PROBLEMAS RESUELTOS Y EXPLICADOS

DE

INGENIERIA

GRAFICA (APLICACIONES DE LA

GEOMETRIA DESCRIPTIVA)

TEMA 3/15

ABATIMIENTOS Y ELEVACIONES

RICARDO BARTOLOME RAMIREZ

(Prof. Tit. de Expresión Gráfica en la Ingeniería)

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Tema 3. ABATIMIENTOS.

3-1.- En una estación invernal se quiere poner en comunicación, mediante la instalación de teleféricos, a dos de sus cumbres (A y B). La trayectoria de comunicación entre ambas se realizará con una parada intermedia (C) en la ladera de una tercera cumbre.Mediante esta disposición, el teleférico recorrería el trayecto entre A y B en dos etapas: la primera de A a C y la segunda de C a B.Conociendo las posiciones de partida y llegada (A y B) que deben ocupar los teleféricos en dos de las cumbres, y la posición e inclinación que tiene la ladera de la tercera cumbre (plano α), donde se ha de colocar la parada (C).

SE PIDE:Hallar la posición del punto C para que la cantidad de cable empleada en la instalación de los teleféricos sea mínima.Dibujar la trayectoria que describirán los teleféricos.

DATOS: Cumbre A (56,34,38), Cumbre B (20,67,82), Plano (70,39,48) Se traza la recta (p) que pasando por A, sea perpendicular al plano (plano que representa la posición e inclinación de la tercera cumbre). Se determina el plano que forma (p) y la recta (r), obtenida al unir A con B. Seguidamente se halla la intersección de con , resultando la recta (i).Abatiendo y con él la recta (i) y los puntos A y B se obtiene Ao, Bo e io. Ahora se puede realizar una construcción geométrica, en el abatimiento, que determine el punto Co.Por Ao se traza una perpendicular a io y con centro en la intersección de ambas se dibuja una semicircunferencia, que la corta en Ao´. Es decir obtenemos en A0´, el simétrico de A0 con respecto a i0. A continuación se una Bo con Ao´ y en su intersección con io se obtiene Co. Desabatiendo este último punto, obtendremos sus proyecciones C´-C´´, solución del problema.Uniendo C con A y B se obtiene la trayectoria que han de seguir los cables de soporte del teleférico para que la suma de tramos AC+CB sea mínima, dado que AC+CB=A´C+CB.

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3-2.- Un museo expone en una de sus salas, entre otras cosas, una escultura de gran valor artístico.En dicha sala, de forma rectangular, se encuentra una gran columna de servicios. Además de la iluminación principal, la sala dispone de un foco con el que se quiere iluminar el jarrón para darle mayor realce. Conocidas son: las dimensiones de la sala (16m x 12,2m), las de la columna (6m x 3m) y su posición, y el lugar que ocupan la escultura y el foco.

SE PIDE:Fijar las posiciones que deben ocupar tres espejos, si se desea que un rayo luminoso que parta del foco (A), refleje en primer lugar sobre la pared HIML luego lo haga sobre la QRVU, vuelva a la HIML, y finalmente ilumine el jarrón (B).Dibujar la trayectoria del rayo luminoso.

Se traza un plano perpendicular a la pared HIML (plano α) y a la cara QRVU (plano β) de la columna y que contenga a los puntos A y B. Este plano corta a los planos de las paredes (α y β), según las rectas (i) e (i1); lugares donde se han de encontrar las posiciones de los espejos. Se abate y con él los puntos A, B y las rectas (i) é (i1).En el abatimiento se realiza la construcción geométrica que permite el cálculo de la posición de los espejos.Se traza una recta auxiliar (r) paralela a (io) y a una distancia igual a la que existe entre (io) e (i1)o. Se determinará el punto R, simétrico de Ao respecto de la recta (r).Se une Bo con R. y se obtiene, en su intersección con la recta (r), el punto E2. De la unión de Ao y Bo con E2. resultan (E1)o y (E3)o.En la construcción realizada se observa la igualdad de los ángulos de incidencia y reflejadosSe determina el simétrico (E2)o de E2 respecto de (io).Finalmente se realiza la elevación y se obtienen las posiciones que deben ocupar los espejos E1, E2 y E3, así como la trayectoria del haz luminoso.

