APUNTES DE TEORIA DE CONSUMO

Gonzalo Hernandez Jimenez

Dana Marcela Chahın Herrera

29 de octubre de 2008

1. Introduccion

La economıa es una ciencia social que estudia como los individuos y lassociedades eligen utilizar recursos escasos para producir bienes y serviciosque satisfacen sus necesidades.

En especial, lo concerniente a la satisfaccion de necesidades sera el puntode partida de estos apuntes sobre las teorıas del Consumo. Vamos a suponerque buena parte de las necesidades de los individuos y las sociedades sonsatisfechas gracias al consumo de bienes y servicios.

“El consumo es el unico proposito final de toda produccion: y el interes

del productor deberıa ser atendido solamente en tanto pueda ser necesario

para promover el del consumidor” (Smith, 1776).

Precisamente para hacer mas clara la importancia del consumo comovariable economica y comprender sus determinantes, la primera parte delactual curso de Macroeconomıa Avanzada I del Departamento de Economıade la Pontificia Universidad Javeriana se concentra en este tema de estudio.Ademas de la motivacion derivada de la propia definicion de Economıa, elConsumo, como variable macroeconomica, es interesante por dos razonesmas:

1. El Consumo representa entre el 50 y el 70 por ciento del ProductoInterno Bruto de los paıses. En Colombia, por ejemplo, la participaciondel Consumo en el PIB oscila alrededor de 65 por ciento.

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Figura 1: El consumo como porcentaje del PIB

Las figuras 1 y 2 nos muestran datos para Colombia y para otros gruposde paıses.

2. Comprender los determinantes del Consumo significa comprender tam-bien los determinantes del Ahorro, variable clave en la determinaciondel nivel de producto o la tasa de crecimiento del producto de largoplazo de acuerdo con varios modelos de crecimiento economico. Sueledecirse que Consumo y Ahorro son dos caras de la misma moneda1.

Debido a su participacion en el PIB como componente de la DemandaAgregada y a su estrecha relacion con el Ahorro, el Consumo es parte fun-damental de los analisis economicos tanto de corto como de largo plazo.

1“Hasta lo que se, todo el mundo esta de acuerdo en entender el ahorro como el exceso

de ingreso sobre lo que es gastado en consumo´´(Keynes, 1936, capıtulo 7, traduccionlibre).

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Figura 2: El consumo como porcentaje del PIB y el crecimiento del consumoy del PIB real en Colombia

En concordancia con el curso de Macroeconomıa Avanzada I, en estosapuntes se discutiran fundamentalmente 4 aproximaciones para explicar elcomportamiento del Consumo como variable macroeconomica: la funcion key-nesiana de consumo y tres modelos basados en eleccion intertemporal: elmodelo de Fisher, la hipotesis de renta permanente y la hipotesis de ciclo devida.

2. Funcion Keynesiana de Consumo

Para Keynes (1936), el objetivo final era comprender que determina elvolumen de empleo de una economıa. Keynes construyo toda una teorıa al-ternativa a la teorıa clasica en la que el Consumo, como elemento de lafuncion de demanda agregada cobraba un protagonismo especial.

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En la Teorıa General, la siguiente ecuacion representa el comportamientodel Consumo:

Cw = χ(Yw) (2.1)

donde C es el consumo y Y es el ingreso neto2.

Partiendo de esta ecuacion llegamos a especificaciones mas modernas co-mo:

C = C(Y − T ) (2.2)

donde (Y − T ) es el ingreso disponible.

Esta ecuacion en su version lineal serıa:

C = α + β(Y − T ) α > 0, 0 < β < 1 (2.3)

donde α y β son coeficientes que representan el consumo autonomo y lapropension marginal a consumir respectivamente.

Esta ecuacion recoge los determinantes del consumo que Keynes senalabay la forma que debıa tener la funcion de consumo. La forma funcional debetener en cuenta los siguientes aspectos:

1. El consumo depende principalmente del ingreso agregado.

2. De acuerdo con una “ley sicologica” que el observaba, los hombres estandispuestos, como por una regla en promedio, a incrementar su consumocuando el ingreso se incrementa, pero no tanto como se incremento suingreso ( dCw

dYwes positiva pero menor a 1). Para Keynes, las necesidades

subjetivas asociadas al consumo incluyen caracterısticas sicologicas dela naturaleza humana, practicas sociales e instituciones que improba-blemente cambian en periodos cortos de tiempo, a menos que aparezcancircunstancias anormales o revolucionarias. Esto explica, por ejemplo,por que en la funcion keynesiana de consumo la propension marginal aconsumir es un parametro y no una variable.

2Ambas variables para Keynes estaban medidas en termino de unidades salariales y elingreso neto consistıa en el ingreso que el consumidor tenıa en mente en el momento dedecidir sobre su nivel de consumo.

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3. Como regla, un nivel mas alto de ingreso tendera a ampliar la brechaentre ingreso y consumo. Es decir, cuando el ingreso se incrementa,las personas destinan una proporcion mas alta de su ingreso hacia elahorro.

Para hacer evidente esta ultima conjetura, dividamos ambos lados de laecuacion (2.3) por (Y − T )

C

Y − T=

α

Y − T+ β (2.4)

De esta manera tenemos al lado izquierdo la proporcion del ingreso disponibledestinado al consumo.

Si le restamos 1 a esta proporcion, tenemos la proporcion del ingresodisponible destinado al ahorro, que claramente es creciente a medida que elingreso disponible aumenta. Esta participacion tambien es conocida como lapropension media a ahorrar.

1 −C

Y − T= 1 −

α

Y − T− β (2.5)

Se propone desarrollar el ejercicio 1 de la seccion 9.

Empıricamente, la funcion keynesiana de consumo suele predecir bastan-te bien el comportamiento del consumo en series de tiempo para periodoscortos y en estudios de datos a nivel de hogares, sin embargo, falla en suspredicciones en series de tiempo para periodos largos. Esto se evidencio conalgunos trabajos en los que se utilizaron los datos estadısticos para EstadosUnidos recopilados en Kuznets (1946).

La figura 3 muestra la formacion de capital neto como porcentaje delingreso nacional en Estados Unidos desde 1869 hasta 1928. Esta variable queesta muy correlacionada con la tasa de ahorro y permanece constante a lolargo del tiempo sugiere que la tercera conjetura keynesiana no se cumple.

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Figura 3: Formacion de capital neto como porcentaje del ingreso nacional enEstados Unidos

2.1. Funcion keynesiana de consumo: caso colombiano

Miremos las implicaciones de la funcion keynesiana en el caso colombiano.

La figura 4 muestra la relacion entre consumo e ingreso disponible para elperiodo 1950-2005 y la figura 5 la propension media al ahorro para el mismoperiodo.

Como podemos ver, las dos primeras conjeturas parecen ajustarse a losdatos, sin embargo, la propension media al ahorro es relativamente cons-tante en el tiempo (con excepcion del periodo post apertura economica queha estado acompanado de una marcada disminucion de la tasa de ahorroprivada).

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Figura 4: Consumo e ingreso disponible en Colombia

3. Algunos comentarios sobre la funcion key-

nesiana

Ademas de los problemas empıricos al predecir la propension media alahorro, suele atribuirse como un problema teorico de la funcion keynesianael que no se tenga en la cuenta que las decisiones de consumo y por lo tantode ahorro pueden ser resultado de un problema intertemporal, en el quelas personas deciden de acuerdo con expectativas sobre ingresos futuros ydeciden el su consumo a lo largo del tiempo.

Aunque sera muy interesante ver como los economistas pueden analizar atraves de modelos estos temas, vale la pena aclarar que Keynes no evadio ensu Teorıa General la intertemporalidad del consumo por ingenuidad o desco-nocimiento. Para Keynes, los cambios en la tasa de descuento y los preciosrelativos entre bienes presentes y futuros eran parte de algunos factores obje-

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Figura 5: Tasa de ahorro en Colombia

tivos que influıan en la propension a consumir3, sin embargo, estos elementosintertemporales eran para Keynes irrelevantes en periodos cortos de tiempo4.

Otro factor objetivo que para Keynes explicaba la propension a consumireran las expectativas sobre ingresos presentes y futuros. Keynes tambiendejo de lado este factor argumentando que aunque puede afectar la propen-sion a consumir de algun individuo en particular, es poco probable que lo

3Keynes tambien hace referencia a factores subjetivos que motivan a las personas a con-sumir, como la busqueda de independencia, la avaricia o el placer derivado de incrementarel gasto de consumo, entre muchos otros. Este tema es analizado en la actualidad por eco-nomistas y sicologos que trabajan conjuntamente en la explicacion de los determinantesdel consumo de las personas.

4“No hay mucha gente que alterara su forma de vida debido a que la tasa de interes ha

caıdo de 5 a 4 por ciento, si el ingreso agregado es el mismo que el de antes del cambio”(Keynes, 1936, capıtulo 8).

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haga con la comunidad como un todo. Ademas, planteaba que era un temacon demasiada incertidumbre para ejercer demasiada influencia.

Keynes alcanzo, tal como lo pretendıa, una funcion de consumo“fairly stable” en la que se tuvieran en la cuenta los elementosque para el eran los mas relevantes, dejando de lado aquellos, quesiendo conocidos, introducıan demasiado ruido en circunstanciasordinarias.

Las siguientes tres teorıas, basadas en lo conocido como fundamentales,partiran del concepto de que las personas consumen porque de este consumoderivan utilidad. Weil (2005) se pregunta en sus notas sobre consumo ¿porque las personas consumen? y responde: porque las hace felices.

4. Consumo y Felicidad

En la actualidad, se calcula para 95 paıses un indicador subjetivo de fe-licidad. Al responder la pregunta ¿que tanto disfruta su vida? las personasreportan su nivel de felicidad en una escala de 1 a 10, donde 10 representael valor mas alto nivel de satisfaccion. De acuerdo con Veenhoven (2006),los factores que parecen explicar las diferencias entre los ındices de felicidadde los paıses son la disponibilidad de bienes y servicios, la igualdad social,la libertad polıtica, el acceso al conocimiento y algunas caracterısticas so-cioeconomicas como la prosperidad, el crecimiento economico, la seguridadeconomica y la igualdad del ingreso.

Aunque usualmente se muestra la correlacion entre ingreso y felicidad,la figura 6 muestra la correlacion entre consumo per-capita y felicidad paradiferentes paıses5 en el periodo 1995-2005. Al igual que lo descrito por unafuncion de utilidad convencional, los datos parecen describir concavidad. Amayor consumo, mayor felicidad, pero a medida que aumenta el consumo,cambios en el consumo provocan cambios cada vez menores en la felicidad.

