CUADERNO DE TRABAJO

CÁLCULO DIFERENCIAL

ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE NIVEL

BACHILLERATO

NOMBRE DEL ALUMNO:

_____________________________________________________

NUMERO DE LISTA:

_____________________________________________________

GRUPO:

_______________________

PERIODO 2014-B

0

10

20

30

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Método Grafico

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

Método Grafico

LIMITES

Nota: Para calcular el límite de una función polinomial se debe resolver por 2

métodos; el primero llamado método gráfico y el segundo método algebraico.

Ejemplos:

1.- Calcular el siguiente límite de la siguiente función.

Método Grafico:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥

𝑓(𝑥) = (−1)2— 1 + 2

= 1 + 2 = 𝟒

lim𝑥→2+

𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4

lim𝑥→2−

𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4

Conclusión:

∴ lim𝑥→2

𝑥2 − 𝑥 + 2 = 4

2.- calcular el límite de la siguiente función.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 x → 0 Método Grafico: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥

𝑓(𝑥) = (−3)2— 12

= 9 + 2 = 𝟕

x f(x)

-1 4

0 2

1 2

2 4

3 8

4 14

5 22

x f(x)

-3 7

-2 2

-1 -1

0 -2

1 -1

2 2

3 7

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2 x → 2

lim𝑥→2

𝑥2 − 𝑥 + 2

= (2)2 − (2) + 2

= 4 − 2 + 2

= 6 − 2

= 𝟒

Método Algebraico:

lim𝑥→2

𝑥2 − 2

= (𝑜)2 − 2

Método Algebraico

=𝑥2-2

=-2

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8

Método Grafico

3.- Calcular el siguiente límite de la siguiente función.

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 x → 3

Método Grafico: 𝑓(𝑥) = x + 2 𝑓(𝑥) = (0) + 2

= 0 + 2 = 𝟐

4.- Calcular el siguiente límite de la siguiente función.

𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 𝑥 − 2 x → 1

-5

0

5

10

15

-4 -2 0 2 4 6

Método Gráfico

x f(x)

0 2

1 3

2 4

3 5

4 6

5 7

6 8

f(x)

-2 0

-1 -2

0 -2

1 -1

2 2

3 7

4 14

lim𝑥→3

𝑥2 + 2

= (3) + 2

Método Algebraico

=x+2

=5

lim𝑥→1

𝑥2 − 𝑥 − 2

= (1) − (1) − 2

Método Algebraico

=-2

5.- Calcular el siguiente límite de la siguiente función.

𝑦 = 1 − 𝑥3 x 0

Calcula los siguientes limites por lo métodos gráfico y analítico

1.- 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 5 x → −1

2.- 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 − 8

x → 0

3.- 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 5 x → 2

4.- 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 − 5 x → −2

5.- 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 𝑥 − 7

x → 1

𝟔. 𝑦 = 𝑥4 − 2; x 3

𝟕. 𝑦 = 𝑥3 − 1; x 0

𝟖. 𝑦 = 𝑥 − 2; x 0

𝟗. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 1 x 1

𝟏𝟎. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 2 x -1

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-4 -2 0 2 4

Método Grafico X Y

-3 28

-2 9

-1 2

0 1

1 0

2 -7

3 -26

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Valores FX

LIMITES DE FUNCIONES RACIONALES

Ejemplos:

𝑓(𝑥) = 𝑥2−4

𝑥+2

𝑥 + 2 = 0

𝑥 = −2

x F(x)

-5 -7

-4 -6

-3 -5

-2.5 -4.5

-2.2 -4.2

-2.1 -4.1

-2.01 -4.01

-1.99 -3.99

-1.9 -3.9

-1.8 -3.8

-1.5 -3.5

-1 -3

0 -2

1 -1

𝑓(𝑥) = 4𝑥+1

2𝑥+1

2𝑥 + 1 = 0

𝑥 = −0.5

x F(x)

