Tesis Desarrollo Computacional de Analisis Modal

i

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA AERONÁUTICA

TRABAJO FINAL

Desarrollo computacional del análisis modal desistemas dinámicos continuos

Asesor: Prof. Dr. Ing. José A. Inaudi

Ariel E. Matusevich

Marzo 2002

ii

A la memoria de mi padre Ing. Edgardo E. Matusevich

iii

Resumen

Se desarrolla una metodología de cálculo computacional para el análisis modal de

estructuras que combinan elementos de barras o vigas en flexión, torsión y deformación

axial tratados como sistemas continuos, como una alternativa al método tradicionalmente

utilizado de discretización por elementos finitos.

Esta metodología se aplica para el desarrollo de un conjunto de programas o funciones

que tendrá uso didáctico en la enseñanza de la dinámica de sistemas continuos. La

programación de realiza en el marco de la caja de herramientas para análisis estructural

SAT-Lab, desarrollada por los profesores José A. Inaudi y Juan C. De la Llera para el

ambiente Matlab.

Agradecimientos

Quiero expresar mi más profundo agradecimiento al Profesor José A. Inaudi por haberme

guiado y entusiasmado en esta etapa de mi carrera.

Contenido

1 INTRODUCCIÓN 6

1.1 Sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Análisis modal de un modelo estructural simple . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Modelos estructurales más complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Objetivos y alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Organización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 ELEMENTOS EN VIBRACIÓN AXIAL Y TORSIONAL 13

2.1 Barras en vibración axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Formulación de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Análisis en vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Ejemplos ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Barras en vibración torsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Formulación de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2 Análisis en vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.3 Ejemplo de vibración torsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 ELEMENTOS EN VIBRACIÓN TRANSVERSAL 48

3.1 Formulación de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1 Vibraciones transversales de una viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.2 Vibraciones transversales de una viga: formulación variacional . . . . . . 51

3.2 Análisis en vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Ejemplos ilustrativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.1 Convención de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.2 Viga cantilever . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3.3 Viga simplemente apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1

3.3.4 Dos vigas en serie de diferentes propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.5 Condiciones de contorno no homégenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4 ANÁLISIS GENERAL DE LAS ECUACIONES DE CONTORNO 72

4.1 Conceptos de cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1.1 Versores de dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.1.2 Esfuerzos y desplazamientos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.3 Relación entre deformaciones y desplazamientos nodales . . . . . . . . . . 75

4.1.4 Proyección de fuerzas y momentos locales en el sistema global . . . . . . . 76

4.1.5 Ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones . . . . . . . . 76

4.2 Planteo general de las ecuaciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2.1 Consideraciones sobre las condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . 79

4.3 Metodología de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.1 Análisis de las condiciones cinemáticas de desplazamiento . . . . . . . . . 80

4.3.2 Análisis de las condiciones cinemáticas de rotación . . . . . . . . . . . . . 81

4.3.3 Condiciones de contorno no homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.4 Presencia de inercias rotacionales concentradas . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 ANÁLISIS COMPUTACIONAL 87

5.1 Funciones desarrolladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


5.2.1 De…nición del sistema estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.2 Construcción de la matriz de condiciones de contorno . . . . . . . . . . . 95

5.2.3 Cálculo de las frecuencias naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.4 Cálculo de los coe…cientes C de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.5 Formas modales de los elementos de la estructura . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3 Análisis Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3.1 Cálculo de la matrices de masa y rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3.2 Cálculo del vector de cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA 111

6.1 Matriz de Rigidez dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.1.1 Rigidez dinámica de una barra uniforme en vibración axial . . . . . . . . 111

6.1.2 Rigidez dinámica de una viga uniforme en ‡exión . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2 Herramientas disponibles en SAT-Lab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2


6.3.1 Consideraciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7 APLICACIONES 125

7.1 Modelo de una combinación ala fuselaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.1.1 Modelo de una combinación ala fuselaje: Código de SAT-Lab . . . . . . . 126

7.1.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2 Pórtico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2.1 Pórtico tridimesional: Código de SAT-Lab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2.2 Resultados y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.3 Ejemplo de análisis modal: barra axial con amortiguador viscoso . . . . . . . . . 133

7.3.1 Barra axial con amortiguador viscoso: Código de Sat-Lab . . . . . . . . . 133

7.3.2 Resultados y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8 CONCLUSIONES 138

3

Lista de Figuras

1-1 Barra en vibración axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1-2 Ejemplos de sistemas estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1-3 Pórtico tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2-1 Convención de signos para vibración axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2-2 Barra empotrada-libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2-3 Barra empotrada-libre: primeros modos de vibrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2-4 Barra libre-libre: primeros modos de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2-5 Barra no uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2-6 Barra no uniforme: ecuación de las frecuencias naturales . . . . . . . . . . . . . . 28

2-7 Barra no uniforme: primeras formas de vibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2-8 Sistema de tres barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2-9 Sistema de tres barras: ecuación de las frecuencias naturales . . . . . . . . . . . . 31

2-10 Sistemas de tres barras: primeras formas de vibración . . . . . . . . . . . . . . . 31

2-11 Barra con una masa concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2-12 Barra con una masa concentrada: ecuación de las frecuencias naturales . . . . . . 34

2-13 Barra con una masa concentrada: primeras fomas de vibrar . . . . . . . . . . . . 35

2-14 Reticulado de dos barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2-15 Sistema de dos barras con masa concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2-16 Barra en vibración torsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2-17 Convención de signos para vibración torsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2-18 Eje con un disco en su extremo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2-19 Eje con un disco en uno de sus extremos: ecuación de las frecuencias naturales . 46

2-20 Eje con un disco en uno de sus extremos: primeros modos de vibrar . . . . . . . 47

3-1 Viga en vibración transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3-2 Convención de signos para vibracción transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4

3-3 Viga Cantilever . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3-4 Viga cantilever: ecuación de las frecuencias naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3-5 Viga Cantilever: primeros modos de vibrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3-6 Viga simplemente apoyada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3-7 Viga simplemente apoyada: ecuación de las frecuencias naturales . . . . . . . . . 64

3-8 Viga simplemente apoyada: primeros modos de vibrar . . . . . . . . . . . . . . . 64

3-9 Viga de dos tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3-10 Viga de dos tramos: ecuación de las frecuencias naturales . . . . . . . . . . . . . 67

3-11 Viga de dos tramos: primeras formas de vibrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3-12 Viga con un masa concentrada en uno de sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . 68

3-13 Viga con una masa concentrada: ecuación de las frecuencias naturales . . . . . . 71

3-14 Viga con una masa concentrada: primeros modos de vibración . . . . . . . . . . . 71

4-1 Direcciones locales de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4-2 Desplazamientos asociados a las direcciones locales del elemento . . . . . . . . . . 74

4-3 Esfuerzos asociados a las direcciones locales del elemento . . . . . . . . . . . . . . 75

4-4 Reticulado de tres barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4-5 Reticulado con una masa concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5-1 Análisis en vibraciones libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5-2 Reticulado plano con una masa concentrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5-3 Barra no uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5-4 Esquema para análisis modal de sistemas continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5-5 Ejemplo de cargas nodales y cargas concentradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5-6 Ejemplo de cargas sobre una viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6-1 Elemento barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6-2 Elemento Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6-3 Modelos de vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7-1 Modelo de una combinación ala fuselaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7-2 Combinación ala fuselaje: primeros modos no rígidos de vibrar . . . . . . . . . . 128

7-3 Modelo de pórtico espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7-4 Barra axial con un amortiguador viscoso en un extremo . . . . . . . . . . . . . . 133

7-5 Barra conectada a un amortigador: función respuesta en frecuencia . . . . . . . 137

5

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

1.1 Sistemas continuos

Se puede de…nir a un sistema continuo, como aquel cuyo desplazamiento es una función continua

del tiempo y espacio y posee por lo tanto un número in…nito de grados de libertad.

El comportamiento de un sistema continuo está gobernado por un conjunto de ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales que constituyen las ecuaciones de movimiento del sistema.

La respuesta en vibraciones libres del sistema, puede obtenerse, solucionando las ecuaciones

de movimiento, con sus respectivas condiciones de contorno. La solución analítica de estas ecua-

ciones, es sólo posible para el caso de elementos simples, como barras o vigas de propiedades

uniformes. Estas soluciones analíticas se obtienen utilizando la técnica de separación de vari-

ables, que se basa en expresar la respuesta del sistema, como el producto de una función de

forma que depende de la variable espacial x y una coordenada que depende del tiempo. Este

procedimiento, conduce a dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas separadas, una de

las cuales, involucra la variable de tiempo t, mientras que la otra, involucra la variable espacial

x como veremos a continuación.

1.1.1 Análisis modal de un modelo estructural simple

Consideremos una barra en vibración axial con propiedades uniformes tal como se muestra en

la …gura (1-1):

Donde E es el módulo de Young, A es el área de la sección transversal y ½ es la densidad

de masa del material.

La ecuación diferencial que gobierna el movimiento axial de las secciones de la barra es:

6

AE,,ρ

),( txu

x

l

Figura 1-1: Barra en vibración axial

EA@2u(x; t)

@x2¡ ½A

@2u(x; t)

@t2= 0 (1.1)

Si se propone una solución separada en espacio y tiempo de la forma:

u(x; t) = Á(x)q(t) (1.2)

llegamos a las siguientes ecuaciones diferenciales separadas en t y x:

Para la variable q(t):

¢¢q (t) + !2q(t) = 0 (1.3)

que tiene la conocida solución

q(t) = A sin(!t) +B cos(!t) (1.4)

Siendo A y B constantes que se ajustan con las condiciones iniciales del problema.

Para la variable Á(x):

Ápp(x) + ¯2Á(x) = 0 , siendo ¯ =

r½

E! (1.5)

La solución de esta ecuación es:

7

Á(x) = C1 sin(¯x) +C2 cos(¯x) (1.6)

donde los coe…cientes C1 y C2; deben ser ajustados mediante las condiciones de contorno

del tramo de barra considerado y determinan la forma de vibración de la barra.

Por ejemplo, en el modelo de la …gura (1-1), las condiciones de contorno son:

Desplazamiento nulo en x = 0 ! u(0; t) = 0 ) Á(0) = 0

Esfuerzo axial nulo en x = l ! AEh

@u(x;t)@x

ix=l

= 0 ) AEÁp(l) = 0

Desarrollando estas ecuaciones llegamos a la siguiente expresión matricial:

·Bc

¸ 24 C1

C2

35 =24 0

0

35 (1.7)

Donde Bc es la matriz de condiciones de contorno de la estructura:

Bc =

24 0 1

AE¯ cos(¯l) ¡AE¯ sin(¯l)

35 (1.8)

Para que el sistema de ecuaciones (1.7) tenga solución distinta de la trivial, la matriz Bc

debe ser singular, por lo tanto, la existencia de una solución para una forma de vibración natural

requiere:

det(Bc) = 0 (1.9)

Esta ecuación, representa la ecuación de las frecuencias naturales del sistema, ya que el

parámetro ¯ pueden expresarse como función de dicha frecuencia. Al tratarse de un sistema

continuo, la ecuación (1.9) posee in…nitas raíces.

Las funciones de forma en cada elemento que constituyen cada modo de vibración, se

obtienen calculando los valores de C no nulos que satisfacen la ecuación lineal homogénea

[Bc] [C] = [0], para cada valor ! de obtenido.

8

Modelo de puente: viga continua apoyada sobre reticulados

Reticulado

Modelo formado por una viga continua con masas concentradasCombinación ala fuselaje:

Figura 1-2: Ejemplos de sistemas estructurales

Una vez calculados los modos de vibración de la estructura, éstos pueden ser utilizados para

solucionar problemas de vibraciones forzadas, utilizando la técnica de superposición modal.

1.1.2 Modelos estructurales más complejos

Sistemas estructurales, rara vez están constituidos por un elemento aislado simple, sino que

están compuestos por un conjunto o combinación de elementos, tal como se presentan en retic-

ulados, pórticos y estructuras mixtas.

Ejemplos de modelos estructurales se pueden apreciar en las …guras (1-2) y (1-3).

Analicemos a modo de ejemplo, el pórtico tridimensional que se observa en la …gura (1-3):

Los tres elementos que forman el pórtico están sometidos a ‡exión en dos planos, torsión y

9

Figura 1-3: Pórtico tridimensional

deformación axial.

La modelización de esta estructura con elementos continuos requiere del cálculo de funciones

de forma para cada tipo de deformación del elemento. Para el caso del elemento que une los

nodos 2 y 3 del pórtico, estas funciones de forma corresponden a:

² Vibración axial

² Vibración torsional

² Vibración ‡exural en el plano XZ

² Vibración ‡exural en el plano XY

Para la construcción de la matriz de condiciones de contorno Bc; debemos plantear ecua-

ciones de equilibrio y compatibilidadad de deformaciones en cada nodo de la estructura. Como

ejemplo, para el nodo 2 del pórtico, debemos plantear las siguientes ecuaciones:

² Equilibrio de fuerzas según las tres direcciones globales.

² Equilibrio de momentos según las tres direcciones globales.

² Compatibilidad de desplazamientos.

² Compatibilidad de rotaciones.

10

Este ejemplo muestra, que para el análisis dinámico de sistemas estructurales formados por

elementos continuos, es necesario el desarrollo de un precedimiento que sistematice las diferentes

etapas del cálculo.

La solución del problema de vibraciones libres, requiere de las siguientes etapas:

² De…nición de la geometría y propiedades de la estructura

² Construcción de la matriz de condiciones de contorno

² Cálculo de frecuencias naturales.

² Obtención de formas de vibración.

La solución de problemas de vibraciones forzadas, puede obtenerse, mediante la aplicación

del método de superposición modal. Este método consiste, en expresar la respuesta del sistema

u(x; t); como superposición de los modos de vibración Á(x) multiplicados por coordenadas

generalizadas q(t) que dependen del tiempo. Este procedimiento consta de las siguientes etapas:

² Obtención de los primeros nq modos de vibración natural y frecuencias naturales de la

estructura.

² Cálculo de las matrices de masa y rigidez: Mq y Kq:

² Cálculo del vector de in‡uencia de carga: Lqw:

² Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado del tipo:

Mq¢¢q (t) +Kqq(t) = Lqww(t)

donde w(t) es la señal de entrada.

² Superposición de las respuestas: u(x; t) =Pnq

i=1 Ái(x)qi(t):

1.2 Objetivos y alcance

Se propone como objetivo del presente trabajo, el desarrollo de una metodología de cálculo para

el análisis modal de estructuras formadas por elementos continuos.

El trabajo se limita al estudio de elementos, tales como barras, ejes y vigas rectas de sección

constante con propiedades uniformes. El hecho de considerar constantes las propiedades de los

elementos, hace posible la obtención de soluciones analíticas para la ecuaciones de movimiento.

11

A partir de la metodología desarrollada, se elabora un conjunto de funciones o programas

para el análisis modal de sistemas continuos constituidos por elementos de barras en vibración

axial, ‡exural o torsional, conectados entre sí, constituyendo un sistema estructural.

Es intención del autor que estos programas tengan un uso didáctico en la enseñanza de

dinámica de sistemas continuos y formarán parte de la caja de herramientas de análisis estruc-

tural SAT-Lab, desarrollada por el Prof. José A. Inaudi y el Prof. Juan C. de la Llera para el

ambiente Matlab.

1.3 Organización

En los capítulos 2 y 3 se estudian en detalle las soluciones analíticas para barras en vibración

axial, torsional y ‡exural. Se desarrollan los conceptos teóricos fundamentales y se analizan

numerosos ejemplos.

En el capítulo 4 se presenta una metodología para el planteo general de las ecuaciones de

borde. También se de…nen algunos conceptos de cinemática que facilitan la implementación

computacional del método

En el capítulo 5 se describen las funciones desarrolladas para análisis modal de sistemas

continuos.

La representación de sistemas continuos en el dominio de la frecuencia, constituye una

alternativa de análisis muy importante. Este tema es tratado en el capítulo 6.

Algunos ejemplos de aplicación y comparaciones con las diversas técnicas disponibles, pueden

encontrarse en el capítulo 7.

Finalmente, en el capítulo 8 se exponen las conclusiones del trabajo y lineamientos para

futuros trabajos que pueden tomar al presente como punto de partida.

12

Capítulo 2

ELEMENTOS EN VIBRACIÓN

AXIAL Y TORSIONAL

En este capítulo se estudian elementos en vibración axial y torsional modelados como sistemas

continuos. Se plantean las ecuaciones de movimiento y luego se analiza en detalle el problema

de vibraciones libres.

2.1 Barras en vibración axial

2.1.1 Formulación de las ecuaciones de movimiento

En esta sección se plantean las ecuaciones de movimiento para vibración axial utilizando el

principio de Hamilton.

Recordamos la expresión del principio de Hamilton:

±

Z t1

t2

(T ¡ V )dt = 0 (2.1)

Donde T es la energia cinética y V es la energía potencial del sistema.

Para el caso de un barra que se deforma longitudinalmente la expresión de la energía po-

tencial esta dada por:

V (t) =1

2

Z l

0EA(x)

·@u(x; t)

@x

¸2

dx (2.2)

13

Donde EA(x) es la rigidez axial y u(x,t) es el desplazamiento longitudinal.

La energía cinética está dada por:

T (t) =1

2

Z l

0m(x)

·@u(x; t)

@t

¸2

dx (2.3)

donde m(x) es la masa por unidad de longitud de la barra.

Se introducen las expresiones (2.2) y (2.3) en (2.1):

±

Z t2

t1

(T ¡ V )dt = ±

Z t2

t1

"1

2

Z l

0m(x)

µ@u

@t

¶2

dx ¡ 1

2

Z l

0EA(x)

µ@u

@x

¶2

dx

#dt (2.4)

=

Z t2

t1

"1

2

Z l

0m(x)±

µ@u

@t

¶2

dx ¡ 1

2

Z l

0EA(x)±

µ@u

@x

¶2

dx

#dt = 0(2.5)

Teniendo en cuenta que:

±

·@u(x; t)

@t

¸2

= 2

µ@u

@t

¶±

µ@u

@t

¶(2.6)

±

·@u(x; t)

@x

¸2

= 2

µ@u

@x

¶±

µ@u

@x

¶(2.7)

Introduciendo las ecuaciones(2.6) y (2.7) en (2.5) y simpli…cando, se obtiene:

±

Z t2

t1

(T ¡ V )dt =

Z t2

t1

·Z l

0m(x)

@u

@t±

µ@u

@t

¶dx ¡

Z l

0EA(x)

@u

@x±

µ@u

@x

¶dx

¸dt = 0 (2.8)

Asumiendo que los operadores ± y @@t , son conmutativos al igual que ± y @

@x y que las

integraciones con respecto a t y x son intercambiables:

±

Z t2

t1

(T ¡ V )dt =

Z l

0

½Z t2

t1

m(x)@u

@t

@

@t(±u) dt

¾dx ¡

Z t2

t1

½Z l

0EA(x)

@u

@x

@

@x(±u) dx

¾dt = 0

(2.9)

Se integra por partes las dos integrales entre corchetes del segundo miembro. La fórmula

de integración por partes es:

14

Zudv = uv ¡

Zvdu (2.10)

Analizamos la primera integral:

½Z t2

t1

m(x)@u

@t

@

@t(±u) dt

¾(2.11)

Llamando u = m(x)@u@t y v0 = @

@t (±u) se tiene que v = ±u y du = m(x)@2u@t2 dt

De esta manera aplicando la ecuación (2.10):

½Z t2

t1

m(x)@u

@t

@

@t(±u) dt

¾=

·m(x)

@u

@t±u

¸t2

t1

¡Z t2

t1

±u

µm(x)

@2u

@t2

¶dt (2.12)

Como ±u = 0 en t1 y t2, entonces£m(x)@u

@t ±u¤t2

t1= 0:

½Z t2

t1

m(x)@u

@t

@

@t(±u) dt

¾= ¡

Z t2

t1

µm(x)

@2u

@t2

¶±udt (2.13)

Ahora analizamos la segunda integral:

½Z l

0EA(x)

@u

@x

@

@x(±u)dx

¾(2.14)

Llamando u = EA(x)@u@x y v0 = @

@x (±u) se tiene que v = ±u y du = @@x

¡EA(x)@u

@x

¢dx

De esta manera aplicando la ecuación (2.10):

½Z l

0EA(x)

@u

@x

@

@x(±u)dx

¾=

·EA(x)

@u

@x±u

¸l

0

¡Z l

0

·@

@x

µEA(x)

@u

@x

¶¸±udx (2.15)

Reemplazando las ecuaciones(2.13) y (2.15) en (2.9) y haciendo los arreglos correspondientes

se llega a:

15

±

Z t2

t1

(T ¡ V )dt =

Z t2

t1

(Z l

0

·@

@x

µEA(x)

@u

@x

¶¡

µm(x)

@2u

@t2

¶¸±udx ¡

·EA(x)

@u

@x±u

¸l

0

)dt = 0

(2.16)

Como ±u es arbitario para 0 < x < l se debe cumplir:

@

@x

µEA(x)

@u

@x

¶¡

µm(x)

@2u

@t2

¶= 0 (2.17)

Se debe cumplir además:

·EA(x)

@u

@x±u

¸l

0

= 0 (2.18)

La ecuación (2.17) es la ecuación diferencial de movimiento y la ecuación (2.18) representa

las condiciones de contorno.

