Tema6.2ºbachillerato.física

Tema 6: CampoEléctrico y Magnético Eric Calvo Lorente1

Tema 6: Campo Eléctrico y Campo Magnético ______ _______ _.

1. Reseñas Históricas .Las observaciones de fenómenos de carácter electromagnético se remontan a la

Grecia Clásica. Se atribuyen a Thales de Mileto algunos conocimientos sobre laatracción que la magnetita ejerce sobre el hierro y sobre la que piezas de ámbar frotadasejercen sobre elementos ligeros tales como plumas.

Sin embargo, la primera referencia escrita sobre experiencias en magnetismocorresponde a la Epístola “de Magnete” (1269) del cruzado e ingeniero francés PetrusPeregrinus de Maricourt, en la que introduce el concepto de polo magnético. En aqueltiempo ya era conocida la brújula en Occidente.

En el año 1600 William Gilbert (1544-1603) reflejó su trabajo, resultado de diecisieteaños de estudio, en la obra “De Magnete, Magneticisque Corporibus, et de MagnoMagnete Tellure“ (Del Imán, los Cuerpos Magnéticos, y el Gran Imán de la Tierra). Dicholibro, aunque dedicado fundamentalmente a los fenómenos de carácter magnético,incluye algunos pasajes dedicados al estudio de la atracción eléctrica. Entre lasaportaciones de este trabajo cabe destacar:

Indica las propiedades que presentan al ser frotados el ámbar y otrosmateriales, que denominó como electrics. Según W. Gilbert, el origen de laatracción eléctrica se fundamenta en que ese proceso de fricción extrae delmaterial un humor. Este humor crea en su entorno un efluvio y, una vez quealcanza un objeto, se retrae arrastrándolo hacia el cuerpo electrificado. Por lotanto, el proceso de atracción eléctrica es de coacervación o amontonamientoen torno al cuerpo electrificado.

Los fenómenos de atracción magnética se diferencian de los de atraccióneléctrica en que además se produce alineación y ordenamiento (coition), segúnse pone de manifiesto cuando una aguja imantada se sitúa en presencia de unaesfera de material magnético (terrella) como muestra la Figura 1.

De ese mismo modo actúa la Tierra sobre la brújula, por lo que deduce, endefinitiva, que la Tierra se comporta como un inmenso imán.

Figura 1: Líneas de fuerza magnética sobre la terrella

El trabajo de W. Gilbert tuvo poco impacto en su época y fue criticado porcontemporáneos suyos como Francis Bacon o Galileo Galilei por su falta de soportematemático. De hecho, fue cayendo en el olvido hasta su reedición de 1893, traducida alinglés del latín original.

Hacia 1660 Otto von Guericke, Mayor de Magdeburgo construyó una máquinaconsistente en una esfera de azufre que se hace girar sobre un paño. La esfera asífrotada era capaz de atraer barcia y plumas, aunque estas últimas eran repelidas tanpronto como tocaban la superficie de la esfera. O. von Guericke también observó que laesfera era capaz de emitir luz y sonido. Las máquinas eléctricas fueron evolucionando enaños posteriores, y no fue hasta casi un siglo después, hacia 1745, cuando se inventó el


primer dispositivo capaz de almacenar energía eléctrica. El sistema, consistente en untarro de cristal parcialmente lleno de agua y tapado con un corcho atravesado por unalambre o cable sumergido en el agua, era capaz de producir fuertes descargas. Estesistema, descubierto por varios investigadores de manera independiente, recibió elnombre de Botella de Leyden, ya que fue dado a conocer por Pieter vanMusschenbroek (1692-1761), Catedrático de Física y Matemáticas en la Universidad deesta ciudad holandesa. La utilización conjunta de la Botella de Leyden y de las máquinaseléctricas, es decir, la posibilidad de crear y almacenar energía eléctrica permitió realizarnumerosos avances en el estudio de los fenómenos eléctricos.

De otras experiencias que se sucedieron paralelamente al desarrollo de estossistemas se conocieron nuevos hechos:

Stephen Gray (1670-1736), químico británico, realizó hacia 1729 diversosexperimentos con tubos de cristal frotados. En uno de ellos descubrió que elcorcho que taponaba un extremo también se mostraba electrizado. Este hecho lellamó la atención, por lo que repitió la experiencia clavando en el tapón de corchouna vara de abeto que mantenía en su extremo una esfera de marfil. Cuando denuevo frotó el tubo de vidrio, la esfera de marfil también parecía electrificada. Deeste y otros experimentos similares dedujo que la electricidad puede transmitirsede unos materiales a otros.

Charles Francois de Cisternay du Fay (1698-1739) repitió y amplió hacia 1733los experimentos de O. von Guericke. Entre sus conclusiones está la existenciade dos tipos de electricidad (vítrea y resinosa), de modo que dos materiales conel mismo tipo de electricidad se repelen y dos materiales con distinto tipo deelectricidad se atraen.

Las conclusiones expuestas por C. du Fay acerca de dos tipos distintos deelectricidad no parecían satisfacer totalmente a Benjamin Franklin (1706-1790). Porentonces se entendía el proceso de electrificación por analogía a la transmisión defluidos. B. Franklin sugirió que recurrir a dos fluidos asociados a dos tipos distintos deelectricidad no era necesario, ya que la electricidad se podía interpretar como dosestados de un único fluido, presente en todo. Materia conteniendo una cantidad de fluidomayor de lo habitual estaría positivamente cargada. Pero si en vez de exceso de fluidohay defecto, entonces la carga sería negativa. Así lo establece sobre un experimento quedescribe en una carta fechada en 1747. En dicho experimento, dos personas, A y B,aisladas entre si y del exterior, se reparten la carga de cada signo extraída porfrotamiento de un tubo de vidrio.

En 1752 B. Franklin también demostró que los rayos de tormenta eran un ejemplo deelectricidad y construyó el primer pararrayos. Se dio cuenta de que durante las tormentashabía efectos eléctricos en la atmósfera, y descubrió que los rayos eran descargaseléctricas que partían de las nubes. Franklin logró juntar cargas eléctricas de laatmósfera por medio de varillas muy picudas. A la larga, esto dio lugar a la invención delpararrayos, que consistía en una varilla metálica picuda conectada a la tierra; las cargaseléctricas del rayo eran atraídas a la varilla y conducidas a la tierra. Con esto se evitabaque un rayo cayera sobre una casa, pues era conducido a tierra sin causar ningún daño.Posiblemente ésta fue la primera aplicación práctica de la investigación científica de laelectricidad.,

Entre los seguidores de la teoría del fluido único se contaba el alemán Franz MariaAepinus (1724-1802), válida tanto para los fenómenos eléctricos como para losmagnéticos, como el mismo introdujo. En su libro “Tentamen Teoría Electricitatis etMagnetismi “(Intento de Teoría sobre Electricidad y Magnetismo) intenta sentar las basesmatemáticas de estos fenómenos. Otro sucesor de B. Franklin, el inglés JosephPriestley (1733-1804), recopiló todos los datos disponibles sobre electricidad en su libro“History and Present State of Electricity, with Original Experiments” de 1767.


También comprobó que en uno de los experimentos de B. Franklin, consistente enelectrificar un recipiente metálico e introducir en él pequeños trozos de corcho, estos noeran ni atraídos ni repelidos por las paredes.

Este hecho le recordó el siguiente resultado de la Ley de la Gravedad de Newton: unaesfera hueca de materia gravitacional no ejerce fuerza sobre la materia en su interior, porlo que sugirió que las fuerzas eléctricas deben disminuir con el cuadrado de la distancia,al igual que ocurre con la fuerza gravitatoria.

Henry Cavendish (1731-1810) aportó nuevos resultados cuantitativos en estesentido, basados en la idea anterior de J. Priestley. H. Cavendish, de hecho, repitió elexperimento anterior con todo rigor utilizando una cavidad esférica (null experiment) yrealizó estudios sobre una idea que John Michell (1724-1793) publicara en su libro “ATreatise of Artificial Magnets” de 1750. Dicha idea consiste en que las fuerzas deatracción y repulsión de cada polo de un imán varían con el inverso del cuadrado de ladistancia. J. Michell intenta demostrarla utilizando una balanza de torsión de suinvención, pero no tiene mucho éxito. H. Cavendish considera en general una

dependencia para la fuerza eléctrica con la distancia r en la forma general nr

1

:Demuestra que n debe ser menor que 3, de acuerdo con un teorema conocido en la

época. Considera el caso n = 2 y deduce las consecuencias matemáticas de estahipótesis, en particular, el null experiment. Asimismo, también introduce el concepto degrado de electrificación, que no es más que el potencial eléctrico. Sin embargo, no todosu trabajo fue conocido en su tiempo. Otros resultados, como la comprobación

experimental de la ley 2

1

r , y conceptos, entre los que podemos citar la capacidad, laconstante dieléctrica de un material y la resistencia eléctrica, sobre los que H. Cavendishtambién había trabajado no fueron conocidos hasta que John Clerk Maxwell losdescubriera y publicara en 1879.

Por esta razón, la primera demostración experimental conocida de la ley 2

1

r se debe aCharles Augustin de Coulomb (1736-1806), aunque este es sólo uno de los resultadosde sus trabajos de investigación, entre los que se encuentran:

Un trabajo de 1777 acerca del Magnetismo llamado Recherches sur la meilleuremanière de fabriquer des aiguilles aimantées en la que determina el periodo deoscilación de una brújula en el campo terrestre y lo compara para brújulas dedistintos materiales (momentos magnéticos), define lo que hoy se conoce comocampo desimanador. Además, desarrolla una teoría sobre la torsión de hilos ypropone la balanza de torsión como sistema de medida de fuerza extremadamentepequeñas.

En 1785 presenta Construction et usage d‘une balance électrique en la queperfecciona su teoría sobre la torsión y muestra resultados precisos de repulsióneléctrica, primera demostración experimental de la ley de Coulomb. Ese mismoaño presenta una nueva memoria en la que completa los resultados paraatracciones eléctricas e interacciones magnéticas.

En memorias en los tres años siguientes estudia la distribución de electricidad enconductores mediante el plano de prueba. El concepto de carga queda definido: labalanza permite medir esa carga y el plano de prueba su densidad en superficie.C. Coulomb asocia la naturaleza de estas cargas a dos fluidos distintos.

En sus últimos trabajos (1789-1801) se centra en el estudio del magnetismo y,para justificar las experiencias con imanes partidos, propone la idea de un fluidomagnético confinado en moléculas de modo que éstas presenten dos polos.


Varios matemáticos extendieron los trabajos de C. Coulomb. En 1777, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) propone para el estudio de las atracciones gravitatorias unafunción que es, en cada punto del espacio, suma de los cocientes entre las masasgravitatorias y sus distancias a ese punto.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827) enuncia en 1782 una ecuación en derivadasparciales que cumple esa función gravitatoria. Simeón-Denis Poisson (1781-1840)publica en 1812 una extensión de la ecuación anterior para regiones donde existendensidades de masa o densidades en carga. P. S. Laplace enuncia un año después quela fuerza eléctrica en la superficie de un conductor es perpendicular en cada punto adicha superficie y proporcional a la densidad de carga en ese punto, lo cual seríaredescubierto por Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en 1839. En 1824 S. D. Poissontambién propone una función escalar para dar cuenta de las acciones entre elementosmagnetizados. Las funciones que cumplen las ecuaciones de Laplace y Poisson fueronbautizadas por George Green (1793-1841) como funciones potencial en su trabajoEssay of the application of mathematical analysis to the theory of electricity andmagnetism de 1828, aunque casi desconocido hasta 1850.

Por otro lado, hacia la última parte del siglo XVIII un gran número de personasempleó animales para estudiar las descargas eléctricas y utilizó como fuentes máquinasgeneradoras y botellas de Leiden. Una de estas personas fue Luigi Galvani (1737-1798),profesor de anatomía en la Universidad de Bolonia, Italia. Sus discípulos se dieron cuentade que cuando se sacaban chispas de un generador y se tocaban simultáneamente laspatas de una rana con un bisturí, éstas se contraían. Galvani estudió con más detalleeste curioso fenómeno. En primer lugar, unió una extremidad de la rana a un pararrayos yla otra la fijó a tierra por medio de un alambre metálico. Descubrió que los músculos seestremecían cuando había tormenta, pues las cargas que recogía el pararrayos setransportaban a través del músculo hasta la tierra. La conexión la realizó de la siguientemanera: en un extremo de la pata conectó un alambre de cobre, mientras que en el otroextremo conectó uno de hierro (Figura 2). En cierto momento, y de manera accidental,juntó los alambres y se dio cuenta de que la pata se contraía. De sus experienciasanteriores sabía que esta contracción ocurría solamente cuando una carga eléctricapasaba por la pata, pero ¡no había conectado ningún extremo a ninguna fuente de cargaeléctrica! Así llegó a la conclusión de que si se formaba un circuito cerrado entre dosmetales que pasara por la pata, se generaba una corriente eléctrica que circulaba por elcircuito. Sin embargo, Galvani no estaba en lo cierto, ya que creyó que la fuente de laelectricidad estaba en lo que llamó "electricidad animal". Galvani se dedicó a hacerexperimentos con diferentes animales creyendo que había descubierto y confirmado laveracidad de la electricidad animal. Con el tiempo se comprobó que sus hipótesis no erancorrectas.

Figura 2. Si los metales hierro y cobre se unen, el anca de la rana se contrae debido al paso de unacorriente eléctrica.

Alejandro Volta (1745-1827), profesor de la Universidad de Pavia, Italia, se enteró de losexperimentos de Galvani y los volvió a hacer, usando lo que llamó ranas "galvanizadas".Sin embargo, no aceptó la explicación de Galvani. Volta se dio cuenta de que para lograr


el efecto descubierto por Galvani se necesitaba cobre, hierro y el líquido del tejidomuscular. Hizo una serie de experimentos muy cuidadosos, utilizando alambres dediferentes materiales; así descubrió que si usaba estaño y cobre lograba una corrienterelativamente fuerte, mientras que si usaba hierro y plata el efecto era poco intenso.Siguiendo esta línea de pensamiento dejó de usar ranas y puso su propia lengua entrelos metales, logrando el mismo efecto; en seguida probó con diferentes líquidos entre losmetales y siempre encontró el mismo efecto. El caso más satisfactorio fue cuando usóplacas de zinc y cobre en un ácido líquido (Figura 3). De esta manera llegó a laconclusión de que el efecto descubierto por Galvani no tenía nada que ver con la"electricidad animal" sino que se debía a una acción química entre el líquido, llamadoelectrolito, y los dos metales. Es así como Volta construyó lo que posteriormente se llamóuna pila voltaica, que fue el primer dispositivo electroquímico que sirvió como fuente deelectricidad.

Figura 3. Esquema de una de las primeras baterías eléctricas de Volta.

Entre los extremos de los metales, fuera del electrolito, se genera una diferenciade potencial, o voltaje, que puede dar lugar a una corriente eléctrica. En la pila de lafigura 3 el zinc adquiere carga negativa, mientras que el cobre adquiere cargaspositivas. Al zinc se le llama cátodo y el cobre recibe el nombre de ánodo. Así setiene una fuente de electricidad distinta a la generada por fricción. Con este medioquímico para obtener electricidad se abrieron nuevas posibilidades de aplicaciónpráctica y experimental.

