EN QUE DIMENSION VIVIMOS?

EN QUE DIMENSION VIVIMOS?

INTRODUCCIONLas oscilaciones o vibraciones se presentan en la Naturaleza con mucha frecuencia. Ejemplos de oscilaciones son el movimiento de una cuerda de guitarra tras pulsarla, o de cualquier otro instrumento de cuerda, o el del muelle estirado una vez que se deja libre uno de sus extremos, as como cualquier otro material elstico.

Mediante las oscilaciones de un pndulo se pudo empezar a medir los intervalos de tiempo de una manera fiable y reproducible. En la actualidad, tambin hablamos de oscilaciones al referirnos a la produccin de ondas electromagnticas de radio, televisin o la telefona mvil; o dentro de la teora atmico-molecular al sealar el movimiento vibratorio de tomos y molculas en un cristal.

Tambin denominadomovimiento vibratorio armnico simple (m.v.a.s.), es unmovimiento peridico, y vibratorio en ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posicin. Y que queda descrito en funcin del tiempopor una funcin senoidal (senoo coseno). Si la descripcin de un movimiento requiriese ms de una funcin armnica, en general sera un movimiento armnico, pero no un m.a.s.

En el caso de que latrayectoriasea rectilnea, la partcula que realiza un m.a.s. oscila alejndose y acercndose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que suposicinen funcin del tiempocon respecto a ese punto es unasinusoide. En este movimiento, la fuerza que acta sobre la partcula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia ste.

OSCILACIONES En la Fsica es importante el estudio de las oscilaciones porque constituyen el inicio de fenmenos diversos y relevantes como el sonido, los terremotos, la luz y otras radiaciones. En la industria se necesita un conocimiento en este campo para el desarrollo de automviles (amortiguadores, evitar vibraciones molestas), para la fabricacin de equipos de msica o audiovisuales, en la construccin de edificios y un largo etctera. En todos estos casos existe un movimiento oscilatorio, es decir, un cuerpo que realiza un movimiento de vaivn con una amplitud determinada en torno a una posicin de equilibrio que es aquella que ocupa el cuerpo cuando no se le obliga a oscilar. En esta unidad intentaremos desarrollar un modelo matemtico, el oscilador armnico, que nos permita estudiar todos los fenmenos anteriores y otros anlogos y que se ha aplicado con xito al estudio de la estructura de los tomos y molculas, al de la produccin de radiaciones electromagnticas o al del comportamiento de la corriente alterna.1. Movimientos peridicos Se conoce con el nombre de movimiento peridico el de un cuerpo en el que todas las magnitudes que sirven para su descripcin (posicin, velocidad y aceleracin) toman el mismo valor cada intervalo regular de tiempo, llamado periodo (T). Generalmente los movimientos oscilatorios son peridicos denominndose periodo de la oscilacin al tiempo que tarda en producirse una oscilacin completa. Otra magnitud utilizada para describir el movimiento peridico es la frecuencia (f) que es nmero de oscilaciones que se producen en la unidad de tiempo. Entre el periodo y la frecuencia existe la siguiente relacin:

F =

Por ejemplo, si la frecuencia es 4 oscilaciones en cada segundo, cada oscilacin tardar un cuarto de segundo (0,25 s) en producirse.

La unidad de frecuencia en el SI es el hertzio (Hz)* que representa una oscilacin o ciclo en cada segundo. Puede representarse como s1.

2. EL MOVIMIENTO OSCILATORIO ARMNICO SIMPLE

El movimiento armnico simple (por brevedad lo llamaremos simplemente MAS) es el ms importante de los movimientos oscilatorios peridicos ya que es el ms sencillo de analizar y constituye una descripcin bastante precisa de muchas oscilaciones que se presentan en la naturaleza. Adems cualquier movimiento oscilatorio peridico se puede considerar como la superposicin (suma) de varios MAS.

