) pueden tener amplitud cero, dependiendo de las

características de una forma de onda compleja en particular; por consiguiente

Fig. 1-11 Ejes y puntos de simetría

Consideremos la forma de onda compleja representada en la figura 1-11 (a). Aquí la porción negativa de la señal (por debajo de la

línea horizontal de amplitud cero) tiene un contorno diferente del de la serial positiva. Si trazamos una línea recta y la limitamos en los

puntos en que corta a las partes ascendente y descendente de esta forma de onda, establecemos dos puntos para indicar la simetría.

La línea horizontal está dividida en dos partes iguales por la línea vertical marcada f en dicha figura, lo que evidencia la simetría con

respecto al eje vertical. Esta simetría de eje vertical corresponde a una función par, en la cual las constantes seno (b„) son todas nulas.

Para una forma de onda compleja con este eje de simetría el punto situado a la izquierda del eje vertical (- ) tiene la misma amplitud

y polaridad eléctrica que el punto (+ ) simétrico situado a la derecha del eje vertical (f).


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Como las constantes seno son cero, la forma de onda solo contiene valores coseno an y de c.c. (a0). Los términos coseno tienen los

mismos signos algébricos para los puntos (- ) y (+ ) representados en dicha figura 1-1(a). En cambio, los términos seno tienen

signos contrarios en los puntos (- ) y (+ )

Para el tipo de forma de onda representado en la figura 1-11(b) la línea vertical (f) divide igualmente a la forma de onda entre las

secciones positiva y negativa. Los puntos equidistantes del eje vertical (- ) y (+ ) tienen la misma amplitud, pero polaridades

eléctricas opuestas, contrariamente a los de la figura 1-1(a) en que los dos puntos tienen la misma polaridad. Así la forma de onda de

la figura 1-11(b) tiene simetría de punto (simetría con respecto al punto de intersección con el eje horizontal) y se la denomina función

impar. Una señal con estas características indica que las constantes coseno (a„) son todas cero, y en la serie de Fourier solo se utilizan

los términos seno (bn) y la corriente continua.

Ordinariamente también se puede saber si una onda compleja contiene solo armónicos pares (o impares) por inspección de las

características de la señal. Como antes mencionamos, una onda compleja periódica combina señales cuyas frecuencias son múltiplos

de la frecuencia de la serial fundamental. La periodicidad desaparece si combinamos señales cuyas frecuencias no sean múltiplos de

la fundamental.

Las formas de onda que contienen solo señales armónicas impares son simétricas con respecto al eje horizontal; es decir, si

desplazamos la porción de polaridad negativa un semiciclo a la izquierda, como en la figura 1-11, las amplitudes instantáneas de cada

porción de onda son idénticas excepto en cuanto a la polaridad. Este no es el caso de la señal representada en la figura 1-1(d), la cual

indica la presencia de componentes armónicas pares. (La simetría de punto está también presente en la figura 1-1(d), indicando bn solo

funciones seno, lo mismo que en la figura 1-1(b).

Las razones de la existencia de simetría de eje horizontal están ilustradas en la figura 1-12. En 1 -12(a) se ponen de manifiesto los

efectos de combinar una fundamental y el tercer armónico, estando el armónico en fase con la fundamental. (Se considera que un

armónico está en fase con la fundamental cuando los valores instantaneos del armónico y de la fundamental pasan por cero hacia el

sentido positivo simultáneamente). En la figura 1-12(b) el tercer armónico está desfasado 180" con la fundamental, pero todavía

subsiste la simetría de eje horizontal. (Se considera que un armónico está desfasado 180° con la fundamental sí. en los valores

instantaneos nulos, el armónico pasa en sentido negativo al mismo tiempo" que la fundamental lo hace en sentido positivo.)

Fig. 1-12 Señales simétricas compuestas de arménicos impares

.En la figura 1-12c está representada una señal compuesta formada por la combinación del quinto armónico en fase con la

fundamental. Como las señales representadas en la figura 1-12 tienen todas simetría de punto, los tipos de función impar y todos los

términos coseno son cero.


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La figura 1-13a representa la adición de un segundo armónico y la fundamental, ambas en fase. Obsérvese que se satisfacen las

condiciones de simetría de punto y de eje horizontal, indicando la existencia de componentes de armónicos pares y de términos coseno

únicamente. El valor medio (a0) es cero.