2.1.2 Análisis en vibraciones libres

Para obtener la repuesta de un sistema continuo en vibraciones libres debemos resolver la

ecuación de movimiento, como veremos a continuación:

Recordamos la ecuación de movimiento deducida en la sección anterior:

@

@x

µEA(x)

@u(x; t)

@x

¶¡

µ½(x)A(x)

@2u(x; t)

@t2

¶= 0

Donde hemos expresado a la masa por unidad de longitud de la barra m(x), en función de

la densidad del material ½(x) y el área de la sección transversal A(x):

m(x) = ½A(x) (2.19)

Si suponemos que los valores de E; A y ½ son constantes a lo largo de la longitud de la barra,

la ecuación de movimiento queda:

16

AE@2u(x; t)

@x2¡ ½A

@2u(x; t)

@t2= 0 (2.20)

Utilizando el método de separación de variables:

u(x; t) = Á(x)q(t) (2.21)

Reemplazando esta solución en la ecuación de movimiento:

AEÁpp(x)q(t)¡ ½AÁ(x)¢¢q (t) = 0 (2.22)

Separando variables podemos escribir:

AEÁpp(x)

Á(x)= ½A

¢¢q (t)

q(t)(2.23)

E

½

Ápp(x)

Á(x)=

¢¢q (t)

q(t)= constante = ¡!2 (2.24)

Que conduce a dos ecuaciones diferenciales separadas en t y x.

En la variable q(t) se tiene:

¢¢q (t) + !2q(t) = 0 (2.25)

que tiene la conocida solución:

q(t) = A sin(!t) +B cos(!t) (2.26)

donde las constantes A y B dependen de las condiciones iniciales del problema.

En la variable Á(x) se tiene:

17

Ápp(x) +½

E!2Á(x) = 0 (2.27)

De…nimos:

¯2 =½

E!2 (2.28)

Con lo cual la ecuación (2.27) queda:

Ápp(x) + ¯2Á(x) = 0 (2.29)

y tiene como solución:

Á(x) = C1 sin(¯x) +C2 cos(¯x) (2.30)

En la cual los coe…cientes C1 y C2, ajustados según las condiciones de contorno determinan

los modos de vibración axial de la barra.

2.1.3 Ejemplos ilustrativos

En esta sección se muestra mediante ejemplos, el método de cálculo de las frecuencias naturales

y modos de vibración de barras sometidas a diferentes tipos de condiciones de contorno.

Convención de signos

En la …gura (2-1-a) se observa un elemento en vibración axial, modelado por dos nodos en los

extremos de la barra.

En este trabajo supondremos que los elementos se encuentran en tracción y para el planteo

de las condiciones de contorno nos referiremos a las acciones sobre los nodos, tal como se observa

en el esquema libre de la …gura (2-1-b).

Barra empotrada-libre

Consideremos una barra empotrada en un extremo y libre en el otro:

18

EAm ,,

l

)(a

)(b

)0(N )0(N

0=x

)(lN

lx =

)(lN

x

Figura 2-1: Convención de signos para vibración axial

EAm ,,

l

x

Figura 2-2: Barra empotrada-libre

19

Las condiciones de contorno para este caso son:

u(0; t) = Á(0) = 0 (2.31)

N(l; t) =

·AE

@u

@x

¸x=l

=

·AE

dÁ

dx

¸x=l

= 0 (2.32)


Á(x) = C1 sin(¯x) +C2 cos(¯x) (2.33)

dÁ

dx= ¯ [C1 cos(¯x)¡ C2 sin(¯x)] (2.34)

las ecuaciones de contorno quedan:

Á(0) = C1 sin(¯0) +C2 cos(¯0) = C2 = 0 (2.35)

AE

·dÁ

dx

¸x=l

= AE¯ [C1 cos(¯l)¡ C2 sin(¯l)] = 0 (2.36)

Si expresamos el sistema de ecuaciones (2.35) y (2.36) en forma matricial:

24 0 1


35 24 C1

C2

35 =24 0

0

35 (2.37)

Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial, el determinante de la matriz de

coe…cientes debe ser cero. Esto conduce a la siguiente ecuación:

¡AE¯ cos(¯l) = 0 ) (2.38)

) cos(¯l) = 0 (2.39)

La ecuación (2.39) provee la siguiente solución para ¯

¯n =(2n ¡ 1)¼

2ln = 1; 2; 3:::; 1 (2.40)

20

Recordando que:

¯2 =½

E!2 ) ! =

sE

½¯ (2.41)

Es decir que las frecuencias naturales son:

!n =(2n ¡ 1)¼

2

sE

½l2n = 1; 2; 3:::; 1 (2.42)

Los modos de vibración natural resultan:

Án(x) = An sin(¯nx) (2.43)

Donde An es una constante arbitraria

Si normalizamos los modos Á respecto al operador de masa: m(x) = m = ½A, se debe

cumplir:

Z l

0mÁ2

ndx = 1 (2.44)

Reemplazando (2.43) en (2.44):

A2nm

Z l

0sin2(¯nx)dx = 1 (2.45)

Resolviendo esta ecuación llegamos a:

An =

r2

ml=

r2

½Al(2.46)

Introduciendo (2.46) en (2.43), los modos normalizados quedan:

Án(x) =

r2

½Alsin(¯nx) n=1,2,3,...,1 (2.47)

21

Phi1(

X)Ph

i2(X)

Phi3(

X)Ph

i4(X)

Figura 2-3: Barra empotrada-libre: primeros modos de vibrar

En la …gura (2-3) se pueden apreciar los cuatro primeros modos de vibrar de la barra.

Barra libre-libre

En este caso las condiciones de contorno son:

N(0; t) =

·AE

@u

@x

¸x=0

= 0 (2.48)

N(L; t) =

·AE

@u

@x

¸x=l

= 0 (2.49)

de esta manera:

AE

·dÁ

dx

¸x=0

= AE

·dÁ

dx

¸x=l

= 0 (2.50)

Teniendo en cuenta la ecuación (2.34):

22

dÁ

dx= ¯ [C1 cos(¯x)¡ C2 sin(¯x)] (2.51)

las condiciones de contorno quedan:

AE¯C1 = 0 (2.52)

AE¯ [C1 cos(¯l)¡ C2 sin(¯l)] = 0 (2.53)

Expresando las ecuaciones (2.52) y (2.53) en forma matricial:

24 AE¯ 0


35 24 C1

C2

35 =24 0

0

35 (2.54)

Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial, la matriz de coe…cientes debe ser

singular. Igualando a cero el determinante de la matriz de coe…cientes:

¡ (AE¯)2 sin(¯l) = 0 (2.55)

es decir:

sin(¯l) = 0 (2.56)

La ecuación (2.56) nos lleva a los siguientes valores de ¯:

¯n =n¼

ln = 0; 1; 2:::; 1 (2.57)

Cuando ¯ = 0 la ecuación (2.29) queda:

Ápp(x) + ¯2Á(x) = Ápp(x) = 0 (2.58)

23

La ecuación (2.58) tiene una solución de la forma:

Á(x) = D1 +D2x (2.59)

Por lo tanto:

dÁ

dx= D2 (2.60)

Y aplicando las condiciones de contorno (2.50):

AE

·dÁ

dx

¸x=0

= AE

·dÁ

dx

¸x=l

= (AE)D2 = 0 (2.61)

Por lo tanto:

D2 = 0 ) Á(x) = D1 (2.62)

Esta ecuación representa una traslación de cuerpo rígido.

Las formas de vibrar para ¯ 6= 0 se obtienen haciendo C1 = 0 en la ecuación(2.30):

Á(x) = C1 sin(¯x) +C2 cos(¯x) ) Á(x) = C2 cos(¯x) (2.63)

Normalizando Á respecto al operador de masa m llegamos a :

Án(x) =

r2

½Alcos(¯nx) n=1,2,3,...,1 (2.64)

En la …gura (2-4) se pueden apreciar los primeros cuatro modos de vibrar de la barra.

Barra no uniforme

En la …gura (2-5) se observa una barra no uniforme. La misma esta formada por dos barras

unidas en serie, de diferentes propiedades mecánicas

24

Phi1(

X)

Phi2(

X)Ph

i3(X)

Phi1(

X)

Figura 2-4: Barra libre-libre: primeros modos de vibración

2x

)0(2N)( 11 lN

1x

1l

111 ,, EAm

)( 22 lN

222 ,, EAm

2l

Figura 2-5: Barra no uniforme

25

Al tener dos barras de diferentes propiedades de…nimos:

¯1 =

r½1

E1! (2.65)

¯2 =

r½2

E2! (2.66)

Á1(x1) = C1 sin(¯1x1) +C2 cos(¯1x1) (2.67)

Á2(x2) = C3 sin(¯2x2) +C4 cos(¯2x2) (2.68)

Donde x1 y x2 son las coordenadas locales de cada barra y Á1(x1) y Á2(x2) representan la

función de forma en el elemento [1] y en el elemento [2], respectivamente.

Las condiciones de contorno serán las siguientes:

En el nodo (1), el desplazamiento de la barra [1] está restringido, es decir:

u1(0; t) = 0 (2.69)

C1 sin(¯10) +C2 cos(¯10) = C2 = 0 (2.70)

En el nodo (2), se debe cumplir:PNe

i=1 Fh2ii = 0, donde Ne es el número de elementos que

concurren al nodo y Fhjii es la fuerza del elemento i en el nodo j. También debe cumplirse

compatibilidad de deformaciones.

Equilibrio de fuerzas:

¡N1(l1; t) +N2(0; t) = 0 (2.71)

¡A1E1

µdÁ1

dx1

¶x1=l1

+A2E2

µdÁ2

dx2

¶x2=0

= 0 (2.72)

¡A1E1¯1 [C1 cos(¯1L1)¡ C1 sin(¯1L1)] +A2E2¯2 [C3] = 0 (2.73)

Compatibilidad de deformaciones:

u1(l1; t) = u2(0; t) (2.74)

Á1(l1; t) = Á2(0; t) (2.75)

C1 sin(¯1l1) +C2 cos(¯1l1) = C3 sin(¯10) +C4 cos(¯10) (2.76)

C1 sin(¯1l1) +C2 cos(¯1l1)¡ C4 = 0 (2.77)

26


i=1 Fh3ii = 0

¡N2(l2; t) = 0 (2.78)

¡A2E2¯2 [C3 cos(¯2l2)¡ C4 sin(¯2l2)] = 0 (2.79)

Expresando las ecuaciones (2.70), (2.73), (2.77) y (2.79) de manera matricial:

26666664Bc11 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Bc14

.... . .

......

. . ....

Bc41 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Bc44

37777775

26666664C1

C2

C3

C4

37777775 =266666640

0

0

0

37777775 (2.80)

[Bc] =

266666640 1 0 0

¡A1E1¯1 cos(¯1l1) A1E1¯1 sin(¯1l1) A2E2¯2 0

sin(¯1l1) cos(¯1L1) 0 ¡10 0 ¡A2E2¯2 cos(¯2l2) A2E2¯2 sin(¯2l2)

37777775(2.81)

Para que exista solución distinta de la trivial, la matriz de condiciones de contorno Bc debe

ser singular. Por lo tanto, la ecuación de la frecuencias naturales es:

det [Bc]=0 (2.82)

Introduciendo en esta ecuación los valores de ¯1 y ¯2 dados por (2.65) y (2.66), tendremos

una ecuación en ! que puede ser resuelta numéricamente para el cálculo de las frecuencias

naturales.

Si cada frecuencia natural obtenida es introducida separadamente en la ecuación matricial

(2.80), se pueden calcular los cuatro coe…cientes de forma modal C. Estos quedan indetermi-

nados en una constante.

Fijando valores a las propiedades de los elementos, hemos resuelto numéricamente este

ejemplo. La …gura (2-6) muestra la ecuación de las frecuencias naturales y la …gura (2-7)

muestra los primeros cuatro modos de vibrar.

27

0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

8

1 0x 1 0

1 7

W

E c u a c io n d e la f r e c u e n c ia s n a tu r a le s

de

t(B

c)

w 1 w 2 w 3 w 4

Figura 2-6: Barra no uniforme: ecuación de las frecuencias naturales

0 L1-0 L2

0Phi1(

X)

0 L1-0 L2

Phi2(

X)

0 L1-0 L2

Phi3(

X)

0 L1-0 L2

Phi4(

X)

Figura 2-7: Barra no uniforme: primeras formas de vibración

28

)0(3N

1x

)( 11 lN

)( 22 lN

21 ll =

111 ,, EAm

222 ,, EAm

2x3x

3l

)( 33 lN

333 ,, EAm

Figura 2-8: Sistema de tres barras

Sistema de tres barras

En la …gura (2-8) se muestra una estructura conformada por tres barras de diferentes propiedades

mecánicas.

En este caso tendremos tres funciones de forma Á(x), con parámetros ¯ diferentes. Las

condiciones de contorno serán las que se detallan continuación:

En el nodo (1), el desplazamiento de la barra [1] y de la barra [2] está restringido, es decir:

u1(0; t) = Á1(0) = 0 (2.83)

u2(0; t) = Á2(0) = 0 (2.84)


i=1 Fh2ii = 0 y compatibilidad de deformaciones.

Equilibrio de fuerzas:

¡N1(l1; t)¡ N2(l2; t) +N3(0; t) = 0 (2.85)

¡A1E1

µdÁ1

dx1

¶x1=l1

¡ A2E2

µdÁ2

dx2

¶x2=l2

+A3E3

µdÁ3

dx3

¶x3=0

= 0 (2.86)

29

Compatibilidad de deformaciones:

u1(l1; t) = u2(l2; t) = u3(0; t) (2.87)

que conduce a dos ecuaciones:

u1(l1; t) = u2(l2; t) (2.88)

u1(l1; t) = u3(0; t) (2.89)

por lo tanto el número de ecuaciones de compatibilidad a plantear es igual al número de

barras que concurren al nodo menos uno.


i=1 Fh3ii = 0

¡N3(l3; t) = 0 (2.90)

¡A3E3

µdÁ3

dx3

¶x3=l3

= 0 (2.91)

Desarrollando las expresiones (2.83), (2.84), (2.86), (2.88), (2.89) y (2.91) y expresándolas

de forma matricial llegamos a una ecuación del siguiente tipo:

266666666666664

Bc11 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Bc16

.... . .

......

. . ....

.... . .

......

. . ....

Bc61 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Bc66

377777777777775

26666666666664

C1

C2

C3

C4

C5

C6

37777777777775=

26666666666664

0

0

0

0

0

0

37777777777775(2.92)

Luego procedemos de manera análoga al caso de la barra no uniforme, para obtener las

frecuencias naturales y las formas de vibrar

En la …gura (2-9), se muestra el grá…co de la ecuación de las frecuencias naturales y en la

…gura (2-10) se observan las primeras formas de vibrar de la estructura. Para obtener estos

resultados hemos …jado valores a las propiedades de las barras.

30

0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0

- 2

- 1

0

1

2

3

x 1 01 7

W


de

t(B

c)

W 1 W 2 W 3 W 4

Figura 2-9: Sistema de tres barras: ecuación de las frecuencias naturales

0 (L1-2)-0 L30

Phi1(

X)

0 (L1-2)-0 L3

0

Phi2(

X)

0 (L1-2)-0 L3

0

Phi3(

X)

0 (L1-2)-0 L3

0

Phi4(

X)

Figura 2-10: Sistemas de tres barras: primeras formas de vibración

31

EAm ,, M

l

)(lN 2

2

tuM

∂∂

x

Figura 2-11: Barra con una masa concentrada

Condiciones de contorno no homegéneas

Consideremos el caso de una barra con una masa concentrada en uno de sus extremos, tal

como muestra la …gura (2-11).

En este caso las condiciones de contorno serán las siguientes:

El desplazamiento del nodo (1) se encuentra restringido por lo tanto:

u(0; t) = Á(0) = 0 (2.93)

Á(0) = C1 sin(¯0) +C2 cos(¯0) = C2 = 0 (2.94)

En el nodo (2) planteamos:PNe

i=1 Fh2ii = Ma

¡N(l; t) = Ma (2.95)

¡AE

·@u

@x

¸x=l

= M@2u

@t2(2.96)

Separando variables:

32

u(x; t) = Á(x)q(t) (2.97)

@u

@x= Áp(x)q(t) (2.98)

@2u

@t2= Á(x)

¢¢q (t) (2.99)

Reemplazando (2.98) y (2.99) en (2.96):

¡ (AE)Áp(l)q(t) = MÁ(l)¢¢q (t) (2.100)

dividiendo ambos miembros por q(t):

¡ (AE)Áp(l) = MÁ(l)

¢¢q (t)

q(t)(2.101)

recordando que:

¢¢q (t)

q(t)= cte = ¡!2 (2.102)

la ecuación (2.101) queda:

(AE)Áp(l)¡ M!2Á(l) = 0 (2.103)

AE¯ [C1 cos(¯l)¡ C2 sin(¯l)]¡ M!2 [C1 sin(¯l) +C2 cos(¯l)] = 0 (2.104)

El sistema de ecuaciones de condiciones de contorno queda formado por las ecuaciones

(2.104) y (2.94):

24 0 1

AE¯ cos(¯l)¡ M!2 sin(¯l) ¡AE¯ sin(¯l)¡ M!2 cos(¯l)

35 24 C1

C2

35 =24 0

0

35 (2.105)

En la …guras (2-12) y (2-13), se pueden apreciar la ecuación de las frecuencias naturales y

las primeras formas de vibrar respectivamente. Para obtener estos resultados se …jaron valores

33

0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0 9 0 0 0 1 0 0 0 0

- 1

- 0 .5

0

0 .5

1

x 1 01 0

W


de

t(B

c)

W 1 W 2 W 3 W 4

Figura 2-12: Barra con una masa concentrada: ecuación de las frecuencias naturales

a las propiedades de las elementos.

Barras orientadas en una dirección cualquiera

Analizaremos en esta sección cómo plantear las condiciones de contorno, para el caso en que

los elementos de un sistema estructural estén orientados según direcciones distintas a la local.

En la …gura (2-14) se observa un sistema de dos barras, en el cual una de ellas está inclinada

un ángulo ® respecto al eje global Xg.

Se tienen las siguientes incógnitas:

² Los coe…cientes de forma modal C1 y C2 del elemento [1].

² Los coe…cientes de forma modal C3 y C4 del elemento [2].

² El desplazamiento d1 (desplazamiento en dirección Xg del nodo (2))

² El desplazamiento d2 (desplazamiento en dirección Zg del nodo (2))

Condiciones de contorno:

Los desplazamientos horizontales y verticales del nodo (1) se encuentran restringidos:

34

0

Phi1(

X)

0Phi2(

X)

0

Phi3(

X)

0

Phi4(

X)

Figura 2-13: Barra con una masa concentrada: primeras fomas de vibrar

gX

gZ

2x

1l

1x

)( 11 lu

)( 221 lud =

2d

2l

Figura 2-14: Reticulado de dos barras

35

u1(0; t) cos(®) = 0 (2.106)

u1(0; t) sin(®) = 0 por lo tanto: (2.107)

u1(0; t) = 0 ) Á1(0) = 0 (2.108)

El desplazamiento del nodo (3) es nulo:

u2(0; t) = 0 ) Á2(0) = 0 (2.109)

El nodo (2) puede desplazarse según la dirección Xg, y la dirección Zg. Se plantea entonces:

² Equilibrio de fuerzas en dirección Xg

² Equilibrio de fuerzas en dirección Zg

² Compatibilidad de deformaciones

Equilibrio de fuerzas según Xg:

¡N1(l1; t) cos(®)¡ N2(l2; t) = 0 (2.110a)

¡A1E1Áp1(l1) cos(®)¡ A2E2Áp

2(l2) = 0 (2.110b)

Equilibrio de fuerzas según Zg:

¡N1(l1; t) sin(®) = 0 (2.111)

¡A1E1Áp1(l1) sin(®) = 0 (2.112)

Se plantean las siguientes ecuaciones de compatiblidad:

u1(l1; t) = d1 cos (®) + d2 sin (®) (2.113)

Á1(l1)¡ d1 cos (®)¡ d2 sin (®) = 0 (2.114)

36

u2(l2; t) = d1 (2.115)

Á2(l2)¡ d1 = 0 (2.116)

Si se desarrollan las ecuaciones (2.108), (2.109), (2.110b), (2.112), (2.114) y (2.116), se llega

a una expresión del tipo:

266666666666664

Bc11 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Bc16

.... . .

