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1
Capítulo 12: Métodos no paramétricos
Los métodos presentados en los capítulos anteriores, se basaban en el conocimiento de las distribuciones muestrales de
las diferencias de porcentajes o promedios, cuando las muestras provenían de una misma población. Se aceptaba
entonces usar la aproximación normal, la distribución de t de Student o la distribución F de Fisher en el análisis de
varianza, bajo el supuesto de que la hipótesis nula es cierta. Dado que en esos métodos se estiman los parámetros de las
poblaciones de origen, esas técnicas estadísticas reciben el nombre de “paramétricas”.
Hay situaciones en que, por el escaso número de observaciones, o por el nivel de medición de las variables, no es
correcto o no es posible hacer supuestos sobre las distribuciones muestrales subyacentes. En tales casos se usan los
métodos “no paramétricos” o de distribución libre.
Aquí presentaremos algunos ejemplos de pruebas no paramétricas para el caso de dos muestras independientes, para el
caso de dos muestras dependientes o pareadas y para la comparación de más de dos grupos en que no son aplicables los
métodos paramétricos.
Las pruebas paramétricas, asumen como distribución muestral la distribución Normal, este supuesto no siempre se
cumple, sin embargo recurrimos a que estos métodos paramétricos son robustos. Además estos métodos son
preferidos porque tienen mayor potencia.
¿Pero qué hacemos cuando no se cumple la normalidad o tenemos muy pocos datos?
Opciones:
1. Si hay valores extremos y el tamaño muestral es pequeño cualquier método de inferencia es dudoso.
2. A veces podemos transformar los datos (log es la transformación más usada)
Ejemplo: Se tienen datos sobre la emisión de monóxido de Carbono de 46 vehículos del mismo tipo (Monoxido.sav).
EN HC CO NOX
1 0.5 5.01 1.28
2 0.65 14.67 0.72
3 0.46 8.6 1.17
. . . .
. . . .
. . . .
44 0.46 3.99 2.01
45 0.47 5.22 1.12
46 0.55 7.47 1.39
A los investigadores les interesa calcular un intervalo de confianza para la media del monóxido de Carbono.Si
analizamos el histograma adjunto, vemos que la distribución del monóxido de Carbono es sesgada a la derecha, por
lo que la media no será un buen estimador del centro de la distribución y por lo tanto la estimación por intervalo de
confianza tampoco será adecuada. Como solución podemos transformar la variable usando el logaritmo natural y
calculamos el promedio de la nueva variable. Pero al investigador le interesa conocer el intervalo de confianza en las
unidades originales de la variable, para eso convertimos a la unidad original de CO con exponencial
( 918,7507,5 0691,27061,1 =−= ll ).
2
Monóxido de Carbono
24.0
22.0
20.0
18.0
16.0
14.0
12.0
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
14
12
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = 5.26
Media = 8.0
N = 46.00
Intervalo de confianza 95% para la media de CO
(6,398 - 9,522)
Log(CO)
3.25
3.00
2.75
2.50
2.25
2.00
1.75
1.50
1.25
1.00
.75
.50
12
10
8
6
4
2
0
Desv. típ. = .61
Media = 1.89
N = 46.00
Intervalo de confianza 95% para la media del log CO
(1,7061 - 2,0691)
¿Qué pasa con el supuesto de Normalidad?
Pruebas de normalidad
.187 46 .000 .842 46 .000
.104 46 .200* .970 46 .266
Monóxido de Carbono
Log(CO)
Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.
Kolmogorov-Smirnova
Shapiro-Wilk
Este es un límite inferior de la significación verdadera.*.
Corrección de la significación de Lillieforsa.
Gráfico Q-Q normal de Monóxido de Carbono
Valor observado
3020100-10
Norm
al espera
do
3
2
1
0
-1
-2
-3
Gráfico Q-Q normal de Log(CO)
Valor observado
3.53.02.52.01.51.0.5
Norm
al espera
do
3
2
1
0
-1
-2
-3
3. También existen métodos paramétricos que asumen otras distribuciones, por ejemplo para el tiempo que
demora en fallar un producto se usa una distribución de Weibull (ver diagrama adjunto).