-3 2.20

-2.5 2.25

-2 2.33

-1.5 2.5

-1 3

-0.7 4.5

-0.3 -0.5

0 1

0.5 1.5

1 1.66

1.5 1.75

2 1.8

2.5 1.83

3 1.85

EJERCICIOS

Calcula el límite de las siguientes funciones racionales en los puntos donde

no hay solución

𝑓(𝑥) = 5𝑋+3

3𝑥−2

𝑓(𝑥) = 1𝑋+3

4𝑥−1

𝑓(𝑥) = 5𝑋+5

2𝑥+1

𝑓(𝑥) = 𝑥3+6

𝑥+2

𝑓(𝑥) = 1𝑋−2

7𝑥−8

𝑓(𝑥) = 2𝑥2−4

𝑥−2

𝑓(𝑥) = 𝑥2+2.3

𝑥+4

𝑓(𝑥) = 2𝑥2−2𝑋

𝑥−3

𝑓(𝑥) = 2𝑥2−4

−3𝑥+2

𝑓(𝑥) = 𝑋−8𝑋

−𝑥+2

LIMITES INFINITOS

𝒇(𝒙) = 𝟏

𝒙𝟑

𝒙 → 𝟎

x y -3 -0.037

-2 -0.125

-1 -1

-0.5 -8

-0.2 -125

-0.1 -1000

-0.01 -1000000

0.01 1000000

0.1 1000

0.2 125

0.5 8

1 1

2 0.125

3 0.037

-1500000

-1000000

-500000

0

500000

1000000

1500000

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Valores Y

Valores Y

Calcula los siguientes límites

𝟏. 𝒇(𝒙) = 𝟏

𝒙𝟐

𝟐. 𝒇(𝒙) = 𝟏

𝒙𝟒

𝟑. 𝒇(𝒙) =𝟏

𝟑𝒙

4.- 𝒇(𝒙) =𝟏

𝟐𝒙

5.- 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙−𝟑

6.- 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙𝟑

7.- 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙𝟒

8.- 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙−𝟔

9.- 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙𝟔

10.- 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙−𝟖

LIMITES EN EL INFINITO

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑

+

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Valores Y

Valores Y

Factorización

𝑥2 + 2𝑥 − 3

(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)

𝑥 − 1 = 0 𝑥 + 3 = 0

𝑥 = 1 𝑥 − 3

𝑓(𝑥) =2(1)−1

12+2(1)−3

2−1

1+2−3=

1

0= ∞

𝑓(𝑥) = 2(−3)−1

−32+2(−3)−3

−6−1

9−6−3=

−7

0= ∞

X Y

-6 -0.6

-5 -0.9

-4 -1.8

-3.5 -3.5

-3.2 -8.8

-3.1 -17.56

-3.01 -175

-2.99 174.9

-2.9 17.4

-2.8 8.68

-2.5 3.42

-2 1.66

-1 0.75

0 0.33

0.5 0

0.8 0.78

0.9 -2.05

0.99 -24.56

1.01 -24.43

1.1 2.92

1.2 1.66

1.5 0.88

2 0.6

3 0.41

4 0.33

Calcula los siguientes límites en el infinito

𝟏. −𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟒

𝟐. −𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟑

3.- 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙−𝟐

𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑

4.- 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝒙𝟐+𝟔𝒙−𝟖

5.- 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝟒𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟑

6.- 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝒙𝟐+𝟕𝒙+𝟑

7.- 𝒇(𝒙) = 𝟖𝒙−𝟏

𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟑

8.- 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝒙𝟐−𝟖𝒙+𝟑

9.- 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝟏𝟎𝒙𝟐+𝟐𝒙+𝟏𝟓

10.- 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟏

𝟑𝒙𝟐+𝟓𝒙−𝟑

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEO

𝟏. 𝑭(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟗

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 2(𝑥 + ∆𝑥)2 + 7(𝑥 + ∆𝑥) − 9

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 2(𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥2) + 7(𝑥 + ∆𝑥) − 9

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥∆𝑥 + 2∆𝑥2 + 7𝑥 + 7∆𝑥 − 9

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚 = lim∆𝑥→0 =

[2𝑥2+4𝑥∆𝑥+2∆𝑥2+7𝑥+7∆𝑥−9]−[2𝑥2+7𝑥−9]