......

. . ....

.... . .

......

. . ....

Bc61 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ Bc66

377777777777775

26666666666664

C1

C2

C3

C4

d1

d2

37777777777775=

26666666666664

0

0

0

0

0

0

37777777777775(2.117)

Las frecuencias naturales y modos de vibración se obtienen de la misma manera que en los

casos anteriores.

Conclusiones Si se consideran estructuras con elementos orientados en distintas direcciones,

se presentan como incógnitas adicionales a los desplazamientos de los grados de libertad de los

nodos.

Sistema de dos barras con una masa concentrada

En la …gura (2-15) se observa un sistema conformado por dos barras y una masa concentrada.

Las condiciones de contorno son las siguientes:

El desplazamiento del nodo (1) está restingido por lo tanto:

u1(0; t) = Á1(0) = 0 (2.118)

Para el nodo (2) debemos plantear la compatibilidad de deformaciones y equilibrio de

fuerzas:

Compatiblidad de deformaciones:

para la barra [1]

37

Figura 2-15: Sistema de dos barras con masa concentrada

u(l1; t) = y1 cos(®) + y2 sin(®) (2.119)

para la barra [2]

u2(0; t) = y1 (2.120)

Equilibrio de fuerzas

XFXg = M

¢¢y1 (2.121)X

FZg = M¢¢y2 (2.122)

Siendo,¢¢y1e

¢¢y2 las aceleraciones de los grados de libertad y1 e y2 respectivamente. Desarrol-

lando las ecuaciones (2.121) y (2.122):

38

¡N1(l1; t) cos(®) +N2(0; t) = M¢¢y1 (2.123)

¡N1(l1; t) sin(®) = M¢¢y2 (2.124)

Ahora, expresamos las aceleraciones¢¢y1e

¢¢y2 como función de las funciones de forma y la

frecuencia natural.

Los valores de y1(x; t); e y2(x; t) se obtienen del sistema de ecuaciones formado por (2.119)

y (2.120):

y1(x; t) = u2(0; t) (2.125)

y2(x; t) =1

sen(®)[u1(l1; t)¡ u2(0; t) cos(®)] (2.126)

Para obtener las aceleraciones separamos variables en las ecuaciones anteriores:

¢¢y1 = Á2(0)

¢¢q (t) (2.127)

¢¢y2 =

1

sen(®)

hÁ1(l1)

¢¢q (t)¡ Á2(0)

¢¢q (t) cos(®)

i(2.128)

Separando variables en la ecuación (2.123):

¡A1E1Áp1(l1)q(t) cos(®) +A2E2Áp

2(0)q(t) = MÁ2(0)¢¢q (t) (2.129)

¡A1E1Áp1(l1) cos(®) +A2E2Áp

2(0) = ¡!2MÁ2(0) (2.130)

De manera análoga en la ecuación (2.124), se obtiene:

¡A1E1Áp1(l1)q(t) sin(®) = M

1

sen(®)

hÁ1(l1)

¢¢q (t)¡ Á2(0)

¢¢q (t) cos(®)

i(2.131)

¡A1E1Áp1(l1) sin(®) =

¡M!2

sen(®)[Á1(l1)¡ Á2(0) cos(®)] (2.132)

En el nodo (3) debemos plantearPNe

i=1 Fh3ii = 0 y compatibilidad de deformaciones.

Compatiblidad de deformaciones:

39

)(a

x dxl

JGm ,,

x

)(b

dxxTT

∂∂+T

dxmT

),( txmT

),( txθ

Figura 2-16: Barra en vibración torsional

u2(l2; t) = Á2(l2) = y3 (2.133)

Ahora planteamosPNe

i=1 Fh3ii = 0

¡N2(l2; t) = 0 (2.134)

El sistema de ecuaciones de contorno queda conformado por las ecuaciones (2.118), (2.119),

(2.120), (2.130), (2.132), (2.133), y (2.134).

2.2 Barras en vibración torsional

2.2.1 Formulación de las ecuaciones de movimiento

La …gura (2-16-a) muestra un barra no uniforme de sección transversal circular con masa por

unidad de longitud m(x) y momento de inercia polar J(x). El eje está empotrado en el

extremo izquierdo y libre en el derecho. Esta sujeto a vibraciones torsionales alrededor de su

eje longitudinal. En un caso general, cuando la sección no es circular, las secciones planas

40

perpendiculares al eje de la barra no permanecen planas (alabeo de la sección), debido al

movimiento torsional. Más aún, cuando la sección de la barra no es uniforme, aunque no exista

alabeo de los planos de las secciones transversales, los desplazamientos no son proporcionales a

la distancia radial al eje de giro. Nosotros asumiremos que la forma de la sección transversal

y la no uniformidad de la barra es tal que el movimiento puede considerarse como la rotación

del plano de la sección transversal como un conjunto y sin alabeo. Esto es precisamente lo que

sucede en el caso de un eje circular uniforme en torsión.

Sea µ(x; t) el ángulo de giro a una distancia x del extremo …jo y T (x; t) el torque en ese

punto. Llamemos también mT (x; t) al momento torsor aplicado por unidad de longitud de la

barra. Los momentos actuando en un elemento in…nitesimal de la barra circular se muestran

en la …gura (2-16-b). Planteando el equilibrio de este elemento:

@T

@xdx+mT dx = I0

@2µ

@t2(2.135)

donde I0 es el momento de inercia másico por unidad de longitud con respecto al eje longi-

tudinal, dado por:

I0 =mJ

A= ½J (2.136)

siendo J el momento de inercia polar de la sección, y ½ la densidad del material. La ecuación

(2.135) queda:

@T

@xdx+mT dx ¡ ½J

@2µ

@t2dx = 0 (2.137)

dividiendo por dx:

@T

@x+mT ¡ ½J

@2µ

@t2= 0 (2.138)

El torque T se relaciona con el ángulo de giro µ mediante la siguiente expresión:

41

T = GJ@µ

@x(2.139)

siendo G el módulo de corte del material. La sustitución de la ecuación (2.139) en la ecuación

(2.138) nos conduce a:

@

@x

µGJ

@µ

@x

¶¡ ½J

@2µ

@t2+mT = 0 (2.140)

La expresión (2.140) es la ecuación de movimiento del sistema.

Esta ecuación es enteramente análoga a la ecuación de movimiento para vibración axial de

una barra.

Las condiciones de contorno para este caso, se obtienen teniendo en cuenta que el ángulo de

giro µ debe ser nulo en el extremo empotrado, mientras que en el extremo libre el torque debe

ser cero.

µ = 0 en x = 0 (2.141)

GJ@µ

@x= 0 en x = l (2.142)

2.2.2 Análisis en vibraciones libres

Procederemos de manera análoga al caso de vibracion axial utlizando el método de separación

de variables.

Recordamos la ecuación de movimiento deducida en la seccion anterior:

@

@x

µGJ

@µ(x; t)

@x

¶¡ ½J

@2µ(x; t)

@t2+mT = 0

Si suponemos que los valores de G, J, y ½ son constantes a lo largo de la longitud de la

barra y además que el momento torsor aplicado mT es nulo, la ecuación de movimiento queda:

GJ

µ@2µ(x; t)

@x2

¶¡ ½J

@2µ(x; t)

@t2= 0 (2.143)

42

Se propone una solución de la forma:

µ(x; t) = °(x)q(t) (2.144)

Reemplazando esta solución en la ecuacion de movimiento:

GJ°pp(x)q(t)¡ ½J°(x)¢¢q (t) = 0 (2.145)


GJ°pp(x)

°(x)= ½J

¢¢q (t)

q(t)(2.146)

G

½

°pp(x)

°(x)=

¢¢q (t)

q(t)= constante = ¡!2 (2.147)

Que conduce a las siguientes ecuaciones:

¢¢q (t) + !2q(t) = 0 (2.148)

°pp(x) + ´2!2°(x) = 0, con ´2 =½

G!2 (2.149)

Esta última ecuación tiene como solución:

°(x) = C1 sin(´x) +C2 cos(´x) (2.150)

En la cual los coe…cientes C1 y C2 se ajustan según las condiciones de contorno y determinan

los modos de vibración torsional de la barra.

43

JGm ,,

l

0=x lx = x

)0(T )0(T )(lT )(lT

)(a

)(b

Figura 2-17: Convención de signos para vibración torsional

JGm ,,

dI

)(lT 2

2 ),(t

txId ∂∂ θ

x

l

Figura 2-18: Eje con un disco en su extremo libre

Convención de signos

En la …gura(2-17-a) se observa un elemento en vibración torsional, modelado por dos nodos en

los extremos de la barra.

En este trabajo se adopta la convención de signos de la …gura (2-17-b).

2.2.3 Ejemplo de vibración torsional

En la …gura (2-18) se observa un eje de propiedades constantes, que tiene un disco en su

extremo libre. El disco un posee momento de inercia polar másico Id.

Las condiciones de contorno para el eje son:

La rotación del nodo (1) se encuentra restringida por lo tanto:

44

µ(0; t) = °(0) = 0 (2.151)

°(0) = C1 sin(´0) +C2 cos(´0) = C2 = 0 (2.152)

En el nodo (2) planteamos la ecuación de Newton en su forma angular:PNe

i=1 ¿h2ii = I®

¡T (l; t) = Id® (2.153)

¡GJ

·@µ

@x

¸x=l

= Id@2µ

@t2(2.154)

Separando variables:

µ(x; t) = °(x)q(t) (2.155)

@µ

@x= ° p(x)q(t) (2.156)

@2µ

@t2= Á(x)

¢¢q (t) (2.157)

Reemplazando (2.156) y (2.157) en (2.154):

¡ (GJ)°p(l)q(t) = Id°(l)¢¢q (t) (2.158)

dividiendo ambos miembros por q(t):

¡ (GJ)° p(l) = Id°(l)

¢¢q (t)

q(t)(2.159)

recordando que:

¢¢q (t)

q(t)= cte = ¡!2 (2.160)

la ecuación (2.159) queda:

45

0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 0 0 0

- 2

- 1

0

1

2

3

x 1 06

W


de

t(B

c)

W 1 W 2 W 3 W 4

Figura 2-19: Eje con un disco en uno de sus extremos: ecuación de las frecuencias naturales

(GJ) °p(l)¡ Id!2°(l) = 0 (2.161)

GJ´ [C1 cos(´l)¡ C2 sin(´l)]¡ Id!2 [C1 sin(´l) +C2 cos(´l)] = 0 (2.162)

El sistema de ecuaciones de contorno queda formado por las ecuaciones (2.162) y (2.152):

24 0 1

GJ´ cos(´l)¡ Id!2 sin(´l) ¡GJ´ sin(´l)¡ Id!2 cos(´l)

35 24 C1

C2

35 =24 0

0

35 (2.163)

En la …guras (2-19) y (2-20), se pueden apreciar la ecuación de las frecuencias naturales

y los primeros modos de vibración respectivamente. Para la obtención de estos resultados, se

…jaron valores a las propiedades de los elementos.

46

0 L

0

Phi1(

X)

0 L

0Phi2(

X)

0 L

0

Phi3(

X)

0 L

0

Phi4(

X)

Figura 2-20: Eje con un disco en uno de sus extremos: primeros modos de vibrar

47

Capítulo 3

ELEMENTOS EN VIBRACIÓN

TRANSVERSAL

En este capítulo se estudian elementos en vibración transversal modelados como sistemas con-

tinuos.

Se plantean las ecuaciones de movimiento y luego se analiza en detalle el problema de

vibraciones libres.

3.1 Formulación de las ecuaciones de movimiento

En esta sección se plantean las ecuaciones de movimiento para vibración transversal utilizando

dos técnicas diferentes. Primero utilizaremos las ecuaciones de Newton y luego el principio de

Hamilton

3.1.1 Vibraciones transversales de una viga

La …gura (3-1-a) muestra una viga con rigidez ‡exional EI(x) y masa por unidad de longitud

m(x), ambas funciones de la coordenada espacial x. Para el propósito de la explicación, la

viga se muestra como simplemente apoyada, pero otras condiciones de soporte son igualmente

válidas.

La viga se encuentra en vibración transversal en el plano del papel bajo la acción de una

fuerza distribuida p(x; t). El desplazamiento transversal de cualquier punto a lo largo del eje

neutro de la viga está representado por u(x; t), que es una función de la coordenada espacial x,

y el tiempo t.

En la …gura (3-1-b) se muestran las fuerzas y momentos que actúan sobre un elemento de

48

p(x,t)

u(x,t)

p

2

2

tum

∂∂

dxx

MM∂∂+

V dxxVV

∂∂+

M

u

x

(a) (b)

Figura 3-1: Viga en vibración transversal

viga de longitud dx.

En este análisis se desprecia la inercia rotacional de la viga. Las fuerzas de corte, que actúan

en dirección perpendicular al eje elástico están levemente inclinadas con respecto a la vertical,

pero para pequeños desplazamientos podemos despreciar sus componentes horizontales.

Para el equilibrio del elemento en dirección vertical se tiene:

@V

@xdx+ pdx ¡ m

@2u

@t2dx = 0 (3.1)

dividiendo a ambos miembros por dx:

@V

@x+ p ¡ m

@2u

@t2= 0 (3.2)

Tomando momentos con respecto a la cara izquierda del elemento:

µV +

@V

@xdx

¶dx+ pdx

dx

2¡ m

@2u

@t2

dx

2+

µM +

@M

@xdx

¶¡ M = 0 (3.3)

despreciando diferenciales de orden superior:

49

V +@M

@x= 0 (3.4)

Si llamamos µ a la rotación por ‡exión y despreciamos la deformación por corte, tenemos:

µ =@u

@x(3.5)

También por teoría de vigas,

M = EI@µ

@x(3.6)

= EI@2u

@x2(3.7)

Sustituyendo la ecuación (3.7) en la ecuación (3.4):

V = ¡ @

@x

µEI

@2u

@x2

¶(3.8)

Diferenciando la ecuación (3.8) e introduciéndola en la (3.2), obtenemos:

@2u

@x2

µEI

@2u

@x2

¶+m

@2u

@t2= p (3.9)

La ecuación (3.9) es la que gobierna las vibraciones tranversales de una viga. Para obtener

la solución única de esta ecuación, debemos especi…car cuatro condiciones de contorno y dos

condiciones iniciales. Para el caso de la …gura (3-1), los desplazamientos y momentos ‡ectores

deben ser nulos en ambos extremos de la viga, por lo tanto tendremos:

u = 0 en x = 0 (3.10)

u = 0 en x = l (3.11)

y

50

EI@2u

@x2= 0 en x = 0 (3.12)

EI@2u

@x2= 0 en x = l (3.13)

Otras condiciones de contorno son factibles y serán estudiadas más adelante:

3.1.2 Vibraciones transversales de una viga: formulación variacional

En esta sección se deducen las ecuaciones de movimiento utilizando el principio de Hamilton.

Esta formulación tiene la ventaja que conduce también a las expresiones de las condiciones

de contorno.

Recordamos la expresión del Principio de Hamilton

±

Z t2

t1

(T ¡ V )dt = 0 (3.14)

Donde T es la energia cinética y V es la energía potencial del sistema.

Para el caso de una viga en vibración transversal, la expresión de la energía potencial está

dada por:

V =1

2

Z µ

0Mdµ ¡

Z l

0pudx (3.15)

V =1

2

Z l

0EI

µd2u

dx2

¶2

dx ¡Z l

0pudx (3.16)

La energía cinética está dada por:

T =1

2

Z l

0m

·@u

@t

¸2

dx (3.17)

Introducimos ahora las expresiones (3.16) y (3.17) en (3.14):

51

±

Z t2

t1

(T ¡ V ) dt = ±

Z t2

t1

"1

2

Z l

0m(x)

µ@u

@t

¶2

dx ¡ 1

2

Z l

0EI(x)

µ@2u

@x2

¶2

dx+

Z l

0pudx

#dt = 0

(3.18)


±

·@u

@t

¸2

= 2

µ@u

@t

¶±

µ@u

@t

¶(3.19)

±

·@2u

@x2

¸2

= 2

µ@2u

@x2

¶±

µ@2u

@x2

¶(3.20)

Introduciendo las ecuaciones(3.19) y (3.20) en (3.18) y simpli…cando:

±

Z t2

t1

(T ¡ V )dt =

Z t2

t1

·Z l

0m

@u

@t±

µ@u

@t

¶dx ¡

Z l

0EI

µ@2u

@x2

¶±

µ@2u

@x2

¶dx+

Z l

0pudx

¸dt = 0

(3.21)

Cambiando el orden de la integración y asumiendo que los operadores de variación (±) y

diferenciación son conmutativos, el primer término de la ecuación (3.21) queda:

Z t2

t1

Z l

0m

@u

@t±

µ@u

@t

¶dx =

Z l

0

Z t2

t1

m@u

@t

@

@t(±u)dtdx (3.22)

Integrando por partes la integral anterior:

Z l

0

Z t2

t1

m@u

@t

@

@t(±u) dtdx =

Z l

0

(·m

@u

@t±u

¸t2

t1

¡Z t2

t1

±u

µm

@2u

@t2

¶dt

)dx (3.23)

Como ±u = 0 en t1 y t2, entonces£m(x)@u

@t ±u¤t2

t1= 0:

Z t2

t1

Z l

0m

@u

@t±

µ@u

@t

¶dx = ¡

Z l

0

Z t2

t1

µm

@2u

@t2

¶±udtdx (3.24)

= ¡Z t2

t1

Z l

0

µm

@2u

@t2

¶±udxdt (3.25)

52

Ahora analizamos la integral del segundo término de (3.21):

Z l

0EI

µ@2u

@x2

¶±

µ@2u

@x2

¶dx =

Z l

0EI

@2u

@x2

@2

@x2(±u)dx (3.26)

Integrando por partes dos veces consecutivas:

Z l

0EI

@2u

@x2

@2

@x2(±u) dx =

·EI

@2u

@x2

@

@x(±u)

¸l

0

¡Z l

0

@

@x

µEI

@2u

@x2

¶@

@x(±u) dx (3.27)

=

·EI

@2u

@x2±

µ@u

@x

¶¸l

0

¡·

@

@x

µEI

@2u

@x2

¶±u

¸l

0

+ (3.28)

+

Z l

0

@2

@x2

µEI

@2u

@x2

¶(±u)dx

Sustituyendo las ecuaciones (3.25) y (3.28) en (3.21) llegamos a:

±

Z t2

t1

(T ¡ V ) dt =

264 R l0

n¡m @2

@t2 ¡ @2

@x2

³EI @2u

@x2

´+ p

o±udx ¡

hEI @2u

@x2 ±¡

@u@x

¢il

0+

+h

@@x

³EI @2u

@x2

´±u

il

0

375 (3.29)

Como ±u es arbitrario, el término entre corchetes de la ecuación (3.29) debe ser cero para

que la ecuación (3.29) se satisfaga. Es decir:

@2u

@x2

µEI

@2u

@x2

¶+m

@2u

@t2¡ p = 0 (3.30)

La ecuación (3.30) es la ecuación de movimiento y es idéntica a la expresión (3.9), deducida

en la sección anterior. Los demás términos también deben ser nulos, es decir:

·EI

@2u

@x2±

µ@u

@x

¶¸l

0

= 0 (3.31)·@

@x

µEI

@2u

@x2

¶±u

¸l

0

= 0 (3.32)

La ecuación (3.31) se satisface cuando la pendiente es cero:

53

±

µ@u

@x

¶= 0 (3.33)

o el momento ‡ector es cero:

EI@2u

@x2= 0 (3.34)

La ecuación (3.32) se satisface cuando el desplazamiento es cero:

±u = 0 (3.35)

o el esfuerzo de corte es cero:

@

@x

µEI

@2u

@x2

¶= 0 (3.36)

Las condiciones referidas a desplazamientos o pendientes se llaman condiciones de contorno

geométricas o esenciales, mientras que las condiciones referidas a los momentos ‡ectores y

esfuerzos de corte se denominan condiciones de contorno naturales o de fuerza.

3.2 Análisis en vibraciones libres

Para obtener la repuesta de un sistema continuo en vibraciones libres debemos resolver la

ecuación de movimiento, como veremos a continuación.

