1 - RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE ÁNGULOS · Trataremos de deducir las razones trigonométricas fundamentales para el ángulo suma: + Haremos uso de la siguiente figura

MARÍA CRISTINA GONZÁLEZ NOBLE 1


1 - RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE ÁNGULOS

Trataremos de deducir las razones trigonométricas fundamentales para el ángulo suma: +

Haremos uso de la siguiente figura que corresponde a una parte de la representación, de un ángulo

suma, sobre el primer cuadrante del círculo trigonométrico|

Observa que el segmento OB es radio de nuestro círculo trigonométrico y por lo tanto mide 1 unidad (en la escala que cada operador decida tomar). Empecemos por considerar el triángulo en rojo OAB, rectángulo por construcción. Es claro que en él:

cos = 𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦

ℎ𝑖𝑝 =

𝑂𝐴̅̅ ̅̅

𝑂𝐵 = 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ( I )

sin = 𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝 =

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝑂𝐵 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ( II )

Ahora pasemos a considerar el triángulo OPB, rectángulo por construcción. Aquí podemos plantear:

sin( + ) = 𝑃𝐵̅̅ ̅̅

𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ ( III )

Según el diagrama adjunto: 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

En el triángulo OQA, rectángulo:

sin = 𝑐𝑎𝑡 𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝 =

𝑄𝐴̅̅ ̅̅

𝑂𝐴̅̅ ̅̅

𝑄𝐴̅̅ ̅̅ = sin . 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ( I )

𝑄𝐴̅̅ ̅̅ = sin . cos

En el triángulo ACB, rectángulo:

cos = 𝑐𝑎𝑡 𝑎𝑑𝑦

ℎ𝑖𝑝 =

𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = cos . 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (II)

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = cos . sin


Volviendo a la relación ( III ):

sin( + ) = 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑄𝐴̅̅ ̅̅ + 𝐴𝐶̅̅ ̅̅

sin( + ) = sin . cos + cos . sin

A partir de esta fórmula trataremos entonces de obtener las demás. De este modo:

cos( + ) = sin [ 90° + ( + ) ] = sin [(90° + ) + ]

Usando la fórmula para el seno del ángulo suma tendremos:

= sin(90° + ). cos + cos(90° + ). sin

= cos . cos + (− sin). sin

cos( + ) = cos . cos − sin . sin

RECUERDA:

Finalmente tratemos de deducir la relación para la tangente del ángulo suma

Por definición:

tan( + ) = sin( + )

cos( + ) =

sin .cos + cos .sin

cos .cos − sin .sin

Por ángulos que

difieren en 90° reordenando


Ahora dividamos numerador y denominador de la expresión entre (cos . cos ) sin .cos + cos .sin

(cos .cos)

cos .cos − sin .sin

(cos .cos)

=

sin .cos

(cos .cos)+

cos .sin

(cos .cos )

(cos .cos )

(cos .cos ) −

sin .sin

(cos .cos ) =

sin

cos +

sin

cos

1 − sin.sin

cos .cos

= tan + tan

1 − tan .tan

tan( + ) = tan + tan

1 − tan .tan

RESUMIENDO

2 - RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

Deduzcamos ahora las relaciones para el ángulo diferencia.

sin( − ) = sin[ + (−)] = sin . cos(−) + cos . sin(−)

= sin . cos + cos . (− sin) = sin . cos − cos . sin

sin( − ) = sin . cos − cos . sin

Transformo la

resta en suma del

opuesto

Seno del ángulo

suma

Por ángulos opuestos


cos( − ) = cos[ + (−)] = cos . cos(−) − sin . sin(−)

= cos . cos − sin . (− sin) = cos . cos + sin . sin

cos( − ) = cos . cos + sin . sin

tan( − ) = tan[ + (−)] = tan + tan(− )

1− tan .tan(− ) =

tan + (− tan)

1− tan .(− tan) =

tan − tan

1+ tan . tan

tan( − ) = tan − tan

1+ tan . tan

RECUERDA

RESUMIENDO


3 - RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

Expresemos el ángulo doble mediante la expresión: 2 y tratemos de deducir las razones

trigonométricas fundamentales para dicho ángulo.

sin 2 = sin( + ) = sin . cos + cos . sin = 2. sin . cos

cos 2 = cos( + ) = cos . cos − sin . sin = 𝑐𝑜𝑠2 - 𝑠𝑖𝑛2

tan 2 = tan( + ) = tan + tan

1− tan .tan =

2.tan

1− 𝑡𝑎𝑛2

RESUMIENDO

4 - OTRAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Se han utilizado las relaciones

deducidas para el ángulo suma


5 - ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Cuando buscamos resolver una ecuación trigonométrica, debemos tener presente que lo que

queremos hallar es la o las medidas de los ángulos para los cuales la relación se satisface o cumple.

De este modo, la variable independiente es una medida angular. Como tal puede ser dada en

grados o en radianes.

Veamos algunos ejemplos de resolución de ecuaciones trigonométricas.