Colombia reporta uno de los niveles mas altos de felicidad a nivel mundialcon un ındice de 8.1. Nos sentimos tan felices como los suizos que tienen un

5La grafica solo contiene datos para 83 paıses, ya que los datos de consumo per-capitano estaban disponibles para los 12 paıses restantes. Los paıses que se excluyeron son:Angola, Bosnia, Cyprus, Irak, Ivory Coast, Malta, Montenegro, Nigeria, Singapur, Taiwan,Uzbekistan, South Korea

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nivel de consumo per capita 15 veces mas alto y mas felices que los peruanoso los rumanos que tienen un nivel de consumo promedio parecido al nuestro.Tal vez lo que ocurre es que somos optimistas o felices por naturaleza. Sinembargo, sı hay una tendencia: entre mas ingreso o consumo, mas felices enpromedio.

Figura 6: Consumo y felicidad

Para modelar el supuesto de que el consumo hace felices a las personas,revisemos la funcion de utilidad.

5. Funcion de Utilidad

Para poder representar la idea de que el consumo hace felices a las perso-nas, describamos una funcion de utilidad que asigna valores a las diferentescestas de consumo, dependiendo del placer que estas le generan a un agente

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representativo. Es importante resaltar que esta funcion de utilidad es ordi-nal y no cardinal, es decir, no nos interesa el valor que toma la funcion deutilidad, sino el valor relativo cuando la comparamos con otras cestas deconsumo.

De esta manera, trabajaremos con una funcion de utilidad, tal queU = U(C), cuya representacion grafica serıa la que se aprecia en la figura 7.

Figura 7: Funcion de utilidad

Esta funcion de utilidad debe cumplir con algunas caracterısticas im-portantes para nuestro analisis: utilidad marginal positiva pero decreciente,aditividad y aversion al riesgo.

5.1. Utilidad marginal decreciente

Como podemos apreciar en la figura 7, cuando el individuo aumenta sucantidad de consumo, su utilidad aumenta. Este aumento en la utilidad cau-sado por una unidad adicional de consumo es lo que llamamos utilidad mar-ginal. Nos damos cuenta tambien que el aumento que experimenta la utilidades cada vez menor a medida que aumenta el consumo. Decimos, por tanto,que la utilidad marginal es decreciente. Una unidad adicional de consumopara un individuo que consumıa poco, aumenta mas el nivel de utilidad que

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en el caso de un individuo que ya tenıa un alto nivel de consumo. Por ello,para valores mayores de C, la grafica se ve cada vez mas plana.

Matematicamente, debe cumplirse que ∂U∂C

> 0 y ∂2U∂C2 < 0 para garantizar

utilidad marginal positiva pero decreciente.

5.2. Aditividad de la funcion de utilidad

Otra caracterıstica que debera tener la funcion de utilidad sera la de adi-tividad. Es decir, que podamos sumar las funciones de utilidad instantaneas.Para la construccion de los modelos intertemporales que revisaremos masadelante, es necesario que podamos contar con una funcion de utilidad querepresente la satisfaccion del individuo por el consumo realizado en diferentesmomentos de tiempo.

V = U(C1) + U(C2) + · · · + U(Ct) (5.1)

En el caso de un individuo que debe decidir su senda de consumo para t pe-riodos, la utilidad total sera la suma de las funciones de utilidad instantaneas.

5.3. Aversion al riesgo

Todos los dıas nos enfrentamos a situaciones de incertidumbre. No sa-bemos si vamos a ganar la loterıa, si el precio de los alimentos va a subir,si va a haber un terremoto o si vamos a pasar macroeconomıa avanzada I6.Debido a que estos eventos afectan las decisiones de consumo, es importanteque veamos que implicaciones tiene nuestra funcion de utilidad concava.

Para enfrentar la incertidumbre, las personas se crean expectativas acer-ca de lo que va a ocurrir en el futuro. Los economistas abordamos la formacomo se construyen estas expectativas a traves del concepto de utilidad es-perada. Esta utilidad esperada parecerıa poder ser calculada de dos manerasdiferentes. Ahora veremos que solo una de esas formas es correcta.

Supongamos que el salario de un individuo depende del comportamientodel precio de las acciones. Por lo tanto, este individuo tiene incertidumbreacerca de la cantidad de dinero que puede ganar el siguiente mes. Supongamos

6Esto por supuesto puede ser mas controlado que el terremoto.

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que con una probabilidad igual a 0.5, el individuo ganara un salario que lepermitira consumir 500 pesos y con una probabilidad igual a 0.5 el individuoganara un salario que le permitira consumir 1000 pesos.Podrıamos calcular:

Utilidad esperada del consumo

EU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000)

o la

Utilidad del valor esperado del consumo

UE(C) = U(0,5 ∗ 500 + 0,5 ∗ 1000)

La primera forma es la que usaremos como nuestra funcion objetivo cuan-do hay incertidumbre. Veamos por que es sensato que aceptemos esta defini-cion y descartemos la segunda.

En el ejemplo del individuo que enfrenta incertidumbre acerca de su con-sumo, podemos darnos cuenta claramente que los dos eventos que puedenocurrir son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir al mismotiempo. El individuo podra consumir 500 o podra consumir 1000, pero enningun momento va a consumir una cantidad intermedia entre las dos.

Eso es precisamente lo que esta mostrando la utilidad esperada delconsumo, ya que con una probabilidad de 0.5 el individuo va a obtenerutilidad por consumir 500 y con una probabilidad de 0.5 el individuo va aobtener utilidad por consumir 1000.

De esta manera se garantiza ademas la independencia entre los posiblesresultados. Si uno de los dos eventos no ocurre, eso no debe perturbar enlo mas mınimo al evento que sı sucede. En el caso en que el evento queocurra sea el segundo (que el individuo consuma 1000), el hecho de que elindividuo no consuma 500 no influira de ninguna forma. Esta funcion deutilidad esperada es comunmente conocida como Funcion de Utilidad VonNeumann-Mortgenstern.

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Cuando las personas se enfrentan a estas situaciones de incertidumbrecorren el riesgo de ganar o perder. Algunos individuos disfrutan ese riesgo, esdecir son amantes al riesgo; otros son indiferentes, es decir son neutrales alriesgo; pero hay otros, la mayorıa, que hacen lo posible por evitarlo, es decir,son adversos al riesgo7.

Si suponemos aversion al riesgo para los individuos, estos tendran unafuncion de utilidad concava que cumple con la desigualdad de Jensen, esdecir, se cumple que la utilidad del valor esperado del consumo es mayorque la utilidad esperada del consumo. Esta desigualdad puede verse conla figura 8. La utilidad de 750 (valor esperado del consumo) es mayor aEU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000).

Figura 8: Aversion al riesgo

De esta manera, vemos que la concavidad de la funcion de utilidad quedescribe la propiedad de utilidad marginal decreciente describe simultanea-mente aversion al riesgo.

7Algunos estudiantes se consideran amantes al riesgo hasta el momento en que enfrentanla siguiente apuesta: si sale cara al lanzar una moneda usted obtendra dos puntos mas ensu primer parcial (si saco 3, por ejemplo, ahora tendra 5), si sale sello se le restaran dospuntos a su examen (si saco 3, por ejemplo, ahora tendra 1). ¿Acepta la apuesta?

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5.4. La Funcion de Utilidad CRRA

Una funcion de utilidad que cumple con las caracterısticas que hemos con-siderado importantes hasta el momento es la Funcion de Utilidad de Aver-sion Relativa al Riesgo Constante, CRRA.

U(Ct) =C1−σ

t

1 − σσ > 0 (5.2)

Es una funcion con utilidad marginal positiva pero decreciente y ademasincorpora aversion al riesgo en las decisiones de consumo de los individuos.

Para probar que la CRRA tiene utilidad marginal positiva, miramos laprimera derivada de la funcion:

∂U(Ct)

∂Ct=

1 − σ

1 − σC−σ

t

∂U(Ct)

∂Ct= C−σ

t > 0

La utilidad marginal es positiva: si aumenta el consumo en una unidad adi-cional, la utilidad tambien aumenta.

La segunda derivada de la funcion respecto al consumo nos confirma quela utilidad marginal es decreciente:

∂2U(Ct)

∂C2t

= −σC−(1+σ)t < 0

Dado que la segunda derivada es negativa (porque σ > 0) y la primeraderivada positiva, entonces la utilidad marginal es positiva pero decreciente:si aumenta el consumo en una unidad adicional la utilidad va a aumentar,pero cada vez en una menor cuantıa.

El parametro de importancia en nuestra funcion de utilidad CRRA esσ, el cual se conoce generalmente como el coeficiente de aversion relativa al

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riesgo8. Como es un parametro que mide aversion, asumimos que entre masgrande sea su valor mas adverso al riesgo es el individuo. (Si σ = 0, se diceque el individuo es neutral al riesgo9).

Recordemos que una manera de medir la aversion al riesgo de los indi-viduos es mirando la curvatura de la funcion de utilidad. Entre mas curvaes esta ultima, mas adverso al riesgo es el individuo. σ es el parametro quemide la curvatura de la funcion de utilidad.

Si graficamos la funcion de utilidad CRRA en tercera dimension (por la

8Para la funcion CRRA podemos calcular dos ındices de aversion al riesgo. El primerode ellos es el ındice de aversion absoluta al riesgo de Arrow-Pratt, el cual esta dadopor

−U ′′

U ′(5.3)

lo cual es equivalente a

−dU ′

dC

1

U ′= −σC

−σ−11

C−σ

= −

(

−σ

C

)

=σ

C(5.4)

El resultado de (5.4) muestra una propiedad interesante de la CRRA: a medida queel nivel de consumo es mas alto la aversion absoluta al riesgo es menor. Esto puedeexplicar por ejemplo por que personas con niveles altos de consumo estan mas dispuestasa enfrentar apuestas que personas con niveles bajos.El segundo ındice de aversion al riesgo es el ındice de aversion relativa al riesgo

constante, el cual esta dado por

−CU ′′

U ′(5.5)

lo cual es equivalente a

−dU ′

dC

C

U ′= −σC

−σ−1C

C−σ

= σ (5.6)

Como podemos darnos cuenta, el ındice de aversion absoluta al riesgo de Arrow-Pratt de-pende del nivel de consumo, mientras que el ındice de aversion relativa al riesgo constante,como su nombre lo dice, no depende del nivel de consumo.