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3-3.- Se desea construir una rueda dentada que forme parte de un engranaje. Un determinado diente de esta rueda ocupará una posición A (16, 40, 0) y se desea que tras un giro de 60º, alrededor del eje de la rueda, pase a ocupar la posición B (50, 11, 64).Sabiendo que el eje de la rueda ha de ser paralelo al plano . Dicho plano forma 45º y 60º respectivamente con los planos horizontal y vertical de un sistema diédrico de referencia.

SE PIDE:Calcular el radio de la rueda dentada, las proyecciones, de al menos, uno de los ejes solución y una de las trayectorias descritas por el diente, para pasar de la posición (A) a la (B).

Una vez representado el plano se traza la recta (r) que une los puntos A y B. Se obtiene el plano perpendicular al y que contenga a (r). Para hallar el plano :- Se traza por A la recta p perpendicular a .- Se determina el punto I de intersección de (p) y α.- Se halla el plano determinado por las rectas (p) y (r).Se abate y con él los puntos A y B.En el abatimiento se traza el arco capaz de 60º sobre el segmento AoBo.El arco capaz corta a la mediatriz del segmento AoBo en Eo.El punto Eo equidista de Ao y Bo, y además AoEo forma 60º con BoEo.Por el punto Eo pasará el eje de la rueda perpendicularmente al plano .Con centro en Eo y radio EoAo se traza el arco que pasa por Ao y Bo. (EoAo es el radio R de la rueda).Se desabate el plano y con él el punto Eo y el arco AoBo.Se han obtenido así las proyecciones de la trayectoria descrita por el diente de la rueda al pasar de la posición A a la B.Por el punto E (E´´-E´) se traza el eje de la rueda e (e´´- e´) perpendicular a .Existe otro eje solución que pasa por un punto simétrico del Eo respecto de AoBo, y que no se ha dibujado para mayor claridad del dibujo.

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3-4.- Un trípode descansa sobre una superficie inclinada, apoyándose sobre los puntos A, B y C. Los pies miden 185cm., 170cm. y 155cm.. SE PIDE:Determinar las proyecciones del trípode, sabiendo que la superficie sobre la que apoya forma 30º con el horizontal y las coordenadas de los puntos son: A (20, 100, 38) B (50, 20, 96) C (70, 160, 134) Se tomará como origen de coordenadas la intersección de la superficie inclinada de apoyo del trípode con el horizontal.

Una vez situados los datos se abate el plano que contiene a los puntos A, B y C; obteniendo en el abatimiento los puntos A0, B0 y C0. Conociendo la longitud de las patas del trípode se construyen los triángulos A0V0B0 y A0V0C0 : A0V0 = 185 cm. B0V0 = 170 cm. C0V0 = 155 cm.Estos dos triángulos son caras de un triedro cuyas aristas son los elementos del trípode. Se trazan las alturas (h) de las caras de ambos triángulos, sus prolongaciones se cortan en el punto I0. Este punto está situado sobre el plano , y representa el punto de donde a de partir una recta perpendicular al plano α (recta "a"), en la cual se encontrará el vértice V del trípode. Habrá que calcular la altura del vértice V con respecto al plano α. Se traza una perpendicular (a0) por I0 al segmento I0P, y con centro en P y radio PVo se dibuja un arco que corta a la recta a0. Se obtiene así, un nuevo abatimiento (V0) del punto V, y el segmento I0V0 representa la altura del trípode, o lo que es lo mismo, la distancia que separa al plano, donde se encuentran los puntos de apoyo A, B y C, del vértice V.

