ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE I CAMINOS ANALES Y UERTOSoa.upm.es/21354/1/Tesis_master_Daniel_Calvo_Aguilar.pdf · total de la aorta [28]. La aorta se vuelve más grande y rígida con

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS

MÁSTER UNIVERSITARIO EN INGENIERÍA DE LAS ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES

TRABAJO FIN DE MÁSTER

CARACTERIZACIÓN MECÁNICA DE INJERTOS DE AORTAASCENDENTE DE DACRON®

ALUMNO: DANIEL CALVO AGUILAR

TUTOR: GUSTAVO VÍCTOR GUINEA TORTUERO

MADRID, SEPTIEMBRE DE 2013

Para Miriam,fuerza y corage

i

Agradecimientos

En estas líneas quiero agradecer a todas las personas que con su ayudame han apoyado en la realización de este trabajo fin de máster.

En primer lugar me gustaría agradecer a mi Director de Tesis, Gusta-vo Víctor Guinea, por brindarme la oportunidad de trabajar en el grupo deBiomateriales, apoyarme y estar siempre dispuesto a prestar sugerencias ycorrecciones. Quisiera agradecer también a Francisco Javier Rojo, por todasu ayuda en la realización de los ensayos y en la corrección del documen-to. Gracias al personal del taller mecánico del Departamento de Ciencia deMateriales, por su constante ayuda en los diseños de las piezas utilizadas enlos ensayos. A todos los compañeros del Departamento de Ciencia de Mate-riales y del Centro de Tecnología Biomédica les quiero dar las gracias, porsu ayuda, compañía y amistad ofrecida. Quisiera agradecer a mis padres y ami hermana, por su apoyo incondicional y por darme tan buenos momentosen toda mi carrera universitaria. Mi último agradecimiento va dirigido a Mi-riam, por entender el tiempo que he empleado en la realización del trabajo,y por su apoyo y ánimo día tras día.

ii

Resumen

El presente trabajo fin de máster tiene como objetivo caracterizar losinjertos de Dacron®, que se utilizan para reparar patologías de la aorta as-cendente, para comparar el comportamiento mecánico con el que presenta laaorta ascendente.

Se han realizado ensayos uniaxiales de tracción, de relajación y con unahistoria de cargas variable, tanto en probetas extraidas en la dirección circun-ferencial al tubo del injerto como en dirección longitudinal. Posteriormente,se han obtenido los parámetros necesarios para que los datos se ajusten aun modelo mecánico basado en el modelo de Maxwell generalizado. Por úl-timo, los datos obtenidos de los ensayos y los parámetros del modelo se hancomparado con los ensayos y modelos de la aorta, obtenidos de la literatura.

iii

Índice general

Agradecimientos II

Resumen III

Índice de figuras VI

Índice de cuadros VIII

1. Introducción 11.1. Introducción y motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Estructura del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Teoría 42.1. La aorta ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1. Anatomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2. Fisiología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.3. Histología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.4. Comportamiento mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.5. Aneurismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Injertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1. Injertos biológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2. Injertos sintéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.2.1. Dacron® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Materiales y métodos 133.1. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Ensayos de tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4. Ensayos de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5. Ensayos con historia de cargas variables . . . . . . . . . . . . . 18

iv

ÍNDICE GENERAL v

4. Resultados 204.1. Ensayos de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2. Ensayos de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3. Ensayos con historia de cargas variables . . . . . . . . . . . . . 22

5. Modelo constitutivo 265.1. Ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.2. Ensayos de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3. Ensayos con historia de cargas variables . . . . . . . . . . . . . 325.4. Análisis de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6. Comparación con la aorta ascendente 366.1. Modelo independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2. Modelo dependiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7. Discusión 407.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2. Curva tensión-deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2.1. Tensiones residuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2.2. Método de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.3. Zonas de debilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427.2.4. Distorsión de la imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.3. Ensayos mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.1. Ensayos de tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3.2. Ensayos de relajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3.3. Ensayos con historia de cargas variables . . . . . . . . 44

7.4. Modelo constitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.5. Comparación con la aorta ascendente . . . . . . . . . . . . . . 46

8. Conclusiones y trabajo futuro 48

A. Pruebas de corte de las probetas 50

B. Curva tensión-deformación 52

C. Cuantificación de los errores del modelo 54

D. Solución de las ecuaciones del modelo 55

Bibliografía 59

Índice de figuras

1.1. Dibujo de la aorta desde el corazón hasta las arterias iliacascomunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1. Aorta ascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Sección de la pared de la aorta torácica . . . . . . . . . . . . . 62.3. Comportamiento no lineal de las arterias . . . . . . . . . . . . 82.4. Diferentes tejidos de Dacron® . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1. Tubo de Dacron® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Extracción de las probetas del tubo . . . . . . . . . . . . . . . 143.3. Dimensiones de las probetas utilizadas en los ensayos . . . . . 143.4. Sección transversal de la probeta grande . . . . . . . . . . . . 153.5. Circuito cerrado para la realización de los ensayos mecánicos . 153.6. Probeta pintada con puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.7. Historia de carga de los ensayos realizados con las probetas

circunferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.8. Historia de carga de los ensayos realizados con las probetas

longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1. Curva tensión-deformación de los ensayos de tracción uniaxial 214.2. Rectas obtenidas a partir de las curvas tensión-deformación . . 214.3. Historia de tensiones en los ensayos de relajación en dirección

circunferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.4. Historia de tensiones en los ensayos de relajación en dirección

longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5. Historia de tensiones en los ensayos de relajación. Gráficas

adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6. Historia de tensiones y deformaciones en dirección circunfe-

rencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.7. Historia de tensiones y deformaciones en dirección longitudinal 25

vi

ÍNDICE DE FIGURAS vii

4.8. Curva tensión-deformación de los ensayos de cargas variablesy curva tensión deformación inferida . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1. Representación del muelle y el amortiguador . . . . . . . . . . 275.2. Modelod de Maxwell y Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3. Parámetros de los ensayos de relajación en dirección circunfe-

rencial. N = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.4. Parámetros de los ensayos de relajación en dirección longitu-

dinal. N = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5. Parámetros de los ensayos de relajación en dirección circunfe-

rencial. N = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.6. Parámetros de los ensayos de relajación en dirección longitu-

dinal. N = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.7. Historia general de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 325.8. Curvas experimentales y curvas del modelo. Ensayo de carga

variable en dirección circunferencial . . . . . . . . . . . . . . . 335.9. Curvas experimentales y curvas del modelo. Ensayo de carga

variable en dirección longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.1. Comparación de los ensayos de tracción del Dacron® y aortaascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.1. Estado de la probeta al comienzo de los ensayos . . . . . . . . 427.2. Diferencias entre probetas pequeñas y grandes . . . . . . . . . 43

A.1. Corte realizado con el parámetro elegido . . . . . . . . . . . . 50

B.1. Curva tensión-deformación elegida . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Índice de cuadros

3.1. Áreas de las secciones transversales de las probetas . . . . . . 153.2. Características de los ensayos de tracción . . . . . . . . . . . . 173.3. Características de los ensayos de relajación . . . . . . . . . . . 18

4.1. Módulos de elasticidad de la curva tensión-deformación . . . . 224.2. Valores medios de las pendientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1. Parámetros del modelo para el ensayo VC1 . . . . . . . . . . . 335.2. Parámetros del modelo para el ensayo VC2 . . . . . . . . . . . 345.3. Parámetros del modelo para el ensayo VL1 . . . . . . . . . . . 345.4. Parámetros del modelo para el ensayo VL2 . . . . . . . . . . . 345.5. Parámetros medios del modelo en cada ensayo . . . . . . . . . 355.6. Parámetros del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1. Comparación de parámetros entre aorta y Dacron® . . . . . . 386.2. Deformaciones máximas en aorta y Dacron® . . . . . . . . . . 39

A.1. Prueba de parámetros de la grabadora láser . . . . . . . . . . 51A.2. Parámetros de corte escogidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

viii

Capítulo 1

Introducción

1.1. Introducción y motivaciónLa aorta es la arteria cuya función es transportar la sangre oxigenada

desde el corazón hasta las células de los diferentes tejidos del organismo.La geometria y las propiedades mecánicas de la aorta ascendente tienen unimportante impacto en las características del flujo sanguíneo, afectando alcomportamiento mecánico del resto de las arterias [28]. En la figura 1.1 sepuede observar la disposición de la aorta desde el ventrículo izquierdo delcorazón hasta su ramificación en las arterias iliacas comunes.

Las diferentes patologías asociadas al sistema cardiovascular afectan alresto del organismo y son la principal causa de mortalidad en los países desa-rrollados. Se estima que 17.5 millones de personas murieron por enfermedadescardiovasculares en 2005, representando el 30% del total de defunciones. EnEspaña, en 2007, fueron la primera causa de muerte, representando el 32,2%del total de defunciones [12].

Entre las patologías cardiovasculares destacan las relacionadas con la aor-ta. El aneurisma es una de las patologías que afectan a la aorta. Consiste enla dilatación de las paredes arteriales, produciendo cambios en las caracte-rísticas hidromecánicas del flujo sanguíneo. Si no se trata adecuadamente,el aumento progresivo del aneurisma puede producir la rotura de la aorta,ocasionando una muerte súbita en el 94% de los casos [9].

Los aneurismas pueden formarse en cualquier zona de la red cardio-vascular, si bien en la mayoría de las situaciones tiene lugar en la aortaabdominal[78]. Los aneurismas de aorta ascendente son poco frecuentes yaque están presentes en un 0,0059% de la población [9]. No obstante, la tasade mortilidad es considerable: para pacientes con dilataciones de menos deseis centímetros la tasa de mortalidad es del 39% en el transcurso de cinco

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

Aorta descendenteAorta ascendente

Aorta abdominal

Arteria iliaca común

Figura 1.1: Dibujo de la aorta desde el corazón hasta las arterias iliacas comunes.Elaboración propia a partir de [51].

años, mientras que para aneurismas de más de seis centímetros de diámetromáximo la tasa asciende al 62% de los pacientes [29]. En la mayoría de loscasos el paciente es de avanzada edad, excepto en los aneurismas origina-dos por un desorden del tejido conectivo, como por ejemplo el síndrome deMarfan o el síndrome de Ehlers Danlos [14][78].

Para reparar los aneurismas de aorta ascendente se realiza la técnicaquirúrgica conocida como «técnica de Bentall-Bono», que consiste en la sus-titución de la válvula aórtica y toda la aorta aneurismática por un conductoartificial. Los injertos artificiales más utilizados están formados por fibras deTeflon®(ePTFE) o Dacron®(PET).

Desde la introducción de los injertos de Dacron® en 1951, se han llevadoa cabo estudios que demuestran la poca variabilidad de las propiedades mecá-nicas del injerto con el tiempo y el poco rechazo producido por el organismo[47][60]. No obstante, las propiedades mecánicas del injerto de Dacron® sondiferentes a las presentes en la pared arterial, lo que da lugar a cambios en lascaracterísticas del flujo sanguíneo [85]. Diversos estudios han mostrado quela introducción de un injerto de Dacron® en la aorta aumenta la presión delpulso sistólico, altera la forma de la onda de presión e incrementa la presiónen el ventrículo izquierdo del corazón [3][28][50].

El objetivo del presente trabajo fin de máster es caracterizar in vitro elcomportamiento mecánico de injertos de aorta ascendente, en concreto deDacron®, y compararlo con el comportamiento mecánico de la aorta ascen-dente, con el fin de estimar sus efectos sobre el sistema cardiovascular.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3

1.2. Estructura del trabajoEn el capítulo 2 se explica de forma resumida las características más im-

portantes de la aorta ascendente y de los injertos vasculares. Asimismo, seha descrito la interacción de los injertos de aorta ascendente en el sistemacirculatorio, principal motivación para realizar el trabajo fin de máster. Enel capítulo 3 se describe el protocolo seguido para la realización de los en-sayos, así como las características de cada uno de ellos. En el capítulo 4 semuestran los resultados obtenidos con cada ensayo. Posteriormente, en el ca-pítulo 5 se obtiene un modelo constitutivo del material. Los parámetros delmodelo consitutivo y los resultados de los ensayos se comparan con las carac-terísticas mecánicas de la aorta en el capítulo 6. La repercusión y la validezde los resultados se comentan en el capítulo 7 y, por último, se exponen lasconclusiones del trabajo fin de máster en el capítulo 8, donde se propondrántrabajos futuros. Se han incluido una serie de apéndices donde se aclaranaspectos expuestos en los diferentes capítulos.

