Fisica pa.ingenieria y ciencias slusher

FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS

DARE A. WELLS es profesor emérito de Física en la Universidad de Cincinnati (Ohio). Obtuvo su doctorado en esa universidad, y entre las obras que ha publicado figuran unos veinte ensayos sobre espectrosco-pia y oscilaciones pequeñas, así como la dinámica de Lagrange y el tratamiento de los sistemas electromecánicos con los métodos de Lagrange. Es el creador de una forma general de la "función P", que sirve para determinar las fuerzas generalizadas de disipación. El pro-fesor Wells es autor también de Lagrangian Dynamics, un título más de la serie Schaum.

HAROLD S. SLUSHER es profesor asistente de Física en la Univer-sidad de Texas (El Paso) y profesor de Ciencias Astronómicas en la Gradúate School del Institute for Creation Research, en San Diego (California). Slusher posee un doctorado en Ciencias de la Indiana Christian University y otro en Filosofía de la Columbia Pacific Uni-versity. Entre las investigaciones que ha publicado conviene mencionar las monografías dedicadas a la cosmogonía, cosmología y geocronología.

SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM

TEORÍA Y PROBLEMAS

DE

FÍSICA

PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS

Dare A. Wells, Ph.D.

Emeritus Professor of Physics Universtty of Cincinnati

Harold S. Slusher, D.Sc, Ph.D. Assistant Professor of Physics University of Texas at El Paso

TRADUCCIÓN Antonio Ortíz Herrera

Profesor de Física y Matemáticas

REVISIÓN TÉCNICA Miguel Irán Alcérreca Sánchez

Licenciado en Física y en Matemáticas Escueta Súpertor de Ftsica y Matemáticas, IPN

Investigador del Instituto Nacional de Investigaciones Nucleares

McGRAW-HILL MÉXICO BOGOTÁ BUENOS AIRES GUATEMALA LISBOA MADRID

NUEVA YORK PANAMÁ SAN JUAN SANTIAGO SAO PAULO AUCKLAND HAMBURGO JOHANNESBURGO LONDRES MONTREAL

NUEVA DELHI PARÍS SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TOKIO TORONTO.

FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 1984, respecto a la primera edición en español por LIBROS McGRAW-HILL DE MÉXICO, S. A. de C. V.

Atlacomulco 499-501, Fracc. Industrial Sn. Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 465

ISBN 968-451-605-3

Traducido de la primera edición en inglés de SCHAUM'S OUTLINE OF PHYSICS FOR ENGINEERING AND SCIENCE

Copyright © 1983, by McGraw-Hill Book Inc., U. S. A.

ISBN 0-07-069254-8

1234567890 I.P.-85 8012346795

Impreso en México Printed in México

Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 1985 en Impresora Publi-Mex, S. A. Calzada San Lorenzo 279 Local 32 Col. Estrella Delegación Iztapalapa 09800 México, D.F.

Se tiraron 4 600 ejemplares

Prefacio

Los principios fundamentales de la Física, junto con algunas ramas de las Matemáticas, constituyen el pilar sobre el que descansan esa disciplina y todas las especialidades de la Ingeniería. Este libro se propone ante todo ayudar al estudiante de Ciencias e Ingeniería a conseguir, en poco tiempo y sin mucho esfuerzo, un buen conocimiento de los principios y métodos básicos.

Al preparar la obra nos hemos guiado por el siguiente criterio: un ejemplo específico y adecuado, resuelto en forma pormenorizada, constituye el mejor medio de ilustrar los principios de la Física y los procedimientos de las Mate-máticas. El problema resuelto es una manera muy didáctica de (por decirlo así) "explicar la explicación" de un libro de texto o de una lección. Es además un medio sumamente eficaz para despertar el interés de los alumnos por esa ciencia básica, no pocas veces sembrada de dificultades. Y esta opinión la comparten muchos de ellos.

Así pues, todos los capítulos (menos el primero en el cual se resumen las nociones esenciales) comienzan con una sucinta exposición de los principios de la Física y de sus nexos con las Matemáticas, como suele hacerse en esta clase de libros. Viene después un extenso conjunto de ejemplos, cuidadosa-mente seleccionados y graduados según su dificultad, que se resuelven paso a paso. Por últímo, para facilitar la autoevaluación se incluyen problemas espe-cíficos con su respuesta respectiva.

