Álgebra Intermedia II.pdf

Sexto Semestre

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

Gua de Actividades del Alumno para el Desarrollo de Competencias

LGEBRA INTERMEDIA II

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

FRANCISCO ARTURO VEGA DE LAMADRIDGobernador del Estado de Baja California

MARA DEL ROSARIO RODRGUEZ RUBIOSecretaria de Educacin y Bienestar Social y Directora General del ISEP del Estado de Baja California

MARCO ANTONIO ESPONDA GAXIOLASubsecretario de Educacin Media Superior, Superior, Formacin Docente y Evaluacin

ARCELIA GALARZA VILLARINODirectora General del CBBC

IVN LPEZ BEZDirector de Planeacin Acadmica del CBBC

LGEBRA INTERMEDIA II

Edicin, febrero de 2014

Diseado por: Arq. Juan Ramn Islas Sambrano Lic. Irma Gonzlez Carrin Mtro. Jos Alejandro Andaln Estrada

Actualizado por: Fs. Norman Edilberto Rivera Pasos

Edicin, febrero de 2015

Actualizado por: Ing. Jess Arturo Gonzlez Hernndez

Con el apoyo en la revisin de la mesa tcnica, integrada por:

Arq. Juan Ramn Islas Sambrano Ing. Violeta Beltrn Sauceda

En la realizacin del presente material, participaron:

JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Teresa Lpez Prez

EDICIN, FEBRERO DE 2015 Gerardo Enrquez Niebla Diana Castillo Cecea

La presente edicin es propiedad delColegio de Bachilleres del Estado de Baja California.Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra.

Este material fue elaborado bajo la coordinacin y supervisin de laDireccin de Planeacin Acadmica del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.Blvd. Anhuac #936, Centro Cvico, Mexicali, B.C., Mxico.www.cobachbc.edu.mx

N D I C E

PRESENTACIN

JUSTIFICACIN

COMPETENCIAS GENRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BSICAS DEL CAMPO DE MATEMTICAS

BLOQUE I. RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO ECUACIONES LINEALES CON UNA INCGNITA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES INCGNITAS .........................................................2

BLOQUE II. RESUELVES PROBLEMAS MEDIANTE INECUACIONES LINEALES ...........................................................................................30

BLOQUE III. RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO LA TRIGONOMETRA ........................................................................40

PRESENTACIN

En el marco de la Reforma Integral de la Educacin Media Superior, Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California (CBBC), se ha propuesto la meta de formar y consolidar el perfil de egreso en el bachiller, poniendo a disposicin del alumno los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollar conocimientos, habilidades, actitudes y valores para poder enfrentar los retos de un mundo globalizado, vertiginoso, competitivo y complejo. Por tanto, es importante que el proceso educativo implemente estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde el estudiante con creatividad, habilidad y destreza sepa desarrollar, movilizar y transferir las competencias adquiridas.

En virtud de lograr lo anterior y consciente de la dificultad para que el alumnado tenga acceso a una bibliografa adecuada, pertinente y eficaz con el entorno socio-econmico actual, el CBBC brinda la oportunidad a los estudiantes de contar con materiales didcticos para el ptimo desarrollo de los programas de estudio de las asignaturas que comprende el Plan de Estudios Vigente. Cabe subrayar que, dichos materiales son producto de la participacin de docentes de la Institucin, en los cuales han manifestado su experiencia, conocimientos y compromiso en pro de la formacin de los jvenes bachilleres.

Los materiales didcticos se dividen en dos modalidades: Gua de Actividades del Alumno para el Desarrollo de Competencias, dirigida a las asignaturas de los Componentes de Formacin Bsica y Propedutica, y Gua de Aprendizaje; para las capacitaciones del Componente de Formacin para el Trabajo. Cabe sealar que, los materiales se encuentran en un proceso permanente de revisin y actualizacin por parte de los diferentes equipos docentes as como del equipo editorial. Las guas se pueden consultar en la pgina Web del CBBC: www. cobachbc.edu.mx en la seccin alumnos / material didctico.

Es necesario, hacer nfasis que la gua no debe ser tomada como la nica herramienta de trabajo y fuente de investigacin, ya que es imprescindible que los estudiantes lleven a cabo un trabajo de consulta en otras fuentes bibliogrficas impresas y electrnicas, material audiovisual, pginas Web, bases de datos, entre otros recursos didcticos que apoyen su formacin y aprendizaje.

JUSTIFICACIN

Cmo abordar las secuencias didcticas en lgebra Intermedia II?

Las Secuencias Didcticas son la interpretacin del Programa de Estudios para la enseanza-aprendizaje en las aulas, de acuerdo a las necesidades y caractersticas formativas del estudiante, as mismo expresan los mtodos, tcnicas, actividades y tareas de aprendizaje y evaluacin que los estudiantes desarrollarn durante el curso para conformar el perfil de egreso.

Por otra parte, partiendo del propsito de formacin que tiene lgebra Intermedia I y II como materia propedutica , que es la de contribuir en la formacin de las competencias en los estudiantes que le permitan continuar estudios superiores, adems de tener la finalidad de propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lgico y crtico entre los estudiantes, mediante procesos de razonamiento y estructuracin de ideas que conlleven el despliegue de distintos conocimientos, habilidades, actitudes y valores como lo establece el Marco Curricular Comn, esta materia es parte fundamental de los procesos de evaluacin externa a las que se somete el estudiante.

Por las temticas y desempeos a lograr en el estudiante, expresados en cada uno de los bloques que integran lgebra Intermedia II, y considerando el periodo de aplicacin de la prueba ENLACE, se vio la pertinencia de elaborar las secuencias didcticas y abordar los bloques, de la siguiente forma:

1) Resuelves problemas empleando ecuaciones lineales con una incgnita, y sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incgnitas.

2) Resuelves problemas mediante inecuaciones lineales.

3) Resuelves problemas empleando la trigonometra.

Lo anterior con el propsito de apoyar el aprendizaje y retroalimentacin de los estudiantes en las temticas relacionadas a la prueba ENLACE, previo a su aplicacin.

COMPETENCIAS GENRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

Las competencias genricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempear, y les permitirn a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en l, contar con herramientas bsicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus mbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares bsicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Se autodetermina y cuida de s:1. Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los

objetivos que persigue2. Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en

distintos gneros3. Elige y practica estilos de vida saludables

Se expresa y se comunica4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados

Piensa crtica y reflexivamente5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos

establecidos6. Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia general, considerando

otros puntos de vista de manera crtica y reflexiva

Aprende de forma autnoma7. Aprende por iniciativa e inters propio a lo largo de la vida

Trabaja en forma colaborativa8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

Participa con responsabilidad en la sociedad9. Participa con una conciencia cvica y tica en la vida de su comunidad, regin, Mxico

y el mundo10.Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias,

valores, ideas y prcticas sociales11.Contribuye al desarrollo sustentable de manera crtica, con acciones responsables

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BSICAS DEL CAMPO DE MATEMTICAS

1. Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

5. Analiza las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenmeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO ECUACIONES LINEALES CON

UNA INCOGNITA, Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS

Y TRES INCOGNITAS

BLOQUE i

RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO ECUACIONES LINEALES CON UNAINCGNITA Y SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS Y TRES INCGNITAS.2

Formacin Propedutica - SEXTO SEMESTRE lgebra Intermedia II6

semestre

Descripcin del bloque:

A lo largo de tu estancia en nivel medio superior, has cursado materias donde las ecuaciones lineales forman parte del programa debido a su importancia en situaciones reales, por ejemplo, los bilogos pueden determinar mediante una ecuacin la edad de un tigre tomando la medida de sus colmillos, pues existe una relacin lineal entre su longitud y la edad. O en un estacionamiento, el cobro crece de manera lineal en relacin al tiempo de servicio.

En esta ocasin, abordaremos las ecuaciones lineales aplicadas a problemas reales o hipotticos as como los mtodos que hay para su solucin. Al finalizar el bloque, debers ser capaz de identificar un problema y plantearlo como una ecuacin o un sistema de ecuaciones, interpretarlo grfica y algebraicamente, as como llegar a una correcta solucin.