En la figura 1-13 (b) el segundo armónico está desfasado 90° con res-pecto a la fundamental. Aquí la simetría de eje vertical indica la

existencia de términos coseno únicamente. En la figura 1-13c el quinto armónico adelanta 90° a la fundamental, compárese esta forma

de onda con la representada en la figura 1-12(c) y observes que todavía hay simetría de eje horizontal indicando contenido de

armónicos impares

Las formas de onda de las figuras 1-11 a 1-13 contienen armónicos de orden bajo. También se aplican los principios de simetría a

formas de onda más compleja. La onda cuadrada representada en la figura l-7f, por ejemplo, tiene simetría horizontal, lo que indica

contenido de armónicos impares. Cuando una forma de onda compuesta contiene ordenes más altos, las pendientes de las porciones

de amplitud creciente y decreciente son mayores. Por tanto, en el análisis de las formas de onda es importante tener en cuenta tantos

componentes armónicos como sea posible para obtener una representación fiel de la onda compleja original. Teóricamente se pueden

calcular un número infinito de coeficientes de Fourier utilizando las integrales [ecuaciones (1-24) y 1-25)]. A causa de los factores de

atenuación que intervienen en los circuitos y de que las amplitudes disminuyen a medida que aumenta el orden de los armónicos, en la

práctica basta calcular un pequeño número de coeficientes.


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Representación de las señales en el dominio del tiempo y la frecuencia

Se puede expresar matemáticamente una forma de onda en diente de sierra, tal como la representada en la figura l-14a, por la

ecuación i = correspondiente a una corriente creciente (i) desde t = 0 hasta t = 2π. Como la señal solo tiene polaridad positiva, es

evidente la presencia de una componente de c.c. (valor medio). Para hallar este valor medio (a0) se utiliza la formula, o ecuación (1-23),

sustituyendo por f (t) para representar la señal que se desea analizar:

De donde

Comparando la señal diente de sierra de la figura 1 -14(a) con la de b se observa que, desplazando la línea horizontal cero hacia arriba

para que haya polaridades negativa y positiva se produce la simetría de punto. Como las componentes armónicas en los términos de

los factores seno y coseno son las mismas para ambas formas de onda, la simetría de punto indica que las constantes coseno (an) son

cero y solamente quedan los términos seno (b„). Esto se podría demostrar sustituyendo en la ecuación (1-24) f (t) por e integrando.

Puesto que solo intervienen los términos seno, se utiliza la formula (1-25). Se pueden consultar las tablas de integrales o realizar la

integración directamente como sigue:

Con n representativo de un número entero, podemos obtener ahora

Los valores de a0 y bn así obtenidos se introducen ahora en el segundo miembro de la ecuación (1-21) solamente, ya que no hay

presentes términos seno ni coseno. A causa de que n representa la sucesión de armónicos que se analizan, n = 1 para la primera vez,

2 para la segunda, 3 para la tercera, etc. Esto demuestra que la onda diente de sierra está constituida por los sucesivos armónicos

(pares e impares). Comparados con la fundamental, los armónicos tienen amplitudes de-crecientes en el orden de 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,

etc.:

Como muestra la figura 1-8, en la formación de dientes de sierra de este tipo las ondas senoidales parten del origen (donde t = 0) en sentido negativo. Podrían expresarse las unidades en v para tensión en lugar de i para corriente. Los valores de porcentaje se deducen


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fácilmente. Así, si la fundamental tiene 12 miliamperios (mA), por ejemplo, el segundo armónico tendrá la mitad, o sea 6 mA; el tercero tendrá 4 mA; el cuarto, 3 mA, etc. Para la forma de onda diente de sierra representada en la figura l-14b, el valor medio es cero ya que los valores positivos y negativos

se cancelan. El contenido de armónicos sigue siendo el mismo que en la señal diente de sierra de la figura 1-14a. La serie se podrá

expresar, pues, omitiendo la 77 para el valor medio:

En lugar de se puede utilizar la variable general x. En tal caso la variable x puede representar tensión, corriente, tiempo, etc. Las

amplitudes de cresta se pueden representar por A, o la tensión por V.

Fig. 1-14 Relaciones entre las ondas diente de sierra y cuadrada

como muestra la figura l-14c para la onda cuadrada. Si utilizamos la variable x podemos expresar las funciones así

Para la onda cuadrada de la figura 1-14c tenemos el valor medio cero; por consiguiente, a0 - 0. Obsérvese que la onda cuadrada es

simétrica con respecto al eje horizontal, lo que indica que están presentes los armónicos impares únicamente, como antes

mencionamos. Además, la forma de onda tiene simetría de punto; por consiguiente solo están presentes los términos seno (bn).

Utilizando las designaciones x y V, la integración produce


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Si n es un número impar esto da b,

Si n es un numero par, b„ es cero. Entonces la serie se convierte en la siguiente:

De esta manera se prueba que la onda cuadrada está formada por una fundamental y una sucesión de armónicos impares; siendo la

amplitud del tercer armónico igual a la tercera parte de la amplitud de la fundamental: la del quinto armónico, la quinta parte; la del

séptimo, la séptima parte, etc.