Desarrollar ejercicio 2 de la seccion 9.9si σ = 0 la funcion CRRA se convierte en U(C) = C. Graficamente serıa una lınea

recta de pendiente positiva igual a 1. En este caso, la figura 8 mostrarıa que no se satisfacela desigualdad de Jensen.

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propiedad de aditividad), podemos apreciar que para valores mayores de σ,la funcion se hace cada vez mas curva.

La figura 9 nos muestra la funcion de utilidad CRRA cuando σ=0.3 y lafigura 10 cuando σ=0.8.

Figura 9: Funcion de utilidad CRRA cuando σ=0.3

Si giramos la funcion de utilidad graficada en la figura 10 hasta desapa-recer el eje correspondiente a C2 vemos claramente la funcion de utilidadcuando el consumo del periodo dos se mantiene constante. (Ver figura 11).

Si graficamos la funcion de utilidad CRRA en dos dimensiones, la figura12 nos muestra que para valores mayores de σ, la concavidad de la funcionde utilidad CRRA es mas marcada, haciendo mas evidente la desigualdad deJensen10.

10σ es la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo que esta dada porla siguiente ecuacion:

dU′

dC

C

U ′= C

U′′

U ′= −σ (5.7)

A medida que σ aumenta en valor absoluto, la utilidad marginal se hace cada vez maselastica al consumo. Es decir, a medida que aumenta sigma, un aumento del consumo en1 por ciento va a disminuir la utilidad marginal en mas de 1 por ciento. Por eso, entremayor es σ, mayor es la curvatura de la funcion de utilidad.

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Figura 10: Funcion de utilidad CRRA cuando σ=0.8

Figura 11: Funcion de utilidad CRRA

Al mirar la ecuacion (5.2), tambien podemos darnos cuenta que cuandoσ > 1, la CRRA se vuelve negativa. Sin embargo, gracias a que la CRRAdescribe utilidad marginal positiva, a medida que aumenta el consumo, lautilidad se hace cada vez menos negativa, es decir, aumenta. La figura 13 nosmuestra esa situacion.

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Figura 12: Funciones de utilidad CRRA

Como nos interesa la ordinalidad de la funcion de utilidad basta comorestriccion para σ que sea mayor a cero.

5.4.1. CRRA con σ = 1

Un caso particular de la funcion de utilidad CRRA, se da cuando σ = 1.La funcion CRRA queda convertida en una funcion logarıtmica. Veamos pasoa paso como llegamos a esa conclusion.Empecemos por replantear la funcion de utilidad CRRA:

U(Ct) =C1−σ

t − 1

1 − σ(5.8)

Esta transformacion simplemente afecta el nivel de la funcion.

Si evaluamos el lımite cuando σ → 1, nos queda una expresion de laforma 0

0. En este caso, lo mas conveniente sera utilizar la regla de L’Hospital.

Recordemos que esta consiste en derivar con respecto al parametro de interes,en este caso σ, tanto el numerador como el denominador. Sin embargo, derivarla ecuacion (5.8) con respecto a σ parece complicado. Facilitemos entonces

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Figura 13: Funcion de Utilidad CRRA con σ > 1

este procedimiento reexpresando la ecuacion (5.8).

U(Ct) =CtC

−σt − 1

1 − σ(5.9)

que es igual a

U(Ct) =Cte

−σ lnCt − 1

1 − σ(5.10)

Como nos interesa ver cual es el lımite de la anterior expresion cuando σ → 1:

lımσ→1

Cte−σ lnCt − 1

1 − σ(5.11)

utilicemos L’Hospital y tenemos:

lımσ→1

−Cte−σ lnCt ln Ct

−1(5.12)

lımσ→1

Cte−σ lnCt ln Ct (5.13)

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Si evaluamos (5.13), tenemos finalmente que:

lımσ→1

Cte−σ lnCt ln Ct = ln Ct (5.14)

Hemos comprobado que la funcion de utilidad CRRA se convierte en la fun-cion logarıtimica cuando σ → 1. La funcion de utilidad logarıtmica sera muyconveniente en los modelos de consumo intertemporal que veremos a conti-nuacion.

6. Modelo de Fisher

Presentado seis anos antes de la publicacion de la Teorıa General, elmodelo conocido como modelo de consumo de Fisher es el primero en forma-lizar el problema de eleccion intertemporal propuesto por Eugen von Bohm-Bawerk11. En el analisis de von Bohm-Bawerk, las elecciones a traves deltiempo podıan abordarse como cualquier problema economico en el que laspersonas deben decidir sobre la asignacion de dos bienes que son escasos. De-cidir por ejemplo entre canones o mantequilla12. En estas notas, la disyuntivasera Consumo Hoy vs. Consumo Manana.

En su obra de 1930, The Theory of Interest, Irving Fisher mostro el fa-miliar plano cartesiano en el que el eje de las abscisas representa el consumopresente y el eje de las ordenadas el consumo futuro. Ası, las curvas de in-diferencia representan las preferencias del agente economico representativosobre su consumo intertemporal y en la restriccion presupuestal las posibi-lidades de consumo presente y futuro que este agente puede alcanzar dadossus ingresos.

Revisemos la presentacion moderna de este modelo con sus diferentesvariantes.

11Economista austrohungaro cuya obra mas importante fue Capital and Interest (1889)12Este trade-off mencionado casi siempre en los cursos de Principios de Economıa fue

resultado de un comentario de Joseph Goebbels, jefe de opinion del regimen de AdolfHitler.

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6.1. Caso 1: Modelo de Fisher para dos periodos sintasa de interes y sin tasa de descuento intertem-

poral

Supongamos inicialmente un agente que va a decidir cuanto consumiren el periodo 1 (hoy por ejemplo) y cuanto va a consumir en el periodo2 (manana por ejemplo). Este agente no tiene activos iniciales y de igualmanera los activos son cero al culminar el periodo 2. Es decir no deja herencias(intencionales o no intencionales)13ni deudas. Sin embargo, recibe ingresosW1 en el periodo 1 e ingresos W2 en el periodo 2. Esos ingresos limitadosle permiten consumir. No va a ser relevante indagar sobre el origen de esosingresos en este modelo.

Para el caso mas sencillo, vamos a suponer que el precio relativo entreel consumo del periodo 1 y el consumo del periodo 2 es igual a 1. La tasade interes es entonces igual a cero. Este supuesto se traduce en que los aho-rros hechos en el primer periodo no generan rentabilidad financiera, de igualmanera, endeudarse no cuesta nada.

La funcion de utilidad para este agente es la suma de las funciones deutilidad instantaneas. Esto es posible gracias al supuesto de aditividad quediscutimos en la seccion 5.2. Ademas, para esta version del modelo de Fisher,vamos a suponer que este agente no descuenta la utilidad del futuro.

V = U(C1) + U(C2) (6.1)

Este agente representativo ahorra la parte del ingreso que no consume. Porsupuesto, este ahorro podrıa ser negativo. En ese caso estarıa consumiendomas que su ingreso del primer periodo.

S1 = W1 − C1 (6.2)

En el periodo 2, debe consumir tanto el ingreso del periodo 2 como los ahorrosrealizados en el periodo anterior. Decimos “debe” porque de lo contrarioviolarıamos el supuesto inicial de activos cero al finalizar los dos periodos.

13Es posible que las personas dejen herencias porque les importa la felicidad de sus hijoso nietos pero tambien es posible que las dejen porque simplemente la muerte los sorprendecon activos positivos que iban a ser destinados al consumo en un horizonte de vida quehabrıa podido ser mas largo.

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Si el ahorro fue negativo, debera por supuesto pagar su deuda. Ası como losagentes no pueden dejar herencias tampoco dejan deudas.

C2 = S1 + W2 (6.3)

Reemplazando la ecuacion (6.2) en (6.3) obtenemos (6.4) que nos dice simple-mente que la suma de los ingresos debe ser igual a la suma de los consumos enambos periodos. Esta igualdad nos confirma que la unica fuente de consumoson los ingresos de cada periodo y por lo tanto el supuesto de activos igualesa cero al iniciar y al terminar los dos periodos.

W1 + W2 = C1 + C2 (6.4)

Teniendo presente que las funciones de utilidad instantaneas cumplen lascaracterısticas de la seccion 5, entonces podemos solucionar matematicamen-te este problema escribiendo el lagrangiano que en realidad es la funcion deutilidad restringida por la ecuacion (6.4).

L = U(C1) + U(C2) + λ[W1 + W2 − C1 − C2]

Las condiciones de primer orden son:

1. ∂L∂C1

= U ′(C1) − λ = 0 ⇒ λ = U ′(C1)

2. ∂L∂C2

= U ′(C2) − λ = 0 ⇒ λ = U ′(C2)

3. ∂L∂λ

= W1 + W2 − C1 − C2 = 0

De la primera y la segunda condicion de primer orden podemos deducirque C1 = C2. Si introducimos esta condicion en la restriccion presupuestaria,obtenemos que

C1 = C2 =W1 + W2

2(6.5)

El resultado de este problema es que el individuo suaviza completamentesu consumo en ambos periodos. El consumo del periodo 1 es exactamenteigual al consumo del periodo 2. La igualdad de las utilidades marginalestiene una explicacion intuitiva importante. Si el consumo del primer periodofuera mayor al consumo del segundo periodo, entonces, U ′(C1) < U ′(C2),caso en el cual valdrıa la pena reducir el consumo del periodo 1 y aumentarel consumo del periodo 2 de tal manera que la utilidad total aumentarıa.

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Figura 14: Optimizacion del Consumo

La suavizacion del consumo depende de la propiedad de utilidad marginaldecreciente de la funcion de utilidad que estamos utilizando. Esta propiedad,como vimos en la seccion 5, esta estrechamente ligada con que los agentesson adversos al riesgo (aunque por ahora no se ha incluido ningun elementode incertidumbre).

Si el ingreso de alguno de los periodos aumenta, la restriccion presu-puestal se desplazara permitiendo que el individuo alcance una curva deindiferencia mas alta. Independientemente de cual ingreso cambie, el indivi-duo distribuira el incremento de ingreso en el consumo de ambos periodos,persistiendo ası su preferencia por suavizar su consumo intertemporal.