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3-5.- Se quiere realizar una rueda dentada que formará parte de un engranaje en un sistema mecánico. Se sabe que el borde de la rueda ha de pasar por un punto A, debe girar alrededor de un eje paralelo al "e", y ser tangente a dos planos formados por chapas metálicas que se encuentran a ambos lados del punto A.

Determinar el radio de la rueda y la posición que debe ocupar el eje para que se cumplan las especificaciones dadas.

Se traza un plano que sea perpendicular al eje dado (e) y que además contenga al punto A. Hallaremos las rectas intersección del plano con los planos que determinan las chapas, planos y ; la intersección de con da como resultado la recta (t), y la de con la recta (s).Seguidamente se abate y con él las rectas (t),(s) y el punto A; se obtiene así to, so y Ao.Existen dos circunferencias que son tangentes a las rectas to y so, y además contienen al punto A. Por tanto, estas dos circunferencias cumplen las condiciones exigidas para el trazado de la rueda:- Ambas contienen al punto A.- Por sus centros P y Q pasan, retas perpendiculares a , que son los ejes solución.- Siendo tangentes a to y so, lo son también a los planos y .El trazado de las dos circunferencias se realiza en el abatimiento de la siguiente forma:Las circunferencias solución han de pasar por los puntos Ao y Ao´, simétrico del Ao respecto de la bisectriz del ángulo que forman to y so. Se prolonga la recta Ao Ao´ hasta que corte a to

en M; desde M se traza una perpendicular a to que corta a la bisectriz en O. Con centro en O se traza una circunferencia que pase por Ao. Desde M se traza la tangente a la circunferencia anterior, obteniendo el punto To. Con centro en M y radio MTo se traza una semicircunferencia que corta a to en (T3)o y (T1)o, desde estos puntos se trazan perpendiculares a to obteniendo Po y Qo. Estos puntos Po y Qo son los centros de las circunferencias solución. Por P y Q, desabatidos, se trazan los ejes e1 y e2.El punto M tiene la misma potencia respecto de las circunferencias solución y de la auxiliar; es, por tanto, el centro radical.En el problema también se calculan los puntos de tangencia (T1,T2,T3 y T4) de las circunferencias con los planos y .

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3-6.- Tres cables (a), (b) y (c) sujetan un mástil de antena formando con él, el mismo ángulo.

DETERMINAR: A.-La longitud de (a) y el ángulo que forma con el mástil.B.-La distancia del punto de anclaje de (b) a la base del mástil y su longitud.

C.-La longitud de (c) y la posición de su punto de anclaje.

Situaremos en el dibujo los datos según indica la figura.Seguidamente se traza un plano (1) proyectante que contenga a la recta (a), y se abate; se obtiene así el ángulo (33º) formado entre el mástil vertical y la recta (a), así como la longitud de dicha recta, (distancia AoOo).A continuación se traza un plano (1) proyectante horizontal, y se abate.Desde Oo se traza una recta bo que forme 33° con O'Oo.Se dibuja una recta (r) paralela a la (b') a una distancia h2.La recta (r) y (bo) se cortan en Bo (abatimiento del punto de anclaje B), queda determinada la longitud (OoBo).Trazaremos ahora un plano proyectante (1) que pase por (c1’) (posición cualquiera provisional), y se abate.Desde Oo se traza una recta (c’)o que forme 33° con O'Oo.Se dibuja una recta (w) paralela a la (c') a una distancia h3.La recta (c’)o y (w) se cortan en Co (abatimiento del punto de anclaje C), queda determinada la longitud (OoCo).La posición de (c’) se obtiene llevando C’ a la línea de referencia correspondiente a las proyecciones del punto C, C’ y C’’.

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3-7.- Desde un punto (A) de observación situado a 122 metros, sobre el nivel del mar, se ve un barco con dirección 28° SE, y con un ángulo de depresión de 18°.Tres minutos más tarde se observa el mismo barco con dirección de 40° SE y con un ángulo de depresión de 12°.

