123435240 2 Probabilidades y Conjuntos

7/30/2019 123435240 2 Probabilidades y Conjuntos

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Algunos tópicos sobre Conjuntos

Denotaremos por al conjunto universo, que es elconjunto que posee todos los elementos de interés.

A un subconjunto de A , x ∊ A, x ∊




Sean A y B dos conjuntos cualesquiera entonces

Unión : A ∪ B = x / x∊A o x∊B

Intersección: A ∩ B = x / x ∊ A y x ∊ B

Complemento: Ac = x∊ Ω / x A

Diferencia: ABc

= A – B = x ∊ Ω/ x∊ A y x B




Conjunto Vacío es el conjunto que no poseeelementos, se denota por

(Notemos que A Ac =)

Conjuntos disjuntos o mutuamente excluyente:

A B =



PROBABILIDAD

En el capítulo anterior se vieron algunos de losmétodos utilizados para describir un conjunto dedatos con el único propósito de describir losresultados de un experimento concreto.

El cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiarciertos experimentos que se denominan aleatorios,cuya característica fundamental es laincertidumbre del resultado, esto significa que es

imposible, predecir los resultados porque hay másde uno posible.



Probabilidad

Estudia los fenómenosaleatorios, los cuales

obedecen ciertas reglasde comportamiento.

Se relaciona con laspropiedades de lafrecuencia relativa.



Es cualquier acción que pueda dar lugar a resultadosidentificables.

Suponemos que es posible repetir el experimento grannúmero de veces bajo la mismas condiciones y que todoslos posibles resultados son conocidos antes de larealización del experimento.

Experimento



Experimento

Aleatorio Determinístico

•Lanzar una moneda alaire.

•Extraer un artículo deun lote que contiene

artículos defectuososy no defectuosos.

• Soltar una piedra enel aire.

• Lanzar una pelota enun tanque para ver si

flota o se hunde.



Se puede definir como aquél experimento que verifica losiguiente:

• se puede repetir bajo las mismas condiciones.

• se conocen todos los posibles resultados antes de la

realización del experimento.

• no se puede predecir el resultado del mismo antes de

realizarlo.

Experimento Aleatorio



– Lanzamiento de un dado .

– Lanzamiento de dos monedas.

– Medición del nº de accidentes que ocurren en una

ciudad durante un día.– Germinación de una semilla después de aplicar un

la fórmula X.

– Contenido de alguna sustancia contaminante enuna muestra tomada en un lago.

Experimento Aleatorio



Definiciones

• Espacio Muestral de un experimento aleatorio es elconjunto de todos los posibles resultados asociados adicho experimento aleatorio.

• Evento o Suceso es un subconjunto del espacio

muestral.– Suceso Seguro.

– Suceso Imposible.

• Suceso Elemental o Puntos Muestrales son los

elementos integrantes del espacio muestral.



Espacio muestral

Evento o Sucesos

Eventoimposible

Eventoseguro

Evento

elemental



Ejemplo: Determine el espacio muestral

1. Lanzar una moneda y observar su cara superior.

,C S

2. Lanzar un dado y observar su cara superior.

1,2,3,4,5,6



Ejemplo: Determine el espacio muestral

3. Contar el número de autos que pasan por unaesquina, hasta que se produzca un accidente.

4. Observar el tiempo de vida de un artefacto

eléctrico.5. Lanzar dos monedas al aire y observar su cara

superior.

6. Lanzar una moneda y un dado y observar su cara

superior.



Técnicas de Conteo

Principio de Multiplicación:

Si una operación puede realizarse de n1 formas ysi para cada una de éstas se puede realizar unasegunda operación en n2 formas y para cada unade las dos primeras se puede realizar unatercera operación en n3 formas y así sucesivamente, entonces la serie de koperaciones se puede realizar de n1*n2*n3*...*nk

formas.



Técnicas de Conteo

Principio de Multiplicación:

Ejemplo: ¿Cuántos puntos muestrales hay en elespacio muestral cuando se lanza una vez un par dedados?

Solución: El primer dado puede caer de n1= 6maneras.

Para cada una de esas 6 maneras el segundo dadopuede caer n2= 6 maneras.

