MATRICES

Republica Bolivariana De Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Educ. Sup.

Aldea Universitaria Ezequiel Zamora

San Carlos Edo Cojedes

Prof. Humberto Lpez Participante

Naldo Utrera C.I 20.269.135

Introduccin

El concepto de matriz alcanza mltiples aplicaciones tanto en la representacin y manipulacin de datos como en el clculo numrico y simblico que se deriva de los modelos matemticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenieras, la economa, la fsica, la estadstica y las diferentes ramas de las matemticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el clculo numrico y, por supuesto, el lgebra.

En este math-block presentamos algunos tipos de matrices, analizamos las principales operaciones con matrices y damos algunas aplicaciones del lgebra de matrices. Para completar el estudio sobre este tema se presentan los determinantes.

El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teora de matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir la existencia de solucin de sistemas de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de Rouch Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores.

Los campos de aplicacin de la teora de los determinantes y, en general, de la teora de matrices son muy amplios, y abarcan desde las ms clsicas aplicaciones en las reas de la fsica, la economa, e ingeniera hasta aplicaciones ms recientes como la generacin de grficos por ordenador, la teora de la informacin, y la criptografa. MATRICES

La teora de matrices, introducida en 1858, tiene hoy aplicaciones en campos diversos como el control de inventarios en las fabricas; teora cuntica, en fsica; anlisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las operaciones militares y anlisis de datos, en sicologa y sociologa.

Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros colocados entre parntesis, cuadrados o lneas dobles.

0 1 2 ,1 0

4 ,[1, 2]

-1 4

3 0

3

Una matriz se representa mayormente por parntesis o corchetes.

En matemticas, una matriz es una ordenacin rectangular de nmeros, o ms generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicacin lineal y registrar los datos que dependen de varios parmetros. Las matrices se describen en el campo de la teora de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que tambin las hace un concepto clave en el campo del lgebra lineal.

TIPOS DE MATRICES

FILA: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1n

COLUMNA: Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m1

RECTANGULAR: Aquella matriz que tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su orden mn,

TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Se representa por At AT

OPUESTA: La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA: Si todos sus elementos son cero. Tambin se denomina matriz cero y se denota por 0mn

CUADRADA:Aquella matriz que tiene igual nmero de filas que de columnas, m = n, dicindose que la matriz es de orden n.

Diagonal principal: son los elementos a11, a22,..., ann

Diagonal secundaria: son los elementos aij con i+j = n+1

Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

Diagonal principal:

Diagonal secundaria:

SIMTRICA:Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.

ANTISIMTRICA: Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.

DIAGONAL:Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD:Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambin se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR: Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL: Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.

El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.

El determinante de una matriz ortogonal vale +1 -1.

NORMAL: Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simtricas, anti simtricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA: Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que:

OPERACIONES CON MATRICES Suma y resta de matricesPara poder sumar o restar matrices, stas deben tener el mismo nmero de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 2 y otra de 3 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es as ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los trminos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar ms de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, stas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Multiplicacin de un escalar por una matriz.

Sean (( (o (() y A = , entonces (A = .

(A es la matriz que se obtiene de multiplicar cada entrada de A por (.

Ejemplos:

Multiplicar la matriz A = por 4, resulta:

3A = =

Multiplicacin de matrices.Dadas matrices Amxn = y Bnxk = el producto A ( B es la matriz Cmxk = , en donde la entrada i, j de esta matriz es

cij = .

Ejemplos:

i) Si A2x3 = y B3x4 = , entonces

(A ( B)2x4 =

Multiplicacin de un vector fila por un vector columna: Sean u = y

v = , el producto u ( v es (la matriz 1x1) (a1 b1 + + an bn). Note que el producto de un vector fila por otro columna de igual tamao coincide con el producto escalar en IRn (habida cuenta que identificamos ambos conjuntos; M1xn y Mnx1 con IRn). Con esta observacin una forma prctica de multiplicar dos matrices de tamao apropiado consiste en multiplicar la fila i de la primer por la columna j de la segunda, para as obtener la entrada i, j de la matriz producto de ambas. Por ejemplo, en la entrada 2, 3 del producto A por B en el ejemplo i) se obtiene multiplicando la fila 2 de A por la columna 3 de B:

( = = ()

Multiplicar una matriz A por ambos lados por la matriz nula O, de tamao apropiado, siempre resulta la matriz nula, mientras que multiplicar por la identidad de tamao apropiado, tambin a ambos lados, siempre resulta la matriz A.