3
4
4. Finalmente, existen los métodos que no asumen una distribución, también llamados de distribución libre o no
paramétricos.
Los métodos no paramétricos son la manera más directa de solucionar el problema de falta de normalidad. Estos métodos
son muy simples de usar y están disponibles en SPSS. Pero tienen dos desventajas. Primero que tienen menos poder1 que
las equivalentes soluciones paramétricas. También es importante distinguir que las pruebas de hipótesis no paramétricas NO
contestan a la misma pregunta que las pruebas paramétricas. Por ejemplo si queremos hacer un test para docimar sobre el
centro de la distribución, el test no paramétrico establece la hipótesis en términos de la mediana y el test paramétrico usa la
media.
Tipo Test Paramétrico Test no paramétrico
Una muestra
Test t simple
Test del signo de rangos de Wilcoxon
Muestras pareadas
Test t simple
Test del signo de rangos de Wilcoxon
Dos muestras independientes
Test t para muestras independientes
Test de suma de rangos de Wilcoxon
Más de dos muestras independientes
ANOVA de un factor
Test de Kruskal-Wallis
Diseño en bloques aleatorios
ANOVA con bloques
Ji cuadrado de Friedman
Existen dos grandes tipos de test no paramétricos, los que usan cuentas o números y los que usan rangos. En este capítulo
revisaremos del test de suma de rangos de Wilcoxon y el Test de Kruskal-Wallis.
Ejemplo: Se tienen dos parcelas experimentales. En una de las parcelas se sacó completamente la maleza y en la otra se
dejó hasta 3 malezas por metro cuadrado. ¿Dañará la presencia de maleza la producción de maíz?
Malezas
por metro cuadrado
Producción de maíz
0 166,7 172,2 165,0 176,9
3 158,6 176,4 153,1 156,0
Hipótesis
En este problema la hipótesis nula es que la maleza no afecta la producción de maíz. La hipótesis alternativa es que la
producción es menor cuando hay maleza. Si estamos dispuestos a asumir que la producción de maíz es Normal, o si
tenemos un tamaño muestral razonablemente grande, usamos el test t para medias independientes. Las hipótesis son:
211
210
:
:
µµ
µµ
>
=
H
H
Cuando la distribución no es Normal, podemos re-escribir las hipótesis en términos de medianas:
211
210
medianamediana:
medianamediana:
>
=
H
H
¿Qué tipo de test (paramétrico o no paramétrico) será el adecuado en este caso?
1 Se define poder o potencia del test como la capacidad del test para detectar hipótesis nulas falsas. Potencia = 1-β
5
Hacemos la prueba de normalidad:
Pruebas de normalidad
.241 4 . .938 4 .640
.341 4 . .819 4 .140
WEEDS
0
3
YIELD
Estadístico gl Sig. Estadístico gl Sig.
Kolmogorov-Smirnova
Shapiro-Wilk
Corrección de la significación de Lillieforsa.
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 0
Valor observado
178176174172170168166164
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 3
Valor observado
180170160150
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Tenemos muy pocos datos por lo tanto será adecuado hacer un test no paramétrico.
Test de suma de rangos de Wilcoxon2
Este es un test de rangos. El primer paso será calcular los rangos de las observaciones.
Transformación a rangos
Ordenamos los datos de menor a mayor:
Producción 153,1 156,0 158,6 165,0 166,7 172,2 176,4 176,9
Rango 1 2 3 4 5 6 7 8
Pasar de los datos a sus rangos, es equivalente a transformar los datos. Los rangos retienen solamente el orden de las
observaciones y no el valor numérico.