Recordamos la ecuación de movimiento deducida en la sección anterior:

@2u

@x2

µEI

@2u

@x2

¶+ ½A(x)

@2u

@t2¡ p = 0

Donde hemos expresado a la masa por unidad de longitud de la viga m(x), en función de

la densidad del material ½(x) y el área de la sección transversal A(x):

54

m(x) = ½A(x) (3.37)

Si suponemos que los valores de E; I; A y ½ son constantes a lo largo de la longitud de la

viga y además asumimos que la carga externa p es cero, la ecuación de movimiento queda:

EI@4u

@x4+ ½A

@2u

@t2= 0 (3.38)

Se propone una solución de la forma:

u(x; t) = Ã(x)q(t) (3.39)

Reemplazando esta solución en la ecuación de movimiento:

EIÃiv(x)q(t) + ½AÃ(x)¢¢q (t) = 0 (3.40)


EIÃiv(x)

Ã(x)= ¡½A

¢¢q (t)

q(t)(3.41)

Ãiv(x)

Ã(x)= ¡½A

EI

¢¢q (t)

q(t)= constante = a4 (3.42)

Donde hemos designado a4 a la constante considerada, por conveniencia para el desarrollo

matemático. Esta ecuación conduce a dos ecuaciones diferenciales separadas en t y x.

En la variable q(t) se tiene:

¢¢q (t) + !2q(t) = 0; donde !2 ´ a4 EI

½A(3.43)

55

que tiene la conocida solución:

q(t) = A sin(!t) +B cos(!t) (3.44)

en la cual las constantes A y B se ajustan con las condiciones iniciales de desplazamiento y

velocidad.

En la variable Ã(x) se tiene:

Ãiv(x)¡ a4Ã(x) = 0 (3.45)

siendo:

a =

µ½A

EI

¶ 14 p

! (3.46)

Si proponemos la siguiente solución:

Ã(x) = G exp(sx) (3.47)

llegamos a:

¡s4 ¡ a4

¢G exp(sx) = 0 (3.48)

De la ecuación (3.48) se llega a:

s1;2 = §ia s3;4 = §a (3.49)

Incorporando cada una de estas raíces en la ecuación (3.48) y sumando los cuatro términos

resultantes, llegamos a la solución completa:

56

Figura 3-2: Convención de signos para vibracción transversal

Ã(x) = G1 exp(iax) +G2 exp(¡iax) +G3 exp(ax) +G4 exp(¡ax) (3.50)

en la cual los coe…cientes G1, G2, G3, y G4 deben ser tratados como coe…cientes comple-

jos. Expresando las funciones exponenciales en términos de sus componentes trigonométricos e

hiperbólicos llegamos a:

Ã(x) = C1 sin(ax) +C2 cos(ax) +C3 sinh(ax) +C4 cosh(ax) (3.51)

donde los coe…cientes C1, C2, C3, y C4 son constantes reales. Estas constantes deben ser

evaluadas para satisfacer las condiciones de contorno, y determinan las formas de vibrar de la

viga.

3.3 Ejemplos ilustrativos

En esta sección se muestra mediante ejemplos, el método de cálculo de las frecuencias naturales

y modos de vibración, de vigas sometidas a diferentes tipos de condiciones de contorno.

3.3.1 Convención de signos

En la …gura (3-2-a) se observa un elemento en vibración transversal, modelado por dos nodos

en los extremos de la viga.

57

Para el planteo de las condiciones de contorno nos referiremos a las acciones sobre los nodos,

tal como se observa en el esquema libre de la …gura (3-2-b). En este esquema libre se puede

apreciar el sentido que vamos a adoptar para las fuerzas y momentos. Al seguir esta convención

de signos la relación entre el momento ‡ector y el esfuerzo de corte es la siguiente:

V = ¡@M

@x(3.52)

donde:

M = EI@2u

@x2(3.53)

3.3.2 Viga cantilever

Consideremos una viga empotrada en un extremo y libre en el otro, tal como se muestra en la

…gura (3-3).

Las condiciones de contorno en este caso son las siguientes:

El nodo (1) se encuentra empotrado por lo tanto la pendiente y el desplazamiento deben

ser cero:

u(0; t) = Ã(0) = 0 (3.54)

@u

@x(0; t) = Ãp(0) = 0 (3.55)

El nodo (2) está libre por lo tanto se debe cumplir:

M(l) =

·EI

@2u

@x2

¸x=l

= EIÃpp(l) = 0 (3.56)

V (l) = ¡·

@M

@x

¸x=l

= ¡EIÃppp(l) = 0 (3.57)


58

Ã(x) = C1 sin(ax) +C2 cos(ax) +C3 sinh(ax) +C4 cosh(ax) (3.58)

Ãp(x) = a [C1 cos(ax)¡ C2 sin(ax) +C3 cosh(ax) +C4 sinh(ax)] (3.59)

Ãpp(x) = a2 [¡C1 sin(ax)¡ C2 cos(ax) +C3 sinh(ax) +C4 cosh(ax)] (3.60)

Ãppp(x) = a3 [¡C1 cos(ax) +C2 sin(ax) +C3 cosh(ax) +C4 sinh(ax)] (3.61)

Desarrollamos la ecuación (3.54):

Ã(0) = C1 sin(a0) +C2 cos(a0) +C3 sinh(a0) +C4 cosh(a0) = 0 )) C2 +C4 = 0 (3.62)

desarrollamos la ecuación (3.55):

Ãp(0) = a [C1 cos(a0)¡ C2 sin(a0) +C3 cosh(a0) +C4 sinh(a0)] = 0 )) C1 +C3 = 0 (3.63)


EIÃpp(l) = EIa2 [¡C1 sin(al)¡ C2 cos(al) +C3 sinh(al) +C4 cosh(al)] = 0 )) ¡C1 sin(al)¡ C2 cos(al) +C3 sinh(al) +C4 cosh(al) = 0 (3.64)


V (l) = ¡EIÃppp(l) = ¡EIa3 [¡C1 cos(al) +C2 sin(al) +C3 cosh(al) +C4 sinh(al)] = 0 )) ¡C1 cos(al) +C2 sin(al) +C3 cosh(al) +C4 sinh(al) = 0 (3.65)

Espresando el sistema de ecuaciones de contorno formado por las ecuaciones (3.62), (3.63),

(3.64) y (3.65), en forma matricial llegamos a:

59

Figura 3-3: Viga Cantilever

266666640 1 0 1

1 0 1 0

¡ sin(al) ¡ cos(al) sinh(al) cosh(al)

¡ cos(al) sin(al) cosh(al) sinh(al)

37777775

26666664C1

C2

C3

C4

37777775 =266666640

0

0

0

37777775 (3.66)

Para que este sistema de ecuaciones tenga solución distinta de la trivial, la matriz de condi-

ciones de contorno debe ser singular por lo tanto, la existencia de una solución para una forma

de vibración natural requiere:

det [Bc]=0 (3.67)

Donde Bc es la matriz de condiciones de contorno.

Esta ecuación representa la ecuación de las frecuencias naturales del sistema ya que el

parámetro a puede expresarse como función de dicha frecuencia. Esta ecuación posee in…ni-

tas raíces, y puede ser resuelta de manera numérica para un número deseado de frecuencias

naturales.

Si cada frecuecia natural obtenida es introducida separadamente en la ecuación matricial

(3.66), pueden calcularse los cuatro coe…cientes de forma modal C. Estos quedan indetermina-

dos en una consatante.

Fijando valores a las propiedades del elemento, hemos resuelto numéricamente este ejemplo.

La …gura (3-4) muestra la ecuación de las frecuencias naturales y en la …gura (3-5) se pueden

apreciar los primeros modos de vibrar.

60

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

x 1 01 2

W


de

t(B

c)

w 1 w 2 w 3

Figura 3-4: Viga cantilever: ecuación de las frecuencias naturales

0 l/4 l/2 3l/4 l

0

Phi1(

X)

0 l/4 l/2 3l/4 l

0

Phi2(

X)

0 l/4 l/2 3l/4 l

0Phi3(

X)

Figura 3-5: Viga Cantilever: primeros modos de vibrar

61

u

xm.E,I

Figura 3-6: Viga simplemente apoyada

3.3.3 Viga simplemente apoyada

Las condiciones de contorno para esta viga son las siguientes:

Para el nodo (1)

u(0; t) = Ã(0) = 0 (3.68)

M(0) = EIÃpp(0) = 0 (3.69)

Para el nodo (2)

u(l; t) = Ã(l) = 0 (3.70)

M(l) = EIÃpp(l) = 0 (3.71)

Desarrollando la ecuación (3.68):



62

EIÃpp(0) = EIa2 [¡C1 sin(a0)¡ C2 cos(a0) +C3 sinh(a0) +C4 cosh(a0)] = 0 )) ¡C2 +C4 = 0 (3.73)


Ã(l) = C1 sin(al) +C2 cos(al) +C3 sinh(al) +C4 cosh(al) = 0 (3.74)


EIÃpp(l) = EIa2 [¡C1 sin(al)¡ C2 cos(al) +C3 sinh(al) +C4 cosh(al)] = 0 )) ¡C1 sin(al)¡ C2 cos(al) +C3 sinh(al) +C4 cosh(al) = 0 (3.75)

Espresando el sistema de ecuaciones de condiciones contorno formado por las ecuaciones

(3.72), (3.73), (3.74) y (3.75), en forma matricial llegamos a:

266666640 1 0 1

0 ¡1 0 1

sin(al) cos(al) sinh(al) cosh(al)

¡ sinh(al) ¡ cosh(al) sinh(al) cosh(al)

37777775

26666664C1

C2

C3

C4

37777775 =266666640

0

0

0

37777775 (3.76)

Luego procedemos de manera análoga al caso de la viga cantilever, para calcular las frecuencias

naturales y las formas de vibrar.

Fijando valores a las propiedades de la viga, hemos resuelto numéricamente este ejemplo.



3.3.4 Dos vigas en serie de diferentes propiedades

La …gura (3-9) muestra una viga de dos tramos, de propiedades mecánicas diferentes diferentes.

Al tener dos vigas de diferentes propiedades, de…nimos:

63

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0

- 3

- 2

- 1

0

1

2

x 1 01 4

W


de

t(B

c)

w 1 w 2 w 3

Figura 3-7: Viga simplemente apoyada: ecuación de las frecuencias naturales

0 l/4 l/2 3l/4 l

0Phi1(

X)

0 l/4 l/2 3l/4 l

0

Phi2(

X)

0 l/4 l/2 3l/4 l

0

Phi3(

X)

Figura 3-8: Viga simplemente apoyada: primeros modos de vibrar

64

1u 2u

111 ,, IEm 222 ,, IEm

1l

1x 2x

2l

)( 11 lM )0(2M

)( 11 lV )0(2V )( 22 lV

Figura 3-9: Viga de dos tramos

a1 =

µm1

E1I1

¶ 14 p

! =

µ½1A1

E1I1

¶ 14 p

! (3.77)

a2 =

µm2

E2I2

¶ 14 p

! =

µ½2A2

E2I2

¶ 14 p

! (3.78)

Ã1(x1) = C1 sin(a1x1) +C2 cos(a1x1) +C3 sinh(a1x1) +C4 cosh(a1x1) (3.79)

Ã2(x2) = C5 sin(a2x2) +C6 cos(a2x2) +C7 sinh(a2x2) +C8 cosh(a2x2) (3.80)

Ahora analizaremos las condiciones de contorno.

El nodo (1) se encuentra empotrado por lo tanto el desplazamiento y la pendiente deben

ser cero:

u1(0; t) = Ã1(0) = 0 (3.81)

@u1

@x1(0; t) = Ãp

1(0) = 0 (3.82)

El nodo (2) representa un apoyo simple, por lo tanto los desplazamientos verticales de las

dos vigas que concurren al nodo son nulos. También se debe plantear en este nodo equilibrio

de momentos y compatiblidad de rotaciones.

65

u1(l1; t) = Ã1(l1) = 0 (3.83)

u2(0; t) = Ã2(0) = 0 (3.84)

Equilibrio de momentos:

¡M1(l1) +M2(0) = ¡E1I1Ãpp1(l1) +E2I2Ãpp

2(0) = 0 (3.85)

Compatibilidad de rotaciones

@u1

@x1(l1; t) =

@u2

@x2(0; t) )

) Ãp1(l1)¡ Ãp

2(0) = 0 (3.86)

El apoyo del nodo (3) restringe las rotaciones y permite el desplazamiento vertical, por lo

tanto, debemos plantear:

@u2

@x2(l2; t) = Ãp

2(l2) = 0 (3.87)

Equilibrio de fuerzas verticales:

¡V2(l2) = ¡E2I2@M2

@x2(l2) = E2I2Ãppp

2 (l2) = 0 (3.88)

El sistema de ecuaciones de contorno queda conformado por las ecuaciones (3.81), (3.82),

(3.83), (3.84), (3.85), (3.86), (3.87), y (3.88). De forma matricial se tendrá:

[Bc][Ci] = 0 (3.89)

Donde [Bc] es una matriz cuadrada de tiene dimensión (8£ 8) y [Ci] es el vector columna

formado por los coe…cientes de las formas modales de las vigas.

Procedemos de manera análoga a los casos anteriores, para calcular las frecuencias naturales

66

0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0

- 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4x 1 0

1 5

W


de

t(B

c)

w 1 w 2 w 3

Figura 3-10: Viga de dos tramos: ecuación de las frecuencias naturales

y las formas de vibrar.

Fijando valores a las propiedades de la viga, hemos resuelto numéricamente este ejemplo.



3.3.5 Condiciones de contorno no homégenas

Se analiza en el siguiente ejemplo, el caso de una viga cantilever que posee una masa concentrada

en su extremo libre.

Condiciones de contorno:

El nodo (1) se encuentra empotrado, por lo tanto el desplazamiento y la pendiente son nulos:

u(0; t) = Ã(0) = 0 (3.90)

@u

@x(0; t) = Ãp(0) = 0 (3.91)

El nodo (2) está libre y posee un elemento concentrado de masa M , e inercia Io.

Planteando en este nodo la ecuación de Newton en su forma lineal (P

F = ma) y en su

forma angular (P

¿ = I®):

67

0 L1-0 L2

0

Phi1(

X)

0 L1-0 L2

0Phi2(

X)

0 L1-0 L2

0

Phi3(

X)

Figura 3-11: Viga de dos tramos: primeras formas de vibrar

IEm ,,

)(lM

)(lV

2

2

0 tI

∂∂ θ

0M 0I

2

2

0 txM

∂∂

l

Figura 3-12: Viga con un masa concentrada en uno de sus extremos

68

NeXi=1

Fh2ii = ¡V (l) = M0

¢¢x (3.92)

NeXi=1

Mh2ii = ¡M(l) = I0

¢¢µ (3.93)

donde Ne es el número de barras que concurren al nodo, siendo en nuestro caso Ne = 1:

Desarrollamos la ecuación (3.90):



Ãp(0) = a [C1 cos(a0)¡ C2 sin(a0) +C3 cosh(a0) +C4 sinh(a0)] = 0 )) C1 +C3 = 0 (3.95)

Separando variables en la ecuación (3.92) y recordando que¢¢q(t)q(t) = ¡!2

¡V (l) = EIÃppp(l)q(t) = M0Ã(l)¢¢q (t) (3.96)

EIÃppp(l) = M0Ã(l)

¢¢q (t)

q(t)(3.97)

EIÃppp(l) = ¡!2M0Ã(l) (3.98)

desarrollamos ahora la ecuación (3.98) y obtenemos:

0 = EIa3 [¡C1 cos(al) +C2 sin(al) +C3 cosh(al) +C4 sinh(al)] + (3.99)

+!2M0 [C1 sin(al) +C2 cos(al) +C3 sinh(al) +C4 cosh(al)] (3.100)

Separamos variables en la ecuación (3.93):

69

¡M(l) = ¡EIÃpp(x)q(t) = I0Ãp(x)¢¢q (t) (3.101)

¡EIÃpp(l) = I0Ãp(l)

¢¢q (t)

q(t)(3.102)

EIÃpp(l) = !2I0Ãp(l) (3.103)

Desarrollamos ahora la ecuación (3.103):

0 = EIa2 [¡C1 sin(al)¡ C2 cos(al) +C3 sinh(al) +C4 cosh(al)]¡¡!2I0a [C1 cos(al)¡ C2 sin(al) +C3 cosh(al) +C4 sinh(al)] (3.104)

Expresamos el sistema de ecuaciones de contorno formado por (3.94), (3.95), (3.100), y

(3.104) en forma matricial:

[Bc][Ci] = 0 (3.105)

donde:

[Bc] =

26666666666664

1 0 1 0

0 1 0 1

[¡EIa3 cos(al)+

+M0!2 sin(al)]

[EIa3 sin(al)+

+M0!2 cos(al)]

[EIa3 cosh(al)+

+M0!2 sinh(al)]

[EIa3 sinh(al)+

+M0!2 cosh(al)]

[¡EIa2 sin(al)¡¡I0!2a cos(al)]

[¡EIa2 cos(al)+

+I0!2a sin(al)]

[EIa2 sinh(al)¡¡I0!2a cosh(al)]

[EIa2 cosh(al)¡¡I0!2a sinh(al)]

37777777777775(3.106)

La …gura (3-13) muestra la ecuación de las frecuencias naturales y en la …gura (3-14) están

representados los primeros modos de vibrar. Para obtener estos resultados hemos …jado valores

numéricos a las propiedades de los elementos.

70

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

x 1 01 7

W


de

t(B

c)

W 1 W 2 W 3 W 4

Figura 3-13: Viga con una masa concentrada: ecuación de las frecuencias naturales

0 L

0Phi1(

X)

0 L

0Phi2(

X)

0 L

0

Phi3(

X)

0 L

0

Phi4(

X)

Figura 3-14: Viga con una masa concentrada: primeros modos de vibración

71

Capítulo 4

ANÁLISIS GENERAL DE LAS

ECUACIONES DE CONTORNO

En los capitulos 2 y 3 hemos estudiado en profundidad el problema de valores propios para

elementos en vibración axial, torsional y ‡exional. Basados en estos conocimientos desarrol-

laremos una metodología para el planteo general de las condiciones de borde de estructuras

formadas por los elementos continuos mencionados.

4.1 Conceptos de cinemática

En esta sección se de…nen algunos conceptos de cinemática que facilitarán el planteo de las

ecuaciones, y permitirán la implementación computacional del método.

4.1.1 Versores de dirección

Hemos de…nido a los elementos mediante nodos en sus extremos. Con las coordenadas de los

nodos referidas a un sistema global de referencia XgYgZg podemos de…nir, el versor de dirección

de I a J de un elemento recto como:

ºx =J ¡ I

jJ ¡ Ij = [cos®x; cos¯x; cos °x] (4.1)

Siendo:

®x el ángulo entre ºx y el eje Xg positivo

¯x el ángulo entre ºx y el eje Yg positivo

°x el ángulo entre ºx y el eje Zg positivo

72

xν

yν

zν

p

x

z

gXgY

gZ

y

Figura 4-1: Direcciones locales de un elemento

Si de…nimos la dirección del eje local y de elemento mediante un vector ¡!p , el versor de

dirección de I a p será:

ºy =¡!pj¡!p j = [cos®y; cos¯y; cos °y] (4.2)

Siendo:

®y el ángulo entre ºy y el eje Xg positivo

¯y el ángulo entre ºy y el eje Yg positivo

°y el ángulo entre ºy y el eje Zg positivo

El eje z local del elemento se de…ne como la dirección perpendicular al plano formado por

los vectores ºx y ºy, por lo tanto el versor en esta dirección será:

ºz = ºx £ ºy = [cos®z; cos¯z; cos °z] (4.3)

Siendo:

®z el ángulo entre ºz y el eje Xg positivo

¯z el ángulo entre ºz y el eje Yg positivo

°z el ángulo entre ºz y el eje Zg positivo

Los versores de dirección ºx, ºy y ºz de…nen las direcciones locales x; y y z del elemento tal

73

xu

yu

zu

xθ

zθ

x

y

z

gXgY

gZ

yθ

Figura 4-2: Desplazamientos asociados a las direcciones locales del elemento

como se muestra en la …gura (4-1)

4.1.2 Esfuerzos y desplazamientos locales

La …gura (4-2) muestra los desplazamientos asociados a las direcciones locales de un elemento.

En la …gura (4-3) se pueden apreciar los esfuerzos locales del elemento.

Utilizamos la siguiente nomenclatura:

Llamamos u a los desplazamientos:

u =

26664ux

uy

uz

37775Ã Desplazamiento en dirección x

Ã Desplazamiento en dirección y

Ã Desplazamiento en dirección z

y µ a las rotaciones:

µ =

26664µx

µy

µz

37775Ã Rotación en dirección x

Ã Rotaciónen en dirección y

Ã Rotación en dirección z

Designamos con S a las fuerzas sobre el elemento.