Por lo tanto el par de dados puede caer de:

n1*n2 = 6*6=36 formas distintas.



Definición: Una permutación es un arreglo de todoso parte de un conjunto de objetos.

Definición: El número de permutaciones de nobjetos diferentes está dado por:

nnP n! 1 2 3 ... n

n!: Se lee como “n”factorial



Ejemplo:

Las permutaciones posibles para las letras “a, b y c”

son:

abc - acb - bac - bca - cab - aba

Es decir podemos arreglar los tres elementos de 6

maneras diferentes.nn

33

33

33

P n!

P 3!

P 3 2 1

P 6



El número de permutaciones distintas de “n”elementos tomando “k”a la vez. Está dado por:

)!(

!

kn

nP k

n

Ejemplo:

Un grupo está formado por 5 personas y deseanformar una comisión integrada por un presidente yun secretario.



Ejemplo:

Un grupo está formado por 5 personas y deseanformar una comisión integrada por un presidente yun secretario.

25

25

25

25

!

( )!

5 !(5 2)!

5 !

3 !

5 4 3 !3 !

20

k

n

nP

n k

P

P

P

P



Definición: El número de permutaciones de nobjetos, de los cuales ni son de tipo i, i=1,2,...,k es:

Ejemplo: Un estante tiene capacidad para 10 librosde matemáticas que tiene tapa verde, 8 de física detapa roja y 7 de química de tapa azul. ¿De cuántasmaneras pueden colocarse los libros según los

colores?

!!...!

!...,,1 nnn

nnn

nP k



Ejemplo: Un estante tiene capacidad para 10 librosde matemáticas que tiene tapa verde, 8 de física detapa roja y 7 de química de tapa azul. ¿De cuántasmaneras pueden colocarse los libros según loscolores?

1,...,

1 2

10,8,725

10,8,725

!

! !... !

25!

10! 8 !7!

21.034.470.600

kn n

n

k

nP

n n n

P

P



Definición: Se llama combinación de n objetos,

tomando k a la vez, a la selección de objetoscon independencia de su ordenamiento. Es elnúmero de subconjuntos de k objetos elegidos deentre los n.

)!(!!

rnrn

rnC nr



Ejemplo: Un grupo está formado por 5 personas ydesean formar una comisión integrada por 2personas ¿De cuántas formas distintas puede formaresta comisión?

52

!

!( )!

5 5!

2 2!(5 2)!

5

102

n

r

n nC

r r n r

C



Métodos para asignar probabilidades

personal de frecuencias

relativasclásica

Por estimación



Personal

La probababilidad que se asigne a c/u de los

sucesos es una apreciación subjetiva.

Ventajas Desventajas

Siempre es aplicable Su acierto depende de locorrecta que sea la

información que disponey la capacidad de la

persona para evaluarla.



Frecuencia relativa.

Es aplicable a situaciones en las que el experimento

pueda repetirse varias veces y sus resultadospuedan ser observados.

erimentoelrealizasequevecesdeN

sucesoelocurrequevecesdeNAP

expº

º)(



Frecuencia relativa

Ventajas Desventaja

Es más precisa que laanterior.

Se basa en laobservación real del

experimento.

Puede ocurrir que elexperimento no se llevea cabo siempre en lasmismas condiciones



Ejemplo

Se lanza 100 veces un dado y en 30 de estossale el dos. ¿Cuál es la probabilidad que sagados?

30(2)

100

(2) 0,3

P

P

¿Cuál es la probabilidad que no salga el dos?



Probabilidad clásica

Se basa en que todos los resultados posibles de unexperimento sean equiprobables.

La probababilidad de

un evento elemental Aies:

NAP i

1)(

La probabilidad de un

evento compuesto

N

nAPAP i )()(

n: Nº de elementos del evento A

N: Nº de elementos del espacio muestral



Probabilidad clásica

Ventajas Desventaja

Si es aplicable, la

probabilidad obtenida esexacta.

No exige la realización deexperiencias ni recoger

datos.

Es de fácil uso.

No siempre es

aplicable.



Definición de Probabilidad.

