Problema de mezclasEcuacin de continuidadEn un proceso fsico
puede estar presente un elemento que ni se crea ni se destruye. La
cantidad de este elemento en una regin dada varia nicamente cuando
cierta cantidad del mismo entra o sale cruzando los lmites de la
regin considerada.Aumento=Entrada SalidaExpuesta en forma
diferencial puede dar lugar a una E.D. por medio de la cual puede
determinarse la variacin del elemento de que se
trata.Diluciones:Determinar la cantidad de la sustancia S presente
en la mezcla en el instante t.Si X designa la cantidad de S
presente en el instante t, la derivada representar la rapidez de
variacin de X respecto a t. Si denotamos por (EN) la razn a la que
S entra en la mezcla y por (SAL) la razn de salida, obtenemos:
A partir de la cual podemos determinar la cantidad S en el
instante t.Ejemplo:P1) Un tanque contiene 160 litros de agua pura,
una solucin acuosa de sal que contiene 0,1kg de sal por litro se
introduce en el tanque a un gasto de 5litros por minuto y la mezcla
bien agitada sale del tanque al mismo gasto.(a)Que cantidad
contiene el tanque en cualquier instante.(b)Cuando tendr 0.05kg de
sal por litro de agua que sale del tanque.Solucin:C= 160Lt. AguaS
(t)= Cantidad de sal en el instante t.Entra: , La sal entra a una
razn de:
Salida: , Concentracin de sal en el tanque.La sal sale a una
razn: x = (a) razn con la cual varia la cantidad de sal respecto
del tiempo. =
S (0)= 0
Ln|S (t)-16)|= + cComo (S) = 0Ln|0-16| = 0 + C => C =
Ln16Luego:Ln|S (t)-16)|= + Ln16|S (t)-16)| = 16 S(t)= 16 16 S(t)=
16 - 16
(b) : Concentracin de sal en el tanque. Concentracin de la sal
disuelta en el tanque. =
0,5 = Ln (0.5) = t = -20 Ln (0.5) = 13,86min.Ejemplo:Un tanque
contiene 100 galones de agua. Una solucin de sal que contiene 2Lb
de sal por galn entra en el tanque a razn de 3 galones por minuto,
mientras que del tanque sale, a esa misma razn una solucin bien
mezclada.(a) Qu cantidad de sal hay en el tanque en un tiempo
cualquiera?(b) Cundo habr en el tanque 100lb de sal?Solucin:Tasa de
sal ganada = Sea A la cantidad de sal que hay en el tanque para un
tiempo cualquiera.Tasa de sal perdida = La ecuacin diferencial esta
denotada por la diferencial de la cantidad de sal existente en el
tanque con respecto a un tiempo cualquiera, que sera equivalente a
la diferencia de tasas de sal entrante y saliente respectivamente,
sea:
Reemplazando en la ecuacin dada se tiene:
Para t=0 y A=0, reemplazando se tiene:
Entonces para un tiempo cualquiera, la cantidad de sal en el
tanque ser:
El tiempo para que haya 100lb de sal en el tanque ser: A=100lb.
Y reemplazando en la ecuacin mostrada ser:
Desintegracin RadioactivaLey de la desintegracin radioactiva: la
velocidad de desintegracin de una sustancia radioactiva es un
instante dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente
en ese instante.La vida media de una sustancia radiactiva es el
tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los tomos de
una cantidad inicial de dicha sustancia.La ley de descomposicin y
decrecimiento, esta expresado por: Para la descomposicin y para el
crecimiento en donde K es el factor de proporcionalidad.Como , las
variables s y t son separables.Luego: , Integrando:
Que es la solucin general. Si representa la cantidad inicial es
decir: , cuando t=0,
Ejemplo 1:La velocidad con que se desintegran ncleos
radioactivos es proporcional al nmero de ncleos que estn presentes
en una muestra dada. La mitad del numero original de nuevos
radioactivos ha experimentado la desintegracin en un periodo de
1500 aos.a) Qu porcentaje de ncleos radioactivos originales
continuaran despus de 4500 aos?b) En cuntos aos quedara solamente
un dcimo del numero original de ncleos radioactivos?Solucin:Sea
x(t) la cantidad de ncleos radioactivos presente despus de t aos y
sea el numero original de ncleos radioactivos. Entonces es la
velocidad con la que se desintegran los ncleos al tiempo t.As, este
problema queda formulado por la siguiente ecuacin diferencial:
(3.3)Donde K es la constante de proporcionalidad, junto con las
condiciones
La solucin de la ecuacin (3.3) es ya conocida
Usando la condicin inicial encontramos que (3.4)a) Para calcular
el porcentaje de ncleos radiactivos originales despus de 4500 aos,
determinamos obtenemos
Sustituyendo k en (3.4) resulta
Luego
Lo cual nos dice que despus de 4500 tenemos un 12.5% de .b) Para
determinar en cuantos aos solo quedara un dcimo del nmero original
de ncleos, es necesario hallar el valor de t tal que , es decir
Ejemplo 2:Se sabe que cierto material radiactivo se desintegra a
una razn proporcional a la cantidad presente. Si inicialmente hay
50gr de material y despus de dos horas se observa que el material a
perdido el 10% de su masa original, encuentre:a) Una expresin para
la masa del material restante en un momento t.b) Cuntos miligramos
del material quedan despus de 4 horas?c) Cul es la vida media de
este material?
Solucin:Sea x(t) la masa del material restante despus de un
cierto tiempo t. como al cabo de dos horas el material se ha
desintegrado el 10% de su masa original, es decir en 10% de 50mg
que son 5mg, tenemos que x(2)=45mg. Igual que antes, es la
velocidad con la que se desintegra el material radioactivo.As este
problema queda formulado con la siguiente ecuacin diferencial y sus
condiciones: (3.5)Con k una constante de proporcionalidad, y las
condiciones: (3.6) (3.7)Sabemos que la solucin general de (3.5)
es
Empleando la condicin inicial (3.6), resulta
Por lo cual
Y
Por otra parte de (3.7) tenemos que
a) Con esto podemos afirmar que una expresin para la masa del
material restante despus de t horas es
b) El nmero de miligramos del material despus de 4 horas es
c) Para calcular la vida media determinamos el valor de t para
el cual Es decir,
Por lo tanto la vida media de ese material es de 13
horas.Mezclas qumicasEjemplo:Dos qumicos A y B, reaccionan para
formar otro qumico C. Se encuentra a la tasa a cual C se forma vara
con las cantidades instantneas de los qumicos A y B presentes. La
formacin requiere 2lb de A por cada libra de B. Si 10lb de A y 20lb
de B estn presentes inicialmente, y si 6lb de C se forman en 20min.
Encontrar la cantidad del qumico C en cualquier tiempo.Solucin:Sea
x la cantidad de C formadas en el tiempo t en horas. es la tasa de
su formacin para x libras de C, necesitamos libras de A y libras de
B, puesto que A es el doble de B, por lo tanto la cantidad presente
al tiempo t cuando se forman x libras de C es y la cantidad de B en
ese tiempo es de
2 condiciones:1) C no esta presente inicialmente, tenemos x=0 en
t=02) X=6 en horas
X=0 en t=0, X=6 en
Resolviendo