El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra es peridico (28 das) pero no es oscilatorio. El movimiento de un pndulo es peridico y tambin es oscilatorio.La aceleracin de un MAS es producida por una fuerza recuperadora, es decir, una fuerza que es proporcional al desplazamiento del mvil y va dirigida hacia el punto de equilibrio. Si es as, al sistema que oscila se le llama oscilador armnico, y es un modelo matemtico que pocos osciladores reales cumplirn exactamente excepto en mrgenes muy limitados.

Ejemplos de MAS son el del pndulo cuando las oscilaciones son pequeas o el movimiento libre de un muelle horizontal tras haberlo comprimido o estirado.

A.1.- Describe las diferencias entre movimiento oscilatorio, peridico y MAS. Puede un movimiento peridico no ser oscilatorio? Propn ejemplos de movimientos oscilatorios peridicos.

2.1 Dinmica del MAS

Supongamos un muelle horizontal y una partcula* asociada a su extremo libre que puede moverse sobre una superficie perfectamente pulida para que no existan rozamientos que amortigen las oscilaciones. Si separamos la partcula de la posicin de equilibrio y la soltamos comenzar el MAS comprimindose y extendindose el muelle sucesivamente.

A la posicin de mxima separacin la llamamos amplitud (A) del movimiento. La posicin o distancia al punto de equilibrio en cada instante se denomina elongacin (x), siendo el valor nulo cuando el cuerpo pasa por la posicin de equilibrio.

En cualquier posicin que no sea la de equilibrio, sobre la partcula acta la fuerza que hace el muelle sobre ella. Decimos que es una fuerza recuperadora pues en cada posicin esa fuerza hace tender al cuerpo hacia la posicin de equilibrio. Esta fuerza recuperadora viene definida por la ley de Hooke:

F = k x

F es la fuerza que ejerce el muelle sobre el cuerpo, x es la distancia del cuerpo a la posicin de equilibrio (igual al alargamiento o acortamiento del muelle) y k es una constante que depende de la naturaleza del muelle y se denomina constante de recuperacin o constante elstica.

El valor de la constante elstica nos indica si el muelle es duro o blando, nos informa de su rigidez: un valor alto significa que se necesita una gran fuerza para deformar el muelle una unidad de longitud; sera un muelle duro. Un valor bajo indicara que se necesita una fuerza pequea para deformar al muelle, lo que podra interpretarse como un muelle blando.

El signo negativo responde al hecho de que el sentido de la fuerza recuperadora es siempre opuesto al del desplazamiento. Supogamos en la figura de la derecha, que tomamos como sentido positivo hacia la derecha (tomamos x = 0 en la posicin de equilibrio). Cuando est estirado el muelle x tomar valores positivos, pero el sentido de Fuerza recuperadora es hacia la izquierda, y por tanto ser negativa. Cuando est comprimido x ser negativa, pero la fuerza se dirigir hacia la derecha, y ser positiva.

La aceleracin en un movimiento armnico simple la podremos calcular si aplicamos la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta el valor de la suma de las fuerzas que acten sobre la partcula y la masa m de sta. En el caso de una partcula unida al extremo de un muelle se cumplir:

F = -KxF = ma

Siempre que la aceleracin de un objeto sea proporcional a su desplazamiento pero con sentido opuesto, el objeto se mueve con un MAS.

2.2 Cinemtica del MAS

El MAS es un movimiento de vaivn con una amplitud determinada respecto a la posicin de equilibrio. Es un movimiento acelerado cuya velocidad y posicin cambian continuamente aunque sus valores se repiten a intervalos de tiempo regulares.

Como ejemplo de MAS podemos considerar el de la lenteja de un pndulo que oscila libremente despus de ser separada un ngulo pequeo de su posicin de equilibrio. Ms adelante comprobaremos que el movimiento de un pndulo slo es un MAS cuando el ngulo 0 respecto a la posicin de equilibrio es pequeo.

Aunque este movimiento se amortigua debido al rozamiento con el aire y en el punto de oscilacin, supondremos idealmente que esto no ocurre y el movimiento se mantiene constante.