Si la presencia de maleza afecta la producción de maíz esperamos que los rangos más pequeños sean de ese grupo. Podemos
comparar la suma de los rangos de los dos tratamientos:
Tratamiento Suma de rangos
Sin maleza 23
Con maleza 13
Por definición la suma de rangos de 1 a 8 es: 362
98
2
)1(=
×=
+nn, donde n es el número total de observaciones.
Por lo tanto podemos calcular la suma en uno de los grupos y el otro tiene que ser la diferencia (36- 23=13)
Si no hay diferencia entre los tratamientos esperamos que los rangos sean la mitad en cada grupo, es decir 18.
2 Este test fue creado por el químico Frank Wilcoxon (1892-1965) en 1945.
6
Test de suma de rangos de Wilcoxon
Se tiene una m.a.s de tamaño n1 de una población, y una segunda m.a.s de tamaño n2 de otra población. Hay n observaciones
en total, donde n = n1 + n2. Se calcula el rango de las n observaciones. El test estadístico será la suma W de los rangos del
grupo con menor suma de rangos, este será el estadístico de suma de rangos de Wilcoxon. Si las dos poblaciones tienen la
misma distribución continua, entonces W tiene media:
2
)1(1 +=
nnWµ y desviación estándar:
12
)1(21 +=
nnnWσ
Donde n1 será el tamaño muestral del grupo con menor suma de rangos.
El test de suma de rangos de Wilcoxon rechaza la hipótesis nula de que las dos poblaciones tienen la misma distribución
cuando la suma de rangos W está lejos de su media.
En el ejemplo del maíz queremos docimar:
H0: no hay diferencias en la distribución de la producción de maíz en los dos grupos
versus
H1: la producción es mayor en el tratamiento sin malezas
Nuestro test estadístico W=13
Bajo Ho W tiene media: 182
)18(4=
+=Wµ y desviación estándar: 4641,3
12
)18(44=
+×=Wσ
Valor p = )|13( 0HWP ≤ Necesitamos conocer la distribución muestral de W bajo la hipótesis nula.
Existen tablas que dependen de n1 + n2.
Veamos la salida qué nos da SPSS:
Estadísticos de contrasteb
3.000
13.000
-1.443
.149
.200a
.200
.100
.043
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Sig. exacta [2*(Sig.
unilateral)]
Sig. exacta (bilateral)
Sig. exacta (unilateral)
Probabilidad en el punto
YIELD
No corregidos para los empates.a.
Variable de agrupación: WEEDSb.
7
La salida de SPSS nos da el valor p exacto para la distribución muestral de W. El valor p para la hipótesis unilateral es 0,1
(valor p exacto según SPSS).
Si comparamos con el equivalente test paramétrico t = - 1,554, valor p=0,171/2=0,0855, llegamos a la conclusión similar
(recuerde que las hipótesis son distintas).
Prueba de muestras independientes
1.256 .305 -1.554 6 .171 -9.175 5.9056 -23.6254 5.2754
-1.554 4.495 .187 -9.175 5.9056 -24.8832 6.5332
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
YIELD
F Sig.
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
t gl Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
Error típ. de
la diferencia Inferior Superior
95% Intervalo de
confianza para la
diferencia
Prueba T para la igualdad de medias
La aproximación Normal
El estadístico de suma de rangos W se aproxima a la distribución Normal cuando n es grande. Entonces podemos formar un
test z para estandarizar a W:
W
WWz
σµ−
=
El valor de z en el ejemplo del maíz nos da:
44,14641,3
1813−=
−=z
Esperamos rechazar para valores grandes de W si la hipótesis alternativa es verdadera, por lo que el valor p aproximado es:
0749,09251,01)44,1( =−=−≤= ZPpValor
SPSS da el valor p exacto para W y el asintótico o aproximado que utiliza la aproximación a la Normal.
Además SPSS nos entrega el estadístico U de Mann-Whitney, este es equivalente al test de suma de rangos de Wilcoxon.