∆𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚 = lim∆𝑥→0 =

4𝑥∆𝑥+2∆𝑥2+7∆𝑥

∆𝑥= lim∆𝑥→0 =

4𝑥∆𝑥

∆𝑥+

2∆𝑥2

∆𝑥+

∆𝑥

∆𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim∆𝑥→0 = 4𝑥 + 2∆𝑥 + 7 = 4𝑥 + 2(0) + 7

𝟐. 𝑭(𝒙) = −𝟔 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚 = lim∆𝑥→0 =

[−6]−[−6]

∆𝑥

𝟑. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟑

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 2(𝑥 + ∆𝑥) − 3

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 2𝑥 + 2∆𝑥 − 3 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚 = lim

∆𝑥→0=

[2𝑥+2∆𝑥−3]−[2𝑥−3]

∆𝑥= lim

∆𝑥→0=

2∆𝑥

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝟒. 𝒇(𝒙) =𝟏

𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑚 = lim

∆𝑥→0= [

1

2] − [

1

2]

𝟓. 𝒇(𝒙) = 𝟕𝒙 − 𝟒𝟎

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 7(𝑥 − ∆𝑥) − 40 = 7𝑥 + 7∆𝑥 − 40 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚 = lim

∆𝑥→0=

[7𝑥+7∆𝑥−40]−[7𝑥−40]

∆𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑚 = lim

∆𝑥→0=

7∆𝑥

∆𝑥

Calcula la razón de cambio de las siguientes funciones:

1. 𝑓(𝑥) = 14𝑥2 − 23𝑥 + 9

2. 𝑓(𝑥) = 1

5𝑥2 +

2

3𝑥 + 8

3. 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 3

4. 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 − 6𝑥2 − 5𝑥 − 3

5. 𝑓(𝑥) = 1

3𝑥 +

1

7

=4x+7

=0

=2

=0

=7

6. 𝑓(𝑥) = 12𝑥2 + 23𝑥 − 9

7. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 3𝑥 + 9

8. 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 − 2

9. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 9

10. (𝑥) = 1

5𝑥 +

1

6

VELOCIDAD PROMEDIO

1.-La ciudad de México a la de puebla se hace en autobús una hora treinta

minutos, al recorrer la distancia de 128 km que las separa podemos calcular la

magnitud de la velocidad media durante el viaje

νᵐ= 𝑑

𝑡=

128 𝑘𝑚

1.5 ℎ= 85.3 𝑘𝑚

ℎ⁄

2.-Encuentra la velocidad media o promedio de un móvil que durante su recorrido

hacia el norte tuvo las siguientes Velocidades

Datos

𝑣1 = 18.5 𝑚𝑠 𝑣2= ⁄ 22 𝑚

𝑠 ⁄ 𝑣3 = 20.3 𝑚 𝑠⁄ 𝑣4 = 21.5 𝑚 𝑠⁄ 𝑣𝑚 =?

Formula:

𝑣𝑚 =𝑣1+ 𝑣2+ 𝑣3+ 𝑣4

4

𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣4 = ∑𝑢

.. . 𝑣𝑚 =∑𝑣

4

Sustitución y resultado

Σ𝑣 = 18.5 𝑚 𝑠⁄ + 22 𝑚 𝑠⁄ + 20.3 𝑚 𝑠⁄ + 21.5 𝑚 𝑠⁄ = 82.3 𝑚 𝑠⁄

𝑣𝑚 =82.3 𝑚 𝑠⁄

4= 20.57 𝑚 𝑠⁄

𝑣𝑚 = 20.57 𝑚 𝑠⁄ 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑟𝑡𝑒

3.-determinar el tiempo en que un móvil recorre una distancia de 30 m si lleva una

velocidad media de 3 𝑚 𝑠⁄ al sur. Solución:

Datos: d= 30m 𝑣𝑚 = 3 𝑚 𝑠⁄ t=?

Formula: 𝑣𝑚 =𝑑

𝑡 ∴ 𝑡 =

𝑑

𝑣𝑚

Sustitución y resultado 𝑡 =30𝑚

3𝑚 𝑠⁄= 10𝑠

4.- Calcular la velocidad promedio de un móvil si partió al este con velocidad inicial

de 2 m/s y su velocidad final fue de 2.7 m/s

Datos 𝑣0 = 2𝑚

𝑠 𝑣𝑓 = 2.7

𝑚

𝑠 𝑣𝑚 =?