La explicación de las reacciones químicas que ocurren en la pila o celda voltaicase dio muchos años después, ya que en la época de Volta la química apenasempezaba a desarrollarse como ciencia moderna. Solamente diremos que, por unlado, el zinc adquiere un exceso de electrones, mientras que por el otro, el ácido conel cobre da lugar a cargas eléctricas positivas. Al unir el cobre con el zinc por mediode un alambre conductor, los electrones del zinc se mueven a través del alambre,atraídos por las cargas del cobre y al llegar a ellas se les unen formando hidrógeno.

Desde entonces se han construido diferentes tipos de pilas o baterías. Unavance importante fue la pila con el electrolito sólido, o sea, la llamada pila seca,como las que usamos hoy en día en los aparatos eléctricos portátiles.

El descubrimiento de Volta se expandió como reguero de pólvora. Muy pronto enmuchos países europeos se construyeron pilas voltaicas de diferentes tipos, quefueron un acicate para los estudios de las propiedades y efectos electroquímicos,térmicos, magnéticos, etc., de la electricidad.

Volta recibió en vida muchos premios y agasajos. En 1881 el CongresoInternacional de Electricistas decidió honrarlo dando su nombre a la unidad de


diferencia de potencial: el volt, a la que se suele también llamar de manera másfamiliar, voltaje.

La posibilidad práctica de construir pilas voltaicas produjo una revolución en elestudio de la electricidad. Hemos de mencionar que en muchos laboratorios era muypoco factible construir las máquinas de electricidad por fricción, ya que eran bastantecaras; sin embargo, las pilas eran relativamente baratas. Permitieron el avance de laciencia química ya que estaban al alcance de muchos laboratorios; de otra manerano se hubieran podido realizar muchas investigaciones científicas. Gran parte de losprimeros descubrimientos electroquímicos fueron hechos precisamente con pilasvoltaicas. Poco después de haber recibido una carta de Volta en la que explicabacómo construir una pila, William Nicholson (1753-1825) y Anthony Carlisle (1768-1840) construyeron en Londres uno de estos dispositivos, y con el fin de conseguiruna mejor conexión eléctrica, conectaron cada una de las terminales de la pila a unrecipiente con agua. Se dieron cuenta de que en una de las terminales aparecíahidrógeno y en la otra, oxígeno. Fue así como descubrieron el fenómeno de laelectrólisis, en el que, por medio de una corriente eléctrica, se separan los átomosque componen la molécula del agua. Humphry Davy (1778-1829), también enInglaterra, descompuso por medio de la electrólisis otras sustancias, y así descubriólos metales sodio y potasio al descomponer electroquímicamente diferentes salesminerales, como la potasa cáustica, la soda fundida, etc. También obtuvoelectroquímicamente los elementos bario, calcio, magnesio y estroncio. Pocodespués Faraday descubrió, también con las pilas voltaicas, las leyes de laelectrólisis.

2. Los Fenómenos Eléctricos. Nociones y Fundamentos básicos .Los fenómenos eran conocidos y descritos, como ya hemos indicado, desde la

Antigüedad, pero fue a partir del siglo XIX cuando se descubrió la verdadera causaproductora de dicho fenómeno: los electrones. Más tarde, se descubrirían protones yneutrones; y todas ellas constituyendo los átomos (las partículas más pequeñas queposeen las propiedades de un elemento). La disposición de estas partículas subatómicasdaría origen a los diferentes modelos.

A partir de esta interpretación, resultaría sencillo explicar determinados conceptoscomo:

El carácter neutro del átomo; en base a la existencia de un númerosemejante de protones y neutrones.

La electrización de los cuerpos, por desequilibrio en la neutralidad eléctrica,a partir de la transferencia (pérdida o ganancia) de electrones, pero no portransferencia de protones.

En relación con el proceso de electrización, dos aspectos básicos la definen: La cuantización de la carqa. Es decir, la existencia de un valor mínimo de

carga eléctrica, correspondientes a la carga del protón o del electrón (cargas deigual valor absoluto, L)FUNDAMENTACARGACul1´6.10Q 19

ELECTRÓN (

La carga eléctrica de cualquier cuerpo o sistema será entonces un múltiploentero de la carga fundamental:

ELECTRÓNn.QQ (n=1,2,3….) La conservación de la carga total en un sistema aislado (PRINCIPIO DE

CONSERVACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA)

3. Fuerzas entre Cargas Puntuales. Ley de Coulomb .Mediante una balanza de torsión, Coulomb encontró que la fuerza de atracción o

repulsión entre dos cargas puntuales (cuerpos cargados cuyas dimensiones son


despreciables comparadas con la distancia r que las separa) era directamenteproporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de ladistancia que las separa. La expresión matemática es:

2r

q.q´K.e,12F

, donde q y q' corresponden a los valores de las cargas que interaccionan tomadascon su signo positivo o negativo, r representa la distancia que las separa supuestasconcentradas cada una de ellas en un punto y K es la constante de proporcionalidadcorrespondiente que depende del medio en que se hallen dichas cargas.

El hecho de que las cargas aparezcan con su signo propio en la ecuación anterior dalugar a la existencia de dos posibles signos para la fuerza Fe, lo cual puede serinterpretado como el reflejo de los dos tipos de fuerzas, atractivas y repulsivas,características de la interacción electrostática. Así, cargas con signos iguales darán lugara fuerzas (repulsivas) de signo positivo, en tanto que cargas con signos diferentesexperimentarán fuerzas (atractivas) de signo negativo. Consiguientemente el signo de lafuerza en la ecuación expresa su sentido atractivo o repulsivo.

La constante de proporcionalidad K toma en el vacío un valor igual aK = 8,9874 · 109 N · m2/C2

Esa elevada cifra indica la considerable intensidad de las fuerzas electrostáticas.Pero además se ha comprobado experimentalmente que si las cargas q y q' se sitúan enun medio distinto del aire, la magnitud de las fuerzas de interacción se ve afectada. Así,por ejemplo, en el agua pura la intensidad de la fuerza electrostática entre las mismascargas, situadas a igual distancia, se reduce en un factor de 1/81 con respecto de la queexperimentaría en el vacío. La constante K traduce, por tanto, la influencia del medio.

Finalmente, la variación con el inverso del cuadrado de la distancia indica quepequeños aumentos en la distancia entre las cargas reducen considerablemente laintensidad de la fuerza, o en otros términos, que las fuerzas electrostáticas son muysensibles a los cambios en la distancia r.

Todos estos argumentos pueden sintetizarse en una expresión vectorial:

ru.2r

q.q´K.e,12F

, donde ru

es el vector unitario

La comparación entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulombde la electrostática muestra la existencia entre ellas de una cierta analogía o paralelismo.

Esta analogía no supone una identidad entre la naturaleza de ambos tipos de fuerzas,sólo indica que los fenómenos de interacción entre cargas y los de interacción entremasas podrán ser estudiados y tratados de un modo similar. A pesar de esta analogíaformal, existen algunas diferencias que cabe destacar. La primera se refiere al valor delas constantes G y K. El valor de G resulta ser mucho menor que K:

G = 6,67·10-11 unidades SIK = 8,99·109 unidades SI (en el vacío)

Por tal motivo, las fuerzas entre cargas serán mucho más intensas que las fuerzasentre masas para cantidades comparables de una y otra magnitud. Además, las fuerzas


gravitatorias son siempre atractivas, mientras que las eléctricas pueden ser atractivas orepulsivas en función de los signos de las cargas que interactúan.

En el caso en el que exista un sistema formado por varias cargas, la fuerza eléctricaresultante en una de ellas debido al resto se determina calculando independientemente lafuerza ejercida sobre la carga en cuestión por cada una de las otras. Así:

Para resolverlo no habrá nada más que realizar una descomposición vectorial de cadauna de las fuerzas:

Así:

yqyqyq

xqxqxqxq

FFF

FFFF

,,,

,,,,

21

321

4. Explicación para la Interacción entre Cargas: Campo Eléctrico .4.1 El concepto físico de campo .

Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para ejercer su influenciasobre otras, de ahí que las fuerzas eléctricas sean consideradas fuerzas a distancia.Cuando en la naturaleza se da una situación de este estilo, se recurre a la idea de campopara facilitar la descripción en términos físicos de la influencia que uno o más cuerposejercen sobre el espacio que les rodea.La noción física de campo se corresponde con la de un espacio dotado de propiedadesmedibles. En el caso de que se trate de un campo de fuerzas éste viene a ser aquellaregión del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia. Así, lainfluencia gravitatoria sobre el espacio que rodea la Tierra se hace visible cuando encualquiera de sus puntos se sitúa, a modo de detector, un cuerpo de prueba y se mide supeso, es decir, la fuerza con que la Tierra lo atrae. Dicha influencia gravitatoria se conocecomo campo gravitatorio terrestre. De un modo análogo la física introduce la noción decampo magnético y también la de campo eléctrico o electrostático.

4.2 El campo eléctrico .

Q1(+)

Q2(+)

Q3(-)q

qF1

qF3

qF2

x2q,F x3q,F

x1q,F

y1q,F

y2q,F


El campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas esaquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un puntocualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga deprueba o carga testigo, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, deatracciones o de repulsiones sobre ella.

La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la cargaunidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidaddel campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza la intensidaddel campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y porsu dirección y sentido. En lo que sigue se considerarán por separado ambos aspectos delcampo E.

La expresión del módulo de la intensidad de campo E puede obtenerse fácilmentepara el caso sencillo del campo eléctrico creado por una carga puntual Q sin más quecombinar la ley de Coulomb con la definición de E. La fuerza que Q ejercería sobre unacarga unidad positiva de valor unidad (+1 Culombio) en un punto genérico P distante r dela carga central Q viene dada, de acuerdo con la ley de Coulomb, pero aquélla esprecisamente la definición de E y, por tanto, ésta será también su expresión matemática:

r2

r2 ur

K.QE

1culq

ur

K.Q.qF

.

Puesto que se trata de una fuerza electrostática estará aplicada en P, dirigida a lolargo de la recta que une la carga central Q y el punto genérico P, en donde se sitúa lacarga unidad, y su sentido será atractivo o repulsivo según Q sea negativa o positivarespectivamente.

Igualmente, a partir del valor de E debido a Q en un punto P y de la carga q situadaen él, es posible determinar la fuerza F en la forma:

qEFqF ./.

E

ur

K.QE

ur

K.Q.qF

r2

r2

Expresión que indica que la fuerza entre Q y q es igual a q veces el valor de laintensidad de campo E en el punto P.

Esta forma de describir las fuerzas del campo y su variación con la posición hacemás sencillos los cálculos, particularmente cuando se ha de trabajar con campos debidosa muchas cargas.

La unidad de intensidad de campo E es el cociente entre la unidad de fuerza y launidad de carga; en el SI equivale, por tanto, al newton (N)/coulomb (C).

4.3 Representación del campo eléctrico .Es posible conseguir una representación gráfica de un campo de fuerzas empleando

las llamadas líneas de fuerza. Son líneasimaginarias que describen, si los hubiere, loscambios en dirección de las fuerzas al pasar deun punto a otro. En el caso del campo eléctrico,las líneas de fuerza indican las trayectorias queseguirían las partículas positivas si se lasabandonase libremente a la influencia de lasfuerzas del campo. El campo eléctrico será unvector tangente a la línea de fuerza en cualquierpunto considerado.

Una carga puntual positiva dará lugar a un


mapa de líneas de fuerza radiales, pues las fuerzas eléctricas actúan siempre en ladirección de la línea que une a las cargas interactuantes, y dirigidas hacia fuera porquelas cargas móviles positivas se desplazarían en ese sentido (fuerzas repulsivas). En elcaso del campo debido a una carga puntual negativa el mapa de líneas de fuerza seríaanálogo, pero dirigidas hacia la carga central. Como consecuencia de lo anterior, en elcaso de los campos debidos a varias cargas las líneas de fuerza nacen siempre de lascargas positivas y mueren en las negativas. Se dice por ello que las primeras son«manantiales» y las segundas «sumideros» de líneas de fuerza.

4.4 Aplicación del Concepto de Intensidad de Campo .La intensidad de campo E, como fuerza por unidad de carga, es una magnitud que

admite una representación vectorial. Además está relacionada con la fuerza de modo queconociendo el valor de E en un punto es posible determinar la fuerza que experimentaríauna carga distinta de la unidad si se la situara en dicho punto, y viceversa.

Se trata ahora de determinar la intensidad de campo eléctrico debido a una cargapuntual Q = 1,6 · 10-6 C en un punto P situado a una distancia de 0,4 m de la carga y dedibujar en dicho punto el vector que lo representa. ¿Cuál sería la fuerza eléctrica que seejercería sobre otra carga q = 3 · 10-8 C si se la situara en P? Tómese como medio elvacío con K = 9 · 109 N m2/C2.

El módulo de la intensidad de campo E debido a una carga puntual Q viene dada porla expresión:

Dicho valor depende de la carga central Q y de la distancia al punto P, pero en él noaparece para nada la carga que se sitúa en P por ser ésta, siempre que se utiliza esteconcepto, la carga unidad positiva. Sustituyendo en la anterior expresión se tiene:

Por tratarse de una fuerza debida a una carga positiva también sobre la unidad decarga positiva será repulsiva y el vector correspondiente estará aplicado en P y dirigidosobre la recta que une Q con P en el sentido que se aleja de la carga central Q.

Conociendo la fuerza por unidad de carga, el cálculo de la fuerza sobre una cargadiferente de la unidad se reduce a multiplicar E por el valor de la carga q que se sitúa enP:

F = q · E = 9 ·104 · 3 · 10-8 = 2,7 · 10-3 N

4.5 La Superposición de los Campos EléctricosLa descripción de la influencia de una carga aislada en términos de campos puede

generalizarse al caso de un sistema formado por dos o más cargas y extenderseposteriormente al estudio de un cuerpo cargado. La experiencia demuestra que lasinfluencias de las cargas aisladas que constituyen el sistema son aditivas, es decir, sesuman o superponen vectorialmente. Así, la intensidad de campo E

en un punto

cualquiera del espacio que rodea dos cargas Q1 y Q2 será la suma vectorial de lasintensidades 1E

y 2E

debidas a cada una de las cargas individualmente consideradas.

Este principio de superposición se refleja en el mapa de líneas de fuerzacorrespondiente. Tanto si las cargas son de igual signo como si son de signos opuestos,la distorsión de las líneas de fuerza, respecto de la forma radial que tendrían si las cargasestuvieran solitarias, es máxima en la zona central, es decir, en la región más cercana aambas. Si las cargas tienen la misma magnitud, el mapa resulta simétrico respecto de lalínea media que separa ambas cargas. En caso contrario, la influencia en el espacio, queserá predominante para una de ellas, da lugar a una distribución asimétrica de líneas defuerza.


