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Introducción

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para

solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es

transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la

álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica

La transformada inversa deLaplace para recuperar las soluciones de los

problemas originales.

Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre

Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la

variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.

Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones

diferenciales lineales.

Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden

convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por

operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un

sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

correspondiente

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1. Definición (Transformada De Laplace)

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de

ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada

de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras.

Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian

una función en una variable de entrada en otra función en otra variable.

La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones

Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún

tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con

coeficientes constantes.

Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iníciales a la misma

ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente

que aparece en la ED es una función seccionada. 

Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una

ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en

aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la

transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la

variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.

Sea f una función definida para t ≥0, la transformada de Laplace de f ( t ) se define

como

Cuando tal integral converge.

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Nota

La letra s representa una nueva variable, quo ara el proceso de la

integración se considera constante

La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la

variable s

Condiciones para la existencia de la transformada de una función:

De orden exponencial

Continua a trozos

También se puede decir que:

El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede

usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y

exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable

compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por

operaciones algebraicas en el plano complejo.

Función De Orden Exponencial

Esta función es una de las funciones mas importantes de la matemática, se define

como:

Para enteros positivos se cumple que:

Por lo que esta función puede se vista como la generalización de la función

factorial.

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Continuidad A Trozos

Par motivos prácticos puede pensar a una función así como una función

seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es

continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que tiene

la función son puntos aislados; no intervalos.

Esta función tiene graficas similares a:

Perspectiva Histórica

La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático

francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la

probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de integrales

de la forma:

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— Como soluciones de ecuaciones diferenciales, pero no profundizó en ellas y

pronto abandonó su investigación. Joseph Louis Lagrange, admirador de Euler,

también investigó ese tipo de integrales, y las ligó a la teoría de la probabilidad en

un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad de la forma:

— Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de

Laplace.

Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y

siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de

ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y

reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como soluciones,

aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de Laplace tal y como

hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:

— Análoga a la transformada de Mellin, con la que transformó una ecuación

diferencial en una ecuación algebraica de la que buscó su solución. Planteó

alguna de las principales propiedades de su transformada, y de alguna forma

reconoció que el método de Joseph Fourierpara resolver por medio de series de

Fourier la ecuación de difusión podría relacionarse con su transformada integral

para un espacio finito con soluciones periódicas.

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Pese al logro, las transformadas de Laplace pronto cayeron en un relativo olvido,

al haber sido presentadas en el campo de la probabilidad –ajeno a su moderna

aplicación en la física y la ingeniería–, y ser tratadas sobre todo como objetos

matemáticos meramente teóricos.

La moderna aplicación de las transformadas de Laplace y toda su teoría

subyaciente surge en realidad en la segunda mitad del siglo XIX. Al tratar de

resolver ecuaciones diferenciales relacionadas con la teoría de vibraciones, el

ingeniero inglés Oliver Heaviside (1850-1925) descubrió que los operadores

diferenciales podían tratarse analíticamente como variables algebraicas. De

acuerdo con el "cálculo operacional", si se tiene una ecuación diferencial de la

forma:

— Donde D es el operador diferencial, esto es,  , entonces la solución

general a dicha ecuación es de la forma:

.

Heaviside observó que si se trataba al operador D como una variable algebraica,

era posible alcanzar igualmente la solución de toda ecuación pareja a la de arriba.

En efecto, según la solución general, se cumple que:

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Entonces, si se considera una ecuación diferencial de segundo orden como la

siguiente:

— Esta puede reescribirse en para resaltar el operador D como:

Heaviside propuso despejar y y tratar a D algebraicamente, en cuyo caso se

tendría que:

Sustituyendo las fracciones en D por la expresión integral de las mismas arriba

presentada, se llega a la solución de la ecuación diferencial:

Heaviside publicó sus resultados, cuya utilidad a la hora de resolver ecuaciones de

la física y la ingeniería hizo que pronto se extendieran. Sin embargo, el trabajo de

Heaviside, formal y poco riguroso, atrajo las críticas de algunos matemáticos

puristas que los rechazaron argumentando que los resultados de Heaviside no

podían surgir de tal forma. No obstante, el éxito del método hizo que pronto fuera

adoptado por ingenieros y físicos de todo el mundo, de manera que al final atrajo

la atención de cierto número de matemáticos tratando de justificar el método de

manera rigurosa.

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Tras varias décadas de intentos, se descubrió que la Transformada descubierta

por Laplace hacía un siglo no sólo ofrecía un fundamento teórico al método de

cálculo operacional de Heaviside, sino que además ofrecía una alternativa mucho

más sistemática a tales métodos.

Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se convirtió en una

herramienta común de la teoría de vibraciones y de la teoría de circuitos, dos de

los campos donde ha sido aplicada con más éxito. En general, la transformada es

adecuada para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con

condiciones iniciales en el origen. Una de sus ventajas más significativas radica en

que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto

transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas,

mucho más fáciles de resolver.

Propiedades De La Transformada De Laplace

Linealidad

Derivación

 

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Integración

Dualidad

Desplazamiento De La Frecuencia

Desplazamiento Temporal

Nota:   Es La Función Escalón Unitario.

Desplazamiento Potencia N-Ésima

Convolución

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Transformada De Laplace De Una Función Con Periodo P

Condiciones de convergencia

 (que crece más rápido que  ) no pueden ser obtenidas por Laplace,

ya que  , es una función de orden exponencial de ángulos.

Teorema del valor inicial

Sea una función   derivable a trozos y que   Entonces:

 es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Teorema del valor final

Sea  una función derivable a trozos tal que  .Entonces:

 es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

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Relación Con Otras Transformadas

La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada

de Fourier y la Transformada Z

Un ejemplo de la relación de de la transformada de Laplace con la transformada

de Z:

La transformada Z bilateral es simplemente la transformada de Laplace bilateral

de la señal mostrda

donde   es la señal continua muestreada,   la n-ésima

muestra,   el período de muestreo, y con la sustitución  .

Del mismo modo, la transformada Z unilateral es simplemente la transformada de

Laplace unilateral de la señal ideal muestreada.

En ambas se asume que la señal muestreada vale cero para todos los índices

negativos en el tiempo.

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2. La Función Escalón Unitario

La función escalón de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe

su nombre al matemático inglés Oliver Heaviside.

Es una función discontinua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo, y 1

para cualquier argumento positivo:

Tiene aplicaciones en ingeniería de control y procesamiento de señales,

representando una señal que se enciende en un tiempo específico, y se queda

encendida indefinidamente.

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Grafica de la función escalón unitario

Definición

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o

no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un

sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que

suspenderse después de cierto tiempo.

Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir

una función especial llamada función escalón unitario o función Heaviside.

La función Heaviside, es una función discontinua cuyo valor es 1 para el

argumento positivo y 0 en el resto del intervalo. 

Definimos   sólo en el eje  t no negativo puesto que es todo lo que nos

interesa en el estudio de la transformada de Laplace.

En el sentido más amplio,   cuando  . Cuando una función f  

definida para   se multiplica por  , la función escalón unitario

"desactiva" una porción de la gráfica de esa función.

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Propiedades

Cambio de signo del argumento.

La derivada en el sentido de las distribuciones es la Función Delta de Dirac.

Transformada de Laplace.

Límites.

Es la integral de la Función Delta de Dirac.

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El valor de H(0) es causa de discusión. Algunos lo definen como H(0) = 0,

otros H(0) = 1. H(0) = 1/2 es la opción usada más coherente, ya que maximiza

la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de

la función signo: 

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la

siguiente forma: Plantilla: Ecuación Una forma de representar esta función es a

través de la integral 

Consideraciones

La función escalón unitario también se puede utilizar para escribir en forma

compacta funciones definidas por tramos.

Una función general definida por tramos del tipo:

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Es la misma que:

Para 3 funciones tendríamos entonces que:

Es la misma que:

Definición Alternativa

Existen varias maneras diferentes de definir la función de Heaviside, no todas ellas

equivalentes. Las diferentes definiciones no equivalentes difieren solo en el

valor H(0), que es convencional. La mayoría de las personas lo definen como H(0)

= 1, otros H(0) = 0. Algunos que lo definen como H(0) = 1/2, ya que maximiza

la simetría de la función, y permite una representación de la misma a través de

la función signo:

19

Puede especificarse con un subíndice el valor que se va a usar para H(0), de la

siguiente forma:

Una forma de representar esta función es a través de la integral

Definición como límite de otras funciones.

Aproximaciones Analíticas

Para una aproximación mediante una función continuamente diferenciable a la

función escalón, se puede usar la función logística

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Donde una k más grande corresponde a una transición más afilada en x = 0. Si

tomamos H(0) = ½, la igualdad se establece en el límite:

Existen algunas otras aproximaciones analíticas suaves para la función

escalón. Entre las posibilidades están:

Estos límites se mantienen para todo punto así como en el sentido

de distribuciones. En general, sin embargo, la convergencia para todo punto no

necesariamente implica convergencia para la distribución, y viceversa, la

convergencia para la distribución no necesariamente implica convergencia para

todo punto.

en general, cualquier funcion de distribución acumulativa (c.d.f) de una distribución

de probabilidad continua que es muestreada alrededor de cero y tiene un

parámetro que controla la varianza puede servir como una aproximación en el

límite conforme la varianza se aproxima a cero. Por ejemplo, los tres ejemplos

anteriores son funciones de distribución acumulativa de distribuciones de

probabilidad común: distribución logistica, de Cauchy y normal, respectivamente.