Formula= 𝑣𝑚 =𝑣0+ 𝑣𝑓

2

Sustitución y resultado 𝑣𝑚 =2𝑚 𝑠+2.7𝑚 𝑠⁄⁄

2= 2.35𝑚/𝑠

𝑣𝑚 = 2.35𝑚

𝑠𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑒

5.- Calcular la distancia en metros que recorrerá un motociclista durante 10

segundos si lleva una velocidad media de 60 km/h al oeste. Solución:

Datos: 𝑣𝑚 = 60𝑘𝑚

ℎ 𝑡 = 10 𝑠 𝑑 =?

Formula: 𝑣𝑚 =𝑑

𝑡 ∴ 𝑑 = 𝑣𝑚𝑡

Transformación de unidades: 60𝑘𝑚

ℎ𝑥

1000𝑚

1𝑘𝑚𝑥

1ℎ

3600𝑠= 16.66 𝑚/𝑠

Sustitución y resultado d= 16.66 m/s X10 s = 166.6 m

Ejercicios:

1.- ¿Cuál es la magnitud de la velocidad promedio de un autobús de pasajeros

que recorre una distancia de 120 km en 1.6h?

2.- Determina la magnitud de la velocidad promedio de un automóvil que lleva una

velocidad inicial cuya magnitud es de 3 m/s y su velocidad final es de una

magnitud de 4.2 m/s.

3.- Encuentra el desplazamiento en metros que realizara un ciclista durante 7

segundos, si lleva una velocidad media de 30km/h al norte

4.- calcular el tiempo en horas en que un automóvil efectúa un desplazamiento de

3 km si lleva una velocidad media de 50 km/h al sur.

5.- calcular el tiempo en horas en que un automóvil efectúa un desplazamiento de

8 km si lleva una velocidad media de 40 km/h al norte.

6.- calcular el tiempo en horas en que un camión de carga efectúa un

desplazamiento de 3.5 km si lleva una velocidad media de 60 km/h al este.

8.- calcular el tiempo en horas en que un autobús efectúa un desplazamiento de

12 km si lleva una velocidad media de 40 km/h al sur.

9.- ¿Cuál es la magnitud de la velocidad promedio de un autobús de pasajeros

que recorre una distancia de 150 km en 2.6h?

10.- Determina la magnitud de la velocidad promedio de un automóvil que lleva

una velocidad inicial cuya magnitud es de 8 m/s y su velocidad final es de una

magnitud de 6.2 m/s.

DERIVADA

1- Ƒ(X)=-4X-5+8X-3-6X2-X-1-6X

Ƒ’(X)=20X-6-24X-4-12X+X2-6

Ƒ’(X)=-6X-9+3X-4+6X2+8X-1-11X+3

Ƒ’(X)=54X-10-12X-5+12X-8X2-11+0

2- Ƒ(X)=-6X-5+8X-3+16X4-32X-1-6

Ƒ’(X)=30X-6-24X-4+64X3+32X2-0

RESUELVE LAS SIGUIENTES DERIVADAS

1- Ƒ(X)=18X3-28X4+16X5+7X

2- Ƒ(X)=9X3+23X2+8X-3

3- Ƒ(X)=4X-6+7

𝑋−4+6X-5+6

𝑋3 +1

𝑋+ 30

4- Ƒ(X)=1

3𝑋−4 +

6

5𝑋2 +7

𝑋+

1

2𝑋−8

5- Ƒ(X)=5X4+6X2+3X5+8X+1

6- Ƒ(X)=6X-3+8X5+36X2-23X+52

7- Ƒ(X)=6X-9+8X3-16X-28X-5+35X3+23X2

8- Ƒ(X)=-4X-5+8X-3-6X2-X-1-6X

9- Ƒ(X)=9X3-6X2+7X4+8X+6

10- 10-Ƒ(X)=3X-5+6X-9X2+3X3

Ƒ’(X)=30

𝑋6 −24

𝑋4 + 64𝑋3 +32

𝑋2

Ƒ’(X)=54

𝑋10−

12

𝑋5+12X−

8

𝑋2− 11

REGLA DEL PRODUCTO

1. La derivada de la primera expresión por la segunda , mas

2. La derivada de la segunda expresión por la primera

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑢. 𝑣) = (

𝑑𝑦

𝑑𝑥) (𝑣) + (

𝑑𝑦

𝑑𝑥) (𝑢)

Ejemplos

1. 𝒇(𝒙) = (𝟕𝐱𝟐 + 𝟗𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟑) (𝟐𝒙𝟒 − 𝟕𝒙 + 𝟐 + 𝟏𝟔𝒙𝟐 )

La derivada de la primera expresión más, la derivada de la segunda expresión por

la primera.

ʄ ´(x)= (14𝑥 + 27𝑥2 + 6) (2𝑥4 − 7𝑥 + 2 + 16𝑥2) + (8𝑥3 − 7 + 32𝑥) (7𝑥 + 9𝑥3 + 6𝑥 − 3)

n

=28𝑥5 − 98𝑥2 + 28𝑥 + 224𝑥3 + 54𝑥6 − 189𝑥3 + 54𝑥2 + 432𝑥4 + 12𝑥4 − 42𝑥 + 12 + 96𝑥2 ,

+56𝑥5 + 72𝑥6 + 48𝑥4 − 24𝑥3 − 49𝑥2 − 63𝑥3 − 42𝑥 + 21 + 224𝑥3 + 288𝑥4 + 192𝑥2 − 96𝑥.

Sumando las expresiones obtenemos el resultado

2. 𝑓(𝒙) = (𝟕𝐱𝟔 − 𝟏𝟗𝐱𝟒 + 𝟕𝐱𝟑 + 𝟔𝐱 + 𝟗) (𝟐 − 𝟒𝐱𝟑 − 𝟏𝟐𝐱𝟒 + 𝟑𝐱𝟓 + 𝟏𝟑𝐱)

𝑓 ´ (𝑥) = (42𝑥5 − 76𝑥3 + 21𝑥2 + 6) (2 − 4𝑥3 − 12𝑥4 + 3𝑥5 + 13𝑥)

+ (−12𝑥2 − 48𝑥3 + 15𝑥4 + 13) (7𝑥6 − 19𝑥4 + 7𝑥3 + 6𝑥 + 9)

=84𝑥5 − 168𝑥8 − 504𝑥9 + 126𝑥10 + 546𝑥6 − 152𝑥3 + 304𝑥6 + 912𝑥7 − 288𝑥8 − 988𝑥4 +

42𝑥2 − 84𝑥5 − 252𝑥6 + 63𝑥7 + 273𝑥3 + 12 − 243𝑥3 − 72𝑥4 + 18𝑥5 + 78𝑥 ,

−84𝑥8 + 228𝑥6 − 85𝑥5 − 72𝑥3 − 108𝑥2 − 336𝑥9 + 912𝑥7 − 336𝑥6 − 288𝑥4 − 432𝑥3 +

105𝑥10 − 285𝑥8 + 105𝑥7 + 90𝑥5 + 135𝑥4 + 91𝑥6 − 247𝑥4 + 91𝑥3 + 78𝑥 + 117.

Resultado =126𝑥6 + 84𝑥5 + 780𝑥4 + 172𝑥3 + 195𝑥2 − 152𝑥 + 33

Resultado=231𝑥10 − 840𝑥9 − 765𝑥8 + 1992𝑥7 + 581𝑥6 + 24𝑥5 − 460𝑥4 − 316𝑥3 − 66𝑥2 +

156𝑥 + 129

3. 𝑓(𝒙) = ( ─18x + 12 ) (2x ─ 11 )

f ´ (x)= (─18) (=2x ─ 11) + ( 2) ( ─18x + 12 )

= ─36x+198─36x+24

=─36x─36x+198+24

4. 𝑓(𝒙) = (𝟐𝒙𝟐 – 𝒙) (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 – 𝟏)

f´(x) = (2x)( x2 + 2x − 1) + (x + 2 − 1)(2x2 – x)