Sea un espacio muestral asociado a un experimento. La

probabilidad P, es una función que asigna a cada evento A,un número P(A), llamado probabilidad del evento A, tal quecumple los siguientes axiomas:



Teorema Sean A y B dos eventos arbitrarios, entonces:

– P ( ) = 0

– P( AC ) = 1 – P( A )

– Si A B, entonces P( A ) P( B )

– Si A B, entonces P(B – A) = P(B) – P(A)

A

A B



• Corolario. Para todo evento A, 0 P( A ) 1

• Teorema. Para dos eventos arbitrarios A y B se tiene que:

P( A B ) = P( A ) + P( B ) - P( A B)

A B

A B



Ejemplo

– En una determinada ciudad, el 60% de los hogares sesuscriben a un periódico de circulación nacional, el 80% aun periódico de circulación local y el 50 % se suscriben aambos periódicos. Si se selecciona al azar un hogar,¿Cuál es la probabilidad de que :

• esté suscrito al menos en uno de los dos periódicos?

• esté suscrito exactamente a uno de los dos periódicos?

• no se suscribe a los periódicos?



Solución

: el conjunto de hogares de una cierta ciudad.A: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de

circulación nacional.B: conjunto de hogares que se suscribe a un periódico de

circulación local.P(A)= 0,6 P(B)=0,8

AB: conjunto de hogares que se suscribe a ambos

periódicos. P(AB)= 0,5

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0,6+ 0,8-0,5=0,9

Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito almenos en uno de estos dos periódicos es de 0,9.El 90% de los hogares está suscrito al menos a uno deestos dos periódicos.



– ¿Cuál es la probabilidad de que esté suscrito exactamente

a uno de los dos periódicos?

P(A)+P(B)-2P(AB)= 0,6 + 0,8 – 2*0,5 = 0,4

Luego la probabilidad de que un hogar esté suscrito aexactamente un periódico es 0,4.

Solución



Solución

– ¿Cuál es la probabilidad de que no esté suscrito a ningúnperiódico?

P([AB]c) o bien

1-P(AB) =1-0,9=0,1

Luego la probabilidad de que un hogar no esté suscritoningún periódico es de 0,1.



Probabilidad Condicional.

– _

AB

(observación: P(A/B) = 0 si P(B) = 0)



– _

– Observar que

P(AB)=P(B)P(A/B)

– Análogamente podemos observar que:

– Así P(AB)=P(A)P(B/A)

( )( / )

( )

P A BP A B

P B

( )( / )

( )

P A BP B A

P A



Ejemplo

– En la ciudad de Concepción, la probabilidad que llueva el

día uno de junio es 0,5 y la probabilidad que llueva el 1 y 2de junio es 0,4.

• Dado que llovió el 1 de junio ¿cuál es la probabilidadque llueva el día 2 de junio?.

– A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio

– P(A)=0,5 P(AB)=0,4

( ) 0,4( / ) 0,8

( ) 0,5

P A BP B A

P A

Luego la probabilidad que llueva el 2 de junio dado que llovió el 1 de junio es de 0,8.



Ejemplo

• ¿Cuál es la probabilidad que no llueva el día 2 de juniodado que el 1 de junio llovió?

– A: llueve el 1 de junio B: llueve el 2 de junio

– P(A)=0,5 P(AB)=0,4 P(B/A)=0,8

– P(Bc/A)=1-P(B/A)=0,2

– Luego la probabilidad que llueva el 2 de junio dado queno llovió el 1 de junio es de 0,2.



Regla de multiplicación

P(AB) = P(B) P(A/B) = P(A) P(B/A)

Una generalización de lo anterior está dada por:

P( ) =P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(Ak/A1A2...Ak-1)k

ii

A1



Ejemplo

• Una caja contiene cinco bolas roja y seis negras; se extrae al

azar sucesivamente y sin reposición dos bolas, ¿cuál es laprobabilidad que las dos resulten rojas?

Intuitivamente tenemos que la probabilidad de sacar una bolaroja la primera vez de la caja es de 5/11, luego la caja quedacon 10 bolas de las cuales cuatro son rojas. Observe que al

sacar nuevamente una bola roja de la caja tenemos que laprobabilidad se modificó, ahora es 4/10.

Así la probabilidad de sacar sucesivamente dos bolas rojas es

(5/11)(4/10)=2/11.