Capítulo 2

Teoría

En este capítulo se repasan las principales características de los materialescomparados en el presente trabajo fin de máster: la aorta ascendente y losinjertos vasculares, en particular el Dacron®.

2.1. La aorta ascendente

2.1.1. AnatomíaLa aorta ascendente es la zona de la aorta comprendida desde la unión

con el corazón, en el anillo valvular aórtico, hasta el tronco braquiocefálico(figura 2.1). La longitud media es de 50 mm, el diámetro medio de 25 mm yel espesor de la pared arterial es aproximadamente de 1,5 mm. No obstante,tanto la longitud como el diámetro varían en función de la edad, el géneroy los condicionantes fisiológicos. Así, la longitud de la aorta ascendente au-menta con la edad, debido al aumento de la velocidad de la onda del pulsocardiaco [76]. Del mismo modo, el diámetro aumenta un 24% entre los 25 ylos 70 años de edad [74].

2.1.2. FisiologíaUna de las funciones principales de los vasos de mayor calibre, entre los

que se encuentra la aorta ascendente, es la regulación del flujo cardiovascular.Para lograrlo, la aorta ascendente se expande en cada contracción del cora-zón (sístole) para acomodar el volumen de sangre liberado por el ventrículoizquierdo. Cuando la válvula aórtica se cierra comienza el período de relaja-ción (diástole), momento en que la arteria ascendente sufre una recuperaciónelástica, liberando la sangre almacenada, de forma que el flujo sanguíneo se

4

CAPÍTULO 2. TEORÍA 5

Figura 2.1: Aorta ascendente. Obtenido de [17].

uniformiza con el tiempo [25][51]. Si no existiera la regulación, el corazón ne-cesitaría emplear más energía para acelerar y desacelerar la sangre entre cadaciclo cardiaco, lo que iría en contra del principio de optimización. El mecanis-mo por el cual la aorta ascendente regula el flujo cardiovascular es dilatándosemediante un aumento de presión y contrayéndose cuando el aumento de pre-sión cesa, debido a la liberación de la energía elástica almacenada durante ladilatación [88].

Una medida de la dilatación de la aorta durante el período de sístole esel módulo elástico, que relaciona la presión y la deformación [59].

EP = Psistolica − PdiastolicaDsistolico−Ddiastolico

Ddiastolico

(2.1)

donde Psistolica y Pdiastolica son la presión en el período de sístole y en elperíodo de diástole, respectivamente y Dsistolico y Ddiastolico son el diámetrode la aorta ascendente en el período de sístole y en el período de diástole.

Debido a la dependencia del módulo con el rango de presiones fisiológico,Hayashi et al definieron una rigidez que presenta menor dependencia con elrango de presiones fisiológico y puede ser utilizada para medir la dilataciónde la aorta ascendente [31].

Rigidez(β) = ln(Psistolica/Pdiastolica)Dsistolico−Ddiastolico

Ddiastolico

(2.2)


Figura 2.2: Sección de la pared de la aorta torácica. La elastina aparece teñida.Obtenido de [91].

La capacidad de dilatación respecto a una variación de presión es la com-pliancia y, una posible definición es: [31]

C = Rigidez(β)EP

(2.3)

La expansión de la aorta ascendente durante el período de dilatación esaproximadamente dos tercios de su volumen durante el período de relajación.La presión media de una persona joven sana sistólica es aproximadamente120 mmHg, mientras que la distólica esta alrededor de 80 mmHg; ambasmediciones tomadas en la arteria braquial. [19][51][71].

Las compliancia de la aorta ascendente y sus dimensiones definen lascaracterísticas de la compliancia en el resto de las arterias. La complianciavolumétrica de la aorta ascendente es aproximadamente la mitad que la deltotal de la aorta [28]. La aorta se vuelve más grande y rígida con la edad,disminuyendo la compliancia [56].

2.1.3. HistologíaLa pared vascular de la aorta ascendente presenta diferentes capas (fi-

gura 2.2). A continuación se explican las características de cada una de lascapas [67].


La túnica íntima, es la capa más interna y consta a su vez de trescomponentes:

- El endotelio, la capa en contacto con el flujo sanguíneo. Está for-mada por células epiteliales planas o escamosas.

- La lámina basal. Es una matriz extracelular cuya función es sepa-rar las células del endotelio de otros tipos de células. Está com-puesta principalmente de colágeno tipo IV.

- La capa subendotelial. Es la capa de transición entre la túnicaíntima y la túnica media. Está compuesta por tejido conjuntivolaxo donde, a veces, se pueden encontrar células musculares lisas.En las arterias y arteriolas contiene una lámina de material elásticofenestrado llamada membrana elástica interna.

La túnica media, está ubicada entre la túnica íntima y la túnica ad-venticia. Consiste en estratos circunferenciales de células musculareslisas, elastina, fibras reticulares y proteoglucanos. En las arterias estacapa es más gruesa que en las venas, extendiéndose desde la membranaelástica interna hasta la membrana elástica externa, ambas membranasformadas por elastina.

La túnica adventicia. Se trata de la capa más externa de los vasos. Estácompuesta principalmente por colágeno y algunas fibras elásticas. Enla aorta ascendente esta capa es delgada.

Las grandes arterias contienen una alta proporción de elastina, mientrasque las venas presentan menos elastina y mayor contenido de colágeno. Co-mo se explica en el apartado siguiente, esta es la razón por la que la aortaascendente presenta la mayor compliancia de todos los vasos [72].

2.1.4. Comportamiento mecánicoEl comportamiento mecánico global de la aorta ascendente depende direc-

tamente del comportamiento de cada uno de sus componentes: el colágeno,la elastina y, en menor medida, las células del músculo liso. En el rango defuncionamiento fisiológico, la elastina presenta un comportamiento elásticoy lineal, con un modulo elástico aproximadamente de 1 MPa. Por su parte,el colágeno presenta también un comportamiento cuasilineal en el rango fi-siológico, con un módulo elástico aproximado de 100 MPa [71]. Debido a laorientación de las fibras de colágeno en la pared arterial, el comportamientomecánico es anisótropo [27]. La deformación inicial de la pared arterial se


Músculo liso y elastina Colágeno y elastina

nPresión

Rango Arteria120 mmHg

Elastina

Colágenog

fisiológico80 mmHg

Deformación

Figura 2.3: Comportamiento no lineal de las arterias. Elaboración propia a partirde [93]

debe a la elasticidad de la elastina. A medida que la pared se deforma, lasfibras de colágeno entran en carga, disminuyendo la compliancia [7][71]. Enla figura 2.3 se aprecia el comportamiento de cada componente y el compor-tamiento global de la arteria.

Desde el punto de vista termodinámico, los componentes que forman lapared arterial presentan un comportamiento similar al que tienen los políme-ros, calentándose al extenderse y enfriándose cuando se contraen. Debido alintercambio de calor con el medio circundante el comportamiento en carga ydescarga es diferente, efecto que se conoce como histéresis [68].

2.1.5. AneurismasEl aneurisma es una patología vascular, consistente en la dilatación loca-

lizada que se produce en un vaso sanguíneo.Las causas de la aparición de los aneurismas no es del todo conocida. En

1928 Gsell afirmó que la causa de la aparición de aneurismas era la dege-neración de la túnica media como consecuencia de la pérdida de células demúsculo liso [23]. Por su parte, Cellina en 1931, propuso que la causa pri-mera en la aparición de los aneurismas era la lesión de la elastina, y por lotanto era independiente de las células del músculo liso presentes en la túnicamedia [77]. En la actualidad se cree que la causa de los aneurismas se debea los dos mecanismos [75]. No obstante, se han encontrado casos de aortas


no dilatadas con fragmentación en la elastina y pérdida de músculo liso, loque apunta a que la túnica media se regenera. No obstante, la degeneraciónprogresiva de la túnica media juega un papel importante en la patogénesisde la aorta ascendente en personas de edad avanzada [70][78].

La pérdida de tejido en la túnica media está relacionada con proteinasaselastolíticas producidas por infiltración de leucocitos y células vasculares,como la metaloproteinasa de la matriz. La actividad de estas enzimas, quedegradan la matriz, está modulada por activadores, como la plasmina, einhibidores como el tejido inhibidor de metaloproteinasas, que se encuentraen el microambiente aneurismático[20][46][64][81].

La dilatación que se produce en los aneurismas está directamente rela-cionada con el diámetro que tienen, por lo que, una vez producidos, tiendena aumentar[90]. Debido a que el coste de reparación es muy alto, convieneconocer el comportamiento del aneurisma, para disponer de criterios fijosque determinen el momento para reparar el aneurisma, siempre y cuando elriesgo de rotura sea mayor que el riesgo de la reparación [63]. La apariciónde aneurismas de gran tamaño está relacionada con la edad[49], debido alaumento del diámetro y la rigidez del vaso, aumentando la presión sistólicay disminuyendo la diastólica [30][56].

2.2. InjertosLos injertos vasculares son utilizados para sustituir un vaso cardiaco cuan-

do su comportamiento es insuficiente. Los tipos de injertos vasculares sepueden dividir en dos categorías principales: injertos biológicos e injertossintéticos. Los injertos biológicos pueden ser a su vez autólogos, homólogoso heterólogos. La mayoría de los injertos son sintéticos[92].

2.2.1. Injertos biológicosLos vasos autólogos se utilizan como injerto vascular, siendo la vena safena

y la arteria interna mamaria las más utilizadas, especialmente para remplazarlas arterias coronarias [16][34][35][41]. .

Existen varios problemas relacionados en la implantación de venas autólo-gos. Cabe destacar la degradación que sufren cuando cuando están expuestosa la circulación, y el limitado número de venas disponibles para su uso sinafectar la circulación sanguínea [35][36][55][82]. Los vasos homólogos y he-terólogos presentan inconvenientes que los autólogos; por lo que su uso hadisminuido a favor de la utilización de injertos sintéticos [92].


Figura 2.4: Diferentes tejidos de Dacron®, (a) tipo knitted y (b) tipo woven, conmicroscopio electrónico. Obtenido de [92]

2.2.2. Injertos sintéticosEl primer conducto vascular sintético lo desarrolló Voorhees en 1952 [89].

El tejido estaba formado por Vinyon N, una fibra proveniente del vinilo yutilizada principalmente en paracaidismo. Posteriormente se utilizaron otrosmateriales como el Nylon [73]. Estos materiales están en desuso ya que noresisten bien las deformaciones y presentan inestabilidades estructurales [2].Desde 1957 el Dacron® está disponible clínicamente [79]. Posteriormente apa-reció el Teflon®, el cual dejó de utilizarse pronto por considerarse rígido ydifícil de manejar. En 1972 apareció un Teflon® modificado con un anillo desoporte (politetrafluoretileno expandido), que se sigue utilizando en la actua-lidad [87]. El injerto de Dacron® se utiliza comunmente en grandes arterias,mientras que el Teflon® es comunmente usado en vasos de tamaño medio.

También se han realizado estudios para desarrollar injertos con propie-dades mecánicas similares a las del tejido nativo, por medio de ingeniería detejidos y la utilización de nuevos materiales [65][80][83].

2.2.2.1. Dacron®

El Dacron®, que originalmente fue una marca de la casa comercialDuPont,se ha utilizado comunmente en el lenguaje médico, en vez de polietileno te-raftalato, material del que están hechas sus fibras[87].

Los filamentos de Dacron® se agrupan en tiras (de 20 a 54 filamentoscada una). Las tiras se pueden distribuir tipo woven, con un entrelazado enángulos rectos y baja porosidad, o tipo knitted, con un entrelazado pobre ymayor porosidad [53]. En la figura 2.4 se puede observar los dos tipos detejidos de Dacron®.

El tejido de Dacron® tipo knitted presenta mayor compliancia y facilidad


de manejo que el tipo woven. Ademas, presenta mayor porosidad, del ordende 1500 ml/cm2/min, lo que promueve el anclaje al tejido adyacente. Noobstante, muestran mayor pérdida de resistencia que los tejidos woven, yaque retienen peor la fuerza que se produce en la sutura [43][57].

Una importame mejora de los injertos de Dacron® se produce añadiendorecubrimientos (velour coation), que proporciona a los filamentos un tactosuave y mejora la adhesión de la neoíntima y la cápsula exterior [24][69]. Ac-tualmente todas las prótesis están recubiertas o impregnadas por un sellante(colágeno, albúmina, o gelatina) [92].