Llamamos movimiento armnico simple al de aquel cuerpo cuya posicin en cada instante puede ser descrita con una ecuacin del tipo: x = A sen = A sen (t + 0)

A se le llama fase del MAS. Cada periodo T el movimiento se repite por lo que podemos expresar la fase mediante el cociente t/T que nos indica el nmero de periodos transcurridos desde que se comenz a medir el tiempo. Tambin lo podemos escribir como f t o mejor como 2f t donde la frecuencia la expresamos en radianes en cada unidad de tiempo en lugar de oscilaciones con objeto de poder calcular las funciones seno o coseno.

A la frecuencia 2 f se la representa con el smbolo y se la denomina frecuencia angular o pulsacin. Su unidad es el radin en cada segundo cuyo smbolo es s1.

= 2 f

La fase inicial o constante de fase 0 est relacionada con la elongacin correspondiente para t = 0 (el instante en el que empezamos a medir). Velocidad y aceleracin en el MAS

A partir de la ecuacin de la posicin en funcin del tiempo para un movimiento armnico simple, podemos calcular la rapidez en cualquier instante. Si escogemos la funcin seno para la ecuacin de la elongacin, la rapidez quedar descrita con la funcin coseno.

Cuando la funcin seno es mxima la funcin coseno es mnima. Puede decirse que entre la funcin seno y la funcin coseno existe un desfase de /2 rad. Si se representan ambas funciones como en las grficas adjuntas, puede verse que v tiene los valores mximos y mnimos un cuarto de perodo antes que x. Como un cuarto de perodo corresponde a un cambio de fase de /2 rad (90 ), a veces decimos que v adelanta a x en 90 .

De forma anloga podemos calcular la aceleracin instantnea.

La aceleracin tiene un desfase con la elongacin de rad de manera que sus fases son iguales en valor absoluto pero con signo opuesto.

El valor mximo de la aceleracin es A2.

2.3 Relacin de las magnitudes cinemticas con las caractersticas del sistema que oscila

La aceleracin de cualquier partcula que oscila con un MAS est siempre relacionada con la elongacin por la ecuacin:

a = 2 x

En el caso de que el sistema oscilante sea un cuerpo unido a un muelle horizontal, la fuerza recuperadora que origina la aceleracin viene dada por la ley de Hooke, de forma que podemos escribir:

F = m a = - k x

Comparando con la ecuacin obtenida para la aceleracin en el MAS se obtiene la frecuencia angular en funcin de las caractersticas del muelle.

Para muelles rgidos (k alta) o cuerpos de masa pequea, las oscilaciones son rpidas. Lo contrario ocurre con cuerpos de masa grande o muelles blandos (k peque- a). Todo esto est de acuerdo con la experiencia que tenemos de sistemas oscilantes compuestos por muelles.

El periodo (o la frecuencia) del MAS de un cuerpo unido a un muelle no depende de la amplitud del movimiento, slo de la constante elstica del muelle y de la masa del cuerpo. Eso es caracterstico de todos los MAS: el tiempo que se tarda en efectuar una oscilacin no depende de la amplitud de la misma.

2.4 Energa en el movimiento armnico simple

Desde un punto de vista energtico, un sistema oscilante es un sistema que transforma continuamente energa cintica en energa potencial elstica y viceversa. Para estirar o comprimir el muelle hay que realizar un trabajo, por ello decimos que el muelle en esa situacin adquiere energa potencial elstica. Despus el muelle espontneamente adquiere energa cintica a costa de la consiguiente prdida de energa potencial elstica. Sucede al revs cuando se va frenando.

Si suponemos al sistema aislado, es decir que ni le damos energa ni el sistema pierde energa por rozamiento o por cualquier otra causa, la cantidad total de energa que tendr el sistema ser constante.

Eso es lo mismo que decir que la suma de la energa cintica y de la energa potencial elstica ser constante.

Etotal = Ecintica + Epotencial elstica = constante

Lo que es constante es la suma de las dos energas, no cada una de ellas por separado. Efectivamente, la energa cintica vara desde un valor mximo cuando pasa por la posicin de equilibrio (donde la velocidad es mxima) a un valor nulo cuando se encuentra en las posiciones de mxima separacin de la posicin de equilibrio (puntos en los que la velocidad es nula); por el contrario, la energa potencial elstica es mxima cuando el cuerpo est en la posicin ms separada y nula cuando pasa por la posicin de equilibrio.