Desempeos a demostrar:

Reconoce a una ecuacin lineal como relacin entre dos variables. Aplica los elementos de una recta para solucionar problemas y/o ejercicios de la vida

cotidiana. Representa relaciones entre los elementos de diversas situaciones del mbito escolar y

cotidiano. Emplea sistema de ecuaciones con dos incgnitas para resolver situaciones de la vida

cotidiana. Representa grficamente un sistema de ecuaciones. Emplea sistema de ecuaciones de tres incgnitas para resolver situaciones reales que se le

presenten.

Competencias a desarrollar:

Crea y expresa argumentos matemticos. Sigue y valora cadenas de argumentos matemticos de diferentes tipos. Traduce e interpreta desde el lenguaje natural al simblico y formal, y viceversa. Estructura el campo o situacin que va a modelarse. Interpreta los modelos matemticos en trminos reales. Trabaja con un modelo matemtico. Maneja enunciados y expresiones que contengan smbolos y frmulas. Resuelve diferentes tipos de problemas matemticos mediante una diversidad de vas. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos

o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

BLOQUE

IResuelves problemas empleando ecuaciones lineales con una incgnita, y sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incgnitas.

Formacin Propedutica - SEXTO SEMESTRE

BLOQUE I 3

lgebra Intermedia II6

semestre

Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos y algebraicos, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfoques.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemticas.

Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

Objetos de aprendizaje

Ecuaciones lineales con una incgnita.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Mtodo grfico.

Mtodo de suma resta.

Mtodo de sustitucin.

Mtodo de determinantes.

Sistemas de ecuaciones lineales con tres incgnitas.

Mtodo analtico.

Mtodo de determinantes.



semestre

Evaluacin diagnstica Bloque I

1. Define con tus propias palabras el concepto de pendiente de una recta:

2. Dada la ecuacin lineal 3x-y-5=0 , cules son los valores de y, si x toma los valores de la tabla?

x y

-2

0

7

3. De las siguientes opciones, cul de ellas nos indica correctamente la frmula para calcular la pendiente de una recta si conocemos los puntos (x

1,y

1)y(x

2,y

2)?

A) B) C) D)

4. Es el nombre de la ecuacin de la recta cuando sta tiene la forma

A) B) C) D)

5. Menciona tres de los mtodos que has utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas:

6. Menciona uno de los mtodos que nos sirven para resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres incgnitas:


BLOQUE I 5


semestre

Ecuaciones de primer grado con dos variables

Las ecuaciones que tienen dos variables pueden tener ms de una solucin, ya que puede haber muchos puntos que la satisfagan. Por ejemplo, consideremos la ecuacin: 2x+y=1

Si despejamos y, tendremos lo siguiente:

y = 1 - 2x

En esta ecuacin, podremos asignarle a x cualquier valor y siempre obtendremos un valor para y .

Por esta razn, se le conoce como una ecuacin indeterminada, pues sus soluciones pueden ser infinitas, aunque esto ltimo depende del problema que estemos analizando.

Pendiente de una recta

Toda recta que est inclinada tiene una pendiente y puede ser aplicada en diferentes mbitos, desde la inclinacin de una rampa hasta la depreciacin de un equipo de cmputo. Si observamos el comportamiento de una recta de izquierda a derecha podremos observar dos casos:

Si la recta va creciendo, la pendiente es positiva. Si la recta va decreciendo, entonces la pendiente es negativa.

Recuerda que la pendiente nos ayuda a encontrar la ecuacin de una recta, conociendo al menos un punto de la misma, o en sentido contrario, si conocemos dos o ms puntos de la recta, podemos llegar a la pendiente y, por lo tanto, obtener la ecuacin.

En la siguiente tabla se muestran las formas de la ecuacin de la recta as como la frmula para obtener la pendiente:



semestre

Tarifas telefnicas

La tarifa telefnica es la manera en la que se determina el costo de una llamada, el cual est en funcin del tiempo que dura. Las diferentes compaas tienen distintas tarifas dependiendo de quin ser el receptor de la llamada.

En la ciudad donde vive Alberto operan dos compaas de telefona celular. La compaa Marca Tel tiene las siguientes tres tarifas:

Alberto es cliente de esta compaa y habla frecuentemente con su novia Anglica. El pago que hace a la compaa de telfonos es nicamente por concepto de llamadas a su novia. En ocasiones le habla desde su celular al de ella que tambin tiene un celular de la misma compaa, algunas ocasiones Anglica olvida su celular y Alberto le habla al celular de la mam de Anglica el cual es de la otra compaa y otras veces Alberto habla al telfono fijo de la casa de Anglica.

Actividad 1 Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.

a) Cules son las ecuaciones que representan cada una de las tres tarifas?

b) Durante el mes antepasado Alberto habl desde su celular al celular de Anglica 8.3 horas y 1 hora y 22 minutos al telfono de su casa. Cunto dinero pag Alberto durante ese mes?

c) El siguiente mes hablaron 8 horas y 42 minutos entre sus celulares, 1.2 horas l habl al celular de la mam de Anglica y 1.3 horas habl a casa de ella. Cul fue el cobro?

Tipo de llamada. Tarifa*

Celular-Celular de la misma compaia. $1.80

Celular-Celular de diferentes compaias. $2.90

Celular-Telfono fijo. $3.20

*Cada tarifa est dada por minuto.


BLOQUE I 7


semestre

d) El ltimo pago que tiene que hacer Alberto es de $1404.5, el recuerda que habl al telfono de Anglica 500 minutos, pero tambin habl al telfono de su casa, cuntos minutos habl al telfono de casa?

Temperatura en Manchester

En los pases anglosajones suelen usar la escala Fahrenheit para medir la temperatura. En esta escala el punto de congelacin del agua se alcanza a 32oF, y el de ebullicin a 212oF. En Mxico oficialmente se utiliza la escala Celsius en la que los puntos de congelacin y ebullicin del agua son 0oC y 100oC respectivamente.

Mariana tiene un amigo en Manchester, Inglaterra con el que suele platicar por chat. Ella ha planeado visitarlo en las vacaciones de primavera.

Mientras ella planea la ropa que llevar, se pregunta cmo ser el clima en esa poca de ao. Busca en Internet y encuentra la siguiente grfica que muestra las temperaturas ms altas y bajas que se han registrado.

Actividad 2

Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.

1. Cul es la ecuacin que relaciona los grados centgrados con los fahrenheit?

2. Si Mariana decide viajar en el mes de abril, cul es la temperatura ms baja y ms alta que puede esperar?

3. Cul es la temperatura ms alta y baja del ao en grados centgrados?

4. Cul es la temperatura ms baja del ao en grados centgrados?



semestre

Ev01: Tablas y Ecuaciones Lineales Fecha: ___/________/20___

Nombre: ________________________________________ Grupo: ________

Instrucciones: Expresa cada de las siguientes tablas una como una ecuacin lineal en sus formas punto-pendiente y pendiente-ordenada al origen.


BLOQUE I 9


semestre

Ev02: Ecuaciones Lineales Fecha: ___/_______/20___

Nombre: ________________________________________ Grupo: ________

Instrucciones: Lee, analiza, discute con tus compaeros y resuelve los siguientes problemas. Suponga que las situaciones se describen adecuadamente para funciones lineales.

a) Si una compaa puede fabricar 8 relojes en 10,100 dlares y 22 de ellos en 16,400 dlares, cunto cuesta hacer x relojes?

b) Si el valor depreciado de un equipo de cmputo es de 2,200 pesos al trmino de su vida fiscal de 6 aos y su costo inicial fue de 14,200 pesos, cul es su valor fiscal al cabo de x aos?

c) Si durante el primer ao una compaa vendi 6,720 bicicletas y en el sexto ao vende 8,320, cuntas vende en x aos?

d) Si la longitud de una varilla metlica es de 108.75cm a 25oC y de 109.08cm a 36oC, cul es su longitud a x oC?

e) En un plantel del Colegio de Bachilleres se est llevando a cabo un programa de concientizacin sobre el reciclaje. Para llegar a toda la comunidad se entregarn folletos con informacin acerca del tema.En una cotizacin, producir 120 copias del folleto cuesta 45 centavos por ejemplar, pero producir 600 ejemplares costara 33 centavos, lgicamente, por cuestin de cantidad, el precio por unidad se reduce.