El ahorro sera el elemento clave para que el individuo pueda suavizar suconsumo. Si el consumo optimo del primer periodo es mayor al ingreso delprimer periodo, el agente se endeudara (se convierte en prestatario) y luegoen el periodo 2 saldara sus deudas. Si el consumo optimo del primer periodoes menor al ingreso del primer periodo, el agente, convertido en prestamista,utilizara sus ahorros para su consumo del segundo periodo.

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6.2. Caso 2: ahora con tasa de interes

El modelo presentado en el caso 1 puede complementarse incluyendo unatasa de interes como remuneracion a los activos financieros de los presta-mistas o un costo de financiacion para los prestatarios. Las ecuaciones querepresentan este modelo serıan las siguientes:

V = U(C1) + U(C2) (6.6)

S1 = W1 − C1 (6.7)

pero ahora el consumo del segundo periodo esta dado por:

C2 = (1 + r)S1 + W2 (6.8)

Y al combinar las ultimas dos ecuaciones obtenemos la siguiente restriccionpresupuestal, que nos dice que el valor presente de los ingresos debe ser igualal valor presente de los consumos en ambos periodos:

W1 +W2

1 + r= C1 +

C2

1 + r(6.9)

La funcion de utilidad restringida sera ahora:

L = U(C1) + U(C2) + λ[W1 + W2

1+r− C1 −

C2

1+r]

La solucion a este problema de optimizacion estara determinada por lasiguiente condicion:

U ′(C1) = U ′(C2)(1 + r) (6.10)

Esta condicion muy parecida a la condicion obtenida en el caso 1 refleja elefecto sustitucion que la tasa de interes tendra sobre las decisiones de con-sumo. Sin embargo, para conocer el efecto de un incremento o reduccion dela tasa de interes sobre los niveles de consumo de ambos periodos, es impor-tante recordar que ademas del efecto sustitucion, los cambios en los preciosrelativos tambien generan un efecto ingreso. Mientras el efecto sustitucion esindependiente de que el individuo sea prestamista o prestatario, la condicioninicial sera esencial para determinar el efecto ingreso.

25

Figura 15: Optimizacion del consumo con tasa de interes

6.2.1. Efecto sustitucion y efecto ingreso de un aumento en la tasade interes en el caso de un prestatario

Empecemos por analizar el caso de un prestatario, es decir, de una perso-na cuyo ahorro en el primer periodo es negativo y por lo tanto pide prestado.

Efecto sustitucion: Al aumentar la tasa de interes es preferible susti-tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que losintereses que debe pagar sobre el dinero que pide prestado en el primerperiodo son mayores con la subida de la tasa de interes.

Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de interes, el individuo tendra quecontar con una caıda generalizada de su ingreso que lo hace menosrico. Por lo tanto hay incentivos para disminuir el consumo en ambosperiodos.

Como podemos ver en la figura 16, el efecto sustitucion y el efecto ingresovan en la misma direccion para el primer periodo, por lo que el efecto finalen el periodo uno es una disminucion del consumo. En el periodo dos, elefecto final sobre el consumo depende de si el efecto sustitucion prima sobreel efecto ingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitucion. Para

26

conocer las magnitudes de estos efectos sera necesario contar con una funcionde utilidad explıcita.

Figura 16: efecto sustitucion y efecto ingreso para el caso de un prestatario

La figura 17 muestra el caso de un prestatario que aumenta su consumodel periodo dos ya que el efecto sustitucion prima sobre el efecto ingreso.

La figura 18 muestra el caso de un prestatario que disminuye su consumodel periodo dos ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitucion.

6.3. Efecto sustitucion y efecto ingreso de un aumentoen la tasa de interes en el caso de un prestamista

Efecto sustitucion: Al aumentar la tasa de interes es preferible susti-tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que losintereses que recibe por el dinero que presta en el primer periodo sonmayores con la subida de la tasa de interes.

27

Figura 17: El caso de un prestatario que aumenta su consumo del periododos cuando aumenta la tasa de interes

Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de interes, el individuo con-tara con un aumento generalizado de su ingreso que lo hace mas ri-co. Por lo tanto hay incentivos para aumentar el consumo en ambosperiodos.

Como podemos ver en la figura 19, el efecto sustitucion y el efecto ingreso vanen la misma direccion para el segundo periodo, por lo que el efecto final enel periodo dos es un aumento del consumo. En el periodo uno, el efecto finalsobre el consumo depende de si el efecto sustitucion prima sobre el efectoingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitucion.

La figura 20 muestra el caso de un prestamista que disminuye su consumodel periodo uno ya que el efecto sustitucion prima sobre el efecto ingreso.

La figura 21 muestra el caso de un prestamista que aumenta su consumodel periodo uno ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitucion.

28

Figura 18: El caso de un prestatario que disminuye su consumo del periododos cuando aumenta la tasa de interes

En el trabajo de Juan Nicolas Hernandez (2006), en el que se hace unarevision de los determinantes macroeconomicos del consumo total de los ho-gares en Colombia, se comprueba que la elasticidad del consumo a la tasade interes real es negativa. En la revision de la literatura del trabajo deHernandez (2006) se referencia el trabajo de Leonardo Duarte (2003) quienencuentra que cuando la tasa de interes disminuye en un punto porcentual, elconsumo aumenta en 0.13 puntos porcentuales. En otro trabajo, el realizadopor Lopez, Gomez y Rodrıguez (1996) se encuentra que ante una disminucionde la tasa de interes en un punto porcentual, el consumo per capita aumentaentre 0.6 y 1 punto porcentual.

29

Figura 19: efecto sustitucion y efecto ingreso para el caso de un prestamista

6.4. Caso 3: incluyendo una tasa de descuento inter-temporal

Tanto en el caso 1 como en el caso 2 del modelo de Fisher que hemospresentado, la funcion de utilidad corresponde a una suma de las funcionesde utilidad instantaneas en la que U(C1) y U(C2) tienen la misma impor-tancia. Sin embargo, podemos modelar unos agentes economicos que suelenser impacientes y descuentan la utilidad del consumo futuro.

Si les preguntamos a los lectores de estos apuntes ¿cuando prefiere tenervacaciones? ¿hoy o en dos meses? (manteniendo todo lo demas constante,como tasa de interes, salarios, etcetera, es decir, si nos interesa unicamenteque nos revele su preferencia sobre el consumo presente vs el consumo futuro),en la mayorıa de los casos la respuesta serıa que prefiere las vacaciones hoy.

Esta “impaciencia” puede ser modelada incluyendo un factor que descuen-te la utilidad futura en relacion con la utilidad de consumir en el presente.

Los determinantes sicologicos, neurologicos, incluso filosoficos de esta “im-

30

Figura 20: El caso de un prestamista que disminuye su consumo del periodouno cuando aumenta la tasa de interes

paciencia” son tan variados como interesantes. El libro Time and Decision(2003) es una excelente referencia para quienes quieran profundizar en estetema. En este libro se citan diferentes trabajos, por ejemplo, el de algunosfilosofos para los cuales descontar la utilidad futura es resultado de la debilrelacion que podemos establecer entre nuestro yo actual y nuestro yo futuro.Pensar en nuestra utilidad futura puede ser como pensar en la utilidad de otrapersona, por lo tanto se justifica asignarle mayor importancia al presente, esdecir, a lo que podemos sentir y no es tan difıcil de imaginar.

De igual manera, neurologos y sicologos se han preocupado siempre porexplicar las diferencias en los niveles de paciencia. Entre las explicacionesesta que las personas con danos en la corteza pre-frontal del cerebro no tie-nen en la cuenta las consecuencias futuras de sus acciones y sus eleccionessolo dependen de premios o remuneraciones inmediatas. Ası mismo, en expe-rimentos con animales, se ha identificado que algunos componentes quımicos,como el Prozac, pueden elevar el grado de paciencia.

31

Figura 21: El caso de un prestamista que aumenta su consumo del periodouno cuando aumenta la tasa de interes

Para nuestro modelo, no sera esencial conocer todos los posibles determi-nantes del descuento intertemporal, sin embargo, vale la pena reconocer estoselementos como una fuente inagotable de estudio en la que la ciencia economi-ca y la sicologıa pueden converger y trabajar juntas. Ademas, estos aportesinterdisciplinarios confrontan constantemente los supuestos que manejamoslos economistas al describir el comportamiento y la toma de decisiones denuestros agentes economicos.

Matematicamente, por ahora, veamos como podemos incorporar el des-cuento intertemporal en nuestro modelo de Fisher. Utilizando la tasa dedescuento θ, vamos a decir que la utilidad total, para dos periodos, es iguala:

V = U(C1) +U(C2)

1 + θ(6.11)

32

Esta funcion para T periodos de tiempo serıa igual a:

V = U(C1) +U(C2)

1 + θ+

U(C3)

(1 + θ)2+ . . . +

U(CT )

(1 + θ)T−1(6.12)

Esta funcion de utilidad con descuento intertemporal fue presentada porPaul Samuelson en 1937 en el artıculo “A note on Measurement of Utility” yha sido acogida en muchos trabajos por su sencillez. Podemos observar quesi las preferencias de un agente son descritas por esta funcion, este individuovalora menos la utilidad futura que la utilidad presente. Ademas, el descuentoentre el periodo 1 y el periodo 2 es exactamente igual al descuento aplicadoentre los periodos 2 y 3 o entre los periodos T − 1 y T . Esta caracterısticaes especialmente criticada por economistas y sicologos que de acuerdo consus estudios consideran que las personas pueden ser mas pacientes al tenerque decidir sobre su asignacion de consumo entre periodos lejanos de tiempoque cuando tienen que decidir en periodos cercanos de tiempo. Si tenemosque elegir entre vacaciones hoy o el proximo ano, somos mas impacientes quesi tenemos que decidir hoy entre unas vacaciones en 10 anos o en 11 anos.El descuento exponencial utilizado en la funcion de Samuelson no puededescribir ese fenomeno mientras que una funcion con descuento hiperbolicosı.

Este caso, en el que los niveles de paciencia cambian en el tiempo, noes el unico problema de la funcion de utilidad con la que trabajaremos14 yaunque en cursos mas avanzados se trabajara con funciones mas complejas,por ahora, consideremos esta primera aproximacion para ser incluida en elmodelo de Fisher.

