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5/13/2018 Aplicaciones CI - slidepdf.com

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Universidad de la Salle

Aplicaciones delCalculo integral en

Ingeniería civil

Presentado por:Alfonso Rosales Fonseca

(40101154)

Presentado a:Prof. Nubia Galindo

Bogotá DC5/ Noviembre/2010



Introducción

A lo largo del desarrollo de la historia se ha vendido expandiendo el uso de lasmatemáticas en los diversos campos de la ciencia. Hoy en día, esta matemática,hace parte esencial de todos los campos a los que se dedica el hombre. Incluso

en carreras que se creen están alejadas de esta, como el arte o la cocina, seevidencia que esta es infaltable al momento de planear algo como una receta odibujar un rostro humano, el cual según una de las mas antiguas creacionesmatemáticas, conocida como el número áureo, expresa la proporción de un todo, yse aplica o toda obra humana incluyéndonos a nosotros mismos.

Toda carrera que se estudie en cualquier Universidad del mundo, y en generaltoda obra hecha por el hombre, siempre requirió y requerirá del uso de lasmatemáticas. Para el caso de las ingenierías, si se hiciera un análisis mascompleto desde cualquier punto de vista, se llegaría a la conclusión de que todaaquella carrera que reciba este título, estará relacionada con la matemática o

alguna de sus ramas que son tan extensas, puesto que incluso la misma palabra“ingeniería”, deriva de la palabra anglosajona “engine”, que a su vez, deriva de eltermino latino ingenium, que se define como aquel que crea maquinas a partir desu propia imaginación y creatividad, maquinas que, solucionarían problemasdiversos en distintos campos de acción. El hecho de que la ingeniería, tengatantas derivaciones que se aplican a tan diversos campos, es precisamente,porque la ingeniería tiene como objetivo la creación de artefactos que, como semenciono anteriormente, proporcionen una solución concreta, duradera, sostenibley efectiva a los problemas de la humanidad. En otros términos, la ingeniería, estan inherente y por tanto dependiente de la matemática, que más bien, se podríadefinir como la aplicación de esta en el mundo real, usada para la satisfacción del

hombre.Conociendo ya esta explicación mas puntual de lo que significa la matemáticapara la ingeniería, es de suponer que al tener la ingeniería tantas ramas, cada unaencargándose de una parte especifica de la sociedad, todas ellas, estarándirectamente relacionadas con la matemática, por lo que de allí se concluye y seevidencia todo el impacto que la matemática, a su vez una ciencia casi convertidaen arte inherente al hombre, puesto que este la ha practicado desde los inicios desu era en la Tierra, se aplica a toda la obra y memoria de este, y es aquella queasegurara un legado para nuestras futuras generaciones, quienes aprenderáncomo convertir y adaptarla a diferentes situaciones, para solucionar así susproblemas de la vida diaria, tal y como nosotros la hemos utilizado desde tiemposinmemorables y la seguiremos utilizando porque esta es la base del ingeniohumano y por ende, de toda la sociedad y el patrimonio que nos constituye.



2. Objetivos

• Justificar el estudio del cálculo y en particular el cálculo integral en laingeniería civil.

• Dar explicación a las incógnitas que llevaron a grandes matemáticos e

ingenieros a plantear el uso del cálculo en sus estudios.

3. Marco teórico

El desarrollo del hombre, la creación de sus civilizaciones y en particular ladefensa de sus territorios, lo ha llevado a crear estrategias que le permitandefenderse y a su vez poder atacar. Esta, fue primordialmente la forma en comosurgió la ingeniería civil, tratando de crear maquinas destructivas con ayuda de laciencia que a partir de estas, fue avanzando, para luego pasar a otros camposdiferentes a la guerra. Al aumentar la población humana, las guerras por el poder,

fueron cada vez mas intensas y llevaron al hombre a crear por competencia,dándose en algunos pueblos el surgimiento de grandes pensadores quienesdescubrieron los “secretos de la naturaleza” y los aplicaron a sus maquinasgeneralmente enfocadas en la guerra. Con el surgimiento de la democracia y eldesarrollo hacia nuevas eras de la humanidad, dichos secretos de la naturaleza,continuaron siendo estudiados y aplicados a maquinas ingeniadas por el hombre,ya no en guerras solamente, sino en otros campos, como la creación de grandesciudades a partir de la planeacion de estructuras que la compusieran, entre otrascosas. Fue de allí, de donde empezó a surgir la ingeniería civil, que a la par con lamatemática, ha venido solucionando problemas que se la puedan presentar alhombre tanto a pequeña como a gran escala. La construcción de caminos,

puentes, presas, y todo tipo de obras, se ha dado gracias a los descubrimientos devarios pensadores a lo largo de la historia. En este trabajo, se tratara uno de lostemas mas importantes en la ingeniería civil, el cual, será analizado desde dospuntos de vista, el primero es la ingeniería y el segundo, el calculo aplicado a ella.