La energa total del sistema oscilante, es decir, la suma de la energa cintica y potencial elstica, es un valor constante que coincide con el valor mximo de la energa cintica y con el valor mximo de la energa potencial elstica (que son iguales).

De modo que la energa del sistema oscilante la podemos obtener de tres formas en un instante determinado (siendo su posicin x y su velocidad v):

Etotal = Epot mx = k A2

Etotal = Ecin mx = m v2 max = m 2 A2 = 2 2 m f 2 A2

Etotal = k x2 + m v2

Las ecuaciones anteriores son vlidas no slo para el caso de un muelle sino que tambin pueden aplicarse a un pndulo (en este caso la energa potencial es gravitatoria) y, en general, a cualquier movimiento armnico simple.

3. EL PNDULO SIMPLE: un ejemplo de MAS

Por pndulo simple entendemos una partcula de masa m suspendida de un punto O por una cuerda de longitud L, que se puede considerar inextensible y de masa despreciable. A la partcula que oscila se le llama lenteja del pndulo. Si desplazamos la partcula un determinado ngulo 0 respecto a la posicin de equilibrio, soltndola a continuacin, la partcula se mover en un arco de circunferencia de radio L. Tomemos como punto de referencia el punto en el que se encuentra la partcula cuando est en equilibrio. La amplitud A ser igual a la mitad de la longitud del arco que describe en su movimiento (igual a la distancia, medida sobre el arco, desde el punto de equilibrio a la posicin de mxima separacin), y la elongacin x en cada momento ser la distancia, medida sobre la trayectoria, desde el punto de referencia al punto en el que se encuentra en ese momento la lenteja del pndulo.

Sobre la lenteja actan dos fuerzas en cualquier punto de la trayectoria: la atraccin de la Tierra sobre la lenteja cuyo valor es mg y la fuerza que ejerce la cuerda sobre la lenteja del pndulo que llamaremos T .

La fuerza tangencial Ft produce una aceleracin tangencial en la lenteja cuya rapidez cambia continuamente. Si tenemos en cuenta la relacin que existe entre el ngulo expresado en radianes, el arco y el radio (x = L ), y que para ngulos pequeos el seno del ngulo es aproximadamente igual al valor del ngulo expresado en radianes, ver tabla 1, podemos escribir:

Ft = mgsen mg = mg = x = kx

Donde k es una constante, cociente entre el peso de la lenteja y la longitud del pndulo. El signo menos se ha puesto para indicar que el sentido de la fuerza es contrario al desplazamiento, tanto angular como lineal.

La fuerza que produce la variacin de la rapidez es proporcional a la distancia a la posicin de equilibrio y de sentido contrario al desplazamiento, por lo que es de suponer que el movimiento del pndulo sea tambin un movimiento armnico simple, similar al de un cuerpo que se encuentra sujeto al extremo de un muelle. Por lo tanto, se puede describir el movimiento del pndulo con la ecuacin general del MAS que permite calcular la posicin en funcin del tiempo:

x = A sen ( t + 0)

Si el ngulo no es pequeo la aproximacin no puede hacerse. Tendramos un movimiento oscilatorio peridico pero no sera un MAS. En este caso el periodo depende de la amplitud.

La independencia del periodo respecto de la amplitud, si sta es pequea, parece que llev a Galileo al invento del reloj de pndulo, el primero en tener una buena precisin y que fue reloj patrn durante varios siglos. Para evitar que el pndulo se pare por los rozamientos que sufre, se utiliza un sistema de resortes que mantiene la oscilacin.

Otra utilidad del pndulo ha sido la medida de la gravedad en cualquier punto de la superficie terrestre.

4. OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Hasta ahora no hemos tenido en cuenta que los rozamientos internos del oscilador y el que tiene con el medio que lo rodea causarn una disminucin de la oscilacin hasta que finalice el movimiento. Por ello, si no aportamos energa al oscilador para mantener su oscilacin, su energa mecnica ir disminuyendo con el tiempo y el movimiento se denomina armnico amortiguado.