Un sincero testimonio de gratitud a nuestros ex alumnos cuyo interés y desinterés, deficiencias y aciertos nos estimularon mucho en la elaboración de esta obra y en la selección de los contenidos.

DARE A. WELLS HABOLD S. SLUSHER

Contenido

Capítulo 1 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS ......................................... 1 Métodos vectoriales, unidades, análisis dimensional 1.1 Escalares y vectores. 1.2 Representación gráfica de vectores. 1.3 Componentes de vectores. 1.4 Vectores unitarios. 1.5 Multiplicación vectorial. 1.6 Entidades físicas. 1.7 Análisis dimensional de unidades en ecuaciones físicas.

Capítulo 2 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACIÓN CONSTANTE . ....................................................... 13 2.1 Definiciones de velocidad y aceleración. 2.2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Capítulo 3 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACIÓN CONSTANTE ................................ 21

Capítulo 4 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO: INTRODUCCIÓN . 4.1 Leyes de Newtoh del movimiento. 4.2 Masa y peso. 4.3 Sis-temas de referencia. 4.4 Procedimiento para calcular las fuerzas y ace-leraciones.

31

Capítulo 5 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO, PROBLEMAS MAS AVANZADOS ........ .. 5.1 Centro de masa. 5.2 Sistemas de partículas que interactúan.

. Fuerzas de fricción. 5.4 Movimiento circular uniforme. 5.3

39

Capítulo6 CANTIDAD DE MOVIMIENTO IMPULSO Y MOVIMIENTO RELATIVO .................................................. 51 6.1 Cantidad de movimiento lineal. 6.2 Impulso. 6.3 Conservación de la cantidad de movimiento lineal. 6.4 Movimiento relativo.

Capítulo 7 MOVIMIENTO CURVILÍNEO EN UN PLANO ........................ ............... 61 7.1 (Rapidez) velocidad angular constante. 7.2 Movimiento angular con velocidad variable. 7.3 Movimiento a lo largo de una curva plana en general.

Capítulo 8 TRABAJO, ENERGÍA CINÉTICA Y POTENCIA ...................................... 73 8.1 Trabajo. 8.2 Energía. 8.3 Principio de equivalencia entre la energía y el trabajo. 8.4 Potencia.

Viii

Capítulo 9

Capítulo 10

Capítulo 11

Capítulo 12

Capítulo 13

Capítulo 14

Capítulo 15

Capítulo 16

Capítulo 17

Capítulo 18

CONTENIDO

ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA . . . 83 9.1 Fuerzas conservativas. 9.2 Energía potencial. 9.3 Conservación de la energía.

ESTÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS ................................................ 91 10.1 Momento de torsión (torca). 10.2 Condiciones del equilibrio.

MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO .............................................. 105 11.1 Momento de inercia. 11.2 Teoremas relativos a los momentos de inercia. 11.3 Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento. 11.4 Momentos de torsión y aceleración angular.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR ............................................ 115 12.1 Cantidad de movimiento angular. 12.2 Principio del momento an-gular. 12.3 Conservación del momento angular.

GRAVITACIÓN ..................................................................................................... 123 13.1 Campo gravitacional. 13.2 Fuerza gravitacional. 13.3 Energía potencial gravitacional. 13.4 Leyes de Kepler. Órbitas. 13.5 Ley de Causs.

ELASTICIDAD Y MOVIMIENTO ARMÓNICO ......................................... 135 14.1 Elasticidad y la ley de Hooke. 14.2 Movimiento armónico simple. 14.3 Ecuaciones para el MAS. 14.4 Movimiento armónico amortiguado. 14.5 Energía potencial del movimiento armónico simple. 14.6 Movimiento de un péndulo simple.

ESTÁTICA DE FLUIDOS ............................................................................... 145 15.1 Presión en un fluido. 15.2 Principio de Pascal. 15.3 Densidad. 15.4 Leyes de la estática de fluidos.