Inconvenientes de los injertos de Dacron®

Uno de los inconvenientes de los injertos de Dacron® son los fallos in-trínsecos que presenta. Los fallos intrínsecos de injertos vasculares se definencomo la incapacidad del injerto de mantener su función e integridad estruc-tural despúes de la implantación [53]. Estos fallos ocurren aproximadamentedespúes de siete años aproximadamente; sin embargo las probabilidades deocurrencia son bajas, entre el 0,5% y el 3%.

Los injertos de Dacron® tipo Woven son más resistentes y presentanmenos fallos estructurales, con incidencias del 2%[8][87]. El típico fallo es-tructural es la aparición de aperturas y, en algunos casos, rotura total conpseudoaneurismas localizadas en mitad del injerto [45][52]. Casi todos losinjertos de Dacron® se dilatan una media de un 18% justo despúes de lainserción [54]. Estos cambios son inherentes al material y pueden ser predeci-bles por medio de ensayos mecánicos, por lo que si la dilatación es moderada(entre el 10% y el 20%), no se define como fallo estructural[61].

Pese a todas las cifras, es imposible determinar la frecuencia exacta dedegeneración de las prótesis vasculares. Una causa de que se reporten menoscasos de los que realmente ocurren es que el fallo del injerto origina defectostrombóticos, ignorándose la posible causa debida a la prótesis. Además, existeuna continua evolución en la fabricación de injertos, por lo que es difícilrealizar comparaciones [87]. Las incidencias de fallos estructurales en prótesismodernas de Dacron® son raras; no obstante, puede ser raro porque loscambios son observados desde hace cinco años o menos [52].

Otra causa de los fallos estructurales es la fatiga producida por el flujosanguíneo, produciendo fisuras [8]. También la diferencia en compliancia entreel tejido y los recubrimientos, ya que los pseudoaneurismas se producen entreellos [1].

Además, la degradación del polímero puede causar fallos estructurales. Esposible que después de años de implantación la composición macromoleculardel polietileno se fragmente por causas hidrolíticas. Estos cambios podrían


provocar el rechazo del injerto por parte del organismo, acumulándose célulasmultinucleadas en la vecindad del injerto defectuoso [22][48].

También se producen daños en la fabricación del injerto, debido al so-brecalentamiento, estiramiento excesivo o esterilización por medio de rayosgamma o beta [62]. Sin embargo los daños debidos a la fabricación son cuestio-nables, ya que la fabricación está estandarizada y controlada por ordenador;además, las propias compañías prefieren esterilizar con óxido de etileno, paramantener la integridad del material [62]. Las zonas de mayor debilidad de losinjertos es la unión del injerto con el tejido adyacente y el área de marcadacon un color diferente, que sirve para mantener la alineación en el momentode la implantación [8][11].

Por otra parte, las propiedades mecánicas del Dacron® diferen de la aor-ta, afectando la hemodinámica del sistema circulatorio [85] y promoviendola aparición de hiperplasia íntima [5][6]. La hiperplasia íntima se debe a unavariedad de efectos relacionados con el daño del endotelio [39]. El componen-te de la hiperplasia íntima es un 20% células musculares lisas vasculares, quehan migrado desde la túnica media a la túnica íntima y han proliferado ydepositado matriz extracelular, que ocupa entre el 60 y el 80% del área ínti-ma. La superficie puede estar formada por células endoteliales, dependiendodel tiempo y la magnitud desde que se inició el daño [39]. La hiperplasiaíntima es la mayor causa de complicaciones de trombos en un período entredos y cuatro meses después de una intervención vascular [10][13][39]. Se hamostrado que los cambios en esfuerzo cortante y las interacciones entre elesfuerzo cortante y la deformación circunferencial pueden ser causantes dehiperplasia íntima [4][32][35][39].

El injerto de Dacron® en la aorta ha mostrado un incremento en la re-ducción de la compliancia de la arteria [33][38]. Además, aumenta el pulsosistólico, altera la forma de la onda de presión e incrementa la carga ventri-cular [4][28][50].

A la vista de los inconvenientes, el injerto ideal de Dacron® debe es-tar disponible con facilidad, durar más que la arteria que la acoge, resistirdeformaciones, no producir infecciones y no producir rechazo. Además, lascaracterísticas mecánicas deben ser similares a las del vaso donde se coloca.

Se han realizado investigaciones para incorporar en el injerto sustanciascomo factores de crecimiento, anticoagulantes y antibióticos, así como capascelulares que se asemejen al endotelio de la aorta[48].

Capítulo 3

Materiales y métodos

3.1. MaterialesTodas las probetas utilizadas en los ensayos se han extraido a partir de

un tubo de Dacron® hilado tipo Woven con doble cobertura, de poliester ycolágeno bovino (Hemashield Platinum, Boston Scientific Corporation), su-ministrado por el Hospital Puerta de Hierro de Majadahonda (figura 3.1). Eldiámetro interior y exterior del tubo es, respectivamente, 33, 00±0, 05 mm y34, 70±0, 05 mm, medido con un calibre cuya resolución es de 0, 05 mm. Asi-mismo, se ha hallado la densidad del Dacron® con una balanza de precisión(Precisa XT220A), midiendo la masa de la probeta seca y sumergida en unlíquido de densidad conocida, obteniéndose un valor de 0, 97± 0, 01 gr/cm3.

El tejido de Dacron® presenta dos direcciones principales de hilado, unaen dirección longitudinal al tubo y otra en dirección circunferencial [88].Por esta razón se ha hecho la hipótesis de que las direcciones principales detensiones y deformaciones coinciden con la dirección radial, circunferencial ylongitudinal.

Figura 3.1: Tubo de Dacron®.

13

CAPÍTULO 3. MATERIALES Y MÉTODOS 14

CIRCUNFERENCIAL

LONGITUDINAL

Figura 3.2: Extracción de las probetas del tubo.

8.0

5.0

R3.0

15.0

9.0

3.0

4.0

2.5

1.5

4.5

R1.5

7.5

Figura 3.3: Dimensiones de las probetas utilizadas en los ensayos. En milímetros.

Se han realizado ensayos en las direcciónes circunferencial y longitudinal.En la figura 3.2 se muestra de forma esquematizada la extracción de lasprobetas del tubo. Se han diseñado las probetas con dos tamaños diferentes,de forma que se pueda evaluar la influencia de la geometría en los resultadosfinales. De aquí en adelante a la probeta de menor tamaño se la denominará,pequeña, y a la probeta de mayor tamaño, grande. La forma de las probetases de «hueso de perro» (dog-bone) para conseguir tensiones uniformes en elcentro de la probeta [42]. Las dimensiones de cada probeta aparecen en lafigura 3.3.

Las probetas se han cortado con una grabadora láser (8010 Trotec Speedy100 ). Se han realizado varias pruebas para obtener los parámetros de corteque menos afectan a las propiedades mecánicas del Dacron®. Las distintaspruebas se encuentran explicadas en el apéndice A.

Debido a la forma del tubo de Dacron®, la sección transversal de la probe-ta presenta una geometría distinta dependiendo de la dirección de extracción.En la figura 3.4, aparecen las medidas de las secciones transversales en ca-da dirección, para la probeta grande. Todas las medidas de las dimensionesde la sección transversal se han realizado con un perfilómetro de 0,001 mmde resolución. El espesor del tubo es de 0, 50 ± 0, 02 mm. En el cuadro 3.1aparecen las áreas en la sección transvesal del centro de las probetas.

Para realizar los ensayos mecánicos se ha utilizado una máquina elec-tromecánica Instron 5543A. Asimismo,se han utilizado dos células de cargaInstron para ensayos estáticos, de 100 N y de 5 N , dependiendo del ensayorealizado.


3.0

0.50.5

3.0

1.4

0.9

Longitudinal Circunferencial

Figura 3.4: Sección transversal de la probeta grande. En milímetros.

DirecciónProbeta Circunferencial (mm2) Longitudinal (mm2)Pequeña 1,20±0,06 0,75±0,04Grande 2,4±0,1 1,50±0,07

Cuadro 3.1: Áreas de las secciones transversales de las probetas.

3.2. MétodosEn todos los ensayos realizados, las probetas se han introducido en un

recipiete lleno de suero fisiológico (vitulia 0,9%) y se han mantenido a unatemperatura de 37 ± 1 ◦C. Para tal fin, se situó la probeta en un recipienteestanco, conectado a un agitador magnético con calefacción y termómetro(J.P. Selecta Agimatic N ) mediante un circuito cerrado (figura 3.5).

Como indica la figura 3.5, se colocó una cámara digital (U-eye) paramedir los desplazamientos entre dos puntos de la probeta. Los puntos semarcaron en las probetas con un rotulador para piel (Devon® Skin Marker).Posteriormente, las cabezas de las probetas se colocaron en unas mordazas

PROBETA

CÁMARA

CÉLULA DECARGA

BÁSTIDOR MÓVIL

CIRCUITO CERRADO DE SUERO

FISIOLÓGICO A 37 ± 1 ºC

DATOS DE DESPLAZAMIENTO

DATOS DE FUERZA

Figura 3.5: Circuito cerrado para la realización de los ensayos mecánicos. Elabo-ración propia a partir de [21]


Puntos

Figura 3.6: Probeta pintada con puntos sujeta por las mordazas. Señalados conflechas.

y se fijaron por medio de tornillos y con pegamento de base de cianoacrilato(figura 3.6).

Las mordazas se colocaron en barras verticales según la dirección de des-plazamiento de la máquina electromecánica. Para asegurar que la fuerza setransmita en dirección axial a la probeta se ha dispuesto una rótula en labarra superior.

Los ensayos realizados, que se explican en los apartados siguientes, sonensayos de tracción, ensayos de relajación y ensayos con historia de cargasvariables.

3.3. Ensayos de tracción

Los ensayos de tracción uniaxial tienen como objetivo conocer el compor-tamiento mecánico del Dacron® en una dirección de tensiones y deformacio-nes bajo condiciones termodinámicas constantes (ensayo cuasiestático). Sehan realizado ensayos a distintas velocidades del bastidor, distintas direccio-nes principales y distintos tamaños de probeta, hasta la rotura del material.

Durante los ensayos de tracción se midieron la fuerza y los desplazamien-tos en el sentido axial de la probeta. La fuerza se registró con una célulade carga de 100 N . La cámara digital se configuró para capturar diez imá-genes por segundo. Para hallar la fuerza neta que presenta la probeta ensentido axial se tuvo en cuenta la fuerza ejercida por las barras y mordazasy el empuje del suero, que se obtuvo mediante un ensayo sin probeta bajolas mismas condiciones que el ensayo mecánico. Con la curva que relacionala fuerza con la deformación entre las mordazas se obtuvo la curva tensión-deformación del material. En el cuadro 3.2 se muestran los ensayos realizadosy las características de cada uno.


Nombre Probeta Dirección Velocidad (mm/s)TGC1 Grande Circunferencial 0,03TGC2 Grande Circunferencia 0,03TGL1 Grande Longitudinal 0,03TGL2 Grande Longitudinal 0,03TPC1 Pequeña Circunferencial 0,03TPC2 Pequeña Circunferencial 0,01TPL1 Pequeña Longitudinal 0,03TPL2 Pequeña Longitudinal 0,01

Cuadro 3.2: Características de los ensayos de tracción.

La tensión y la deformación se han definido, respectivamente:

σ = F

Aε = l

l0(3.1)

donde F es la fuerza aplicada sobre la probeta, A es la sección transversal dela probeta cuando la fuerza sobre la probeta es nula, indicada en el cuadro 3.1,l es la longitud de la probeta entre dos puntos, l0 es la longitud de la probetaentre dos puntos cuando la fuerza neta aplicada sobre la probeta es nula.

Para hallar la deformación se ha utilizado la longitud entre mordazas yla longitud mostrada por la cámara. El proceso de obtención de la curvatensión-deformación de las probetas está explicado en el apéndice B.

3.4. Ensayos de relajaciónLos ensayos de relajación tienen como objetivo medir la pérdida de tensión

que experimenta la probeta cuando la deformación es constante. Constan deuna rampa de tracción hasta alcanzar una deformación constante, momentoen que la fuerza es máxima; y un período de relajación hasta un tiempodeterminado. El control sobre los ensayos se realiza imponiendo la velocidaddel desplazamiento y la fuerza máxima en la célula de carga. Los ensayosse han realizado con la probeta pequeña y la célula de carga de 5 N . Elprocedimiento para obtener la curva tensión-deformación ha sido el mismoque el utilizado en los ensayos de tracción. En el cuadro 3.3 se explican lascaracterísticas de los ensayos realizados, donde la fuerza máxima indica lafuerza neta máxima sobre la probeta.