En la figura l-14d la línea horizontal cero de referencia (eje de coordenadas) se ha desplazado hasta la parte inferior del tren de ondas

cuadradas. dando por resultado una serie de impulsos rectangulares periódicos, como se muestra. Como el intervalo de tiempo desde -

hasta sigue siendo el mismo que el de 0 a π, las características senoidales y de frecuencias de armónicos impares siguen siendo

las mismas que las de la onda cuadrada en la figura 1 -14c. Utiliza/ido A para designar la máxima amplitud en lugar de V que se utilizo

en las ecuaciones (1-26) y (1-27), tenemos:

Se deduce inmediatamente de esto que el valor medio de c.c. desde cero hasta es

Puesto que solo están presentes los términos seno, la integración da

Cuando n es un número par

Cuando n es un número par

Nuevamente nuestra serie de Fourier indica una fundamental más una serie de armónicos impares con amplitudes decrecientes de

modo directamente proporcional a 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, etc.

En la onda triangular representada en la figura l-15a hay un aumento de la corriente i = ωt desde t = 0 hasta t = π. Desde π hasta 2 π

la corriente disminuye, I = 2 π - ωt. Esta onda se puede analizar utilizando integrales separadas para las dos partes de la forma de

onda, tal como se ha hecho para la onda cuadrada [ecuaciones (1-26) y (1-27)]. Así, la media de c.c. será


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La onda triangular con valores positivos y negativos está representada en la figura 1-15b. Obsérvese que desde 0 hasta 2 π la forma

de onda tiene características de simetría con respecto a un eje, representada en la figura 1-1 la, y por consiguiente contiene solo

valores coseno an. El coeficiente de Fourier se divide en dos partes, y la integración produce un resultado final que indica solo

componentes armónicos impares.

La misma serie se obtiene para la forma de onda representada en la figura 1-15b excepto que el valor medio es cero.

La variable general x se podrá también utilizar (con V o A) y la serie será

En la onda cuadrada representada en la figura 1-14c hay presente una amplitud constante + V en la primera mitad de la onda y — V

para la segunda mitad, lo que representa la pendiente de la onda triangular. Así la onda cuadrada es realmente el coeficiente

diferencial de la onda triangular. Si diferenciamos nuevamente la serie triangular, termino a término. obtendremos la serie original

representada por la onda cuadrada

Importancia de la modulación

Introducción

Los aspectos funcionales de los circuitos de modulación y los sistemas se pueden aprender más fácilmente familiarizándose

inicialmente con las características básicas de las formas de onda de señal. Anteriormente se han estudiado los principios armónicos

relacionados con las formas de onda complejas y se ha visto que las señales que tienen otras. frecuencias que la fundamental están

presentes cuando la señal no es de forma senoidal pura. Este factor se relaciona también con las señales de banda lateral producidas

durante los procesos de AM y FM.

Técnicas de modulación

Durante la propagación se transmiten todas las señales comprendidas en la forma de onda compuesta de modulación relativas a la

información. Por consiguiente, para obtener el pleno rendimiento y una alta fidelidad deberán ser todas transmitidas. Algunas señales

pueden ser eliminadas previamente a la transmisión (por ejemplo, en los sistemas de banda lateral única) para economizar espacio en

el espectro, aunque sea en detrimento del rendimiento total, como después se explicara.


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Aunque las señales transmitidas difieren eléctricamente según los tipos de circuito, el contenido armónico de la señal, las relaciones

de banda lateral, las amplitudes de modulación y otros factores coinciden con los de las señales presentes en las etapas finales del

transmisor. Lo que se expone a continuación sirve de fundamento para el estudio de los circuitos de modulación y de los principios de

transmisión comunes a las diversas ramas de los sistemas modernos de comunicación.

Modulación de Amplitud (AM)

Para transmitir señales de audio, video u otras de baja frecuencia es necesario modular con ellas una señal de alta frecuencia capaz

de propagarse a distancias mucho mayores que las que se alcanzarían si se propagasen formas de onda de baja frecuencia. Para

modular una serial de alta frecuencia (portadora) con una serial de baja frecuencia existen varios métodos. Uno de los procesos más

antiguos y que todavía se usa ampliamente es el llamado modulación de amplitud (AM). Este sistema se emplea en radiodifusión de

onda normal (550 kHz-1.700 kHz) y también para la imagen en televisión. [La porción de sonido de las señales de televisión es

modulada en frecuencia (FM).]