4.6 Descripción Escalar del Campo Eléctrico: Energía Potencial y PotencialEléctrico .

La idea de energía potencial, como forma de energía asociada a la posición de loscuerpos, está presente también en los campos eléctricos. Así, una carga q negativasituada en un punto P a una distancia r de otra carga central positiva Q acumula en esaposición una cierta energía potencial, energía que podría liberarse si se dejara enlibertad, ya que se desplazaría hacia Q por efecto de la fuerza atractiva. Situarla de nuevoen la posición inicial supondría la realización de un trabajo en contra de la fuerza atractivaejercida por Q. Este trabajo exterior a las fuerzas del campo se invierte precisamente enaumentar su energía potencial Ep y puede escribirse en la forma:

Como sucede cuando se tira de un cuerpo sujeto a un muelle y a continuación sesuelta, el trabajo eléctrico podría ser recuperado si la carga q se dejará en libertad, esdecir, si no se la obligará a ocupar la posición definida por el punto P.

Según la ecuación anterior, el trabajo We tendrá el signo de Ep. Un desplazamientode la carga q que suponga un aumento en su energía potencial, Ep(final) > Ep(inicial),corresponderá a un trabajo positivo, es decir, un trabajo realizado por fuerzas exterioresal campo. Por contra, un desplazamiento de q que lleve consigo una disminución de suenergía potencial, Ep(final) < Ep(inicial), habrá sido efectuada por las fuerzas del campocon la realización de un trabajo negativo.

Este criterio de signos considera el trabajo positivo cuando lleva asociado unaganancia de energía potencial y negativo cuando se efectúa a expensas de unadisminución de la energía potencial de la carga considerada. Potencial electrostático en un punto. Del mismo modo que se introduce la nociónde intensidad de campo eléctrico E para referir las fuerzas electrostáticas a la unidad decarga positiva, es posible hacer la misma operación con la energía potencial. Si se deseacomparar, en términos de energías potenciales, un punto de un campo eléctrico con otro,será preciso utilizar en todos los casos como elemento de comparación una misma carga.La más sencilla de manejar es la carga unidad positiva y su energía potencial sedenomina potencial electrostático. Surge así el concepto de potencial electrostático V enun punto P como la energía potencial eléctrica que poseería la unidad de carga positivasituada en dicho punto del campo.

Por analogía con la ecuación de la intensidad de campo, la expresión del potencialserá:


Por tratarse de una energía por unidad de carga, el potencial será una magnitudescalar cuya unidad en el SI vendrá dada por el cociente entre el joule (J) y el coulomb(C). Dicho cociente recibe el nombre de volt (V):

Junto al concepto de potencial electrostático, es posible obtener, a partir de lasmagnitudes físicas implicadas en su definición, una expresión para la diferencia depotencial primero y para el potencial después.En el caso de que el campo sea debido a una carga puntual Q, será:

que representa el potencial electrostático del campo debido a la carga puntual Q en unpunto que dista r de dicha carga.

NOTA:

La deducción de la ecuación potencial V en un punto genérico P sería como sigue.Sean O y P dos puntos del espacio que rodea a la carga Q, y rO y rP las distanciasrespectivas a dicha carga tomada como origen de referencia. El trabajo necesario paratrasladar una carga q desde O a P corresponde a una fuerza variable con la distancia,pero puede descomponerse el trayecto en tramos lo suficientemente cortos como paraconsiderar que en ellos la fuerza es constante; en tal caso:

donde los sumandos representan esos trabajos elementales.

De acuerdo con la definición de trabajo W = F · r y recordando que en este caso lafuerza F es la electrostática entre Q y q, se podrá escribir, recurriendo a la ley deCoulomb, la expresión:

donde r2 puede ser tomado como el producto r1 · rO, lo que equivale a considerar r comola media geométrico de las distancias extremas. Admitiendo esta aproximación resulta:

Análogamente:


y así sucesivamente hasta el último intervalo:

Sumando todos estos trabajos elementales se tiene:

En donde los términos intermedios contenidos entre el corchete se cancelan dos a dos,pues son iguales y de signo opuesto, resultando para el trabajo total:

Este trabajo, realizado por las fuerzas del campo, supondrá una disminución de laenergía potencial de la carga q, de modo que se cumplirá la ecuación

de la diferencia de potencial entre O y P:

Si O se considera situado en el infinito respecto de la carga Q, la diferencia de potencialde cualquier otro punto respecto del infinito resultará:

Si por convenio se considera que el potencial V en el infinito es cero (lo que, además,parece razonable, pues la fuerza también se hace cero a esa distancia) resulta laexpresión:

que representa el potencial electrostático del campo debido a la carga puntual Q en unpunto que dista r de dicha carga.


Diferencia de potencial. Si el potencial eléctrico en un punto caracteriza desde unpunto de vista energético ese punto del campo, su diferencia entre dos puntos dados estárelacionada con la tendencia al movimiento de las cargas positivas entre ellos; por talmotivo se la denomina también tensión eléctrica. Comparando los movimientos de lascargas bajo la acción de un campo eléctrico con los de las masas por efecto de lasfuerzas del peso, la diferencia de potencial entre dos puntos podría ser asimilada a ladiferencia de altura o nivel. Las cargas positivas se desplazan espontáneamente por uncampo eléctrico de los puntos de mayor potencial a los de menor potencial, del mismomodo que los cuerpos con masa caen desde los puntos de mayor altura. Las cargasnegativas lo hacen en sentido contrario.

Esta propiedad de la magnitud diferencia de potencial como responsable del sentidodel movimiento de las cargas en el seno de un campo eléctrico puede ser deducidacombinando las ecuaciones

PPPCAMPO EinicialEfinalEW ))()((

El resultado es la nueva expresión:

q

-W

q

(inicial)E(final)E

q

(final)EV(inicial)V(final)V CAMPOPPP

De la ecuación anterior resulta un nuevo significado para la diferencia de potencialentre dos puntos como el trabajo el campo necesario (por el campo electrostático) paratrasladar la unidad de carga positiva de uno a otro punto.

Pero, además, despejando CAMPOW resulta:

VqWCAMPO .

, siendo q la carga que se desplaza y V la diferencia de potencial entre las

posiciones extremas. Si q es positiva, una V positiva (aumento del potencial)corresponderá a un trabajo WCAMPO negativo, es decir, efectuado por agentes exterioresal campo, con lo que el movimiento de la carga q será forzado. Si V es negativo(disminución del potencial), WCAMPO será positivo, lo que indica que las fuerzas actuantesson las propias del campo, dando lugar a un movimiento espontáneo de la carga qpositiva. En el caso de que q fuera negativa los criterios serían opuestos a los anteriores.


Dado que la diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctricorepresenta el trabajo necesario para trasladar la unidad de carga positiva de uno a otropunto, es posible utilizar los valores del potencial electrostático para calcular trabajos enel seno de los campos eléctricos. Por ejemplo, el campo eléctrico creado por una carga Q= 4 · 10-6 C situada en el vacío es tal que el potencial electrostático en un punto M quedista 3 m de Q es VM = 1,2 · 104 V y en otro punto N separado 2 m de la carga es VN = 1,8· 104 V. Se trata de calcular el trabajo necesario para trasladar una carga q = - 2 · 10-8 Cde M a N interpretando el signo resultante.

La diferencia de potencial ΔV entre los puntos final e inicial viene dado por:

Según la expresión: VqWCAMPO .

, el trabajo eléctrico necesario para trasladar unacarga q distinta de la unidad será:

Wcampo = -0,6 · 104 · (- 2 · 10-8) = 1,2 · 10-4 J

Donde el signo positivo indica que el trabajo esrealizado, en este caso, por las fuerzas del campo. Enefecto, dado que la carga q tiene signo opuesto a la

carga central Q que se supone fija, la fuerza entre ambas será atractiva y eldesplazamiento de q del punto M (más alejado) al N (más próximo) se efectuaráespontáneamente.

Lineas y Superficies Equipotenciales. La visualización de cómo varía el potencialde un punto a otro en un campo electrostático se efectúa recurriendo a la noción desuperficie equipotencial como lugar geométrico de los puntos del campo que seencuentran a igual potencial. Su representación gráfica da lugar a una serie desuperficies que, a modo de envolturas sucesivas, rodean al cuerpo cargado cuyo campose está considerando. Cada una de ellas une todos los puntos de igual potencial.

Aunque teóricamente habría infinitas envolturas, se representan sólo las quecorresponden a incrementos o variaciones fijas del potencial eléctrico. Así se habla de lasuperficie equipotencial de 10 V, de 20 V, de 30 V, etc... Entre cualquier par de puntos de


una misma superficie equipotencial, su diferencia de potencial es, de acuerdo con sudefinición, nula.

Líneas de Campo y líneas de potencial (2D)para dos cargas puntuales iguales y de distintosigno

Líneas de Campo y líneas depotencial (2D) para dos conductoresplanos de diferente signo

Líneas de Campo y líneasde potencial (2D) para doscargas puntuales iguales delmismo signo


Transformaciones Energéticas en un Campo Eléctrico. Imaginemos dos cargaspuntuales Q y q (por ej. Q = 5uC y q = -2uC) que están situadas a 30 cm en el vacío. Sideseamos duplicar la distancia existente entre ellas, debemos realizar un trabajo exterior.

¿Cuál sería el valor del trabajo si realizamos la sepa-ración sin que haya variación de energía cinética?Evidentemente, para alejar dos cargas de signocontrario hay que aplicar una fuerza exterior y realizartrabajo contra las fuerzas del campo eléctrico. Si nohay variación de Ec la fuerza exterior, Fext, tiene queser justamente la opuesta a la fuerza eléctrica y el tra-bajo exterior se invertirá en aumentar la energíapotencial del conjunto de las dos cargas. Por tanto:

INICIALFINALINICIALPFINALPPEXT r

qQK

rqQ

KEEEW.

..

.,,

Utilizando los datos numéricos, obtenemos que:

JWEXT 15030

1

60

12105109 69 ´

´´)..(...

Como vemos 0EXTW , porque ha aumentadola Ep del sistema. Sin embargo, el trabajo del campo ha sido negativo (ver fig. 4.6).

Movimiento Espontáneo de Cargas. Imagina ahora el sistema de cargasrepresentado en la fig. 4.7. Al dejar en libertad lacarga positiva, la fuerza de atracción le provocará unaaceleración y por tanto un aumento de EK.

En este caso, como no hay fuerzas exteriores eltrabajo realizado por el campo eléctrico equivale alaumento de energía cinética, es decir:

KCAMPO EW

Pero el trabajo de las fuerzas eléctricas se realizaa expensas de una disminución equivalente de laenergía potencial, o sea:

PCAMPO EW

Igualando ambas expresiones del trabajo hechopor las fuerzas del campo deducimos que:

cteEE

EEEE

PK

PKPK

0

Conclusión: si las cargas se mueven sometidassolamente a fuerzas eléctricas y/o gravitatorias,su energía mecánica (la suma PK EE ) semantiene constante.

Una forma muy práctica de expresar laconservación de la energía en un movimientoespontáneo es la siguiente:

).(,, 21 VVQEEEEEE KFINALPINICIALPKPK


Muchos dispositivos y fenómenos eléctricos están basados en la transformaciónde energía eléctrica en energía cinética cuando las cargas se mueven en un campoeléctrico. En la tabla se resumen las situaciones posibles y se indica en cada caso larelación entre el trabajo y la variación de energía.

Semejanzas y Diferencias entre Campos Gravitatorio y Eléctrico.

Rayos y Pararrayos. La caída cercana de un rayo en una noche de tormenta esuno de los fenómenos más sobrecogedoresque podemos presenciar en la naturaleza. Eneste complicado fenómeno se pone en juegouna enorme energía electrostática cuyoorigen vamos a intentar explicar.

Para que se produzca una descarga entredos objetos rodeados de aire seco hace faltaun campo eléctrico superior a 3.106V/m, esdecir el aire seco es prácticamente aislante.Pero esto cambia en días de tormenta; enellos se producen fuertes corrientesascendentes de aire caliente y descendentesde aire frío y las nubes se van cargando deelectricidad debido entre otros motivos alrozamiento.

La descarga eléctrica o rayo se puede


producir entre partes de una misma nube, entre dos nubes o entre una nube y laTierra; en una típica nube de tormenta, la carga negativa está mayoritariamente en laparte inferior y ello induce una carga positiva en la superficie terrestre cercana; si laddp es suficiente, se produce la descarga de la nube, es decir un rayo.

Al filmar con cámaras especiales la caída de un rayo se puede comprobar queinicialmente hay un movimiento descendente de electro nes, lo que provoca brevesdescargas (de unos 50 ps de duración) que avanzan hacia el suelo a saltos; cerca delsuelo se pone en movimiento rapidísimo un "chorro de iones positivos" ascendente,que se inicia en el extremo de un lugar elevado.

La ddp entre la base de la nube y el suelo es aproximadamente 100 MV y la caídade un rayo equivale a trasvasar una carga de unos 20 C, lo que corresponde a unaenergía enorme. ¿Cómo se manifiesta esta energía? Una pequeña parte es emitidacomo luz (el relámpago) y el resto calienta el aire de tal modo que se produce unaonda de presión expansiva que da lugar al ruido, característico (el trueno).

Los experimentos que realizó BenjaminFranklin (el primer científico estadounidenseimportante, 1706-1790) a mediados del sigloXVIII le condujeron al descubrimiento delpararrayos. El efecto "atractivo" que ejerce lavarilla metálica del pararrayos se debe a quesu presencia modifica el valor del campoeléctrico existente cerca de la superficieterrestre (fig. 4.9); un conductor metálicogrueso sirve para que la corriente eléctrica ele-vadísima que produce la caída del rayo circuleentre la nube (que aporta electrones) y la Tierra

5. Relación entre el Campo Eléctrico y sus Fuentes (Cargas): Ley de Gauss .La ley de Gauss desempeña un papel importante dentro de la electrostática y del

electromagnetismo por dos razones básicas:1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo eléctrico

debido a una distribución de cargas cuando esta presenta buenas propiedades desimetría. En estos casos, suele resultar mucho mas simple usar la ley de Gaussque obtener E por integración directa sobre la distribución de cargas, tal y comose ha descrito en el tema anterior.

2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley básica, no sólo dela electrostática, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituyeuna de las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describirtodos los fenómenos electromagnéticos).

Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuación matemática querelaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga eléctricaencerrada en su interior.

La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando elconcepto de líneas de campo. Como se vio en el tema anterior, el número de líneas decampo que parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si unasuperficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el número total de líneasque pasan a través de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig.


1). Además, como se puede apreciar en la figura, el número de líneas debe serindependiente de la forma de la superficie que encierra a la carga. Este es esencialmente,desde un punto de vista cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el número de líneasde campo que atraviesan una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a lacarga neta encerrada en su interior.

Pero antes de conocer dicha ley, debemos introducir un nuevo concepto, el flujoeléctrico d a través de una superficie elemental ad

se define como el producto escalardel vector campo E

en dicho punto por el vector elemento de area Sd

(ver

Fig. 2 (a), donde Sd

se nota como ad ):

SdEd

.

