Universidad Politécnica del Golfo de

México

“Ciencia y Tecnología que

Transforman

Carrera:

Ingeniería En Seguridad Y Automatización Industrial

Maestro:

José Alberto Lázaro Garduza

Materia:

Algebra lineal

Alumno:

CANDELARIO AREVALO CORDOVA

Grado/Grupo:

2° A

Carretera Federal Malpaso-El Bellote Km. 171 Monte Adentro C.P. 86600,

Paraíso, Tabasco, México

http://www.upgm.edu.mx/

METODOS DE ELIMINACION

ELIMINACION GAUSSIANA

En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el

sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez

resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de

todas las variables.

Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: Lo que buscamos son 3

números,  que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será

simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar

con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera

ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

Sumándolas resulta

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.

Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a

hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores

de las otras incógnitas. Se obtendrá:

Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número

diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.

Por otra parte, si se suma un múltiplo de una ecuación a otra ecuación del mismo

sistema, el resultado es otra ecuación válida. Por último, si se intercambian dos

ecuaciones de un sistema, lo que se obtiene es un sistema equivalente. Estas tres

operaciones, cuando se aplican a los renglones de una matriz aumentada, que

representa un sistema de ecuaciones, recibe el nombre de operaciones

elementales de renglón.

Operaciones elementales de renglón

a) Multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero.

b) Sumar el múltiplo de otro renglón a otro renglón.

c) intercambiar dos renglones

Hasta aquí hemos supuesto una situación idealmente simple en la que ningún

pivote (o coeficiente diagonal),  , se convierte en cero. Si cualquier pivote se

vuelve cero en el proceso de resolución, la eliminación hacia adelante no

procederá.

El pivoteo consiste en intercambiar el orden de las ecuaciones de modo que el

coeficiente del pivote,  , tenga la magnitud (en valor absoluto) mayor que

cualquier otro coeficiente que esté debajo de él en la misma columna y que por

tanto vaya a ser eliminado. Esto se repite con cada pivote hasta completar la

eliminación hacia adelante. 

-DEFINICION

El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones

lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas

operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya

respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana

es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente

siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada

variable.

Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer

las operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a continuación:

1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante

diferente de cero.

2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra

ecuación

3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.

Una vez conocidas las operaciones que en mi afán por resolver un sistema de

ecuaciones puedo realizar procedo a ilustrar el método con un ejemplo:

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x + 2y + 3z = 1

4x + 5y + 6z= −2

7x + 8y + 10z = 5

Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las 3

ecuaciones representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.

Usando el método de eliminación Gaussiana.

Solución:

Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen

exclusivamente los coeficientes de cada una, el signo de igual también es

eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la ecuación.

Quedando como sigue:

Diagonal principal

La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1)

la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace utilizando las

operaciones básicas de renglón para las ecuaciones, de arriba hacia abajo y de

izquierda a derecha.

Multiplico la ecuación 1 por −4 y la resto de la ecuación 2, de igual forma la

multiplico por −7 y la resto de la 3 obteniendo.

Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre −3 para hacer el componente de la

diagonal principal 1 quedando como sigue:

Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3).

Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo

de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también el

signo igual de las ecuaciones obteniendo:

Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2,

tendríamos

y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que:

y + 2(10) = 2

y + 20 = 2

y = 2- 20

y = −18

Al sustituir estos valores en la ecuación resultante 1 se tiene:

1x + 2y + 3z = 1

Si z= 10 y y=−18, entonces el valor de x será:

1x + 2y + 3z = 1

x + 2(−18) + 3(10)= 1

x – 36 + 30 = 1

x – 6 = 1

x = 1 + 6

x = 7

La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7, y= −18, y z= 10.

El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistema

de ecuaciones lineales del tipo 2×2, 3×3, 4×4 etc. siempre y cuando se respete la

relación de al menos tener el mismo número de ecuaciones que de variables.

DISTRIBUCIÓN DE RECURSOS

(INGENIERÍA EN GENERAL)

Antecedentes: todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que

la distribución correcta de recursos es un problema critico. Estas situaciones se

presentan al organizar inventarios de construcción, distribución de productos y

recursos en la ingeniería, Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la

fabricación de productos, el análisis general tiene importancia en un amplio

panorama de otros problemas.

Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras.

Se requieren cuatro clases de recursos- Horas-hombre, metales, plásticos y

componentes electrónicos-.