Fundamentalmente la AM es un método de modulación en el cual la serial portadora de alta frecuencia es modificada de modo que su

amplitud varia en correspondencia con las variaciones de amplitud de la serial moduladora de baja frecuencia/ Realmente la serial de

audio u otra de baja frecuencia no es «transportada» por la serial transmitida y está representada inicialmente por las correspondientes

variaciones de amplitud de la serial RF modulada. Un circuito detector sensible a las variaciones de amplitud produce señales de audio

u otras de baja frecuencia que se parecen mucho a las señales moduladoras originales.

La figura 2-1 representa un transmisor básico de radio AM. La entrada de sonido es amplificada en el grado necesario por las etapas preamplificadoras y de potencia hasta, que alcance el nivel necesario. Un oscilador genera la señal portadora de RF, la cual es amplificada por varios circuitos de clase C hasta que la portadora alcanza la potencia de salida necesaria. En la mayoría de estaciones emisoras comerciales la potencia de la portadora es elevada hasta conseguir que la potencia radiada sea de muchos kilovatios Una alta potencia de la portadora aumenta las intensidades de las señales que llegan al sistema de detección de los receptores distantes y también aumenta la relación señal/ruido en la recepción

Como muestra la figura 2-1, la señal de audio amplificada es combinada con la señal portadora de RF amplificada, y el resultado es

Fig. 2-1

Una portadora cuyas variaciones de amplitud se corresponden con las de la señal moduladora de audio. Esta es la forma de onda que

es enviada al sistema de antena para difusión.

Como muestra la figura 2-2, la porción modulada de la serial portadora varía de amplitud por encima .y por debajo de la amplitud de la

portadora no modulada. Obsérvese también que la portadora es esencialmente una señal de c.a. con alternancias positivas y

negativas, pero a causa de su alta frecuencia se la denomina señal RF.

En la figura 2-3 se comparan las señales moduladoras de audio con la portadora modulada resultante. En la figura 2-3a la señal de

audio tiene una amplitud bastante alta a consecuencia de lo cual (figura 2-3b) la amplitud de la portadora aumenta y disminuye más

que si la forma de onda moduladora de audio fuese de menor amplitud. Con una señal de audio de frecuencia más alta las amplitudes

de la portadora cambian más rápidamente para seguir las señales de audio. Con una. portadora modulada de amplitud más baja, como

muestra la figura 2-3d, se aplica el mismo principio, excepto que se necesita una señal moduladora de audio de menor amplitud (fig. 2-

3c) para obtener el mismo grado de modulación que el necesario con una portadora de amplitud más alta.


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Cuando es aumentada la amplitud de la señal moduladora, el grado de modulación también aumenta. Para fines prácticos el grado de

modulación se expresa usualmente en porcentajes, y para 100% de modulación aparece la forma de onda como en la figura 2-4a-.

Obsérvese que la amplitud de cresta es doble que la de una portadora no modulada y que la amplitud mínima es virtualmente cero.

El grado de modulación se expresa por

Multiplicando el resultado de la formula (2-1) por 100 se obtiene el porcentaje de modulación. Si este excede de 100, se pierden partes

de la información de modulación y se produce distorsión de serial durante el proceso de demodulación en el receptor. Con

sobremodulación la amplitud de portadora aumenta hasta más del doble de la amplitud de la portadora y disminuye hasta el nivel cero,

permaneciendo en él durante un intervalo perceptible, como muestra la figura 2-4b. El grado de modulación no depende de la amplitud

de la portadora solo, tal como se deduce de la c.c. (2-1), sino también de las proporciones relativas de los valores mínimo y máximo de

la forma de onda

Fig. 2-3 Grados de modulación de amplitud

tensión o de corriente de la portadora. Si tenemos un valor de cresta de 750 voltios (V) y un valor mínimo de 250 V, el porcentaje de

modulación es 50:


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Fig. 2-4 Porcentaje de modulación de amplitud

Como se ve en la figura 2-4c (para una variación de la amplitud de una onda senoidal), la portadora seria 500 V. Para una portadora de

l.000 V con un valor máximo de cresta de 1.500 V y un mínimo de 500 V, el porcentaje de modulación sigue siendo el mismo (50 por

100)

Pero que cualquier distorsión de la forma de onda crea señales de otras frecuencias que no son la fundamental. Así, cuando se hace

que varié de amplitud la serial portadora, se la somete a una distorsión de la forma de onda. Esto se evidencia por simple inspección

visual de un solo ciclo elegido arbitrariamente. entre los que están siendo sometidos a un cambio de amplitud, como muestra la figura

2-5. Obsérvese que la amplitud de una alternancia difiere en amplitud de

Fig. 2-5 Distorsión de onda senoidal durante la modulación

las otras de ciclos sucesivos, lo que indica una distorsión de la forma de onda de la portadora. La distorsión continua de la portadora

durante el proceso de modulación genera otras señales; de aquí que la portadora modulada ya no pueda ser considerada como una

sola frecuencia, sino como una señal compuesta constituida por varias señales cuyas frecuencias difieren mutuamente. El análisis

matemático indica la naturaleza de las señales formadas.