El flujo total a través de una ciertasuperficie S, a lo largo de la cual elcampo E

puede variar de punto a

punto, se obtiene dividiendo S enpequeños elementos de superficie ad

,en cada uno de los cuales E

se puede

suponer uniforme, y sumando el flujo através de cada uno de estos elementosde superficie (Fig. 2 (b)),

S

S

SdESE

..

Por tanto, el flujo eléctrico a través de una superficie arbitraria S es igual a la integralde superficie del campo E

sobre dicha superficie.

Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se suele designar mediante S ,

de modo que el flujo a través de una superficie cerrada S se suele escribir:

S

SdE

.

Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo eléctrico a travésde una superficie:

Significado: el flujo eléctrico a través de una superficie puede interpretarsecomo una medida del número de líneas de campo que atraviesan dichasuperficie; en el caso de una superficie cerrada, las líneas de campo que salena través de la superficie dan una contribución positiva al flujo, mientras que laslíneas que entran dan una contribución negativa. Por tanto, el flujo eléctrico através de una superficie cerrada es una medida del número neto de líneas quepasan a través de dicha superficie, es decir, del número de líneas que salen


menos el número de líneas que entran; las unidades de flujo eléctrico en el

sistema internacional sonculmNw 2.

Con estos antecedentes podemos ahora enunciar la Ley deGauss: el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerradacualquiera es igual a la carga neta que se encuentra dentro de elladividida por 0 :

0int.

QSdE

s

, donde Qint es la carga neta en el interior de S.A partir de la ecuación podremos tratar los siguientes puntos en relación:

Significado físico: la ley de Gauss nos dice que el flujo a través de unasuperficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica Qint encerrada en suinterior,

0intQ

El flujo es positivo si la carga es positiva, y negativo si la carga es negativa.De esta manera, lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga eléctricaconstituye la fuente del flujo eléctrico: las cargas positivas (flujo positivo) sonlas fuentes y las cargas negativas (flujo negativo) son los sumideros. Desde unpunto de vista cualitativo, dado que el flujo eléctrico a través de una superficiecerrada es una medida del número neto de líneas de campo que pasan através de dicha superficie (número de líneas que salen menos número delíneas que entran), la ley de Gauss nos dice que el número neto de líneas decampo que pasan a través de una superficie cerrada es proporcional a la carganeta encerrada en su interior. Por tanto, la carga eléctrica constituye la fuentede las líneas de campo (las cargas positivas son las fuentes, dondenacen las líneas de campo, y las cargas negativas los sumideros, dondeterminan las líneas de campo). Resumiendo: lo que nos dice la ley de Gauss esque la carga eléctrica constituye la fuente del flujo eléctrico o, lo que es lomismo, la fuente de las líneas de campo (las cargas positivas son las fuentes ylas cargas negativas son los sumideros).

Es importante fijarse en que el campo eléctrico que aparece en la integral desuperficie de la ley de Gauss es el campo eléctrico debido a todas las cargaspresentes en el problema, tanto a las cargas situadas dentro de la superficiecerrada S sobre la que se calcula el flujo como a las cargas situadas fuera deella, mientras que el flujo a través de dicha superficie sólo depende de la cargaen su interior. Notar que si cambiamos la posición de las cargas dentro o fuerade S, o añadimos mas cargas fuera de S, aunque el valor del campo E en cadapunto de la superficie S varía, si mantenemos la misma carga neta dentro de lasuperficie, el flujo

s

SdE

.

a través de S sigue siendo el mismo e igual a la carga total dentro de Sdividida por 0 . El flujo a través de una superficie cerrada sólo depende de lacarga dentro de ella; no depende de la forma de la superficie, ni de la posiciónde las cargas dentro de ella, o del número y posición de las cargas fuera de S,siempre y cuando mantengamos la misma carga neta dentro de S.


La ley de Gauss constituye una ley fundamental, no sólo de la electrostática,sino del electromagnetismo. De hecho, es una de las ecuaciones de Maxwell,que son las ecuaciones básicas del electromagnetismo.

La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido adistribuciones de carga con alto grado de simetría, particularmente para distribuciones decarga con simetría esférica, cilíndrica o plana.

Definiremos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada imaginariaque empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido a una ciertadistribución de cargas.

Para aplicar la ley de Gauss al cálculo del campo eléctrico debido a una ciertadistribución de cargas con propiedades de simetría adecuadas es aconsejable seguir elsiguiente procedimiento:

1. Seleccionar una superficie gaussiana que tenga las siguientes propiedades:(a) la superficie debe tener la misma simetría que la correspondiente

distribución de carga;(b) en cada punto de la superficie, E

debe ser normal o tangencial a la

superficie;(c) en todos los puntos en los que E

es normal a la superficie, E

debe tomar

un valor constante.Los casos más frecuentes son:

(a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetría esférica, debeelegirse como superficie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyocentro coincida con el centro de la distribución de carga;

(a2) para líneas de carga o cilindros uniformemente cargados, debe elegirse unasuperficie cilíndrica coaxial con la línea de carga o cilindro;

(a3) para planos (o láminas) cargados que tienen simetría plana, debe elegirsecomo superficie gaussiana un cilindro pequeño simétrico con el plano.

2. Calcular el flujo a través de dicha superficie.3. Calcular la carga total Qint dentro de la superficie, y usar ley de Gauss,

0intQ

, para obtener el campo E

A continuación mostramos algunos ejemplos de este tipo de cálculos:

Ejemplo 1: Cálculo del campo creado por una CORTEZA ESFÉRICA de radio RCARGADA HOMOGÉNEAMENTE con una carga total Q.

El campo debido a una corteza esférica cargada se calcula fácilmente aplicando elTeorema de Gauss. El primer paso en este tipo de cálculos consiste en analizar cómo esla distribución de carga, para determinar el sentido del vector campo eléctrico cómo serála dependencia de su módulo con las coordenadas. Este análisis nos permitiráseleccionar una superficie arbitraria (superficie gaussiana) para la que nos sea cómodoaplicar el teorema de Gauss.En el caso que nos ocupa, la simetría del problema nos indica dos cosas:

1.- El campo sólo debe depender de la distancia al centro de la esfera (coordenadaradial r) ya que tenemos simetría de revolución respecto a cualquier eje.

2.- El campo eléctrico debe estas necesariamente dirigido en sentido radial ya quees el único sentido compatible con la inexistencia de direcciones privilegiadas en elespacio (ya que, como hemos dicho, la esfera tiene simetría de revoluciónrespecto a cualquier eje).

Estas dos propiedades de la distribución, nos lleva a seleccionar, para determinar elcampo, de la esfera cargada, una superficie gaussiana esférica concéntrica con ladistribución. El motivo de es que a la hora de calcular el flujo el vector campo y el vector


superficie serán paralelos y además, el módulo del campo será constante en toda lasuperficie gaussiana y podrá salir fuera de la integral.

Otra propiedad de la distribución de carga problema es que nos divide el espacio endos regiones el interior de la esfera cargada (es decir aquellos puntos del espacio cuyadistancia al centro de la esfera sea menor de que R) y el exterior (es decir aquellospuntos del espacio cuya distancia al centro de la esfera sea mayor de que R). Deberemoscalcular el campo en las dos regiones para lo cual habremos de seleccionar superficiesgaussianas que se adapten a cada región. Comenzaremos calculando el campo en elexterior de la distribución.a) Cálculo del campo en el exterior de la distribución (r ≥ R)

En la figura se muestra la superficie gaussiana que utilizaremos para aplicar elteorema de gauss, una superficie esférica, concéntrica con la distribución de carga y deradio r ≥ R.Como hemos dicho, la simetría del problema nos lleva a concluir que en todos los puntosde esta superficie el campo es constante de forma que se cumplirá:

dSESdEuuSESdEuSuESdEuSSd

uEErrrr

r

r ...........

.

, con lo que:24 rEdSEdSESdE

SSS.....

02

2

0

0

44

que,puesto Y,

......

.

intint

int

r

QErE

Q

QSdE

s

b) Cálculo del campo en el interior de la distribución (r < R)Para calcular el campo en el interior de esta distribución de carga utilizamos una superficiegaussiana esférica de radio r<R. En este casotendremos, empleando el mismo razonamiento que enel caso anterior, que

)(... RrErE 004 2

, y el campo en el interior de la corteza esférica ennulo. En la figura se representa el módulo del campoen función de la distancia al centro de la esfera. Comose puede apreciar, el campo es discontinuo en lasuperficie de la esfera (r = R) como ocurre siempre enlas distribuciones superficiales de carga.

Ejemplo 2. Cálculo del campo creado por una ESFÉRA MACIZA de radio R cargadaHOMOGÉNEAMENTE con una carga total Q.a) Cálculo del campo en el exterior de la distribución (r ≥ R)Este problema es similar al anterior, de hecho el cálculo del campo en el exterior es idéntico deforma que el resultado es:

R)r(4 0

2

...int

r

QE

b) Cálculo del campo en el interior de la distribución (r < R)Para calcular el campo en el interior de esta distribución de carga utilizamos, denuevo, una superficie gaussiana esférica de radio r<R. En este caso tendremos,


empleando el mismo razonamiento que en el caso anterior,que

02

2

0

0

2

2

0

44

4

4

......

........

.

intint

intint

r

QErE

Q

QrE

rEdSEdSESdE

QSdE

SSS

s

Pero tenemos que determinar qué cantidad de carga hayencerrada en el interior de las esfera gaussiana. Para estoutilizamos el dato de que la carga se distribuye de formahomogénea por todo el volumen de la esfera y que portanto la densidad de carga es constante y vale:

3

3

4R

QVQ

.

La carga en el interior de la superficie gaussiana se determina fácilmente a partir de:

3

3

0

3

3

0

23

2

03

0

2

3gaussianavolument

3

3

334

3

4

R

rQr

R

QQ

drrR

Qdrr

R

Qdrr

R

QdVQ

r

rrr

..

........

.

int

int

en la deducción anterior hemos utilizado que para la esfera:

drrdVrV ... 23 43

4

Entonces:

r

S

uR

rQE

R

rQE

R

rQrE

QrESdE

....

.

...

.

.

........ int

03

03

03

32

0

2

4:mente vectorialo,,

R)r(,4

44

Como vemos, el módulo del campo aumenta linealmente con la distancia al centro de laesfera. Esto se refleja en la siguiente figura:


Nota: El ejemplo 1 es también extensible a una ESFERA MACIZA CONDUCTORA, yaque las cargas podrán desplazarse, con lo que se situarán en la superficie de esta.

La carga en un conductor se distribuye por susuperficie. Por ello todo conductor se caracterizapor su densidad superficial de carga, , cantidadde carga por unidad de superficie. En losconductores esféricos la densidad es constante, loque significa que la carga se distribuye por igualen toda la superficie. Sin embargo, en conductoresde forma irregular las cargas se concentran en laszonas de mayor curvatura, intensificando el campoen sus proximidades.

Tal como se ha comentado, una esferaconductora se comporta, para puntos exteriores,como si su carga estuviese en el centro de lamisma. Además, el campo en el interior de laesfera es nulo, lo que significa que en su interior el

potencial es constante.Para calcular el potencial en el interior de la esfera conductora tenemos que

considerar que la función potencial es continua, y por ello el potencial de un puntocualquiera de su interior es el mismo que el de un punto situado en la superficie:

Rr,interior RQ

KV .

Para puntos exteriores el potencial producido por la esfera es equivalente alde una carga puntual:

Rr,exterior rQ

KV .

En el siguiente esquema quedan representados los valores de intensidad delcampo y del potencial, tanto para esfera conductora como dieléctrica:


6. Movimiento de Partículas con Carga en el Interior de un Campo Eléctrico .Si una partícula penetra en un campo eléctrico estará sometida a la acción de

dos fuerzas simultáneas, la fuerza eléctrica y el peso:

GERESULTANTE FFF

Sin embargo, la interacción gravitatoria es mucho menor que la eléctrica, lo quepermite simplificar el estudio del movimiento de la partícula cargada, al despreciar lafuerza gravitatoria frente a la eléctrica. Por ello, la aceleración de una partícula por uncampo eléctrico es:

Emq

mEq

m

F

m

Fa ERESULTANTE

..

, lo que significa que la aceleración tiene la misma dirección que el vectorintensidad de campo ( E

), y el mismo sentido si la carga es positiva o el opuesto si es

negativa. Por otra parte, la medida de la aceleración y conocido el valor de laintensidad de campo, permite determinar la relación q/m, característica fundamentalde toda partícula cargada.

Una situación de especial interés es el estudio del movimiento de partículascargadas en campos uniformes, lo que se consigue al introducir partículas en elespacio vacío comprendido entre las láminas de un condensador plano (verfigura). El tipo de trayectoria que describirá la partícula depende de su dirección deinserción respecto a la del campo. Si la partícula penetra paralelamente al vector Edescribirá un movimiento rectilíneo mientras que si penetra oblicuamentedescribirá un movimiento curvilíneo, oblicuo o parabólico, donde la rapidez de lapartícula se modificará, y en consecuencia variará su energía cinética.

7. Electrón-Voltio .Cuando una partícula de carga q se mueve en el seno de un campo eléctrico

desde un punto A a un punto B se cumple: ΔEp= q (VB - VA)


Si la carga eléctrica es la del electrón q = 1,6.10 -19 C y la diferencia de potenciales un voltio (VB- VA) =1 V, la variación de la energía potencial es:

ΔEp=q(VB-VA)=1,6.10 -19C. 1V=1,6.10 -19J

Esta cantidad de energía recibe el nombre de electronvoltio (eV). El electronvoltioes una unidad de energía apropiada cuando se estudian los movimientos de laspartículas fundamentales o de los iones. Cuando la partícula es un electrón, un protóno un ion monovalente, el valor de la energía expresado en esta unidad es el mismoque el de la diferencia de potencial.

Aunque hemos definido esta unidad a partir de la energía potencial eléctrica, seutiliza para cualquier otro tipo de energía.

8. Tubo de Rayos Catódicos .

Un tubo de rayos catódicos es un tubo en cuyo interior se ha practicado un altovacío y que en su extremo inferior tiene un cátodo del que se desprenden electronescuyos movimientos son controlados mediante combinaciones de campos eléctricos.

Su esquema básico es el representado en la figura.Mediante el calentador se logra que los electrones

de la superficie del cátodo se evaporen. El ánodoacelerador, que tiene un pequeño agujero en su centro,mantiene una diferencia de potencial alta con respecto alcátodo ΔV1, de forma que existe entre ellos un campoeléctrico dirigido hacia el cátodo. Una vez que loselectrones atraviesan el ánodo, su velocidad verticalpermanece constante.

La rejilla de control tiene como misión controlar elnúmero de electrones que llegan a la pantalla. El ánodode enfoque asegura las desviaciones de la trayectoriavertical de los electrones que salen del cátodo. Ni larejilla de control ni el ánodo de enfoque influyen en elanálisis del funcionamiento global del tubo. Al trozo deltubo que va desde el cátodo hasta el ánodo se le llamacañón de electrones.