En la figura adjunta se representa la grfica x-t de un MAS y las que corresponden a movimientos armnicos amortiguados.

Segn la importancia del rozamiento frente a las otras fuerzas que intervienen en estos casos, la amortiguacin del movimiento ser mayor o menor. En ciertas condiciones se acaba muy rpidamente el movimiento armnico y el sistema se queda en equilibrio.

A veces, el amortiguamiento es algo positivo. Por ejemplo, los amortiguadores de los coches y motos interesa que detengan rpidamente la oscilacin que se produce cuando el vehculo encuentra un bache en la carretera.

5. OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA

Las oscilaciones libres reales son amortiguadas. En ellas la energa mecnica se disipa y la amplitud va disminuyendo. Si queremos mantener la oscilacin debemos aportar energa al sistema, al que llamamos oscilador forzado.

Un ejemplo ilustrativo puede ser lo que ocurre cuando se quiere pasear a un nio en un columpio. Si queremos que aumente, o al menos que se mantenga, la amplitud de la oscilacin, hay que transferir energa a ese sistema lo que se puede hacer mediante empujones aplicados peridicamente. Si comunicamos ms energa que la que se disipa, la energa del sistema aumenta con el tiempo lo que se manifiesta como un aumento de la amplitud. Si aportamos energa al mismo ritmo que se disipa, el movimiento es estacionario y la amplitud no vara. Esta energa la recibe el sistema con una frecuencia que es con la que vibrar el sistema cuando se alcance el estado estacionario.

Volviendo al ejemplo del columpio, aquellos que lo hayan intentado habrn observado que para que los empujones sean eficaces es necesario que estn acoplados con el movimiento del columpio. Si lo midiramos, sera posible observar que el mximo de transferencia de energa ocurre cuando la frecuencia con la que se empuja coincide con la frecuencia del movimiento del columpio.

Si representamos la amplitud de las oscilaciones forzadas frente a la frecuencia de la fuerza externa que comunica la energa para dos amortiguamientos distintos obtenemos la figura adjunta. La frecuencia 0 es la frecuencia a la que oscila el sistema cuando lo hace libremente. Las curvas de la grfica anterior se denominan curvas de resonancia.

La frecuencia a la cual se transfiere el mximo de energa desde el exterior a un sistema oscilante se llama frecuencia de resonancia 0. La frecuencia de resonancia coincide con la frecuencia propia o natural del sistema oscilante, es decir, la frecuencia a la que oscila cuando lo hace libremente.

La resonancia mecnica resulta curiosa, y a veces espectacular. Se cuenta que un puente se derrumb cuando sobre l transitaba una compaa de soldados franceses que marcaba el paso uniformemente con tan mala suerte que coincidi con la frecuencia propia de oscilacin del puente (a eso se atribuye que los militares rompan filas al pasar por los puentes). Tambin es famosa la cada del puente de Tacoma Narrows en julio de 1940. El puente situado en el estado de Washington en USA dur pocas semanas. Un viento lateral de no demasiada intensidad hizo que su estructura central oscilase en estado de resonancia. La oscilacin fue paulatinamente aumentando su amplitud hasta que el puente se vino abajo.

Tambin se debe a la resonancia la ruptura de una copa de cristal por el sonido emitido por un cantante. Para que se pueda conseguir esa hazaa es necesario que el sonido emitido tenga la misma frecuencia que la de oscilacin del cristal, as como que alcance una intensidad suficiente. Por eso es un gesto slo reservado a los cantantes de pera. Cuando se produce la resonancia se aumenta la amplitud de la vibracin del vidrio hasta que puede sobrepasarse el lmite elstico del mismo y se rompe.

Pero adems de los fenmenos mecnicos hay otros ejemplos de resonancias que resultan de gran utilidad. Uno de los ms cotidianos es la sintonizacin de una cadena de radio o televisin. Todas las emisoras producen simultneamente oscilaciones forzadas sobre el circuito del aparato receptor, pero para cada posicin del sintonizador existe una frecuencia natural de oscilacin del circuito elctrico del receptor. Cuando esta frecuencia coincide con la de una emisora la absorcin de energa es mxima y por ello es la nica que se sintoniza.