Multiplicacin de una matriz 3x2 por una 2x3: Sean A2x3 = y

B3x2 = , el producto A ( B = , mientras que

B ( A = . Con este ejemplo se muestra que la multiplicacin de matrices no es una operacin conmutativa. Se puede mostrar otros ejemplos de matrices A y B para las que ni siquiera se puede cambiar el orden de multiplicacin. En efecto, se puede multiplicar una matriz A2x3 con una B3x4, pero el producto B ( A no tiene sentido, pues para multiplicar matrices, la matriz a la izquierda debe tener tantas columnas como filas tiene la matriz a la derecha.

Si se multiplican matrices cuadradas siempre se puede cambiar el orden, pero incluso en este caso, aunque hay muchos ejemplos en que se verifica la conmutatividad para la multiplicacin de matrices: A ( A = A2, A ( I = A = I ( A, A ( O = O = O ( A, la multiplicacin de matrices no es, en general, conmutativa:

( = (=(

Producto de matricesPara poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo nmero de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedar con el mismo nmero de filas de la primera y con el mismo nmero de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 5, la matriz resultante ser de orden 2 5.

(2 3) (3 5) = (2 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podramos efectuar la operacin.

3 5 por 2 3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo nmero de columnas que filas la segunda.

Supongamos queA= (ai j ) yB= (bi j ) son matrices tales que el nmero de columnas deAcoincide con el nmero de filas deB; es decir,Aes una matrizmpyBuna matrizpn. Entonces el productoABes la matrizmncuya entradaijse obtiene multiplicando la filaideApor la columnajdeB.

Esto es,

Ejemplo:

1.

2.

Producto por un escalarEl producto de un escalarkpor la matrizA, escritokAo simplementekA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada deApork:

Ejemplo:

Entonces:

Divisin de matricesLa divisin de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matricesAyBtal queA/B = AB-1:

Si una matriz est dividida entre un escalar, todos los trminos de la matriz quedarn divididos por ese escalar.

Ejemplo:

MATRICES INVERTIBLESSe dice que una matriz cuadradaAes invertible, si existe una matrizBcon la propiedad de que

AB = BA = IsiendoIla matriz identidad. Denominamos a la matrizBla inversa deAy la denotamos porA-1.

Ejemplo:

Puesto queAB = BA = I, AyBson invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Mtodo de GaussSeaA= (ai j ) una matriz cuadrada de ordenn. Para calcular la matriz inversa deA, que denotaremos comoA-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matrizn2n M= (AI) esto es,Aest en la mitad izquierda deMy la matriz identidadIen la derecha.

Paso 2.Se deja tal y como est la primera fila deM, y debajo del primer trmino de la diagonal principal,a11, que llamaremospivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo trmino de la diagonal principal.

Al llegar al ltimo trmino de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el ltimo trmino de la diagonal, la matrizAse transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matrizMse convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo est, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas deMpor un escalar.

Ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matrizM= (AI),

La mitad izquierda deMest en forma triangular, por consiguiente,Aes invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitadAdeM, la operacin habra terminado (Ano es invertible).

A continuacin, cogemos como pivotea33, ponemos ceros encima de ste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar ms. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

La matriz que ha quedado en la mitad derecha deMes precisamente la matriz inversa deA:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicarAA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidadI.

Comprobacin:

AA-1 =I

Ejercicio: operaciones con matrices

a)Qu clase de matrices son?

b)Calcular:

-A-B+C.

A+B-C.

3A+C/2.

c)Calcular:

(AB) /C.

d) Calcular la inversa deA(A-1) y comprobar el resultado.