Suponiendo que los electrones salen del cátodo sinvelocidad inicial o con una velocidad tan pequeña frentea la que acaban alcanzando que no influye en suresultado, y al no existir fuerzas disipativas(rozamientos) dentro del tubo, se cumple:

22

2

1

2

10 vmVevmEEE PKP ...

, siendo e la carga del electrón, por lo que, al salir delánodo acelerador, la velocidad vertical que lleva la partícula es:

m

Vev 12

..

Supongamos que no exista campo eléctrico entre las placas de desviaciónlongitudinal para no complicar el cálculo por la composición de tres movimientos.

Entre las placas de desviación lateral existe una diferencia de potencial ΔV2,suponiendo que la placa positiva es la de la izquierda del dibujo, el campo eléctricoentre ellas es un campo constante que va de izquierda a derecha.


Cuando el electrón entra en este campo, sufre la acción de una fuerza eléctricadirigida hacia la izquierda y adquiere una aceleración en este sentido y direccióncuyo valor es:

mEe

m

Fa ex

.

Llamando d la separación entre las placas y como el campo es constante:

d

V

drdV

E 2

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

m

Vea

dmd

Ve

a xx2

2

.

.

.

Mientras que el electrón atraviesa las placas, la velocidad vy siguepermaneciendo constante y por tanto, el tiempo que tarda el electrón en pasar entreellas es:

yv

Lt t

La velocidad con la que sale de ellas es:a.tv x

, y el desplazamiento horizontal:2

x .t.a2

1x´

Una vez que el electrón abandona lasplacas, el movimiento en los dos ejes es unmovimiento uniforme. El tiempo que tarda elelectrón en hacer el trayecto entre el bordede las placas y la pantalla es

y

Dt´ y el

desplazamiento horizontal, mientras tanto,´.tvx x

Resolviendo el sistema de ecuaciones ysumando los dos desplazamientos ho-rizontales, queda:

1

2

22 V

VD

LdL

s

..

Si además se establece un campo entrelas placas de desviación longitudinal, loselectrones se desvían también en ladirección del eje Z. El cálculo de ladesviación es idéntico que en el casoanterior.

Este dispositivo es la base delosciloscopio, un aparato capaz de medirdiferencias de potencial que varían

rápidamente.Los cinescopios de los aparatos de televisión tienen un funcionamiento parecido,

con la excepción de que los electrones son desviados por campos magnéticos en vezde por campos eléctricos.


9. Campo Magnético. Reseñas Históricas .Electricidad y magnetismo son aspectos diferentes de un mismo fenómeno.

Cuando el científico medita sobre las propiedades y el movimiento de las cargaseléctricas, ambos fenómenos aparecen en forma conjunta. Sin embargo, la íntimarelación entre electricidad y magnetismo sólo se comenzó a estudiar en formasistemática a partir del siglo pasado, y aún ahora el lego en la materia piensa queestos fenómenos no tienen nada que ver entre sí, a pesar de que vive rodeado deaparatos que muestran esta interrelación. Esto explica el desarrollo del magnetismocomo ciencia, ya que en la Antigüedad y hasta el siglo XVIII se estudiaba elmagnetismo de manera independiente, es decir, sin tomar en cuenta a la electricidad.

Fueron probablemente los griegos quienes primero reflexionaron sobre lasmaravillosas propiedades de la magnetita, un mineral de hierro que incluso en estadonatural posee una profunda atracción por el hierro. De hecho, Tales de Miletoalrededor del 600 a.C. ya habla del imán en forma detallada. Esto no excluye queéste ya se conociese en el resto del mundo. Por otra parte, Platón (428-348 a.C.) ensu diálogo Ión hace decir a Sócrates que la magnetita no sólo atrae anillos de hierro,sino que les imparte un poder similar para atraer a otros anillos. De esta manera seforman cadenas de anillos colgados unos con respecto a otros. Estos son losllamados anillos de Samotracia, isla griega donde los mineros habían descubiertoeste fenómeno que en la actualidad llamamos magnetización por inducción. Diversasleyendas envuelven los orígenes del descubrimiento del magnetismo. De acuerdocon una de ellas, el pastor Magnes (de allí magnetismo) se quedó pegado a la tierra,ya que los clavos de sus zapatos fueron atraídos por la magnetita. Según otraversión, el nombre magnetismo viene de Magnesia, región de Grecia donde abundael mineral. Otras leyendas nos hablan de estatuas de hierro suspendidas en el airedebido a su colocación en domos magnéticos.

Siendo los griegos un pueblo que se interesaba por la Naturaleza, no es deextrañar que surgieran teorías para explicar las maravillas del magnetismo. Sinembargo, no debe pensarse que el verbo explicar tenía el mismo sentido para ellosque para nosotros. Para los griegos explicar significaba encuadrar los fenómenosnaturales dentro de un esquema filosófico preconcebido y no investigarlos para crearuna teoría con poder predictivo.

De esta manera era lógico que surgieran diversas escuelas tales como losanimistas, los mecanicistas y otras, entre las que destacaban las que sostenían queel magnetismo se debía a emanaciones o "efluvios". De hecho, uno de los pasajessobre el magnetismo más extenso que se encuentra en la literatura grecorromana esel de Lucrecio Caro, que en el sexto libro de De Rerum Natura (55a.C.) un vastopoema épico, describe las maravillas del imán con base en las teorías de Epicuro yDemócrito.

Puesto que éstos eran los fundadores de la teoría atómica, era de esperarse queel magnetismo se atribuyera a que el imán exhala partículas que penetran a travésde los poros del hierro y que, al crearse el vacío, hacen que el hierro se sientaatraído al imán. Lucrecio consigue además dar una explicación ingeniosa de por quéal poner un objeto de bronce entre el hierro y el imán ocurre una repulsión. Porsupuesto, las "explicaciones" de Lucrecio no son tales a la luz de la ciencia actual.Sin embargo, demuestran el poder especulativo de un mundo precientífico y estánsorprendentemente libres de supersticiones tan en boga entonces (¡y ahora!).


El uso de la "piedra magnética" como brújula se adscribe a los chinos. Deacuerdo con ciertas leyendas, Hoang-ti, personaje mítico, construyó una "carroza delsur" (véase figura.1)

Se dice que los chinos utilizaban una especie de brújula en el siglo XII a.C., perohasta el final del siglo XII d. C. no se tiene una clara referencia a un compásmarítimo.

Figura 1. La leyenda dice que Hoang-ti, fundador del Imperio chino, perseguíacon sus tropas a un príncipe rebelde y se perdió en la niebla. Para orientarseconstruyó esta brújula en la cual la figura de una mujer siempre apuntaba al sur. Asíatrapó a los rebeldes.

Figura 2. La atracción magnética seconcentra en los extremos del imán.

Para ese entonces loseuropeos habían ya desarrolladouna brújula, pues ya en 1200d.C., Neckam of St. Albansmuestra agujas pivotadas quemarcan la ruta en su libro DeUtensilibus. Aproximadamente

en la misma época, Guyot deProvoins, un trovador de la corte de Barbarroja, se refiere en la llamada Bible Guyotal empleo de una piedra que se utiliza para tocar a una aguja (véase figura 2). Éstase montaba sobre una paja que flotaba y podía girar libremente. El uso de estabrújula de flotación era ya común en el siglo XIII d. C.

El primer tratado europeo importante sobre el magnetismo se debe a PedroPeregrino de Maricourt, quien el "8 de agosto del año del Señor 1269" escribió sucelebrada Epístola a Sygerius de Foucaucort, soldado. Éste es el primer informecientífico (en el sentido moderno de la palabra) del que poseemos noticias. La cartaes notable, ya que el relato de los experimentos es lúcido y sucinto. Peregrinodistingue claramente los polos de un imán permanente; observa que el norte y el surse atraen y que polos iguales, norte por ejemplo, se repelen (véase figura 3);describe cómo, si se fragmenta un imán, se crean otros polos, y discute sobre la


aguja pivotada. Asevera además que es de los polos magnéticos de la Tierra dedonde los polos del imán reciben su virtud.

Figura 3. Polos opuestos se atraen y polos iguales se repelen.

Después de Peregrino, varios estudiosos como Baptista Porta o Thomas Brownerealizaron experimentos que, aunque alejados de la física moderna, coadyuvaron adepurar de supercherías los conocimientos que poco a poco se iban acumulandosobre los fenómenos magnéticos. Entre éstos sobresale la variación de la declinaciónde la brújula con la latitud y la inclinación de la aguja imantada, la cual fue observadapor Hartmann von Nürnberg en 1544 y descrita por Robert Norman, un fabricante deagujas para brújula.

Lo que podríamos llamar la etapa precientífica del magnetismo termina y culminacon la aparición de la imponente figura de William Gilbert de Colchester (1544-1603),quien fue el verdadero fundador de la ciencia del magnetismo. Su MagneteMagnetiasque Corporibus et de Magno Magnete Tellure Physiologia Nova,usualmente y por fortuna conocido como De Magnete, fue publicado en 1600 y puedeconsiderarse como uno de los trabajos claves de la revolución científica que sellevaba a cabo por esas épocas. Gilbert estudió en Cambridge y, después de viajarpor el continente, practicó como médico en la corte de la reina Isabel I.

Gilbert fue de los primeros "filósofos naturales" que hizo hincapié en el métodoexperimental y que lo utilizó para ahondar en el conocimiento del magnetismo. En losseis libros de que consta De Magnete, Gilbert describe múltiples fenómenos, entrelos cuales destaca el cómo la atracción entre el hierro y la magnetita imantada puedeser aumentada "armando" la magnetita, esto es, poniendo casquetes de hierro en lasjuntas de la piedra, tal y como se muestra en la figura 4. Esto hace que el peso quepuede ser levantado aumente en un factor de cinco. Observó además que laatracción se concentra en los extremos de la magnetita. Así, Gilbert detalla cómo sepueden hacer imanes por medio de tres métodos: tocando objetos imantados; pordeformación plástica; y fabricando barras de hierro, calentándolas y dejándolasenfriar. De hecho, estos métodos fueron los que se usaron hasta 1820. Observótambién que el calor destruye el magnetismo.

Figura 4. Imanes permanentes y círculo inclinado como sepresentan en De Magnete de Gilbert.

Como puede colegirse de la anteriorexposición, Gilbert era un gran experimentalistapoco afecto a la especulación. Sin embargo, en elúltimo libro de De Magnete presenta sus teorías ytrata de encuadrar el magnetismo en el sistemade Copérnico. Uno de sus éxitos fue el de deducirlas propiedades de atracción de polos opuestos y


otro el de que la Tierra se comporta como si tuviera un imán enterrado en ella (Figura5).

Figura 5. La Tierra se comporta como si tuviera un gran imán enterrado.

En el otro extremo se encuentra el gran filósofo y matemático francés RenéDescartes (1596-1659), quien no toma muy en cuenta los experimentos perointroduce de lleno el racionalismo en la ciencia. La primera teoría del magnetismo sepresenta en la cuarta parte de sus Principia y considera que el ferromagnetismo, estoes, la existencia de imanes permanentes, deriva del magnetismo terrestre. Su teoríade vórtices, que no es más que una nueva versión de los efluvios del mundo clásico,no resiste una comparación con los experimentos de Gilbert, pero ejerció unainfluencia considerable en su época. Descartes marca aparentemente el fin de lainfluencia metafísica en la ciencia. Por un periodo su idea de que la física puede serdeducida de primeros principios incomprobables parecerá completamente muerta. Encierto sentido, su mecanicismo es parecido al de los griegos. Los mecanicistas que losiguieron tomaron un punto de vista empírico y descriptivo que no deseaba penetraren la esencia del objeto estudiado. Sin embargo, el paso clave ocurre cuando lanueva ciencia adopta a las matemáticas como su lenguaje. Este conjunto deprimeros principios, si así pueden llamarse, remplaza a la metafísica en ladescripción del universo. Galileo ya lo había dicho en 1590: "La filosofía está escritaen un gran libro siempre abierto ante nuestros ojos, pero uno no puede entenderlosin entender su lenguaje y conocer los caracteres en que está escrito, esto es, ellenguaje matemático."

Este nuevo punto de vista estimula a que los científicos cuantifiquen susobservaciones. En magnetismo, el monje Marsenne, un amigo de Descartes,cuantificó las observaciones de Gilbert. Hacia 1750 John Michell inventó la balanzade torsión y pudo constatar que "la atracción o repulsión de los imanes decrececuando los cuadrados de la distancia entre los respectivos polos aumenta". Estasconclusiones, que no concordaban con la teoría de vórtices, dieron origen a nuevasteorías del magnetismo, algunas basadas en el tema de fluidos. La teoría de un fluidopropuesta por Gray y Franklin para explicar el flujo de carga eléctrica de un cuerpo aotro fue aplicada al magnetismo por Franz María Aepinus en 1759. Su libroTentamen Theoria Electricitates et Magnetismi publicado en San Petersburgo dio elgolpe de gracia a las teorías basadas en el concepto de efluvio. El descubrimientopor Du Fay en 1733 de que había dos tipos de electricidad hizo que también sepropusiera una teoría de dos fluidos para el magnetismo en 1778 por el sueco Wilchey el holandés Brugmans.


El máximo representante de la teoría en esta época fue Charles Coulomb (1736-1806) , quien realizó experimentos cruciales con la balanza de torsión para probar laley de interacción entre cargas y modificó la teoría de dos fluidos. Coulomb hizo laclara distinción entre cargas eléctricas y cargas magnéticas, pues estas últimas,como ya se mencionó, nunca aparecían desligadas, sino en pares de polosmagnéticos. Simon Denis Poisson (1781-1840), un brillante matemático, introdujo elconcepto de potencial y desarrolló la teoría de la magnetostática. Tanto Poissoncomo Coulomb rechazaron cualquier intento de especulación acerca de la naturalezade los fluidos eléctrico y magnético. Esta actitud positivista prevaleció en formadeterminante en la ciencia francesa y, como veremos posteriormente, fue una de lascausas por las que los físicos ingleses, y no los franceses, realizaron una síntesis delos fenómenos electromagnéticos.

En resumen, al final del siglo XVIII las características principales de losfenómenos magnetostáticos habían sido descubiertas y se interpretaban con base enla teoría de dos fluidos, combinados con el concepto de acción a distancia implícitoen la ley del inverso del cuadrado de la distancia. Es claro que tanto la fuerzaeléctrica como la magnética y la gravitatoria se distinguen de las llamadas fuerzas decontacto, como lo son la fricción o un simple empujón, en el hecho de que actúanaun cuando los cuerpos no se toquen. De esta manera se empezó hablando de lamencionada acción a distancia, pero el lenguaje moderno se frasea en términos delos llamados "campos", concepto en el que profundizaremos más adelante.Matemáticamente se había avanzado considerablemente con las investigaciones dePoisson, quien, entre otras cosas, discutió la inducción magnética. La construcciónde imanes permanentes había alcanzado un alto grado de refinamiento en Inglaterra(Figura 6).