Tambin se produce resonancia entre la radiacin de un horno microondas y la oscilacin de los tomos en las molculas de los alimentos. Eso es lo que permite esa transferencia de energa tan eficaz. Si no hubiera resonancia, el proceso no tendra casi ninguna influencia: lo que ocurre con los platos de cermica, que no se calientan en el microondas.

6. MATEMTICAS Y REALIDAD

La ciencia hasta Galileo y Newton no us sistemticamente las matemticas para describir la Naturaleza y formalizar sus leyes. Las teoras antiguas tenan mucho de especulativo o descriptivo y sus hiptesis rara vez se cuantificaban o se les exiga la posibilidad de contrastarlas experimentalmente como criterio de validez.

La eficacia de la mecnica newtoniana para describir y predecir sucesos en el campo del movimiento, tanto sobre la superficie terrestre como en el resto del Universo, logr que el uso de las matemticas como forma de expresin de la fsica se generalizase a todos sus mbitos, como habrs comprobado a lo largo de este curso.

Sin embargo, la precisin de una ecuacin matemtica, tal como la que representa a la 2 ley de la dinmica F = m a, no nos debe llevar a pensar que existe tal precisin en la ley fsica. Veamos lo que escribe al respecto R. P. Feynman, fsico estadounidense experto en Fsica Cuntica:

6.1 El MAS: un modelo matemtico

Existe en la realidad el MAS? Es difcil que un MAS ocurra realmente en la Naturaleza, donde las oscilaciones son generalmente amortiguadas. Se puede pensar en un oscilador armnico que no tenga amortiguamiento, con elasticidad constante, en unas condiciones muy especiales, tanto que sera muy difcil considerarlo como algo real.

6.2 Superposicin de MAS: anlisis de Fourier

La mayor parte de las oscilaciones peridicas que se presentan en la Naturaleza no son MAS pero se pueden considerar como suma o superposicin de varios MAS cuyas frecuencias son mltiplos de una llamada fundamental. Para sumar dos o ms MAS debemos sumar las elongaciones de cada uno de ellos.

Casi cualquier oscilacin peridica se puede obtener sumando MAS de frecuencias que son mltiplos de la frecuencia fundamental y cuyas amplitudes se escogen de forma apropiada. Este mtodo de anlisis fue desarrollado por el matemtico francs J.B. Fourier (1768-1830) que demostr que con el llamado teorema de Fourier cualquier funcin peridica se puede expresar como una superposicin de trminos armnicos simples (en lo que se conoce como una serie de Fourier).

La frecuencia ms pequea es la fundamental, el resto sern 2, 3, etc. y se les llaman armnicos superiores o sobre tonos.

En definitiva, otra cualidad por la que podemos valorar al modelo del MAS es que cualquier oscilacin peridica se puede considerar como la suma o superposicin de varios MAS.

Con ello podemos explicar el diferente timbre de los instrumentos musicales. Una oscilacin de una cuerda de guitarra, por ejemplo, se puede considerar matemticamente como la superposicin de varios armnicos. Otro instrumento de cuerda, produciendo la misma nota, se diferencia en los armnicos o en la amplitud de cada uno de ellos, por lo que, aunque sea la misma nota musical, podemos diferenciar ambos instrumentos

CONCLUSION:

El Movimiento Armnico Simple es un movimientoperidicoen el que la posicin vara segn una ecuacin de tipo senoidal o cosenoidal.

La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo mxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento.

El M.A.S. es un movimientoacelerado no uniformemente. Suaceleracin es proporcional al desplazamientoy de signo opuesto a este. Toma su valor mximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mnimo en el centro.

Podemos imaginar un M.A.S. como una proyeccin de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posicin del cuerpo en el instante inicial.

ANEXOS:

BIBLIOGRAFIA: P. Maiztegui - J. A. Sabato

"Introduccina la fsica"

Editorial Kapelus

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm

http://usuarios.lycos.es/pefeco/mas2/mas2.htm

CALCULO IIIPgina 1