74

gZ

gYgX

x

y

z

xSxSθ

yS

ySθ

zS

zSθ

Figura 4-3: Esfuerzos asociados a las direcciones locales del elemento

S =

26664Sx

Sy

Sz

37775Ã Esfuerzo normal (dirección x)

Ã Esfuerzo de corte en direccioón y

Ã Esfuerzo de corte en dirección z

y con Sµ a los momentos sobre el elemento:

Sµ =

26664Sµx

Sµy

Sµz

37775Ã Momento torsor (dirección x)

Ã Momento ‡ector según y

Ã Momento ‡ector según z

4.1.3 Relación entre deformaciones y desplazamientos nodales

Si denominamos v a la deformación correspondiente a uno de los nodos de un elemento e y a

los desplazamientos de los grados de libertad del nodo:

v = Lvy (4.4)

Donde Lv es la tranformación cinemática que relaciona deformaciones y grados de libertad.

75

3y

2y

1y

Figura 4-4: Reticulado de tres barras

De la misma manera si llamamos vµ a la deformación rotacional correspondiente a uno de

los nodos de un elemento e yµ a los desplazamientos de los grados de libertad rotacionales del

nodo:

vµ = Lvµyµ (4.5)

Siendo Lvµla relación de cinemática entre deformaciones rotacionales y rotaciones nodales.

4.1.4 Proyección de fuerzas y momentos locales en el sistema global

Si queremos proyectar una fuerza S o un momento Sµ en la direcciones de los grados de libertad,

utilizamos las relaciones cinemáticas vistas anteriormente:

F = [Lv]T [S] (4.6)

Fµ = [Lvµ]T [Sµ] (4.7)

Donde F son fuerzas asociadas a los grados de libertad de traslación y Fµ los momentos

asociados a los grados de libertad rotacionales.

4.1.5 Ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de deformaciones

Mediante un ejemplo vamos explicar cómo se plantean las ecuaciones de compatibilidad de

deformaciones y equilibrio de fuerzas utilizando los conceptos de cinemática vistos hasta ahora.

76

Se analizan a continuación, las ecuaciones a plantear para el nodo (2) del reticulado de tres

barras de la …gura (4-4).

Como se observa en la …gura, el nodo considerado tiene dos grados de libertad, por lo tanto:

y =

24 y1

y2

35 (4.8)

Debemos plantear para este nodo:

² Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones.

² Ecuaciones de equilibrio de fuerzas en las direcciones de los grados de libertad.

Versores de dirección de los elementos

El elemento [1] conecta el nodo (1) con el nodo (2), por lo tanto:

[ºx]1 =J ¡ I

jJ ¡ Ij = [cos (®x)1 ; cos (¯x)1 ; cos (°x)1] (4.9)

y el elemento [2] conecta el nodo (2) con el nodo (3):

[ºx]2 =J ¡ I

jJ ¡ Ij = [cos (®x)2 ; cos (¯x)2 ; cos (°x)2] (4.10)

Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones

Se debe cumplir:

u1(l1) = v1 (4.11)

u2(0) = v2 (4.12)

Donde hemos igualado los desplazamientos de los elementos con concurren al nodo (2) con

las deformaciones de dichos elementos en el nodo considerado.

Utilizando la relación cinemática (4.4), desarrollamos la ecuación (4.11):

77

v1 = [Lv]1 y (4.13)

v1 =hcos (®x)1 cos (¯x)1

i 24 y1

y2

35 (4.14)

de igual manera desarrollamos la ecuación (4.12):

v2 = [Lv]2 y (4.15)

v2 =hcos (®x)2 cos (¯x)2

i 24 y1

y2

35 (4.16)

Por lo tanto las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para el nodo (2) son:

u1 (l1) = [Lv]1 y (4.17)

u1 (l1) =hcos (®x)1 cos (¯x)1

i 24 y1

y2

35 (4.18)

u2 (0) = [Lv]2 y (4.19)

u2 (0) =hcos (®x)2 cos (¯x)2

i 24 y1

y2

35 (4.20)

Ecuaciones de equilibrio

Debemos plantear la siguiente ecuación de equilibrio de fuerzas:

F1 + F2 = 0 (4.21)

Utilizando la expresión (4.6):

[Lv]T1 f[Sx]1 (l1)g+ [Lv]

T2 f[Sx]2 (0)g = 0 (4.22)

78

Donde f[Sx]1 (l1)g es el esfuerzo normal del elemento [1] evaluado en x = l1 y f[Sx]2 (0)g es

el esfuerzo normal del elemento [2] evaluado en x = 0:


[Lv]1 =hcos (®x)1 cos (¯x)1

i(4.23)

[Lv]2 =hcos (®x)2 cos (¯x)2

i(4.24)

La ecuación de equilibrio de fuerzas para el nodo (2) es:

24 cos (®x)1

cos (¯x)1

35 f[Sx]1 (l1)g+24 cos (®x)2

cos (¯x)2

35 f[Sx]2 (0)g = 0 (4.25)

4.2 Planteo general de las ecuaciones de contorno

En esta sección se formula una metodología para el planteo de condiciones de borde de estruc-

turas formadas por elementos continuos.

Se estudian estructuras en las cuales, los desplazamientos nodales tienen el carácter de

grados de libertad o de desplazamientos restringidos. Es decir, analizaremos estructuras bajo

la presencia de apoyos estructurales ideales, que restringen ciertos desplazamientos nodales.

La especi…cación de las condiciones cinemáticas de los desplazamientos nodales de la es-

tructura, nos va a permitir el plantear el número correcto de ecuaciones de contorno. El tipo

de ecuación a plantear está determinado por las condiciones cinemáticas del nodo, y por las

características de los elementos que concurren a él. En el presente trabajo nos referiremos a

elementos simples, como barras, vigas y ejes en torsión, de propiedades uniformes. Estos ele-

mentos han sido estudiados en detalle en los capítulos 2 y 3. Los ejemplos resueltos en dichos

capítulos son los que justi…can el siguiente planteo.

4.2.1 Consideraciones sobre las condiciones de contorno

Número de incógnitas

Los coe…cientes de las formas modales de los elementos que integran la estructura constituyen

las incógnitas del problema de valores propios para sistemas continuos. Hemos visto, que al

79

considerar estructuras con elementos dispuestos en direcciones distintas a la local, se presentan

como incógnitas adicionales a los desplazamientos de los grados de libertad.

Para que el planteo de las condiciones de contorno, sea lo más general posible, las incóngnitas

a considerar serán las siguientes:

² Los coe…cientes de las formas modales de todos los elementos de la estructura.

² Los desplazamientos de los grados de libertad.

4.3 Metodología de análisis

Para el análisis de la ecuaciones de contorno, consideramos cada nodo de la estructura. Para

cada nodo considerado dividimos el estudio en dos partes:

(i) Ecuaciones a plantear para las condiciones cinemáticas de los desplazamientos nodales.

(ii) Ecuaciones a plantear para las condiciones cinemáticas de las rotaciones nodales.

4.3.1 Análisis de las condiciones cinemáticas de desplazamiento

El siguiente análisis se hace para los elementos barra y viga que concurren al nodo considerado.

Se pueden presentar dos casos:

Todos los desplazamientos se encuentran restringidos.

En este caso, si n es el número de elementos que concurren al nodo, debemos plantear:

u1(0 j l1) = 0

u2(0 j l2) = 0

...

un(0 j ln) = 0 (4.26)

Donde ui(0 j li) representa el desplazamiento del elemento i evaluado en x = 0 ó x = li,

dependiendo de qué extremo del elemento corresponde al nodo considerado.

Existen desplazamientos nodales libres

Debemos en este caso plantear ecuaciones de equilibrio y ecuaciones de compatibidad de defor-

maciones.

80

Compatiblilad de desplazamientos Teniendo en cuenta la ecuación (4.4), para los

elementos que concurren al nodo se debe cumplir:

u1(0 j l1) = [Lv]1 [y]

u2(0 j l2) = [Lv]2 [y]...

un(0 j ln) = (Lv)n [y] (4.27)

Ecuaciones de equilibrio de fuerzas Haciendo uso de la ecuación (4.6), planteamos

ecuaciones de equilibrio en las direcciones de los grados de libertad.

F1 + F2 + ¢ ¢ ¢ Fn = 0 (4.28)

[Lv]T1 [S1(0 j l1)] + [Lv]T2 [S2(0 j l2)] + ¢ ¢ ¢+ [Lv]Tn [Sn(0 j ln)] = 0 (4.29)

Donde Si puede ser un esfuerzo normal o de corte, dependiendo del elemento que se trate.

La expresión reducida de (4.29) es:

nXi=1

[Lv]Ti [Si(0 j li)] = 0 (4.30)

4.3.2 Análisis de las condiciones cinemáticas de rotación

El siguiente análisis se hace para los elementos viga y eje que concurren al nodo considerado.

Se pueden presentar dos casos:

Todas los rotaciones nodales se encuentran restringidas

Si n es el número de elementos que concurren al nodo, debemos plantear:

81

µ1(0 j l1) = 0

µ2(0 j l2) = 0

...

µn(0 j ln) = 0 (4.31)

Donde µi(0 j li) representa la rotación del elemento i evaluada en x = 0 ó x = li, dependiendo

de qué extremo del elemento corresponde al nodo considerado.

Existen rotaciones nodales libres

Debemos plantear ecuaciones de equilibrio de momentos, y ecuaciones de compatiblidad de

rotaciones.

Compatiblidad de rotaciones Haciendo uso de la ecuación (4.5) planteamos las sigu-

ientes ecuaciones:

µ1(0 j l1) = [Lvµ]1 [yµ]

µ2(0 j l2) = [Lvµ]2 [yµ]

...

µn(0 j ln) = [Lvµ]n [yµ] (4.32)

Ecuaciones de equilibrio de momentos Planteamos ecuaciones de equilibrio de mo-

mentos, en las direcciones de los grados de libertad:

(Fµ)1 + (Fµ)2 + ¢ ¢ ¢ (Fµ)n = 0 (4.33)

[Lvµ]T1 [(Sµ)1 (0 j l1)] + [Lvµ

]T2 [(Sµ)2 (0 j l1)] + ¢ ¢ ¢+ [Lvµ]Tn [(Sµ)n (0 j ln)] = 0 (4.34)

Donde (Sµ)i puede ser un momento torsor o un momento ‡ector, dependiendo del elemento

que se trate. La expresión reducida de (4.34) es:

82

1y2y

3y4y

5y6y

7y

(a)

(b)

Figura 4-5: Reticulado con una masa concentrada

nXi=1

[Lvµ]Ti [(Sµ)i (0 j li)] = 0 (4.35)

4.3.3 Condiciones de contorno no homogéneas

Si existen masas e inercias rotacionales concentradas en los nodos de la estructura, las ecuaciones

de equilibrio de fuerzas y momentos dejan de ser homegéneas. El resto de las ecuaciones de borde

del nodo no se modi…can. Analizaremos a continuación, cómo manejar estos casos mediante un

ejemplo.

Presencia de masas concentradas

En la …gura (4-5-a) se observa un reticulado plano de siete elementos, que posee una masa

concentrada M en el nodo (3). Se pueden apreciar también en esta …gura, las direcciones locales

de las barras. La …gura (4-5-b) muestra los grados de libertad de la estructura.

83

Analizamos a continuación el conjunto de ecuaciones a plantear para el nodo (3), el cual

posee los grados de libertad y3 e :y4

Las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para el nodo considerado son:

u2(l2; t) = [Lv]2

24 y3

y4

35 (4.36)

u3(l3; t) = [Lv]3

24 y3

y4

35 (4.37)

u5(0; t) = [Lv]5

24 y3

y4

35 (4.38)

u6(0; t) = [Lv]6

24 y3

y4

35 (4.39)

La ecuación de equilibrio de fuerzas según los grados de libertad es:

[Lv]T2 f[Sx]2 (l2; t)g+ [Lv]

T3 f[Sx]3 (l3; t)g+ [Lv]

T5 f[Sx]5 (0; t)g+ [Lv]

T6 f[Sx]6 (0; t)g =

24 M¢¢y3

M¢¢y4

35(4.40)

Para obtener las aceleraciones de la ecuación (4.40), debemos conocer los desplazamientos

incógnita y3(x; t) e y4(x; t): Para ello utilizaremos dos de las ecuaciones de compatibidad que

sean linealmente independientes. Esta condición se cumple eligiendo dos elementos cuyos vec-

tores de tranformación cinematica Lv sean indepedientes. Claramente la única combinacion de

elementos que no cumple esta condición es la que corresponde a los elementos [2] y [6]. Nosotros

elegiremos por ejemplo a las ecuaciones correspondientes a los elementos [2] y [5].

u2(l2; t) = [Lv]2

24 y3

y4

35 (4.41)

u5(0; t) = [Lv]5

24 y3

y4

35 (4.42)

Resolviendo este sistema de ecuaciones:

84

24 y3(x; t)

y4(x; t)

35 =24 [Lv]2

[Lv]5

35¡1 24 u2(l2; t)

u5(0; t)

35 (4.43)

Llamamos [R] a la matriz que contiene los vectores Lv de los elementos seleccionados:

[R] =

24 [Lv]2

[Lv]5

35 (4.44)

Por el método se separación de variables llegamos a la siguiente ecuación de equilibrio:

[Lv]T2 f[Sx]2 (l2)g+ [Lv]

T3 f[Sx]3 (l3)g+ [Lv]

T5 f[Sx]5 (0)g+

+[Lv]T6 f[Sx]6 (0)g = ¡M!2 [R]¡1

24 u2(l2)

u5(0)

35 (4.45)

Esta ecuación se puede expresar de manera más conveniente de la siguiente manera:8<:[Lv]T2 f[Sx]2 (l2)g+M!2 [R]¡1

24 u2(l2)

0

359=;+ [Lv]T3 f[Sx]3 (l3)g+

+

8<:[Lv]T5 f[Sx]5 (0)g+M!2 [R]¡1

24 0

u5(0)

359=;+ [Lv]T6 f[Sx]6 (0)g = 0 (4.46)

Proponemos el siguiente procedimiento para formular las ecuaciones de equilibrio de fuerzas

en presencia de masas concentradas:

1. Indenti…car los nodos con masas concentradas.

2. Reconocer los t grados de libertad de traslación del nodo considerado, donde t puede

tomar valores 1, 2 ó 3.

3. Elegir t elementos que concurren al nodo cuyos vectores de tranformación cinemática Lv

sean linealmente independientes.

4. Formar la matriz [R] cuyas …las son los vectores Lv de los elementos seleccionados y

calcular su inversa.

85

5. Calcular el vector [u] que contiene los desplazamientos de los elementos elegidos en el

nodo considerado.

6. Plantear la siguiente ecuación de equilibrio de fuerzas:

nXi=1

[Lv]Ti [Si(0 j li)] +M!2 [R]¡1 [u] = 0 (4.47)

4.3.4 Presencia de inercias rotacionales concentradas

El análisis hecho para masas concentradas es enteramente válido también para inercias rota-

cionales concentradas. En este caso la ecuación de equilibirio de momentos es no homogénea.

Repetimos a continuación el procedimiento descripto anteriormente:

1. Indenti…car los nodos con inercias rotacionales concentradas.

2. Reconocer los t grados de libertad de rotación del nodo considerado, donde t puede tomar

valores 1, 2 ó 3.

3. Elegir t elementos que concurren al nodo cuyos vectores de tranformación cinemática Lvµ

sean linealmente independientes.

4. Formar la matriz [R] cuyas …las son los vectores Lvµde los elementos seleccionados y

calcular su inversa.

5. Calcular el vector [µ] que contiene las rotaciones de los elementos elegidos en el nodo

considerado.

6. Plantear la siguiente ecuación de equilibrio de momentos:

nXi=1

[Lvµ]Ti [(Sµ)i (0 j li)] + I0!2 [R]¡1 [µ] = 0 (4.48)

Donde I0 es la inercia rotacional concentrada.

En el caso de tener valores diferentes de I0 para las direcciones de los grados del libertad

del nodo considerado, debemos multiplicar a cada …la de la matriz [R]¡1 en la ecuación (4.48),

por el valor de inercia rotacional concentrada que corresponda a esa dirección.

86

Capítulo 5

ANÁLISIS COMPUTACIONAL

Con el fundamento teórico de los capítulos 2, 3, y 4 hemos elaborado un conjunto de programas o

funciones para el análisis dinámico de estructuras lineales modelizadas como sistemas continuos.

El propósito de este capítulo es explicar la forma de uso y sintaxis de las funciones desar-

rolladas.

Estas funciones fueron desarrolladas con la …nalidad de ser incorporadas a la caja de her-

ramientas de análisis estructural SAT-Lab, desarrollada por el Prof. José A. Inaudi y el Prof.

Juan C. de la Llera para el ambiente Matlab.

SAT-Lab puede ser de…nido como una caja de herramientas o toolbox para el análisis es-

tático y dinámico de sistemas estructurales y mecánicos. SAT-Lab permite el cálculo de esfuer-

zos internos, deformaciones de elementos estructurales debidos a cargas estáticas y dinámicas.

Incorpora aspectos como generación de geometría, de…nición de grados de libertad, restricciones

cinemáticas, generación automática de elementos, ensamblaje de matrices de rigidez, masa y

amortiguamiento, elementos mecánicos lineales y no lineales, soluciones de problemas en el do-

minio de la frecuencia, viscoelasticidad, solución de problemas estáticos y dinámicos no lineales,

entre otros.

Durante el desarrollo de las funciones para análisis dinámco de sistemas continuos, se siguió

la estructuración de las funciones de SAT-Lab, lo que facilitó en gran medida muchos aspectos

la programación. Se ulizaron también, las diversas herramientas para análisis simbólico de

Matlab (Symbolic Math Toolbox).

87

5.1 Funciones desarrolladas

La tabla que presentamos a continuación, muestra un detalle de las funciones desarrolladas para

el análisis modal de sistemas continuos.

Para mayor claridad vamos a utilizar letra tipo Courier para indicar un comando o variable

en Matlab o el nombre de una función de SAT-Lab nombrada en el texto.

Función Propósito

csbc Construcción de la matriz de condiciones de contorno Bc

csom Cálculo numérico de frecuencias naturales usando el método de bisección

cscc Obtención de los coe…cientes C de la estructura

csmodes Armado de las formas modales de los elementos de la estructura

cstruss Cálculo de condiciones de borde para una barra axial

csbeam Cálculo de condiciones de borde para un viga en ‡exión

csshaft Cálculo de condiciones de borde para un eje en torsión

phitruss Función de forma modal del elemento cstruss

phibeam Función de forma modal del elemento csbeam

phishaft Función de forma modal del elemento csshaft

csloads Obtención del vector de in‡uencia de carga

csmij Elementos de las matriz de masa

csmk Obtención de las matrices de masa y rigidez


La …gura (5-1) muestra un diagrama de bloques que indica los pasos a seguir para la resolución

del problema de vibraciones libres.

A continuación vamos a explicar en detalle cómo realizar las tareas de cada bloque ulizando

las funciones desarrolladas.

5.2.1 De…nición del sistema estructural

En esta sección se explica cómo se de…ne una estructura formada por elementos continuos, tales

como barras, ejes y vigas de propiedades uniformes. Estos elementos han sido estudiados en

profundiadad en los capitulos 2 y 3 del presente trabajo.

88

Definición del sistema estructural formado porelementos continuos:• Matriz de coordenadas nodales: XYZ• Diccionario de elementos: EDICT• Propiedades de los elementos: PROPERTIES• Matriz de elementos: ELEMENTS• Matriz de condiciones cinemáticas de los

desplazamientos nodales: DOF01• Matriz de masas concentradas: MASSES

Construcción de la matriz de condiciones decontorno BCFunción: csbc

Cálculo de frecuencias naturales, resolviendo laecuación: det ( BC ) = 0Función: csom

Cálculo de los coeficientes Ci de las formasmodales de los elementos de la estructura.Se soluciona el siguiente sistema de ecuaciones:

[ BC ]ω [ C ] = 0Función: cscc

Armado de las formas modales de los elementosde la estructura, para cada frecuencia naturalcalculada.Función: csmodes

Figura 5-1: Análisis en vibraciones libres

89

Matriz de coordenadas nodales

Los nodos de una estructura se identi…can con un número entero positivo I único y su posición

se indica por medio de las coordenadas xI , yI , zI en un sistema de referencia cartesiano que se

especi…can en la matriz de coordenadas nodales XYZ.

La …la i de la matriz XYZ representa las coordenadas del nodo I:

XYZ (i; :) =h

xI yI zI

iLa matriz XYZ puede ser ingresada manualemente o mediante las funciones tipo gn de SAT-

lab (ver manual de usario de SAT-LAb).