CALCULAR: La velocidad y el rumbo del barco.

Se traza un plano α proyectante horizontal que contenga al punto A. (1 tiene que formar 62° con LT), se abate y con él, el punto A.Por Ao se traza una recta (r) cuya depresión sea de 18°. Sobre la recta se lleva una longitud L, AoBo.Se traza un plano , proyectante horizontal, que contenga al punto A, (1 tiene que formar 50° con LT), se abate y con él, el punto A.Por Ao se traza una recta (s) cuya depresión sea de 12°. Sobre la recta se lleva la misma longitud L, AoCo.Se desabaten los puntos B y C.Finalmente se une B con C, recta (t), y se obtiene la solución del problema.El rumbo del barco es de 64° NE y el espacio recorrido es de 12 metros, siendo la distancia BC.La velocidad, calculada numéricamente, es v=14,4 Km/h.

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3-8.- En el interior de una cámara fotográfica nos encontramos, entre otros elementos, con un prisma y un espejo.A la hora de hacer la fotografía y para que el resultado sea óptimo, el objeto que se desea fotografiar ha de estar enfocado. El enfoque es adecuado cuando el reflejo del objeto se encuentra con una cara del espejo, seguidamente va a parar al prisma y finalmente vuelve al objeto. De no ser así el objeto está desenfocado y habría que manipular la maquina hasta conseguir la correcta posición del prisma y por tanto del enfoque.Conociendo la posición de un objeto la distancia desde la cámara al mismo y el ángulo del espejo (45°). Calcular el ángulo F entre espejo y prisma para que el objeto esté enfocado.

En la figura de análisis de la página siguiente imaginamos el objeto representado por el punto (O). En el cual se supone ha de incidir un rayo luminoso, que parta de la cámara. Se sitúa el plano del espejo, y a la cara del prisma más próxima, al espejo se la denomina plano .Se determina la recta (i), intersección de y .Trazamos el plano perpendicular a la recta (i) que contenga al punto O.Obtendremos el punto L, intersección de la recta (i) con el plano ε.A continuación se traza la recta (r), que pasa por los puntos L y O.Se hallan las rectas (u) y (v), intersecciones de con y de con , respectivamente. Estas dos rectas (u) y (v) se cortan en el punto L. Cuando se resuelva el problema en proyecciones, abatiremos el plano y con él las rectas (u), (v), (r) y el punto O. En la recta (r) se toma un punto auxiliar I que será el Incentro de un triángulo que tiene un vértice en dicha recta y los otros dos, uno en (v) y otro en (u). El triángulo RUV se corresponde con el triángulo de direcciones de incidencia y reflexión del rayo que pasa por el objeto. Trazamos un triángulo semejante al anterior que tenga un vértice en O y obtendremos el triángulo de enfoque del objeto.Desabatiendo dicho triángulo obtendremos la trayectoria del rayo luminoso que partiendo de O se refleje en α y β y vuelva al punto O.Finalmente el ángulo F pedido ha quedado determinado por las rectas (u) y (v).

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3-9.- Dos túneles de una mina parten de un mismo punto (A), uno mide 205 m con una dirección de 55° SE y una pendiente descendente de 20°.El otro túnel mide 225 m con una dirección de 80° SE y pendiente descendente de 15°.

DETERMINAR: La longitud, dirección y pendiente de un nuevo túnel que una los extremos de los otros dos citados.

En primer lugar situamos el punto A(A'A'').Se traza un plano proyectante que contenga al punto A; 1 tiene que formar con la línea perpendicular a L.T. que pasa por (A'), 55°, se abate y con él, el punto A.Por Ao se traza una recta (r) cuya inclinación sea de 20°; sobre la recta se lleva la longitud de 205 metros, AoBo.Se traza un plano proyectante sobre el horizontal que contenga al punto A; 1 tiene que formar con la línea perpendicular a L.T. que pasa por (A'), 80°, se abate y con él, el punto A.Por Ao se traza una recta (s) cuya inclinación sea de 15°; sobre esta recta se lleva la longitud de 225 metros, AoCo.Finalmente se une B con C y se obtiene la solución del problema.Se traza un plano proyectante que pase por B y C, se abate ese plano; y en el abatimiento podemos ver la longitud, la dirección y la pendiente del nuevo túnel.