Resolucin:

a)Las tres matrices son cuadradas y de orden tres.Asu vez,Bes una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, yCes antisimtrica porque los elementos simtricos son opuestos entre s.

b)

c) Puesto que (AB) /C=ABC-1, calcularemos primero la inversa deCy luego haremos el producto.

Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,

Por lo tanto, la matriz inversa deCes:

Acontinuacin, se calcula el producto de las matricesAyB,

Por ltimo, calculamos (AB)C-1.

=.

Sacando factor comn 1/3, el resultado puede escribirse como:

d)

Primero se construye la matrizM= (AI) y luego se va desarrollando por Gauss. As pues:

Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene

.

Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,

.

Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda deM, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,

As pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor comn 1/78 se puede escribir como:

Para comprobar el resultado, la matriz inversa deAoA-1, tiene que cumplir

AA-1 =I.

Procedamos a la comprobacin:

MATR. Y SIST. DE ECUAC. LINEALESLa matriz ampliadaMde un sistema demecuaciones connincgnitas es la siguiente:

Cada fila deMcorresponde a una ecuacin del sistema y cada columna a los coeficientes de una incgnita, excepto la ltima, que corresponde a las constantes del sistema.

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, especficamente, reducindola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.

Mtodo de GaussPara resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el mtodo de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Sea el sistema,

Su matriz ampliada asociada es

Ahora resolvemos por el mtodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de lax, la segunda a los de lay, la tercera a los de lazy la cuarta a los trminos independientes:

De este modo, el sistema tiene la solucin nica

x= 2,y= -1,z= 3. DeterminanteSe denomina determinante de una matriz cuadrada al nmero que resulta de sumar/restar todos los productos que pueden obtenerse tomando un factor y slo uno de cada fila y un factor y slo uno de cada columna. Los productos resultantes son n!, si n es el orden de la matriz cuadrada.1El determinante es un nmero real asociado con una matriz mediante lafuncindeterminante. El determinante de una matriz de 1 x 1 es igual a su elemento. La denotacin del determinante se da de la siguiente manera:

OPERACIONES CON DETERMINANTES.-Lasoperacionescon determinantes son todas las operaciones que se pueden realizar sobra la matriz para resolucin de su determinante y que no alteren su resultado, todo esto nos lleva a las propiedades de los determinantes que ser mostrada a continuacin:

Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante por medio de matrices de permutacin, suvalorno se modifica, como sabemos todo lo que decimos para las filas tambin podemos decir para las columnas.

Si todos los elementos de una fila o columna son nulos, el determinante ser cero.

Si se permutan dos filas o columnas iguales, el valor del determinante cambia de signo.

Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales su valor es cero.

Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un mismo escalar k, el valor del determinante queda multiplicado por K

Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante son suma de dos o ms trminos, el determinante es igual a la suma de dos o ms determinantes.

Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se suman con los elementos correspondientes de otra por un escalar k, el valor de determinante no vara.

DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOSLos determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

=a11

As, el determinante de una matriz 1 1A= (a11) es el propio escalara11, es decir, det (A) = |a11| =a11.

Ejemplos:a)Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5.

b)

DETERMINANTES DE ORDEN TRESConsideremos una matriz 3 3 arbitrariaA= (ai j ). El determinante deAse define como sigue:

a12a21a33 - a32a23a11

Obsrvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 3A= (ai j ) puede reescribirse como:

det (A) =a11(a22a33 - a23a32) -a12(a21a33 - a23a31) +a13(a21a32 - a22a31) =

que es una combinacin lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinacin lineal puede indicarse de la forma siguiente:

Ntese que cada matriz 2 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Conclusin_1238419129.unknown

_1238421802.unknown

_1238423049.unknown

_1238441267.unknown

_1238441297.unknown

_1238441402.unknown

_1238441441.unknown

_1238441360.unknown

_1238440533.unknown

_1238423159.unknown

_1238422131.unknown

_1238422914.unknown

_1238422017.unknown

_1238419853.unknown

_1238420620.unknown

_1238421708.unknown

_1238419989.unknown

_1238419445.unknown

_1238419508.unknown

_1238419228.unknown

_1238406516.unknown

_1238406777.unknown

_1238395055.unknown

_1238406276.unknown

_1238394893.unknown