Empates
La distribución exacta de test de Wilcoxon para suma de rangos se obtiene asumiendo que todas las observaciones tienen
diferentes valores y por lo tanto su rango. En la práctica ocurre que muchas veces tenemos valores iguales. Lo que hacemos
es asignar el valor promedio del rango que ocupan.
Ejemplo:
Observación 153 155 158 158 161 164
Rango 1 2 3,5 3,5 5 6
La distribución exacta del test de Wilcoxon se aplica a datos sin empates, por lo que deberemos ajustar la desviación
estándar en la presencia de empates.
8
Ejemplo:
La comida que se vende en eventos al aire libre puede ser menos segura que la de restoranes porque se prepara en lugares no
acondicionados y a menudo por voluntarios. ¿Qué pensará la gente acerca de la seguridad de la comida en ferias? Un
estudio preguntó a asistentes a este tipo de eventos:
¿Qué tan a menudo piensa usted que se enferma la gente que consume comida en eventos al aire libre?
Las respuestas posibles eran:
1 = raramente
2 = de vez en cuando
3 = a menudo
4 = muy frecuentemente
5 = siempre
En total 303 personas respondieron a la pregunta. De estos 196 eran mujeres y 107 hombres.
¿Existe evidencia que hombres y mujeres difieren en su percepción acerca de la seguridad en la comida de ferias al aire
libre?
Tabla de contingencia Sexo * Respuesta
Recuento
13 108 50 23 2 196
22 57 22 5 1 107
35 165 72 28 3 303
F
M
Sexo
Total
1 2 3 4 5
Respuesta
Total
Comparamos los porcentajes por filas:
Tabla de contingencia Sexo * Respuesta
% de Sexo
6.6% 55.1% 25.5% 11.7% 1.0% 100.0%
20.6% 53.3% 20.6% 4.7% .9% 100.0%
11.6% 54.5% 23.8% 9.2% 1.0% 100.0%
F
M
Sexo
Total
1 2 3 4 5
Respuesta
Total
¿Es la diferencia entre sexos significativa?
H0: hombres y mujeres no difieren en sus respuestas
H1: uno de los dos sexos da sistemáticamente mayores respuestas que el otro
La hipótesis alternativa es de dos colas.
Como las respuestas posibles son sólo 5 hay muchos empates.
Veamos la salida de SPSS:
9
Rangos
196 163.25 31996.50
107 131.40 14059.50
303
Sexo
F
M
Total
Respuesta
N
Rango
promedio
Suma de
rangos
Estadísticos de contrastea
8281.500
14059.500
-3.334
.001
.001
.000
.000
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilateral)
Sig. exacta (bilateral)
Sig. exacta (unilateral)
Probabilidad en el punto
Respuesta
Variable de agrupación: Sexoa.
Tenemos suficiente evidencia para concluir que existen diferencias significativas entre la percepción acerca de la seguridad
de la comida al aire libre entre hombres y mujeres.
Como el tamaño de la muestra es grande podríamos haber usado el test paramétrico:
Prueba de muestras independientes
3.031 .083 3.361 301 .001 .33 .099
3.365 218.856 .001 .33 .099
Se han asumido
varianzas iguales
No se han asumido
varianzas iguales
Respuesta
F Sig.
Prueba de Levene
para la igualdad de
varianzas
t gl Sig. (bilateral)
Diferencia
de medias
Error típ. de
la diferencia
Prueba T para la igualdad de medias
Pero en este caso, tenemos argumentos a favor del test no paramétrico. El test paramétrico asume que las respuestas tienen
valor numérico y en realidad en una escala cualitativa. Usar rangos es más apropiado en este caso.
10
Test de Kruskal-Wallis
El test de suma de rangos de Wilcoxon sirve para comparar dos tratamientos. Ahora veremos una alternativa no paramétrica
al ANOVA de un factor es decir para comparar más de dos tratamientos, que corresponde al test de Kruskal-Wallis.