Velocidad Fuerza máxima tiempoNombre Dirección (mm/s) (N) (s)

RC1 Circunferencial 0,03 1,14 2000RC2 Circunferencial 0,01 3,77 7000RL1 Longitudinal 0,03 1,92 1700RL2 Longitudinal 0,01 2,91 6600

Cuadro 3.3: Características de los ensayos de relajación.

4

4.5

5

5.5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

VC1Dirección circunferencial

Velocidad de desplazamiento = 0,001 mm/s

Dis

tanc

ia e

ntre

mor

daza

s (m

m)

Tiempo (s)

4.5

5

5.5

0 2000 4000 6000 8000 1 104 1.2 104

VC2Dirección circunferencial


Dis

tanc

ia e

ntre

mor

daza

s (m

m)

Tiempo (s)

Figura 3.7: Historia de carga de los ensayos realizados con las probetas circunfe-renciales.

3.5. Ensayos con historia de cargas variablesLos ensayos uniaxiales con historia de cargas variables consisten en la

aplicación de una serie de cargas seguidas de períodos de relajación. El controlsobre el ensayo se realiza imponiendo el tiempo de relajación de cada tramo, lavelocidad del desplazamiento y las fuerzas a alcanzar sobre la célula de carga.La curva tensión-deformación se ha hallado por el mismo procedimiento queel utilizado en los ensayos de tracción. Todos los ensayos se han realizado conla probeta pequeña y una célula de carga de 5 N . En las figuras 3.7 y 3.8aparece la distancia entre las mordazas mordazas en función del tiempo.


7

8

9

10

11

12

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

VL1Dirección longitudinal


Dis

tanc

ia e

ntre

mor

daza

s (m

m)

Tiempo (s)

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

0 2000 4000 6000 8000 1 104 1.2 1041.4 1041.6 104

VL2Dirección longitudinal


Dis

tanc

ia e

ntre

mor

daza

s (m

m)

Tiempo (s)

Figura 3.8: Historia de carga de los ensayos realizados con las probetas longitu-dinales.

Capítulo 4

Resultados

En el capítulo 3 se han explicado los materiales y métodos empleadosen cada tipo de ensayo mecánico realizado. El objetivo de este capítulo esmostrar los resultados obtenidos una vez que se han hallado las tensiones ydeformaciones, según lo explicado en el apéndice B.

Los ensayos de tracción uniaxial han servido para determinar el com-portamiento del Dacron® en distintos rangos de tensiónes. Por su parte, losensayos de relajación y con cargas variables se han realizado en rangos detensiónes cercanos a los que tendría la probeta en condiciones fisiológicas. Enel capítulo 5 se hace uso de los resultados de los ensayos de relajación y concargas variables para obtener un modelo constitutivo del material. Todas lasdiscusiones a los resultados mostrados en este capítulo se encuentran en elcapítulo 7.

4.1. Ensayos de rotura

La figura 4.1 muestra los resultados de los ensayos uniaxiales de traccionrealizados en dirección circunferencial y longitudinal, respectivamente. Laleyenda corresponde con los nombres de los ensayos mostrados en el cuadros3.2.

Para comprobar la repititividad de los resultados se ha simplificado lacurva en tres tramos y se ha hallado la recta que se aproxima a la curvaen esos tres tramos mediante el algoritmo de Levenberg -Marquardt. En lafigura 4.2 se observa de forma equematizada los tramos escogidos para hallarlas rectas. En el cuadro 4.1 se muestra la pendiente de la recta en los trestramos analizados. Los parámetros medios se encuentran en el cuadro 4.2.

20

CAPÍTULO 4. RESULTADOS 21

0

5

10

15

20

25

30

1 1.5 2 2.5 3

Ensayos de tracciónDirección circunferencial

TGC1TGC2TPC1TPC2

Tens

ión

(MP

a)

Deformación (L/Lo)

0

5

10

15

20

25

30

1.2 1.6 2 2.4 2.8

Ensayos de tracciónDirección longitudinal

TGL1TGL2TPL1TPL2

Tens

ión

(MP

a)

Deformación (L/Lo)

Figura 4.1: Curva tensión-deformación de los ensayos de tracción uniaxial.

0

5

10

15

20

25

30

1 1.5 2 2.5 3

Rectas obtenidas

Tens

ión

(MP

a)

Deformación (L/Lo)

E1

E2

E3

Figura 4.2: Situación de las pendientes halladas en las curvas tensión-deformación.


Nombre E1(MPa) E2(MPa) E3(MPa)TGC1 57 12 36TGC2 58 11 34TGP1 62 12 32TGP2 55 9 35TGL1 33 10 29TGL2 32 10 26TPL1 35 9 25TPL2 31 10 27

Cuadro 4.1: Módulos de elasticidad de la curva tensión-deformación.

Dirección E1(MPa) E2(MPa) E3(MPa)Circunferencial 58± 1 11, 0± 0, 7 34, 7± 0, 8Longitudinal 32, 7± 0, 8 9, 7± 0, 2 26, 7± 0, 8

Cuadro 4.2: Valores medios de las pendientes en las curvas tensión-deformación.

4.2. Ensayos de relajaciónEn las figuras 4.3 y 4.4 se muestran la historia de tensiones y deforma-

ciones a lo largo del tiempo para los ensayos en dirección circunferencial ylongitudinal, respectivamente. También se han realizado gráficas adimensio-nales, situando el tiempo inicial en el momento en que la deformación esconstante (figura 4.5).

4.3. Ensayos con historia de cargas variablesLos ensayos con historia de cargas variables tienen dos objetivos: por

un lado mostrar la relajación que experimente la tensión de una probetapara distintos valores de deformación; por otro lado, inferir la curva tensión-deformación del material cuando se encuentra en todo momento en condi-ciones de equilibrio termodinámico. Los ensayos se han nombrado según lanomenclatura mencionada en el capítulo 3. En las figuras 4.6 y 4.7 se observala historia de tensiones y deformaciones para distintas probetas.

A partir de las curvas tensión-deformación se ha estimado la curva ensituación de equilibrio termodinámico, bajo la suposición de que el materiala tiempo infinito se comporta de forma elástica (figura 4.8).


1

1.05

1.1

1.15

0

0.5

1

1.5

2

0 500 1000 1500 2000 2500

Ensayo de relajación RC1

Deformación Tensión

Def

orm

ació

n (L

/Lo) Tensión (M

Pa)

Tiempo (s)

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Ensayo de relajación RC2

Deformacion Tension

Def

orm

ació

n (L

/Lo) Tensión (M

Pa)

Tiempo (s)

Figura 4.3: Historia de tensiones en los ensayos de relajación en dirección circun-ferencial.

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 500 1000 1500 2000

Ensayo de relajación RL1

Deformacion Tension

Def

orm

acio

n (L

/Lo) Tensión (M

Pa)

Tiempo (s)

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0

1

2

3

4

5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Ensayo de relajación RL2

Deformación Tensión

Def

orm

ació

n (L

/Lo) Tensión (M

Pa)

Tiempo (s)

Figura 4.4: Historia de tensiones en los ensayos de relajación en dirección longi-tudinal.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Ensayos de relajaciónen dirección circunferencial

RC1RC2

Tens

ión

rela

tiva

(s/s

max

)

Tiempo (s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Ensayos de relajaciónen dirección longitudinal

RL1RL2

Tens

ión

rela

tiva

(s/s

max

)

Tiempo (s)

Figura 4.5: Historia de tensiones en los ensayos de relajación. Gráficas adimensio-nales.

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Ensayo VC1Deformación Tensión

Def

orm

ació

n (L

/Lo) Tensión (M

Pa)

Tiempo (s)

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2000 4000 6000 8000 1 104 1.2 104

Ensayo VC2Deformacion Tensión

Def

orm

ació

n (L

/Lo) Tensión (M

Pa)

Tiempo (s)

Figura 4.6: Historia de tensiones y deformaciones en dirección circunferencial.


1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0

1

2

3

4

5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Ensayo VL1Deformación Tensión

Def

orm

ació

n (L

/Lo) Tensión (M

Pa)

Tiempo (s)

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2000 4000 6000 8000 1 104 1.2 1041.4 1041.6 104

Ensayo VL2Deformación Tensión

Def

orm

ació

n (L

/Lo) Tensión (M

Pa)

Tiempo (s)

Figura 4.7: Historia de tensiones y deformaciones en dirección longitudinal.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1.12 1.14 1.16

Curva tensión-deformaciónDireccion circunferencial

VC1VC2CURVA DE EQUILIBRIO

Tens

ión

(MP

a)

Deformación (L/Lo)

0

1

2

3

4

5

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Curva tensión-deformaciónDirección longitudinal

VL1VL2CURVA DE EQUILIBRIO

Tens

ión

(MP

a)

Deformación (L/Lo)

Figura 4.8: Curva tensión-deformación de los ensayos de cargas variables y curvatensión-deformación inferida.

Capítulo 5

Modelo constitutivo

El objetivo de este capítulo es obtener un modelo constitutivao del Dacron®a partir de los resultados del capítulo 4. Para realizar el modelo se han asu-mido las siguientes suposiciones:

El tejido de Dacron® no experimenta cambios de temperatura en elinterior del cuerpo humano.

El tejido de Dacron® no experimenta cambios de masa cuando estáimplantado en el cuerpo humano. Por lo tanto, no se tiene en cuentala formación de células endoteliales ni pérdida de tejido [94].

En el rango de presiones fisiológicas el tejido del Dacron® se comportade forma lineal.

5.1. Ecuaciones constitutivasSe ha supuesto que las tensiones que experimenta el Dacron® a lo largo

del tiempo varían tanto con la deformación aplicada como con la velocidad dedeformación [84]. Para simular este efecto los modelos más utilizados se basanen dos sistemas físicos: el muelle y el amortiguador (figura 5.1). El muellesimula la relación lineal entre las tensiones y las deformaciones; mientras queel amortiguador simula la relación lineal entre la tensión y la velocidad dedeformación.

El comportamiento del muelle queda definido por la relación directa entrela tensión y la deformación (fórmula 5.1).

σ = kε (5.1)

donde σ es la tensión ε es la deformación y k es un parámetro, conocido comoel módulo de elasticidad, que depende del material.

26

CAPÍTULO 5. MODELO CONSTITUTIVO 27

Figura 5.1: Representación del muelle (izquierda) y el amortiguador (derecha).Obtenido de [18].

Por su parte, el comportamiento del amortiguador viene definido por unaconstante y la derivada de la deformación frente al tiempo. (fórmula 5.2)

σ = ηdε

dt(5.2)

donde σ es la tensión ε es la deformación η es un parámetro conocido comocoeficiente de viscosidad, que depende de cada material.

Existen experimentos en la literaturaque muestran que los polímeros seajustan al modelo formado por la combinación de elementos de muelles yamortiguadores colocados en serie y en paralelo [40][44] . La unión en serie delamortiguador y del muelle es un modelo conocido como modelo de Maxwell,mientras que la unión en paralelo denomina modelo de Voigt (figura 5.2). Laecuación constitutiva del modelo de Maxwell viene definida por la ecuación5.3; mientras que la ecuación constitutiva del modelo de Voigt se muestra enla ecuación 5.4

σ + η

k

dσ

dt= η

dε

dt(5.3)

σ = kε+ ηdε

dt(5.4)

Observando la ecuación 5.3 y la ecuación 5.4, es posible construir unmodelo generalizado, donde aparecen derivadas de mayor orden, que se rigepor la siguiente ecuación:

p0σ +N∑k=1

pkdkσ

dtk= q0ε+

M∑k=1

qkdkε

dtk(5.5)


Figura 5.2: Modelo de Maxwel (izquierda) y modelo de Voigt (derecha). Obtenidode [18].

Cada uno de los coeficientes pk y qk dependen del material estudiado y sedeterminan por ensayos mecánicos. El número de parámetros que se tienenque obtener para caracterizar el material depende de los valores N y M dela fórmula 5.5 y son N + M + 1, ya que se puede dividir la ecuación poruno de los parámetros, de forma que una de las variables se encuentre libre.La deformación presente en la fórmula 5.5 está definida de forma que seanula cuando la tensión es nula, según la fórmula intrínseca del muelle y delamortiguador; por lo tanto se ha definido la deformación como la dada en lafórmula 3.1 menos la unidad.

