Rotación de cuerpos rígidos • MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V)

• MOMENTO DE INERCIA

• TORQUE, ENERGÍA CINÉTICA, TRABAJO Y POTENCIA ROTACIONAL

• CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y SU CONSERVACIÓN

M.C.U.V

M.C.U.V

M.C.U.V

M.C.U.V: Las componentes de la aceleración

En un movimiento circular uniformemente variado, se determinan dos tipos de aceleración: la aceleración tangencial 𝑎𝑡 y la aceleración centrípeta 𝑎𝑐 .

La aceleración tangencial, 𝑎𝑡, se relaciona con la razón de cambio del módulo de la velocidad lineal con respecto al tiempo.

La aceleración centrípeta, 𝑎𝑐, se relaciona con la razón de cambio de dirección del vector de la velocidad lineal.

La aceleración resultante puede determinarse calculando el vector suma de las aceleraciones tangencial y centrípeta.

En la siguiente figura se representan los vectores aceleracion tangencial, 𝑎𝑡 , que es tangente a la trayectoria y la aceleracion centri peta, 𝑎𝑐 , cuya direccion es radial hacia el centro de la trayectoria.

Se puede observar que:

si la aceleracion tangencial, 𝑎𝑡 , tiene la misma direccion de la velocidad, v entonces la rapidez aumenta.

si la aceleracion tangencial, 𝑎𝑡 , tiene direccion opuesta a la velocidad, v entonces la rapidez disminuye.

M.C.U.V: Las componentes de la aceleración

FÓRMULAS M.C.U.V

Momento de inercia

Momento de inercia (I): El momento de inercia es una magnitud que determina la inercia de rotacion o resistencia que presenta un cuerpo a cambiar su estado de movimiento rotacional. Es decir, es una magnitud que determina la oposicio n que presenta un cuerpo a comenzar a rotar (cuando se encuentra en reposo), o a detenerse (cuando se encuentra en rotacio n).

Si un cuerpo se considera constituido por pequenas masas m1, m2,m3, . . . , a las distancias respectivas r1, r2, r3, . . . , a partir de un eje, sumomento de inercia en torno a ese eje es

Las unidades de I son 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 .

Momento de inercia

Es conveniente definir un radio de giro (k) para un objeto alrededor de un eje por la relacion

I = Mk2

donde M es la masa total del objeto. En consecuencia, k es la distancia a la cual se debe colocar una masa puntual M desde el eje, si la masa va a tener la misma I que tiene el objeto.

El momento de inercia vari a no solo entre objetos de diferente masa, si no que tambie n vari a de acuerdo a la forma y al eje respecto del cual se haga rotar un objeto.

Si la masa de un cuerpo esta ubicada lejos del eje de rotacion, la inercia rotacional sera muy alta y costara hacerlo girar o detener su rotacion.

la masa del cuerpo se distribuye cerca del eje de rotacion, la inercia sera menor y sera ma s fa cil hacerlo girar o detenerlo.

Momentos de inercia de algunos cuerpos con respecto a sus ejes indicados

Torque y energía cinética

Torque y aceleración angular: Un torque 𝜏 que actúa sobre un cuerpo que tiene un momento de inercia I produce en él una aceleración angular 𝛼 dada por

𝜏 = 𝐼 ∙ 𝛼Aquí 𝜏, I y 𝛼 están calculadas con respecto al mismo eje. En cuanto a las unidades, 𝜏esta en N∙m, I en k∙gm2 y 𝛼 debe darse en rad/s2 (recuerde el equivalente traslacional, F=m∙a).

Energía cinética rotacional (𝐸𝑐𝑟): de una masa cuyo momento de inercia alrededor de un eje es I, y rota alrededor del eje con una velocidad angular 𝜔, es𝐸𝐶𝑟 = 12 𝐼𝜔2

Donde la energía está en joule [J] y 𝜔 en rad/s.

Energía cinética

Rotación y traslación combinadas: La Ec de una pelota que rueda, o de otro objeto de masaM que ruede, es la suma de 1) su energía cinética rotacional Ec alrededor de un eje que pasapor su centro de masa (es decir, c.m.); y 2) la energía cinética traslacional Ec de una masapuntual equivalente que se mueve con el centro de masa. En otras palabras, de maneraaproximada, la Ec total es igual a la Ec alrededor del c.m. más la Ec del c.m. Expresado ensímbolos,

𝐸𝐶𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 12𝑀𝑣2 + 12 𝐼𝜔2Observe que I es el momento de inercia del objeto en torno a un eje que pasa a través de sucentro de masa.

Trabajo y potencia rotacionales

EL TRABAJO (W ) efectuado sobre un cuerpo en rotacio n durante un desplazamiento angular 𝜃 por una torca constante 𝜏 esta dado por

W= 𝜏 𝜃donde W esta en joule y 𝜃 debe estar en radianes. (Recuerde el equivalentetraslacional, W = Fs)

LA POTENCIA (P) transmitida a un cuerpo por una torque esta dada por

P= 𝜏 𝜔donde 𝜏 es la torca aplicada alrededor del eje de rotacion y 𝜔 es la rapidez angular,alrededor del mismo eje. (Recuerde el equivalente traslacional, P=Fv.)

Cantidad de movimiento angular

Momento angular (𝑳) o cantidad de movimiento angular es una magnitud que resulta del producto entre el momento de inercia I y la velocidad angular 𝜔 de un cuerpo en rotación. Es un vector cuya dirección y sentido se determinan con la regla de la mano derecha, y que se expresa como:

La unidad de 𝐿 es 𝑘𝑔∙𝑚2𝑠

Conservación del momento angular

Si el torque neto sobre un cuerpo es cero, la cantidad de movimiento angular permanece sin cambios tanto en magnitud como en dirección. Ésta es la ley de conservación de la cantidad de movimiento angular.

Por lo tanto, se cumple que

con lo cual se tiene que

Analogías entre cantidades lineales y angulares: