Cap 2 Conjuntos

Moisés Villena Muñoz Conjuntos

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2

2.1 DEFINICIÓN

2.2 NOTACIÓN 2.3 CARDINALIDAD 2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA

2.5 IGUALDAD 2.6 SUBCONJUNTOS 2.7 OPERACIONES 2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS

2.9 CONJUNTO REFERENCIAL 2.10 PROBLEMAS DE CARDINALIDAD

La idea de conjunto está manifiesta de una u otra forma en nuestro cotidiano vivir. Por ejemplo, cuando nos referimos a la especie que pertenecemos, a la sociedad donde vivimos, a la universidad en la cual estamos inscritos, a la carrera que vamos a cursar, ...

Más aún, los problemas matemáticos se solucionan referidos a conjuntos.


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OBJETIVOS:

SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:

Defina conjunto.

Clasifique y categorice conjuntos.

Obtenga subconjuntos de un conjunto finito dado.

Obtenga conjunto potencia.

Opere conjuntos.

Determine formas equivalentes de representación de conjuntos con regiones sombreadas en un diagrama de Venn.

Resuelva problemas planteando conjuntos.

2.1 DEFINICIÓN

Un CONJUNTO es una agrupación bien

definida de objetos llamados elementos.

2.2 NOTACIÓN

Para denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras letras del abecedario, en mayúscula.

Podemos referirnos a un conjunto indicando cada uno de sus

elementos.

Ejemplo

Si queremos referirnos al conjunto de las vocales, se lo puede hacer nombrando a cada vocal, es decir:

uoieaA ,,,,

Esta manera de referirnos a los conjuntos se denomina por

extensión o tabulación.

También podemos referirnos a un conjunto indicando las

características de sus elementos.

Ejemplo

Podemos referirnos al conjunto de las vocales de esta otra forma:

vocalunaesxxA /

Esta otra forma de referirnos a un conjunto se denomina por

comprensión.

Esto último se hace necesario cuando un conjunto tiene muchos

elementos.


30

Ejemplo

Si queremos referirnos al conjunto de los números reales, es mejor hacerlo por comprensión, es decir:

realnúmerounesxxB /

Para decir que un elemento pertenece a un conjunto empleamos el símbolo .

Ejemplo

Para decir que la vocal a pertenece al conjunto A , lo haremos así:

Aa

2.3 CARDINALIDAD

Para denotar al número de elementos de un conjunto A , se emplea

la simbología )(AN

Ejemplo

Para los dos ejemplos anteriores, tenemos: 5)( AN

)(BN ; donde el símbolo (Infinito) denota una cantidad muy grande.

De aquí surgen las siguientes definiciones:

Sea A un conjunto. Entonces:

1. A es un CONJUNTO FINITO si tiene una

cantidad determinada (contable) de

elementos. Tiene principio y tiene fin.

2. A es un CONJUNTO INFINITO si tiene

una cantidad indeterminada (no contable)

de elementos. Tiene principio y no tiene

fin.


31

3. Si A tiene un sólo elemento se lo llama

CONJUNTO UNITARIO.

4. Si A no tiene elemento, se dice que A es

el CONJUNTO VACÍO. Para este caso se

emplea la notación: .

2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA

A los conjuntos se los suele representar gráficamente mediante los

llamados DIAGRAMA DE VENN.

Generalmente son círculos, aunque también se puede emplear

cualquier otra figura geométrica.

2.5 IGUALDAD

Sean A y B dos conjuntos. Entonces BA

sí y solo sí tienen los mismos elementos. Es

decir:

BA AxBxBxAx

Gráficamente, tenemos:

2.5.1 CONJUNTOS DISYUNTOS.

A

BA

x


32

Dos conjuntos A y B son DISYUNTOS si y

sólo si, no tienen elementos en común. Es decir,

son conjuntos diferentes, BA

Gráficamente tenemos:

A B


33

2.6 SUBCONJUNTOS

Sean A y B dos conjuntos. Se dice que B

es SUBCONJUNTO de A sí y sólo sí los

elementos de B están contenidos en A . Es

decir: AxBxAB


Puede ocurrir lo contrario.

Suponga que los elementos de A estén

contenidos en B , en este caso se dice que

A es SUBCONJUNTO de B . Es decir:

BxAxBA


Si se cumple que BAAB , se dice que B es

SUBCONJUNTO PROPIO de A . Y se escribe AB .