En este cuadro se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos

recursos en la producción de cada tipo de computadoras. Si se dispone

diariamente de 504 horas, hombre, 1970 kg de metal, 970 kig de plástico y 601

componentes electronicos. ¿Cuántas computadoras de cada tipo se pueden

construir por dia?

SOLUCION:

La cantidad total producida de cada computadora está restringida al total de

recursos disponibles en cada categoría diariamente. Estos recursos disponibles

se distribuyen entre los cuatro tipos de computadoras.

3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 =< 504

Y asi sucesivamente con los demás recursos.

20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 =< 1970

10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 =< 970

10x1 + 8x2 + 10x3 + 15x4 =< 601

Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultanea de otra

manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la producción de

los cuatro tipos de computadoras. Si los recursos disponibles representados por

el vector de término independiente de las ecuaciones anteriores, se reducen todos

a cero simultáneamente, entonces se puede remplazar el signo menor o igual por

el de igual. En este caso la cantidad total de cada tipo de computadora producida

se puede calcular resolviendo un sistema de ecuaciones de 4 por 4 usando los

métodos de gauss.

Aplicando la eliminación Gaussiana se tiene que:

X1=10

X2=12

X3=18

X4=15

Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. Por ejemplo,

suponiendo las ganancias que corresponden a cada computadora están dadas por

P1, P2, P3 y P4. La ganancia total asociada con un día de actividad está dada

por:

P = p1x1 + p2x2 + p3x3 + p4x4

Se sustituyen los resultados de X’s y se calculan las ganancias usando los

coeficientes del siguiente cuadro.

COMPUTADORA GANANCIA

1 1000

2 700

3 1100

4 400

P = 1000(10)+ 700(12)+ 1100(18)+ 400(18) = 44

200

De esta forma se pueden obtener una ganancia de $44 200 diarios con los

recursos especificados en el problema.

RESOLUCIÓN DE SISTEMASDE ECUACIONES LINEALES

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra

soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. El número

exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se

conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de

redondeo. Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se

pueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero

este método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos de

ecuaciones que se deben resolver simultáneamente. El método de inversión de

matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandes

de ecuaciones simultáneas.

Sin embargo, existen varias técnicas que se pueden utilizar, para resolver grandes

números de ecuaciones simultáneas. Una de las técnicas más útiles es el método

de Gauss-Seidel. Ninguno de los procedimientos alternos es totalmente

satisfactorio, y el método de Gauss-Seidel tiene la desventaja de que no siempre

converge a una solución o de que a veces converge muy lentamente. Sin

embargo, este método convergirá siempre a una solución cuando la magnitud del

coeficiente de una incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea

suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes

de esa ecuación.

Es difícil definir el margen mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los

otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la

convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa

convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente

dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma

de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la

convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se

conoce como sistema diagonal.

Un sistema diagonal es condición suficiente para asegurar la convergencia pero

no es condición necesaria. Afortunadamente, las ecuaciones simultáneas lineales

que se derivan de muchos problemas de ingeniería, son del tipo en el cual existen

siempre coeficientes dominantes.

La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:

1. 1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si

es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no,

se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores

iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el

número de iteraciones requeridas para dicha convergencia.

2. 2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la

incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando

para las otras incógnitas los valores supuestos.

3. 3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita

que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor

calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las

incógnitas restantes.

4. 4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor

calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada

ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para

las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben

utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un

valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando

un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una

iteración.

5. 5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en

una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en

una cantidad menor que cierto seleccionado arbitrariamente. El

procedimiento queda entonces completo.

Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del seleccionado,

mayor será la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud delepsilon no

especifica el error que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas,

ya que ésta es una función de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea

la velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de

las incógnitas para un dado.

Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando

un = 0.001

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85

0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

SOLUCIÓN:

Primero ordenamos las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal esten

los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.85

0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = -19.30

0.3 X1 - 0.2 X2 - 10.0 X3 = 71.40

Despejamos cada una de las variables sobre la diagonal:

Suponemos los valores iniciales X2 = 0 y X3 = 0 y calculamos X1

Este valor junto con el de X3 se puede utilizar para obtener X2

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de X1 y X2 calculados

obteniendo:

En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:

Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

Como podemos observar, no se cumple la condición

Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman como

supuestos para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso:

Comparando de nuevo los valores obtenidos

Como se observa todavía no se cumple la condición

Así que hacemos otra iteración

Comparando los valores obtenidos

Dado que se cumple la condición, el resultado es:

Como se puede comprobar no se tiene un número exacto de iteraciones para

encontrar una solución. En este ejemplo, se hicieron 3 iteraciones, pero a menudo

se necesitan más iteraciones.