Diccionario de Elementos

Los nombres de las funciones donde se calculan las condiciones de borde de los elementos

de la estructura, se incluyen en el diccionario EDICT. Estas condiciones de borde, pueden ser

desplazamientos o esfuerzos en los nodos del elemento, y se utilizan para construir la matriz de

condiciones de cortorno Bc:

El diccionario EDICT es una estructura de datos que consta de los siguientes campos:

EDICT.elname = Nombre del elemento

EDICT.cstype = Tipo de elemento continuo

EDICT.mode = Función de forma modal del elemento

El campo elname corresponde a los nombres de las funciones donde se calculan las condi-

ciones de borde de la estructura. Por ejemplo, cstruss es el nombre de la función que calcula

las condiciones de borde de una barra en vibración axial.

Se dispone en SAT-Lab de las siguientes funciones:

Función Propósito

cstruss Condiciones de borde de barra tridimensional en vibración axial

csbeam Condiciones de borde de viga recta tridimensional en vibración transversal

csshaft Condiciones de borde de barra tridimensional en vibración torsional

Las tres funciones que hemos mencionado son utilizadas por la función csbc para la con-

strucción de la matriz de condiciones de contorno Bc de la estrucura. Para el planteo de las

90

ecuaciones de contorno, el programa csbc reconoce los tipos de elementos continuos que con-

stituyen la estructura en base al campo cstype del diccionario EDICT.

La función csbc puede manejar los siguientes tipos de elementos:

Tipo de elemento Comportamiento

t vibración axial pura

b vibración transversal pura

s vibración torsional pura

El campo mode se re…ere a las funciones donde se calculan las formas de vibración de los

elementos de la estructura. Para los elementos continuos disponibles:

Forma modal Descripción

phitruss Función de forma modal del elemento cstruss

phishaft Función de forma modal del elemento csshaft

phibeam Función de forma modal del elemento csbeam

A modo de ejemplo, para una estructura formada barras y vigas continuas de…nimos el

siguiente diccionario EDICT:

EDICT(1).elname=’cstruss’;

EDICT(1).cstype=’t’;

EDICT(1).mode =’phitruss’

EDICT(2).elname=’csbeam’;

EDICT(2).cstype=’b’;

EDICT(2).mode=’phibeam’;

Propiedades de los elementos

En la matriz PROPERTIES se ingresan las propiedades mecáncas de los elementos. Dichas

propiedades se de…nen de acuerdo al orden especi…cado en la función del elemento correspon-

diente. La …la i de PROPERTIES describe las propiedades tipo I.

La primera propiedad a de…nir para cada elemento es el número nce; que indica la cantidad

de coe…cientes que determinan la forma de vibración del elemento. Estos coe…cientes son

incógnitas del problema y por lo tanto determinan la dimensión de la matriz de condiciones de

contorno Bc:

91

Figura 5-2: Reticulado plano con una masa concentrada

En general la matriz PROPERTIES para una estructura formada por los elementos continuos,

tendrá los siguientes tipos de …las:

PROPERTIES=

266642 E A ½ 0 0 0 0

2 G A ½ J 0 0 0

4 E A ½ Iy Px Py Pz

37775Ã(para elemento cstruss)

Ã(para elemento csshaft)

Ã(para elemento csbeam)

Siendo:

E = Módulo de Young del material.

G = Módulo de corte del material.

A = Area de la sección transversal del elemento.

½ = Densidad de masa del material

J = Momento de Inercia polar de la sección

Iy = Momento de Inercia de la sección respecto del eje local y del elemento

Px; Py y Pz de…nen la dirección del eje local y del elemento.

Matriz de elementos (matriz ELEMENTS)

Cada …la de ELEMENTS de…ne los nodos I y J que conecta el elemento, el tipo de elemento

(puntero a EDICT) y el tipo de propiedad (puntero a …la de PROPERTIES).

A modo de ejemplo, consideremos el reticulado ilustrado en la …gura (5-2). Para esta

estructura de…nimos:

EDICT.elname=’cstruss’;

EDICT.cstype=’t’;

EDICT.mode=’phitruss’;

92

E Ã Módulo de Young del material

rho Ã Densidad de masa

A1 Ã Sección de los cordones horizontales

A2 Ã Sección de los montantes

La matriz de propiedades es:

PROPERTIES=

24 2 E A1 rho

2 E A2 rho

35La matriz de elementos es:

ELEMENTS=

26666666666666664

1 2 1 2

1 3 1 1

2 3 1 2

2 4 1 1

3 4 1 2

3 5 1 1

4 5 1 2

37777777777777775Condiciones cinemáticas de los desplazamientos nodales

Estudiaremos estructuras en las cuales, los desplazamientos nodales tienen el carácter de gra-

dos de libertad o de desplazamientos restringidos. Es decir, analizaremos estructuras bajo la

presencia de apoyos estructurales ideales, que restringen ciertos desplazamientos nodales.

La condición cinemática de los desplazamientos nodales se especi…ca utilizando la matriz

DOF01, cuya …la i indica la condición cinemática de los desplazamientos del nodo I en las seis

direcciones. Los desplazamientos nodales que constituyen grados de libertad son identi…cados

por un número 1 (uno) en DOF01. Los desplazamientos restringidos se indican con un 0 (cero)

en DOF01.

La matriz DOF01 puede ser ingresada manualmente o generada automáticamente mediante

la función gdgendof de SAT-Lab.

Para el retiulado plano de la …gura (5-2), la matriz DOF01 es:

DOF01=

26666666664

0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

3777777777593

Matriz de grados de libertad

La matriz de grados de libertad DOFS, se obtiene mediante el etiquetado o numeración de los

grados de libertad indicados en la matriz de condición cinemática de los nodos de la estructura,

DOF01.

La matriz DOFS puede ingresarse manualmente, o generarse de manera automática a partir

de DOF01 mediante la función gdnumdof de SAT-Lab.

Para el reticulado de la …gura (5-2):

DOFS=

26666666664

0 0 0 0 0 0

1 2 0 0 0 0

3 4 0 0 0 0

5 6 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0

37777777775Masas concentradas en la estructura

Si existen nodos de la estructura con masas concentradas, debemos de…nir la matriz MASSES.

En general:

MASSES =

26664...

......

......

......

I Mx My Mz Ixx Iyy Izz

......

......

......

...

37775 (5.1)

El primer elemento I de una …la de MASSES, indica el número de nodo donde se encuentra la

masa concentrada, y los demás elementos representan las propiedades de la masa concentrada

en las seis direcciones.

A modo de ejemplo el reticulado plano de la …gura (5-2), posee una masa concentrada M

en el nodo 3, por lo tanto:

MASSES =h

3 M M M 0 0 0

i(5.2)

94

1x 2x

1l 2l

111 ,, EArho 222 ,, EArho

Figura 5-3: Barra no uniforme

5.2.2 Construcción de la matriz de condiciones de contorno

De…nido el sistema estructural, estamos en condiciones de ensamblar la matriz de condiciones

de contorno. Esta operación se realiza mediante la función csbc, que tiene la siguiente sintaxis:

Para estructuras con masas concentradas:

[Bc,nc,ndofs,cpt]=csbc(XYZ,ELEMENTS,EDICT,PROPERTIES,DOF01,MASSES)

Para estructuras sin masas concentradas:

[Bc,nc,ndofs,cpt]=csbc(XYZ,ELEMENTS,EDICT,PROPERTIES,DOF01)

Esta función tiene como salida:

² La matriz de condiciones de contorno Bc:

² El número nc, que indica el total de coe…cientes de las formas modales de los elementos

de la estructura.

² El número de grados de libertad de la estructura (ndofs).

² Los punteros a los coe…cientes de forma modal de cada elemento (cpt).

A continuación vamos a analizar un ejemplo con el …n de entender mejor la función csbc.

Consideremos la barra no uniforme de la …gura (5-3).

Para la estructura considerada, la entrada de la función csbc es:

XYZ=

266640 0 0

l1 0 0

l2 0 0

37775 ; EDICT=

elname: ’cstruss’

cstype: ’t’

mode: ’phitruss’

PROPERTIES=

24 2 E1 A1 rho1

2 E2 A2 rho2

35 ; ELEMENTS=

24 1 2 1 1

2 3 1 2

3595

DOF01=

266640 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

37775No hemos de…nido la matriz MASSES, porque la estructura no posee masas concentradas.

Después de correr la función csbc, se tendrá una salida del siguiente tipo:

[Bc] Ã Matriz de condiciones de contorno (nc+ndofs £ nc+ndofs)

nc=4 Ã Número total de coeficientes de las formas modales

ndofs=2 Ã Número de grados de libertad

cpt=

24 1 2

3 4

35 Ã Puntero a los coeficientes C del elemento 1

Ã Puntero a los coeficientes C del elemento 2

Los valores de nc, ndofs y cpt, serán utilizados como entrada de funciones en etapas

posteriores y además ayudan a comprender cómo está conformada la siguiente ecuación:

266666666666664

(Bc)11 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ (Bc)16...

. . ....

.... . .

......

. . ....

.... . .

...

(Bc)61 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ (Bc)66

377777777777775

26666666666664

C1

C2

C3

C4

C5

C6

37777777777775=

26666666666664

0

0

0

0

0

0

37777777777775(5.3)

Como nc=4 y ndofs=2, podemos decir que cuatro de los coe…cientes C en la ecuación (5.3),

se re…eren a coe…cientes de participacion modal y los dos coe…cientes restantes representan

grados de libertad de la estructura.

Usando cpt, podemos identi…car:

C1

C2

C3

C4

C5

C6

Ã Primer coe…ciente de forma modal del elemento 1

Ã Segundo coe…ciente de forma modal del elemento 1

Ã Primer coe…cente de forma modal del elemento 2

Ã Segundo coe…ciente de forma modal del elemento 2

Ã Grado de libertad

Ã Grado de libertad

96

5.2.3 Cálculo de las frecuencias naturales

Una vez obtenida la matriz Bc, podemos calcular las frecuencias naturales.

Debemos resolver la siguiente ecuación:

det[Bc] = 0 (5.4)

La expresión (5.4) es la ecuación de la frecuencias naturales de un sistema continuo y por

lo tanto tiene in…nitas raíces.

Podemos resolver numéricamente la ecuación (5.4) para un número …nito de frecuencias

naturales mediante la función csom. Esta función utiliza el método de bisección para el cálculo

de raíces, y posee la siguiente sintaxis:

[om]=csom(Bc,po,dp,nw,tol)

[om]=csom(Bc,po,dp,nw)

Dado el punto de inicio de la iteración po, la función evalúa la ecuación (5.4) a intervalos

dp, hasta que detecta un cambio de signo. De esta manera, se aisla la raíz en un intervalo de

longitud dp, donde se puede aplicar el metódo de bisección para obtener un valor preciso de la

frecuencia natural. El proceso se repite hasta completar el número nw deseado de frecuencias

naturales.

Se tomó el siguiente criterio de convergencia para el método de bisección:

abs [det(Bc)] · ² (5.5)

Donde ² es el valor del error absoluto.

Como a veces resulta imposible cumplir la condición de convergencia dada por (5.5), el

programa limita el número de iteraciones.

El número ² y la cantidad máxima de iteraciones se pueden especi…car en la variable de

entrada tol:

tol=h

² niteri

Cuando no se declara en la entrada la variable tol, el programa toma los siguientes valores

por defecto: ² = 1e ¡ 08; niter = 100

97

La salida del programa es un vector columna om que contiene las nw frecuencias naturales

calculadas:

om =

26666664!1

!2

...

!nw

37777775 (5.6)

5.2.4 Cálculo de los coe…cientes C de la estructura

Una vez obtenidas las frecuencias naturales, estas se reemplazan separadamente en la siguiente

ecuación matricial:

266666666664

(Bc)11 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ (Bc)1n...

. . ....

.... . .

......

. . ....

(Bc)n1 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ (Bc)nn

377777777775!=!i

266666666664

C1

C2

...

...

Cn

377777777775=

266666666664

0

0......

0

377777777775(5.7)

Donde los Ci incluyen los coe…cientes de las formas modales de los elementos de la estructura

y los desplazamientos de los grados de libertad.

Este sistema de ecuaciones se puede resolver despejando uno de los coe…cientes C en función

de los restantes. Este coe…ciente puede tomar cualquier valor numérico, por lo tanto representa

una amplitud arbitraria del modo de vibración. En la práctica se …ja a este coe…ciente con

valor unitario.

Si queremos despejar los coe…cientes Cr en función del coe…ciente Cq, ordenamos …las y

columnas en (5.7) y expresamos:

24 (Bc)qq (Bc)qr

(Bc)rq (Bc)rr

35 24 Cq

Cr

35 =24 0

0

35 (5.8)

Por lo tanto:

98

Cr = ¡ [(Bc)rr]¡1

h(Bc)rq

iCq (5.9)

Si …jamos

Cq = 1 (5.10)

La ecuación (5.9) queda:

Cr = ¡ [(Bc)rr]¡1

h(Bc)rq

i(5.11)

En caso de que (Bc)rr sea singular, debemos despejar los coe…cientes Cr en función de otro

coe…ciente Cq, de manera tal que se pueda resolver el sistema de ecuaciones.

Los coe…cientes C para las frecuencias naturales calculadas se de…nen en la matriz CC:

Si m = nc+ ndofs es el número de coe…cientes C de de la estructura y n es el número de

frecuencias naturales calculadas, la matriz CC es:

CC =

266666666664

C(1)1 C

(2)1 C

(3)1 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ C

(n)1

C(1)2 C

(2)2

... C(n)2

C(1)3

......

......

......

...

C(1)m C

(2)m C

(3)m ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ C

(n)m

377777777775(5.12)

Donde C(i)j representa el coe…ciente Cj correspondiente a la frecuencia natural i:

La matriz CC se obtiene resolviendo n veces el sistema de ecuaciones (5.8). La matriz CC

puede ser calculada utilizando la función cscc, que tiene la siguiente sintaxis:

[cc,ic1values]=cscc(Bc,om,ic1dat)

[cc,ic1values]=cscc(Bc,om)

Donde Bc es la matriz de condiciones de contorno, om es el vector de frecuencias naturales

calculadas e [ic1dat] es un vector que contiene los índices de CC donde los C(i)j toman valores

unitarios. En caso de que [ic1dat] no esté especi…cado, el programa lo de…ne automáticamente

99

A modo de ejemplo supongamos que tenemos un sistema estructural formado por elementos

continuos, cuya matriz de condiciones de contorno Bc tiene dimensión (4£ 4) y hemos calculado

el siguiente vector om de frecuencias naturales:

om =

26666666664

!1

!2

!3

!4

!5

37777777775(5.13)

La matriz CC tendrá por lo tanto dimensión (4£ 5) :

CC =

26666664C

(1)1 C

(2)1 C

(3)1 C

(4)1 C

(5)1

C(1)2 C

(2)2 C

(3)2 C

(4)2 C

(5)2

C(1)3 C

(2)3 C

(3)3 C

(4)3 C

(5)3

C(1)4 C

(2)4 C

(3)4 C

(4)4 C

(5)4

37777775 (5.14)

Si queremos …jar:

C(1)1 = C

(2)2 = C

(3)3 = C

(4)1 = C

(5)2 = 1 (5.15)

Debemos de…nir:

ic1dat =h1 2 3 1 2

i(5.16)

Si queremos por ejemplo, que todos los coe…cientes C2 tengan valores unitarios simplemente

de…nimos:

ic1dat = 2 (5.17)

Debemos destacar que si la matriz (Bc)rr de la expresión (5.11) resulta ser singular para

100

algun índice de [ic1dat] ; el programa seleciona un valor conveniente que permita resolver el

sistema de ecuaciones.

El programa cscc tiene como salida la matriz CC y el vector [ic1values], que indica

los índices de CC donde los C(i)j toman valores unitarios. Como hemos explicado, el vector

[ic1values] puede ser distinto a [ic1dat] :

5.2.5 Formas modales de los elementos de la estructura

Una vez obtenidos los coe…cientes C, sólo resta armar las formas modales de los elementos

para cada frecuencia natural calculada. Esta tarea se puede realizar con la función csmodes:

[phi]=csmodes(ELEMENTS,EDICT,PROPERTIES,CC,om,cpt)

Como se observa, todos los datos de entrada de esta función son conocidos, ya que han sido

calculados en etapas anteriores.

Para una estructura formada por k elementos continuos, la matriz modal phi toma la

siguiente forma:

phi =

266666666666664

phi(1)1 phi

(2)1 phi

(3)1 phi

(4)1 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ : : : phi

(n)1

phi(1)2 phi

(2)2 phi

(3)2

......

phi(1)3 phi

(2)3

......

...

phi(1)4

......

......

......

......

...

phi(1)k phi

(2)k phi

(3)k phi

(4)k ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ phi

(n)k

377777777777775(5.18)

Donde el elemento phi(i)j de phi, representa la forma modal en el elemento j para la fre-

cuencia natural i:

5.3 Análisis Modal

La respuesta en vibraciones forzadas de sistemas continuos puede se analizada utilizando el

método de superposición modal.

Al igual que en el caso de los sistemas discretos, el método de superposición modal se basa

en la tranformación de las coordenadas geométricas de desplazamiento a coordenadas modales

o normales.

101

En esta transformación de coordenadas, expresamos la respuesta del sistema u(x; t); como

superposición de los modos de vibración Á(x) multiplicados por coordenadas generalizadas que

dependen del tiempo:

u(x; t) =1X

i=1

Ái(x)qi(t) (5.19)

En teoría tenemos un número in…nito de modos de vibración, y la superposición debe in-

cluirlos a todos. En la práctica, se puede lograr una buena precisión utilizando solo los primeros

modos vibración.

Se puede demostrar usando las propiedades de ortogonalidad de los modos de vibración, que

la expresión (5.19), convierte la ecuación de movimiento del sistema en una serie de ecuaciones

diferenciales desacopladas de la forma:

Mn¢¢q (t) + !2

nMnq(t) = Pn(t) (5.20)

Donde Mn es la masa generalizada asociada al modo Án :

Mn =

Z l

0Án(x)

2m(x)dx (5.21)

y Pn(t), la carga generalizada asociada al modo Án:

Pn(t) =

Z l

0Án(x)p(x; t)dx (5.22)

Luego, las ecuaciones (5.20) se pueden resolver por cualquiera de los métodos tradicionales.

El cálculo de la respuesta, por medio de descomposición modal y superposición de las

respuestas modales, se denomina Análisis Modal. Este procedomiento es de aplicación directa,

una vez obtenidos los modos de vibración y las frecuencias naturales.

La …gura (5-4) muestra un digrama de bloques que indica los pasos a seguir para el analisis

modal de sistemas continuos.

En esta sección vamos a explicar cómo se calcula las matrices de masa y rigidez y el vector

de cargas, utilizando las funciones desarrolladas.

102

Análisis en vibraciones libres:

Cálculo de los primeros modos y frecuencias naturales

Obtención de las matrices de Masay Rigidez

Función: csmkFunción: csmij

Cálculo del vector de cargas:)(twLqw

Donde qwL es el vector de influencia de carga

y )(tw es la excitación

Función: csloads

Formamos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

)()()( twLtqKtqM qwqq =+••

Resolvemos n osciladores simples por métodosconvencionales:

• Integral de Duhamel• Transformada de Laplace• Integración numérica (funciones lv de SAT-Lab)

Superponemos las respuestas:

)()(),(1

tqxtxu i

Nq

ii∑

== φ

Figura 5-4: Esquema para análisis modal de sistemas continuos

103

5.3.1 Cálculo de la matrices de masa y rigidez

Para una estructura formada por elementos continuos, la matriz de masa tiene la siguiente

expresión:

Mii = M1 +M2 (5.23)

Mij = 0 (5.24)

Donde M1 representa el aporte de las masas distribuidas de los elementos que conforman la

estructura y M2 es el aporte de la masas concentradas. La matriz M es diagonal, como conse-

cuencia de la propiedad de ortogonalidad de los modos de vibración respecto a la distribución

de masa del sistema.

Para una estructura formada por Ne elementos continuos:

M1 =NeXp=1

Z lp

0mp(x)

hÁ(i)

p

i2dx (5.25)

Siendo Á(i)p la forma modal i del elemento p.