Ejercicio: Veamos una nueva versión del problema de las malezas. El investigador en realidad probó 4 tipos de malezas 0,
1, 3 y 9 por metro cuadrado.
Descripción de la Producción bajo distintas condiciones de maleza:
Maleza n Media Desviación típica
0 4 170.200 5.4216
1 4 162.825 4.4687
3 4 161.025 10.4933
9 4 157.575 10.1181
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 0
Valor observado
178176174172170168166164
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 1
Valor observado
168166164162160158156
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 3
Valor observado
180170160150
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Gráfico Q-Q normal de YIELD
Para WEEDS= 9
Valor observado
170160150140
Norm
al espera
do
1.0
.5
0.0
-.5
-1.0
Ya analizamos que en este caso es difícil probar normalidad con tan pocos datos, por lo tanto será conveniente usar un
método no paramétrico.
11
Hipótesis y supuestos
El test F de ANOVA responde a la hipótesis:
.igualesson no medias dos menos al :
...:
1
210
H
H kµµµ ===
Los datos deben provenir de k poblaciones independientes, con distribución normal y con la misma desviación estándar.
El test de Kruskal_Wallis es un test de rangos que reemplaza al test F de ANOVA. El supuesto acerca de la independencia
de las poblaciones sigue siendo importante, pero ya no necesitamos normalidad. Asumiremos que la respuesta tiene una
distribución continua en cada población.
H0: las k distribuciones son iguales
H1: una de ellas tiene valores sistemáticamente mayores
Si todas las distribuciones tienen la misma distribución, esta hipótesis la podemos simplificar.
H0: las k poblaciones tienen la misma mediana
H1: no todas las medianas son iguales
Recordemos la idea del ANOVA: tenemos una variación total observada de la respuesta como la suma de dos partes, una
que mide la variación entre los grupos o tratamientos (suma de cuadrados entre tratamientos, SCE) y la otra que mide la
variación entre las mediciones de un mismo tratamiento (suma de cuadrados dentro de los tratamientos, SCD). El test F de
ANOVA rechaza la hipótesis nula de que las medias son iguales si la SCE es grande relativa a la SCD.
La idea del test de Kruskal-Wallis es calcular los rangos de todas las respuestas y luego aplicar el ANOVA a los rangos en
vez de las observaciones originales.
Test de Kruskal-Wallis
Se tienen k muestras aleatorias de tamaños n1, n2,...,nk. Hay n observaciones en total, donde n es la suma de los ni. Se
calcula el rango de las n observaciones y sea Ri la suma de los rangos en el i-esima muestra o grupo. El estadístico de
Kruskal-Wallis es:
)1(3)1(
12
1
2
+−+
= ∑=
nn
R
nnH
k
i i
i
Cuando los tamaños ni son grandes y las k poblaciones tienen la misma distribución, H tiene aproximadamente una
distribución de Ji-cuadrado con (k-1) grados de libertad.
El test de Kruskal-Wallis rechaza la hipótesis nula de que todas las poblaciones tienen la misma distribución cuando H es
grande.
Vemos que así como el test de suma de rangos de Wilcoxon, el test de Kruskal-Wallis está basado en suma de rangos,
mientras mayor sea la diferencia entre los rangos de los grupos mayor evidencia de que las respuestas son diferentes.
La distribución exacta del estadístico H de Kruskal-Wallis bajo la hipótesis nula depende de los tamaños muestrales n1,
n2,...,nk, por lo tanto las tablas son terribles. El cálculo de la distribución exacta es tan complicado que los softwares
generalmente usan la aproximación de χ2 para obtener el valor p.
Veamos lo rangos para el problema de las malezas.
Como antes, también tenemos que corregir cuando existen empates.