Si suponemos que la situacin anterior se ajusta a un comportamiento lineal con pares ordenados (cantidad de folletos, costo por ejemplar), contesta lo siguiente:



semestre

1. Menciona las herramientas que utilizaras para encontrar una ecuacin que se ajuste a los datos proporcionados.

2. Cul es la ecuacin lineal que representa al problema?

3. Cunto costara el ejemplar si se pretende producir 360 folletos?

4. En el proceso tuviste que encontrar la pendiente. Explica lo que significa que la pendiente haya sido negativa.

5. Qu ecuacin obtendras si en vez de utilizar (120 copias, 45 centavos) usas (600 copias, 33 centavos) o viceversa?

6. Traza la grfica que describe el comportamiento lineal del problema:

Sistemas de ecuaciones simultneas de primer grado con dos incgnitas

Se dice que dos ecuaciones son simultneas cuando comparten una sola solucin en comn. Los sistemas de ecuaciones que no tienen solucin se les llama incompatibles, esto se entiende de mejor manera graficando u obteniendo la pendiente, pues nos daremos cuenta que el motivo es porque se trata de rectas paralelas.

En esta seccin, para encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones utilizaremos los siguientes mtodos: grfico, suma y resta, sustitucin y determinantes.


BLOQUE I 11


semestre

En el supermercado

En el pueblo, donde vive la seora Alma Rentera y doa Josefa, acaban de inaugurar una tienda de autoservicio. Entre algunas de las ofertas de apertura se encuentran los artculos de limpieza. La seora Alma piensa comprar 3 suavizantes para ropa y 2 detergentes al precio de 57 pesos, y a los mismos precios, doa Josefa compra un suavizante y 5 detergentes el costo de 84 pesos. Cunto pag la seora Alma si finalmente llev 4 suavizantes y 3 detergentes para su ropa?

1. Si llamas x al precio del suavizante, y al precio del detergente, cmo expresaras con ecuaciones las compras de las dos seoras?

2. Cul de los mtodos para resolver sistemas de ecuaciones te parece ms sencillo?

3. Resuelve el sistema por el mtodo que elegiste y compara los resultados obtenidos con algunos de los compaeros que utilizaron otro mtodo.

4. Cul es el precio de cada artculo?

Mtodo grfico

Al tener una solucin comn, significa que las grficas deben cruzarse en un mismo punto, por lo que el mtodo consiste en graficar las ecuaciones y hacerlas coincidir. Cabe sealar que para obtener un resultado correcto debemos empezar por hacer los trazos lo ms exacto posible por lo que hojas cuadriculadas o milimtricas seran apropiadas.

Existen varias formas para graficar una ecuacin lineal, consideremos el siguiente sistema:

En este caso, podemos despejar la variable y para hacer una tabulacin. Ten en cuenta que para trazar una recta, dos puntos son suficientes.



semestre

Recuerda que tambin puedes graficar usando la pendiente y la ordenada al origen, as como encontrando las intersecciones con los ejes.

Si al trazar las rectas, stas no se cruzan, basta con extenderlas.

Grficamente podemos ver que las rectas se cruzan en el punto (1, 2), por lo que se deduce que la solucin del sistema es:

Estmulo a la puntualidad

En una promocin de la empresa donde trabaja Marcos, al de mayor puntuacin se le entrega un premio al fin de mes. Se entregan puntos si llegan a tiempo a trabajar o se restan puntos si llegan unos minutos tarde. De tal manera que si un trabajador tiene un retardo y un da llega a tiempo a trabajar obtiene 2 de puntuacin.

En una ocasin Marcos lleg un da tarde y tres das a tiempo obteniendo 12 puntos.

Cuntos puntos se descuentan por faltar en esta empresa?

Actividad 3

1. Si llamas x a los puntos descontados por cada retardo y a los puntos obtenidos por llegar temprano lo llamas y, cmo expresaras cada una de las dos ecuaciones?

2. Expresa cada ecuacin anterior a su forma y = mx +b (pendienteordenada al origen) y grafcalas en un mismo sistema cartesiano.


BLOQUE I 13


semestre

3. Cul es la coordenada del punto de interseccin de las dos rectas?

4. Cuntos puntos se descuentan por llegar tarde al trabajo y cuntos se obtienen por llegar temprano?

5. Cuntos puntos obtendr Marcos si en un mes llega temprano 18 das y tiene 6 retardos?

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios por el mtodo grfico y comntalos en plenaria.

1.- En un concurso de ciencias competirn equipos integrados de la misma manera. Sern 6 integrantes entre hombres y mujeres. En total 5 veces la cantidad de hombres equivale a 12 personas ms que 4 veces la cantidad de mujeres. Cuntos hombres y mujeres son en cada equipo?

2.- 3x + 3 = - y + 12

5x + y = - 4x + 4y - 9

3.- 2x = 16 y

x y = - 1



semestre

Ev03: Solucin de un sistema 2x2 por el mtodo grfico Fecha: ___/______/20___

Nombre: _____________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado la situacin planteada y resulvela graficando cada ecuacin del sistema en un mismo plano cartesiano. De la misma manera resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.

1.- Se tienen dos tipos de monedas, si 6 monedas de un tipo equivalen en valor a una moneda de la otra denominacin ms un peso, y 5 veces el valor de la primera moneda equivale al valor de una moneda del segundo tipo. Cuntas monedas se tienen de cada una?

2.- 3x y = 5

8x 4y = 4

3.- 3x + 2 = 2x y + 4

3x 2y = 1

Mtodos analticos en la resolucin de sistemas de ecuaciones con dos incgnitas

Mtodo de suma y resta

Tambin llamado mtodo de reduccin, consiste en sumar ambas ecuaciones buscando eliminar una de las variables. Para ello, algebraicamente es vlido multiplicar una o ambas ecuaciones:

Observa que al multiplicar de esta forma obtendremos 6x y -6x.

Obtendremos las siguientes ecuaciones:

Con este valor, podemos sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones originales y despejando encontraremos el valor de x.


BLOQUE I 15


semestre

Mtodo de sustitucin

En este mtodo, elegiremos una de las variables y la despejaremos. Por ejemplo, despejemos y de la ecuacin 2:

Ec.1.

Ec.2. Esto lo sustituiremos en la Ec. 1.

Por ltimo, este valor obtenido lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales y obtendremos el valor de la variable y. Puedes sustituirlo tambin en la ecuacin que despejaste.

Todava en el supermercado

En la seccin de frutas y verduras, la seora Alma compra 10 duraznos y 4 chabacanos, como el precio de estas frutas era de tan solo 62 pesos decidi regresar a comprar otros 3 duraznos y 5 chabacanos pagando ahora 30 pesos.

Doa Josefa haba comprado 1 docena de manzanas y algunos pltanos. Anteriormente, la seora Alma haba comprado 3 manzanas y 1 pltano a un precio de 15 pesos.

Como ya haba gastado ms de lo que tena, doa Josefa regres 4 pltanos y compr otras 5 manzanas pagando solamente 8 pesos.

Actividad 4

1.- Para las compras de duraznos y chabacanos, encuentra las ecuaciones que forman el sistema de ecuaciones con la informacin dada.

2.- Determina el costo de cada durazno y chabacano, utilizando el mtodo de reduccin (suma-resta).

3.- Para las compras de manzanas y pltanos, encuentra las ecuaciones que forman el sistema de ecuaciones.

x=3



semestre

4.- Determina el costo de cada manzana y pltano, utilizando el mtodo de sustitucin:

5.- Qu ventajas y desventajas encuentras con estos mtodos analticos en relacin al mtodo grfico?

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios a travs del mtodo analtico y comntalos en plenaria.

1.- Si Patricia le da a Cecilia 1 peso, ambos tienen lo mismo; y si Cecilia le entrega a Patricia 1 peso; Patricia tendr el triple de lo que le queda a Cecilia. Cunto dinero tiene cada una?

