Ecuaciones de Maxwell

Ecuaciones de Maxwell

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Saltar a navegacin, bsquedaLas ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones que describen los fenmenos electromagnticos. La gran contribucin de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos aos de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos elctricos y magnticos en un solo concepto: el campo electromagntico. De las ecuaciones de Maxwell se desprende la existencia de ondas electromagnticas propagndose con velocidad vf:

El valor numrico de esta cantidad, que depende del medio material, coincide con el valor de la velocidad de la luz en dicho medio, con lo cual Maxwell identific la luz con una onda electromagntica, unificando la ptica con el electromagnetismo.

Tabla de contenidos

[ocultar] 1 Desarrollo histrico de las ecuaciones de Maxwell

2 Resumen de las ecuaciones

2.1 Caso general

2.2 En medios lineales

2.3 En el vaco, sin cargas ni corrientes

3 En detalle

3.1 Densidad de carga y campo elctrico

3.2 La estructura del campo magntico

3.3 Variacin de flujo magntico y campo elctrico

3.4 La fuente del campo magntico

3.5 Ley de conservacin de la carga

3.6 Potencial escalar y potencial vector

4 Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS

5 Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad (sistema cgs)

6 Vase tambin

7 Bibliografa recomendada

7.1 Grado

7.2 Postgrado

[editar] Desarrollo histrico de las ecuaciones de MaxwellLa formulacin moderna de las ecuaciones de Maxwell es debida a Oliver Heaviside y Josiah Willard Gibbs quienes en 1884 reformularon las ecuaciones originales de Maxwell en un sistema abreviado utilizando una notacin vectorial. La formulacin original de Maxwell databa de 1865 y contena 20 ecuaciones de 20 variables. En 1873 Maxwell intent una formulacin simplificada que finalmente no result popular. La formulacin vectorial resultaba especialmente atractiva porque remarcaba las simetras intrnsecas en las ecuaciones haciendo ms fcil su utilizacin e inspirando aplicaciones posteriores.

[editar] Resumen de las ecuaciones[editar] Caso generalNombreForma diferencialForma integral

Ley de Gauss:

Ley de Gauss para el campo magntico(ausencia de monopolos magnticos):

Ley de Faraday:

Ley de Ampre generalizada:

donde la siguiente tabla proporciona el significado de cada smbolo y su unidad de medida en el SI:

SmboloSignificadoUnidad de medida SI

campo elctricovolt por metro

campo magnticoampere por metro

densidad de campo elctricocoulomb por metro cuadrado

densidad de campo magnticotesla, o equivalentemente,weber por metro cuadrado

densidad de carga elctricacoulomb por metro cbico

densidad de corrienteampere por metro cuadrado

vector del elemento diferencial de superficie normal a la superficie Smetros cuadrados

elemento diferencial de volumen encerrado por la superficie Smetros cbicos

vector del elemento de longitud del contorno que limita la superficie Smetros

divergenciapor metro

rotacionalpor metro

Aunque se hayan utilizado las unidades del Sistema Internacional, las ecuaciones de Maxwell permanecern invariantes en muchos otros sistemas de unidades (y con nicamente cambios menores en las dems). Los sistemas de medidas ms utilizados son el SI (en ingeniera, en electrnica y en experimentos fsicos prcticos) y las unidades de Planck o unidades naturales (en fsica terica, cosmologa y fsica cuntica).

La segunda ecuacin es equivalente a afirmar que el monopolo magntico no existe. La fuerza ejercida sobre una partcula cargada por los campos elctricos y magntico viene dada por la ecuacin de la Fuerza de Lorentz:

donde es la carga de la partcula y es la velocidad de sta.

Las ecuaciones de Maxwell se aplican generalmente a escalas macroscpicas de los campos, que varan enormemente a escalas microscpicas cercanas al tamao atmico.

