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7/23/2019 Calculo 3 lista
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2aLISTA DE EXERCCIOS DERIVADAS PARCIAIS, DIRECIONAIS EREGRA DA CADEIA
1) Determine as derivadas parciais indicadas:
a.
b.
c.
2) Determine as derivadas parciais indicadas:
a. d)
b. e)
c. f)
3) Determine: A) o gradiente de f.B) o gradiente no ponto P.C) a taxa de variao de fem P na direo do vetor u.
a. P(1, 2)
b. P(1,-3)
c. P(1, 2, 1)
d. P(2, 0, 3)
4) Determine a derivada direcional da funo no ponto dado, na direo do vetor a.
a. P(3, 4)
b. P(6, 2)
c. P(2, )
d. P
e. P(1, 2, -2)
f. P(1, 4, 1)
g. P(1, 6, )
5) Determine a taxa de variao mxima de fno ponto dado e a direo em que isso ocorre.
FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABADisciplina: Clculo IIICurso: Engenharia
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a. P(1, ) d) P(1, 1, )
b. P(1, ) e) P(4, 3, 1)
c. P(1, ) f) P(4, 2, 1)
6) Use a regra da cadeia para determinar ou .
a.
b.
c.
d.
e.
f.
7) A temperatura num ponto (x, y) T(x, y) medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de
modo que a posio depois de tsegundos seja dada por , , ondexe
yso medidas em centmetros. A funo temperatura satisfaz e
Quo rpido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de 3 segundos?
8) O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 1,8 pol/s, ao passo que suaaltura est decrescendo taxa de 2,5 pol/s. A que taxa o volume do cone est mudandoquando o raio vale 120 pol e a altura 140 pol?
9) A presso de um mol de gs ideal aumentada taxa de 0,05 kPa/s e a temperatura aumentada taxa de 0,15 K/s. Utilize PV=8,31T para achar a taxa de variao do volumequando a presso 20kPa e a temperatura 320 K.
10) A voltagem V num circuito eltrico simples est decrescendo devagar medida que abateria se descarrega. A resistncia Rest aumentando devagar com o aumento de calordo resistor. Use a lei Ohm, V= RI, para achar como a corrente Iest variando no momento
em que !, I= 0,08A, e .
11) O comprimento l, a largura we a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certoinstante as dimenses da caixa so l= 1 m e w= h= 2 m, e l e w esto aumentando auma taxa de 2 m/s, ao passo que h est diminuindo taxa de 3 m/s. Nesse instante,determine as taxas nas quais as seguintes quantidades esto variando:
a. O volumeb. A rea da superfciec. O comprimento da diagonal
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Respostas:
1. a) 3/5 b) 3 c) 1/3
2. a) - 48 xy b) ( )23 22 2 yxey yx + c) 23348 zyx
d) sen y e)
( )( )yxsen
yx
!
!
!
3
cos2
f) ( )3322
32
72
zyx
zy
++
3. a) A) 322 410,125 xyxyxy !! B) 16,4! C) 172/13
b) A) xxy ln, B) 0,3! C) 12/5
c) A) 22332 3,2, zyxzyxzy B) 12,4,4 ! C) 320
d) A) 223 32,, zxzyzxzy +++ B) 54,11,27 C) 43/3
4. a) 23/10 b)5
102! c) 24 d)
132
233 +!
e) 4/9 f) 0 g) 8
5. a) Taxa: 5 Direo: 2,1 b) Taxa:5
52 Direo:
5
4,
5
2
c) Taxa: 1 Direo: 1,0 d) Taxa: 29 Direo: 4,3,2
e) Taxa: 11 Direo: 3,1,1 !! f) Taxa:2
17Direo: 2,0,
2
1!
6. a) 2232 2324 tyxxtyyx +!+ b)22
2222
yx
eyex tt
+
!
c) ysenxsent
yx2
1coscos !
" d) ( ) tsenyxxtyx
yxx
2
2cos2ln
2 +!"
#$%
&' ++
+
e) !"
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&''
2
22
z
xy
z
xte
zy f) yzzxtesenteye ttt 2cos 2
!+!+
7. sCo
2
8. spol3
8160!
9. sL270075,0!"
10. sA510.1,3 !
! 11. a) sm3
6 b) sm2
10 c) sm0