31

CAPTULOIV

FUERZACORTANTEYMOMENTOFLEXIONANTEENVIGAS

4.1CONCEPTOSBSICOS

Estecaptuloexplicacmolasdiversasfuerzasaplicadasaunavigalleganaproducirfuerza

cortanteymomentoflexionanteinternos.

En la primera escena se muestra una viga subsiguientemente se aplican fuerzas a ella

(Figura 4.1) y, debido a estas cargas, la viga sufre una deformacin. Para explicarle al

usuariolosqueocurreinternamenteenlavigaesnecesariorealizaruncorteenunaseccin

C(Figura4.2).

C

Figura 4.1Vigasometidaacargas

C

Figura4.2Flexindelavigadebidoacargas

Antesdepasaralcorteseleindicaalusuarioqueesnecesariorealizareldiagramadecuerpo

libreyencontrarlasreacciones.

32

Hechoesto, laviga sedivideendospartesparaestudiar loqueocurreenel corte (Figura

4.3).Se realizauncambiodeperspectivapara favorecer la visinde lasacciones internas

(Figura 4.4 a) que equilibran al cuerpo con las fuerzas externas aplicadas y, entonces,

visualmenteaccioneslasfuerzasVyM.Posteriormentesedibujanlosesfuerzosquecausa

laflexinenlaviga(Figura4.4b)ycuyaobtencinseestudiarenelcaptulosiguiente.

C

Figura4.3Corteenlaviga

Figura4.4(a) Surgenlasfuerzasqueequilibranalelemento

Figura4.4(b) Esfuerzosproducidospormomentoflexionante

33

Tambinseleproporcionainformacinalusuariodelautilidadynecesidaddesaberdnde

seubicanlosmomentosflexionantesycortantesmximos.Estoltimoseexplicaenescenas

msadelanteenlasecueladeclculo.

4.2CONVENCINDESIGNOS

Paraanalizarvigassometidasacargassehaadoptadounaconvencindesignosparaquelos

cortantes y momentos estudiados tengan significado. En el paquete didctico se dan los

ejemplosycircunstanciasenlosqueunmomentoseconsiderapositivoonegativo.

Seempiezaconunaescenadondeseobservandosvigassincargaalguna(Figura4.5).

Figura4.5Vigaslibredecargas

Posteriormenteacadaunaseleaplicanaccionesexternasdiferentes,unafuerzaverticalala

primeravigayalasegundamomentos.Conestoseobservaunadeformacincncavade

lasvigascomosemuestraenlasfigura4.6.

34

Figura4.6Flexinpositiva

Siguiendo,secambiaelsentidodelasaccionesexternasyladeformacindelasvigassees

ahoraconvexa(Figura4.7).Cadadeformacinvaacompaadadesutextoindicandosiel

momentoespositivoonegativo.

Figura4.7Flexinnegativa

Al pasar a la siguiente escena se presenta la convencin de signos usada para la fuerza

cortante.Aqusepresentalaanimacindeunavigalibredecargasyselehaceuncortepor

lamitad.

Seleaplicancargasalaviga,deambosladosdelcorte,ylavigasecorta.Dependiendodel

sentidodelascargasaplicadas,lavigasecortadedosdiferentesmaneras.Alusuariosele

indicaqucargaslogranelcortepositivoyde igualformaculeselcortenegativo(Figura

4.8).

35

Positivo

Negativo

Figura4.8Convencindesignosparacortante

4.2DIAGRAMADEFUERZACORTANTEYMOMENTOFLEXIONANTE

Para la secuela de clculo, el paquete rene tres casos de vigas, de diferentes claros,

diferenteubicacindeapoyos,ycondiferentestiposdecargasaplicadasaellas(puntuales,

distribuidas,triangulares).Conestosetratadeabarcarlosescenariosmscomunesenque

unavigaestsometidaafuerzas.

Encadaejemploseguaalusuarioconlametodologausualparadeterminarlosdiagramas

defuerzacortanteymomentoflexionante.

36

4.2.1 Ejemplo1

Paraelprimerejemplosepresentaunvigasimplementeapoyadaenlosextremos,sometida

unacargapuntualyunadistribuidaparcial(Figura4.9).

Figura4.9Vigasometidaacargas

Sele indicaalusuarioqueelprimerpasoes ladeterminacinde lasreacciones. Conuna

animacin,losapoyossontransformadosenflechasindicandoelsentidodelareaccin.Este

diagramadecuerpolibresemantienealolargodetodalaescena.Secontinaestableciendo

unejedereferenciayposteriormenteseefectauncorteparaanalizarlasaccionesinternasa

unadistanciaxdelorigendelejedereferencia(Figura4.10).

37

Figura4.10Primercorteaunadistanciaxdelextremoizquierdodelaviga

Seobtieneeldiagramadelcuerpolibredelladoizquierdodelcorteyseanalizartodaslas

fuerzas que se encuentran en ese lado por equilibrio se obtienen las ecuaciones para la

fuerzacortanteVyelmomentoflexionanteM(Figura4.11).