Para el modelo de dos periodos, el lagrangiano quedarıa igual a:

L = U(C1) + U(C2)1+θ

+ λ[W1 + W2

1+r− C1 −

C2

1+r]

La restriccion presupuestal no cambia y las condiciones de primer ordenserıan:

1. ∂L∂C1

= U ′(C1) − λ = 0

2. ∂L∂C2

= U ′(C2)1+θ

− λ1+r

= 0

14Ver Time and Decision (cap. 1)

33

3. ∂L∂λ

= W1 + W2

1+r− C1 −

C2

1+r= 0

Que al ser organizadas nos permiten llegar a la expresion:

U ′(C1)

U ′(C2)=

1 + r

1 + θ(6.13)

Esta ultima expresion que solo se diferencia de (6.10) en el factor de des-cuento, describe los incentivos que tendra el individuo para sustituir consumopresente o futuro de acuerdo con la interaccion entre la tasa de interes y latasa de descuento intertemporal. La tasa de descuento intertemporal es latasa a la que el individuo quiere descontar la utilidad futura y la tasa deinteres es la tasa a la que puede. Si la tasa a la que puede (r) es mayor a latasa a la que quiere (θ) entonces seguramente tendra incentivos para susti-tuir consumo presente por consumo futuro. A diferencia del caso 2 en el quela tasa de descuento intertemporal era igual a cero, ahora esta tasa podrıaanular el efecto de la tasa de interes.

6.5. Restricciones crediticias

El modelo de Fisher puede considerar otras variantes que hacen mas rea-lista su descripcion. Por ejemplo, podemos incluir el que los agentes enfrentenrestricciones crediticias. Si los consumidores no tienen acceso al mercado decredito, por asimetrıa de informacion o carencia de colaterales, no podranfinanciar un consumo presente que exceda el ingreso del primer periodo.

Las personas que se enfrentan a restricciones crediticias son personas conbajos ingresos que no pueden acceder a un credito en un banco o personasque han dejado de pagar sus obligaciones en el pasado y son castigados conla negacion de nuevos creditos.

Esta consideracion sera capturada en el modelo dependiendo de dos esce-narios:

1. Cuando la restriccion crediticia no es relevante.

2. Cuando la restriccion crediticia sı es relevante.

El primer caso se da cuando la persona que enfrenta la restriccion crediti-cia es un ahorrador. Esto significa que este individuo no estaba interesado en

34

Figura 22: Restriccion presupuestaria con restriccion crediticia relevante

pedir dinero prestado para financiar sus necesidades, por lo que su decisionde consumo no se va a ver afectada.

El segundo caso, se da si la decision optima de consumo, sin restricciones,hace que el individuo sea un prestatario. En este caso, la restriccion crediticiaevita que el individuo pueda consumir mas que su ingreso del primer periodo,por lo tanto, la restriccion crediticia sı es relevante y le costara al individuoen terminos de utilidad. Podra como maximo consumir su ingreso del primerperiodo y no podra suavizar su consumo tanto como esperaba. La figura 22muestra las limitaciones en las posibilidades de consumo impuestas por larestriccion crediticia.

Cuando las restricciones crediticas son relevantes, un aumento del ingresopresente sera acompanado seguramente por un incremento del consumo delprimer periodo. En esta situacion el comportamiento del consumo sera bas-tante parecido al que predice la funcion keynesiana de consumo con excepcionde que la propension marginal a consumir sera igual a 1.

Claramente, las restricciones crediticias relevantes limitan las eleccionesde un consumidor en un modelo intertemporal.

35

Para el caso colombiano, se ha encontrado evidencia empırica que sopor-ta la influencia de las restricciones crediticias en las decisiones de consumo alargo plazo. Juan Nicolas Hernandez comprueba en su trabajo del 2006 queen presencia de restricciones crediticias, la elasticidad del consumo al ingresoes mayor que en ausencia de dichas restricciones. Esto nos hace corroborarque para el caso colombiano, las restricciones crediticias hacen que los con-sumidores se comporten como lo predice la funcion keynesiana de consumo,impidiendo ası, que los individuos suavicen su consumo completamente. Enese trabajo, se toma como proxy de las restricciones crediticias las ventas yavances con tarjetas de credito.

6.6. Tasa de colocacion vs. tasa de captacion

Aunque con frecuencia trabajamos con una sola tasa de interes r, si vamosa un banco a pedir un prestamo seguramente la tasa de interes sobre la cualnos van a prestar el dinero (tasa de colocacion) es mucho mas alta que la tasade interes sobre la cual nos pagarıa ese mismo banco si depositamos nuestrodinero en una cuenta de ahorros (tasa de captacion).

Recordemos que la pendiente de la restriccion presupuestal es igual a(1 + r). Si la tasa de interes de pedir dinero prestado es mayor a la tasade interes de prestarlo, la restriccion presupuestal tomarıa la forma que semuestra en la figura 23.

Como nos muestra la grafica, en el segmento donde el ingreso del indivi-duo es menor a su consumo, es decir, cuando el individuo pide prestado, lapendiente de la restriccion presupuestal es mayor que cuando el individuo esun ahorrador.

La restriccion crediticia de la seccion anterior puede verse como un casoparticular en el que la tasa de interes de pedir prestado es infinita.

6.7. Modelo de Fisher para mas de dos periodos

Luego de haber entendido el analisis economico del modelo de Fisher parados periodos podemos extenderlo para T periodos conservando el analisisdiscreto de las secciones anteriores.

36

Figura 23: Restriccion presupuestaria con tasa de interes diferenciable

Consideremos una persona que desea planear su consumo para los perio-dos comprendidos entre 0 y T − 1. Esta persona obtiene utilidad de acuerdoa la funcion de utilidad:

V =

T−1∑

t=0

U(Ct)

(1 + θ)t(6.14)

Conservando los supuestos del modelo para dos periodos, esta persona em-pieza y termina su vida con activos igual a cero. Es decir, A0 = 0 y AT = 0.Esto ultimo quiere decir que dicha persona gasta todos sus ingresos, incluidossus activos acumulados, antes de morir. No deja herencias ni deudas.

Para construir la restriccion presupuestal, miremos los activos en cadaperiodo de tiempo. En el periodo 1 los activos seran iguales a:

A1 = (1 + r)(W0 − C0) (6.15)

Los activos en el periodo 2 seran iguales a:

A2 = (1 + r)(W1 − C1) + (1 + r)2(W0 − C0) (6.16)

37

Si continuamos hasta el periodo T , los activos del individuo estarıan dadospor la siguiente ecuacion:

AT = (1+r)(WT−1−CT−1)+(1+r)2(WT−2−CT−2)+ · · ·+(1+r)T (W0−C0)(6.17)

Donde AT debe ser igual a cero para satisfacer el supuesto de activosiguales a cero al finalizar la vida.Dividiendo ambos lados de la ecuacion (6.17) por (1 + r)T y teniendo encuenta que AT = 0 tenemos que:

0 =WT−1 − CT−1

(1 + r)T−1+

WT−2 − CT−2

(1 + r)T−2+ · · ·+ (W0 − C0) (6.18)

Si expresamos la ecuacion (6.18) en sumatorias obtenemos que:

0 =

T−1∑

t=0

Wt − Ct

(1 + r)t(6.19)

Podemos reorganizar los terminos de la sumatoria para finalmente llegara nuestra restriccion presupuestal, que muestra, como esperabamos, que elvalor presente de los ingresos es igual al valor presente de los consumos.

T−1∑

t=0

Wt

(1 + r)t=

T−1∑

t=0

Ct

(1 + r)t(6.20)

Una vez tenemos la funcion de utilidad y la restriccion presupuestal pro-cedemos a calcular los consumos optimos.

L =T−1∑

t=0

U(Ct)

(1 + θ)t+ λ

[

T−1∑

t=0

Wt − Ct

(1 + r)t

]

Las condiciones de primer orden en este ejercicio de T periodos seran calcu-

ladas para dos periodos adyacentes: t y t + 1.

1. ∂L∂Ct

= U ′(Ct)(1+θ)t −

λ(1+r)t = 0

2. ∂L∂Ct+1

= U ′(Ct+1)(1+θ)t+1 − λ

(1+r)t+1 = 0

3. ∂L∂λ

=∑T−1

t=0Wt−Ct

(1+r)t = 0

38

Igualando λ encontramos la expresion que resume la condicion de optimalidaddel consumo.

U ′(Ct)(1 + θ)t+1

U ′(Ct+1)(1 + θ)t=

(1 + r)t+1

(1 + r)t(6.21)

U ′(Ct)

U ′(Ct+1)(1 + θ) = (1 + r) (6.22)

U ′(Ct)

U ′(Ct+1)=

1 + r

1 + θ(6.23)

La explicacion economica de esta ecuacion es identica a la utilizada parael modelo de Fisher de dos periodos.

6.7.1. Condicion de optimalidad con una funcion de utilidad CRRA

Si trabajamos con una funcion de utilidad de la forma U(Ct) = ln Ct

(CRRA con σ = 1), podemos obtener la condicion de optimalidad, aplicandola ecuacion (6.23).

1Ct

1Ct+1

=1 + r

1 + θ(6.24)

Reorganizando la ecuacion obtenemos que la condicion de optimalidad paraeste tipo de funcion de utilidad esta dada por

Ct+1

Ct=

1 + r

1 + θ(6.25)

Para la funcion de utilidad CRRA con σ 6= 1 la ecuacion (6.23) serıa igual a:

C−σt

C−σt

=1 + r

1 + θ(6.26)

(

Ct+1

Ct

)σ

=1 + r

1 + θ(6.27)

Ct+1

Ct=

(

1 + r

1 + θ

)1σ

(6.28)

En este caso, σ funciona como un parametro que matiza las diferenciasentre tasa de interes y tasa de descuento intertemporal. Este resultado no essorprendente cuando recordamos que σ mide la aversion al riesgo y explica latendencia a suavizar el consumo que tiene el individuo. Ası r sea muy grandefrente a θ un valor muy alto de σ serıa suficiente para que Ct+1 sea muyparecido a Ct.

39

6.8. La restriccion presupuestal en tiempo continuo:para generalizar el modelo de Fisher

La evolucion de los activos en el caso continuo esta determinada por laecuacion diferencial lineal de primer orden:

dA(t)

dt= A = rA(t) + w(t) − c(t) (6.29)

La forma general de este tipo de ecuaciones diferenciales es:

x − A(t)x = b(t)

donde x = x(t).

En el caso que estamos estudiando, a(t) es constante y corresponde a latasa de interes. Aunque es posible tambien considerar la tasa de interes comouna variable que depende del tiempo, trabajaremos por ahora el caso massencillo.

