SOLUCIÓN DE INTEGRALES POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Desarrollado por Esp. Oscar Ardila Chaparro

Calculo Integral

También llamada integral por cambio de variable, tiene una estrecha relación con el método de derivación por “regla de la cadena”, de aquí que sea aplicable a la integración de funciones compuestas.

El esquema presenta la composición de f en g.

Integración de funciones Método de Sustitución

Para introducir la formula y las características de una integral susceptible de aplicar el método de sustitución, empezamos por recordar la regla de la cadena para la derivación. En la definición se resalta en verde lo que de ahora en adelante notaremos como función interna.

Construcción del método

Aplicando la integral en ambos lados de la igualdad y simplificando tenemos.

La identificación de la siguiente estructura será el primer paso para la aplicación del método de integración por sustitución. En rojo se resalta la anti derivada (integral) de f´(x).

Construcción del método

Cabe resaltar que esta estructura puede presentarse de forma explicita o implícita, y en este ultimo caso requeriremos de algunas transformaciones

o arreglos matemáticos para realizar la sustitución.

Ejemplo 1

Resolver la siguiente integral indefinida por el método sustitución:

1- Identificamos la estructura para aplicar la sustitución.

2- Planteamos la sustitución considerando.

De esta manera tenemos para la integral:

Ejemplo 1

3- Realizando la sustitución:

4- Realizamos la nueva integral en términos de u:

5- Y volvemos nuevamente a establecer nuestra respuesta (en naranja) en términos de la variable original:

Ejemplo 1

Resolver la siguiente integral definida por el método sustitución:

1- Identificamos la estructura para aplicar la sustitución.

Ejemplo 2

2- Planteamos la sustitución.

Ejemplo 2

3- La integral posee limites por lo cual es necesario un cambio de los mismos antes de plantear la nueva integral en términos de u.

4- De esta manera planteamos la nueva integral:

Ejemplo 2

5- Solucionamos la nueva integral como sigue:

6- Evaluando finalmente la integral:

Ejemplo 2

Ejercicios Propuestos

Resolver las integrales por sustitución:

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