Si la estructura posee Nn nodos con masas concentradas, y estos nodos tienen Ny grados

de libertad:

M2 =NnXh=1

NyXk=1

(lmk)h

h(yk)

(i)i2

(5.26)

Donde (yk)(i) representa el desplazamiento del grado de libertad k asociado al modo i, y

(lmk)h es la masa concentrada correspondiente a la dirección k del nodo h:

Por lo tanto:

Mii =NeXp=1

Z lp

0mp(x)

hÁ(i)

p

i2dx+

NnXh=1

NyXk=1

(lmk)h

h(yk)

(i)i2

(5.27)

Mij = 0 (5.28)

Los elementos de la matriz de masa pueden ser calculados, mediante la función csmij, que

104

tiene la siguiente sintaxis:

Para estructuras sin masas sin masas concentradas:

[Mij]=csmij(i,j,phi,XYZ,ELEMENTS,PROPERTIES,EDICT)

Para estructuras con masas concentradas:

[Mij]=csmij(i,j,phi,XYZ,ELEMENTS,PROPERTIES,EDICT,MASSES,DOF01,nc,cc)

Donde j e i son los índices del elemento de la matriz de masa que queremos calcular. Los

datos restantes de la entrada han sido calculados en la etapa de vibraciones libres.

Esta función permite veri…car la propiedad de ortogonalidad de los modos de vibración

respecto a la matriz de masas, cuando se de…nen indices j e i distintos.

Si Mq es la matriz de masas y es la matriz de frecuencias naturales:

Mq =

26666664M11

M22

. . .

Mnq

37777775 ; =

26666664!1

!2

. . .

!nq

37777775 (5.29)

la matriz de de rigidez de la estuctura tiene la siguiente expresión:

Kq = Mq2 (5.30)

Las matrices Mq y Kq se se pueden calcular de manera directa usando la función csmk que

tiene la siguiente sintaxis:

Para estructuras sin masas con masas concentradas:

[Mq,Kq]=csmk(om,phi,XYZ,ELEMENTS,PROPERTIES,EDICT,MASSES,DOF01,nc,CC)

Para estructuras sin masas sin masas concentradas:

[Mq,Kq]=csmk(om,phi,XYZ,ELEMENTS,PROPERTIES,EDICT)

5.3.2 Cálculo del vector de cargas

El vector de cargas, contiene las cargas generalizadas correspondientes a coordenadas modales

eligidas.

Asumiendo que las cargas en la estructura pueden expresarse de la siguiente manera:

105

p(x; t) = f(x)w(t) (5.31)

La utilización de coordenadas normales conduce al siguiente sistema de ecuaciones diferen-

ciales desacopladas:

Mq

¢¢q(t) +Kqq(t) = Lqww(t) (5.32)

Donde Lqw es el vector de in‡uencia de carga, w(t) es la excitación.

Para una estructura con presencia de cargas distribuidas y concentradas, el elemento del

vector de in‡uencia de carga correspondiente a la coordenada modal i, tiene la siguiente expre-

sión

(Lqw)(i) = (Lqw)

(i)1 + (Lqw)

(i)2 (5.33)

Donde (Lqw)(i)1 se re…ere a las cargas distribuidas y (Lqw)

(i)2 a las cargas concentradas.

Cargas distribuidas

Si la estructura tiene Np elementos con cargas distribuidas:

(Lqw)(i)1 =

NPXk=1

Z lk

0pk(x)Á

(i)k dx (5.34)

Donde pk(x) es la carga distribuida sobre el elemento k y Á(i)k es la forma modal i del elemento

k.

Cargas concentadas

Matemáticamente una carga concentrada de intensidad Fc aplicada en el elemento h y ubicada

en la coordenada x = xc del elemento, se expresa de la siguiente manera:

106

p(x; t) = Fc±(x ¡ xc)w(t) (5.35)

Donde w(t) es la excitación y ± representa una función especial llamada función delta, que

toma los siguientes valores:

±(x ¡ xc) = 0 para x 6= xc (5.36)

y en la vecindad de xc su intensidad es tal que:

Z lh

0±(x ¡ xc)dx =

Z xc+²

xc¡²±(x ¡ xc)dx = 1 (5.37)

Donde ² es un número muy pequeño.

Multiplicando la expresión (5.35) por Á(i)h (forma modal i del elemento h; donde está aplicada

la carga), e integrando de 0 a lh, obtenemos:

p(i)c = Fcw(t)

Z lh

0Á

(i)h ±(x ¡ xc)dx = FcÁ

(i)h (xc)w(t) (5.38)

Teniendo en cuenta la ecuación (5.38), el término (Lqw)(i)2 del vector de in‡uencia de carga

es:

(Lqw)(i)2 =

NF cXh=1

FcÁ(i)h (xc) (5.39)

Donde NFc es el número de cargas concentradas en la estructura.

La expresión completa del vector de in‡uencia de carga es:

(Lqw)(i) = (Lqw)

(i)1 + (Lqw)

(i)2 (5.40)

(Lqw)(i) =

NPXk=1

Z lk

0pk(x)Á

(i)k dx+

NF cXh=1

FcÁ(i)h (xc) (5.41)

107

El vector Lqw se puede obtener mediante la función csloads que tiene la siguiente sintaxis:

[Lqw]=csloads(LOADS,XYZ,ELEMENTS,phi,nc,CC)

Donde cada elemento del vector Lqw contiene las cargas generalizadas asociadas a las coor-

denadas modales.

Por lo tanto:

Lqw =

26666664(Lqw)

(1)

(Lqw)(2)

...

(Lqw)(nq)

37777775 (5.42)

Todo los datos de entrada de la función son conocidos a excepción de la matriz LOADS,

que contiene información sobre las propiedades y ubicación de las cargas en la estructura. La

matriz LOADS tiene el siguiente formato:

LOADS=

......

...

Tipo Ubicacion Parámetros de la carga...

......

La tabla siguiente tabla describe cómo formar la matriz LOADS para diferentes tipos de

cargas:

Descripción Tipo Ubicación Param. 1 Param. 2

Carga Nodal:

Actúa en un nodo

en la dirección de

un grado de libertad

1

Node grado de

libertad donde

actúa según

DOFS

Intesidad

Po

Carga concentrada

Actúa en un elemento

según su dirección

local

2Node elemento

donde actúa

Intesidad

Po

Coordenada

local x donde

se ubica, en

porcentaje de

longitud del

elemento

Carga disitribuida en

un elemento: (Po)xn3

Node elemento

donde actúa

Pendiente

PoEsponente n

108

2y

1y

3y

(a) (b) (c)

1P

2PP

Figura 5-5: Ejemplo de cargas nodales y cargas concentradas

Consideremos a modo de ejemplo, el reticulado plano de tres barras de la …gura (5-5-a).

Como se observa esta estructura tiene tres grados de libertad.

Las …guras (5-5-b) y (5-5-c) muestran cómo una carga concentrada P aplicada en uno de los

extremos de la barra [3] puede expresarse como dos cargas nodales actuando según los grados

de libertad y1 e y2.

La …gura (5-6) muestra un ejemplo de cargas distribuidas y concentradas en una viga.

109

m.E,I

m.E,I

P1 -P2

P0

Figura 5-6: Ejemplo de cargas sobre una viga

110

Capítulo 6

ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE

LA FRECUENCIA

6.1 Matriz de Rigidez dinámica

La representación en el dominio de la frecuencia de un elemento continuo permite relacionar

la transformada de Fourier de los desplazamientos nodales y la transformada de Fourier de las

fuerzas nodales, es decir:

S($) = K($)U($) (6.1)

donde es la matriz de rigidez dinámica del elemento continuo.

A continuación se calcula la rigidez dinámica de un barra uniforme en vibración axial y de

una viga recta en ‡exión.

6.1.1 Rigidez dinámica de una barra uniforme en vibración axial

En la …gura (6-1-a) se observa una barra de propiedades uniformes y longitud l, sometida a

los siguientes desplazamientos:

u1 = q1ej$t (6.2)

u2 = q2ej$t (6.3)

La …gura (6-1-b) muestra un esquema libre de los esfuerzos actuantes sobre la barra.

111

EAm ,,

l

)(a

)(b

1p2p

tjequ ϖ11 = tjequ ϖ

22 =

Figura 6-1: Elemento barra

A continuación buscamos una relación del siguiente tipo:

24 p1

p2

35 = K($)

24 u1

u2

35 (6.4)

Donde K($), es la rigidez dinámica de la barra.

Recordamos la ecuación de movimiento una viga uniforme en ‡exión:

AE@2

@x2u(x; t)¡ m

@2u(x; t)

@t2= 0 (6.5)

Donde m = ½A es la masa por unidad de longitud de la barra, por lo tanto:

AE@2

@x2u(x; t)¡ ½A

@2u(x; t)

@t2= 0 (6.6)

Proponemos la siguiente solución:

u(x; t) = U(x)ej$t (6.7)

112

Reemplazando la ecuación (6.7) en la ecuación de movimiento, y dividiendo ambos miembros

por AE:

ej$t£U pp(x)

¤+ ej$t

·$2 ½A

AEU(x)

¸= 0 (6.8)

U pp(x) +$2½

EU(x) = 0 (6.9)

Llamando:

b2 =$2½

E(6.10)

La ecuación de movimiento queda:

U pp(x) + b2U(x) = 0 (6.11)

La solución general de la ecuación (6.11) es:

U(x) = C1 cos(bx) +C2 sin(bx) (6.12)

Sometida a las siguientes condiciones de contorno:

U(0; t) = u1 (6.13)

U(l; t) = u2 (6.14)

Desarrollando las ecuaciones de contorno:

u1 = C1 cos(b0) +C2 sin(b0) = C1 (6.15)

u2 = C1 cos(bl) +C2 sin(bl) (6.16)

Por lo tanto:

113

C1 = u1 (6.17)

C2 =u2 ¡ u1 cos(bl)

sin(bl)(6.18)

Cargas sobre los extremos de la barra

La carga P1 es una carga sobre el extremo x = 0, positiva para la condición de compresión del

extremo de la barra.

P1 = ¡EAU p(0) (6.19)

P1 = ¡EAC2b (6.20)

P1 = ¡EAb

·1

sin(bl)

¸u2 +EAb

·cos(bl)

sin(bl)

¸u1 (6.21)

La carga P2 es una carga de tracción en x = l :

P2 = EAU p(l) (6.22)

P2 = EA [¡C1b sin(bl) +C2b cos(bl)] (6.23)

P2 = ¡ (EAb)u1b sin(bl) +EA

·1

sin(bl)u2 ¡ cos(bl)

sin(bl)u1

¸b cos(bl) (6.24)

P2 = ¡EAb

·sin(bl) +

cos2(bl)

sin(bl)

¸u1 +EAb

·cos(bl)

sin(bl)

¸u2 (6.25)


sin(bl) +cos2(bl)

sin(bl)=sin2(bl) + 1¡ sin2(bl)

sin(bl)=

1

sin(bl)(6.26)

P2 = ¡EAb

·1

sin(bl)

¸u1 +EAb

·cos(bl)

sin(bl)

¸u2 (6.27)

Expresando las ecuaciones (6.21) y (6.27) en forma matricial:

114

24 P1

P2

35 = EAb

24 cos(bl)sin(bl) ¡ 1

sin(bl)

¡ 1sin(bl)

cos(bl)sin(bl)

35 24 u1

u2

35 (6.28)

La ecuación (6.28) está sujeta a la condición :

sin(bl) 6= 0 (6.29)

La matriz de rigidez dinámica de la barra es:

K($) = EAb

24 cos(bl)sin(bl) ¡ 1

sin(bl)

¡ 1sin(bl)

cos(bl)sin(bl)

35 (6.30)

K($) = EAb

24 cot(bl) ¡ csc(bl)

¡ csc(bl) cot(bl)

35 (6.31)

6.1.2 Rigidez dinámica de una viga uniforme en ‡exión

En la …gura (6-2-a) se observa una viga de propiedades uniformes y longitud l, sometida a los

siguientes desplazamientos:

u1 = q1ej$t (6.32)

u2 = q2ej$t (6.33)

u3 = q3ej$t (6.34)

u4 = q4ej$t (6.35)

La …gura (6-2-b) muestra un esquema libre de los esfuerzos actuantes en la viga.

De manera análoga al caso de la barra, buscamos una relación del siguiente tipo:

115

tjequ ϖ11 =

tjequ ϖ22 =

tjequ ϖ33 =

IEm ,,

l

tjequ ϖ44 =

2p

1p 3p

4p

)(a

)(b

Figura 6-2: Elemento Viga

26666664p1

p2

p3

p4

37777775 = K($)

26666664u1

u2

u3

u4

37777775 (6.36)

Donde K($) es la rigidez dinámica de la viga.

Recordamos la ecuación de movimiento una viga uniforme en ‡exión:

EI@4

@x4u(x; t) +m

@2u(x; t)

@t2= 0 (6.37)

Proponermos la siguiente solución:

u(x; t) = U(x)ej$t (6.38)

Reemplazando la ecuación (6.38) en la ecuación de movimiento, y teniendo en cuenta que

m = ½A es la masa por unidad de longitud de la viga:

116

ej$t£EIU iv(x)

¤ ¡ ej$t£$2mU(x)

¤= 0 (6.39)

U iv(x)¡ $2½A

EIU(x) = 0 (6.40)

Llamando:

a4 =$2½A

EI(6.41)

La ecuación (6.39) queda:

U iv(x)¡ a4U(x) = 0 (6.42)

La solución general de esta ecuación es:

U(x) = A1 cos(ax) +A2 sin(ax) +A3 cosh(ax) +A4 sinh(ax) (6.43)

Sometida a las siguientes condiciones de contorno:

U(0; t) = u1 (6.44)

U p(0; t) = u2 (6.45)

U(l; t) = u3 (6.46)

U p(l; t) = u4 (6.47)

Teniendo en cuenta las siguientes expresiones:

U(x) = A1 cos(ax) +A2 sin(ax) +A3 cosh(ax) +A4 sinh(ax) (6.48)

U p(x) = a [¡A1 sin(ax) +A2 cos(ax) +A3 sinh(ax) +A4 cosh(ax)] (6.49)

Las ecuaciones de contorno quedan:

117

A1 +A3 = u1 (6.50)

a[A2 +A4] = u2 (6.51)

A1 cos(al) +A2 sin(al) +A3 cosh(al) +A4 sinh(al) = u3 (6.52)

a [¡A1 sin(al) +A2 cos(al) +A3 sinh(al) +A4 cosh(al)] = u4 (6.53)

De manera matricial:

266666641 0 1 0

0 a 0 a

cos(al) sin(al) cosh(al) sinh(al)

¡a sin(al) a cos(bl) a sinh(al) a cosh(al)

37777775

26666664A1

A2

A3

A4

37777775 =26666664

u1

u2

u3

u4

37777775 (6.54)

Llamando Bc a la matriz cuadrada de la expresión (6.54), y utilizando la regla de Cramer:

A1 =

det

26666664u1 0 1 0

u2 a 0 a

u3 sin(al) cosh(al) sinh(al)

u4 a cos(al) a sinh(al) a cosh(al)

37777775det(Bc)

(6.55)

A2 =

det

266666641 u1 1 0

0 u2 0 a

cos(al) u3 cosh(al) sinh(al)

¡a sin(al) u4 a sinh(al) a cosh(al)

37777775det(Bc)

(6.56)

118

A3 =

det

266666641 0 u1 0

0 a u2 a

cos(al) sin(al) u3 sinh(al)

¡a sin(al) a cos(al) u4 a cosh(al)

37777775det(Bc)

(6.57)

A4 =

det

266666641 0 1 u1

0 a 0 u2

cos(al) sin(al) cosh(al) u3

¡a sin(al) a cos(al) a sinh(al) u4

37777775det(Bc)

(6.58)

Desarrollando estas expresiones (6.55), (6.56), (6.57) y (6.58), y usando la siguiente nomen-

clatura:

c = cos(al) (6.59)

s = sin(al) (6.60)

C = cosh(al) (6.61)

S = sinh(al) (6.62)

Llegamos a los siguientes resultados:

A1 =1

det(Bc)

©a2 (1 + sS ¡ cC)u1 + a (sC ¡ cS)u2 + a2 (c ¡ C)u3 + a (S ¡ s)u4

ª(6.63)

A2 =1

det(Bc)

©¡a2 (sC + cS)u1 + a (1¡ cC ¡ sS)u2 + a2 (s+ S)u3 + a (c ¡ C)u4

ª(6.64)

119

A3 =1

det(Bc)

©a2 (1¡ cC ¡ sS)u1 + a (cS ¡ sC)u2 + a2 (C ¡ c)u3 + a (s ¡ S)u4

ª(6.65)

A4 =1

det(Bc)

©a2 (cS + sC)u1 + a (1 + sS ¡ cC)u2 ¡ a2 (s+ S)u3 + a (C ¡ c)u4

ª(6.66)

Finalmente:

det (Bc) = 2a2(1¡ cC) (6.67)

Cargas en los extremos de la viga

La carga p1 es el esfuerzo de corte de la viga en x = 0 :

¡p1 = ¡EIU ppp(0) (6.68)

p1 = EI1

det (Bc)a3 (A4 ¡ A2) (6.69)

p1 = EIa3

2a2(1¡ cC)2a fa (cS + sC)u1 + (sC)u2 ¡ a (s+ S)u3 + (C ¡ c)u4g (6.70)

p1 =EIa

(1¡ cC)

©a2 (cS + sC)u1 + a (sC)u2 ¡ a2 (s+ S)u3 + a (C ¡ c)u4

ª(6.71)

La carga p2 es el momento ‡ector de la viga en x = 0 :

¡p2 = EIU pp(0) (6.72)

p2 = EI1

det (Bc)a2 (A1 ¡ A3) (6.73)

p2 = EIa2

2a2 (1¡ cC)2a fa (sS)u1 + (sC ¡ cS)u2 + a (c ¡ C)u3 + (S ¡ s)u4g (6.74)

p2 =EIa

(1¡ cC)fa (sS)u1 + (sC ¡ cS)u2 + a (c ¡ C)u3 + (S ¡ s)u4g (6.75)

La carga p3 es el esfuerzo de corte de la viga en x = l :

120

p3 = ¡EIU ppp(l) (6.76)

p3 = ¡EIa3 (A1s ¡ A2c+A3S +A4C) (6.77)

p3 = EI1

det (Bc)a3 (2a) f¡a (s+ S)u1 + (c ¡ C)u2 + a (sC + cS)u3 ¡ (sS)u4g (6.78)

p3 = EIa3

2a2(1¡ cC)(2a) f¡a (s+ S)u1 + (c ¡ C)u2 + a (sC + cS)u3 ¡ (sS)u4g(6.79)

p3 =EIa

(1¡ cC)

©¡a2 (s+ S)u1 + a (c ¡ C)u2 + a2 (sC + cS)u3 ¡ a (sS)u4

ª(6.80)

La carga p4 es el momento ‡ector de la viga en x = l :

p4 = EIU pp(l) (6.81)

p4 = EIa2 (¡A1c ¡ A2s+A3C +A4S) (6.82)

p4 = EI1

det (Bc)a2(2a) fa (C ¡ c)u1 + (S ¡ s)u2 ¡ a (sS)u3 + (sC ¡ cS)u4g (6.83)

p4 = EI1

2a2(1¡ cC)a2(2a) fa (C ¡ c)u1 + (S ¡ s)u2 ¡ a (sS)u3 + (sC ¡ cS)u4g(6.84)

p4 =EIa

(1¡ cC)fa (C ¡ c)u1 + (S ¡ s)u2 ¡ a (sS)u3 + (sC ¡ cS)u4g (6.85)

Espresando las ecuaciones (6.71), (6.75), (6.80) y 6.85 en forma matricial:

26666664p1

p2

p3

p4

37777775 =EIa

1¡ cC

26666664a2 (cS + sC) asS ¡a2 (s+ S) a (C ¡ c)

asS sC ¡ cS a (c ¡ C) S ¡ s

¡a2 (s+ S) a (c ¡ C) a2 (sC + cS) ¡asS

a (C ¡ c) S ¡ s ¡asS sC ¡ cS

37777775

26666664u1

u2

u3

u4

37777775 (6.86)

Esta ecuación esta sujeta a la condición:

1¡ cC 6= 0 (6.87)

De esta manera la rigidez dinámica de la viga es:

121

K($) =EIa

1¡ cC

26666664a2 (cS + sC) asS ¡a2 (s+ S) a (C ¡ c)

asS sC ¡ cS a (c ¡ C) S ¡ s

¡a2 (s+ S) a (c ¡ C) a2 (sC + cS) ¡asS

a (C ¡ c) S ¡ s ¡asS sC ¡ cS

37777775 (6.88)

6.2 Herramientas disponibles en SAT-Lab

La rigidez dinámica de una una barra tridimensional de sección transversal uniforme A, módulo

de elasticidad E y densidad rho, puede calcularse utilizando la funcióm cstrussf:

[K]=cstrussf(xyzi,xyzj,prop,ombar)

donde xyzi, xyzj son las coordenadas nodales de los nodos del elemento, prop=[E A rho],

y ombar es la frecuencia de deformación. K es la matriz de rigidez dinámica de la barra axial.

De manera similar, la función csbeamf calcula la matriz de rigidez dinámica de una viga

recta.