La ecuacion puede ser re-escrita de la siguiente forma:

A − rA(t) = w(t) − c(t) (6.30)

Para solucionar esta ecuacion, utilizaremos el factor de descuento e−rt que esconocido como factor integrante.

Ae−rt − rA(t)e−rt = [w(t) − c(t)]e−rt (6.31)

Puede observarse que el lado izquierdo de la ecuacion corresponde a dA(t)e−rt

dt,

entonces,dA(t)e−rt

dt= [w(t) − c(t)]e−rt (6.32)

Antes de integrar, vale la pena hacer un cambio de variable con el fin deevitar mas adelante una confusion. Pensemos entonces que:

˙F (s) = f(s). Podemos decir entonces que:

F (s) = F (0) +

∫ t

0

f(t)dt

40

Integrando y evaluando la integral en el intervalo [0, s] llegamos a:

A(s)e−rs = A(0) +

∫ s

0

[w(t) − c(t)]e−rtdt (6.33)

donde A(0) es la constante de integracion.

Despejando A(s) y haciendo uso del supuesto de que los activos en elperiodo 0 son 0, A(0) = 0:

A(s) =

∫ s

0

[w(t) − c(t)]er(s−t)dt (6.34)

Ahora, si s = T , donde T es el periodo final:

A(T ) =

∫ T

0

[w(t) − c(t)]er(T−t)dt (6.35)

Pero ademas, se sabe que A(T ) = 0, ya que otro supuesto del modelo es queno se dejan activos (positivos o negativos) al final del periodo 15

∫ T

0

w(t)er(T−t)dt =

∫ T

0

c(t)er(T−t)dt (6.36)

Si dividimos ambos lados de la ecuacion por erT (en el caso discreto, dividimospor (1 + r)T llegamos a la expresion de la restriccion presupuestal para elcaso continuo donde el valor presente de todos los flujos de ingreso es igualal valor presente de todos los flujos de consumo.

∫ T

0

w(t)e−rtdt =

∫ T

0

c(t)e−rtdt (6.37)

6.9. Tasa de crecimiento del consumo usando la fun-cion de utilidad CRRA

Una vez definida la restriccion presupuestal para el caso continuo revise-mos ahora la tasa de crecimiento del consumo (caso continuo) si trabajamoscon una funcion de utilidad CRRA.

15Este supuesto es consistente con la funcion de utilidad utilizada en el modelo deFisher. No hay razones por la cuales un agente racional deje de consumir por completo susactivos. Las herencias, por ejemplo, no generan utilidad. Ademas, debido a la restriccionpresupuestaria, el agente (representativo) no puede consumir mas que el total de susactivos, dejando ası deudas.

41

Empecemos por definir la tasa de crecimiento del consumo

C

C= lım

∆t→0

Ct+∆t−Ct

∆t

C(6.38)

C

C= lım

∆t→0

Ct+∆t

Ct− 1

∆t(6.39)

donde

Ct+∆t

Ct

=

[

(

1 + r

1 + θ

)∆t]

1σ

(6.40)

Esta ultima expresion puede ser obtenida de la condicion de optimalidad delmodelo de Fisher para mas de dos periodos cuando solucionamos el lagran-giano para los periodos adyacentes t y t + ∆t.

Teniendo en cuenta que para valores pequenos de x, ln(1 + x) ≃ x oalternativamente 1+x ≃ ex podemos reescribir la ecuacion (6.40) (asumiendovalores pequenos para r y θ).

Ct+∆t

Ct=

[

(

er

eθ

)∆t]

1σ

(6.41)

reorganizando los terminos tenemos que

Ct+∆t

Ct= e

(r−θ)∆t

σ (6.42)

Si reemplazamos la anterior ecuacion en la ecuacion (6.39), obtenemos que

C

C= lım

∆t→0

e(r−θ)∆t

σ − 1

∆t(6.43)

Al pretender calcular el lımite nos encontramos con una expresion 00. Apli-

cando la regla de L’Hospital, obtenemos:

C

C= lım

∆t→0

e(r−θ)∆t

σr−θσ

1(6.44)

Si evaluamos lo anterior cuando ∆t → 0 obtenemos finalmente la tasa decrecimiento del consumo dada por la siguiente ecuacion

C

C=

1

σ(r − θ) (6.45)

42

La tasa a la que el consumo crece o decrece depende de la diferencia entre ry θ.Por otra parte, σ, el parametro que mide la curvatura de la funcion de utili-dad, matiza la tasa de crecimiento del consumo.

Ver ejercicios del 3 al 14 de la seccion 9.

7. Hipotesis del Ingreso Permanente

Este modelo fue desarrollado por el premio nobel de economıa MiltonFriedman. La clave es la descomposicion del ingreso en dos componentes: elingreso permanente y el ingreso transitorio.

Y = YP + YT (7.1)

donde YP representa el ingreso permanente y YT representa el ingreso tran-

sitorio.

El ingreso permanente, como su nombre lo indica, es la parte del ingresoque persiste a lo largo de toda la vida. El ingreso transitorio es un componenteinesperado del ingreso. Un ejemplo del ingreso permanente es el salario quegana un empleado por su trabajo. Un ejemplo de ingreso transitorio es elingreso que recibe una persona cuando gana la loterıa.

El argumento principal de Friedman es que el consumo es una funcion quedepende fundamentalmente del ingreso permanente y no del ingreso transito-rio. Esto no significa que los individuos no consuman su ingreso transitorio,significa que cambios en el comportamiento del consumo seran fundamen-talmente explicados por cambios en el ingreso permanente. Por lo tanto, seasume que el consumo no responde significativamente ante cambios en elingreso en el corto plazo.

Dado este razonamiento, una funcion de consumo que logra expresar lasideas de Friedman es

C = αYP (7.2)

donde α representa la proporcion del ingreso permanente que es dedicada alconsumo. Llevando al extremo la ecuacion (7.2) (α = 1) tenemos:

C = YP (7.3)

43

Tal como se plantea en Romer (2001) miremos que ocurre si especificamosuna regresion lineal en la que el consumo es la variable dependiente y elingreso corriente es la variable explicativa. Este ingreso corriente es el quepuede ser descompuesto en transitorio y permanente.

Ci = a + bYi + ei (7.4)

El ingreso transitorio sera definido como las desviaciones del ingreso perma-nente respecto a su media suponiendo que el valor esperado de estas desvia-ciones es igual a cero. Ası mismo, supongamos que el ingreso permanente y elingreso transitorio no estan correlacionados. Este supuesto tambien es bas-tante intuitivo ya que por ejemplo, el hecho de ganarse la loterıa, no dependeen absoluto del salario recibido mensualmente.

Volviendo a nuestra regresion del consumo, podemos darnos cuenta que laregresion esta hecha sobre una sola variable, en este caso, el ingreso corriente.Por lo tanto, el estimador de b, es decir, del coeficiente de la variable indepen-diente es igual al cociente entre la covarianza de las variables independientey dependiente y la varianza de la variable independiente.

b =Cov(Y, C)

V ar(Y )(7.5)

Como el ingreso corriente es igual al ingreso permanente mas el ingreso tran-sitorio, reemplazamos esa condicion tanto en el numerador como en el deno-minador.

b =Cov(YP + YT , C)

V ar(YP + YT )(7.6)

Recordemos tambien que definimos el consumo como una funcion del ingre-so permanente, de tal forma que C = YP . Por lo tanto, al reemplazar esaexpresion en (7.6) obtenemos:

b =Cov(YP + YT , YP )

V ar(YP + YT )(7.7)

El numerador de (7.7) puede ser reescrito teniendo presente la definicion decovarianza.

Cov(YP + YT , YP ) = E[(YP + YT − YP − YT )(YP − YP )] (7.8)

44

Multiplicando y teniendo en cuenta el supuesto YT = 0 obtenemos lo siguien-te:

Cov(YP + YT , YP ) = E[Y 2P − 2YP YP + Y 2

P ] (7.9)

que es igual a

Cov(YP + YT , YP ) = E[(YP − YP )2] = V ar[YP ] (7.10)

por lo tanto podemos reescribir la ecuacion (7.7) como:

b =V ar(YP )

V ar(YP ) + V ar(YT )(7.11)

Como nos damos cuenta, usando los supuestos de la teorıa de ingreso perma-nente, la pendiente de la funcion estimada de consumo, es decir, b, dependede la variacion relativa del ingreso permanente y del transitorio. Intuitiva-mente podemos interpretar este resultado de la siguiente manera: ya que brepresenta en cuanto cambia el consumo cuando cambia el ingreso corrien-te, un aumento en el ingreso corriente ira acompanado de un aumento enel consumo unicamente cuando la variacion del ingreso permanente sea masgrande en relacion con la del ingreso transitorio.

Ası mismo, vemos que si la variacion del ingreso transitorio es bastantealta en relacion con la variacion del ingreso permanente, el coeficiente esti-mado de la pendiente se hara mas pequeno, es decir, cambios en la rentacorriente no cambiaran en gran medida el consumo, pues estos no fueronacompanados de grandes cambios en el ingreso permanente.Volviendo a nuestra regresion, tambien es importante que estimemos la cons-tante del modelo, la cual puede ser calculada de la siguiente manera:

a = C − bY (7.12)

Dado que el consumo es igual al ingreso permanente, la media del consumoes igual a la media del ingreso permanente. De igual manera, dado que elingreso corriente es igual al ingreso permanente mas el ingreso transitorio, lamedia del ingreso corriente es igual a la media del ingreso permanente masla media del ingreso transitorio.

a = YP − b(YP + YT ) (7.13)

45

Por ultimo, recordemos que la media del ingreso transitorio es igual a cero,por lo que la constante estimada de nuestra regresion es igual a:

a = (1 − b)YP (7.14)

Analicemos algunos casos de acuerdo con la regresion (7.4).

Consideremos primero la economıa de un hogar expuesta fuertemente aun evento inesperado. El ingreso corriente de los hogares depende de muchosfactores inesperados, por ejemplo, el desempleo. En este caso el componentetransitorio puede ser relativamente mas importante que el componente per-manente. Entonces el coeficiente estimado de la pendiente de la funcion deconsumo sera menor a 1, ya que las variaciones del ingreso transitorio sonmucho mas grandes en relacion con las variaciones del ingreso permanente.De esta manera, la constante estimada de nuestra regresion va a ser mayorque cero y la grafica de la funcion estimada de consumo se vera como lomuestra la figura 24.