Además se cumple que, para cualquier conjunto A : A

AA

B

A

x

B

A

x


34

En este caso a los conjunto A y se los denomina SUBCONJUNTO

NO PROPIOS.

Bien, ahora en el siguiente ejemplo se ilustra la técnica de búsqueda

de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Ejemplo

Sea el conjunto ,,1A , entonces todos los conjuntos que se pueden formar con los

elementos de A , serían: 11 S 2S 3S con cada elemento

,14S ,15S ,6S con dos elementos

AS ,,17 con tres elementos (ya es el conjunto A )

y obviamente 8S

Note que: 3)( AN , y que el número total de subconjuntos es 328 .

Entonces la regla para el número total de subconjuntos de un conjunto A ,

sería:

2.6.1 CONJUNTO POTENCIA

Sea A un conjunto. Entonces el CONJUNTO

POTENCIA de A , denotado por )(AP , es el

conjunto que tiene como elementos a todos

los subconjuntos de A .

Ejemplo

Para el caso anterior tenemos que:

,},,{,},1{,},1{,}{,}{,}1{)( AAP

CANTIDAD

DE

SUBCONJUNTOS

)(2 AN


35

Observe que es correcto decir que: )(1

1

1

AP

A

A

El NÚMERO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO POTENCIA de un conjunto A

está dado por: )(2))(( ANAPN

Ejemplo 2

Sea el conjunto ,,1B . Hallar )(BP .

SOLUCIÓN: Hallemos todos los subconjuntos del conjunto B .

11 S ,2S BS 3 4S

entonces ,,,,1)( BBP

Ejercicios Propuestos 2.1

1. Sea el conjunto 4,1,3S entonces el CONJUNTO POTENCIA de S , es:

a) ,3,1,4,3,4,1,,,1,3)( SSP b) ,4,1,,3)( SSP

c) ,4,3,1,4,1,,3)( SSP d) ,4,1,,3)( SSP

e) 4,1,3)( SP

2. Sea el conjunto baB , , entonces es VERDAD que:

a) Ba b) Bb c) Bb d) 2BPN e) 42 BPN

3. Dados los conjuntos cbaA ,, y 2,1B . Determine ¿cuál de las

siguientes proposiciones es FALSA?

a) 6BPNAPN b) 16BPPN c) APa

d) APb e) 32BPNAPN

2.7 OPERACIONES

Los conjuntos pueden ser operados, dando a lugar nuevos

conjuntos.

2.7.1 INTERSECCIÓN

Sean A y B dos conjuntos. Entonces la

INTERSECCIÓN de A con B , denotada por

BA , es el conjunto constituido por los


36

elementos comunes tanto a A como a B . Es

decir:

BxAxxBA /


Para tres conjuntos sería: CxBxAxxCBA /

Para otros casos tenemos:

2.7.2 UNIÓN

BBA

ABA BA


37


UNIÓN de A con B , denotada por BA , es

el conjunto constituido por elementos que

pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a

ambos. Es decir: BxAxxBA /



38

La unión de tres conjuntos sería:

CxBxAxxCBA /

Observe que se podría decir que: )()()()( BANBNANBAN

y que )()()()()()()( CBANCBNCANBANCNBNANCBAN

Para otros casos tenemos:

2.7.3 DIFERENCIA


DIFERENCIA de A con B , denotada por

BA , es el conjunto constituido por

elementos que pertenecen al conjunto A y no

ABA

BBA

BA


39

pertenecen al conjunto B . Es decir:

BxAxxBA /

En cambio,

La DIFERENCIA de B con A , denotada por

AB , es el conjunto constituido por

elementos que pertenecen al conjunto B y no

pertenecen al conjunto A . Es decir:

AxBxxAB /

2.7.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA

Conjunto formado por los elementos

sólo del conjunto B .

Conjunto formado por los elementos

sólo del conjunto A .


40

La DIFERENCIA SIMÉTRICA de A con B ,

denotado por BA se define como

ABBABA


41

Ejemplo

Sean los conjuntos ,,,,1A y ,?,,aB entonces

?,,,,,,1 aBA

,BA

,,1BA el conjunto A menos los elementos del conjunto B .

?,aAB el conjunto B menos los elementos del conjunto A .

