1C.I. JORGE GABRIEL CHI GARCA MTODOS AVANZADOS DE INTEGRACIN
Cuando se es estudiante, ya sea nivel bachillerato o universitario,
se nos ensea una
herramientamatemticaformidable:lasintegrales.Ysenosbrindanalgunos
mtodosdeintegracinquedebemosdedominar,porejemploelmtodode
sustitucin,porpartes,sustitucintrigonomtricayfraccionesparciales.Pero
desafortunadamente no se nos ensean ms mtodos. El alumno queda a
veces frustrado por la falta de material que existe en el campo de
las integrales. Es mi intencin, a travs de este curso,
transmitirles a todos ustedes algunos mtodos de integracin
novedosos que he descubierto a lo largo de los aos
yquedifcilmentepodrnencontrarenunlibrodetexto.Peroparapoder
adentrarnos en este maravilloso mundo de las integrales, se
requieren de ciertos conceptos de matemticas que necesitan dominar.
A saber son los siguientes: -Mtodo de Heaviside -Funcin Gamma
-Funcin Beta -Series Hipergeomtricas Estos temas sern el punto de
partida de este curso y que nos servirn de base para conocer otros
mtodos de integracin avanzados. El mayor peso que le dar al curso
sern las llamadas integrales elpticas, que son muy utilizadas hoy
en da en distintas disciplinas de la ciencia y la tecnologa, por lo
que se requiere un estudio profundo
sobreestasintegralestanenigmticas.Debidoalapocainformacindisponible
sobreestasintegrales,mehedadoalatareadereunirinformacin,tcnicas
especiales,aprendizajeyexperienciapropiasobrelasintegraleselpticasyse
requierequeelamablelectortengabasesslidasenmateriascomoAlgebra,
Trigonometra,ClculoDiferencialeIntegral,NmerosComplejos,Funciones
Hiperblicas, entre otras cosas. As que sean todos bienvenidos a
este curso sobre integrales. Atte: C.I. Gabriel Chi. 2C.I. JORGE
GABRIEL CHI GARCA CAPTULO 1 1.1 FRACCIONES PARCIALES Muchos de
ustedes han de conocer la tcnica de fracciones parciales, pero
pocos
sabenqueexisteunatcnicaavanzadaparacalcularloscoeficientesdemanera
rpida y sencilla. Esa tcnica es el mtodo deHeaviside. Mtodo
deHeaviside Sio,b,c,,msonracesdelaecuacin(x) =0ysio,[,y,,psonsus
correspondientes multiplicidades, de manera que (x) =(x o)u(x b)[(x
c)y(x m) Entonces
q(x)](x)sepuededescomponerenlasiguienteexpansindefracciones
parciales: (x)(x) =Au(x o)u +Au-1(x o)u-1 ++A1x o+B[(x b)[ +B[-1(x
b)[-1 ++B1x b++H(x m) +H-1(x m)-1 ++H1x m donde los numeradores de
las fracciones individuales estn determinados por las siguientes
frmulas: Au-k+1 =1(k-1)(u)(k-1)!,B[-k+1 =2(k-1)(b)(k-1)!, ,H-k+1
=m(k-1)(m)(k-1)! 1(x) =q(x)(x-u)o](x), 2(x) =q(x)(x-b)](x), ,m(x)
=q(x)(x-m)](x) Hay que darse cuenta que si o,b,c,,m son races
simples, entonces: o = [ = y ==p =1 En el caso en que o,b,c,,m sean
imaginarios, se agrupan con sus pares conjugados, de manera que se
pueda representar en forma real de la forma: H1x +N1x2 +2Bx +C +H2x
+N2(x2 +2Bx +C)2 ++Hpx +Np(x2 +2Bx +C)p Veamos unos ejemplos para
que el lector visualice lo prctico que es ste mtodo. 3C.I. JORGE
GABRIEL CHI GARCA Ejemplo 1 Expandir en fracciones parciales la
siguiente fraccin: x +1(x +2)(x +3)(x +4) Se observa que todas sus
races del denominador son simples, por lo que: x +1(x +2)(x +3)(x
+4) =A1x +2+B1x +3+C1x +4 Para calcular A1, de acuerdo a lo
anterior: A1 = limx-2(x +1)(x +2)(x +2)(x +3)(x +4) =12 El clculo
de B1 y C1 es algo similar: B1 = limx-3(x +1)(x +3)(x +2)(x +3)(x
+4) =2 C1 = limx-4(x +1)(x +4)(x +2)(x +3)(x +4) =32 De modo que: x
+1(x +2)(x +3)(x +4) =12,x +2+2x +332,x +4 De esta manera, la
expansin en fracciones parciales es muy simple. Ejemplo 2 Expandir
en fracciones parciales la siguiente fraccin: x +1x(x +2)2 En este