21

Primer Teorema De La Función Heaviside

La transformada de la función de Heaviside es

Segundo Teorema De Translación

Si   y 

Entonces

Forma inversa del segundo teorema de traslación:

Corolario (Forma Alternativa Al Segundo Teorema De Traslación)

Sea       una función continua a trozos y de orden exponencial

en  , entonces

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Característica De La Función Escalón Unitario

La función escalón unitario es una función matemática que tiene como

característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su

argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado

matemáticamente seria de la forma:

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el

argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.

Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen

en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por

la función que define la variable en el tiempo.

En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:

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Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se

obtiene la siguiente gráfica:

Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante

con los mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que

se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a

partir de este momento tiene como valor f(t).

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Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie

exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la

figura:

En las dos imágenes anteriores se realizo un corrimiento sobre el eje del tiempo,

en una se hizo hacia la izquierda y en otra hacia la derecha, en ambos casos se

vario la forma de u(t), es así, que para realizar el corrimiento hacia la izquierda se

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cambio la función u(t) por u(t+1), logrando un corrimiento hacia la izquierda de 1,

dando como resultado que la función f(t) no inicie en t = 0, sino que inicie en t = -

1,si se desea que el valor de t para que inicie la función f(t) sea por ejemplo t = -5,

solo se debe variar u(t) a u(t+5) y multiplicarlo por f(t); así mismo, para realizar el

corrimiento hacia la derecha de la función f(t)*u(t) se debe variar u(t), en este

caso se resta el valor en el cual se quiere que la función u(t) cambie de estado.

Debido a lo anterior se puede definir de una manera más general la función

escalón unitario,así:

Como se puede observar cuando to = 0, se tiene como resultado la definición

dada anteriormente.

Otra utilización de la función escalón unitario es la de formar funciones de pulsos o

tipo puerta, como la que se muestra a continuación:

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En esta imagen se muestra la gráfica de una función que tiene el valor de f(t) en

los valores de t comprendidos entre 1 y –1, y siendo 0 para cualquier otro valor

de t, para definir esta función se puede utilizar cualquiera de las siguientes

expresiones :

Aunque ambas funciones dan como resultado la gráfica mostrada anteriormente,

en la primera se utiliza la suma de funciones escalón unitario, mientras que en la

segunda, se utiliza la multiplicación de funciones escalón unitario. Este tipo de

función comúnmente se llama función puerta de f(t).

En forma general se tendría, la siguiente expresión para realizar una función

puerta, f puerta(t), donde se conectaría en un tiempo t1 y se desconectaría en un

tiempo t2

Existen otras muchas funciones que se pueden expresar utilizando la suma o la

multiplicación de funciones escalón unitario, es también lógico que f(t), puede ser

cualquier tipo de función que varíe en el tiempo, ya sea una expresión matemática,

una variable estadística, etc.

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3. Función Rampa

La función rampa es una función elemental real de un sólo argumento, continua y

diferenciable en todo su dominio excepto en un punto (inicio de la rama) fácilmente

computable a partir de la función mínimo o la función valor absoluto.

Las principales aplicaciones prácticas de esta función se dan en ingeniería

(procesamiento digital de señales, plasticidad, etc.). El término "función rampa" se

debe a la forma de su representación gráfica.

Definición

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La función rampa (denotada de diferentes maneras en la literatura científica:

)

Puede definirse de diferentes maneras equivalentes:

 (en términos de la función valor absoluto)

 (en términos de la función máximo)

 (en términos de la función unitaria de Heaviside)

Algunas formas menos elementales de definirla son:

 (primitiva de la función unitaria de Heaviside)

 (producto de convolución)

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Propiedades Analíticas

No-negativa

En todo su dominio de definición, la función rampa es no-negativa (positiva o cero)

y, por tanto, coincide con su valor absoluto:

Derivada

Su derivada (en el sentido de la teoría de distribuciones) es la función unitaria de

Heaviside:

Transformada de Fourier

La transformada de Fourier de la función rampa viene dada por:

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Donde δ(x) es la delta de Dirac (en esta fórmula, aparece su derivada).

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace of   coincide con la transformada

de   ya que para   ambas funciones coinciden:

Propiedades Algebraicas

Invariancia de la función

La función rampa es idempotente, lo cual significa que la composición consigo

misma es idéntica a la función original

Demostración: 

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Donde se ha usado la propiedad de que la función coincide con su valor absoluto.