?,,,,1 aBA

2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS

Las operaciones entre conjuntos cumplen ciertas propiedades.

UNION INTERSECCIÓN

ABBA

CBACBA

AAA

AA

Conmutatividad Asociatividad

Identidad

Absorción

ABBA

CBACBA

AAA

A

Propiedades distributivas

CABACBA

CABACBA

CABACBA

CABACBA

BAABA

BABAA

(OPCIONAL)Ejercicio Propuesto 2.2

Demuestre las propiedades anteriores.


42

2.9 CONJUNTO REFERENCIAL

En muchas ocasiones un conjunto A estará referido a otro conjunto

que lo contiene, llamado CONJUNTO REFERENCIAL.

Ahora surge la siguiente definición:

2.9.1 CONJUNTO COMPLEMENTO

Sea A un conjunto. Entonces el complemento

de A , denotado como CA , se define como:

AAC Re

Es decir, CA está constituido por los elementos que le faltan al

conjunto A para llegar a ser el referencial.

Además se cumple que:

AA

AA

AA

CC

C

C

Re

y se pueden verificar las LEYES

DE DEMORGAN

CCC

CCC

BABA

BABA

Ejemplo 1

Determine los conjuntos BA, , y C , conociendo que el conjunto referencial es

10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re y

66,5

9,87,2,14,3,2,1

BNANCBA

ACBCABA

C

SOLUCIÓN: Representando la información en un diagrama de Venn generalizado, resulta:


43

Ejemplo 2

La región sombreada de la figura mostrada corresponde a: a) BBA

b) CAB

c) ABCA CC

d) BCA CC

e) CCCBCA

SOLUCIÓN: Un método podría ser asignarle un número a cada región del gráfico dado, lo cual nos quedaría:

(NOTA: no importa el orden de asignación)

Realizando la operación de conjunto para cada opción dada, encontramos a la “ c ” como respuesta, es decir al

hacer ABCA CC se obtiene 6,4 que corresponde a los números dados a las regiones

sombreadas.


1. Si gfedcba ,,,,,,Re y dcbaA ,,, , bgfeB ,,, , efgC ,,

Entonces el conjunto CCCCBABA , es:

a) Re b) c) efg ,, d) a e) gba ,,

2. Sea 6,5,4,3,2,1Re y los conjuntos A y B no vacíos, tal que:

Entonces:

10,4,3

9,8,4,3,2,1

10,7,4,3,2,1

C

B

A

Entonces, los conjuntos se definirían de la siguiente manera:

14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re

8,7,6,5,4,3,2,1A

10,9,6,5,4B

13,12,11,7,5,2C


44

6,1,5,4;5,3,2;3,2 CC ABABA

Entonces ES VERDAD que:

a) 2 ABN b) 5BAN c) 4 CABN

d) 2APN e) 1BN

3. Considere el conjunto 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re y los conjuntos A , B y C no

vacíos, tales que: 12 CBA CC 9,8,5,4,3,2 CBA

11,10,3,2,1 BCA 11,10,9,8,7 ACB

Entonces el conjunto C es:

a) 11,10,7,6,1 b) 5,4,3,2,1 c) 11,10,7,1 d) 9,8,7,6,5,4 e) 7,9,8,5,4

4. Sean A , B y C subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial Re , tales que:

12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re 12,11,10,6,5,4,3,2A 9,8,7,3CB

BAC }1{)( CAB

Entonces el conjunto BAB es:

a) 9,8,7,1 b) 6,5,1 c) 9,8,7,6,5,3,1

d) 9,8,7,6,5,1 e) 1

5. Dados los conjuntos:

9,8,7,10

,5,4,6,3,2,6,110,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re

BACCBA

ACBCABA

C

Entonces es VERDAD que:

a) 9,8,7 AC b) 9,6,5,4,1B c) 9,1 CBA

d) 8,7,1BC e) 3,2C

CB

6. Sea Re un conjunto referencial, A y B subconjuntos de Re ; entonces el conjunto:

CAABA , es igual a:

a) A b) B c) CA d) Re e)