DINÁMICA DE FLUIDOS ............................................................................. 153 16.1 Algunas propiedades del flujo de un fluido. 16.2 La ecuación de continuidad. 16.3 Ecuación de Bernoulli.

GASES, MOVIMIENTO TÉRMICO Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................. 161 17.1 Ecuación de estado. 17.2 Movimiento térmico. 17.3 La primera ley de termodinámica.

PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA ..................................... 171 18.1 Dilatación térmica. 18.2 Capacidad calórica. 18.3 Transferencia de calor.

CONTENIDO ix

C a p í t u l o 1 9 E N T R O P Í A Y L A S E G U N D A L E Y D E L A T E R M O D I N Á M I C A . . . . 1 7 9 19.1 Procesos reversibles. 19.2 Entropía. 19.3 Miqümas térmicas y refrigeradores. 19.4 Otros enunciados de la segunda ley de la termo-dinámica.

Capítulo 20 FENÓMENOS ONDULATORIOS ................................................................... 189 20.1 Función de onda. 20.2 Ondas sobre una cuerda extendida. 20.3 La onda sinusoidal. 20.4 Principio de la superposición dé ondas. 20.5 Ondas estacionarias.

Capítulo 21 ONDAS SONORAS ............ . 199 21.1 Velocidad del sonido. 21.2 Intensidad y volumen de las ondas sonó-ras. 21.3 El efecto Doppler.

Capítulo 22 CARGA ELÉCTRICA Y LEY DE COULOMB ........................................ 207 22.1 Carga eléctrica. 22.2 Fuerza entre cargad puntuales.

Capítulo 23 EL CAMPO ELÉCTRICO FORMADO POR CARGAS EN REPOSO .. 217 23.1 Definición general de E. 23.2 Principio de superposición para £.

Capítulo 24 FLUJO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS .......................... ... 225 24.1 Flujo eléctrico. 24.2 Ley de Gauss.

Capítulo 25 POTENCIAL ELÉCTRICO .................... .. 231 25.1 Energía potencial eléctrica. 25.2 Potencial eiéetrioo o voltaje. 25.3 Principio de superposición para ф. 25.4 Él electrón-volt.

Capítulo 26 CORRIENTE ELÉCTRICA, RESISTENCIA Y POTENCIA.................... 241 26.1 Corriente y densidad de corriente. 28.2 Ley de Ohm; resistencia. 26.3 Coeficiente de temperatura de la resistencia. 20.4 Fuentes de ener-gía eléctrica. 26.5 Potencia eléctrica.

Capítulo 27 LEYES DE KIRCHHOFF DE CIRCUITOS RESISTIVOS ................. 251 27.1 Pasos preliminares. 27.2 Ley de Kirehhoff para corrientes. 27.3 Ley de Kirehhoff para circuitos cerrados, 27.4 Aplicación de las dos leyes.

Capítulo 28 FUERZAS MAGNÉTICAS SOBRE CARGAS EN MOVIMIENTO ............................................................................................ 257 28.1 El campo magnético. 28.2 Fuerza sobre un alambre que transporta corriente. 28.3 Flujo magnético.

Ca pít u lo 29 FUE NTE S D E C AM PO MAG NÉ T ICO , , . . . . . . , . . . . . . . . , , . . . .............. 271 29.1 Campo magnético sobre una carga en movimiento. 29.2 Campo mag-nético sobre un filamento de corriente. 29.3 Ley circuital de Ampére.

x CONTENIDO

Capítulo 30 LEY DE FARADAY DE LA FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA .................................................................. 281 30.1 FEM inducida. 30.2 Ley de Lenz.

Capítulo 31 INDUCTANCIA ................................................................................................... 291 31.1 Autoinductancia de una bobina. 31.2 Inductancia mutua de dos bobinas.

Capítulo 32 CAMPOS MAGNÉTICOS EN MEDIOS MATERIALES 299 32.1 Los tres vectores magnéticos. 32.2 Susceptibilidad magnética; per-meabilidad. 32.3 Circuitos magnéticos. 32.4 Densidad de energía.