Figura4.11 EcuacionesparaVy Mobtenidasparaelprimercorte

Una vez obtenidas las ecuaciones, la placa (que representa la localizacin del corte) se

muevehacialaderechahastapasarlacargadelos10kN.Aquseleexplicaalusuarioqueel

38

diagramadecuerpolibredelladoizquierdodelavigahacambiadodebidoalapresenciade

lanuevacargay,enconsecuencia,habrnuevasecuacionesparaVy M (Figura4.12).

Figura4.12EcuacionesparaVy Mobtenidasenelsegundocorte

Realizadoesto,laplacasemuevenuevamenteahoramsallde los3.5m.Aquaparecen

nuevas cargas que modifican el diagrama de cuerpo libre anterior. Entonces nuevas

ecuacionesparaVy Msonobtenidas.Paraexplicardemaneravisualcmoseconsideranlas

cargas distribuidas,mediante una animacin sta se transforma enuna cargapuntual y se

acotasudistanciaalcorte(Figura4.13).

39

Figura4.13EcuacionesparaVyMobtenidaseneltercercorte

Se le explica al usuario que no es estrictamente necesario estudiar la viga de izquierda a

derecha,yque,enelcasodelltimocorte,resultamsconvenienteanalizareldiagramade

cuerpo libredel ladoderechodelcorte. Secambia el eje de referencia y se consiguen las

ecuaciones paraV yM. stas se comparan con las obtenidas inicialmente para elmismo

corte,notandounadisminucinconsiderabledeelementosenlasexpresiones(Figura4.14).

40

Figura4.14Diagramadecuerpolibredelladoderechodeltercercorte

Deestamaneraseleexplicaalusuariolasconsideracionesquedebedetomarencuentaal

momentodedefinirelnmerodecortesnecesariosparaanalizarunaviga.Acontinuacinse

muestran grficamente los cortes que fueron necesarios para obtener las variaciones de

fuerzacortanteymomentoflexionantedeestavigaenparticular(Figura 4.15).

Figura4.15Cortesnecesariosparaenanlisisdelaviga

41

Al haber terminado de establecer las ecuaciones de V yM para todas las secciones, se

procedeaobtenerlosdiagramasdefuerzacortanteymomentoflexionante.

Elprimerdiagramaagraficareseldefuerzacortante.Paraelloaparecedebajodeldiagrama

de cuerpo libre de la viga un eje de referencia necesario para el diagrama, con x como

abscisas y V en unidades de kN como ordenadas. Antes de que aparezca la grfica de

cortante,eneldiagramadecuerpolibrede laviga,apareceunaplaca transparente(Figura

4.16).

Figura4.16 Ejedecoordenadasparaeldiagramadefuerzacortante

En el extremo izquierdo de la pantalla aparecen las ecuaciones de V respectivas a cada

rango,ademsdetextoexplicativodecmoseobtienelagrfica.Despus,conayudadeuna

animacin,seconsigueeldiagrama:laplacatransparenteavanzaporlaviga(querepresenta

laposicinx,elcortedondeseestudialaviga)yenelejedereferenciasevangraficando

losvalorespara Vamedidaqueavanzalaplaca(Figura4.17).

42

Figura4.16Diagramadecortantes

Unavezqueseconsigueeldiagramadecortante,seresaltaalgunacualidaddeldiagrama

paraesteejemplo,queelcortantemsgrandeseencuentraenlosapoyos.

Finalizada la obtencin del diagrama de cortante, se prosigue a encontrar el diagrama de

momentos.Sevuelveaempezarconlosmismoselementosconquecomenzeldiagramade

cortante.

Deigualforma,alaizquierdaaparecenlasecuaciones(ahorademomentoflexionante)para

los rangos yaconocidos.Loque sigue tiene lamismabasedeanimacinqueeldiagrama

anterior,peroaquaparecegraficadoeldiagramademomentos

Posterior a la obtencin del diagrama, un texto surge explicando algunos detalles de la

grfica.Enesteejemplo,sehaceverqueenlosapoyosdeunavigasimplementeapoyadael

momentosernulo.

43

Tambinseleexplicaalusuarioqueeldiagramademomentosayudaaentenderlamanera

enquelavigaseflexiona.Paraesto,eldiagramadecuerpolibredelavigaseflexionacon

unaanimacinhastaelpuntoenque puedeverselarelacinentreladeflexinyeldiagrama

demomentos(Figura4.17).

Figura4.17DeflexindelavigayDiagramademomentos

4.2.2Ejemplo2

Enelsiguienteejemplosetieneunavigadediferentelongitud,conunacargaconcentraday

unadistribuida,unapoyosimpleenelextremoizquierdoyotrofijoa2metrosdelextremo

derecho(Figura4.19).

44

Figura4.19Vigasometidaacargas

Paraesteejercicioseempiezaporobtener lasreacciones,establecerelejedereferencia y,

posteriormente,adeterminarelnmerodecortesnecesarios(Figura4.20).