=2𝑥3 + 4𝑥4 − 2 + 2𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥2 − 2𝑥 − 2𝑥2 + 1𝑥

=2𝑥3 + 2𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥2 + 4𝑥2 − 𝑥2 − 2𝑥2 − 2𝑥 + 1𝑥 − 2

5. 𝑓(𝒙)= (x+3) ( −𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑)

f´(x) = (3)(−x2 − x + 3) + (−x + 3)(x + 3)

=−3𝑥2 − 3𝑥 + 9 − 𝑥2 − 3𝑥 + 3𝑥 + 9

=−3𝑥2 − 𝑥2 − 3𝑥 + 3𝑥 + 9 + 9

Ahora hazlo tú…

Resuelve los siguientes ejercicios

1. 𝑓(𝒙) = (─𝟏𝟐𝐱 − 𝟑)(𝟐𝐱 + 𝟏𝟕)

2. 𝑓(𝒙)= (𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏)(−𝟐𝒙 + 𝟐)

3. 𝑓(𝒙)= (2x+1) (−𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)

4. 𝑓(𝒙)= (5x+1) (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 – 𝟏)

5. 𝑓(𝒙)= (𝟑𝒙 − 𝟒) (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟒)

6. 𝑓(𝒙) = (𝟒𝒙 + 𝟓𝒙𝟑)(𝟐𝐱 + 𝟏𝟕)

7. 𝑓(𝒙) = (𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟑)(𝟔𝐱 + 𝟏)

8. 𝒇(𝒙) = (𝟒𝒙 − 𝟑) (𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟓)

9. 𝑓(𝑥) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 ) (𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖)

10. 𝒇(𝒙) = (𝟖𝒙 − 𝟑𝒙) (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏)

Resultado = ─72x + 222

Resultado = 4𝑥3 − 6𝑥2 − 2

Resultado= −4𝑥2 − 6𝑥 + 18

REGLA DEL COCIENTE

Fórmula: 𝑑(

𝑢

𝑣)

𝑑𝑥=

(𝑑𝑢

𝑥)(𝑣)−(

𝑑−𝑣

𝑑𝑥)(𝑢)

𝑉2

Ejemplo:

1.- Encuentra la siguiente derivada.

𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑 − 𝟐

𝟕𝒙𝟑+𝒙𝟐 + 𝟔

𝑓′(𝑥) =

(𝑑(6𝑥2 + 3 − 2)𝑑𝑥

(7𝑥3+𝑥2 + 6) −(𝑑(7𝑥3+𝑥2 + 6)

𝑑𝑥(6𝑥2 + 3 − 2)

7𝑥3+𝑥2 + 62

𝑓′(𝑥) =(12𝑥 + 3)(7𝑥3+𝑥2 + 6) − (21𝑥2 + 2𝑥)(6𝑥2 + 3 − 2)

7𝑥3+𝑥2 + 62

𝑓′(𝑥)(84𝑥4 + 12𝑥3 + 72𝑥 + 21𝑥3 + 3𝑥2 + 18) − (126𝑥4 − 63𝑥3 − 42𝑥 + 2𝑥3 + 6𝑥2 − 4𝑥)

7𝑥3+𝑥2 + 62

𝑓′(𝑥) =84𝑥4 + 12𝑥3 + 72𝑥 + 21𝑥3 + 3𝑥2 + 18 − 126𝑥4 + 63𝑥3 + 42𝑥 − 2𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥

7𝑥3+𝑥2 + 62

𝐟′(𝐱) =−𝟒𝟐𝐱𝟒 − 𝟒𝟐𝐱𝟑 + 𝟑𝟗𝐱𝟐 + 𝟕𝟔𝐱 + 𝟏𝟖

𝟕𝐱𝟑+𝐱𝟐 + 𝟔𝟐

2.- Encuentra la siguiente derivada.

𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟒 + 𝟖𝒙 − 𝟑

𝒙𝟒 − 𝒙𝟑+𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙

𝑓′(𝑥) =

(𝑑(6𝑥5 + 3𝑥4 + 8𝑥 − 3)𝑑𝑥

(𝑥4 − 𝑥3+12𝑥2 + 20𝑥) −(𝑑(𝑥4 − 𝑥3+12𝑥2 + 20𝑥)

𝑑𝑥(6𝑥5 − 3𝑥4 + 8𝑥 − 3)

𝑥4 − 𝑥3+12𝑥2 + 20𝑥

𝑓′(𝑥) =(30𝑥4 − 12 + 8)(𝑥4 − 𝑥3+12𝑥2 + 20𝑥) − (4𝑥3 − 3𝑥2 + 24𝑥 + 20)(6𝑥5 − 3𝑥4 + 8𝑥 − 3)

(𝑥4 − 𝑥3+12𝑥2 + 20𝑥)2

𝑓′(𝑥)(30𝑥8 − 30𝑥7 + 360𝑥6 + 600𝑥5 − 12𝑥7 + 12𝑥6 − 24𝑥5 − 240𝑥4 + 8𝑥4 − 8𝑥3 + 96𝑥2 + 160𝑥) − (24𝑥8 − 12𝑥7 + 32𝑥4 − 12𝑥3 − 18𝑥7 + 9𝑥6 − 24𝑥3 + 9𝑥2 + 144𝑥6 − 72𝑥5 + 192𝑥2 − 72𝑥)

(𝑥4 − 𝑥3+12𝑥2 + 20𝑥)2

𝑓′(𝑥)30𝑥8 − 30𝑥7 + 360𝑥6 + 600𝑥5 − 12𝑥7 + 12𝑥6 − 24𝑥5 − 240𝑥4 + 8𝑥4 − 8𝑥3 + 96𝑥2 + 160𝑥 − 24𝑥8 + 12𝑥7 − 32𝑥4 + 12𝑥3 + 18𝑥7 − 9𝑥6 + 24𝑥3 − 9𝑥2 − 144𝑥6 + 72𝑥5 − 192𝑥2 + 72𝑥

(𝑥4 − 𝑥3+12𝑥2 + 20𝑥)2

𝒇′(𝒙)𝟔𝒙𝟖 − 𝟏𝟐𝒙𝟕 + 𝟐𝟏𝟗𝒙𝟔 + 𝟒𝟎𝟖𝒙𝟓 − 𝟐𝟎𝟒𝒙𝟒 + 𝟐𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝟐𝒙 + 𝟔𝟎

(𝒙𝟒 − 𝒙𝟑+𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒙)𝟐

Ejercicios: Deriva las siguientes expresiones:

1.- 𝑓(𝑥) = 6𝑥2+4−2

7𝑥3+𝑥2+8

2.- 𝑓(𝑥) = 7𝑥2+3−2

9𝑥3+𝑥2+4

3.- 𝑓(𝑥) = 6𝑥3+3𝑥2−2𝑥+4

2𝑥47𝑥3+𝑥2+6

4.- 𝑓(𝑥) = 9𝑥2+3−2

7𝑥3+3𝑥2+8

5.- 𝑓(𝑥) = 6𝑥2+3−2

7𝑥3+5𝑥2+6

6.- 𝑓(𝑥) = 2𝑥2+5−1

7𝑥3+𝑥2+9

7.- 𝑓(𝑥) = 3𝑥3+3𝑥2−2𝑥+4

2𝑥45𝑥3+2𝑥2+4

8.- 𝑓(𝑥) = 2𝑥2−3−2

7𝑥3−3𝑥2−5

9.- 𝑓(𝑥) = 3𝑥46𝑥3+3𝑥2−2𝑥−4

2𝑥48𝑥3+2𝑥2+6

10.- 𝑓(𝑥) = 4𝑥36𝑥2+3𝑥−7

2𝑥3+𝑥2+8

REGLA DE LA CADENA

1.- 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)3

𝑓′(𝑥) = 3(2𝑥 + 1)3−1 𝑑𝑥(2𝑥 + 1) = 3(2𝑥 + 1)2 (2)