Se deja de investigación al alumno alguna forma que haga que este método

converja más rápidamente.

Método de eliminación de Gauss Jordán

En cambio, el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones

lineales, de Gauss - Jordán, tiene más aplicación, en problemas pequeños y

grandes, sobre todo en la solución de modelos de programación lineal. Para

resolver un sistema de ecuaciones con este método se emplea la eliminación

sucesiva de las incógnitas según este esquema: Considere las siguientes m

ecuaciones lineales:

X1 = 3.0

X2 = -2.5

X3 = 7.0

Ahora se arregla una matriz B de este sistema, ampliada con los bi (línea vertical).

Después se hacen transformaciones elementales con los renglones de la matriz, lo

cual es equivalente a hacerlo con las respectivas ecuaciones:

1. Se permite cambiar el orden de las filas.

2. Se pueden multiplicar los renglones por cualquier número diferente de cero.

3. Sumar a un renglón de la matriz, otra fila multiplicada por cualquier número.

Así se obtiene una matriz ampliada de un nuevo sistema equivalente al original

pues se reduce la matriz B a la forma más sencilla posible que incluya la solución

del sistema. A continuación se presenta el procedimiento detallado:

1. Intercambio de ecuaciones y de la posición de las incógnitas para que a11

0.

2. Multiplicación de la primera ecuación por una constante apropiada diferente

de cero, para lograr a11 = 1.

3. Para toda i > 1, se multiplica la primera ecuación por -a i1 y luego se suma a

la i-ésima ecuación, de tal manera que la primera incógnita queda

eliminada.

Considere el siguiente ejemplo con anotaciones del cálculo a la izquierda:

La matriz ampliada de este sistema es:

Se resta: el renglón (1) del (2) y el (3), el (1)(3) al (4), resultando la matriz:

Se permutan los renglones (2) y (3) para tener el coeficiente 1en renglón 2

El renglón (2) se duplica y se resta al (1) y al (4), el (2) se triplica y se resta al (3)

El (3) se divide entre (-14), el coeficiente 1 resultante se usa para operar con el

cálculo que se indica en la columna izquierda

La columna derecha de la última matriz tiene la solución del sistema propuesto: X1

= -1, X2 = 0, X3 = 1

Ecuación lineal degenerativa.- Así llamada cuando todos los coeficientes de las

incógnitas son cero. En el caso especial de un sistema en que todas las

ecuaciones son degenerativas ( aij = 0), se tienen dos casos:

1. El sistema tiene por lo menos una ecuación de la forma: 0x1 + 0x2 +...+ 0xn

= bi con bi 0, entonces esta ecuación y por lo tanto el sistema, no tiene

solución, (es inconsistente).

2. Todas las ecuaciones del sistema son de la forma: 0x1 + 0x2 +...+ 0xn = 0,

entonces cada ecuación y, por lo tanto el sistema tienen toda "n-ada" de

números reales como solución.

En el caso común cuando las ecuaciones no son todas degenerativas (aij 0), el

sistema de ecuaciones se reduce a uno más simple equivalente al original que

posee las mismas soluciones, el proceso se lleva hasta eliminación completa

(Gauss-Jordán) para obtener la solución.

Si se encuentra una ecuación de la forma 0x1 +... +0xn = 0 puede quitarse sin que

afecte la solución.

Continuando con el proceso anterior, con cada nuevo subsistema, se obtiene por

inducción, que el sistema o bien no tiene solución, ó bien es reductible a una

forma equivalente.

Para la solución de un sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada

(eliminación de Gauss-Jordán), hay dos casos:

1. Si hay tantas ecuaciones como incógnitas (m-=n) entonces el sistema tiene

una solución única.

2. Si hay menos ecuaciones que incógnitas (m < m + n) entonces se pueden

asignar arbitrariamente valores a las n variables llamadas en este caso

"libres" y obtener una solución del sistema. Si se asignan valores diferentes

a tales "variables libres", se pueden obtener muchas soluciones del

sistema.

Para el caso particular de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales reducido

a la forma escalonada se presentan dos posibilidades.

1. Tantas ecuaciones como incógnitas (m = n), entonces la solución es (0,

0,.....0) ó trivial.

2. Menos ecuaciones que incógnitas (m < m + n), entonces el sistema tiene

una solución no nula. En resumen

Ejemplo A-6. Sistema no homogéneo de ecuaciones lineales por eliminación de

Gauss-Jordán.