Figura4.20Sonnecesarios4cortesparaesteejemplo

Lasecuenciadeclculossiguesiendolamismasinembargo,hayuncambioenlasecuencia

deanimaciones.Enesteejemplo,lasanimacionesnoseenfocanenobtenerlosdiagramasde

cuerpolibre,sinoentrabajarconlosintervalosparacadacorte.

El conseguir las ecuacionespara cortante ymomento se basa en elmismoprocedimiento

analticoexplicadoenelejemploanteriory,deigual manera,seexplicaenste.

Cuandoseobtienenlosdiagramasdecortante(Figura4.21)ydemomento,seobservaque

ellossonmuydiferentesalosdelotroejemplopueslaposicindelosapoyosinfluyemucho

45

en los diagramas. Tambin se presenta una animacin al final donde la viga se deforma

dejandoveraslarelacinconeldiagramademomentos(Figura4.21).

Figura4.21Diagramadecortantes

Figura4.22DeflexindelavigayDiagramademomentos

46

4.2.3Ejemplo3

Enesteejemplo sepresentaotrocaso,donde lavigaest sometidaaunacarga uniforme

trapezoidalyunapuntual(Figura4.23).

Figura(4.23) Vigasujetaacargas

Puestoquelacargatrapezoidalseencuentraenelextremoizquierdoyelanlisisdelaviga

serealizadeizquierdaaderecha,enelprimercorteesdndeseobservancambios.

La carga trapezoidal fue tratada de talmanera que se le di al usuario la herramienta de

lidiarconuncargarectangularyunatriangular,loquesucedealdescomponereltrapecioen

unrectngulo(unacargadistribuida)yuntringulo(cargatriangular)(Figura4.24).

47

Figura(4.24) Descomposicindecargatrapezoidalenunatriangularydistribuida

EnelprimercorteaparecenlasecuacionesobtenidasparaVy M.Despusdeesto,apareceel

textoexplicandocmoesquedebeestudiarseunacargatriangular,queesdonderadicael

cambio en este ejemplo. Se indica que para concentrar la carga es necesario utilizar la

frmula de b*h/2 y debe dejarse expresado b en funcin de x, mediante tringulos

semejantes yexpresarhen funcindey .Elbrazodepalancaquedaexpresadoenx,que

indicaladistanciadelcortealcentroidedeuntringulo(1/3delabaserespectoalvrtice).

Se hace hincapi en que en la ecuacin de cortante resulta en una ecuacin de segundo

grado,mientrasqueenlademomentoseobtendrunaecuacindetercergradoconestetipo

decargas.

Lasecuacionesparaloscortessubsecuentessonobtenidasdeigualmaneraqueenlosotros

ejemplos,ydeformaafnseproporcionala informacin y lasanimacionesnecesariaspara

entendercmoseobtuvieronlasecuacionesrespectivas.

48

Pasandoalaelaboracindelosdiagramasdecortanteymomento,secolocanlasecuaciones,

yaseandecortanteomomento,enlaizquierday,conbaseenlamismaanimacinusadaen

ejemplosanteriores,segraficanlosdiagramas(Figura4.25).

Figura4.25Diagramadecortante

Alterminarconlaobtencindeldiagramademomentos,continalaanimacindelaviga

flexionndosedeacuerdoaste(Figura4.26).

49

Figura4.26DeflexindelavigayDiagramademomentos

4.3RELACIONENTRECARGA,CORTANTEYMOMENTO.

Enestaescenasepresentalademostracindelarelacinexistenteentremomento,cortante

ycarga.

Enunaviga(Figura4.27)seanalizaunelementodiferencialdeanchox.Esteelementose

asladelrestodelavigayseobserva,queenunlado,existenlasaccionesasinternasVyM,

y,delotro,estasaccionesmsunincrementodeMyV (Figura4.28)debidoaquelacarga

aplicadasevaincrementandocuandolavigaseestudiadeizquierdaaderecha.

50

Figura4.27Vigasujetaacargas

Figura4.28Elementodiferencial consuscorrespondientesaccionesinternasycargas

Contandoconeldiagramadecuerpolibredelelementodiferencialseprosigueaestablecer

lasecuacionesdeequilibrioverticalydemomentos.Cadaunadeestasecuaciones,despus

de su manejo algebraico y de sustituciones explicadas en el paquete didctico, conduce

respectivamentealadeterminacindeque:

)(xwdxdV - = )(xVdx

dM - =

51

Lardnerexplicaque:

Sisepiensaeneldiagramadecargacomounacurvadew(x)contrax,sevequelapendientedela

curvadelafuerzacortanteV(x)enelpunto xdeundiagramadecortanteesigualalnegativodelvalor

deq(x) en esepuntodeldiagrama.Asimismo, con baseen lasegunda ecuacinse concluyeque la

pendientedelacurvadelmomento flexionanteM(x)deundiagramademomento flexionanteenun

punto xesigualalnegativodelvalorV(x)eneldiagramadefuerzacortanteenesepunto(1996).