2.- 4x + 3 = - 2(- x -3) + 3y 3x = 14 5y

3.- 7

2

112

3

=+

=+

yx

yx

4.- 3x 4y = 1 3y = 12 2x


BLOQUE I 17


semestre

Mtodo de determinantes (regla de Cramer)

Un determinante 2x2 se resuelve de la siguiente forma:

En este mtodo, al igual que el de suma y resta, lo primero que debemos hacer es acomodar nuestras ecuaciones en orden en el caso de que no lo estn. Esto nos servir para armar bien el determinante.

Las variables y trminos independientes quedan en columnas.

Observa cmo se acomodan los coeficientes para obtener los determinantes , x y y.

Este determinante se forma con los coeficientes de cada una de las variables.

Se debe sustituir la columna de las x con los trminos independientes.

Se debe sustituir la columna de las y con los trminos independientes.

Por ltimo, hacemos las siguientes divisiones:



semestre

Conociendo a la familia de Alma Rentera

Alma es esposa de Marcos, sus hijos son Patricia, Arturo, Pepe y Cecilia. Viven con ellos los padres de Marcos.

Sus edades

Entre Marcos y su padre tienen la edad de 92 aos y su diferencia de edad es 20.

Si a la edad de Arturo le sumamos 1, se obtiene el mismo nmero que si a la edad de Pepe le restamos 1 y multiplicamos el nmero obtenido por 2. Si a la edad de Arturo le restamos 1 se obtiene la misma cantidad que si a la edad de Pepe le sumamos 1.

De visita al museo

La familia de Patricia fue el pasado fin de semana al museo. Por la entrada de 4 adultos (sus paps y abuelos) y 4 nios (ella y sus hermanos) pagaron 220 pesos. El da de hoy piensan ir otra vez al museo, pero esta vez la promocin consiste en que los abuelos no pagan entrada y pepito que tiene menos de 6 aos tampoco pagar. De esta manera el costo de la entrada ser de 130 pesos.

Actividad 5

1.- Para determinar la edad de cada integrante forma sistemas de ecuaciones y resulvelos por el mtodo de determinantes.

El primer sistema ser para determinar la edad de Marcos y su padre, el segundo sistema ser para determinar la edad de Arturo y Pepe.

2.- Cul es la edad de cada uno?

3.- Forma un sistema de ecuaciones con la informacin dada sobre los costos de boletos en el museo. Determina el valor de las variables mediante el mtodo de determinantes.

4.- Cul es el precio del boleto en da normal para nios y adultos?

5.- Qu ventajas y desventajas encuentras con este mtodo en relacin al mtodo analtico?


BLOQUE I 19


semestre

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios a travs del mtodo de determinantes y comntalos en plenaria.

1.- Doa Cuca para su tienda de dulces compr paletas de dos tamaos distintos, una que le cost 2 pesos y otras de 6 pesos, pagando un total de 352 pesos. En la caja se indica que son 80 paletas por los dos tamaos. Cuntas paletas son de cada una?

2.- 3x + 2y = - 6 5x - 2y = - 10

3.- 2x = 3 9y 5x + 8 = - 7y



semestre

Ev04: Solucin de un sistema 2x2 por los mtodos analticos y determinantes. Fecha: ___/______/20___

Nombre: ________________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resulvelas utilizando el mtodo indicado.

Suma y resta

1.- Marcos para ir a su trabajo recorre cierta distancia, pero de regreso se viene por otro camino ya que tiene que ir por su esposa Alma que se encuentra estudiando un curso de repostera. De ida recorre 5 kilmetros menos que el doble de la distancia que viaja de regreso. Si en total recorre 55 km, qu distancia se desplaza de ida y cuanto de regreso?

2.- 2x 3y = 12 x + 4y = - 5

Sustitucin

3.- El doble de un nmero menos el triple de otro es 5 y la diferencia de ambos es 1, cules son dichos nmeros?

4.- 6x y = 10 9x - 4y = - 5

Determinantes

5.- 2x 3y = - 7 5x + 4y = 17

6.- 5x + 7y = 6 10x - 3y = 46


BLOQUE I 21


semestre

Ev05. Ejercicio Integrador.Sistema de Ecuaciones 2 x 2 Fecha: ___/_______/20___

Integrantes: 1._____________________________________2._____________________________________3._____________________________________

Grupo: _________

Equipo:_________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resulvelas utilizando el mtodo que consideres ms conveniente sobre sistemas de ecuaciones.

1.- Cules son las dimensiones de un rectngulo que tiene 72 cm de permetro si la base es 3 cm mayor que la mitad de la altura?

2.- La edad de Santiago excede en 13 aos a la edad de Luis, y el doble de la edad de Luis excede en 29 aos a la edad de Santiago. Qu edad tiene cada uno?

3.- A las hermanas Sofa y Mara les gusta intercambiar sus blusas. Si Sofa le presta a Mara dos de ellas ambas tendran lo mismo, y si Mara le presta a Sofa 2 blusas entonces Sofa tendr el triple de lo que le quede a Mara. Cuntas blusas tienen cada una?

4.- Durante 6 das seguidos Jorge trabaj en un supermercado empacando mercanca, la misma cantidad de horas por da. A la siguiente semana disminuy el trabajo y solo pudo trabajar 5 das y menor cantidad de horas por da, acumulando 63 horas en ambas semanas. Si la cantidad de horas trabajadas por da de la segunda semana es equivalente a 21 horas menos que el triple de la cantidad de horas trabajadas por da en la primera semana, cuntas horas diarias trabaj cada da de la primera semana?

5.- Cuntos kilmetros corren Carmina y Antonio, si tres veces el recorrido que realiza Carmina ms 2 veces el recorrido que hace Antonio equivale a 42 kilmetros y el triple del recorrido de Carmina es la misma cantidad que 4 veces el recorrido de Antonio ms 24 kilmetros?



semestre

Cambiando pesos por dlares

Marcos trabaja en una casa de cambio. Durante la primera hora de trabajo puso a la venta 880 dlares en billetes de 5, 10 y 50 dlares. La suma total de billetes vendidos fueron 44 y los billetes de 10 fueron dos veces la cantidad de 50 dlares.

En la siguiente hora Marcos puso a la venta menos cantidad de billetes. De tal manera que 5 veces la cantidad de billetes de 5 dlares ms 10 veces la cantidad de billetes de 10 dlares son 35 billetes ms que 5 veces la cantidad de billetes de 50 dlares. Pero la cantidad de billetes de 5 dlares ms 5 veces la cantidad de billetes de 50 dlares equivale a 40 billetes ms que los billetes de 10 dlares. Adems, los billetes de 5 dlares ms 21, es la misma cantidad de billetes que el doble de la suma de billetes de 10 y 50 dlares.

A cunto equivalen los dlares vendidos en la segunda hora?

Actividad 6

1.- Para determinar la cantidad de billetes de las tres denominaciones se deben formar sistemas de ecuaciones de tres incgnitas.

Asigna una literal para cada una de las cantidades de billetes de diferente denominacin y forma el primer sistema de ecuaciones con la primera informacin proporcionada.

2.- Toma una pareja de ecuaciones con tres variables y aplicando el mtodo de reduccin elimina una de ellas. Cul es la ecuacin resultante?

3.- Toma ahora otro par de ecuaciones de tres variables y utilizando tambin el mtodo de reduccin elimina la misma variable. Cul es la ecuacin resultante?


BLOQUE I 23


semestre

4.- Si renes ambas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones 2x2 que de igual manera se puede resolver por un mtodo analtico. Cules son los valores para ambas variables?

5.- Sustituye los dos valores que obtuviste en cualquiera de las ecuaciones que tienen tres incgnitas. Cuntos billetes son de cada denominacin?

6.- De la misma manera forma un sistema de ecuaciones con la informacin dada sobre la venta de dlares en la segunda hora. Determina el valor de las variables mediante el mtodo analtico desarrollado anteriormente.

7.- Cuntos billetes son de cada denominacin?

8.- En cul de las dos horas obtuvo mayores ganancias en la venta de dlares?



semestre

Actividad 7

Realiza una investigacin bibliogrfica o en pginas electrnicas acerca del mtodo de determinantes, con expansin de columnas.