Figura 24: Funcion estimada de consumo para economıas domesticas

Si analizamos ahora el caso de una economıa nacional en el largo plazo,es de esperarse que las variaciones del ingreso transitorio no tengan tantaimportancia como en el caso de las economıas domesticas en el corto plazo.En una economıa nacional, los cambios en el ingreso corriente se deben sus-tancialmente a cambios en el ingreso permanente, es decir, a cambios en la

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cantidad de recursos, capital o capacidad productiva que posee la economıa.En el largo plazo, los cambios en el ingreso transitorio tienen relativamentepoca importancia. Por lo tanto, nuestro coeficiente estimado de la pendien-te de la funcion de consumo va estar muy cercano a la unidad, ya que lavariacion del ingreso transitorio se aproximara a cero. De esta manera, laconstante estimada de la regresion se aproximara a cero y la funcion de con-sumo estimada se vera como lo muestra la figura 25.

Figura 25: Funcion estimada de consumo para economıas nacionales

Empıricamente si la regresion (7.4) esta bien especificada el estimadorb nos permitira analizar si el consumo se encuentra mas determinado porchoques permanentes o choques transitorios. Ademas, la constante a nospermite encontrar diferencias en el nivel de consumo para distintos grupospoblacionales. El ejemplo de Romer (2001) sobre blancos y negros se refiereprecisamente a este coeficiente. Aunque el valor de b puede ser similar paraambos grupos el valor de a para los blancos es usualmente mas alto. Estosignifica que la pendiente es la misma mientras que los niveles de consumoson diferentes. (Ver figura 26).

Vale la pena aclarar que todas las posibilidades mostradas por la regresion(7.4) no se refieren a la hipotesis de ingreso permanente. La hipotesis deingreso permanente solo se cumple cuando b es muy cercano a 1.

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Figura 26: Funcion estimada de consumo para blancos y negros

8. Modelo del ciclo vital

El modelo basado en la Hipotesis de Ciclo Vital de Franco Modigliani,premio Nobel en 1985, es el ultimo de los modelos que presentaremos enestos apuntes. Al igual que el modelo de Fisher y el de Ingreso Permanente,la Hipotesis de Ciclo Vital parte del supuesto de que los agentes decidenintertemporalmente su consumo y ademas que desean suavizarlo, supuestocompatible con las funciones de utilidad que hemos considerado en nuestrosanalisis previos.

Si suponemos, por sencillez, que la tasa de interes es igual a la tasa dedescuento intertemporal, entonces nuestro agente representativo suaviza per-fectamente su consumo a lo largo del tiempo. La grafica del consumo en eltiempo serıa como se describe en la figura 27.

Vamos a suponer que el ingreso crece de acuerdo con una funcion linealdesde el momento en que el individuo nace hasta que se retira. (Figura 28).

De esta manera, hay un momento de la vida en la que el ingreso es superioral consumo y por lo tanto el individuo ahorra y dos momentos en los quedesahorra: al comenzar su vida y en su vejez. (Figura 29).

La restriccion presupuestal, ecuacion (8.1), hace que los activos al finalizar

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Figura 27: El consumo en el ciclo de vida

Figura 28: El ingreso en el ciclo de vida

la vida sean iguales a cero.

T∑

t=0

Ct

(1 + r)t=

T∑

t=0

Wt

(1 + r)t(8.1)

Nuevamente, como en los otros modelos presentados en estos apuntes,el ahorro es la clave para que el individuo pueda suavizar su consumo. Los

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Figura 29: El ahorro en el ciclo de vida

niveles de ahorro seran iguales a los niveles de desahorro de este agenteeconomico.

Aunque las conclusiones son similares a las de los otros modelos, la iden-tificacion del ciclo de vida por parte de Modigliani, permite identificar cuales el nivel de ahorro de una persona de acuerdo con su edad o el momento delciclo de vida en el que se encuentre. Por ejemplo, para un paıs cuya poblaciones en promedio bastante joven, se esperarıan tasas de ahorro mas altas quepara un paıs cuya poblacion es relativamente mas vieja, ceteris paribus.

Sin embargo, para el caso colombiano, no se ha encontrado evidenciaempırica que soporte la hipotesis del ciclo de vida. En el trabajo realiza-do por Melo, Zarate y Tellez (2006) se realiza un analisis microeconomicode corto plazo, en el que se estudian los perfiles de ingreso, gasto total yahorro para diferentes generaciones, simulando ası el ciclo vital. Al final, eltrabajo sugiere que la hipotesis del ciclo de vida no se ajusta para el casocolombiano. Segun los autores, este resultado puede estar comprometido por“las diferentes preferencias y oportunidades que tienen los hogares, los cam-bios demograficos y el desarrollo de los sistemas de seguridad social y de losmercados de capitales”.

Ademas del analisis de corto plazo realizado en el trabajo citado anterior-mente, se realiza un analisis de largo plazo, que busca precisar cuales son los

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principales determinantes de la tasa de ahorro para el caso colombiano. Laeconometrıa practicada por Melo, Zarate y Tellez (2006) es otro ejemplo dela utilizacion de los modelos basicos con algunas adaptaciones que introducenel efecto de otras variables explicativas. En este trabajo los autores estable-cen como determinantes de la tasa de ahorro el PIB per capita, los terminosde intercambio, los impuestos directos como porcentaje del PIB y M2 comoporcentaje del PIB. De este grupo de variables son novedosas los terminosde intercambio y M2 como porcentajes del PIB. Respecto a los terminosde intercambio, los autores encuentran una relacion positiva que justificanhaciendo uso del efecto Harberger-Laursen-Metzler, que plantea que “un me-joramiento de los terminos de intercambio afectarıa positivamente el ahorro ymejorarıa la cuenta corriente”16. En el caso de M2 como porcentaje del PIB,proxy de profundizacion del sistema financiero, el efecto de la regresion no fueel esperado. La relacion negativa entre M2 y la tasa de ahorro, sugiere segunlos autores que la mayor intermediacion ha favorecido el acceso al creditode los hogares en lugar de estimular el ahorro. Los resultados econometricostambien estiman que la elasticidad de la tasa de ahorro al PIB per capitaoscila entre 0.40 por ciento y 1.83 por ciento.

Ver ejercicio 15 de la seccion 9.

9. Ejercicios propuestos

En esta seccion, encontraran ejercicios de repaso de cada uno de los temasque estudiamos en estas notas de clase.

1. Usted tiene la siguiente informacion de la familia Batman:

Ingreso disponible Gasto en consumo(dolares por ano) (dolares por ano)

0 5.00010.000 10.00020.000 15.00030.000 20.00040.000 25.000

16MELO B, ZARATE S, and TELLEZ C (2006)

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a. Calcule la propension marginal a consumir de los Batman.

b. Calcule la propension promedio a consumir para cada nivel deingreso disponible

c. Calcule cuanto ahorra la familia Batman para cada nivel de in-greso.

d. Calcule la propension marginal a ahorrar.

e. Calcule la propension promedio a ahorrar para cada nivel de in-greso disponible.

f. Dibuje un diagrama de la funcion consumo. Calcule su pendiente.

g. ¿En que rango de ingreso la familia Batman desahorra?

2. La medida de aversion absoluta al riesgo es definida como:

−U ′′(C)

U ′(C)

y la medida de aversion relativa al riesgo se define como:

−U ′′(C)C

U ′(C)

donde U ′(C) y U ′′(C) son la primera y la segunda derivada de la funcionde utilidad.Considere las siguientes funciones de utilidad:

U(C) = −1

αe−αC

U(C) =C1−σ

1 − σ

a. Halle el coeficiente de aversion relativa al riesgo y el coeficiente deaversion absoluta al riesgo para la primera funcion de utilidad.

b. Halle el coeficiente de aversion relativa al riesgo y el coeficiente deaversion absoluta al riesgo para la segunda funcion de utilidad.

c. ¿En cual de los dos casos el coeficiente de riesgo absoluto no varıacon el nivel de C?¿Como se les llama a este tipo de funciones deutilidad?

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d. ¿En cual de los dos casos el coeficiente de riesgo relativo no varıacon el nivel de C? ¿Como se les llama a este tipo de funciones deutilidad?

3. De acuerdo al modelo de Fisher, ¿cual es el efecto de una reduccionen la tasa de interes sobre el consumo de un prestatario que vive dosperiodos? Represente en una grafica su respuesta. Haga los supuestosque considere necesarios.

4. Un individuo vive dos periodos. C1 y C2 son los consumo de los dosperiodos de vida. En el primer periodo de la vida, el individuo recibeun ingreso Y1 y en el segundo periodo de la vida, el individuo recibeun ingreso Y2. La tasa de interes para ahorrar y pedir prestado es r.Suponga que Y1 > Y2.

a. Escriba la restriccion presupuestal del individuo.

b. Dibuje la restriccion presupuestal de la parte a. y dibuje un ejem-plo de una curva de utilidad tangente a la restriccion que muestreque el individuo es un deudor.

c. Un aumento en la tasa de interes, r ¿incrementa o disminuye losahorros de esta persona? Usted debe responder esta pregunta te-niendo en cuenta el efecto sustitucion y el efecto ingreso. (Pista:acuerdese que un deudor tiene ahorros negativos. Entonces en estecaso, una reduccion de la deuda es un incremento de los ahorros).

Ahora asuma que el gobierno decide gravar con un impuesto lasoperaciones financieras. De esta manera la tasa de interes esta da-da por (1 − τ)r, donde τ es la tasa de impuesto y r es la tasade interes real antes de impuestos. Esta tasa aplica tanto parael prestatario como para el prestamista. Suponga que el gobiernotira al mar la plata que recauda.

d. Escriba la nueva restriccion presupuestal y haga una grafica simi-lar a la del punto b. ¿Cual es la nueva pendiente de la restriccion?

e. De nuevo asuma que el individuo es un prestatario ¿Como severıan afectados los ahorros ante un aumento en la tasa de im-puestos? Tenga en cuenta el efecto sustitucion y el efecto ingreso.

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f. Ahora suponga que el individuo es un ahorrador ¿Como se verıanafectados los ahorros ante un aumento en la tasa de impuestos?