12
Revisemos los datos de las malezas:
Malezas por metro Producción
0 166,7 172,2 165,0 176,9
1 166,2 157,3 166,7 161,1
3 158,6 176,4 153,1 156,0
9 162,8 142,4 162,7 162,4
Tenemos que calcular los rangos de todos los datos ordenados. Luego calcular H. En SPSS podemos calcular los rangos
con: Transformar, Asignar rangos a casos
Grupos
Suma de Rangos 2
iR
0 52,5 2756,25
1 33,5 1122,25
3 25,0 625,0
9 25,0 625,0
Total 136
)17(34
0,625
4
0,625
4
25,1122
4
25,2756
)17(16
12−
+++=H
( ) 56,551125,1282272
12=−=H
Rangos
4 13.13
4 8.38
4 6.25
4 6.25
16
WEEDS
0
1
3
9
Total
YIELD
N
Rango
promedio
Estadísticos de contrastea,b
5.573
3
.134
Chi-cuadrado
gl
Sig. asintót.
YIELD
Prueba de Kruskal-Wallisa.
Variable de agrupación: WEEDSb.
La diferencia con el cálculo de SPSS se debe a la corrección por empates. Esta corrección hace que la aproximación de Ji
cuadrado sea más precisa. Es importante hacerla si hay muchos empates.
Podemos comparar este test no paramétrico con su equivalente paramétrico:
13
4444N =
WEEDS
9310
YIE
LD
180
170
160
150
140
130
ANOVA
YIELD
340.667 3 113.556 1.735 .213
785.542 12 65.462
1126.209 15
Inter-grupos
Intra-grupos
Total
Suma de
cuadrados gl
Media
cuadrática F Sig.
Vemos que llegamos a la misma conclusión, es decir que las malezas no afectan significativamente la producción de maíz.
¿Ustedes qué creen?
Ejercicio:
Se tienen datos del contenido en calorías y sodio de 3 tipos de vienesas: cerdo, mixtas, y de ave.
171720N =
TIPOS
avemixtocarne
CA
LO
RIA
S
220
200
180
160
140
120
100
80
60
14
Descriptivos
CALORIAS
20 155.80 25.220 5.639 144.00 167.60 90 190
17 158.71 25.236 6.121 145.73 171.68 107 195
17 122.47 25.483 6.181 109.37 135.57 86 170
54 146.22 29.696 4.041 138.12 154.33 86 195
carne
mixto
ave
Total
N Media
Desviación
típica Error típico Límite inferior
Límite
superior
Intervalo de confianza para
la media al 95%
Mínimo Máximo
Prueba de homogeneidad de varianzas
CALORIAS
.301 2 51 .741
Estadístico
de Levene gl1 gl2 Sig.
ANOVA
CALORIAS
14074.369 2 7037.184 10.987 .000
32664.965 51 640.490
46739.333 53
Inter-grupos
Intra-grupos
Total
Suma de
cuadrados gl
Media
cuadrática F Sig.
CALORIAS
HSD de Tukeya,b
17 122.47
20 155.80
17 158.71
1.000 .937
TIPOS
ave
carne
mixto
Sig.
N 1 2
Subconjunto para alfa
= .05
Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos
homogéneos.
Usa el tamaño muestral de la media armónica =
17.895.
a.
Los tamaños de los grupos no son iguales. Se utilizará
la media armónica de los tamaños de los grupos. Los
niveles de error de tipo I no están garantizados.
b.
¿Cómo hacemos el análisis no paramétrico?
15
Rangos
20 32.83
17 33.53
17 15.21
54
TIPOScarne
mixto
ave
Total
CALORIASN
Rango
promedio
Estadísticos de contrastea,b
15.179
2
.001
Chi-cuadrado
gl
Sig. asintót.
CALORIAS
Prueba de Kruskal-Wallisa.
Variable de agrupación: TIPOSb.
¿Qué informamos a los consumidores de vienesas?
RANK of CALORIAS
HSD de Tukeya,b
17 15.206
20 32.825
17 33.529
1.000 .987
TIPOS
ave
carne
mixto
Sig.
N 1 2
Subconjunto para alfa
= .05
Se muestran las medias para los grupos en los subconjuntos
homogéneos.