7. Una expresión que representa a la región sombreada del diagrama de Venn adjunto es:

a) BACBABAC

b) BACBACBA

c) BACCBABAC

d) CBABABACC

e) BACABBA

8. Si A , B y C son conjuntos no vacíos representados en el diagrama de Venn adjunto entonces la

región sombreada corresponde a:

a) CBACBA CC

b) CBAACAB CC

c) CCBAACAB

d) CBAACB C

e) CCCC ACCBAAB


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9. Dados los conjuntos no vacíos A , B y C , entonces la región sombreada del gráfico adjunto

corresponde a:

a) BCBA

b) CCBA

c) BABAC

d) BAC C

e) CBCBCAC

10. Dados los conjuntos A , B y C , no vacíos, entonces la EXPRESIÓN CORRESPONDIENTE a la

parte sombreada es:

a) ACBAC

b) BABACC

c) CBCA C

d) CCBA

e) CCBA

11. Dados los conjuntos no vacíos A , B y C , entonces la región sombreada del gráfico adjunto

corresponde a:

a) CABBAABBA

b) CABBACBA

c) CBACBACC

d) CCC CBACBA

e) BACCABBA

12. Sean los conjuntos BA, y C no vacíos, como se muestra en la figura; entonces la región

sombreada está representada por:

a) CBACBA

b) CBCAB

c) CCCAACB

d) CCBACBA

e) CCBAACB

13. Dados los conjuntos A , B y C , no vacíos, entonces la región sombreada del gráfico adjunto

corresponde a:

a) ABCCBA

b) BACBAC

c) CABCCBAC

d) CBACBAC

e) CBACACB


46

2.10 PROBLEMAS DE CARDINALIDAD

Hay situaciones problémicas que para su solución se requiere

plantear conjuntos. Analicemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

De los 180 maestros de una universidad 135 tienen su doctorado, 145 son

investigadores, de los doctores 114 son investigadores. Entonces es VERDAD que: a) 31 maestros no son doctores.

b) 167 son investigadores o doctores.

c) 22 doctores no son investigadores. d) 14 profesores no son investigadores ni doctores. e) 21 maestros no son investigadores.

SOLUCIÓN: primero se hace la interpretación de la información en un diagrama de Venn:

Ejemplo 2

En un curso preuniversitario, ocurrió que, de 1600 estudiantes:

801 aprobaron Matemática

900 aprobaron Economía

752 aprobaron Contabilidad

435 aprobaron Matemática y Economía

398 aprobaron Matemática y Contabilidad

412 aprobaron Economía y Contabilidad; y,

310 aprobaron Matemática , Economía y Contabilidad

Determinar cuántos de estos 1600 estudiantes aprobaron:

a) Sólo una materia d) Al menos una materia b) Exactamente 2 materias e) Cuando mucho 2 materias. c) Ninguna materia

SOLUCIÓN: El diagrama de Venn correspondiente, sería:

Analizando cada proposición dada nos damos cuenta que la única verdadera es la “d”

Entonces, las respuestas a los literales sería: a) 893, b) 315, c) 82 d) 1518 d) 1208


47

Ejemplo 3

Una fábrica produce 100 artículos por hora de los cuales pasan el control de calidad

60 . El resto de artículos tuvieron fallas del tipo A , tipo B y tipo C , y se repartieron

del modo siguiente:

8 artículos con fallas del tipo A y tipo B

12 artículos con sólo falla de tipo A

3 artículos con fallas de los 3 tipos

5 artículos con fallas de tipo A y C

2 artículos con sólo falla de tipo C y tipo B

El número de artículos que tuvieron una sola falla de tipo C o de tipo

B fue el mismo.

Determine:

a) ¿Cuántos artículos tuvieron fallas de tipo B ? b) ¿Cuántos artículos tuvieron sólo una falla?

SOLUCIÓN: El diagrama de Venn correspondiente sería:


1. Se realiza una encuesta a 660 estudiantes del Prepolitécnico y se obtiene que 350 estudian Matemáticas, 450 estudian Química, 350 estudian Física, 150 estudian las 3 materias, 200 estudian Matemáticas y Química, 250

estudian Física y Química, 210 estudian Física o Matemáticas pero no Química. Determinar : a) ¿Cuántos estudian SÓLO MATEMÁTICAS? b) ¿Cuántos estudian POR LO MENOS una materia? c) ¿Cuántos estudian CUANDO MAS dos materias?

d) ¿Cuántos estudian SOLO una materia? e) ¿Cuántos estudian SOLO dos materias?