Por la ecuación (1-15) se halla que una señal de onda senoidal no modulada se expresa por

e = E sen ωt

Si hacemos que varié senoidalmente la amplitud a un ritmo inferior a la frecuencia portadora, la tensión instantánea es

E = Ec (1 + m sen ωct)

donde

E = máxima tensión instantánea


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Ec = amplitud de cresta de la señal de portadora no modulada

wc = velocidad angular de la serial portadora

m = grado de modulación

Combinando esta con la ecuación

e = Ec (1 + m sen ωmt) sen ωct

donde

e = amplitud instantánea de onda

Ec = amplitud de cresta de la señal portadora

m = grado de modulación

ωm = velocidad angular de la serial moduladora

ωc = velocidad angular de la serial portadora

se deduce

Ahora se puede desarrollar el ultimo término en funciones de angulares de suma y diferencia por la formula sen x sen y as 1 /2 [cos (x

— y) — cos (x + y)]. Así, la ecuación de una portadora con modulación de señal de onda senoidal será

(2-5)

La ecuación (2-5) indica que la onda modulada se compone de tres señales individuales, una de las cuales es la onda portadora

original (Ec sen ωCt). Las otras componentes se llaman señales de banda lateral. Para una señal moduladora dada de onda senoidal se

producen dos bandas laterales. Una (la banda lateral superior) tiene una frecuencia superior a la de la señal portadora e igual a la

frecuencia portadora mas la frecuencia de la señal moduladora' [(mEc /2) cos (ωc + ωm) t]. La otra (banda lateral inferior) tiene una

frecuencia inferior a la de la portadora en una cantidad igual a la frecuencia de la señal moduladora, como muestra la figura 2-6. Para

modulación de 100% por una sola señal moduladora de c.a., cada una de las bandas laterales tiene una amplitud igual a la mitad de la

amplitud de la portadora no modulada.'

Las señales de banda lateral contienen la información modulada y las amplitudes de las bandas laterales dependen de la cantidad de

modulación (el volumen para señales de audio). La portadora sola (sin bandas laterales) no contiene variaciones de amplitud y por

consiguiente no transforma información moduladora. La información moduladora puede ser transmitida utilizando la portadora y una

sola banda lateral. Este procedimiento reduce el espacio del espectro (llamado ancho o anchura de banda) ocupado por la forma de

onda compuesta. También se puede omitir la señal portadora y transmitir una sola banda lateral. En tal caso, para que la demodulación

sea correcta deberá ser provista en el extremo de recepción la señal portadora (con la frecuencia correcta) que fue omitida en la

transmisión.


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Fig. 2-6 Señales en la portadora modulada

En la modulación por forma de onda compleja (señales de palabra o video) se forman muchas bandas laterales distantes cada una de

ellas de la portadora en la frecuencia de la señal moduladora que la ha producido. También están usualmente presentes en el sistema

de transmisión completo, señales no deseadas (armónicos espurios) y estas señales no deseadas deben ser eliminadas por filtraje

antes de que la energía modulada sea finalmente aplicada a la antena transmisora.

En la figura 2-6 no pueden ser exactamente representadas las señales portadora y de banda lateral ya que las altas frecuencias que

intervienen impiden indicar el número real de ciclos que se producen en un intervalo dado de tiempo. Si, por ejemplo, la portadora es

de 800 kHz y la serial audio moduladora es de 500 Hz, la amplitud de la portadora aumenta y disminuye 500 veces por segundo. Como

hay 800.000 ciclos de serial portadora por segundo, habrá 1.600 ciclos de portadora por cada ciclo de audio. Así un ciclo de la señal

audio de 500 Hz modulara a 1.600 ciclos de la portadora haciendo que aumente y disminuya su amplitud.

Con una portadora de 800 kHz modulada por una señal de 500 Hz las señales de banda lateral tendrán frecuencias de 800,5 kHz y

799,5 kHz. Es evidente pues, que una portadora, mas sus bandas superior e inferior, requieren más espacio en el espectro que una

portadora sin modular. Para la señal moduladora de 500 Hz hay un intervalo de frecuencia de 1 kHz entre la banda lateral inferior y la

superior, lo que requiere el correspondiente intervalo del espectro para acomodar la banda de las señales implicadas. La frecuencia

portadora no determina el ancho de banda en AM, ya que una portadora de 2.000 kHz, modulada por la misma serial audio de 500 Hz,

tendrá el mismo ancho de banda que una portadora de 800 kHz.