Figura 6. Diferentes tipos de imanes permanentes.Así pues, el escenario estaba preparado para la irrupción de conocimientos

sobre el electromagnetismo que el naciente siglo XIX estaba por traer.Por una feliz coincidencia, el punto culminante en el desarrollo del magnetismo

como una ciencia separada fue alcanzado justamente cuando se hacían los primerosdescubrimientos que lo conectaban con la electricidad. Por supuesto, desde hacíatiempo se había notado que la brújula cambiaba de dirección cuando los rayos enuna tormenta caían cerca de un barco. Sin embargo, fue solamente a principios delsiglo XIX cuando se empezó a investigar la influencia que tenía la electricidad sobreuna aguja magnética. Estos experimentos fueron estimulados por la invención de lapila voltaica alrededor de 1800 y, ya desde 1801, el físico danés Hans ChristianOersted (1777-1851) estaba buscando la interrelación entre una corriente eléctrica y


una aguja magnética. No fue sino hasta 1819, y por accidente, cuando notó que laaguja magnética se movía cuando pasaba corriente por un alambre paralelo a lamisma. Esto era algo sorprendente, pues nunca se había esperado una fuerzatransversal. Oersted publicó una memoria sobre sus experimentos que causó gransensación. Dichos experimentos fueron reproducidos por Arago ante la academiafrancesa. Siete días después del reporte de Arago (el 18 de septiembre de 1820),André Marie Ampeère (1755-1836) sugirió que el ferromagnetismo era originado porcorrientes eléctricas internas y que éstas fluían perpendicularmente al eje del imán.

Los físicos ingleses les iban pisando los talones a sus colegas franceses, puesya el 16 de noviembre Sir Humphry Davy reportaba resultados similares a los deArago. De esta manera se inició una especie de competencia entre ambos lados delCanal de la Mancha para establecer la prioridad de los resultados.

En 1813, Michael Faraday (1791-1867), contando entonces con 23 años ysiendo aprendiz de encuadernador, fue contratado por Davy como su ayudante en laRoyal Institution. Faraday, sin lugar a dudas uno de los grandes genios de la física,tenía un tremendo poder de visualización, el cual, al combinarse con su granpaciencia y habilidad observacional, lo llevó a una vida de descubrimientos casi sinparalelo en la historia de la ciencia. Así, en 1831 descubrió la inducciónelectromagnética. Indudablemente fue su capacidad de ver las líneas de fuerza quesalían del imán lo que le permitió observar este fenómeno en diez días de febrilinvestigación. En sus propias palabras: ".. . se describieron y definieron ciertas líneasalrededor de una barra imán [aquellas que se visualizan esparciendo limaduras dehierro en la vecindad de éste, como se muestra en la figura 7] y se reconocieroncomo descripción precisa de la naturaleza, condición, dirección e intensidad de lafuerza en cualquier región dada, dentro y fuera de la barra. Esta vez las líneas seconsideraron en abstracto. Sin apartarse en nada de lo dicho, ahora emprenderemosla investigación de la posible y probable existencia física de tales líneas..." yconcluye diciendo: "la cantidad de electricidad que se vuelve corriente esproporcional al número de líneas de fuerza interceptadas."

Figura 7. Limadura de hierro espolvoreado sobre un papel, el cual se encuentra sobre un imán

Faraday estableció claramente que las sustancias magnéticas interactúan unascon otras mediante las líneas de fuerza, hoy llamadas líneas de campo, y nomediante una "acción a distancia". Sin embargo, suponía que el espacio libre era unmedio que soportaba las fuerzas y deformaciones que permitían la interacciónmagnética y eléctrica.


Figura 8. M. Faraday y J. C. Maxwell.

El genio culminante de la física del siglo XIX , James Clerk Maxwell (1831-1879),tradujo estas ideas a un lenguaje matemático preciso, y en su monumental tratadoaparecido en 1873 publicó las ideas de Faraday, sus propias ecuaciones y todo lohasta entonces conocido en la materia. Maxwell derivó cuatro ecuaciones queresumen todas las investigaciones hechas por sus predecesores y que han servidocomo base a todo el desarrollo tecnológico en este campo.

Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell mostraron que una ondaelectromagnética se propaga a la velocidad de la luz. Heinrich Hertz, en 1888, mostróque estas ondas eran precisamente ondas de luz, lo que significó un paso gigantescoal mundo moderno. Esto lo discutiremos en detalle en el próximo capítulo. Ahora sóloqueremos mencionar que una de las influencias impredecibles de estas ecuacionesse hizo patente al crear Einstein la teoría de la relatividad como un intento de dar alas fuentes que producían los campos las propiedades de invariancia que Maxwellhabía encontrado para los campos magnético y eléctrico.

10. Campo Magnético Terrestre

La existencia del campo magnético de la Tierra es conocida desde muy antiguo,por sus aplicaciones a la navegación a través de la brújula. En el año 1600, el físico


inglés de la corte de Isabel I, William Gilbert, publicó la obra titulada De magnete,considerada como el primer tratado de magnetismo. Gilbert talló un imán en forma debola y estudió la distribución del campo magnético en su superficie.

Encontró que la inclinación del campo en este imán esférico coincidía con lo quese sabía acerca de la distribución del campo terrestre. De este experimento concluyóque la Tierra era un gigantesco imán esférico. Posteriormente, los estudiosos delgeomagnetismo observaron que, tomando en cuenta la declinación, la mejorrepresentación del campo terrestre sería un imán esférico cuyo eje de rotaciónestuviera desviado unos 110 del eje geográfico de la Tierra.

Un imán suspendido horizontalmente adopta una posición tal que uno de susextremos apunta aproximadamente hacia el polo norte geográfico. Este extremo sellama polo norte del imán; el opuesto se denomina polo sur. Los polos del mismonombre de dos imanes se repelen y los de nombre contrario se atraen.

El polo norte de la aguja de una brújula apunta al polo norte geográfico, porquela Tierra misma es un imán: el polo sur de este imán está cerca del polo nortegeográfico y, como los polos contrarios de dos imanes se atraen mutuamente, resultaque el polo norte de la brújula es atraído por el polo sur del imán terrestre, que estáen las proximidades del polo norte geográfico.

Sin embargo, la brújula indica cuál es la dirección de la línea geográfica Norte-Sur sólo de un modo aproximado. Los polos norte y sur geográficos son los dospuntos donde el eje de rotación de la Tierra corta a la superficie terrestre.Normalmente, la aguja de la brújula se desvía hacia el Este o hacia el Oeste delnorte geográfico. Este ángulo de desviación se denomina declinación.

Una aguja magnética suspendida por su centro de gravedad no se mantiene enposición horizontal. el extremo que señala al Norte se inclina hacia el suelo en elhemisferio septentrional, y lo mismo hace el extremo que señala al Sur, en elhemisferio meridional. Este ángulo de desviación de la aguja respecto de lahorizontal se llama inclinación magnética. El valor de la inclinación, al igual que el dela declinación, es diferente de un punto a otro de la superficie de la Tierra.

El campo magnético terrestre se caracteriza también por su intensidad. Laintensidad de un campo magnético se mide en gauss. El campo magnético terrestrees bastante débil, del orden de 0,3 gauss en las proximidades del ecuador y de 0,7gauss en las regiones polares.

El alineamiento en general Norte-Sur de las líneas magnéticas, de acuerdo conel eje de rotación terrestre, sugiere que el campo, en lo fundamental; constituye undipolo. Resulta inclinado unos 110 respecto al eje de rotación terrestre, y presentaconsiderables irregularidades (no corresponde al campo de un dipolo perfecto).

Respecto del origen (fuente) del campo magnético terrestre, las hipótesis partende la existencia de dos maneras de producir un campo magnético: bien por medio deun cuerpo imanado, bien a través de una corriente eléctrica. Antiguamente, se creíaque el magnetismo terrestre estaba originado por un gigantesco imán situado dentrode la Tierra (hipótesis del imán permanente). Ciertamente, la Tierra contieneyacimientos de minerales de hierro, y se cree que su núcleo está compuesto porhierro y níquel, sustancias altamente magnéticas. Si este núcleo, cuyo radio excedede los 3.400 km, es en efecto un imán permanente, el campo magnético terrestrepuede muy bien ser atribuido a él.

Sin embargo, las sustancias ferromagnéticas, como el hierro y el níquel, pierdensu magnetismo por encima del denominado punto de Curie, que es de 770 °C para elhierro y de 360 °C para el níquel. Como la temperatura del núcleo es superior a estos


valores (es mayor de 2.000 0C), ni el níquel ni el hierro pueden conservar suferromagnetismo. El núcleo terrestre no puede ser, pues, un imán permanente.

Otras teorías, posteriores a la de la imanación permanente, están basadas en larotación de cargas eléctricas. También se han propuesto diversas hipótesis que sefundamentan en el fenómeno termoeléctrico y el efecto Hall. Sin embargo, todas hansido abandonadas a favor de las que postulan la existencia en el núcleo de la Tierrade fenómenos semejantes a los de una dinamo autoexcitada.

Varios indicios geofísicos sobre la existencia de un núcleo terrestre denaturaleza fluida y alta densidad, compuesto casi en su totalidad de hierro, sirven debase a las teorías que sitúan el origen del campo magnético en procesos dinámicosque tienen lugar en su interior. J. Larmor, en 1919, fue el primero en proponer estetipo de proceso como constitutivo de un efecto de dinamo auto excitada, queoriginaría el campo magnético terrestre. El fenómeno se basa en que el movimientode circulación de material conductor en presencia de un campo magnético generacorrientes eléctricas que, a su vez, realimentan el campo inductor. En el caso de laTierra o este movimiento afecta al material fluido del núcleo. En 1934, Cowlingdemostró, en oposición a Larmor, que un mecanismo con simetría de revolución nopodía servir como explicación de la generación de un campo magnético estable.Desde 1946 se vuelve a dar impulso a las teorías de la dinamo autoinducída, debidoa los trabajos pioneros de W. M. Elsasser, E. C. Bullard y H. Gellman; en laactualidad es, prácticamente, la única manera de explicar el origen del campogeomagnético.

El campo magnético terrestre no es, en absoluto constante, sino que se hallasujeto a variaciones. Los estudios permanentes que se realizan en cualquierobservatorio demuestran que el campo magnético terrestre no es constante, sino quecambia continuamente. Hay una variación pequeña y bastante regular de un día aotro (variación diurna). La variación en la declinación es de algunos minutos de arco,y la variación en la intensidad es del orden de 10-4gauss.

Algunos días se producen perturbaciones mucho mayores, que alcanzan hastavarios grados en la declinación y 0,01 gauss en la intensidad. Son las llamadastormentas magnéticas, generadas por corrientes eléctricas que tienen lugar en lascapas superiores de la atmósfera. A unos cuantos centenares de kilómetros porencima de la superficie terrestre existe una zona llamada ionosfera, en la que hayelectrones libres arrancados a los átomos de oxígeno y nitrógeno por la radiaciónsolar. Las partículas cargadas positiva y negativamente (iones y electrones) hacenque el aire en la ionosfera sea un conductor eléctrico. Estas corrientes eléctricas dela ionosfera originan campos magnéticos que causan variaciones transitorias delcampo magnético terrestre.

Existe otro tipo de variación, denominada variación secular, que indica que elcampo geomagnético deriva hacia el Oeste. Las variaciones temporales del campomagnético terrestre, de periodo tan largo que sólo se aprecian al comparar valoresmedios anuales durante varios años, reciben el nombre de variación secular. Unfenómeno de la variación secular hace referencia a que la distribución del campogeomagnético se mueve lentamente hacia el Oeste. El promedio de avance es delorden de 0,18v de longitud por año. A esta velocidad, la distribución del campo daríala vuelta completa a la Tierra en unos 2.000 años. A diferencia de las tempestadesmagnéticas, que ocurren por causas externas, las anomalías alargo plazo y sumarcha hacia el Oeste se deben a causas localizadas en el interior de la Tierra. Loscambios internos tienen lugar de modo muy lento y abarcan hasta millares demillones de años. En comparación, dos mil años es, pues, un tiempo muy corto. Este


elemento constituye una de las claves fundamentales en el estudio del magnetismoterrestre.

PaleomagnetismoEl paleomagnetismo es la ciencia qué estudia el magnetismo antiguo de la Tierra.El fundamento dé esta disciplina es la propiedad que tienen ciertas rocas en las que

existen granos de minerales magnéticos, como la magnetita, de adquirir una imanación inducida porel campo magnético terrestre y en su misma dirección. Cada grano de magnetita se convierte así enun pequeño imán. Una roca que contenga este mineral tendrá una imanación que será la suma de lade todos sus pequeños granos de magnetita. Esta imanación tiene la propiedad de que, aunquecambie después la dirección del campo magnético terrestre, ella permanece inalterada y se conservaconstante. El estudio de la imanación de rocas antiguas permite conocer la dirección que tuvo elcampo magnético terrestre en otras épocas.

11. Líneas de Campo Magnético .11.1 Algo de Historia .

Las líneas del campo magnético se deben a Michael Faraday (1791-1867) que lasdenominó "líneas de fuerza". Faraday fue uno de los grandes descubridores de laelectricidad y del magnetismo, formulador de los principios mediante los que trabajanlos generadores y los transformadores eléctricos, así como de las bases de laelectroquímica.

Hijo de un herrero, Faraday fue aprendiz de un encuadernador y a menudo leíalos libros que traían a reencuadernar. Afortunadamente para la ciencia, uno de esoslibros fue el volumen de la Encyclopaedia Britannica con el artículo sobre la"electricidad". Su interés lo condujo hacia las conferencias populares dadas porHumphry Davy, un gran químico británico ("vivía con el odio de haber descubierto elsodio"), y cuando Davy necesitó un ayudante, Faraday obtuvo el trabajo con lafuerza de las notas que mantuvo de las conferencias Davy. Siguió una perdurable

carrera en física y química, con grandes logros.Actualmente la mayoría de los científicos ven las líneas de campo

como abstracciones intangibles, útiles solo para describir los camposmagnéticos. Sin embargo Faraday sentía que representaban más, queel espacio que contenía las "líneas de fuerza" magnéticas no estabavacío sino que tenían ciertas propiedades físicas. El joven colega deFaraday, James Clerk Maxwell, un físico matemático de una enormecreatividad, dio cuerpo a esas ideas en términos matemáticosrigurosos y ahora las "ecuaciones de Maxwell" son la piedra angular

de la teoría electromagnética.Siguiendo a Maxwell, ahora nosotros llamamos "campo magnético" al espacio

modificado por la presencia de las líneas de campo magnético: si se coloca allí unabarra imantada, experimentará fuerzas magnéticas, pero el campo existe aunque noesté presente el imán. Igualmente, un "campo eléctrico" es un espacio en el que sepueden sentir las fuerzas eléctricas, por ejemplo entre los objetos metálicos cargados(+) y (-) por una batería, como en el dibujo que acompaña a la explicación sobre elelectrón.


También mostró Maxwell (quizá su mayor logro) que era posible una "ondaelectromagnética", una rápida interacción de los campos eléctricos y magnéticosdispersados con la velocidad de la luz. Maxwell intuyó correctamente que la luz erade hecho como una onda, que era básicamente un fenómeno electromagnético y consus ecuaciones preparó el camino para un mayor conocimiento de la óptica, laciencia de la luz.