Realiza el ejercicio de la venta de dlares en la primera hora de trabajo de Marcos, utilizando el mtodo de determinantes.

Crees que este mtodo es ms sencillo que un mtodo analtico como el de reduccin - sustitucin?

Cules son sus ventajas y cules sus desventajas?

Entrega el reporte escrito a tu profesor.

Ejercicios

Resuelve los siguientes ejercicios a travs del mtodo de determinantes y comntalos en plenaria.

1.- En un banquete hay 43 personas entre hombres, mujeres y nios. En total el banquete cost 1,075 pesos. Cada hombre pag 45 pesos, cada mujer 30 pesos y cada nio 10 pesos. Si el nmero de hombres y mujeres es igual al nmero de nios menos 1, cuntos hombres, mujeres y nios hay?

2.-

2

72

2

=+=+

=++

zyx

zyx

zyx


BLOQUE I 25


semestre

Ev06: Solucin de un sistema de ecuaciones de tres incgnitas Fecha: ___/______/20___

Nombre: _______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resulvelas utilizando el mtodo indicado.

Analtico

1.-

2

72

2

=+=+

=++

zyx

zyx

zyx

Determinantes

2.- Calcula las edades de un abuelo, un padre y un hijo. La edad del padre es el triple de la edad del hijo; las edades del padre y del abuelo suman 102; y cinco veces la edad del hijo excede en 10 aos la del abuelo.

3.-



semestre

Ev07. Ejercicio Integrador: Sistema de Ecuaciones 3 x 3

Fecha: ___/_______/20___

Integrantes: 1.______________________________________2.______________________________________3.______________________________________

Grupo: _________

Equipo:_________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resulvelas utilizando el mtodo que consideres ms conveniente sobre sistemas de ecuaciones.

1.- Patricia se fue de compras navideas. Por la envoltura pag 50 pesos por cada regalo para sus abuelos, 10 pesos por la envoltura de los regalos de sus hermanos y 30 pesos por las envolturas de los regalos de sus paps, pagando en envolturas 170 pesos.

Por los moos le cobraron 20 pesos por cada regalo de los abuelos, 20 pesos por cada regalo de los hermanos y 10 pesos por los regalos de los paps, pagando en moos 160 pesos.

Si el nmero de regalos para los hermanos es el triple que el de los paps. Cuntos regalos compr en total y cuntos para cada uno?

2.- Ricardo, Rubn y Ramiro compraron sus tiles escolares en la misma papelera. Ricardo compr tres lpices, dos plumas y cuatro cuadernos, pagando 34 pesos; Rubn compr dos lpices, una pluma y un cuaderno y pag 14 pesos; mientras que Ramiro pag 24 pesos por cuatro lpices, dos plumas y un cuaderno. Cul era el precio de cada uno de los artculos que compraron?

3.- Una caja contiene clavos, tornillos y tuercas. El nmero de clavos es el triple que el de tornillos y la cantidad de tornillos es tres veces el de tuercas. Cuntos clavos, tornillos y tuercas hay en la caja si en total suman 1872 objetos?

4.- Entre Mara, Marcela y Marcelo tienen 140 pesos. Marcelo tiene la mitad de lo que tiene Mara, y Mara 10 pesos ms de lo que tiene Marcela. Cunto tienen cada una?

5.- La suma de tres nmeros es 300. La suma de dos de ellos es igual a la mitad del tercero y su diferencia es igual a la cuarta parte del tercero. Cules son los nmeros?


BLOQUE I 27


semestre

INSTRUMENTOS DE EVALUACIN DE COMPETENCIAS GENRICAS

Autoevaluacin

Instrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos.

Nombre del alumno: Semestre: Corte:

Grupo:Siempre A veces Difcilmente Observaciones

Indicador de desempeo:

Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas acadmicas.

Soy consciente de mis hbitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud fsica, mental y social.

Puedo expresar mis ideas a travs de diversos lenguajes (comn, matemtico, etc.).

Utilizo las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en los trabajos que lo requieren.

Formulo hiptesis y compruebo su validez para la solucin de problemas planteados en diversas asignaturas.

Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las ms relevantes y confiables.

Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas.

Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.

Respeto las opiniones, creencias e ideas de mis compaeros.

Contribuyo con acciones para la solucin de problemas ambientales de mi comunidad.

Reconozco una ecuacin lineal como relacin entre dos variables.

Aplico los elementos de una recta para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Represento relaciones entre los elementos de diversas situaciones del mbito escolar y cotidiano

Empleo sistemas de ecuaciones con dos incgnitas para resolver situaciones de la vida cotidiana.

Represento grficamente un sistema de ecuaciones.

Empleo sistemas de ecuaciones de tres incgnitas para resolver situaciones reales que se le presenten.



Coevaluacin

Instrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos respecto al compaero asignado.

Nombre del compaero: Semestre: Corte:

Grupo:

Tu compaero: Siempre A veces Difcilmente Observaciones

Asume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo.

Lleva a cabo hbitos de consumo que favorecen su salud fsica, mental y social.

Expresa sus ideas a travs de diversos lenguajes (comn, matemtico, etc.).

Utiliza las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en los trabajos que lo requieren.

Propone soluciones a problemas planteados en diversas asignaturas.

Consulta diversas fuentes informativas y utiliza las ms relevantes y confiables.

Realiza trabajos donde aplica saberes de las asignaturas.

Se integra con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.

Respeta las opiniones, creencias e ideas de los compaeros.

Participa en acciones para la solucin de problemas ambientales de su entorno.

Reconoce una ecuacin lineal como relacin entre dos variables.

Aplica los elementos de una recta para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana.

Representa relaciones entre los elementos de diversas situaciones del mbito escolar y cotidiano

Emplea sistemas de ecuaciones con dos incgnitas para resolver situaciones de la vida cotidiana.

Representa grficamente un sistema de ecuaciones.

Emplea sistemas de ecuaciones de tres incgnitas para resolver situaciones reales que se le presenten.

RESUELVES PROBLEMAS MEDIANTE INECUACIONES LINEALES

BLOQUE ii

RESUELVE PROBLEMAS MEDIANTE INECUACIONES LINEALES30


semestre

Objeto de aprendizaje

Solucin de problemas relacionados con inecuaciones lineales.


En este bloque estudiars problemas relacionados con las inecuaciones lineales, pues es importante que tengas en cuenta que a menudo hacemos comparaciones que las involucran, por ejemplo, cuando el promedio de tus calificaciones debe ser mayor o igual a un seis pues de lo contrario no acreditas esa asignatura.

Al terminar el bloque, sers capaz de representar una situacin real o hipottica en lenguaje algebraico y llegar a un conjunto vlido de resultados.


Aplica las desigualdades para comparar dos variables.

Aplica las desigualdades en la toma de decisiones.


Crea y expresa argumentos matemticos. Sigue y valora cadenas de argumentos matemticos de diferentes tipos. Traduce e interpreta desde el lenguaje natural al simblico y formal, y viceversa. Estructura el campo o situacin que va a modelarse. Interpreta los modelos matemticos en trminos reales. Trabaja con un modelo matemtico. Maneja enunciados y expresiones que contengan smbolos y frmulas. Resuelve diferentes tipos de problemas matemticos mediante una diversidad de vas. Argumenta la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos

o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemtico y el uso de las logas de la informacin y la comunicacin.

BLOQUE

iiResuelves problemas mediante

inecuaciones lineales


BLOQUE II 31


semestre

Evaluacin diagnsticaBloque II

1. Cules son los smbolos que se utilizan para representar las siguientes desigualdades?

Mayor que: ____________________

Menor que: ____________________

Mayor o igual que: ______________

Menor o igual que: ______________

2. Representa en una recta numrica el conjunto de nmeros que indiquen una calificacin aprobatoria.

3. Si se quiere agrupar a las ciudades del pas cuyas poblaciones sean de un milln a menos de tres millones de habitantes, cul es la forma a representar la situacin con una desigualdad? Subraya la respuesta correcta.