En los siguientes apartados se obtendrán los coeficientes necesarios paraajustar el modelo generalizado a cada uno de los ensayos realizados. Se hautilizado la desviación típica como error de los parámetros del material y elcoeficiente de correlación de Pearson como medida de la precisión del modelo(apéndice C). Solamente se han admitido los modelos con un coeficiente decorrelación de Pearson mayor a 0,95.

5.2. Ensayos de relajación

En una primera aproximación se ha supuesto que la historia de tensionesque experimenta el material durante la relajación no depende de la velocidadde deformación durante el período de carga. Asimismo, se ha establecidoel tiempo inicial como el momento en que la deformación es constante. Laecuación general, suponiendo que la influencia de la velocidad de deformación


en el período de carga es despreciable, es la siguiente:

p0σ +N∑k=1

pkdkσ

dtk= q0ε (5.6)

La solución general de la ecuación 5.6 viene desarrollada en el apéndiceD y es la siguiente:

σ =N∑k=1

Akerkt + q0

p0ε (5.7)

donde rk son cada una de las raíces de la siguiente ecuación:

p0σ +N∑k=1

pkrk = 0 (5.8)

y los parámetros Ak se obtienen mediante la siguiente operación matricial:

A1A2A3...AN

=

1 1 1 . . . 1r1 r2 r3 . . . rNr1

2 r22 r3

2 . . . rN2

... ... ... . . . ...r1N−1 r2

N−1 r3N−1 . . . rN

N−1

−1

σ|t=0 − q0p0ε

dσdt|t=0

d2σdt2|t=0...

dN−1σdtN−1 |t=0

(5.9)

En una primera aproximación se ha resuelto la ecuación para N igual ala unidad, cuya solución es:

σ =[σ0 −

q0

p0ε

]e− p0

p1t + q0

p0ε (5.10)

Los parámetros obtenidos son los mostrados en la figura 5.3 para losensayos en dirección circunferencial y en la figura 5.4 para los ensayos endirección longitudinal.

Debido a que el coeficiente de correlación de Pearson es menor a 0,95,se ha realizado el ajuste de parámetros para un valor de N igual a dos. Lafórmula obtenida y la respectiva solución es:

poσ + p1dσdt

+ p2d2σdt2

= q0ε

σ = A1er1t + A2e

r2t + q0p0ε

(5.11)

donde r1 y r2 son las soluciones a la ecuación 5.8 de segundo orden, y A1 yA2 las soluciones a la ecuación 5.9. En las figuras 5.5 y 5.6 se observan lascurvas experimentales y las curvas del modelo del material en los ensayos derelajación en dirección circunferencial y longitudinal.


0

0.5

1

1.5

2

0 500 1000 1500 2000 2500

Ensayo de relajación en dirección circunferencialDeformación = 1,14 (L/Lo)

EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)

ErrorValor2e-5139,74000p1/p0 (s)

0,0035,838q0/p0 (MPa)0,866Correlación de Pearson

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000


EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)



Figura 5.3: Obtención de los parámetros que mejor se ajustan a las curvas de losensayos de relajación en dirección circunferencial (N = 1).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 500 1000 1500 2000

Ensayo de relajación en dirección longitudinalDeformación = 1,44 (L/Lo)

EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)



0

1

2

3

4

5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000


EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)



Figura 5.4: Obtención de los parámetros que mejor se ajustan a las curvas de losensayos de relajación en dirección longitudinal (N = 1).


0

0.5

1

1.5

2

0 500 1000 1500 2000 2500

Ensayo de relajación en direccion circunferencialDeformación = 1,14 (L/Lo)

Tangente inicial = -0,07 (MPa/s)

EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)

ErrorValor0,0002-407,1500p1/p0 (s)

5e-62231,800000p2/p0 (s^2)0,0015,616q0/p0 (MPa)

0,993Correlación de Pearson0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000


Tangente inicial = -0.13 (MPa/s)

EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)

ErrorValor2e-6-832,140000p1/p0 (s)9e-56377,40000p2/p0 (s^2)


Figura 5.5: Obtención de los parámetros que se ajustan a las curvas de los ensayosde relajación en dirección circunferencial (N = 2).

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 500 1000 1500 2000



EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)

ErrorValor0,0003-394,0200p1/p0 (s)

1e-51680,80000p2/p0 (s^2)0,0013,153q0/p0 (MPa)

0,986Correlación de Pearson0

1

2

3

4

5

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000



EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)

ErrorValor1e-6-1198,000000p1/p0 (s)7e-510950,00000p2/p0 (s^2)

0,00054,6113p3/p0 (MPa)0,984Correlación de Pearson

Figura 5.6: Obtención de los parámetros que se ajustan a las curvas de los ensayosde relajación en dirección longitudinal (N = 2).


Deformacióndee

eN

dedt

(s0)

e11

dedt 2

dedt Ne2

Tiempo

e0

(s0)

tt1 t1’ t2’t2 tN’tN

Figura 5.7: Historia general de deformaciones

5.3. Ensayos con historia de cargas variablesEn este apartado se ha utilizado el modelo general de muelles y amorti-

guadores del apartado 5.1 para simular los ensayos con cargas variables.Debido a la existencia de rampas de deformación se ha considerado tener-

las en cuenta en el modelo. No obstante, no se ha tenido en cuenta la derivadasegunda de la tensión con el tiempo, ya que no ha sido necesario para ajustarla curva de manera satisfactoria, ya que se ha obtenido una correlación dePearson mayor a 0,95 en más de un 95% de los ensayos.

La fórmula utilizada para modelizar los ensayos de historia de cargasvariables es la siguiente:

p0σ + p1dσ

dt= q0ε+ q1

dε

dt(5.12)

Asumiendo una historia de cargas donde la aceleración de la deformaciónes nula en todo instante (figura 5.7), la solución para una historia de cargascualquiera, en un instante donde la deformación es constante, es la siguiente(apéndice D).

σ(t) = σ0e− p0

p1t + q0

p0ε0 +∑N

k=1 e− p0

p1(t−tk′ ) dε

dt|k(q1p0− q0p1

p02

)+

+ e− p0

p1(t−tk) [ q0

p0

(p1p0dεdt|k − ε0

)− q1

p0dεdt|k]

+ q0p0

(εk − εk−1) (5.13)

En los ensayos con historia de cargas variables, se ha utilizado la ecua-ción 5.13 teniendo en cuenta únicamente la rampa de carga anterior a cadatramo.

En las figuras 5.8 y 5.9 muestran los distintos períodos de relajaciónanalizados y las curvas del modelo. Los parámetros de ajuste se recogenen los cuadros 5.1, 5.2,5.3 y 5.4.


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

Ensayo con historia de cargas variables en dirección circunferencial. Ensayo VC1

EXPERIMENTO

MODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)

1

2

3

4

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2000 4000 6000 8000 1 104 1.2 104

Ensayo con historia de cargas variablesen dirección circunferencial. Ensayo VC2

EXPERIMENTO

MODELO

Tens

ión

(MP

a)Tiempo (s)

1

2

3

4

5

Figura 5.8: Curvas experimentales y curvas del modelo del material para ensayosde carga variable en dirección circunferencial.

0

1

2

3

4

5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Ensayo con historia de cargas variablesen dirección longitudinal. Ensayo VL1

EXPERIMENTO

MODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)

1

2

3

4

5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 2000 4000 6000 8000 1 104 1.2 1041.4 1041.6 104

Ensayo con historia de cargas variablesen dirección longitudinal. Ensayo VL2

EXPERIMENTOMODELO

Tens

ión

(MP

a)

Tiempo (s)

1

2

3

4

5

6

Figura 5.9: Curvas experimentales y curvas del modelo del material para ensayosde carga variable en dirección longitudinal.

Ensayo VC1Tramo p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) q1/p0 (MPa·s) Correlación de Pearson

1 129,5 ± 0,4 4,618 ± 0,002 1000 ± 2 0,9952 169 ± 1 10,050 ± 0,004 1,4e5 ± 2000 0,9853 154 ± 1 14,310 ± 0,005 1,5e7 ± 7e5 0,9834 98,5 ± 0,6 8,085 ± 0,001 4e11 ± 5e10 0,9795 220 ± 2 4,322 ± 0,004 3e8 ± 2e10 0,982

Cuadro 5.1: Parámetros del modelo para el ensayo VC1.


Ensayo VC2Tramo p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) q1/p0 (MPa·s) Correlación de Pearson

1 606 ± 2 1,778 ± 0,001 2912 ± 6 0,9922 386 ± 1 4,514 ± 0,001 1,9e6 ± 3000 0,9893 544 ± 2 6,705 ± 0,002 3,7e7 ± 8e5 0,9914 2e4 ± 3000 10 ± 1 1,9e6 ± 6e4 0,9705 750 ± 3 1,911 ± 0,001 3e8 ± 1e10 0,987

Cuadro 5.2: Parámetros del modelo para el ensayo VC2.

Ensayo VL1Tramo p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) q1/p0 (MPa·s) Correlación de Pearson

1 154,7 ± 0,9 2,156 ± 0,001 789 ± 2 0,9862 159,3 ± 0,8 4,014 ± 0,002 3,7e6 ± 1e5 0,9883 118,8 ± 0,7 6,043 ± 0,002 2,2e10 ± 2e9 0,9834 150,3 ± 0,6 3,0830 ± 0,0007 1,0e11 ± 7e9 0,9935 274 ± 2 1,405 ± 0,001 6,5e8 ± 3e7 0,996

Cuadro 5.3: Parámetros del modelo para el ensayo VL1.

Ensayo VL2Tramo p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) q1/p0 (MPa·s) Correlación de Pearson

1 582 ± 1 1,2730 ± 0,0002 1554 ± 2 0,9942 461 ± 1 2,3200 ± 0,0005 3,6e7 ± 9e5 0,9903 718 ± 4 3,170 ± 0,002 8,6e7 ± 4e6 0,9834 404 ± 2 1,8730 ± 0,0002 5.4e12 ± 6e11 0,9655 562 ± 5 0,3810 ± 0,0002 3,8e10 ± 7e9 0,9226 149,4 ± 0,6 2,6100 ± 0,0002 3,0e40 ± 1e40 0,956

Cuadro 5.4: Parámetros del modelo para el ensayo VL2.


5.4. Análisis de los parámetrosEn este apartado se han hallado los parámetros medios del modelo del

material de Dacron® .Las curvas de relajación con N igual a dos presentan un coeficiente de

correlación de Pearson próximo a la unidad, pero necesitan dos condicionesde contorno: la deformación y la pendiente iniciales. La pendiente de la curvaen el momento inicial no se puede obtener de forma precisa debido a la nolinealidad de la curva de relajación y al ruido proveniente de la célula de carga.Por esta razón se ha seleccionado el modelo general con dependencia de lavelocidad de deformación y N = 1 como modelo constitutivo del material. Sehan escogido los resultados de todos los ensayos que presentan un coeficientede correlación de Pearson mayor a 0,95 y los parámetros con un error relativomenor al 1%. Los valores medios de cada ensayo se recogen en el cuadro 5.5y los valores medios finales son los recogidos en el cuadro 5.6. En el capítulo 7se realiza un análisis estadístico de los datos.

Para analizar de una manera más precisa el comportamiento del materiales necesario realizar ensayos de relajación a distintias velocidades de defor-mación, distintas deformaciones constantes y distintos tiempos de relajación;así como ensayos de fatiga y de fluencia.

Ensayo p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) q1/p0 (MPa·s)

VC1 154 8,277 1001VC2 570 3,727 2912VL1 171 3,340 789VL2 462 2,249 1554

Cuadro 5.5: Parámetros medios del modelo en cada ensayo.

p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) q1/p0 (MPa·s)

325± 15 4, 4± 0, 2 1570± 70

Cuadro 5.6: Parámetros finales del modelo.

Capítulo 6

Comparación con la aortaascendente

En este apartado se comparan los resultados obtenidos en los capítulos4 y 5 con las características mecánicas de la aorta ascendente, obtenidasde la literatura. Se han comparado, por una parte, los ensayos de tracciónen condiciones cuasiestáticas; y por otra, los parámetros del material quedependen del tiempo.

Se han obtenido de la literatura los valores medios de la densidad y espesorde la pared de la aorta ascendente, siendo la densidad aproximada de 1gr/cm3 y el espesor medio aproximado de 1,5mm [51]. Los valores del espesory la densidad del injerto de Dacron® se encuentran en el capítulo 3.