𝑓´(𝑥) = 6(2𝑥 + 1)2

2.-𝑓´𝑥 = (𝑥2 + 4𝑥 − 5)4

𝑓´𝑥 = 4(𝑥2 + 4𝑥 − 5)4−1 𝑑𝑥4(𝑥2 + 4𝑥 − 5) = 4(𝑥2 + 4𝑥 − 5)3 (2𝑥 + 4)

𝑓´𝑥 = 8(2𝑥2 + 4)(𝑥2 + 4 − 5)3

Ejercicios

1.- 𝑓´𝑥 = (𝑥2 + 5)

2.- 𝑓´𝑥 = (𝑥2 + 4)−3

3.- 𝑓´𝑥 = (𝑥3−32 + 5𝑥 + 2)

4.- 𝑓´𝑥 = (𝑥2 + 5𝑥 − 2)

5.- f ´𝑥 = (𝑥2 + 5𝑥 + 8)

6.- 𝑓´𝑥=(𝑥2 − 2𝑥 + 3)

7.- 𝑓´𝑥=(𝑥−2 + 8𝑥 − 5)

8.- 𝑓´𝑥= (𝑥2 + 2𝑥 + 1)

9.- 𝑓´𝑥 = (𝑥−2 + 7)

10.- 𝑓´𝑥 = (𝑥3 − 3𝑥 − 9)

MAXIMOS Y MINIMOS

El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 3 cm y que

aumenta 0.02cm cada uno

𝑦 = 𝑥3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2

𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥 x= 3 dx=0.02

𝑑𝑦 = 3(3)2 (0.02)

dx=0.54𝑐𝑚3

Se considera que el volumen de un cascaron esférico que recubre una esfera

constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del

cascaron esférico que tiene el radio interior de 8 cm y cuyo espesor es de 0.12cm

volumen de una esfera 4𝜋𝑥𝑅2

3

V= 4𝜋𝑥𝑅2

3

X=4𝜋

3 𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

12𝜋

3 𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=4𝜋𝑥2

𝑑𝑦 = 4𝜋𝑥2 (dx)

𝑑𝑦 = 4(3.14)(8)2(0.12)

𝑑𝑦 = 9646𝑐𝑚3

Ejercicios

1.-El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 8 cm y que

aumenta 0.017cm cada uno

2.-un terreno mide 2𝑘𝑚2 calcula cual es el error si la cerca se recorre un metro

a) hacia afuera

b) hacia adentro

3.-un fabricante de envases para liquido tiene un modelo con una forma cubica de

20cm por lado por un error se fabrica un lote de 0.02% de aumento en sus

dimensiones ¿cual será la nueva capacidad del recipiente?

4.- Se considera que el volumen de un cascaron esférico que recubre una esfera

constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del

cascaron esférico que tiene el radio interior de 10 cm y cuyo espesor es de 0.18cm

volumen de una esfera 4𝜋𝑥𝑅2

3

5.- El incremento aproximado del volumen de un cubo cuyo lado mide 10 cm y que

aumenta 0.035cm cada uno

6.- un terreno mide 5𝑘𝑚2 calcula cual es el error si la cerca se recorre 1

2 metro

a) hacia afuera

b) hacia adentro

7.- un fabricante de envases para liquido tiene un modelo con una forma cubica de

25 cm por lado por un error se fabrica un lote de 0.05% de aumento en sus

dimensiones ¿cuál será la nueva capacidad del recipiente?

8.- El incremento aproximado del volumen de un cuadrado cuyo lado mide 8 cm y

que aumenta 0.017cm cada uno

9.- Se considera que el volumen de un cascaron esférico que recubre una esfera

constituye un incremento del volumen. Calcula el volumen aproximado del

cascaron esférico que tiene el radio interior de 9 cm y cuyo espesor es de 0.20cm

volumen de una esfera 4𝜋𝑥𝑅2

3

10.-un recipiente flexible esférico tiene tiene un radio de 18cm a temperatura

ambiente. Su volumen varia en +

− 1% por cada grado centígrado de aumento o

disminución de temperatura originalmente la temperatura es de 25%

a) calcula la variación de volumen si la temperatura es de

a)50°c

b)30°c