1,000,000Poblacin1,000,000 1,000,000Poblacin>3,000,000 Poblacin14 , cul es el intervalo de valores para x?

a) x>2 b) x>5 c) x



semestre

Inecuaciones lineales

Una desigualdad es una expresin que indica que una cantidad es menor o mayor que otra. Los smbolos que utilizamos para escribir una desigualdad son:

Smbolo: Se lee:

> Mayor que

< Menor que

Mayor o igual que

Menor o igual que

Debes recordar que los smbolos < y > no incluyen al nmero que se compara, mientras que y si lo incluyen:

Si x6, el conjunto de valores empieza en 6: {6, 6.5, 7, 9, 10, 25,..}.

Si x>6, el conjunto de valores empieza en un nmero ms grande que el 6, pero nunca estar el 6 en dicho conjunto: {6.0000001, 6.001, 6.1, 6.2, 6.5, 7, 9, 10, 25,..}.

Miembros

Se le llama as a las expresiones que se encuentran separadas por el smbolo de desigualdad, normalmente, el primer miembro es el de la izquierda y el segundo el de la derecha. Estos miembros pueden contener uno o ms trminos.

Inecuaciones

Decimos que tenemos una inecuacin cuando se nos presenta una desigualdad que contenga incgnitas en alguno de sus miembros.

El resultado de resolver una inecuacin no ser un valor especfico, sino un conjunto de valores que hagan verdadera a la desigualdad. Por ejemplo:

Los valores que hacen que 2x>10 sea una expresin verdadera son todos aquellos valores donde x>5, es decir, que pertenecen al conjunto {5.0001, 5.01, 5.3, 6, 10..}.


BLOQUE II 33


semestre

Propiedades de las desigualdades

Observa las siguientes propiedades que son tiles al momento de hacer un despeje:

Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el smbolo de la desigualdad no vara.

a+b>c Despejemos a

a+b-b>c-b Restamos b en ambos lados

a>c-b El smbolo permanece igual

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad positiva, el smbolo de la desigualdad no vara.

ab>c Despejemos a

Dividimos ambos miembros entre b

El smbolo permanece igual

Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por una misma cantidad negativa, el smbolo de la desigualdad se invierte.

- ab>c Despejemos a

Dividimos ambos miembros entre b

El smbolo se invierte

Podemos limitar un conjunto de valores utilizando desigualdades. Por ejemplo, sabemos que una calificacin aprobatoria va de 6 a 10, por lo tanto:

Calificacin 6 pero tambin Calificacin 10

Lo anterior lo podemos escribir como:

6 Calificacin10



semestre

Renta un auto

Jos, Claudia y Mnica son tres viajeros que necesitan rentar un auto en el aeropuerto. Las empresas Rentas Auto y Super Rentas compiten por los clientes que desean rentar un auto en el aeropuerto. Cada una de ella tiene su propia tarifa.

Rentas Auto cobra por la renta de autos medianos, $300.00 ms $3.00 por cada kilmetro recorrido, mientras que Super Rentas cobra por renta de autos medianos, $240.00 ms $3.50 por cada kilmetro recorrido.

Actividad 1

Lee, analiza y contesta las siguientes preguntas.

1. Cul es la ecuacin matemtica que representa el cobro de cada empresa?

2. Jos decide rentar un auto a Rentas Auto. Piensa viajar al menos 120Km. Cul es la cantidad mnima de dinero que deber pagar?

3. Si Jos piensa invertir cuando ms $930 en la renta del auto, cul es la cantidad mxima de kilmetros que podr viajar?

4. Claudia renta su auto en Super Rentas y tambin tiene la intencin de pagar mximo $930, quin puede viajar ms por esa cantidad de dinero, Claudia o Jos?

5. Mnica va a viajar entre 90 Km y 180Km. Cul es la cantidad de dinero mnima y mxima que deber pagar si renta su auto en Super Rentas?

6. Al final Mnica viajo menos de lo esperado, 83Km. Si hubiese rentado el auto en la otra empresa, hubiera pagado menos?

7. Claudia viaj mucho ms de lo esperado, 271Km. Cunto ms se excedi de lo que ella haba presupuestado? Hubiera sido mejor rentar el auto en la otra empresa?


BLOQUE II 35


semestre

Ejercicios

Resuelve las siguientes inecuaciones y representa el resultado en intervalo de valores.

a) 4(2x-1)>3+5(x-2)

b) -8x+12



semestre

Ev01: Inecuaciones lineales.Fecha: ___/______/20___

Nombre: _______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios e interpreta sus resultados en forma verbal.


BLOQUE II 37


semestre

Ev02: Aplicaciones de Inecuaciones lineales.Fecha: ___/_______/20___

Nombre: _______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Lee, analiza, discute con tus compaeros y resuelve los siguientes problemas. Supn que cada situacin se describe adecuadamente para funciones lineales.

a) Si F y C son grados en las escalas Fahrenheit y Celsius, respectivamente y se sabe que F = 1.8C +32, qu valores de C corresponden a 68 F 86?

b) Supn que la fuerza F necesaria para deformar cierto resorte una distancia x es F=6.5x. Qu valores de F harn que 1/8 x 7/8?

c) Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vaca y el peso de la carga que lleve no debe ser superior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, cunto puede pesar, como mximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?

d) Un padre y su hijo se llevan 22 aos. Determinar en qu perodo de sus vidas, la edad del padre excede en ms de 6 aos al doble de la edad del hijo.

e) Un automvil se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. Entre qu valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de 3 horas?

f) Una fbrica paga a sus vendedores $10 por artculo vendido ms una cantidad fija de $500.Otra fbrica de la competencia paga $15 por artculo y $300 fijos. Cuntos artculos debe vender un empleado de la competencia para ganar ms dinero que el primero?




AutoevaluacinInstrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos.Nombre del alumno: Semestre: Corte:Grupo:

Siempre A veces Difcilmente ObservacionesIndicador de desempeo:Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas acadmicas.

Soy consciente de mis hbitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud fsica, mental y social.

Puedo expresar mis ideas a travs de diversos lenguajes (comn, matemtico, etc.).

Utilizo las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en los trabajos que lo requieren.

Formulo hiptesis y compruebo su validez para la solucin de problemas planteados en diversas asignaturas.

Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las ms relevantes y confiables.

Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas.

Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.


Contribuyo con acciones para la solucin de problemas ambientales de mi comunidad.

Aplico las desigualdades para comparar dos variables.

Aplico las desigualdades en la toma de decisiones.

CoevaluacinInstrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos respecto al compaero asignado. Nombre del compaero: Semestre: Corte:Grupo:Tu compaero: Siempre A veces Difcilmente ObservacionesAsume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo.


Expresa sus ideas a travs de diversos lenguajes (comn, matemtico, etc.).Utiliza las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en los trabajos que lo requieren.







Aplica las desigualdades para comparar dos variables.

Aplica las desigualdades en la toma de decisiones.

RESUELVES PROBLEMAS EMPLEANDO LA TRIGONOMETRIA

BLOQUE III

RESUELVE PROBLEMAS EMPLEANDO LA TRIGONOMETRA40


semestre

Objetos de aprendizaje

Trigonometra en tringulos rectngulos.

Razones trigonomtricas.

Trigonometra en tringulos oblicungulos.

Ley de Senos.

Ley de Cosenos.


La trigonometra es parte fundamental para el apoyo de otras reas donde es indispensable su uso, tales como Fsica, Geografa, Clculo, etc. Estudiars las razones trigonomtricas seno, coseno y tangente, as como las leyes trigonomtricas, de manera que al terminar el bloque, seas capaz de resolver problemas que involucren tringulos rectngulos y oblicungulos.


Aplica las razones trigonomtricas en problemas reales o hipotticos. Aplica la ley de senos y ley de cosenos en problemas reales o hipotticos.


Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos y algebraicos, para la comprensin y anlisis de situaciones reales o hipotticas.

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemticamente las magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

Formula y resuelve problemas matemticos aplicando diferentes enfoques. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemticas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cmo cada uno

de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

BLOQUE

iiiResuelves problemas empleando

la trigonometra


BLOQUE III 41


semestre

Evaluacin diagnsticaBloque III

1. Escribe con tus propias palabras lo que entiendas por el concepto de trigonometra:

2. Utilizando tu calculadora, evala las siguientes funciones y observa los resultados. Asegrate de que tu equipo est en modo grados y usa cuatro decimales en caso de ser necesario.

sen45

tan90

cos0

3. En la siguiente figura, escribe en la lnea cual es el cateto opuesto, cateto adyacente y la hipotenusa, para el ngulo sealado.