El más joven colega de Maxwell, el alemán Heinrich Hertz, calculó en 1886que las ondas de este tipo se podrían emitir mediante una corriente rápidamentealternante en una pequeña antena. Así obtuvo una corriente de una chispa eléctrica(que produce una oscilación de carga eléctrica) y demostró experimentalmente sus"ondas hercianas". Su trabajo fue continuado por científicos de todo el mundo, entreotros,por el ruso Alexander Stepanovich Popov quien alrededor del año 1895detectó ondas de radio de los relámpagos (¡una chispa natural!), y por el italianoGugliemo Marconi quien, por la misma época, desarrolló las primeras aplicacionescomerciales de la radio.

Las ondas que transportan la radio, la televisión, las microondas, los infrarrojos,la luz visible, la ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma, son variaciones delmismo proceso básico vislumbrado por Maxwell, todas pertenecen a la familia de lasondas electromagnéticas.

Puede parecer extraño que el espacio vacío pueda ser modificado porinfluencias eléctricas o magnéticas, como propone el concepto de campo. Pero nospermite comprender las ondas de radio y luminosas y también retener laconservación de la energía. Cuando un transmisor desde un vehículo espacial emiteuna señal de radio, la mayor parte de esa señal se dispersa por el espacio y nuncaalcanza la Tierra. ¿Se pierde su energía? No, ahora permanece en un campoelectromagnético dispersándose para siempre asociado con la onda de radio.

11.2 Descripción de las Líneas de Campo Magnético .El campo magnético tiene propiedades diferentes al eléctrico. Este se crea por la

presencia de una carga eléctrica; aquél sólo existe cuando hay una corrienteeléctrica, es decir, cargas en movimiento. Lo anterior se refleja en la distintanaturaleza de las líneas de uno y otro campo. Si comparamos las del campoeléctrico, con las del campo magnético, vemos que en las primeras existen puntos deconvergencia donde todo se origina, mientras que las del campo magnético no tienenprincipio ni fin. En un caso existe la fuente del campo —que es la carga eléctrica— yen el otro no: el análogo de esta fuente no se ha encontrado.

El monopolo magnético no es necesario para explicar lo que sabemos de laspropiedades eléctricas y magnéticas de la materia. Pero si existiera, las líneas decampo producidas por la carga magnética serían como se indican en la Figura 13,que en su parte a muestra el campo magnético producido por un monopolo enreposo, y en su parte b, el campo eléctrico que genera el monopolo al moverse. Laspalabras "eléctrico" y "magnético" se intercambian al pensar en el monopolomagnético en vez de la carga eléctrica, y la total simetría en nuestra imagen de losfenómenos electromagnéticos quedaría a salvo.


Figura 13. Un monopolo magnético, de existir, produciría un campo magnético comoel que se ve en la parte a; al moverse, el monopolo estaría rodeado por un campoeléctrico semejante al que se muestra en la parte b de esta figura.

Una barra imantada o un cable que transportacorriente pueden influir en otros materialesmagnéticos sin tocarlos físicamente porque losobjetos magnéticos producen un ‘campo magnético’.Los campos magnéticos suelen representarsemediante ‘líneas de campo magnético’ o ‘líneas defuerza’. En cualquier punto, la dirección del campomagnético es igual a la dirección de las líneas de

fuerza, y la intensidad del campo es inversamente proporcional al espacio entre laslíneas.

En el caso de una barra imantada, las líneas de fuerza salen de un extremo y securvan para llegar al otro extremo; estas líneas pueden considerarse como buclescerrados, con una parte del bucle dentro del imán y otra fuera. En los extremos delimán, donde las líneas de fuerza están más próximas, el campo magnético es másintenso; en los lados del imán, donde las líneas de fuerza están más separadas, elcampo magnético es más débil. Según su forma y su fuerza magnética, los distintostipos de imán producen diferentes esquemas de líneas de fuerza.La estructura de las líneas de fuerza creadas por un imán o por cualquier objeto quegenere un campo magnético puede visualizarse utilizando una brújula o limaduras dehierro. Los imanes tienden a orientarse siguiendo las líneas de campo magnético.Por tanto, una brújula, que es un pequeño imán que puede rotar libremente, seorientará en la dirección de las líneas. Marcando la dirección que señala la brújula alcolocarla en diferentes puntos alrededor de la fuente del campo magnético, puedededucirse el esquema de líneas de fuerza.Igualmente, si se agitan limaduras de hierro sobre una hoja de papel o un plásticopor encima de un objeto que crea un campo magnético, las limaduras se orientansiguiendo las líneas de fuerza y permiten así visualizar su estructura.Los campos magnéticos influyen sobre los materiales magnéticos y sobre laspartículas cargadas en movimiento. En términos generales, cuando una partículacargada se desplaza a través de un campo magnético, experimenta una fuerza queforma ángulos rectos con la velocidad de la partícula y con la dirección del campo.Como la fuerza siempre es perpendicular a la velocidad, las partículas se mueven entrayectorias curvas. Los campos magnéticos se emplean para controlar lastrayectorias de partículas cargadas en dispositivos como los aceleradores departículas o los espectrógrafos de masas.

12.Campo Magnético Originado por Corrientes Eléctricas Estacionarias .Christian Oersted (1777-1851) al finalizar una clase práctica en la Universidad

de Copenhague, fue protagonista de un descubrimiento que lo haría famoso. Alacercar una aguja imantada a un hilo de platino por el que circulaba corrienteadvirtió, perplejo, que la aguja efectuaba una gran oscilación hasta situarseinmediatamente perpendicular al hilo. Al invertir el sentido de la corriente, la aguja


invirtió también su orientación. Este experimento, considerado por algunos comofortuito y por otros como intencionado, constituyó la primera demostración de larelación existente entre la electricidad y el magnetismo. Aunque las cargas eléctricasen reposo carecen de efectos magnéticos, las corrientes eléctricas, es decir, lascargas en movimiento, crean campos magnéticos y se comportan, por lo tanto, comoimanes. Además, esta interacción magnética no es de naturaleza central (al contrarioque las interacciones electrostática y gravitatoria)

Tras años de experimentos, se logró deducir una ecuación que permite calcularel campo magnético B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por unacorriente de intensidad i. Es la expresión llamada Ley de Ampère-Laplace:

dlr

uu.

4.π.

.iμB

2rT

0

0

, donde B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, Tu

es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentidode la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl (diferencial delongitud). Asimismo, ru

es un vector unitario que señala la posición del punto P

respecto del de corriente,0

0.4.

Bπ

μ

= 10-7 en el Sistema Internacional de Unidades.

La expresión anterior es de tipo general. La forma particular es función de laforma del conductor que produce el campo magnético. Así: Campo magnético producido por una corriente rectilínea:

Utilizamos la ley para calcular el campo magnético B producido por un conductorrectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i.

El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene unadirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el puntoP, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al productovectorial rT uu

Para calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración.

Se integra sobre la variable θ , expresando las variables x y r en función delángulo θ.

R=r·cos , R=x·tan .


En la figura, se muestra la dirección y sentido del campo magnético producidopor una corriente rectilínea indefinida en el punto P. Cuando se dibuja en un papel,las corrientes perpendiculares al plano del papel y hacia el lector se simbolizan conun punto en el interior de una pequeña circunferencia, y las corrientes en sentidocontrario con una cruz en el interior de una circunferencia tal como se muestra en laparte derecha de la figura.

La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinadopor la corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla delsacacorchos o la denominada de la mano derecha.

En el caso en el que un punto cualquiera del espacio se vea afectado por varioscampos magnéticos, el campo magnético resultante será el que resulte de sumar(vectorialmente) los campos individuales. Es decir:

iBB

Campo Magnético en el Centro de una Espira:En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético,

tales como un electroimán o un transformador, el hilo que transporta la corriente estáarrollado en forma de bobina formada por muchas espiras. Estudiaremos, en primerlugar, el campo creado por una espira.


En la figura, se muestra una espira circular de radio a, recorrida por una corrientede intensidad i. El punto P está sobre el eje de la espira a una distancia x de sucentro.

Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. Podremos calcularel campo magnético creado por dicho elemento de corriente.

Observemos que los vectores unitarios Tu y ru

forman 90º. Además, el vectorcampo magnético dB tiene dos componentes:

A lo largo del eje de la espira dB·cos(90-θ) Perpendicular al eje de la espira dB·sen(90- θ)Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por

elementos diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnéticoresultante está dirigido a lo largo del eje y puede calcularse mediante una integraciónsencilla ya que r es constante y θ es constante

En el centro de la espira x=0, tenemos

El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la manoderecha.

Para una espira no es aplicable la ley de Ampère. Sin embargo, si se disponen devarias espiras iguales, igualmente espaciadas, se va creando un campo cuya direcciónes cada vez más paralela al eje común de las espiras, a medida que se incrementa sunúmero

En la situación ideal de un solenoide formado por un número grande de espirasapretadas, cuya longitud es grande comparada con su diámetro, el campo en elinterior es casi uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy pequeño. En estascondiciones es aplicable la ley de Ampère, para determinar el campo magnético en elinterior del solenoide.


Campo Magnético en el Interior de un Solenoide: Se llama solenoide a un conjuntode espiras planas recorridas todas ellas por la misma corriente i. En la práctica, unsolenoide es un carrete de hilo con las espiras bobinadas muy juntas unas a otras.

El valor del campo para un punto situado en el eje, y en el interior del solenoidees:

LiNB ..0

13.La Explicación del Magnetismo de la Materia y la Unificación de las FuentesMagnéticas. Modelo de Ampère .En forma complementaria a los grandes descubrimientos y explicaciones

acerca de la interacción entre imanes y corrientes, el estudio de los imanes ymateriales magnetizados se desarrollaba rápidamente. En 1733 y 1755 seobservó que el cobalto y el níquel, respectivamente, tenían tambiénpropiedades magnéticas. Tanto estos metales como el hierro se quedabanmagnetizados aun cuando el campo magnético producido por un imán ocorriente se retirase, pero no fue sino hasta 1845 cuando, con el uso deimanes electromagnéticos (el primero fue introducido por Sturgeon en 1825),Faraday demostró sin lugar a dudas que el magnetismo no estaba confinadosólo al hierro. Éste utilizó los nuevos imanes para estudiar la relación entreluz y magnetismo, descubriendo el efecto que lleva su nombre. Además,mostró que todas las sustancias son magnéticas en cierto grado, pero que

B


unas, las paramagnéticas, son atraídas por el campo externo y que otras, lasdiamagnéticas, se colocan paralelas al mismo y son repelidas por un imán.

De la misma manera, el hierro y otras sustancias pueden serconsideradas como pertenecientes a otra clase, losferromagnetos (imanes permanentes). La distinción entremateriales paramagnéticos y diamagnéticos tuvo unaextraordinaria importancia teórica. Ampère, con granclarividencia, sugirió en una carta a Fresnel en 1821 que elorigen de las corrientes ferromagnéticas se encontraba enlas moléculas que actuaban como pequeños imanes que

se orientan cuando se aplica un campo. W. Weber desarrolló esta teoría yelaboró un modelo de corrientes moleculares magnéticas que producen elmagnetismo, explicando así el diamagnetismo, el paramagnetismo y elferromagnetismo. A finales del siglo XIX, Ewing (1890) diseñó algunosexperimentos que explicaron satisfactoriamente algunos fenómenos, pero quecondujeron a un callejón sin salida que sólo la moderna mecánica cuánticapudo resolver. En efecto, las características fundamentales de losferromagnetos no se entendieron hasta que en 1929 Dirac y Heisenbergaplicaron los conceptos de la nueva física a tan fascinante problema.

EL MAGNETISMO NATURALEl magnetismo de la materiaEl hierro es el material magnético por excelencia, pues en contacto con un imán y, en general,cuando es sometido a la acción de un campo magnético, adquiere propiedades magnéticas, estoes, se imana o magnetiza. El tipo de materiales que como el hierro presentan un magnetismofuerte reciben el nombre de sustancias ferromagnéticas. Los materiales que por el contrarioposeen un magnetismo débil se denominan paramagnéticos o diamagnéticos según sucomportamiento. Las sustancias ferromagnéticas se caracterizan porque poseen unapermeabilidad magnética μ elevada, del orden de 10 ² a 106 veces la del vacío μ0. En lassustancias paramagnéticas el valor de μ es ligeramente mayor que el del m0, mientras que en lasdiamagnéticas es ligeramente menor. Por tal motivo el magnetismo de este tipo de sustancias esinapreciable a simple vista.Junto con el hierro, el níquel, el cobalto y algunas aleaciones son sustancias ferromagnéticas. Elestaño, el aluminio y el platino son ejemplos de materiales paramagnéticos, y el cobre, el oro, laplata y el cinc son diamagnéticos. A pesar de esta diferencia en su intensidad, el magnetismo esuna propiedad presente en todo tipo de materiales, pues tiene su origen en los átomos y en suscomponentes más elementales.

El origen del magnetismo naturalEl hecho de que los campos magnéticos producidos por los imanes fueran semejantes a losproducidos por las corrientes eléctricas llevó a Ampère a explicar el magnetismo natural entérminos de corrientes eléctricas. Según este físico francés, en el interior de los materialesexistirían unas corrientes eléctricas microscópicas circulares de resistencia nula y, por tanto, deduración indefinida; cada una de estas corrientes produciría un campo magnético elemental y lasuma de todos ellos explicaría las propiedades magnéticas de los materiales.Así, en los imanes las orientaciones de esas corrientes circulares serían todas paralelas y el efectoconjunto, sería máximo. En el resto, al estar tales corrientes orientadas al azar se compensaríanmutuamente sus efectos magnéticos y darían lugar a un campo resultante prácticamente nulo. Laimanación del hierro fue explicada por Ampère en la siguiente forma: en este tipo de materiales elcampo magnético exterior podría orientar las corrientes elementales paralelamente al campo demodo que al desaparecer éste quedarían ordenadas como en un imán.De acuerdo con los conocimientos actuales sobre la composición de la materia, los electrones enlos átomos se comportan efectivamente como pequeños anillos de corriente. Junto a sumovimiento orbital en torno al núcleo, cada electrón efectúa una especie de rotación en torno a símismo denominada espín; ambos pueden contribuir al magnetismo de cada átomo y todos losátomos al magnetismo del material. En la época de Ampère se ignoraba la existencia del electrón;su hipótesis de las corrientes circulares se adelantó en tres cuartos de siglo a la moderna teoríaatómica, por lo que puede ser considerada como una genial anticipación científica.Los materiales se clasifican en:


Un aspecto de gran interés es le carácter relativo del magnetismo, que lodiferencia del campo gravitatorio y del electrostático. Estos dependen únicamente desus fuentes (masa y carga, respectivamente). Pero en el caso del campo magnético, alser producido por una(s) carga(s) en movimiento, su existencia será función delmovimiento relativo del sistema de referencia. Así, para un SR en reposo relativorespecto a la carga, esta no producirá campo eléctrico alguno. Sin embargo, para otroSR en movimiento relativo, sí percibirá ese campo magnético.