6.1. Modelo independiente del tiempoLos datos de la aorta ascendente presentes en esta sección se han obte-

nido a partir de los trabajos de Claudio García Herrera [21]. Los injertos deDacron® se implantan en pacientes cuya patología es principlamente el pre-sentar aneursimas aórticos. Por esta razón se han seleccionado únicamentelos datos procedentes de pacientes con aneurismas y con aortas en estadosano. Asimismo, se ha escogido la media de los resultados para el grupo depacientes entre 38 y 62 años.

En la figura 6.1 se observan los resultados de los ensayos de tracción. Ladefinición de tensión y deformación es la dada en la fórmula 3.1.

Se ha realizado un análisis del módulo de elasticidad de las curvas pre-sentes en la figura 6.1. Debido a que las curvas no son rectas se han obtenidovalores aproximados. De este modo, en el caso de la dirección circunferencial,el Dacron® presenta un módulo elástico en torno a 20.000 kPa, la arteria

36

CAPÍTULO 6. COMPARACIÓN CON LA AORTA ASCENDENTE 37

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4


TGC1TGC2TPC1TPC2AORTA CON ANEURISMAAORTA SANA

Tens

ión

(kP

a)

Deformación (L/Lo)

0

200

400

600

800

1000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2


TGL1TGL2TPL1TPL2AORTA CON ANEURISMAAORTA SANA

Tens

ión

(kP

a)

Deformación (L/Lo)

Figura 6.1: Comparación de los ensayos de tracción de Dacron® y aorta ascen-dente.

con aneurisma en torno a 1.300 kPa y la arteria sana en torno a 3.300 kPa.En el caso de los ensayos en dirección longitudinal, el módulo elástico delDacron® está en torno a 10.000 kPa y el de la aorta en torno a 1.300 kPa,tanto en estado sana como con aneurisma.

A partir de los datos obtenidos, se han estimado las tensiones y defor-maciones que presentan el injerto de Dacron® y la aorta ascendente cuandoestán sometidos a esfuerzos fisiológicos. Se ha supuesto que el radio del in-jerto de Dacron® es el mismo que el de la aorta adyacente. Para obtener lastensiones circunferenciales en la pared de la aorta o el Dacron® , a partir dela presión interna, se ha utilizado la fórmula de Laplace:

σ = pR

e(6.1)

donde p es la presión interna del tubo, R es el radio y e es el espesor.Aplicando la fórmula 6.1 se obtiene que la tensión es tres veces mayor

en el injerto de Dacron® que en la aorta. Al ser el módulo de elasticidadalrededor de seis veces mayor, la deformación final es aproximadamente eldoble en la probeta de aorta que en la probeta de Dacron®.

También se ha obtenido una aproximación de la velocidad de la ondade presión originada por el latido cardiaco. Se ha utilizado la fórmula deMoens-Korteweq [58], cuya expresión es:

c0 =√Eh

2Rρ (6.2)

donde E es el módulo elástico en sentido circunferencial, h es el espesormedio de la pared, R es el radio del tubo y ρ es la densidad del material. Con


Material p1/p0 (s) q0/p0 (MPa) q1/p0 (MPa·s)

Dacron® 325± 15 4, 4± 0, 2 1565± 65Aorta 2, 96 0, 103 0, 616

Cuadro 6.1: Comparación de parámetros entre aorta y Dacron®.

los datos de los módulos elásticos comentados anteriormente y, aplicando lafórmula 6.2, se obtiene que la velocidad de la onda es del orden de 1,5 vecesmás rápida en el Dacron® que en la aorta en estado sano, independientementedel radio del tubo.

6.2. Modelo dependiente del tiempoEn este apartado se comparan los valores del modelo dependiente del

tiempo obtenido en el capítulo 5 con los valores obtenidos en la literaturapor D. Valdez-Jasso et al [86].

En el cuadro 6.1 se observan los parámetros obtenidos con el Dacron® enel capítulo 5 y los hallados de la aorta en la literatura.

Del cuadro 6.1 y la fórmula del modelo constitutivo (fórmula 5.13) sededuce que, debido principalmente al término q0/p0, la aorta presenta unporcentaje de relajación mayor que el Dacron® para un tiempo dado.

Si se supone que el pulso cardiaco impone tensiones senoidales cada se-gundo (σ = σmax sen(2πt)) en el tubo aórtico y el Dacron® , la ecuacióngeneral 5.12 puede escribirse de la siguiente forma:

σmax sen(2πt) + p1

p0σmax cos(2πt) = q0

p0ε+ q1

p0

dε

dt(6.3)

La solución a la ecuación 6.3 se encuentra explicada en el apéndice D yes la siguiente:

ε = (ε0 −B) eq0q1t + A sen(2πt) +B cos(2πt) (6.4)

donde A y B se obtienen de resolver la siguiente operación matricial:(AB

)=( q0

p0− q1p0

2πq1p0

2π q0p0

)−1 (σmax

p1p0

2πσmax

)(6.5)

Imponiendo un valor de σmax igual a la unidad para la aorta e igual atres para el Dacron®, según lo visto en el apartado anterior, y sustituyen-do los parámetros del material en 6.5, se obtienen las siguientes ecuaciones


Material Tiempo (s) Deformación(l − l0)/l0Dacron® 0,251 0,600Aorta 0,255 4,926

Cuadro 6.2: Deformaciones máximas en aorta y Dacron®.

aproximadas para el Dacron® y la arteria, respectivamente.

εD = (ε0 + 0, 000009) e−0,01t + 0, 2 sen(2πt)− 0, 000009 cos(2πt) (6.6)

εA = (ε0 + 0, 13) e−0,17t + 4, 8 sen(2πt)− 0, 13 cos(2πt) (6.7)

En el cuadro 6.2 se muestran las deformaciones máximas que sufre elDacron® y la aorta bajo las suposiciones tomadas en el presente apartado.Se observa que existe un desfase de cuatro milisegundos entre el Dacron® yla aorta. La deformación para una misma tensión es aproximadamente 8,3veces mayor en la aorta que en el Dacron®.

De esta forma, comparando los parámetros obtenidos en este apartadocon los obtenidos en el apartado anterior, se deduce que la diferencia dedeformación entre la aorta y el Dacron®, para una misma tensión, es mayor ensituaciones fisiológicas que en condiciones cuasiestáticas, donde el Dacron®presenta mayores similitudes mecánicas con la aorta.

No obstante, es necesario realizar modelos más precisos y un mayor tipoy número de ensayos para poder aseverar conclusiones.

Capítulo 7

Discusión

7.1. IntroducciónEl presente trabajo fin de máster muestra resultados de ensayos realiza-

dos en probetas extraidas de un injerto de Dacron®. Con los resultados seha obtenido un modelo que simula el comportamiento del material y, poste-riormente, se han comparado los resultados con los encontrados de la aortaen la literatura.

Cabe destacar que toda comparación rigurosa debe hacerse con datoshallados bajo los mismos métodos. A modo de ejemplo, la densidad del poli-tereftalato de etileno (PET), componente fundamental del tejido de Dacron®,es de 1,455 gr/cm3 [84], mientras que la densidad obtenida del tejido de Da-cron® en este trabajo es de 0,97 gr/cm3. Si se supone que la diferencia entrelos valores de las densidades se debe a la porosidad del Dacron®, ésta ten-dría un valor del 33% respecto al volumen total del tejido. Por otra parte, sise observan los valores del módulo elástico del PET, aproximadamente 3000MPa, y el tejido de Dacron®, aproximadamente 50 MPa, y suponiendo quela variación es debida a la porosidad del tejido del Dacron®, se obtiene unaporosidad del 98% respecto al volumen total.

La discrepancia en los valores analizados puede deberse a que en la me-dida de las tensiones se ha considerado el área medida por un perfilómetro,mientras que la medida del volumen, realizada para medir la densidad, sebasa en el empuje de un líquido sobre el tejido de Dacron®, dependiente dela permeabilidad. Otra razón puede ser que, debido al tratamiento del Da-cron® al fabricar el tejido, se hayan modificado sus propiedades mecánicas[87].

Por lo tanto, debido a la multitud de variables que están presentes, esnecesario establecer unos criterios comunes para realizar ensayos mecánicos.

40

CAPÍTULO 7. DISCUSIÓN 41

En este capítulo se comentan los criterios y resultados obtenidos en estetrabajo fin de máster, en los siguientes apartados:

Curva tensión-deformación.

Ensayos mecánicos.

Modelo constitutivo.

Comparación con la aorta.

7.2. Curva tensión-deformaciónLos ensayos mecánicos realizados obtienen la fuerza que detecta la célula

de carga, las imágenes tomadas por la cámara de video y los desplazamientosdel bastidor. A partir de los datos proporcionados por los tres dispositivos seha obtenido la curva tensión-deformación, según se explica en el apéndice B.En el proceso se han seguido las siguientes suposiciones:

Las probetas extraidas del tubo no presentan tensiones residuales.

El método de corte no afecta al material.

No existe ninguna zona de debilidad en el tubo.

No existe distorsión de la imagen que graba la cámara.

7.2.1. Tensiones residualesDebido a la geometría del tubo, las probetas extraidas circunferencialmen-

te tienden a recuperar su forma original. Cuando se ensayan en la máquinaelectromecánica es necesario aplicar una fuerza para que la probeta adquie-ra una forma plana. Dicha fuerza no se ha tenido en cuenta en los cálculosya que se ha supuesto despreciable. No obstante, futuros estudios requierentener en cuenta la fuerza necesaria para mantener plana la probeta, ya quela definición de deformación y tensión dadas en la fórmula 3.1 dependen delmomento donde la fuerza que actúa sobre la probeta es nula. En la figura 7.1se muestra el estado de la probeta en el momento que la tensión residual esnula. Cuando la máquina electromecánica comienza a cargar (F ), la fuerzase descompone en una fuerza que deforma la probeta axialmente (Fd) y unafuerza que deforma la probeta para adquerir su forma plana (Ff ).

A medida que la probeta disminuye sus dimensiones el efecto de las ten-siones residuales se hace menor. En los ensayos realizados en este trabajo fin


a

FF

Ff

Fd

Ff

Fd

Figura 7.1: Estado de la probeta al comienzo de los ensayos.

de máster, el efecto que presentan las tensiones residuales sobre la probetapequeña es la mitad que sobre la probeta grande, por lo que los resulta-dos obtenidos de la deformación difieren, al variar el criterio para obtener lalongitud inicial.

7.2.2. Método de corte

El método de extracción de las probetas consiste en el empleo de una gra-badora láser, que quema el tejido localmente. Al quemar el tejido se producentensiones y deformaciones locales, además de cambiar las características delmaterial [62]. Cuanto más grande es la probeta, menor es el efecto de la zonaquemada en relación a la sección total de la probeta. Por lo tanto, existenvariaciones entre los resultados obtenidos mediante las probetas grandes ylas pequeñas ya que el área de la sección transversal se ve afectada por lagrabadora láser.

7.2.3. Zonas de debilidad

La franja utilizada para alinear los injertos de Dacron® en las cirugías,puede ser una zona de debilidad si se ha realizado por medio de un tratamien-to térmico [87]. La posible afección no se ha tenido en cuenta en el presentetrabajo fin de máster, pero ha de tenerse en cuenta en futuras investigaciones.

7.2.4. Distorsión de la imagen

La imagen de la probeta proporcionada por la cámara de vídeo puedeestar distorsionada como consecuencia del efecto óptico del suero fisiológico.El posible error no se ha tenido en cuenta en este trabajo fin de máster. Paracontrastar resultados es conveniente, en futuros ensayos, realizar medidas dela longitud inicial por otros medios.


0

50

100

150

200

250

300

350

400

1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1


TGC1TGC2TPC1TPC2

Tens

ión

(kP

a)

Deformación (L/Lo)

0

50

100

150

200

250

1 1.05 1.1 1.15 1.2


TGL1TGL2TPL1

Tens

ión

(kP

a)

Deformación (L/Lo)

Figura 7.2: Diferencias entre probetas pequeñas y grandes.

7.3. Ensayos mecánicos

7.3.1. Ensayos de tracción

En los ensayos de tracción se aprecian diferencias entre los ensayos rea-lizados con probetas grandes y los realizados con probetas pequeñas. En lafigura 7.2 se observan las diferencias en los primeros tramos de carga. No se haincluido el ensayo TPL2 porque no presenta valores para el rango observado.