4. Utiliza las palabras de la izquierda para llenar los recuadros solicitados en cada razn trigonomtrica:

Cateto opuesto

Cateto adyacente

Hipotenusa

5. Dado un tringulo ABC, completa la ley de senos en los cuadros en blanco:



semestre

Razones trigonomtricas

TRIGONOMETRA = TRI (Tres) GONO (ngulo) METRA (Medicin)

Lo cual significa la medicin de tringulos.

Las funciones trigonomtricas que utilizaremos en esta parte del bloque son las funciones seno, coseno y tangente aplicadas a tringulos rectngulos.

Los tringulos rectngulos son aquellos que cuentan con un ngulo recto (90), por lo que la suma de los otros dos ngulos siempre ser de 90.

Los lados que forman al ngulo recto se llaman catetos y el lado opuesto a este ngulo se llama hipotenusa. La hipotenusa tiene la caracterstica de ser siempre ms grande que cualquiera de los dos catetos.

Se le llama opuesto, al cateto que est en posicin opuesta al ngulo.

Se le llama adyacente, al cateto que junto con la hipotenusa forma al ngulo.

Por lo tanto, los catetos reciben su nombre dependiendo del ngulo que se est analizando.

Uso de la calculadora

La calculadora es de vital importancia para resolver problemas que involucren funciones trigonomtricas, por eso, es necesario que sepas usarla correctamente.

Asegrate que tu calculadora est en Modo Grados. Dependiendo el modelo te indicar en pantalla la letra D o la leyenda DEG (Degree = Grado en ingls).

En algunas calculadoras se puede ingresar toda la operacin antes de ejecutarla (cada cuadro representa un botn):


BLOQUE III 43


semestre

Pero hay otras donde ejecutamos conforme ingresemos datos:

En ambos casos, los resultados deben ser 1 y 45, respectivamente.

Apyate con el profesor, pues las marcas y modelos son muy variados y pueden presentar teclas con leyendas diferentes.

ngulos bsicos (30, 45 y 60)

Sabemos que unos ngulos son ms utilizados que otros tanto en ejemplos como en la vida real, razn por la que es posible que las sepamos de memoria. Por ejemplo:

Algunos otros de los ngulos ms utilizados son los de 30, 45 y 60. Aunque te los puedes aprender, existen procedimientos relativamente sencillos para obtenerlos sin necesidad de una calculadora cientfica. Veamos.

ngulo de 45

Utilicemos un cuadrado donde cada lado mida 1 unidad. Enseguida tracemos una diagonal y analicemos uno de los tringulos resultantes.

Los ngulos de 90 se dividen en dos partes iguales formando ngulos de 45.

La diagonal es la hipotenusa del tringulo y su longitud es el resultado de hacer

Sustituyendo en las razones trigonomtricas, stas quedan de la siguiente forma:



semestre

ngulos de 30 y 60

Utilicemos un tringulo equiltero donde cada lado mida 2 unidades. Enseguida tracemos una altura y analicemos uno de los tringulos resultantes.

Cada ngulo de un tringulo equiltero mide 60, al dividirlo en dos se forman dos ngulos de 30.

La altura divide en dos partes iguales a la base del tringulo, quedando dos lados que miden 1 unidad cada uno.

La altura forma un cateto cuya longitud se obtiene con

Al revisar las tablas podemos ver que sen30 es lo mismo que cos60. Esto es porque hay una regla para los ngulos complementarios (los que suman 90):

Ejemplo:

Accesibilidad a personas con discapacidad

Las rampas para personas que presentan alguna discapacidad deben estar construidas de forma adecuada para facilitar la subida y bajada de la gente. Una pendiente (m) muy pronunciada implicara mucho riesgo, pero una pendiente muy baja resultara en una rampa muy larga.

Tomado de Normas para la accesibilidad de las personas con discapacidad del Instituto

Mexicano del Seguro Social.


BLOQUE III 45


semestre

Por lo anterior, existen normas que establecen los criterios que se deben considerar al construir un acceso de este tipo, por ejemplo:

Situacin Pendiente

Discapacitado fsico con autosuficiencia limitada Mximo de 6%

Discapacitado fsico autosuficiente Hasta 10%

Usuario de sillas con personal de asistencia Hasta 20%

Sillas de ruedas elctricas Hasta 20%

Los porcentajes en la pendiente indican la relacin que existe entre la altura que se requiere subir y la distancia horizontal que se desee avanzar, por ejemplo:

Para subir un metro, la rampa debe tener una longitud horizontal de 5 metros.

En resumen, la pendiente la podemos expresar como una fraccin, un decimal o un porcentaje si estamos analizando los lados del tringulo que se forma; o podemos calcular el ngulo de inclinacin teniendo la pendiente como dato conocido.

Una vez analizada la informacin anterior, contesta las siguientes preguntas utilizando las herramientas que consideres necesarias en el caso de los problemas presentados.

1. Cul es la funcin trigonomtrica que relaciona los lados marcados en la figura para conocer el ngulo ?

2. Entonces, cul es el ngulo de inclinacin de la rampa mostrada ( )?

3. Si se requiere cumplir con el mximo de 6% en la pendiente, cul es ngulo mximo que puede tener la rampa?

Esto significa que la relacin es de 1 a 5, por lo tanto:



semestre

4. Si en un tramo de 3.5 metros se necesita que las sillas elctricas suban 80 cm, se podr construir una rampa que cumpla con los requerimientos indicados en la tabla? Explica tus razones.

Ejercicios

Resuelve los siguientes problemas, utilizando razones trigonomtricas.

1. Un salvavidas se encuentra en una torre a 20 m del nivel del mar. Descubre a una persona que necesita su ayuda, a un ngulo de depresin de 60. A qu distancia de la base de la torre se encuentra esa persona?

2.- Una palma proyecta una sombra de 18.7 m de largo. Si el ngulo que se forma desde el final de la sombra hasta el punto ms alto de la palma es de 48. Cul es la altura de la palma?

5. El Valle de Mexicali es una de las regiones ms productivas del pas. Esta temporada, entre el Ejido Nuevo Len y el Ejido Veracruz Martimo, el Sr. Preciado y el Sr. Bonilla sembrarn alfalfa en una parcela de 400 x 400 metros. Si saben que deben preparar el terreno dejando una pendiente de 2 cm por cada 100 m lineales para riego, cul es el ngulo de inclinacin al que deben ajustar su equipo para obtener la pendiente indicada?


BLOQUE III 47


semestre

Ev01: Solucin de problemas relacionados con tringulos rectngulos. Fecha: ___/______/20___

Nombre: _____________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resulvelas utilizando una funcin trigonomtrica. De la misma manera resuelve los siguientes ejercicios de tringulos rectngulos.

1.- Una escalera elctrica debe ascender a una altura del piso de 20 pies, con un ngulo de elevacin de 30 respecto al piso. Qu longitud tendr la escalera?

2.- Gok se prepara para un enfrentamiento con uno de sus enemigos. Si en cierto momento del da, la longitud de su sombra es igual a la longitud de su altura. Cul sera el ngulo de elevacin respecto al piso? Explica el resultado.



semestre

3.- Un helicptero se mantiene a una altitud constante de 300 m y pasa directamente por encima de un observador. Despus de un minuto, el observador ve el helicptero con un ngulo de elevacin de 65. Determina la distancia que recorri el helicptero al cabo de un minuto.

4.

5.


BLOQUE III 49


semestre

Ev02. Ejercicio Integrador: Solucin de problemas con tringulos rectngulos.

Fecha: ___/______/20___

Nombre:________________________________________ Grupo: _______

Instrucciones: Resuelve los ejercicios planteados usando razones trigonomtricas.