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3-10.- Realizar sobre la chapa triangular definida por sus vértices A, B y C, y con centro en O, una abertura circular de radio conocido R=1,5 cm.

Sean los puntos A, B y C los que determinan el plano oblicuo de la chapa, que contiene la circunferencia de radio conocido R.Por ser el plano oblicuo, las dos proyecciones de la circunferencia se representan según elipses, y como la manera más correcta de determinar la elipse es por sus ejes, se van a determinar estos en ambas proyecciones (alzado y planta).Cualquiera que sea la posición de la circunferencia respecto a los planos coordenados siempre es posible trazar por su centro, un plano paralelo a cada uno de los de proyección, que la cortará según diámetros paralelos a estos planos.El diámetro horizontal, se proyectará en planta en verdadera magnitud, y lo mismo ocurrirá con el alzado del diámetro paralelo al vertical. Por consiguiente, estos diámetros, serán los ejes mayores de las elipses proyecciones de la circunferencia, y de direcciones las de las horizontales y frontales del plano de la circunferencia.En la proyección horizontal, el eje mayor de la elipse proyección, estará en la horizontal del plano h, que pasa por el centro O; análogamente, en la proyección vertical, el eje mayor de la elipse, estará sobre la frontal f que pasa por O. Como los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí, el eje menor estará sobre una recta m' del plano, que pase por O' y sea perpendicular a h'; por tanto, m es línea de máxima pendiente del plano dado. Hallando la verdadera magnitud de un segmento cualquiera de m, en la figura, el comprendido entre O'' y A'', o lo que es igual, entre las horizontales de plano h y A, cuya cota relativa es Z; finalmente, bastará llevar sobre la recta que mide la verdadera magnitud de ese segmento, el radio de la circunferencia, y proyectarlo sobre m', obteniendo así, el vértice 3' del semieje menor de la elipse.El eje mayor de la elipse, en la proyección vertical, estará sobre la proyección f'' de la frontal de plano, y de valor 5''- 6'' igual al diámetro de la circunferencia. El eje menor está sobre la perpendicular a f'', o sea sobre e'', que resulta ser línea de máxima inclinación del plano. Poniendo en verdadera magnitud el segmento de esta recta comprendida entre la frontales del plano f y AB, de alejamiento relativo Y, se lleva sobre el segmento verdadera magnitud, el valor del radio de la circunferencia, que se proyecta sobre e''. Así se obtiene el vértice 7'' del semieje menor de la elipse proyección vertical.

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3-11.- Se quiere situar de forma estable un depósito de gas cilíndrico cuyas dimensiones son: radio de la base, R=3,7 m, altura H=12m.Se dispone para ello de cuatro barras metálicas, de sección rectangular (9×11cm) y longitud (9.3 m) .Mediante la colocación de estas en forma de equis ( X ), dos a dos, se obtiene un conjunto adecuado para poder soportar el peso del depósito. Sabiendo que la inclinación de las barras debe ser 34° con respecto al plano del suelo y, sus puntos de apoyo más extremos son los vértices de un cuadrilátero A, B, C, D, de dimensiones 10,2×5,1m.

SE PIDE:-Dibujar las proyecciones diédricas del conjunto, a escala E_1:100.

Se dibuja un plano , proyectante sobre el horizontal con una desviación de 56° como se indica en la figura.Se abate el plano, y en el abatimiento se dibuja la referencia de las barras y deposito según los requisitos del enunciadoPosteriormente se realiza la elevación de elementos resultantes obteniendo las proyecciones del conjunto.

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