Capítulo 33 RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS SIMPLES ....................................................... 305 33.1 El circuito en serie R-L-C. 33.2 Analogías electromecánicas.

Capítulo 34 SOLUCIONES ESTACIONARIAS PARA CIRCUITOS SIMPLES CA .. 313 34.1 Circuito en serie. 34.2 Circuito en paralelo.

Capítulo 35 REFLEXIÓN, REFRACCIÓN Y POLARIZACIÓN DE LA LUZ ............ 323 35.1 Leyes de la reflexión y la refracción. 35.2 Polarización. 35.3 In-tensidad de la luz polarizada.

Capítulo 36 ÓPTICA GEOMÉTRICA .................................................................................. 331 36.1 Fórmula gaussiana de las lentes; fórmula de la amplificación. 36.2 Trazo de rayos.

Capítulo 37 INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN DE LA LUZ .................................. 339 37.1 Interferencia. 37.2 Difracción.

Capítulo 38 RELATIVIDAD ESPECIAL 349 38.1 Los dos postulados básicos. 38.2 Consecuencias de los postulados.

Capítulo 39 FOTONES .............................................................................................................. 357 39.1 Naturaleza dual de la luz. 39.2 Efecto fotoeléctrico. 39.3 Dis-persión de Compton. 39.4 Aniquilación de pares, producción de pares.

Capítulo 40 EL ÁTOMO DE BOHR ................................................................................. 363 40.1 Introducción. 40.2 Energía clásica del átomo. 40.3 Postulados del modelo de Bohr. 40.4 Niveles de energía. 40.5 Espectros ató-micos.

Capítulo 41 EL NÚCLEO ........................................................................................................ 371 41.1 Energía de amarre de los núcleos estables. 41.2 Desintegración radiactiva. 41.3 Reacciones nucleares.

ÍNDICE ................................................................................................................ 379

Capítulo 1

Repaso de conocimientos básicos

Métodos vectoriales, unidades, análisis dimensional

1.1. ESCALARES Y VECTORES

Las cantidades como tiempo, masa, densidad, trabajo y temperatura que tienen magnitud y carecen de dirección se denominan escalares. Se denotan con letras cursivas como A, B, m, t, ρ, Q, etcétera.

Otras como la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico que tienen magnitud y di-rección, se denominan vectores. Se indican con letras negritas como A, B, F, E, etcétera. Se re-quieren tres números para especificar un vector, y sólo se requiere uno para especificar un escalar.

1.2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES

Cualquier vector, como la fuerza F en la figura 1-1(a) o la velocidad v en la figura l-l(b), se representa con una recta, La longitud de la recta, medida en las unidades convenientes(centíme- tros, pulgadas), representa la magnitud del vector ; y los ángulos que éste forma (con los ejes rectangulares X, Y, Z. por ejemplo), representan la dirección del vector.

EJEMPLO 1.1. La recta Oa de la figura 1-1 (a) representa una fuerza de 100 N que actúa sobre el punto O. Aquí la líneatrazada en el plano XY forma un ángulo de 57°con Ob.Observese que tanto la magnitud como la dirección F se representan con la recta Oa.

La recta Oa, trazada en el espacio tridimensional de la figura 1-1(b), representa la velocidad de un proyectil que se desplaza a 100 m/s. La longitud de Oa (100 unidades) indica la magnitud de v y θ1, θ2, θ3 proporcionan su dirección. Obsérvese que si los valores de cosθ1 y cosθ2 son dados, θ3 se obtinene a partir de

cos θ3 = ± 1-cos2 θ1-cos2 θ2

Fig. 1-1N

2 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPÍTULO 1

Adición gráfica de vectores

En la figura 1-2, las fuerzas Ft y F2 actúan sobre el punto O. Las magnitudes y las direc-ciones se trazaron a la escala que se muestra. Ahora, para "sumar" estos vectores (esto es, para encontrar un único vector que sea completamente equivalente a los dos), se completa el parale-logramo (líneas punteadas) y se traza la diagonal, Esta línea, medida en las unidades de F1 y F2 representa la magnitud y la dirección del "vector suma" R que se escribe simbólicamente como

R = F1 + F2

EJEMPLO 1.2 Supóngase que un clavo está clavado en una tabla en el punto O de la figura 1-2. Al tirar de dos cuerdas atadas al clavo se ejercen fuerzas de 75 y 100 N en las direcciones de Oa y Ob. El clavo no "sentirá" la existencia de dos fuerzas, sino una sola fuerza R, cuya magnitud aproxi-mada es de R = 152 N y que forma el ángulo α≈ 35°. Por supuesto, dados F1, F2, y θ, se pueden calcular R y α, Pero únicamente nos interesan los métodos gráficos.