ejemplo se nota que una raz del denominador es simple y las otras
dos son repetidas, de modo que: 4C.I. JORGE GABRIEL CHI GARCA x
+1x(x +2)2 =A1x+B1x +2+B2(x +2)2 Para calcular A1, se tiene que: A1
=limx0x(x +1)x(x +2)2 =14 Para obtener B2 y B1, es de acuerdo a lo
siguiente: B2 = limx-22(x)1= limx-2x +1x=12 B1 = limx-22i(x)1=
limx-2 1x2 =14 De manera que: x +1x(x +2)2 =14,x+12,x +214,(x +2)2
Ejemplo 3 Expandir en fracciones parciales la siguiente fraccin:
x(x2 +4)(x2+9) En este ejemplo, se da uno cuenta que las races del
denominador son imaginarias. De forma que: x(x2 +4)(x2 +9) =A1x
+2i+B1x 2i+C1x +3i +1x 3i Ahora se procede a calcular los valores
de A1, B1, C1 y 1: A1 =limx-2x(x 2i)(x2 +9) = 110 B1 = limx2x(x
+2i)(x2 +9) = 110 5C.I. JORGE GABRIEL CHI GARCA C1 =limx-3x(x
3i)(x2 +4) = 110 1 = limx3x(x +3i)(x2 +4) = 110 Por lo tanto: x(x2
+4)(x2 +9) = 110,x +2i+ 110,x 2i 110,x +3i 110,x 3i = 110_2xx2
+42xx2 +9] =15[xx2 +4xx2 +9 x(x2 +4)(x2 +9) =15[xx2 +4xx2 +9 De
esta manera, el mtodo deHeaviside es una tcnica muy efectiva para
calcular los coeficientes de una expansin en fracciones parciales y
el amable lector deber tener presente este mtodo a fin de
simplificar clculos engorrosos e innecesarios si uno
aplicaraelmtodotradicional.Estoindicaquesiellectordeseadominareste
mtodo, tendr que practicar y practicar hasta que lo perfeccione,
que en realidad no es difcil, solo es cuestin de sustituir valores
de acuerdo a las frmulas aqu presentadas, tratando de no
equivocarnos en los clculos. 6C.I. JORGE GABRIEL CHI GARCA TAREA:
Resolver las siguientes integrales: 1.(2x2+3)x3-2x2+xJx
2.x4-6x3+12x2+6x3-6x2+12x-8Jx 3.x4x4-1Jx 4.(2+tan20) scc2 01+tan3
0J0 5.dxc2x+cx-2 6.xSdx(x3+1)(x3+8) 7C.I. JORGE GABRIEL CHI GARCA
1.2 FUNCIN GAMMA
Lafuncingammafueintroducidaporprimeravezporelmatemticosuizo
LeonhardEuler(1707-1783),conelobjetivodegeneralizarlafuncinfactoriala
valoresnoenteros.Mstarde,porsugranimportancia,estafueestudiadapor
matemticoseminentestalescomoAdrien-MarieLegendre(1752-1833),Carl
Friedrich Gauss (1777-1855), Christoph Gudermann (1798-1852),
Joseph Liouville (1809-1882), Karl Weierstrass (1815-1897), Charles
Hermite (1822-1901), al igual que muchos otros.
Lafuncingammaperteneceaunacategoradefuncionestranscendentes
especiales, y esta funcin ocurre en algunas constantes matemticas
especiales. Esta
apareceenvariasreasdeestudio,comoenlasseriesasintticas,integrales
definidas, series hipergeomtricas, la funcin Zeta de Riemann, teora
de nmeros, entre otras. Definicin: La funcin gamma, que se denota
I(n), es definida como una extensin de la funcin factorial de
argumentos de nmeros complejos y reales. Se define por I(n) = xn-1
c-x Jx0 (1) que es convergente para n >0. Nos podemos dar cuenta
de la definicin (1), que al aplicar integracin por partes, se
obtiene que: I(n +1) =_ xn c-x Jx0= limM_xn c-x JxM0 = limM]Hnc-M
+n xn-1 c-x JxM0 =n I(n), si n >0 Por lo que se concluye que:
I(n +1) =n I(n), si n >0 (2) De acuerdo con (1), para n =1: I(1)
=_c-x Jx0= limM(1c-M) =1 8C.I. JORGE GABRIEL CHI GARCA Ahora si se
utiliza (2), con n =1,2,3,se obtienen los siguientes resultados:
I(2) =1 I(1) =1 =1! I(3) =2 I(2) =2 1=2! I(4) =3 I(3) =3 2=3! I(n
+1) =n! (3) Es por esto mismo que la funcin Gamma, para valores
enteros positivos, puede ser vista como una extensin de la funcin
factorial de nmeros reales positivos no nulos. La relacin
recurrente (2) es una ecuacin de diferencias que tiene por solucin
(1). Tomando (1) como definicin de I(n) para n >0, se puede
generalizar la funcin gamma para n