5. Considere el modelo de Fisher de dos periodos y suponga que la funcionde utilidad instantanea viene dada por:

U(C) =C1−σ − 1

1 − σ

la tasa de interes real y la tasa de descuento son ambas cero. Existen dosindividuos que no pueden pedir prestado (hay restricciones de liquidez).El individuo A recibe un ingreso de 100 en el primer periodo y uningreso de 50 en el segundo periodo. El individuo B recibe un ingresode 50 en el primer periodo y un ingreso de 100 en el segundo periodo.Ambos reciben 150 en total.

a. ¿Cual es el consumo del primer periodo del individuo A?

b. ¿Cual es el consumo del primer periodo del individuo B?

c. Asuma que el ingreso del primer periodo de ambos individuosaumenta en 50 unidades. ¿Cual es el nuevo consumo del primerperiodo del individuo B?

d. ¿Cual individuo tuvo un mayor incremento en el consumo del pri-mer periodo como consecuencia del aumento en el ingreso? ¿ Porque?

e. ¿Que individuo tiene un comportamiento similar a lo que predicela funcion de consumo Keynesiana? Explique.

6. Matilde vive dos periodos en un mundo Fisheriano. Su funcion de uti-lidad por consumo puede ser escrita como

U(C) = C0,450 C0,55

1

Su dotacion de recursos presentes y futuros es (100.000, 206.000) res-pectivamente. Ella puede pedir prestado o prestar en el mercado a unatasa de interes real de 3

a. ¿Cual es su riqueza? (Suma de ingresos en ambos periodos).

b. Escriba la ecuacion de la restriccion presupuestal

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c. Encuentre la tasa marginal de sustitucion

d. ¿Cual es el consumo optimo de Matilde en el presente y en elfuturo?

e. ¿Que transaccion financiera se requiere para que ella pueda alcan-zar su consumo optimo?

7. Andrea tiene que decidir acerca de como repartir su consumo en dosperiodos. Ella tiene una funcion de utilidad:

U(C1, C2) = C1/21 +

C1/22

1 + θ

Ella puede pedir prestado y prestar a una tasa de interes r =1/20.Recibe un ingreso salarial Y1 = 41 en el primer periodo y Y2 = 82 en elsegundo.

a. ¿Cuanto consume en cada periodo?

b. Ahora suponga que ella puede prestar (por ejemplo, ahorrar) ala tasa r, pero no puede pedir prestado ¿cuanto consume en cadaperiodo?

8. En un modelo de dos periodos, suponga un consumidor cuya funcionde utilidad esta dada por

U(Ct) = 100 − C1 − C2

Si la tasa de interes es 0.5, ¿cual es su combinacion optima de consumo?

9. Usnavy es profesora del Departamento de Economıa de la universidadJaveriana. Su funcion de utilidad esta descrita por

U(Ct) =T

∑

t=1

ln Ct

donde Ct corresponde al consumo del periodo t. Ademas recibe unosingresos W1, W2, . . . , Wt, que al igual que su horizonte de vida, conocecon certeza.La Universidad Javeriana de Bogota firma un convenio con la Uni-versidad Catolica Andres Bello de Caracas con el fin de intercambiar

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profesores y, para poder hacer el ejercicio, Usnavy es seleccionada.El rector , tratando de convencerla de que participe en el convenio, leofrece a Usnavy unos salarios W1, W2, . . . , Wt tales que pueda adquirirlas mismas combinaciones optimas de consumo que elegirıa en Bogota .Usnavy recuerda que la tasa de interes es mas alta en Venezuela queen Colombia y decide (luego de mantener lo demas constante : costosde transporte , tasa de cambio nominal, preferencias por climas, porcomidas etc.) aceptar el traslado de inmediato.

a. ¿Por que acepto? (confiemos en que la decision fue correcta porque es profesora de economıa de la Javeriana). Pistas:

a) Pienselo para el caso de dos periodos y haga una grafica.

b) El analisis que debe hacer es completamente intuitivo.

b. ¿ Habrıa sido distinta la decision si la tasa de interes fuera masalta en Colombia que en Venezuela? Explique.

c. ¿Habrıa sido distinta la decision dependiendo de si Usnavy es pres-tamista o prestataria en Bogota? Explique.

10. Diana vive durante T periodos y tiene una un salario igual a 1 en elprimer periodo. Su ingreso crece a una tasa γ, de tal manera que enel segundo periodo gana 1 + γ, en el tercer periodo (1 + γ)2, etc. Ellapuede pedir prestado o prestar a una tasa de interes 0 y descuenta suutilidad futura a una tasa de 0. Su funcion de utilidad instantanea esuna CRRA. Ella empieza y termina su vida con activos iguales a cero.Calcule los ahorros del primer periodo de su vida. ¿Cual es el efecto deun aumento en γ en sus ahorros del primer periodo? Explique.

11. Ana Marıa, Vivian y Gonzalo viven en dos periodos. Ellos pueden pe-dir prestado a una tasa de interes del 100 por ciento. Ademas, puedenprestar dinero a una tasa del 0 por ciento. Sus preferencias son repre-sentadas por:

U(C1, C2) = ln C1 + ln C2

Suponga que los ingresos en los dos periodos son:

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Ana Maria W1 = 32 W2 = 32Vivian W1 = 0 W2 = 64Gonzalo W1 = 24 W2 = 40

Determine el nivel de consumo optimo en el primer periodo de cadauno.

12. Suponga un modelo de ciclo de vida de dos periodos. La funcion deutilidad del individuo esta dada por

U(C1, C2) = ln C1 + β ln C2

El individuo tiene una riqueza inicial de 20.000, un ingreso corriente de90.000 y un ingreso futuro de 110.000. La tasa de interes real es 10 porciento, y la tasa de descuento, β es igual 1/1,1.

a. Encuentre el valor presente de los recursos del individuo.

b. ¿Cuanto consumen y cuanto ahorran en cada periodo?

c. Dibuje el consumo optimo y las decisiones de ahorro en una graficaen donde el eje Y representa el consumo futuro y el eje X repre-senta el consumo presente. Escriba los interceptos y la pendiente.

d. ¿Como cambian los ahorros y el consumo cuando el ingreso co-rriente aumenta a 11.000?

e. ¿Como van a cambiar los ahorros y el consumo ante un aumentodel ingreso futuro a 11.000?

f. ¿Como van a cambiar los ahorros y el consumo ante un aumentode la riqueza a 11.000?

13. Un individuo vive dos periodos. Su ingreso en el primer periodo es W1

y su ingreso en el segundo periodo es cero. Con probabilidad pa, la tasade interes real en el segundo periodo es ra y con probabilidad pa, la tasade interes real en el segundo periodo es rb. Note que como estos dosson los unicos dos eventos posibles, pa + pb = 1. La tasa de descuentoes cero y la funcion de utilidad instantanea viene dada por

U(Ct) = ln(Ct)

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a. ¿Cual es el consumo del primer periodo?

b. ¿Cual es el efecto de un aumento en la dispersion de las tasas deinteres en el segundo periodo sobre el consumo del primer periodo?Explique su respuesta.

14. Imagine que usted observa los ingresos y consumos en tres periodos dedos personas. (Una persona asociada al caso 1 y otra al caso 2).

Caso 1Y1 < Y2 < Y3

C1 < C2 < C3

Caso 2Y1 > Y2 > Y3

C1 > C2 > C3

Si usted analiza estos patrones con un modelo intertemporal de consu-mo (con agentes adversos al riesgo) donde r = θ y no hay incertidumbrede ningun tipo. ¿Quien no se esta comportando racionalmente y porque?

15. La hipotesis de ciclo de vida implica que las siguientes consideracio-nes demograficas son importantes para el ahorro nacional. Comente elefecto de los siguientes eventos en el ahorro nacional.

a. Un incremento en el numero de ancianos.

b. Un incremento en el numero de inmigrantes (jovenes).

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Referencias

BOHM-BAWERK, E. V. (1889): Capital e Interes. Fondo de CulturaEconomica, Edicion de 1947.

HERNANDEZ, J. (2006): “A Review of the Macroeconomic Determinantsof Household Consumption for the Colombian Case,” Borradores de Eco-

nomıa, Banco de la Republica.

KEYNES, J. M. (1936): The General Theory of Emplyment, Interest, and

Money. Prometheus, Edicion de 1997.

KUZNETS, S. (1946): National Income: A Summary of Findings. NationalBureau of Economic Research.

LOAIZA, N., K. SCHMIDT-HEBBEL, and L. SERVEN (2001): “UnaRevision del Comportamiento y de los Determinantes del Ahorro en elMundo,” Banco Central de Chile y Banco Mundial.

LOEWENSTEIN, G., D. READ, and R. V. BAUMEISTER (2003):Time and Decision. Russel Sage Foundation.

LOPEZ, A., C. GOMEZ, and N. RODRIGUEZ (1996): “La caıda de laTasa de Ahorro en Colombia durante los anos noventa: Evidencia a partirde una Base de Datos para el periodo 1950-1993,” Borradores de Economıa

No. 57. Banco de la Republica.

MANKIW, N. G. (2005): Macroeconomıa. Antoni Bosch editor, cuarta edn.

McMAHON, D. (2006): The Pursuit of Happiness. The Penguin Group.

MELO B, L., H. ZARATE S, and J. TELLEZ C (2006): “El Ahorro delos Hogares en Colombia,” Banco de la Republica. Subgerencia de Estudios

Economicos.

MODIGLIANI, F., and BRUMBERG. (1954): “Utility analysis andthe consumption function: An integration of cross section data,” Post-

Keynesian Economics.

PERLOFF, J. M. (2004): Microeconomıa. Pearson educacion, tercera edn.

ROMER, D. (2001): Macroeconomıa avanzada. McGraw-Hill, segunda edn.

59

SABELHAUS, J., and J. GROEN (2000): “Can Permanent-IncomeTheory Explain Cross-Sectional Consumption Patterns?,” The Review of

Economics and Statistics, Volumen 82. No 3. Agosto.

SAMUELSON, P. (1937): “A note on Measurement of Utility,” The Review

of Economic Studies, Volumen 4. No 2. Febrero.

SMITH, A. (1776): Investigacion sobre la naturaleza y causas de la riqueza

de las naciones. Fondo de Cultura Economica, Edicion de 1982.

VARIAN, H. R. (1999): Microeconomıa intermedia. Un enfoque actual. An-toni Bosch editor, quinta edn.

VEENHOVEN, R. (2006): “World Database of Happiness, Happi-ness in Nations, Rank Report,” ERASMUS University Rotterdam,http://worlddatabaseofhappiness.eur.nl.

WEIL, D. (2005): “Lecture Notes in Macroeconomics I,” Brown University.

60