4. Transforma De Laplace De Algunas Funciones De Uso General

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para

funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada

de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada

término.

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella   denota a la

llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento

es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se

le suele asignar el valor 1/2.

32

33

5. Transformada De Laplace Para Funciones Trigonométricas

Transformada de Laplace del seno y coseno

34

Transformada de Laplace de exponencial, tangente

35

.

_____________________|____________________________

 ; s>a

36

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>0

  ; s>a

  ; s>a

  ; 

37

6. Transformada De Laplace De La Derivada De Una Función

Primer Teorema (transformada de una derivada)

Si   es continua a trozos y de orden exponencial en el intervalo  , entonces

Demostración 

Integrando por partes

 

 

 

Con un argumento similar podemos demostrar que

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Segundo Teorema (Transformada De Una Derivada)

Si   son continuas a trozos y de orden exponencial en el

intervalo  , entonces

 

Este teorema trata sobre el efecto que tiene en una transformada la estalación de

una función  .

Teorema (Propiedad De Escalación)

39

Sea   una función continua a trozos y de orden exponencial en  ,

si  , entonces

Demostración 

Para comprobar esta propiedad basta hacer un cambio de variable, 

 

 

40

7. Transformada de Laplace de la integral de una función integral

Se deduce que la transformada de Laplace de la integral ∫0

t

f ( t )dt (la primitiva de f

que se anula en t=0 es F (s )/s .

En efecto, denotando por g(t ) a la integral anterior se tiene que g' (t )= f (t ) y

g (0 )=0 , de donde.

Transformada Inversa De Laplace De Las Integrales.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces

L-1 f(u) du = F(t) / t

Ejemplo. Como L-1 1/[s(s + 1)] = L-1 (1/s ) - [1/(s + 1)] = 1 - e-t ,

Tenemos que

L-1 [(1/u) - 1/(u + 1)] du = L-1 ln [1 + (1/s)] = (1 - e-t)/t

MULTIPLICACION POR Sn.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t) y F(0) = 0, entonces

L-1 {s f(s)} = F'(t)

41

Así que, multiplicar por s produce el efecto de derivar a F(t).

Si F(0) 0,

Entonces

L-1{s f(s) - F(0)} = F'(t)

o L-1{s f(s)} = F'(t) + F(0) (t)

Conclusión

42

Al analizar las aplicaciones es sencillo darse cuenta que la transformada de

Laplace es una herramienta muy poderosa para la solución de circuitos con

funciones de excitación en escalón unitario, las cuales son un poco complicadas si

se analizan por los métodos convencionales.

También es importante hacer notar que con el uso de la transformada de Laplace

se tiene un método generalizado para la solución de este tipo de problemas,

incluso para funciones de excitación compleja.

La transformada de Laplace es una herramienta matemática que se emplea en el

análisis temporal y frecuencial de circuitos (haciendo   ) y tiene las

siguientes ventajas:

El resultado obtenido es la respuesta completa, con las condiciones

iníciales dadas. No es necesario realizar cálculos adicionales para obtener

la solución de la ecuación homogénea ni ajustar los valores de las

constantes de integración, tal como ocurre con la transformada de Fourier.

Los valores iníciales son atributos de los dispositivos. No es necesario

analizar el circuito en   para obtener ecuaciones útiles para ajustar los

valores de las constantes de integración.

43

No es necesario manipular las ecuaciones diferenciales del circuito. El

circuito equivalente en el dominio de Laplace cumple los lemas de Kirchhoff

y, por tanto, puede ser analizado mediante cualquier técnica derivada de los

mismos (por ejemplo, las técnicas de análisis de circuitos en continua). Esto

incluye los metodos de mallas, nudos, teoremas de Thevenin, Norton,

Miller, superposición, sustitución, etc.

El cálculo de la transformada inversa, necesario para convertir las señales

del dominio de Laplace al dominio temporal, se simplifica mediante el uso

de tablas.

La respuesta en frecuencia   se puede obtener a partir de la

transformada de Laplace, analizando el circuito con condiciones iniciales

nulas y realizando la sustitución 

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Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_Z#Relaci.C3.B3n_con_Laplace

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/home.htm#funcion_seccionada

http://www.slideshare.net/profefisico/transformada-de-laplace-ejercicios-resueltos

http://librospdf1.blogspot.com/2012/03/ejercicios-resueltos-de-transformada-de.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001601/cap04/Cap4tem1.html

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Funci%C3%B3n_Heaviside

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_rampa#Propiedades_anal.C3.ADticas

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node3.html

http://oretano.iele-ab.uclm.es/~pmorales/online/atc-man/node246.html