Definamos Ai como el evento de sacar una bola roja en a i-ésima extracción,

así,

A1 : será el evento de sacar una bola roja la primera vez,

A2 : sacar una bola roja la segunda vez, A2 /A1 : será el evento de sacar una bola roja la segunda vez dado que la

primera vez se sacó una bola roja y

A1 A2 : será el evento de sacar sucesivamente dos bolas rojas.

P(A1)=5/11 P(A2 /A1)=4/10

P(A1 A2)= P(A1) P(A2 /A1)=(5/11)*(4/10) =2/11



Ejemplo

• Una caja contiene 5 bolas roja y seis negras; se extrae al azarsucesivamente y con reposición dos bolas, ¿cuál es laprobabilidad que las dos resulten rojas?

En este caso hay reposición, luego la probabilidad no cambia de extracción

en extracción, así P(A1)P(A2)=(5/11)2.



Regla de la Probabilidad Total

– Supongamos que los eventos A1, A2, ... Ak forman unapartición del espacio muestral , entonces para cualquierevento B se tiene que:

P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) +...+ P(B/Ak) P(Ak)



Regla de la Probabilidad Total

P(B) = P(B/A1) P(A1) + P(B/A2) P(A2) +...+ P(B/Ak) P(Ak)

Podemos escribir B como: B=[BA1] [BA2] [BA3] [BA4].

Dado que son conjuntos disjuntos tenemos que:

P(B)=P[BA1] +P[BA2] +[BA3] +[BA4]

y por la regla de la multiplicación:

P(B)= P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) +...+ P(Ak) P(B/Ak)

Ejemplo:



– En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En elproceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%.En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y100 del proceso B. Si se extrae al azar un producto, hallar

la probabilidad que sea defectuoso.

A: sacar un artículo de la línea A. P(A)=200/300.D/A: sacar un artículo defectuoso de la línea A. P(D/A)=0,20B: sacar un artículo de la línea B. P(B)=100/300.

D/B: saca un artículo defectuoso de la línea B. P(D/B)=0,25



– En una línea de producción hay dos procesos, A y B. En elproceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay un 25%.En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y100 del proceso B. Si se extrae al azar un producto, hallar

la probabilidad que sea defectuoso.

P(A)=200/300.P(D/A)=0,20P(B)=100/300.P(D/B)=0,25

D: extracción de defectuoso considerando ambas líneas, esto es si sesaca de A que sea defectuoso o si se saca de B y que sea defectuoso,es decir: P[D A] + P[DB].

P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0,217La probabilidad de extraer un artículo defectuoso es de 0,217.



Teorema de Bayes

– Bajo las mismas condiciones de la regla anterior, se tiene

que:

1

( / ) ( )( / )

( / ) ( )

i ii k

j j

j

P B A P AP A B

P B A P A

( )( / )

( )i

i

P B AP A B

P B



Ejemplo

– En el ejemplo anterior. Si al extraer el producto resultó serdefectuoso, hallar la probabilidad de que sea del procesoA.

D: extracción de defectuoso considerando ambas líneas.P(D)= P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=0,217

P(A/D)=P(D A)/P(D)= P(D/A)P(A)/P(D)=0,615

Luego la probabilidad de ser de la línea A dado que resultó serdefectuoso es de 0,615.

P(A)=200/300.P(D/A)=0,20

P(B)=100/300.P(D/B)=0,25



• Definición: Dos eventos A y B son independientes siP(A/B)=P(A) y P(B/A)=P(B). De manera equivalente se diceque dos eventos A y B son independientes si y sólo si P(AB)= P(A) P(B).

• Teorema:Si A y B en son eventos independientes,

entonces:– A y Bc son eventos independientes.

– Ac y B son eventos independientes.

– Ac y Bc son eventos independientes.



Ejemplo.- En un estudio de cáncer al pulmón seexaminan 10000 personas mayores de 60 años. Se

determina que 4000 de estas personas de este gruposon fumadores. Entre los fumadores 1800 padecende cáncer al pulmón. Entre los no fumadores 500padecen de cáncer al pulmón. ¿Son los eventos“fumadores”y “cáncer al pulmón”independientes?

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