1.- Calcula la longitud de la variable x

2.- Si un cono tiene una base con dimetro 8.4 cm y altura 8.5 cm, cunto mide el ngulo generador del cono?



semestre

3.- Una escalera de 8.5 m de largo est apoyada en la cornisa de una casa. Si la cornisa est a 7.5 m de altura, cul es el ngulo que forma con la escalera con el suelo?

4.- Un poste de 5m se fija con un tirante de 7m. Cunto mide el ngulo que forman el tirante y el poste?

5.- La altura de un tringulo issceles es 16 cm y uno de los ngulos iguales mide 30. Calcula el rea del tringulo.

6.- Desde un barco se ve un faro hacia el este, y hacia el noreste, en un ngulo de 30, una casa. Si se sabe que la distancia de la casa al faro, yendo hacia el sur, es 2.5 kilmetros, qu distancia hay del barco al faro?

7.- Si una persona se coloca a 240 m de la base de la Torre Eiffel, ve la punta de la estructura a un ngulo de elevacin de 53. Calcula la altura de la Torre Eiffel.


BLOQUE III 51


semestre

Leyes trigonomtricas

Los tringulos oblicungulos son aquellos que no cuentan con un ngulo recto, por lo que para analizarlos no podemos usar las razones trigonomtricas de manera directa. Para esto utilizaremos dos leyes que se pueden aplicar dependiendo los elementos que conozcamos de cualquier tringulo.

c

B

A, B y C son los ngulos, mientras que a, b y c son los lados opuestos.

Para utilizar las leyes en un tringulo es necesario conocer tres de sus elementos

Ley de senos

En todo tringulo, la razn que existe entre cada lado y el seno trigonomtrico de su ngulo opuesto, es proporcional a las dems.

La ley de senos se utiliza cuando se conocen: Dos ngulos y el lado comprendido entre ellos. Un lado cualquiera y dos ngulos cualesquiera.

Ley de cosenos

El cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de dichos lados por el coseno trigonomtrico del ngulo que forman.

La ley de cosenos se utiliza cuando se conocen: Dos lados y el ngulo que stos forman. Tres lados.

En el caso de conocer tres lados, es necesario realizar el despeje de la variable que representa al ngulo:

Por lo tanto:



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Rally escolar

En un rally escolar, la ltima fase para ganar el concurso consiste en que un integrante de los 2 ltimos equipos deber tomar un bandern y regresar a su lugar. Si los integrantes estn separados 8 metros del bandern como se muestra en la figura. A qu distancia de separacin se encontraban los participantes?

Con base en la situacin planteada, contesta las siguientes preguntas:

1.- Para encontrar la distancia entre A y B, puedes utilizar las razones trigonomtricas seno, coseno o tangente? Por qu?

2.- Segn tus conocimientos anteriores de trigonometra, qu ley sugieres para hallar la distancia entre A y B?

3.- Cules son los criterios que debes tomar en cuenta para utilizar la ley de Senos o ley de Cosenos en la resolucin de tringulos oblicungulos?

4.- Calcula la distancia de separacin entre los participantes.


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Ejercicios

Resuelve los siguientes problemas, utilizando las leyes trigonomtricas.



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7. Las manecillas del reloj tienen 4 y 5 cm de largo respectivamente. Si el reloj marca exactamente las 2:00 pm, en ese momento, a qu distancia se encuentran separadas las puntas de las manecillas?

8. Los sistemas para controlar que un satlite no se salga de su posicin deben ser muy exactos. stos satlites se encuentran a 36,000 km de la Tierra (satlites geoestacionarios) y debe estar a la vista en un rango de 80 km (observa la figura). Calcula de la manera ms aproximada, el ngulo de observacin que se debe mantener en tierra para no perder al satlite.


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Ev03: Solucin de problemas relacionados con tringulos oblicungulos.

Fecha: ___/_______/20___

Nombre: _______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resulvelas utilizando la ley de senos o ley de cosenos. De la misma manera resuelve los siguientes ejercicios de tringulos oblicungulos.

1.- Un poste inclinado con respecto a la vertical en un ngulo de 10 tiene una longitud de 6 m. Es sostenido por un tubo de 8.4 m enganchado desde la parte superior. Con que ngulo de elevacin se debe asegurar el tubo en el piso?

2.- La distancia en lnea recta entre Mexicali (A) y Culiacn (B) es de 1,100 km, la de Culiacn a Monterrey (C) es de 700 km y la Monterrey a Mexicali de 1,600 km. Obtener la expresin trigonomtrica que permite calcular el valor de cada ngulo del tringulo de la situacin planteada.



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Ev04. Ejercicio Integrador:Solucin de problemas relacionados con

tringulos oblicungulos.

Fecha: ___/_______/20___

Nombre: ______________________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza con cuidado las situaciones planteadas y resulvelas utilizando la ley de Senos o Ley de Cosenos.

1.- Un satlite en rbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones de observacin en Phoenix y Los ngeles, a 340 millas de distancia. En un instante cuando el satlite est entre esas dos estaciones, simultneamente observa que el ngulo de elevacin es de 60 en Phoenix y de 75 en Los ngeles. A qu distancia AC est el satlite de Los ngeles?

2. Resuelve el tringulo de la siguiente figura.



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3. Encuentra el ngulo B en el tringulo ABC, donde el A = 45 ,

a = 7 2 , y b=7.

4.- Para encontrar la distancia de un lado al otro de un ro, una topgrafa selecciona los puntos A y B que estn separados 200 millas en un lado del ro (vase la figura). Entonces ella escoge un punto de referencia C del lado opuesto del ro y determina que BAC = 75 y ABC = 45. Calcula la distancia de AC.

5. Encuentra la distancia entre los puntos A y B en los lados opuestos de un lago a partir de la informacin que se da.


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6. Se piensa construir un tnel a travs de una montaa. Para estimar la longitud del tnel, un topgrafo toma las medidas que aparecen en la figura siguiente. Utiliza los datos del topgrafo para hacer el clculo de la longitud del tnel.

7. Un observador naval, desde el puente de un barco, ubica a otros dos barcos a 3800 y 4200 pies respectivamente. El ngulo entre las dos lneas visuales es de 30. Encuentra la distancia entre los barcos observados.

8.- Encuentra el ngulo bsico en la siguiente figura.



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Autoevaluacin

Instrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos.Nombre del alumno: Semestre: Corte:

Grupo: Siempre A veces Difcilmente ObservacionesIndicador de desempeo:Asumo comportamientos y decisiones que me ayudan a lograr mis metas acadmicas. Soy consciente de mis hbitos de consumo y conductas de riesgo, favoreciendo mi salud fsica, mental y social. Puedo expresar mis ideas a travs de diversos lenguajes (comn, matemtico, etc.).Utilizo las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en los trabajos que lo requieren.Formulo hiptesis y compruebo su validez para la solucin de

problemas planteados en diversas asignaturas.Consulto diversas fuentes informativas y utilizo las ms relevantes y confiables. Realizo trabajos donde aplico saberes de varias asignaturas. Me integro con facilidad a un equipo para el trabajo colaborativo.


Contribuyo con acciones para la solucin de problemas ambientales de mi comunidad. Aplico las razones trigonomtricas en problemas reales o hipotticos.Aplico la ley de senos y ley de cosenos en problemas reales o hipotticos.

CoevaluacinInstrucciones: Contesta honestamente, marcando con una a los siguientes cuestionamientos respecto al compaero asignado. Nombre del compaero: Semestre: Corte:Grupo:Tu compaero: Siempre A veces Difcilmente ObservacionesAsume comportamientos y decisiones que contribuyen a lograr las metas del grupo.


Expresa sus ideas a travs de diversos lenguajes (comn, matemtico, etc.).Utiliza las Tecnologas de la Informacin y Comunicacin en los trabajos que lo requieren.







Aplica las razones trigonomtricas en problemas reales o hipotticos.

Aplica la ley de senos y ley de cosenos en problemas reales o hipotticos.


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BIBLIOGRAFA

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Polya, G. (1965). Cmo plantear y resolver problemas. Mxico: Editorial Trillas.

Rees, Paul K. Sparks y Sparks Rees (1980). lgebra Contempornea. Mxico: McGraw-Hill.

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Documents

Álgebra Intermedia II.pdf