Si la frecuencia moduladora es de 5 kHz, las dos bandas laterales, más la portadora, requerirán un intervalo o espacio de 10 kHz, o

sea el ancho de banda, como muestra la figura 2-7

Modulación de frecuencia (FM)

Consideremos la ecuación de onda

e = A cos(ωt+ 8)

Aquí A representa la máxima amplitud de la corriente o de la tensión de la señal, y ωt + 0 es el ángulo instantáneo y de fase de la

función.

Para esta onda el proceso de modulación puede consistir en variar tres cosas: la amplitud (A); la frecuencia (lo que implica la velocidad

angular ωt), o el ángulo de fase θ. Cuando la señal moduladora altera la frecuencia o la fase de la señal portadora, se dice que el

sistema es de modulación angular. Tanto los sistemas de modulación de frecuencia como de fase de modulación angular son

análogos, esencialmente, lo mismo que los procesos de demodulación. Por tanto, un receptor FM funcionara en FM y en PM.

La figura 2-8 representa una onda modulada en frecuencia. Aquí la frecuencia portadora varía por encima de la frecuencia normal


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fig. 2-8 Modulación de frecuencia (FM)

(llamada frecuencia de reposo), así como por debajo de la frecuencia portadora, a un ritmo que depende de la frecuencia de la señal

moduladora. La cantidad de variación o desplazamiento depende de la amplitud de la señal moduladora. Por consiguiente, un volumen

más alto de la serial moduladora de audio, por ejemplo, producirá mayor desplazamiento de la portadora con respecto a su frecuencia

de reposo, que una señal audio de menor volumen.

Sin embargo, cuando se varía la frecuencia de la portadora directamente durante el proceso de modulación (FM directa), también varía

la fase, aunque indirectamente. Análogamente, si variamos directamente la fase durante el proceso de modulación, también se varía la

frecuencia, aunque indirectamente.

Para la modulación de frecuencia (FM) la razón de la variación de frecuencia (desviación) de la portadora a la frecuencia de la señal

moduladora que produce esta desviación de la portadora es lo que se llama índice de modulación (que no debe ser confundido con la

relación de desviación que después se describe). En forma de ecuación el índice de modulación será

o

donde

mf = índice de modulación para FM

= desviación de frecuencia de la portadora

= frecuencia de la señal moduladora

kf = grado de variación de frecuencia en función de la amplitud de la señal moduladora

Em = amplitud de la señal moduladora

ωm = velocidad angular de la serial moduladora

Para modulación de fase (PM), el índice de modulación se expresa

por

mp = kpEm (2-8)

donde

mp = índice de modulación para PM

kp = grado de variación de fase en función de la amplitud de la señal moduladora

Em = amplitud de. la señal moduladora

La modulación angular se clasifica pues como modulación de frecuencia cuando el índice de modulación es inversamente proporcional

a la frecuencia de la señal moduladora, y como modulación de fase cuando el índice de modulación es independiente de la frecuencia

de la serial moduladora.

La relación de desviación está basada en los valores máximos, contrariamente a la característica instantánea del índice de modulación.

La relación de desviación relaciona la máxima desviación de la frecuencia portadora con la frecuencia más alta de la señal moduladora:

Cuando se asigna un valor de relación de desviación a una estación de FM, esto establece los límites del intervalo o espacio de

espectro ocupado por la variación de la portadora con respecto a la frecuencia audio de las señales que producen tal variación de la

portadora. Sin embargo, hay que tener en cuenta que una estación no funciona continuamente bajo condiciones máximas. Las

amplitudes de audio varían considerablemente; de aquí que la cantidad de variación de la portadora cambie durante la emisión.

Análogamente, la frecuencia de las señales audio cambia constantemente, produciendo el correspondiente cambio de la velocidad de

variación de la portadora por encima y por debajo de la frecuencia de reposo de la portadora FM.


16

Factores de FM y PM .

La ecuación (2-6) se puede expresar por A cos ǿ, donde es la velocidad angular de la serial portadora no modulada.