Usa el tamaño muestral de la media armónica =
17.895.
a.
Los tamaños de los grupos no son iguales. Se utilizará
la media armónica de los tamaños de los grupos. Los
niveles de error de tipo I no están garantizados.
b.
Lo que hicimos fue calcular los rangos de la variable respuesta (calorías) y luego analizamos paramétricamente la nueva
variable. Esta propuesta no es absolutamente convencional y fue publicada por:
Conover, W. Iman, R. (1981) Rank transformation as a bridge between parametric and non parametric studies. The
American Statistican, 35: 124-133.
Fisher, L. Van Belle, G. En Biostatistics, Wiley (1993 ) proponen rutinariamente hacer tanto el análisis paramétrico como su
equivalente no paramétrico (cuando existe) y si las conclusiones son divergentes investigar el motivo.
16
Correlación por rangos de Spearman*
Hasta ahora hemos analizado la correlación mediante el coeficiente de correlación lineal r de Pearson, sin embargo existen
otros coeficientes de correlación útiles, particularmente el coeficiente de correlación por rangos de Spearman (rs). El uso de
este coeficiente es apropiado cuando la escala de medida de las variables de interés no es cuantitativa sino que es ordinal.
La r de Spearman es en realidad el coeficiente de correlación lineal r de Pearson, aplicado a los datos que satisfacen los
requisitos de una escala ordinal. La ecuación más sencilla para el cálculo de rs cuando no existen empates, o existen pocos,
con respecto al número de pares de datos (x, y) es:
( )nn
YRXRr
ii
s −
−−= ∑
3
2)()(6
1
Donde: )( iXR es el rango del i-ésimo dato X y )( iYR es el rango del i-ésimo dato Y.
Se puede mostrar que si los datos no tienen empates, la r de Pearson se reduce algebraicamente a la ecuación anterior.
Ejemplo: Suponga que una gran corporación está interesada en calificar a un grupo de 12 aspirantes a gerentes según su
capacidad de liderazgo. Se contrata a dos psicólogos para realizar el trabajo. Como resultado de sus exámenes y entrevistas,
cada uno de los psicólogos, de manera independiente, han clasificado a los aspirantes según su capacidad de liderazgo. Los
rangos van de 1 a 12, donde 1 representa el nivel máximo de liderazgo. Los datos aparecen en la tabla. ¿Cuál es la
correlación entre las clasificaciones de los dos psicólogos?
Sujeto
Orden de
Psicólogo 1
Orden de
Psicólogo 2
Diferencias ( )2)()( ii YRXR −
1 6 5 1 1
2 5 3 2 4
3 7 4 3 9
4 10 8 2 4
5 2 1 1 1
6 3 6 -3 9
7 9 10 -1 1
8 1 2 -1 1
9 11 9 2 4
10 4 7 -3 9
11 8 11 -3 9
12 12 12 0 0
52
818,0182,011212
5261
3=−=
−×
−=sr
Comparemos con la salida de SPSS:
* Spearman, C. (1904) "The proof and measurement of association between two things", American Journal of Psychology,
15: 72-101.
17
Correlaciones
1.000 .818**
. .001
12 12
.818** 1.000
.001 .
12 12
Coeficiente de
correlación
Sig. (bilateral)
N
Coeficiente de
correlación
Sig. (bilateral)
N
PSI1
PSI2
Rho de Spearman
PSI1 PSI2
La correlación es significativa al nivel 0,01 (bilateral).**.
Correlaciones
1 .818**
. .001
12 12
.818** 1
.001 .
12 12
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
PSI1
PSI2
PSI1 PSI2
La correlación es significativa al nivel 0,01
(bilateral).
**.
PSI2
14121086420
PSI1
14
12
10
8
6
4
2
0
En este caso los dos coeficientes de correlación son iguales, pero tenemos argumentos a favor de usar un método no
paramétrico.