EJEMPLO

Resolver en [ 0 , 2) : sin + √2 = − sin

Resolución

sin + √2 = − sin

Empieza por reordenar la ecuación.

sin + sin = − √2

2. sin = − √2 sin = - √2

2

Observa que puedes encontrar dos medidas angulares, en una vuelta al círculo trigonométrico, a las

cuales corresponde el mismo valor del seno. Atiende para ello al siguiente diagrama:

MÁS RELACIONES


¿Cuál es entonces el valor de los ángulos 1 𝑦 2?

Recurre primero a la información que te da la siguiente tabla donde tienes tabulado el valor de las

relaciones trigonométricas fundamentales para ciertas medidas angulares típicas. Si no encuentras

tu razón trigonométrica allí deberás recurrir a la calculadora, pero ten presente que ésta siempre te

da un solo resultado y es el que corresponde a la medida angular de menor valor absoluto.

Siempre te conviene visualizar en el círculo trigonométrico que es lo que buscas pues así evitas

omitir algún posible resultado.

Por calculadora:

sin = - √2

2 = - 45° el signo de menos indica que está siendo medido en sentido horario

¿Cuál es entonces el valor de 1?

Si observas el esquema planteado más arriba, por simetrías de la figura tendrás que:

1 = 180° + 45° = 225°

La tabla de razones trigonométricas mencionadas es la siguiente pero recuerda que en ella solo se

tabulan los resultados para ciertas medidas angulares.

2 = 360° − 45° = 315°


EJEMPLO

Resuelve en el intervalo [ 0 , 2): 3. 𝑡𝑎𝑛2𝑥 − 1 = 0

Resolución

3. 𝑡𝑎𝑛2𝑥 − 1 = 0

Procedamos a despejar la relación trigonométrica en juego.

3. 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 1


𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 1

3 tan 𝑥 = ± √

1

3

De este modo: tan 𝑥 = ± √1

√3 = ±

1

√3 = ±

1

√3 .

√3

√3 = ±

√3

(√3)2 = ±

√3

3

Haciendo uso de la tabla de razones trigonométricas para ángulos notables veremos si encontramos,

en la columna de tangente, los valores anteriores.

De este modo acabas de encontrar 4 soluciones:

6 ,

5

6 ,

7

6 ,

11

6

Racionalizando la

expresión


EJEMPLO

Resuelve en el intervalo [ 0 , 2) : cot 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2. cot 𝑥

Resolución

cot 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2. cot 𝑥

Vamos por una transposición de términos:

cot 𝑥 . 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2. cot 𝑥 = 0

Observa que los dos términos del primer miembro tienen algo en común que podrá ser entonces

sacado de factor común.

cot 𝑥 . (𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2) = 0 { cot 𝑥 = 0

𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2 = 0

Si: cot 𝑥 = 0 𝑥1 =

2 y 𝑥2 =

3

2.

Si: 𝑐𝑜𝑠2𝑥 - 2 = 0 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2 cos 𝑥 = ± √2

EJEMPLO

Resolver en [ 0 , 2): 2 . 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − sen 𝑥 − 1 = 0

Resolución

En esta ecuación tienes un solo tipo de razón trigonométrica en juego. Piensa entonces en realizar

un cambio de variable para resolver la expresión anterior.

Cambio de Variable: z = sen x

De este modo la ecuación se transforma en:

2 . 𝑧2 − 𝑧 − 1 = 0

Resuelvo aplicando Bháskara: 𝑧 = 1 ± √1−4.(2).(−1)

2.(2) =

1 ± √9

4 = {

1+3

4 = 1

1−3

4 = −

1

2

Ahora deberás proceder a deshacerte del cambio de variable efectuado.

RECUERDA:

- 1 ≤ cos 𝑥 ≤ 1

- 1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1


z = 1 sin 𝑥 = 1 𝑥1 =

2

z = - 1

2 sin 𝑥 = −

1

2 {

𝑥2 = 7

6

𝑥3 = 11

6

Solución: {

2 ,

7

6 ,

11

6 }

EJEMPLO

Resuelve en [ 0 , 2 ) : 2. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 3.cos 𝑥 − 3 = 0

Resolución

2. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 3.cos 𝑥 − 3 = 0

Esta ecuación involucra dos tipos de razones trigonométricas que se encuentran vinculadas a través

de la ecuación fundamental de la trigonometría.

𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

Si despejas de la anterior relación:

𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 - 𝑐𝑜𝑠2𝑥

Sustituyendo en la ecuación original:

2. (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥) + 3. cos 𝑥 − 3 = 0

Desarrollando operaciones:

2 - 2.𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3.cos 𝑥 − 3 = 0

Reordeno:

- 2.𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3.cos 𝑥 − 1 = 0

Ahora aplica cambio de variable: z = cos x

- 2.𝑧2 + 3. 𝑧 − 1 = 0

Aplica Bháskara: z = −3 ± √9−4.(−2).(−1)

2.(−2) =

− 3 ±1

− 4 = {

𝑧1 = 1𝑧2 = 1/2

Finalmente debes deshacerte del cambio de variable.

𝑧1 = 1 cos 𝑥 = 1 𝑥1 = 0

𝑧2 = 1

2 cos 𝑥 =

1

2 𝑥2 =

3 y 𝑥3 =

5

3 Solución: { 0 ,

3 ,

5

3 }

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