Se observa que el módulo elástico es mayor en las probetas pequeñas queen las grandes en la dirección circunferencial, del orden de tres veces mayor.En el caso de la dirección longitudinal, el módulo elástico es del orden de dosveces más pequeño en las probetas pequeñas. Las diferencias se deben a loserrores en la obtención de la curva tensión-deformación y a las diferenciasen la velocidad del ensayo, que afectan primordialmete al primer tramo dela curva tensión deformación, antes de alcanzar la pendiente E1 definida enel capítulo 4. Para tramos posteriores, según muestra el cuadro 4.2, no seaprecia diferencia entre los ensayos realizados con la probeta grande y losrealizados con la probeta pequeña.

Además, en la figura 4.1 se aprecia que la rotura de las probetas pequeñasse produce antes que en las grandes. Este efecto puede ser debido a los dañosproducidos por la grabadora láser. Para obtener una cuantificación del errorque se produce por cada efecto en los primeros tramos es necesario realizarposteriores ensayos variando controladamente las fuentes de error.


7.3.2. Ensayos de relajación

Para obtener los parámetros del material, sin dependencia de la veloci-dad del ensayo, es necesario que el material se encuentre en todo momentoen equilibrio termodinámico. El estado de equilibrio termodinámico no es al-canzable en la práctica, por lo que solamente se alcanza de forma asintótica.

En las gráficas 4.5 se observa que las curvas tensión-deformación presen-tan una asíntota aproximada, cuando la tensión es la mitad que la tensiónmáxima. Este resultado es similar en las probetas ensayadas en distintas di-recciones, distintas velocidades de carga y distintas deformaciónes, por loque indica que se trata de un parámetro interno del material. No obstante,es necesario realizar más ensayos que corroboren los resultados.

7.3.3. Ensayos con historia de cargas variables

Los ensayos con historia de cargas variables se han realizado suponien-do que el material se comporta de forma elástica en el rango de tensionesanalizado.

La figura 4.8 muestra la curva de carga y descarga de los ensayos reali-zados con historia de cargas variables. En el gráfico del ensayo en direcciónlongitudinal se muestran dos rangos de tensión. En el ensayo VL2 se observala tendencia a que las deformaciones presentes en la probeta sean las mismascuando la tensión es nula, tanto en la carga como en la descarga. No obstan-te, en el ensayo VL1 se observa deformación con carga nula. La deformaciónpermanente se produce en el tramo donde la pendiente E1 cambia a E2 enlos ensayos de tracción. Se deduce que a partir del cambio de pendiente de E1a E2 el material presenta algún tipo de daño. Cabe señalar que dicho rangose encuentra fuera del rango fisiológico, tal como muestra la figura 6.1, dondese observan los rangos de funcionamiento fisiológicos de la aorta ascendente.No obstante, se requiere la utilización de ensayos de ciclos a distintos rangosde tensiones para conocer las deformaciones permanentes del material.

La curva inferida mostrada en las figura 4.8 representa la curva tensión-deformación, independiente de la velocidad del ensayo por encontrarse laprobeta cercana al equilibrio termodinámico. Esta curva es propicia pararealizar compararaciones con otros materiales, ya que se evita la incertidum-bre proporcionada por la velocidad del ensayo y el efecto Mullins [66]. Aconocimiento del autor, no existe ningún estudio con estas característicasrealizado con pared arterial.


7.4. Modelo constitutivoEl modelo constitutivo utilizado consiste en una serie de muelles y amorti-

guadores cuyo comportamiento mecánico está definido en el capítulo 5. Se hasupuesto que el comportamiento del material es lineal en los límites estableci-dos, entre 200 y 1000 kPa. El coeficiente de correlación de Pearson, explicadoen el apéndice C, en esa zona es mayor a 0,99, por lo que la suposición delinealidad está justificada.

Se han utilizado varios modelos a partir del modelo general expuestoen la fórmula 5.5. En los ensayos de relajación donde no se ha tenido encuenta la deformación, se ha utilizado un modelo que requiere como dato lapendiente inicial de la curva tensión-tiempo (figuras 5.5 y 5.6). Dicho modelose ajusta de manera satisfactoria a la curva, con un coeficiente de correlaciónde Pearson mayor que 0,98; no obstante, no se ha considerado incluirlo encomparaciones con la aorta, debido a la dificultad de hallar de forma precisala pendiente de la curva inicial.

En los modelos que no se tiene en cuenta la derivada segunda de la ten-sión con el tiempo, se ha tenido que considerar la velocidad de deformaciónpara obtener un coeficiente de correlación de Pearson mayor a 0,95, situaciónanalizada en los ensayos con cargas variables (figuras 5.8 y 5.9). Los resulta-dos de los parámetros presentan un error relativo menor al 0,5%, excepto enel parámetro q1/p0, donde el error relativo alcanza valores del 8000%. Estehecho sugiere la necesidad de hallar el parámetro por otros métodos u otrostipos de ensayos.

Para estudiar la variabilidad de la velocidad de carga y del tamaño delas probetas se ha realizado un contraste de hipótesis basado en la distribu-ción t-Student, considerando que valores de resultados son significativamenteiguales cuando el valor de la distribución t-Student es mayor a 0,95. Losvalores p1/p0 son significativamente iguales en los dos tamaños de probeta(p = 0, 97), pero sí dependen del tiempo de relajación y la velocidad de defor-mación (p < 0, 001). El valor q0/p0 depende significativamente del tamaño dela probeta (p = 0, 05) y del tiempo de relajación y la velocidad de deforma-ción (p = 0, 15). El valor q1/p0 depende del tamaño de la probeta (p = 0, 56)y del tiempo de relajación y la velocidad de deformación (p = 0, 19). Deestos resultados se deduce la necesidad de obtener un modelo donde los pa-rámetros obtenidos no dependan de ningún factor externo, ya que el objetivodel modelo constitutivo es buscar parámetros que dependan únicamente delmaterial empleado en los ensayos.

En la literatura existen modelos uniaxiales que se adaptan de forma sa-tisfactoria a curvas de relajación. Destacan aquellos que utilizan derivadasfraccionarias en la ecuación constitutiva. Con este modelo se ha analizado la


pared de la aorta mediante ensayos de relajación [15].Cabe destacar que se han analizado los tramos de relajación teniendo en

cuenta únicamente la rampa de carga precedente, teniéndose que obtener losvalores de la tensión inicial en cada período de rampa. Para mejorar el ajustees necesario tener en cuenta la historia de deformaciones completa, trabajoque no se ha realizado en el presente trabajo fin de máster.

Para obtener el comportamiento global de cualquier material, es nece-sario establecer la relación que tienen las tensiones y deformaciones en unadirección del material en el resto de direcciones. Teniendo en cuenta que to-dos los ensayos son intrínsecamente tridimensionales y, suponiendo que losensayos se han realizado en una de las direcciones principales del material,es necesario medir las tensiones y las deformaciones en las otras direccionesprincipales. Las tensiones en la dirección del espesor y el ancho de la probe-ta son conocidas, mientras que las deformaciones deben ser medidas. Por lotanto, es necesario medir los desplazamientos de los puntos de la probeta ensentido transversal, de forma que se pueda establecer en el modelo la influen-cia entre las deformaciones y tensiones entre las direcciones principales. Losresultados obtenidos de ese modo deben contrastarse con ensayos donde seaplique carga en dos direcciones (ensayos biaxiales) o en tres direcciones (en-sayos triaxiales). Ese trabajo se escapa de los objetivos del presente trabajoy se realizará en un futuro.

7.5. Comparación con la aorta ascendenteEn el capítulo 6 se ha realizado una comparación de los resultados ob-

tenidos en el trabajo fin de máster con resultados obtenidos de la literaturacon la pared aórtica.

Los primeros ensayos que se han comparado han sido los ensayos de trac-ción. Los datos obtenidos de la literatura ([21]) presentan la tensión realfrente a la deformación. La deformación está definida de igual manera queestá definida en el presente trabajo, mientras que la tensión la define comola fuerza que actúa en un momento dado dividida por el área de la seccióntransversal en ese momento. Para hallar el área transversal, Claudio Herrerase basa en el hecho de que el tejido aórtico puede considerarse incompresi-ble, ya que su mayor componente es el agua, material incompresible [37]. Enel presente trabajo fin de máster no se han realizado medidas de la seccióntransversal a medida que se realizan los ensayos. Si se obtiene la curva-tensióndeformación de las aortas con las tensiones reales, (datos originales expues-tos en [21]) el módulo de elasticidad en sentido circunferencial de la aortaen estado sano es de unos 6500 kPa y de la aorta con aneurisma de unos


3000 kPa. El módulo de elasticidad en sentido longitudinal se encuentra en3000 kPa tanto en el aneurismo aórtico como en la aorta sana. En este casoel módulo de elasticidad en sentido circunferencial en la aorta sana es delorden de tres veces menor que en el Dacron®, cuyo valor es alrededor de20000 kPa. Como el área de la sección transversal es tres veces menor en elDacron®, las deformaciones producidas en el tubo y la velocidad de la ondade presión sería similar en la aorta sana y en el Dacron®, según se deriva delas fórmulas 6.1 y 6.2.

De esta forma, la condición para que las deformaciones y la velocidad dela onda de presión sean similares en la aorta sana y en el injerto de Dacron®es que el área de la sección transversal de las probetas de Dacron® no cambiemientras se produce el ensayo, de forma que la tensión definida en el presentetrabajo fin de máster y la tensión real coincidan.

En el modelo dependiente del tiempo se han comparado los datos propor-cionados por D.Valdez-Jasso et al [86], con los datos del modelo obtenido enel presente trabajo fin de máster. Como se aprecia en la fórmula 5.13, el tér-mino p1/p0 es el término que influye en la relajación con el paso del tiempo.El término q0/p0 determina las tensiones a las que se aproximan las curvasde forma asintótica. De los datos mostrados en el cuadro 6.1 se deduce que larelajación es mayor en la aorta que en el Dacron®. Este hecho es confirmadopor resultados encontrados en la literatura [26].

Capítulo 8

Conclusiones y trabajo futuro

El objetivo del presente trabajo fin de máster ha sido la obtención de unmodelo constitutivo de un injerto de aorta ascendente (Dacron ®), con el finde comparar el comportamiento mecánico con el comportamiento mecánicode la aorta ascendente.

Se ha mostrado que los parámetros del material que dependen del tiempopresentan mayores diferencias en la aorta ascendente y el injerto de Da-cron®que los estáticos. Asimismo, se ha realizado un nuevo tipo de ensayosobre el injerto de Dacron®, con historia de cargas variables, para evaluar elcomportamiento mecánico sin que sea neceario tener en cuenta la velocidadde deformación.

Existe en la literatura estudios clínicos que muestran que las diferenciasen el comportamiento mecánico de ambos materiales afecta la hemodiná-mica, pudiendo originar patologías cardiacas. El conocimiento riguroso delcomportamiento mecánico del injerto de Dacron® y de la aorta ascendenteservirá para saber el momento y la gravedad de las patologías formadas, deforma que se puedan tratar y prevenir, al mismo tiempo que se aproveche lavida útil de los injertos en su totalidad.

Este trabajo sirve como inicio de una serie de ensayos, donde se tendráen cuenta las tensiones residuales de las probetas, los errores derivados delos métodos de ensayo y las zonas de debilidad. Cabe destacar los siguientesensayos:

- Ensayos de evaluación de tensiones residuales.

- Ensayos de fluencia.

- Ensayos de fatiga con carga cíclica.

Con el fin de asemejarse más al injerto situado en el cuerpo humano, los

48

CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO 49

ensayos se realizarán, no solamente con probetas, sino con el tubo del injertoen su totalidad, midiendo la variación de diámetro con la presión aplicada.

Además de los ensayos que caracterizan el material mecánicamente, losensayos futuros deberán medir cómo varían los componentes del injerto conel tiempo. Para eso, convendrá analizar el grado de cristalinidad del materialdespués de estar sometido a diferentes esfuerzos.

Por último, se realizarán ensayos donde se analice la interacción del flujosanguíneo con el injerto, con el fin de evaluar, no solo el comportamientomecánico, sino las características biológicas, como el estado de cicatrizacióny la formación y adhesión de células endoteliales en la pared del injerto. Estosensayos servirán de base para futuros ensayos mecánicos, donde se ensaye elinjerto de una forma más semejante a como se encuentra en el interior delcuerpo humano.