14.Relación entre el Campo Magnético y sus Fuentes: Ley de Ampère .

La ley de Gauss nos permitía calcular el campo eléctrico producido por unadistribución de cargas cuando estas tenían simetría (esférica, cilíndrica o un planocargado).

Del mismo modo la ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnéticoproducido por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría.

Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son similares a los dela ley de Gauss.

1. Dada la distribución de corrientes, deducir ladirección y sentido del campo magnético

2. Elegir un camino cerrado apropiado,atravesado por corrientes y calcular lacirculación del campo magnético.

3. Determinar la intensidad de la corriente queatraviesa el camino cerrado

Diamagnéticos Paramagnéticos Ferromagnéticos

No son magnetizables.

No son atraídos por uncampo magnético.

Son ligeramenterepelidos por un campomagnético.

Materiales que son débilmente atraídos por un campomagnético y tienen una pequeña tendencia a lamagnetización; estos no son inspeccionables porpartículas magnéticas.

Son fácilmente magnetizables.

Son fuertemente atraídos por uncampo magnético.

Son capaces de retener sumagnetización después que lafuerza magnetizante ha sidoremovida.

Mercurio.

Oro.

Bismuto.

Zinc.

Cobre

Plata.

Plomo.

Aluminio, magnesio.

Molibdeno, litio.

Cromo, platino.

Sulfato de cobre

Estaño, potasio.

Aceros inoxidables austeníticos y de la serie 300.

Hierro, níquel, cobalto y gadolinio.

Mayoría de los aceros, inclusiveinoxidables de la serie 400 y 500.

Aleaciones de cobalto y níquel.

Aleaciones de cobre, manganeso yaluminio.


4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.

En el caso de una corriente rectiínea, la circulación (el primer miembro de la leyde Ampère) vale

1. La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado porla corriente y el punto.

2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, centrada en lacorriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular a la misma.

El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl. El módulo del campo magnético B tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha

circunferencia.La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale:

3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.

4. Despejamos el módulo del campo magnético B.

Llegando a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.

15.Fuerza de un Campo Magnético sobre una Corriente y sobre una CargaMóvil .

Fuerza sobre una corriente: Ley de Laplace. Cuando un conductor de longitud l quetransporta una corriente de intensidad I se introduce en un campo magnético, este ejercesobre él una fuerza, dada por:

).( BLIF

Observar que la dirección y sentido de la fuerza es la del producto vectorial de losvectores I

y B

. La regla de la mano izquierda proporciona la dirección de la fuerza sin

más que cambiar el vector v por L

. La dirección y sentido de este último es la del sentido

convencional de la corriente que circula por el conductor.La expresión en su forma escalar nos permite establecer la unidad S.I de la inducciónmagnética B

. En efecto, despejando B tendremos:

Fuerza entre dos corrientes rectilíneas: Sean dos corrientes rectilíneas indefinidas deintensidades AI e BI paralelas y distantes d.


El campo magnético producido por la primera corriente rectilínea en la posición de laotra corriente es:

De acuerdo con la regla de la mano derecha tiene el sentido indicado en la figura, enforma vectorial Ba=-Bai

La fuerza sobre una porción L, de la segunda corriente rectilínea por la que circulauna corriente Ib en el mismo sentido es

Como podemos comprobar, la fuerza que ejerce el campo magnético producido porla corriente de intensidad Ib sobre la una porción de longitud L de corriente rectilínea deintensidad Ia, es igual pero de sentido contrario.

La fuerza por unidad de longitud ente dos corrientes rectilíneas indefinidas yparalelas, distantes d es

La unidad de medida de la intensidad de la corriente eléctrica, el ampere, sefundamenta en esta expresión:

El ampère (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose endos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circulardespreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciríauna fuerza igual a 2·10-7 newton por metro de longitud.

Si las corrientes tienen sentido opuesto, la fuerza tiene el mismo módulo pero desentido contrario, las corrientes se atraen, tal como se aprecia en la figura


Dos corrientes rectilíneas indefinidas, paralelas, separadas una distancia d las corrientes eléctricas que circulan en el mismo sentido, se atraen las corrientes eléctricas que circulan en sentido contrario, se repelen

Fuerza sobre una carga (puntual) móvil: ley de Lorentz:Cuando una carga eléctrica +q penetra en un campo magnético de inducción B

con

velocidad v , experimentalmente se comprueba que dicha carga queda sometida a una

fuerza que viene dada por la expresión:

Observa que la dirección y sentido de la fuerza es la delproducto vectorial de los vectores v

y B

. La regla de la manoizquierda (Fig 3.8) proporciona la dirección de la fuerza. Si lacarga es negativa, la fuerza invierte su sentido. En el caso quela carga se encuentre en reposo, la fuerza ejercida por el campomagnético sobre ella es nula, como se desprende de la fórmula.

Es importante señalar que al actuar la fuerza sobre lacarga móvil, esta se desvía de su trayectoria. Mientraspermanece en el interior del campo magnético, suponiendo que

las direcciones de la velocidad y del campo son perpendiculares entre sí, el movimientode la carga es circular uniforme. En efecto, si aplicamos la 2ª Ley de la Dinámica almovimiento de la misma tendremos:

,donde R es el radio de curvatura de la trayectoria descrita por la carga. En laexpresión anterior se han utilizado los módulos de las magnitudes vectoriales presentesen la fórmula

2.-Fuerza del campo magnético sobre un conductor.Ley de Laplace.Cuando un conductor de longitud L que transporta una corriente de intensidad se

introduce en un campo magnético, este ejerce sobre él una fuerza cuyo puede obtenersevalor fácilmente (ver fuerza sobre carga móvil). En efecto, puesto que el conductortransporta carga eléctrica móvil, cada una de ellas estará sometida a una fuerza dada porla citada fórmula (1). Bastará expresar la carga q en función de la intensidad I que circulapor el conductor I.tq

tq

I y sustituir en la expresión de Lorente, teniendo en cuenta

que L.tv

. El resultado es:

Observa que la dirección y sentido de la fuerza es la del producto vectorial de losvectores L

y B

. La regla de la mano izquierda (Fig 3.8) proporciona la dirección de la

fuerza sin más que cambiar el vector v por L

. La dirección y sentido de este último es la

del sentido convencional de la corriente que circula por el conductor.


16.Movimiento de Partículas Cargadas en Campos Eléctricos y Magnéticos.Aplicaciones Prácticas .Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza dada

por el producto vectorial BvqFM

. El resultado de un producto vectorial es un vector de: módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido

qvBsen(θ) dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad y campo. y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos. Si la carga es

positiva el sentido es el del producto vectorial Bv

, como en la figura

Si la carga es negativa el sentido de la fuerza es contrario al del producto vectorial.

Dicha partícula en un campo magnético uniforme y perpendicular a la dirección de lavelocidad describe órbita circular ya que la fuerza y la velocidad son mutuamenteperpendiculares. El radio de dicha órbita puede obtenerse a partir de la aplicación de laecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme: fuerza igual a masa poraceleración normal.

Por otro lado, podrá determinarse el período del movimiento circular creado en elinterior del campo magnético:


q.B2.

q.Bm.v.

v2.π

v2.π.πτ π.m

En el caso en el que la partícula con carga se mueva en una región en la que existancampos eléctrico y magnético, la fuerza a la que se hallará sometida vendrá dada por laexpresión:

)( BvEqF

Aplicaciones prácticas 1. Selector de velocidades. El selector de velocidades es unaregión en la que existen un campo eléctrico y un campo magnético perpendicularesentre sí y a la dirección de la velocidad del ion. En esta región los iones de unadeterminada velocidad no se desvían.El campo eléctrico ejerce una fuerza en la dirección del campo cuyo módulo es

El campo magnético ejerce una fuerza cuya dirección y sentido vienen dados por el

producto vectorial , cuyo módulo es

El ion no se desvía si ambas fuerzas son iguales y de sentido contrario. Por tanto,atravesarán el selector de velocidades sin desviarse aquellos iones cuya velocidad vengadada por el cociente entre la intensidad del campo eléctrico y del campo magnético.

BEv

Aplicaciones prácticas 2. Espectrómetro de masas.

Aplicaciones prácticas 3. Ciclotrón. El método directo de acelerar iones utilizando ladiferencia de potencial presentaba grandes dificultades experimentales asociados alos campos eléctricos intensos. El ciclotrón evita estas dificultades por medio de laaceleración múltiple de los iones hasta alcanzar elevadas velocidades sin el empleode altos voltajes.La mayoría de los actuales aceleradores de partículas de alta energía descienden del

primer ciclotrón de protones de 1 MeV construido por E. O. Lawrence y M. S. Livingstoneen Berkeley (California). El artículo original publicado en la revista Physical Review,volumen 40, del 1 de abril de 1932, titulado "Producción de iones ligeros de alta velocidadsin el empleo de grandes voltajes", describe este original invento.

El estudio del ciclotrón se ha dividido en dos programas:1. En el primero se tratará de visualizar la trayectoria seguida por un ion en un

ciclotrón, y conocer los factores de los que depende la energía final, cuandofinalmente, toca con las paredes del ciclotrón


2. En el segundo programa, se tratará de determinar la frecuencia de resonanciadel ciclotrón. Es decir, la frecuencia del potencial oscilante para que el ion seasiempre acelerado.

El ciclotrón consta de dos placas semicirculares huecas, que se montan con susbordes diametrales adyacentes dentro de un campo magnético uniforme que es normal alplano de las placas y se hace el vacío. A dichas placas se le aplican oscilaciones de altafrecuencia que producen un campo eléctrico oscilante en la región diametral entre ambas.Como consecuencia, durante un semiciclo el campo eléctrico acelera los iones, formadosen la región diametral, hacia el interior de una de uno de los electrodos, llamados 'Ds',donde se les obliga a recorrer una trayectoria circular mediante un campo magnético yfinalmente aparecerán de nuevo en la región intermedia.

El campo magnético se ajusta de modo que el tiempo que se necesita para recorrerla trayectoria semicircular dentro del electrodo sea igual al semiperiodo de lasoscilaciones. En consecuencia, cuando los iones vuelven a la región intermedia, el campoeléctrico habrá invertido su sentido y los iones recibirán entonces un segundo aumento dela velocidad al pasar al interior de la otra 'D'.

Como los radios de las trayectorias son proporcionales a las velocidades de losiones, el tiempo que se necesita para el recorrido de una trayectoria semicircular esindependiente de sus velocidades. Por consiguiente, si los iones emplean exactamentemedio ciclo en una primera semicircunferencia, se comportarán de modo análogo entodas las sucesivas y, por tanto, se moverán en espiral y en resonancia con el campooscilante hasta que alcancen la periferia del aparato.

Su energía cinética final será tantas veces mayorque la que corresponde al voltaje aplicado a loselectrodos, multiplicado por el número de veces que elion ha pasado por la región intermedia entre las 'Ds'.


Una partícula cargada describe una semicircunferencia en un campo magnético

uniforme. La fuerza sobre la partícula viene dada por el producto vectorial

Su módulo es , su dirección radial y su sentido hacia el centro de lacircunferencia

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento circular uniforme, obtenemos elradio de la circunferencia.

El tiempo que tarda en dar media vuelta es por tanto, independiente del radio de laórbita

El ion es acelerado por el campo eléctrico existente entre las D's. Incrementa suenergía cinética en una cantidad igual al producto de su carga por la diferencia depotencial existente entre las D's.

Cuando el ion completa una semicircunferencia en el tiempo constante P1/2, seinvierte la polaridad por lo que el ion es nuevamente acelerado por el campo existente enla región intermedia. El ion de nuevo, incrementa su energía cinética en una cantidadigual al producto de su carga por la diferencia de potencial existente entre las D's.

La energía final del ion es nqV, siendo n el número de veces que el ion pasa por laregión entre las D's.

17.Acción de un Campo Magnético sobre una Espira y un Solenoide .

La figura representauna espira rectangularcuyos lados miden a y b. Laespira forma un ángulo θcon el plano horizontal y esrecorrida por una corrientede intensidad i, tal comoindica el sentido de la

flecha roja en la figura.La espira está situada en una región en la que hay un campo magnético uniforme B

paralelo al plano horizontal (en color gris), tal como indica la flecha de color azul en lafigura.


Calcularemos la fuerza que ejerce dicho campo magnético sobre cada uno de loslados de la espira rectangular.

Ya hemos deducido la expresión de la fuerza que ejerce un campo magnético sobreuna porción L de corriente rectilínea.

BLIF

La fuerza F1 sobre cada uno de los lados de longitud a, está señalada en la figura y

su módulo vale:IBasenIBaF 901 .

La fuerza F sobre cada uno de los lados de longitud b, es

senIBbF .2

Esta fuerza tiene ladirección del eje de rotaciónde la espira, y sentidosopuestos.

La fuerza F2 es nulacuando la espira estácontenida en el planohorizontal θ=0º y esmáxima, cuando el plano dela espira es perpendicular alplano horizontal θ=90º.

La fuerza resultante sobre la espira es nula, sinembargo, las fuerzas sobre los lados de longitud a notienen la misma línea de acción y forman un par demomento, (véase también la primera figura).

cos...cos....cos... BSIBbaIb

FM I 2

2

La dirección momento M es la del eje derotación de la espira, y el sentido viene dado por laregla del sacacorchos, tal como se señala en la primera figura.

Definimos ahora una nueva magnitud denominada momentomagnético m de la espira. Cuyo módulo es el producto de la intensidad de la corriente i

por el área S de la espira. Su dirección es perpendicular al plano de la espira. Su sentido viene determinado por el avance de un sacacorchos

que gire como lo hace la corriente en la espira.Pero ell momento se puede expresar también en forma de producto vectorial de

dos vectores, el vector momento magnético m y el vector campo magnético B

:

BmM


Como vemos en la figura:

Su módulo es: coscos90 ..)( ISBmBmBsenM

Su dirección es perpendicular al plano determinado por los dos vectores, es decir,el eje de rotación de la espira.

Su sentido es el del avance de un sacacorchos que gire desde el vector m hacia el

vector B

por el camino más corto.

Cuando el vector campo B

y el vector momento magnético m son paralelos, el

momento M

es nulo, esta es una posición de equilibrio.

Aunque la fórmula del momento M

se ha obtenido para una espira rectangular,es válida para una espira circular o de cualquier otra forma.

18.El Galvanómetro .Es un instrumento para medir corrientes:

La corriente a medir pasa poruna bobina que está suspendida entrelos polos de un imán. C es un cilindrode hierro dulce cuya misión es que elcampo B

esté en todo momento en el

plano de las espiras de la bobina.La intensidad I la medimos por

la desviación de la aguja A. T es unmuelle de torsión de constante k.

Debido a la misión de C,Bm

, son siempre perpendiculares, portanto:

BmM .

Y, siendo S el área de cadaespira y N el número de espiras,

resulta que M = NIS, por lo que:

,donde queda determinada la intensida

m

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Tema6.2ºbachillerato.física