La velocidad angular se puede expresar por

(2-10)

La señal moduladora en FM se expresa por

(2-11)

Las ecuaciones (2-10) y (2-11) nos proporcionan la siguiente ecuación que corresponde a una forma de onda que es variada en

frecuencia por la velocidad angular de acuerdo con la amplitud de la señal moduladora:

(2-12)

kt y Em, lo mismo que los otros símbolos, son los mismos que los de la ecuación (2-7). La tensión instantánea será

donde θO es el ángulo de fase inicial y puede ser considerado nulo, ya que no afecta a la modulación de frecuencia. Integrando,

obtenemos

Como una porción es el índice de modulación de frecuencia mt [ecuación (2-7)], la fórmula para la FM será

Si la señal moduladora [ecuación (2-11)] se expresa por

la fórmula para la onda de FM será

(2-17)

Cuando se emplea modulación de fase, la variación instantánea de fase (θ) está producida por la señal moduladora; por tanto

donde mp es el índice de modulación para modulación de fase y kp Em es lo mismo que en la ecuación (2-7). Con 00 = 0, la fórmula para

la onda modulada en fase (PM) es

(2-19)

Compárese la ecuación (2-8) con la (2-15) y obsérvese que solo difieren en el índice de modulación. Como antes tenemos explicado.

en un caso (FM). el índice de modulación es inversamente proporcional a la frecuencia .de la señal moduladora. mientras que en el

otro (PM). el índice es independiente de la frecuencia de la serial moduladora.

A diferencia de la AM. donde una sola señal senoidal moduladora produce dos bandas laterales, en modulación de frecuencia se

pueden formar muchas bandas laterales con una sola onda moduladora. Teóricamente se generan un número infinito de bandas

laterales, pero solo algunas tienen la suficiente amplitud para que tengan importancia en cuanto al ancho de banda o el proceso de

detección. Tales factores de banda lateral se evidencian mediante procedimientos matemáticos que implican el desarrollo de la

ecuación (2-15), por lo que se llaman funciones de Bessel. El termino Jn(x) designa la función de Bessel (de x) de la primera clase de

orden n. El factor x se convierte en mf para modulación de frecuencia y mp para modulación de fase

El primer término representa la portadora: los otros designan las bandas laterales. Las amplitudes de la portadora y de las bandas

laterales varían con el índice de modulación (mf o mp). La figura 2-9 muestra varias funciones y la portadora en función de las


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magnitudes de banda lateral para cualquier índice de modulación inferior a 12. Obsérvense los cambios de las amplitudes relativas de

las bandas laterales y de la portadora para varios valores del índice de modulación. Cuando éste es 2, por ejemplo, los dos primeros

juegos o conjuntos de bandas laterales tienen una amplitud mucho mayor que la portadora. Con un índice de modulación de 2,4

aproximadamente, la ampli-

Fig. 2-9 Curvas de las funciones de Bessel

tud de la portadora se anula y toda la potencia transmitida está contenida únicamente en las bandas laterales. La figura 2-9 indica que

la portadora cambia de amplitud cuando cambia el índice de modulación. Los datos obtenidos de las funciones de Bessel se pueden

tabular como muestra la tabla 2-1.

Tabla 2-1


18

Los espacios en blanco de la tabla corresponden a las amplitudes de banda lateral omitidas a causa de que ya no tienen valores

importantes. Para una banda no modulada, j0(x), la máxima amplitud de portadora se designa por 1,0, aunque la suma algébrica de las

porta-doras y de las bandas laterales para los diversos valores del índice de modulación ya no producirán 1,0. Como intervienen

formas de onda de c.a., es necesaria la suma vectorial (raíz cuadrada de la suma de cuadrados de los valores dados).

Utilizando la tabla 2-1 evaluamos las representaciones horizontales de las bandas laterales con respecto a la portadora para un índice

dado de modulación. Por ejemplo, si mf es 1, la portadora [J0(x)] tendrá una amplitud de 0,765 Ec, donde Ec = 1 representa la máxima

magnitud de la portadora no modulada. Las bandas laterales de primer orden tienen una magnitud de 0,44 Ec cada una, y la frecuencia

de la banda lateral superior J1(x) es fc + fm, donde fc es la frecuencia portadora y fm la frecuencia de la señal moduladora. La banda

lateral inferior j1(x) es fc — fm

La magnitud o amplitud de cada una de las bandas laterales de segundo orden es 0,115 Ec, con la banda lateral superior fc + 2 fm y la

inferior fc — 2fm- Las bandas laterales de tercer orden son las ultimas de valor apreciable cuando mf =1, y su amplitud es 0,002 E.. Las

frecuencias son fc + 3fc y fc — 3fm.

Aunque se producen juegos adicionales de bandas laterales para valores más altos del índice de modulación, en FM todas las bandas

laterales están espaciadas entre sí por una frecuencia igual a la de la señal moduladora. La señal moduladora tiene, pues, una

frecuencia de 2 kHz, y Cada banda lateral está separada de las contiguas por 2 kHz. La velocidad de variación de la portadora esta

también determinada por la frecuencia de la señal moduladora, y cuanto más alta sea la frecuencia moduladora, mas rápidas serán las

excursiones de frecuencia de la portadora a cada lado de la frecuencia central (de reposo). La amplitud de la serial moduladora

controla la extensión de la variación de frecuencia de la portadora.