La rigidez dinámica de un sistema estructural constituido por elementos lineales de…nidos

en el dominio de la frecuencia puede ser ensamblada utilizando la función css de SAT-Lab.


S($) = K ($)U($) (6.89)

La ecuación (6.89) representa la relación entre desplazamientos nodales y cargas aplicadas

en la estrucura.

En el caso de existir desplazamientos sin existencia de cargas, estamos en presencia de

vibraciones libres, por lo tanto:

K ($)U($) = 0 ) K ($) debe ser singular (6.90)

Es decir, que un procedimiento para hallar frecuencias naturales de una estructura formada

por elementos continuos, consiste en resolver numéricamente la siguiente ecuación:

122

det [K ($)] = 0 (6.91)

Esta tarea puede realizarse, utilizando la función fzeros de SAT-Lab

6.3.1 Consideraciones importantes

La función fzeros de SAT-Lab, utiliza el método de bisección para la búsqueda de raíces de la

ecuación: det [K ($)] = 0:

El método de bisección es un algoritmo muy robusto ya que siempre converge. Puede ocurrir

que en el intervalo considerado no existan raíces, pero se presente alguna singularidad. En ese

caso el método converge hacia la singularidad.

La formulación utilizada para la matriz de rigidez dinámica de la viga recta en ‡exión, exige

la siguiente condición:

1¡ cC 6= 0 (6.92)

Ya que en 1¡ cC = 0; la matriz de rigidez dinámica posee singularidades.

Analizando vigas continuas bajo diferentes condiciones de apoyo mediante el método tradi-

cional de ajuste de condiciones de contorno, se puede demostrar que la expresión 1¡ cC = 0,

representa:

² La ecuación de la frecuencias naturales correspondientes a modos no rígidos de un viga

con ambos extremos libres

² La ecuación de la frecuencias naturales de una viga con ambos extremos empotrados

También se observó que las frecuencias naturales de la viga cantilever, con excepción de la

frecuencia fundamental, son muy cercanas a las de los casos anteriores, lo cual puede ocasionar

problemas numéricos (las singularidades y ceros de la ecuación det [K ($)] = 0 se encuentran

muy cerca, lo cual hace muy difícil el cálculo de frecuencias naturales).

Los inconvenientes mencionados pueden evitarse, modelizando las vigas como muestra la

…gura (6-3-b), es decir subdividiendo el continuo en dos o mas partes. La matriz de rigidez

dinámica resultante sigue teniendo singularidades, pero estas corresponden a las frecuencias

123

2l2

l

l

)(a

)(b

IE,,ρ

IE,,ρ

IE ,,ρ

Figura 6-3: Modelos de vigas

naturales libre-libre de las subvigas, y no de la viga completa. De esta manera, corremos las

singularidades en el eje de las frecuencias, para que no causen inconvenientes.

124

Capítulo 7

APLICACIONES

En este capítulo se analizan algunos ejemplos utilizando las funciones desarrolladas para análisis

modal de sistemas continuos.

Se comparan resultados usando otras herramientas disponibles en SAT-LAb, tales como el

método de elementos …nitos y la técnica de análisis en la frecuencia de los sistemas continuos.

7.1 Modelo de una combinación ala fuselaje

Presentamos un modelo de una combinación ala fuselaje de un avión, en el cual se considera a

las semialas como vigas continuas y al fuselaje como una masa concentrada, tal como se indica

en la …gura (7-1).

El propósito de este ejemplo es mostrar cómo se calculan los primeros modos de vibración

libre (no rígidos) del modelo.

Debemos aclararar que las propiedades tomadas para los elementos de la estructura no

corresponden a valores reales.

FF JM ,IAE ,,,ρ IAE ,,,ρ

WlWl

Figura 7-1: Modelo de una combinación ala fuselaje

125

7.1.1 Modelo de una combinación ala fuselaje: Código de SAT-Lab

% Matriz de coordedenadas nodales XYZ

lw=7.5; % Longitud de cada semiala

XYZ=[0 0 0;lw 0 0; 2*lw 0 0];

% Propiedades

nc=4; % Número de coeficientes C

E=73549875000; % Módulo de Young

G=E/(2*(1+0.29)); % Módulo de corte

A=1*0.1; % Área de la sección transversal

rho=2700; % Densidad de masa

p=[0 1 0]; % Dirección del eje local y

I=(1*(0.1)^3)/12; % Momento de inercia respecto a y

MF=(lw*rho*A)*2; % Masa del fuselaje

JF=(pi/32)*(1.5^4); % Inercia del fuselaje

PROPERTIES=[nc E A rho I p];

% Diccionario de elementos

EDICT.elname=’csbeam’; % Elemento viga

EDICT.cstype=’b’; % Vibración transversal pura

EDICT.mode=’phibeam’; % Función de forma modal

ELEMENTS=[1 2 1 1;2 3 1 1];

% Condiciones cinemáticas: Matriz DOF01

DOF01=[0 0 1 0 1 0;0 0 1 0 1 0;0 0 1 0 1 0];

% Masas concentradas en la estructura

MASSES=[2 MF MF MF JF JF JF];

% Gra…camos el modelo con funciones de SAT-Lab

SUPPORTS=[];

viewpoint=[0 90];

gpelms(XYZ,ELEMENTS,MASSES,SUPPORTS,viewpoint)

ylabel(’z’);

% Matriz de condiciones de contorno Bc

[Bc,nc,ndofs,cpt]=csbc(XYZ,ELEMENTS,EDICT,PROPERTIES,DOF01,MASSES)

% Frecuencias naturales (raíces de det(Bc)=0)

126

start=0.1; % Punto de inicio de la iteración

step=1; % Intervalo de aislamiento de raíces

nw=4; % Número deseado de frecuencias naturales

om=csom(Bc,start,step,nw)

% Coe…cientes Ci: Matriz CC

CC=cscc(Bc,om);

% Modos de vibrar (no rígidos): Matriz [phi]

[phi]=csmodes(ELEMENTS,EDICT,PROPERTIES,CC,om,cpt);

% Visualización de los modos.

% Usamos instrucciones comunes de Matlab:

V=0:0.05:lw;

for t=1:length(om)

for j=1:length(V)

X=V(j);

phix1(j,1)= eval(phi(1,t));

phix2(j,1)= eval(phi(2,t));

end

subplot(length(om),1,t)

plot(V,phix1);

hold on

plot(V+lw,phix2);

plot(V,0)

plot(V+l,0)

wnum=t;

label=[’Phi’ num2str(wnum) ’(X)’];

ylabel(label)

grid on

if t==1

title(’Primeros modos no rígidos de un modelo simple de un avión’)

end

end

127

0 5 10 15-4

-2

0

2

Phi1(

X)

Primeros modos no rígidos de un modelo simple de un avión

0 5 10 15-2

0

2

Phi2(

X)

0 5 10 15-2

0

2

Phi3(

X)

0 5 10 15-2

0

2

Phi4(

X)

Figura 7-2: Combinación ala fuselaje: primeros modos no rígidos de vibrar

7.1.2 Resultados

En la …gura (7-2) se pueden apreciar los primeros cuatros modos no rígidos de vibración natural

del modelo.

7.2 Pórtico tridimensional

En este ejemplo se muestra cómo modelizar el pórtico espacial descripto en la …gura (7-3),

utilizando elementos continuos simples.

Se obtienen las primeras cuatro frecuencias naturales del modelo utilizando las siguientes

técnicas:

² Elementos …nitos

² Elementos continuos en el dominio del tiempo

128

Figura 7-3: Modelo de pórtico espacial

² Elementos continuos en el dominio de la frecuencia

7.2.1 Pórtico tridimesional: Código de SAT-Lab

%Análisis utilizando matriz Bc

% Definición del sistema estructural

% Coordenadas nodales: matriz XYZ

XYZ=[0 0 0;

0 0 5;

5 0 5;

5 2.5 5];

% Propiedades de los elementos: Matriz PROPERTIES

nc1=2; nc2=4; nc3=2;

E=73549875000; G=E/(2*(1+0.29)); A=pi*0.1^2; rho=2700;

I=(pi/64)*(0.1^4); J=(pi/32)*(0.1^4);

PROPERTIES=[nc1 E A rho 0 0 0 0; % barra

nc2 E A rho I 0 1 0; % viga



nc3 G A rho J 0 0 0];% eje

% Diccionario de elementos continuos

129

EDICT(1).elname=’cstruss’; % barra continua

EDICT(1).cstype=’t’; % vibración axial pura

EDICT(2).elname=’csbeam’; % viga continua

EDICT(2).cstype=’b’; % vibración transversal pura

EDICT(3).elname=’csshaft’; % eje continuo

EDICT(3).cstype=’s’; % vibración torsional pura

% Elementos del modelo: matriz ELEMENTS

ELEMENTS=[1 2 1 1;

1 2 2 2;

1 2 2 3;

1 2 3 5;

2 3 1 1;

2 3 2 2;

2 3 2 4;

2 3 3 5;

3 4 1 1;

3 4 2 3;

3 4 2 4;

3 4 3 5];

% Condiciones cinemáticas

DOF01=[0 0 0 0 0 0;

1 1 1 1 1 1;

1 1 1 1 1 1;

1 1 1 1 1 1];

% Construcción de la matriz de condiciones de Bc

[Bc,nc,ndofs,cpt]=csbc(XYZ,ELEMENTS,EDICT,PROPERTIES,DOF01)

% Cálculo de frecuencias naturales

start=0.001; % punto de inicio de la iteración

step=0.1; % intervalo de aislamiento de raíces

nw=4; % Número de frecuencias naturales a calcular

omBc=csom(Bc,start,step,nw)

% Análisis en el dominio de la frecuencia

130

% Matriz de elementos

ELEMENTS=[1 2 1 1;2 3 1 1;3 4 1 2];

% Matriz de grados de libertad

DOFS=gdnumdof(DOF01);

% Propiedades

Iz=I; Iy=I; Asy=0; Asz=0;

PROPERTIES=[E G A Iz 0 1 0 Iy J Asy Asz rho;

E G A Iz 1 0 0 Iy J Asy Asz rho];

% Diccionario

EDICT.elname=’csbeamf’; % Rigidez dinámica de la viga

EDICT.qualifier=’lD’; % Calificador de ensamblaje

qualifier=’lD’;

% Obtención de frecuencias naturales:

% Utilizamos la función fzeros de SAT-Lab:

Sparam.XYZ=XYZ;

Sparam.DOFS=DOFS;

Sparam.ELEMENTS=ELEMENTS;

Sparam.PROPERTIES=PROPERTIES;

Sparam.EDICT=EDICT;

Sparam.qualifier=qualifier;

po=0.1; % Punto de inicio de la iteración

dp=0.1; % Intervalo de aislamiento de raíces

np=4; % Numero deseado de frecuencias naturales

[ceros]=fzeros(’Sfile’,Sparam,po,dp,np)

% Análisis tradicional con elementos …nitos

% Matriz de rigidez

EDICT=struct(’elname’,’elbeam3’,’qualifier’,’lK’);

qualifier=’lK’;

[K]=stkcm(XYZ,DOFS,ELEMENTS,PROPERTIES,EDICT,qualifier);

% Matriz de masa

EDICT=struct(’elname’,’elmbeam’,’qualifier’,’lM’); %

qualifier=’lM’;

131

PROPM=[rho A Iz 0 1 0 Iy J;

rho A Iz 1 0 0 Iy J];

[M]=stkcm(XYZ,DOFS,ELEMENTS,PROPM,EDICT,qualifier);

% Frecuencias naturales y modos de vibración

nv=4;

param=[0.00001 500];

[PHI,OM]=lvnmodes(M,K,nv,param);

% Re…nado de la malla de elementos …nitos

ellist=[1 2 3]; % elementos que se quieren refinar

eetbg=5; % cantidad de elementos a ser generados

DofPat=[1 1 1 1 1 1]; % patrón de grados de libertad

[XYZn,ELEMENTSn,DOFSn]=gerefine(XYZ,ELEMENTS,DOFS,ellist,eetbg,DofPat);

% Recalculamos matriz de rigidez

EDICT=struct(’elname’,’elbeam3’,’qualifier’,’lK’);

qualifier=’lK’;

[K]=stkcm(XYZn,DOFSn,ELEMENTSn,PROPERTIES,EDICT,qualifier);

% Recalculamos matriz de masa

EDICT=struct(’elname’,’elmbeam’,’qualifier’,’lM’);

qualifier=’lM’;

PROPM=[rho A Iz 0 1 0 Iy J;

rho A Iz 1 0 0 Iy J];

[M]=stkcm(XYZn,DOFSn,ELEMENTSn,PROPM,EDICT,qualifier);

% Recalculamos frecuencias naturales

nv=4;

param=[0.00001 500];

[PHI,OMn]=lvnmodes(M,K,nv,param);

% Comparación de resultados

Resultados.omFEM=OM; % FEM

Resultados.omFEMn=OMn; % FEM con malla refinada

Resultados.omF=ceros’; % Sist. Continuo: Frecuencia

Resultados.omBc=omBc’; % Sist. Continuo: Bc

Resultados

132

AE,,ρ

lp

z

c

Figura 7-4: Barra axial con un amortiguador viscoso en un extremo

7.2.2 Resultados y comentarios

Los resultados del ejercicio se encuentran resumidos en la siguiente tabla:

MÉTODO EMPLEADO !1 !2 !3 !4

Elementos …nitos: 3 elementos 1.9349 2.0941 5.3228 5.8449

Elementos …nitos: 15 elementos 1.9317 2.1208 5.8413 6.2019

Elementos continuos: dominio de la frecuencia 1.9314 2.1216 5.8389 6.2348

Elementos continuos: dominio del tiempo 1.9314 2.1216 5.8389 6.2348

Se observa, que se llega a los mismos resultados modelizando la estructura con elementos

continuos en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.

La aproximación por medio de tres elementos …nitos es satisfactoria, y mejora notoriamente

con el re…nado de la malla.

7.3 Ejemplo de análisis modal: barra axial con amortiguador

viscoso

En la …gura (7-4) se puede apreciar una barra conectada a un amortiguador viscoso.

En este ejemplo mostramos cómo calcular una aproximación de la función respuesta en

frecuencia Hzp del modelo, utilizando los primeros cinco modos de vibración de la barra.

Comparamos la aproximación obtenida con el resultado exacto dado por análisis en el do-

minio de la frecuencia.

7.3.1 Barra axial con amortiguador viscoso: Código de Sat-Lab

% -1 Análisis modal

% Coordenadas nodales: Matriz XYZ

133

l=300; % longitud de la barra

XYZ=[0 0 0;l 0 0];

% Elementos: Matriz ELEMENTS

%[ni nj typenum eprop]

ELEMENTS=[1 2 1 1];

% Condiciones cinemáticas:Matriz DOF01

DOF01=[0 0 0 0 0 0;1 0 0 0 0 0];

% Matriz de grados de libertad

DOFS=DOF01; % existe un solo grado de libertad


EDICT.elname=’cstruss’; % Barra continua

EDICT.cstype=’t’; % Vibración axial pura

EDICT.mode=’phitruss’; % función de forma

% Propiedades: Matriz PROPERTIES

nc=2; E=2100; A=10; rho=0.15;

PROPERTIES=[nc E A rho];

% Matriz Bc

[Bc,nc,ndofs,cpt]=csbc(XYZ,ELEMENTS,EDICT,PROPERTIES,DOF01);

% Cálculo de las primeras nq frecuencias naturales

start=0.01; step=0.01;

nq=5; % Número de frecuencias naturales a calcular

om=csom(Bc,start,step,nq)

% Coeficientes C de la estructura: matriz CC

CC=cscc(Bc,om);

% Modos de vibración natural de la barra: Matriz phi

[phi]=csmodes(ELEMENTS,EDICT,PROPERTIES,CC,om,cpt);

% Matrices de Masa y Rigidez

[Mq,Kq]=csmk(om,phi,XYZ,ELEMENTS,PROPERTIES,EDICT)

% Cálaculo de la matriz de amortiguamiento

% Vector de cargas

loadtype=2; % carga puntual

134

elnum=1; % aplicada en el elemento 1

Po=1; % Intensidad unitaria

dist=1; % X=l

LOADS=[loadtype elnum Po dist];

Lp=csloads(LOADS,XYZ,ELEMENTS,phi,nc,CC)

% Matriz de amortiguamiento

c=0.2; % Coeficiente de amortiguamiento

Cq=Lp*c*Lp’

% Función Respuesta en frecuencia

% Función respuesta en frecuencia de ’z’ a ’p’

% z = desplazamiento del amortiguador

% p = carga en el amortiguador

syms w

Hzp=(Lp’*inv(-w^2*Mq+j*w*Cq+Kq)*Lp);

f=0.01:0.05:1.1*om(nq); % frecuencia de muestreo

for n=1:length(f)

w=f(n);

H(n)=norm(eval(Hzp)); % Amplitud de la función de FRF

end

% 2-Análisis exacto en el dominio de la frecuencia


EDICT.elname=’cstrussf’;

EDICT.qualifier=’lD’;

qualifier=’lD’;

% Propiedades

PROPERTIES=[E A rho];

% Función respuesta en frecuencia

for i=1:length(f)

S=css2(XYZ,DOFS,ELEMENTS,PROPERTIES,EDICT,qualifier,f(i));

Hs(i)=norm(inv(S(1,1)+j*f(i)*c)); % Amplitud de la FRF

end

135

% 3- Comparación de resultados

% Usamos funciones comunes de Matlab:

plot(f,log10(Hs))

hold on

plot(f,log10(H),’r:’)

plot(om,zeros(size(om)),’ro’)

legend(’Resultado exacto’,’Análisis modal’)

title(’Respuesta en frecuencia del modelo’)

xlabel(’ombar’)

ylabel(’log10(Amplitud de la FRF)’)

7.3.2 Resultados y conclusiones

Analizando la …gura (7-5), se observa que la aproximación obtenida es bastante buena para

valores bajos de la frecuencia de deformación.

Desde luego es posible obtener mejores resultados utilizando un número mayor de coorde-

nadas modales.

136

0 1 2 3 4 5 6 7-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0Respuesta en frecuencia del modelo

ombar

log10

(Amp

litud

de la

FRF

)

Resultado exactoAnálisis modal

Figura 7-5: Barra conectada a un amortigador: función respuesta en frecuencia

137

Capítulo 8

CONCLUSIONES

La herramienta desarrollada para el análisis dinámico de sistemas continuos, posibilita la ob-

tención de funciones analíticas para los modos de vibración natural de estructuras lineales,

formadas por elementos continuos y elementos concentrados de masa. También permite re-

solver problemas de vibraciones forzadas, por medio del método de superposición modal.

Es importante destacar, que se pueden analizar tanto estructuras planas como tridimen-

sionales, gracias a la generalidad de las relaciones cinemáticas empleadas.

Se utilizó para la programación, la caja de herramientas para análisis simbólico de Matlab

(Symbolic Math Toolbox), lo que permitió el manejo de funciones en las distintas etapas de cál-

culo y la obtención de resultados analíticos. Esto brinda especiales ventajas, como herramienta

didáctica para la enseñanaza de la dinámica de sistemas continuos.

Evidentemente, el análisis de estructuras con un número elevado de elementos, que conducen

a problemas de más de 100 incógnitas, resulta lento en algunas etapas del cálculo (en especial,

el cálculo de frecuencias naturales). Esto se debe a que la evaluación simbólica, es un proceso

computacional costoso en Matlab.

Se piensa trabajar en la implementación numérica del procedimiento de cálculo desarrollado,

lo que podría mejorar la e…ciciencia computacional del método. Esto permitirá a usuarios de

Matlab, que no disponen de la caja de herramientas para análisis simbólico (Symbolic Math

Toolbox), hacer uso de esta herramienta.

Este trabajo deja abiertas varias líneas para futuros desarrollos. Podemos citar: la elabo-

ración de herramientas para facilitar la gra…cación de resultados, el manejo de condiciones de

borde en estructuras con grados de libertad esclavos, el análisis de estructuras con parámetros

variables y el estudio de sistemas bidimensionales, tales como placas y membranas.

138

Referencias

[1] R.W. Clough y J. Penzien, Dynamics of Structures, MacGraw Hill, New York, 1993

[2] J.S. Przemieniecki, Theory of matrix strucutural analysis, MacGraw Hill, New York, 1968

[3] L.Meirovitch, Analytical Methods in Vibrations, Macmillan Publishing Co., New York, 1967.

[4] J.L. Humar, Dynamics of Structures, Prentice Hall, Englewood Cli¤s, New Jersey, 1990

[5] J.A. Inaudi y J.C De la Llera, SAT-Lab Manual del usuario, Córdoba, 2001

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Tesis Desarrollo Computacional de Analisis Modal