Para finalizar, se realizará un modelo constitutivo, que se resolverá me-diante métodos numéricos por ordenador, como el método de los elementosfinitos, y servirá para prever el comportamiento conjunto de la aorta ascen-dente y el injerto de Dacron® bajo distintas condiciones. Además, a estemodelo se le podrán añadir datos de estudios realizados en otras partes delcuerpo humano, para predecir la influencia que tienen unas partes sobre otras.

Esta serie de ensayos, comenzando por los realizados en este trabajo finde máster, ayudarán a entender la hemodinámica de una forma global yparticularizada a cada paciente.

Apéndice A

Pruebas de corte de lasprobetas

En este apéndice se muestran las pruebas de corte realizadas con la gra-badora láser Trotec Speedy 100 para ajustar los parámetros óptimos queprodujeran el mínimo daño en las probetas, es decir, que cortaran la pro-beta completamente produciendo la mínima quemadura en el material. Losparámetros de corte modificables son la potencia, la velocidad de corte, lospulsos por segundo y el número de pasadas. La potencia y la velocidad de lagrabadora se ajustan en porcentaje de la potencia y velocidad máxima delláser. El número de pasadas se ha elegido igual a la unidad, variando el restode los parámetros.

Los cortes se observaron con un microscopio óptico (Optech Jenoptik),(figura A.1) y se seleccionó la prueba con corte completo que menos quema-dura presentaba. En el cuadro A.1 aparecen las distintas pruebas realizadas ylos parámetros seleccionados. Los parámetros escogidos fueron los recogidosen el cuadro A.2.

Figura A.1: Corte realizado con el parámetro elegido. Señalado con flecha.

50

APÉNDICE A. PRUEBAS DE CORTE DE LAS PROBETAS 51

Prueba Potencia (%) Velocidad (%) Pulsos (Hz)1 45 2 15002 40 2 20003 35 2 15004 35 2,5 15005 30 2 15006 35 2 10007 10 1 100008 40 2 15009 42 2 150010 10 2 1000011 45 1,5 150012 45 2,2 150013 45 2,3 150014 45 2,4 1500

Cuadro A.1: Prueba de parámetros de la cortadora láser.

Prueba Potencia(%) Velocidad(%) Pulsos(Hz)14 45 2,4 1500

Cuadro A.2: Parámetros de corte escogidos.

Apéndice B

Curva tensión-deformación

En este apéndice se describe el proceso realizado para la obtención delas curvas tensión-deformación. Para explicar el proceso se ha tomado comoejemplo el ensayo TPC1 (cuadro 3.2).

Los datos proporcionados por la máquina electromecánica Instron 5543Aes el desplazamiento del bastidor y la fuerza registrada por la célula de carga.La medida del desplazamiento se establece en base a un referencia arbitra-ria. En los ensayos realizados se ha seleccionado como desplazamiento nulocuando la distancia entre la base de las mordazas es de 10 mm.

El primer paso realizado ha sido la obtención de la fuerza neta ejercidasobre la probeta, descontando la fuerza debida al empuje del suero fisiológicoy del peso de la mordaza y barra superior. Obtenida la fuerza neta, se hahallado la tensión mediante la definición dada por la ecuación 3.1.

La deformación se ha definido de forma que sea nula cuando la tensión esnula, según la siguiente fórmula:

ε = l − l0l0

(B.1)

donde l0 es la longitud de la probeta cuando la fuerza que actúa es nula y l esla longitud de la probeta en un momento dado. Existe una relación biunívocaentre la definición dada en B.1 y la dada en la fórmula 3.1.

La longitud de la probeta puede ser la longitud entre mordazas o la lon-gitud entre dos puntos situados en la zona central de la probeta. En la figu-ra B.1 se observa la curva tensión-deformación para los dos casos expuestosy la curva tensión-deformación elegida, explicada más adelante.

Como se puede apreciar en la figura B.1, para una tensión dada la defor-mación observada entre dos puntos en el video es menor que entre la mordaza,lo que contradice el comportamiento teórico. La explicación se debe a queen todos los ensayos de tracción se produce la rotura en la zona curva de la

52

APÉNDICE B. CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN 53

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Ensayo TPC1

L videoL mordazas

L elegida

Tens

ión

(MP

a)

Deformación (L-Lo)/Lo

Figura B.1: Curva tensión-deformación elegida, en comparación con la curva detensión-deformación entre mordazas y la curva tensión-deformación entre puntos.

probeta, debido a debilidades ocasionadas durante el corte de las probetas odebidas al deshilachado, especialmente en las probetas de menor tamaño, yaque el daño por el corte se produce en mayor proporción que en las probetasgrandes. Por lo tanto, la deformación se produce en mayor medida en losextremos de las probetas.

Para obtener la curva tensión-deformación que mejor se ajusta compor-tamiento del material, se ha considerado que la longitud entre mordazas nose ve afectada por el lugar donde se produce la rotura en la probeta. Por estarazón, para evitar variaciones debidas a la zona de rotura, el numerador dela parte de la derecha de la fórmula B.1 se ha obtenido mediante la diferenciaentre la longitud en un instante cualquiera y la longitud inicial medida entremordazas. La longitud inicial que aparece en el denominador de la fórmulaB.1 es la longitud entre dos puntos medidos en la probeta, que correspondecon los puntos donde comienza la transición curva de la probeta. Esta longi-tud se ha obtenido en el momento en que la carga sobre la probeta es nula,a partir de las imágenes proporcionadas por la cámara. En la figura B.1 seobserva la curva tensión-deformación obtenida por este procedimiento, quese describe matemáticamente de la siguiente forma:

ε = lmordazas − l0mordazas

l0video (B.2)

En todos los ensayos realizados, el método descrito produce menor dis-persión de resultados que utilizando solamente la longitud medida entre mor-dazas o con las imágenes del video.

Apéndice C

Cuantificación de los erroresdel modelo

En este apéndice se describen los errores descritos en el capítulo 5 refe-rentes a los parámetros y a la precisión de la curva obtenida.

El error de los parámetros es la desviación típica, definida como:

s =

√√√√ N∑k=1

(Ak − A

)2(C.1)

donde Ak son los distintos valores obtenidos para un parámetro y A es lamedia de todos los valores.

Para cuantificar la precisión de la curva del modelo se ha utilizado elcoeficiente de correlación de Pearson, definido como:

R =

√√√√1−∑Nk=1 (yi − xi)2∑Nk=1 (yi − y)2 (C.2)

donde xi son cada uno de los valores de la tensión hallados de forma expe-rimental, yi son los valores obtenidos con el modelo e y es la media de losvalores obtenidos de forma experimental.

54

Apéndice D

Solución de las ecuaciones delmodelo

En este apéndice se detalla la resolución de las ecuaciones presentes en elcapítulo 5.

Ensayos de relajaciónLa ecuación que no tiene en cuenta la variación de la deformación con el

tiempo es:

p0σ +N∑k=1

pkdkσ

dtk= q0ε (D.1)

La solución de la ecuación D.1 se ha obtenido sumando la solución de laecuación homogénea y una solución particular. La ecuación homogénea es:

p0σ +N∑k=1

pkdkσ

dtk= 0 (D.2)

Si se prueba una solución de la forma σ = Aert, siendo A constante, seobtiene la siguiente expresión:

p0σ +N∑k=1

pkrk = 0 (D.3)

La solución particular buscada es de la forma σ = B, donde B es unaconstante, por lo que la solución particular queda de la siguiente forma:

p0B = q0ε ⇒ B = q0

p0(D.4)

55

APÉNDICE D. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL MODELO 56

Para resolver la ecuación es necesario disponer de N condiciones iniciales,cuando el tiempo es nulo.

σ |t=0=N∑k=1

Ak + q0

p0ε ,

dmσ

dtm|t=0=

N∑k=1

rmk Ak (D.5)

Agrupando los términos m en filas y los términos k en columnas, la ecua-ción D.5 se puede escribir matricialmente.

1 1 1 . . . 1r1 r2 r3 . . . rNr1

2 r22 r3

2 . . . rN2

... ... ... . . . ...r1N−1 r2

N−1 r3N−1 . . . rN

N−1

A1A2A3...AN

=

σ|t=0 − q0p0ε

dσdt|t=0

d2σdt2|t=0...

dN−1σdtN−1 |t=0

(D.6)

Resolviendo la ecuación matricial D.6 resulta la expresión buscada, dadaen la ecuación 5.9.

Ensayos con historia de cargas variablesEn la ecuación D.7 se recuerda el modelo utilizado para la obtención de

la tensión cuando el material se ha sometido a una historia de deformaciones.

σ + p1

p0

dσ

dt= q0

p0ε+ q1

p0

dε

dt(D.7)

Si la notación es la mostrada en la figura 5.7, la historia de deformaciones yvelocidades de deformación se pueden expresar según las siguientes fórmulas.

ε (t) =(ε0 + dε

dt|1)u (t− t1) +

(ε1 − ε0 −

dε

dt|1)u (t− t1′) + · · · (D.8)

dε

dt(t) = dε

dt|1 u (t− t1)− dε

dt|1 u (t− t′1) + dε

dt|2 u (t− t2) · · · (D.9)

donde u(t) es la función escalón de Heaviside, cuyo valor es la unidad si elargumento de la función es mayor que cero; y nulo si es menor.

Mediante operaciones algebraicas sobre la ecuación D.8 y D.9 se obtienenlas siguientes expresiones para la deformación y la velocidad de deformación.

ε (t) = ε0 +N∑k=1

dε

dt|k (t− tk) [u (t− tk)− u (t− tk′)] (D.10)


dε

dt(t) =

N∑k=1

dε

dt|k u (t− tk)− u (t− tk′) (D.11)

Llamando Ψ a la transformada de Laplace y siendo la variable τ la variabletransformada de la variable tiempo, y s la función transformada de la funcióntensión, la ecuación D.7 queda de la siguiente forma.

s+ p1

p0(τs− σ0) = Ψ

(q0

p0ε+ q1

p0

dε

dt

)(D.12)

De la ecuación D.12 se puede despejar la función s:

s =Ψ(q0p0ε+ q1

p0dεdt

)+ p1

p0σ0

1 + p1p0τ

(D.13)

Al ser la transformada de Laplace una aplicación biyectiva, existe unaaplicación inversa. La aplicación inversa de la función s(τ) es σ(t), cuyodesarrollo es el presentado en el capítulo 5:

σ(t) = σ0e− p0

p1t + q0

p0ε0 +∑N

k=1 e− p0

p1(t−tk′ ) dε

dt|k(q1p0− q0p1

p02

)+

+ e− p0

p1(t−tk) [ q0

p0

(p1p0dεdt|k − ε0

)− q1

p0dεdt|k]

+ q0p0

(εk − εk−1) (D.14)

Onda de presión senoidalEn el capítulo 6 se ha estudiado el comportamiento del tubo de Dacron® y

de la aorta a partir de la fórmula 5.13, imponiendo que las tensiones presentanforma senoidal:

σ = σmax sen(2πt) (D.15)Para simplificar los resultados se ha elegido σmax igual a la unidad. Sus-

tituyendo D.15 en 5.13 resulta:

σmax sen(2πt) + p1

p0σmax cos(2πt) = q0

p0ε+ q1

p0

dε

dt(D.16)

La solución buscada es suma de una solución homogénea y una soluciónparticular. La solución homogénea se ha obtenido de forma similar a lo ex-plicado en el apartado anterior, siendo la solución:

εH = Ceq0q1t (D.17)

Para obtener una solución particular, se ha buscado una función trigono-métrica:

εP = A sen(2πt) +B cos(2πt) (D.18)


Sustituyendo la ecuación D.18 en la ecuación D.16 se obtiene:

sen(2πt)[q0

p0A− q1

p02πB − 1

]+ cos(2πt)

[q0

p0B + q1

p02πA− p1

p02π]

= 0

(D.19)Como la ecuación D.19 debe cumplirse para cualquier valor del tiempo,

tanto el término que multiplica a sen(2πt) como el que multiplica a cos(2πt)deben ser nulos. Agrupando matricialmente los términos se obtiene:(

AB

)=( q0

p0− q1p0

2πq1p0

2π q0p0

)−1 (σmax

p1p0

2πσmax

)(D.20)

Las condiciones de contorno se aplican sobre la solución general de laecuación:

ε(t = 0) = C +B ⇒ C = ε0 −B (D.21)

Por lo que se llega a la solución final encontrada en el capítulo 6:

ε = (ε0 −B) eq0q1t + A sen(2πt) +B cos(2πt) (D.22)

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