Con un índice de modulación de 0,4 o menos, solo se produce una banda lateral importante por encima y por debajo de la portadora.

Con un índice de modulación de 0,5, se generan dos bandas laterales por encima de la portadora y dos por debajo. La tabla 2-2 indica

el número de bandas laterales importantes que existen en un margen del índice de modulación de 1 a 10.

En el estándar de radiodifusión de FM para el público en general (entre 88 MHz y 108 MHz), la máxima desviación es de 75 kHz y la

frecuencia audio más alta utilizada con fines de modulación es de 15 KHz. La relación de desviación es:

= 5

En la trasmisión de televisión tanto en VHF como UHF, la porción FM de sonido utilice una máxima desviación de 25 kHz a cada lado

de la portadora, lo que da por resultado andas laterales importantes más bajas que las producidas para la radiodifusión estándar en FM

La relación de desviación es realmente solo una indicación de las máximas condiciones de modulación y puesto que tales magnitudes

de cresta ocurren raramente en la radiodifusión estándar, la relación no representa los factores normales de transmisión. En la

Índice de modulación

Bandas laterales Importantes de la portadora

Superiores Inferiores

0,4 1 1

0,5 2 2

1,0 3 3

2,0 4 4

3,0 6 6

4,0 7 7

5,0 8 8

6,0 9 9

7,0 11 11

8,0 12 12

9,0 13 13

10,0 14 14

Tabla 2-2

radiodifusión de música la mayoría de las frecuencias audio fundamentales son más bajas de 5 kHz. Las señales de frecuencias más

altas son los sobretonos producidos por los instrumentos musicales. Estos sobretonos (llamados también armónicos) tienen una

amplitud mucho más baja que la correspondiente a la frecuencia de la señal fundamental y por consiguiente no producen una gran

desviación. Además, como los sobretonos tienen frecuencias más altas, estarán más separados de la portadora y sus amplitudes son

menores

Con un índice de modulación de 5 hay ocho bandas laterales importantes a cada lado de la portadora. Así, un tono musical alto de 4

kHz producirá un total de 16 bandas laterales, separadas entre sí por 4 kHz con un ancho de banda total de 4 kHz X 16 = 64 kHz. Para

tonos musicales de frecuencias más bajas la extensión de las bandas laterales importantes será, naturalmente, mucho menor. Los

armónicos de los tonos musicales, que tienen amplitudes mucho menores que las fundamentales, no serán causa de una gran

desviación de la portadora y por tanto tienen un índice de modulación menor que el máximo permitido. Por consiguiente, habrá menos

bandas laterales importantes y menos riesgo de que el ancho de banda exceda de la máxima desviación permitida.


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Así, durante las transmisiones normales de FM, el límite de 75 kHz para desviación a cada lado de la frecuencia portadora central es

adecuado en lo que respecta al ancho de banda para la radiodifusión estándar de FM. Sin embargo, como medida adicional de

seguridad se añade a cada canal de estación de' FM una asignación de 50 kHz (25 kHz a cada lado) para evitar que se introduzcan

señales indeseadas en los canales adyacentes y produzcan interferencia en la recepción.

El ancho de banda total asignado para una radiodifusión FM estándar está indicado en la figura 2-10. Los 25 kHz asignados a cada

lado de la máxima desviación constituyen las que se denominan bandas de guarda y hacen que la asignación total sea de 200 kHz.

Obsérvese que un índice de modulación menor de 0,5 en la tabla 2-1 produce solo dos bandas laterales importantes para una señal

moduladora senoidal dada (una encima y otra debajo de la portadora), y esto es comparable a las dos bandas laterales producidas por

la modulación de amplitud. En muchos servicios especiales tales como los de policía, aficionados y estatales se utiliza una relación de

desviación baja. Cuando la transmisión de FM es tal que el ancho de banda producido no es mayor que el de AM para la misma

frecuencia de señal moduladora, se dice que la transmisión es de banda estrecha en FM (NFM). Generalmente, la FM de banda

estrecha presenta las ventajas de ocupar menor espacio en el espectro de radio, aunque el sistema no tenga el alto rendimiento

inherente a los sistemas que utilizan un índice de modulación más alto.

En FM también se emplea el termino grado de modulación, aunque «100 % de modulación>> no significa lo mismo que en AM, en que

la amplitud de la portadora varía entre 0 y el doble de la amplitud normal no modulada. En FM es virtualmente imposible sobremodular,

por lo que el grado de modulación se ha establecido con relación a la máxima desviación permitida. Si la máxima desviación esta

ajustada a 75 kHz a cada lado de la frecuencia de reposo, se dice que la modulación es de 100 %.

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El análisis de Fourier