[editar] En medios linealesEn medios lineales, la polarizabilidad o polarizacin elctrica (en culombios por metro cuadrado) y la magnetizacin o polarizacin magntica (en amperios por metro) vienen dadas por:

y los campos y estn relacionados con y por:

donde:

e es la susceptibilidad elctrica del material,

m es la susceptibilidad magntica del material,

es la permitividad elctrica del material, y

es la permeabilidad magntica del material

En medios no-dispersivos e istropos, y son escalares que no dependen del tiempo, por lo que las ecuaciones de Maxwell se reducen a:

En un medio homogneo, y son constantes independientes de la posicin.

En general, y pueden ser tensores de rango 2 (matrices 3x3) describiendo medios birrefringentes (anistropos). Adems, aunque en general suele ignorar la dependencia con el tiempo (y la frecuencia) de estas constantes, todo material real posee cierta dispersin por la que y/o dependen de la frecuencia (y la casualidad obliga a esta dependencia a cumplir las relaciones de Kramers-Kronig).

[editar] En el vaco, sin cargas ni corrientesEl vaco es un medio lineal, homogneo, istropo y no dispersivo. Las constantes de proporcionalidad en el vaco son 0 y 0 (descartando las leves no-linearidades debidas a efectos cunticos).

Como no hay ni corriente ni carga elctrica en el vaco, las ecuaciones de Maxwell en espacio libre son:

Estas ecuaciones tienen soluciones sencillas para ondas planas sinusoidales, con campos elctricos y magnticos con direcciones ortogonales entre ellos y ortogonales a la direccin de propagacin. Su velocidad de propagacin es

Maxwell descubri que esta cantidad c era simplemente la velocidad de la luz en el vaco, por lo que la luz es una forma de radiacin electromagntica. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz y para la permitividad y permeabilidad se resumen en la siguiente tabla:

SmboloNombreValor numricoUnidad de medida SITipo

Velocidad de la luzmetros por segundodefinido

Permitividadfaradios por metroderivado

Permeabilidadhenrios por metrodefinido

[editar] En detalle[editar] Densidad de carga y campo elctrico,

donde es la densidad de carga libre (en C/m3), sin incluir cargas de los dipolos, y es el campo de desplazamiento elctrico (en C/m2). Esta ecuacin corresponde a la ley de Coulomb para cargas estacionarias en el vaco.

La forma integral equivalente se obtiene con el teorema de la divergencia y se conoce como la ley de Gauss:

donde es un elemento diferencial del rea A sobre la cual se realiza la integral, y Qencerrada es la carga encerrada por la superficie.

En un medio lineal, est directamente relacionado con el campo elctrico mediante una constante dependiente del material llamada permitividad, :

.

Cualquier material se puede suponer como linear siempre que el campo elctrico no sea demasiado grande. La permitividad en el vaco se escribe como 0 y aparece en:

donde, t es la densidad de carga total.

puede escribirse tambin como , donde r es la permitividad relativa del material o su constante dielctrica.

Vase tambin: ecuacin de Poisson[editar] La estructura del campo magntico

es la densidad de flujo magntico (en teslas, T), tambin llamada induccin magntica.

Su forma integral equivalente:

Como en la forma integral del campo elctrico, esta ecuacin slo funciona si la integral est definida en una superficie cerrada.

Esta ecuacin indica que las lneas de los campos magnticos deben ser cerradas. Esto expresa que sobre una superficie cerrada, sea cual sea sta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo. As pues, esto expresa la no existencia del monopolo magntico. En caso que algn da se encontrase evidencias de la existencia del monopolo magntico, la Ley de Gauss para el campo magntico quedara como

donde m correspondera a la densidad de monopolos magnticos. Esta densidad de carga lleva aparejada una densidad de corriente , la cual obliga a modificar la ley de Faraday, que pasara a escribirse como

Asimismo, habra que ampliar la expresin de la Ley de Fuerza de Lorentz, para incluir la fuerza sobre cargas magnticas

con y el campo magntico y el desplazamiento elctrico en el vaco.

[editar] Variacin de flujo magntico y campo elctrico

Su forma integral equivalente es:

donde donde

B es el flujo magntico a travs del rea A descrita por la segunda ecuacin

E es el campo elctrico generado por el flujo magntico

l es la curva cerrada por la cual la corriente es inducida.