El área de un terreno determinado, constituye constantemente un problema en lavida del ingeniero, puesto que no todos los terrenos, son fácilmente calculables, espor esto que la ingeniería, basa su estudio en el calculo integral, ya que este, esmuy útil al momento de calcular dichas áreas. Un famoso matemático británico delsiglo XVIII, precisamente, hizo uso del cálculo para poder hallar el área dedeterminado terreno por medio de integrales. Dicho matemático, llamado Thomas

Simpson, propuso la famosa ley que lleva su nombre, y que será explicada acontinuación.



3.1. Ley de Simpson para el cálculo de áreas:

La regla o método de Simpson, es un método de integración numérica que seutiliza para obtener la aproximación de la integral:

.

La formula anterior, es aplicable a cualquiera de las dos formas que puedepresentar el método Simpson, las cuales son de 1/3 y de3/8, que pueden ser calculadas, ya sea para un áreatotal determinada, o dividiendo esta en varias secciones:

Imagen: Aproximación del área por Método Simpson.

3.1.1. Regla Simpson de 1/3:

La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundoorden en la ecuación:

Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P2(x), que aproxima a lafunción integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresiónde ese polinomio interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es:

O tambien expresada de la siguiente forma como una derivada:

http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral

http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Lagrange


http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_num%C3%A9rica

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral





Así, la integral buscada se puede aproximar como:

3.1.2. Ley de Simpson de 1/3 con segmentos múltiples:

Así como la regla trapezoidal, otra forma de calcular el área por medio deintegrales, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración ensegmentos de igual anchura.h=(b-a)/n

La integral total se representa como:

Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales seobtiene:

Reordenando los términos, se tiene:

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/simpson/zim13mul.m



3.1.3. Ley de Simpson de 3/8:

De manera similar a la derivación, previamente mencionada como otra forma decalcular áreas por medio de integrales de la regla trapezoidal y a la regla deSimpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro

puntos e integrar:

Para obtener:

En donde h=(b-a)/3. A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque hes un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes.

3.1.4. Ley de Simpson de 3/8, con segmentos múltiples:

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya quealcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntosnecesarios para la versión de 3/8.

No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiplescuando el número de segmentos es impar.

Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la reglade Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a losúltimos tres.

De esta manera, se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a travésdel intervalo completo

3.2. Error:

El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es

Donde h = (b − a) / 2 y .

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/simpson/zim38.m



3.2.1. Error en regla de Simpson compuesta:

En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error alcalcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmulacompuesta de Simpson. Dividiremos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales,

de manera que xi = a + ih, donde h = (b − a) / n para i = 0,1,...,n.Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo, tenemos:

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

El máximo error viene dado por la expresión

3.2.2. Versión simplificada:

Donde E son los extremos, I son la función evaluada en los intervalos impares y Pla función evaluada en los intervalos pares. Con n mayor que 2 y par. )



4. Ejemplo de la aplicación de la Regla de Simpson en el cálculo de un áreadada:

El siguiente ejercicio, fue hecho de una forma hipotética y se basa en cálculosreales de uno previamente hecho en el cual, se usa la formula de la Regla de

Simpson para calcular el área de un terreno el cual es atravesado por un río.Dentro del terreno, se llevaran a cabo obras de tipo civil, por lo que es importantedelimitar el área para evitar tanto problemas legales, así como contacto directocon el río, para evitar contaminarlo.

Área a calcular delimitada por un río con curvas de

Función desconocida.

Para el calculo del área del terreno antes visto en la imagen, se procede a hacer un método utilizado en topografía aplicada a la Ingeniería civil para el calculo deáreas, conocido como triangulación, que consiste en dividir el terreno entriángulos, sin contar la áreas curvas. Teniendo en cuenta esto, eliminando losdetalles, y tomando las correspondientes medidas del terreno, podemos calcular elárea de la siguiente forma:



En la figura anterior, se pueden apreciar las distancias medidas. Con respecto aestas distancias, es posible hallar las áreas 1 y 2. El área 3 se hallaráposteriormente usando la regla de Simpson:

Los cálculos de las áreas 1 y 2, se hacen a partir del semiperimetro de estas, deacuerdo con la fórmula de Herón:

Cálculos Área 1:

Perímetro 1= 48,18 m

Semiperimetro 1= 48,18 m/2= 24,09 m

A1= √ (24,09 m (24,09 m- 20 m) (24,09 m- 7 m) (24,09 m- 21,18 m))A1= 69,99 m ≈ 70 m

Cálculos Área 2:

Perímetro2 = 50,68 mSemiperímetro 2= 50,68 m/2 = 25,34 m

A2= √ (25,34 m (25,34 m- 21,18 m) (25,34 m- 8 m) (25,34- 21,5 m))

A2= 83,77 m

Para el cálculo del área entre el polígono hallado anteriormente y el área bajo elrió, utilizo la regla de Simpson. El método que se va a usar para este caso es el de1/3 con segmentos múltiples. Para esto, necesitamos dividir el terreno en partesiguales, de forma que podamos organizar el área en forma de trapecios, como semuestra en la figura:

20 m20 m

7m

7m 21,18

m21,18

m

8m

8m

2 1 ,5 m 2 1 ,5 m

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n



Área bajo las curvas del río, separada por trapecios de igual base

Para los trapecios marcados, las correspondientes alturas, son las siguientes:

Y1= 3,00 mY2= 3,10 mY3= 3,05 mY4= 2,75 mY5= 2,50 m

Y6= 1,75 mY7= 1,70 mY8= 2,00 mY9= 1,00 m

Para el cálculo de esta área, no es necesario utilizar integrales, puesto que comoya se vio anteriormente, las integrales vistas pueden expresarse en términos deuna ecuación general. Para el caso de la regla Simpson de 1/3 con múltiplessegmentos, la ecuación, es la que sigue:

Que como vimos, de una forma simplificada, es:

De donde tenemos que:I, corresponde a la sumatoria de alturas ubicadas en posiciones paresP, corresponde a la sumatoria de las alturas ubicadas en posiciones imparesE, corresponde a la suma de la primera y la ultima altura yh, es igual a la anchura de cada una de las bases de los trapecios, que en debeser igual para todos.

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/simpson/zim13mul.m



Conociendo estos datos, procedemos a hacer el cálculo del área:

h= 2,5Área = 2,5/3 (3,00+1,00+2 (3,05+2,50+1,70)+4 (3,10+2,75+1,75+2,00)Área = 47,41666667 m2

4,2. Otro ejemplo del uso de la regla Simpson para el cálculo del área

En el ejemplo anterior, al no conocer una función que delimitara el área, seprocedió primero a hacer una integración de la formula general de Simpson, paraasí poder calcular el área directamente. En este caso, el área, esta delimitada por una curva definida por una formula:

Supóngase que se quiere construir un mirador a las afueras de la ciudad deBogotá. El mirador debe ser amplio y tener una forma clásica, es decir, presentar una forma de herradura, para lo cual, el ingeniero planea delimitar el área por

medio de la formula f(x) = -(x-3)

2

+3. El ingeniero, debe hallar el área de esta obra,para poder saber cuanto material necesita para cubrir el piso del mirador con unaloza especial que le dará mas resistencia a dicho mirador. Para saber tal área conuna precisión exacta, el ingeniero, recurre al uso de la Regla de Simpson y dividela anchura en tres intervalos iguales de 2 m c/u:

Der: Área del mirador bajo la formula f(x)= -(x-3)2 +3; Izq: Área separada por los intervalos iguales

Siendo así la integral a calcular:

∫02 [-(x-3)2+3]dx + ∫2

4 [-(x-3)2+3]dx + ∫46 [-(x-3)2+3]dx

-∫02(x-3)2 +∫0

23dx + [-∫24(x-3)2dx] +∫2

43dx + [-∫46(x-3)2dx]+ ∫4

63dxu= x-3 du=dx

-[∫02u2du] + 3x |0

2 +[-∫24u2du] + 3x |2

4 +[-∫46u2du] + 3x |4

6

(-u3/3 +3x) |02 - (-u3/3 +3x) |2

4 + (-u3/3 +3x) |46

(-(x-3)3/3 +3x) |02 + (-(x-3)3/3 +3x) |2

4 + (-(x-3)3/3 +3x) |46



19/3 + (35/3-19/3)+ (27/3-35/3)19/3 + 16/3 – 8/327/3 = 9Area Total= 9 m2

Por lo anterior, entonces, se puede concluir, que el ingeniero, necesitara 9 m2

dematerial, para cubrir el área del mirador.

5. Conclusiones

• El calculo integral, es una de la herramientas mas útiles en la ingenieríacivil, dado que mucho de ella, se basa de hecho en este, el cual, tienevariadas aplicaciones, entre ellas, la mostrada en este trabajo, que es elárea bajo una curva.

• Desde la matemática, también se puede dar explicación al mundo, ya quetodo en este, se puede medir y explicar racionalmente.

•

Todas las ciencias del ser humano, son inherentes a la matemática, dado ala naturaleza propia del raciocinio del ser humano.

6. Bibliografía

Páginas Web consultadas:

• http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson• http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/simpson/index.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/simpson/index.html


http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Simpson


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