2. Un curso de 40 alumnos que tienen que aprobar Ed. Física, y para ello todos deben escoger entre tres deportes:

fútbol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4 alumnos eligen volley y básquet. El número de alumnos que eligen sólo básquet es la mitad de lo que eligen fútbol y es el doble de los que eligen fútbol y volley. No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Entonces el número de alumnos que ELIGEN VOLLEY, el número de alumnos que ELIGEN FÚTBOL y el número de alumnos que ELIGEN SÓLO BÁSQUET

ES, respectivamente: a) 15, 20 y 10 b) 10, 20 y 15 c)10, 10 y 10 d) 15, 15 y 15 e)20, 10 y 15

3. En una entrevista a 40 estudiantes del Prepolitécnico acerca de ¿qué deporte les gusta practicar?, se obtiene que: 12 gustan jugar básquet, 14 volley y 16 fútbol. No hay estudiantes que practiquen básquet y volley, 4

practican básquet y fútbol, 20 practican volley o fútbol pero no básquet. Entonces el NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE NO PRACTICAN DEPORTE ALGUNO es:

Vemos que

40223512 xx

resolviendo se obtiene que 8x lo que

nos permite responder a lo solicitado:

a) 18 y b) 28


48

a) 8 b) 0 c)1 d) 3 e)5

4. En una encuesta a 500 estudiantes se tiene que: 220 estudian Algebra, 180 estudian Lógica, 300 estudian Cálculo, 150 estudian Lógica y Cálculo, 120 estudian Algebra y Cálculo, 50 estudian las tres materias, 120 estudian Algebra o Lógica pero no Cálculo. Entonces LOS QUE ESTUDIAN SOLO LÓGICA SON:

a) 20 b) 100 c) 60 d) 30 e) 150

5. En una encuesta realizada a 100 damnificados por los efectos del fenómeno de “El Niño”, se encuentra que 30 de ellos han perdido sus viviendas y sus rebaños, 35 sus viviendas y sus cultivos, mientras que 25 perdieron sus cultivos pero no sus rebaños, 40 perdieron sus cultivos y rebaños y 15 sólo sus cultivos. Entonces EL NÚMERO DE DAMNIFICADOS QUE PERDIERON O SÓLO SUS VIVIENDAS O SÓLO SUS REBAÑOS ES IGUAL A:

a) 60 b) 15 c) 25 d) 30 e) 10

6. Una agencia de Autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes características: - 57 tenían transmisión automática - 77 tenían aire acondicionado

- 45 tenían transmisión automática y aire acondicionado - 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni aire acondicionado ni radio estéreo - 28 tenían transmisión automática y aire acondicionado, pero no tenían radio estéreo - 90 tenían ninguna de las tres características mencionadas

- 19 tenían aire acondicionado y radio estéreo Entonces EL NÚMERO DE UNIDADES QUE TENÍAN RADIO ESTÉREO ES: a) 22 b) 1 c) 91 d) 30 e) 21

7. Un campamento de 100 estudiantes tiene 3 tipos de actividades, pescar, nadar y escalar. Setenta (70)

estudiantes prefieren pescar, veinticinco (25) prefieren pescar y nadar, dieciocho (18) prefieren nadar o escalar pero no pescar y diez (10) se dedican a las tres actividades durante su estancia en el campamento. De todos ellos doce (12) se enfermaron al llegar al campamento y no pueden hacer ninguna actividad, entonces, EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE SE DEDICAN A PESCAR Y NADAR, PERO NO A ESCALAR

SON: a) 15 b) 10 c) 20 c) 30 d) 25

8. En una encuesta a 100 aficionados del fútbol, sobre qué equipo juega mejor en la Copa Libertadores de América, se obtuvieron los siguientes resultados : - 50 opinan que es el Nacional

- 50 opinan que es el Emelec - 40 opinan que es el Palmeiras - 20 opinan que es Nacional y Emelec - 10 opinan que es Emelec y Palmeiras

- 30 opinan que es Nacional y Palmeiras - 10 opinan que ninguno juega bien ¿CUÁNTOS A FAVOR SOLAMENTE DE EMELEC? a) 0 b) 30 c) 10 d) 20 e) 25

9. En una encuesta a 100 inversionistas se observa lo siguiente: - 5 sólo poseen acciones - 15 poseen solamente valores

- 70 son propietario de bonos - 13 poseen acciones y valores - 23 tienen valores y bonos - 10 son propietarios de acciones y bonos

- Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo. Entonces, EL NÚMERO DE INVERSIONISTAS QUE SÓLO TIENEN BONOS ES IGUAL :

a) 40 b) 45 c) 67 d) 30 e) 27

10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y determinan que 4 personas no han visto

alguna de las tres películas, la mitad del número de personas que han visto sólo la película B es igual al número de personas que han visto la película C, el número de personas que han visto las películas A y B es igual a la tercera parte del número de personas que han visto sólo la película B, 7 personas han visto la película A y 5 personas han visto sólo la película A. Las personas que ven la película C no han visto las otras películas.

Determine: a) El número de personas que han visto las películas A y B. b) El número de personas que han visto la película A o la película B. c) El número de personas que ven sólo una película.

d) El número de personas que no ven la película B. 11. Para realizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, B y C entre 1270 consumidores; los

resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas consumen (A y B) o (A y C) o (B y C), 370

personas consumen sólo C, el número de personas que consumen sólo A es igual al de personas que consumen sólo B, 30 personas consumen los tres productos. Entonces el número de personas que consumen sólo el producto A, es: a) 530 b) 370 c) 700 d) 180 e) 350


49

12. Se hace una encuesta a un grupo de personas sobre los lugares de compra de juguetes para Navidad,

arrojando los siguientes resultados: 14 personas compraron en Mi Juguetería y en Juguetón; 11 personas compraron sólo en Juguetón, 9 personas compraron sólo en Juguetelandia, 5 personas compraron en los tres lugares; el número de personas que compraron sólo en Juguetelandia y Juguetón es igual al número de personas que compraron sólo en Mi Juguetería y Juguetelandia. Se supo además que en Juguetón compraron

3 personas más de las que compraron en Juguetelandia y 3 personas más de las que compraron en mi Juguetería. Entonces el NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON EN CUALQUIERA DE ESTOS TRES LUGARES, es: a) 93 b) 58 c) 13 d) 28 e) 15

13. En una encuesta realizada por PACIFICTEL a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una llamada, sea ésta, local, nacional o internacional, se obtuvo la siguiente información:

23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales.

5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales.

12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales.

El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de personas que han hecho llamadas internacionales y locales pero no nacionales.

Entonces EL NÚMERO DE ABONADOS QUE HAN HECHO LLAMADAS LOCALES es: a) 10 b ) 4 c) 6 d) 2 e) 14

14. Los estudiantes que están en el Prepolitécnico de Auditoría se encuentran registrados en los paralelos BA, y

C . En el paralelo A hay 35 estudiantes, en el paralelo B hay 41 estudiantes y en el paralelo C hay 49

estudiantes. De estos estudiantes, 5 asisten a los tres paralelos, 13 estudiantes asisten a los paralelos A y

C , y 11 estudiantes asisten a los paralelos B y C . Entonces, el NÚMERO DE ESTUDIANTES que asisten

SÓLO al paralelo C es:

a) 8 b) 36 c) 30 d) 38 e) 49

15. De un conjunto de 1200 estudiantes del ICHE se determinó que hay 400 estudiantes que hablan inglés, 600 que hablan francés, 500 que hablan alemán. De ellos 120 hablan inglés y francés, 130 hablan francés y alemán, 50 hablan inglés, francés y alemán, 180 sólo hablan inglés y 750 hablan inglés o alemán, por tanto EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE HABLAN INGLÉS Y ALEMÁN PERO NO FRANCÉS ES: a)100 b) 50 c) 150 d) 180 e)270

Misceláneos

1. Dados los conjuntos no vacíos CBA ,, y D ; entonces la REGIÓN SOMBREADA del gráfico adjunto corresponde

a:

a) DCBA

b) CDCBA

c) BDCAC

d) CDBCA

e) CCDCBA

2. Considere el conjunto 15,,3,2,1Re y los conjuntos BA, y C no vacíos, tales que:

11,7,3 CCA

9,8,6,5 AB

8,6 ABC

11 CBA

CBA

Entonces el CONJUNTO B es:

a) 9,8,7,6,5 b) 5,4,3,2,1 c) 15,13,9,5,1 d) 8,6 e) 11,9,8,6,5

3. En una encuesta realizada a 2580 personas en el Malecón 2000, se obtuvo lo siguiente:


50

A 250 personas les gusta pasear y comer o pasear y conversar o comer y conversar.