La fuerza electromotriz (a veces escrita como , que no debe confundirse con la permitividad) es igual al valor de esta integral.

Esta ley corresponde a la ley de Faraday de la induccin electromagntica.

El signo negativo es necesario para mantener la conservacin de la energa. Es tan importante que tiene nombre: Ley de Lenz.

Esta ecuacin relaciona los campos elctrico y magntico, pero tiene tambin muchas otras aplicaciones prcticas. Esta ecuacin describe cmo los motores elctricos y los generadores elctricos funcionan. Ms precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generador variando el flujo magntico que atraviesa una superficie dada.

[editar] La fuente del campo magntico

donde es la intensidad de campo magntico (en A/m), relacionada con la densidad de campo magntico por una constante llamada permeabilidad (B = H), y es la densidad de corriente.

En el vaco, la permeabilidad es = 0 = 410-7 W/Am y la permitividad es 0. Por lo que la ecuacin queda como:

Su forma integral equivalente:

Irodeada es la corriente rodeada por la curva .

En algunos casos, esta forma integral de la ley de Ampre-Maxwell aparece como:

siendo

la corriente de desplazamiento.

Si la densidad de flujo elctrico no vara rpidamente, el segundo trmino de la parte derecha es despreciable y la ecuacin se reduce a la ley de Ampre.

[editar] Ley de conservacin de la cargaLas ecuaciones de Maxwell llevan implcitas la ley de conservacin de la carga

o, en forma integral

Esta ley expresa que la carga no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, y que si dada una superficie cerrada est disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema.

[editar] Potencial escalar y potencial vectorMaxwell prob que su conjunto de cuatro ecuaciones pueden ser derivadas de una funcin escalar llamada potencial escalar () y una funcin vectorial llamda potencial vector (A). Las dos ecuaciones que no contienen a las cargas se cumplen idnticamente si se definen, en el sistema de unidades cgs, el campo elctrico y magntico mediante las dos siguientes relaciones:

Las otras dos ecuaciones se satisfacen si adems las funciones se toman en relacin a las cargas y corrientes de tal manera que se cumpla que:

Una vez conocidos estas dos funciones los campos elctricos y magnticos pueden derivarse muy sencillamente mediante las ecuaciones (*).

[editar] Ecuaciones de Maxwell en el sistema CGSA veces se utilizan en otro sistema de unidades (Gaussianas o CGS), que a pesar de estar desaconsejado, es muy utilizado en pases anglosajones:

[editar] Las ecuaciones de Maxwell en la Relatividad (sistema cgs)En relatividad general el campo electromagntico se representa viene dado por un tensor 2-covariante y antisimtrico. Fijado un punto del espacio-tiempo y un sistema de coordenadas galileano (donde los smbolos de Christoffel se anulan en el punto escogido) el tensor campo electromagntico se expresa en trminos de la parte elctrica y parte magntica del campo, tal como son observados por ese observador galileano:

Usando el tensor de campo electromagntico, las cuatro ecuaciones vectoriales de Maxwell se reducen a slo dos ecuaciones tensoriales. En teora especial de la relatividad (y usando unidades cgs) estas dos ecuaciones tensoriales son sencillamente:

Donde se ha usado el convenio de sumacin de Einstein y J son las componentes del cuadrivector densidad de corriente. Esas ecuaciones se pueden escribir en una forma mucho ms abstracta en trminos del operador dual de Hodge y la diferencial exterior:

Donde es la 2-forma que representa tensorialmente el campo electromagntico y J: = Jdx la 1-forma que representa la densidad de corriente relativista. En teora de la relatividad general las ecuaciones toman esencialmente la misma forma que la teora especial, slo que las derivadas parciales deben substituirse por las derivadas covariantes asociadas al tensor mtrico:

Debido a las propiedades de la diferencial exterior las ecuaciones (1) tambin son vlidas en relatividad general, ya que aunque se usen derivadas covariantes en lugar de derivadas parciales convencionales la forma de esas ecuaciones no cambia.