A 480 personas les gusta sólo conversar.

El número de personas que les gusta sólo pasear es igual al número de personas que les gusta sólo

comer.

A 30 personas les gusta hacer las tres actividades.

Todas las personas entrevistadas tienen por lo menos uno de los gustos mencionados. Entonces, el NÚMERO DE PERSONAS que les gusta sólo pasear es:

a) 910 b) 530 c) 700 d) 180 e) 925

4. Sea el conjunto 3,3,2,2A . Entonces es FALSO que:

a) A3,2 b) )(3,2 AP c) A3,2

d) ))((3,2 APP e) )(3,2,2 AP

5. Se realiza una encuesta a 300 estudiantes del prepolitécnico y se obtiene la siguiente información:

110 estudian Matemáticas.

110 estudian Contabilidad.

115 estudian Economía.

40 estudian Matemáticas y Economía.

25 estudian las tres materias.

60 estudian Contabilidad y Economía.

90 estudian Matemáticas o Contabilidad, pero no Economía.

Entonces, el número de estudiantes que estudian SÓLO MATEMATICAS, es: a) 20 b)40 c)15 d) 25 e) 70

6. Sean A , B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:

a) CC

BABA

b) ACCBBA

c) BABACCC

d) disyuntosconjuntossonnoBABA .

e) CABACBA

7. Se hizo una entrevista a 885 estudiantes del Prepolitécnico de Ingeniería y se obtuvo la siguiente información

respecto a las materias que más les gustan. A 600 les gusta Matemáticas. A 400 les gusta Física. A 620 les gusta Química.

A 195 les gusta Matemáticas y Física. A 190 les gusta Física y Química. A 400 les gusta Matemáticas y Química. A todos los entrevistados les gustaba al menos una de las materias mencionadas.

Entonces el número de estudiantes que les gustan LAS TRES MATERIAS, es: a) 5 b) 25 c) 35 d) 50 e) 0

8. Sea el conjunto 3,2,1S . Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.

a) 8)( SPN

b) )(3 SP

c) S3

d) )(1 SP

e) )(3,2,1 SP

9. Sean BA, y C conjuntos no vacíos, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.

a) A

b) CCCBABA

c) CABACBA

d) CCCCAAAA

e)

ABA

CCCC


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10. En una feria de autos, hubo 102 personas interesadas en comprar autos, además en dicha feria se obtuvo la

siguiente información: 30 personas compraron autos Volswagen y Chevrolet. 40 personas compraron autos Volswagen y Hyundai. El número de personas que compraron los 3 carros es igual a la mitad del número de personas que no

compraron ningún automóvil. El número de personas que compraron sólo Hyundai y Chevrolet es la mitad del número de las personas

que compraron sólo Chevrolet. 50 personas compraron autos Hyundai.

48 personas compraron Chevrolet o Volswagen pero no Hyundai. 5 personas compraron Hyundai y Chevrolet. Entonces EL NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON SÓLO UNA CLASE DE AUTO fue: a) 27 b) 28 c) 98 d)14 e)58

11. Dados los conjuntos no vacíos A, B , C y el conjunto referencial 6,5,4,3,2,1Re tales que:

5,4,3)( CBA

2)( CBA

6,1)( CABBA

Entonces el conjunto C es:

a) ,6,5,4,3C b) ReC c) 6,1C d) C e) 6,2,1C

12. Sea el conjunto aabS ,, . Entonces es VERDAD que:

a) )(SPa b) SbSP )( c) 9))(( SPN

d) )(, SPaa e) Sa

13. La expresión que representa la región sombreada es:

a) ABCABC

b) ABCB

c) BACABC

d) BACAB

e) BBACC

14. Sea Re un conjunto referencial, tal que 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1Re y sean BA, y C tres conjuntos

no vacíos, tales que:

- 10,4,1BA - 2 CBA

- 5,4CA - 10,8,1 CCCB

- 2,3BCC

- 6,5,4,2 ACCBBA

Entonces es VERDAD que:

a) 6,5,3,2C

b) 9,7,6,5,4A

c) 10,5,4,2,1B

d) 3,2,10,4,1 CBBA

e) 9,7,6,3CA

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Cap 2 Conjuntos