Flg. 1-2 Flg.1-3

EJEMPLO 1.3 Supóngase que el clavo del ejemplo 1.2 se reemplaza por un pequeño objeto que puede moverse libremente y que tiene una masa m = 0.2 kg. ¿Cuál es la aceleración a en el instante en que las fuerzas se aplican?

La fuerza neta y la aceleración se relacionan por R=ma. Por tanto, la magnitud de a es

α = 152 = 760 m/s2 0,2

y su dirección es la misma de R.

EJEMPLO 1.4 Si un aeroplano vuela con una velocidad de 152 m/s en la dirección Oc de la figura 1-2, equivale a que se desplazase simultáneamente en las direcciones Oa y Ob con velocidades de 75 y 100 m/s, respectivamente.

Sustracción gráfica

La sustracción de un vector significa que a éste se le invierte la dirección y se suma como anteriormente se indicó.

EJEMPLO 1.5 Dados R y F1 en la figura 1-2, encuéntrese F2. A partir de que R = F1 + F2, se encuentra que F2 = R F1. Como se indica en la figura 1-3, se

invierte la dirección de F1 y se suma a R completando el paralelogramo para encontrar F2.

EJEMPLO 1.6 Una lancha cruza un río a lo largo de la recta AB en la figura 1-4. Como se indica, la corriente del agua tiene una velocidad de 4 m/s. En aguas tranquilas la lancha viaja a una velocidad υ2 = 6 m/s. ¿Cuál es su rapidez υ3 a lo largo de AB? ¿En qué dirección será empujada la lancha (¿cuál es el valor de α?) y cuál es el tiempo entre A y B? (Observación: aquí se proporcionan la magnitud y la dirección de v1, la magnitud de v2, la dirección de v3. y la magnitud y la dirección del segmento AB; se deben encontrar α y la magnitud de v3,)

CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 3

Fig. 1-4 Una solución gráfica se obtiene de la siguiente manera. Trácese: (1) el río y la línea AB a una

escala conveniente; (2) un círculo con radio de 6 unidades y cuyo centro se localice en un punto O de AB; (3) Oa de 4 unidades de longitud (esto es, − v1); ab, paralela a AB y que interseque el círculo en b; (4) bcparalela a Oa. Luego se determinan el ángulo α y v3 =Oc. A partir de medidas aproximadas, v3 = 3.0 m/s ya =s 35°. Puesto que

AB = (500)2+ (866)2= 1000 m

el tiempo entre A y B es 1000/3.0 = 333 s = 5.6 min.

1.3 COMPONENTES DE VECTORES

En la figura 1-5 las líneas punteadas perpendiculares que parten de P y que se dirigen hacia X y Y determinan la dirección y magnitud de las componentes vectoriales Fx y Fy de F. Las magnitudes de estas componentes, que son cantidades escalares, se escriben como Fx, Fy. Obsérvese que en la figura 1-2, F1 y F2 son las componentes Vectoriales de R tomadas a lo largo de las líneas oblicuas Oa y Ob, respectivamente. En la figura 1-6, Fx, Fy, Fz son las componentes vectoriales rectangulares de F; las componentes escalares se escriben como Fx, Fy, Fz.

Y

Fig. 1-5

Cálculo de las magnitudes de las componentes

En la figura 1-5 es claro que

Fx = F cos θ Fy = F sen θ

4 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPITULO 1

En la figura 1-6, las componentes de F están dadas por

Fx = F cos θ1 Fy = F cos θ2 Fz = F cos θ3

O, por razones de comodidad, escribiendo cos θ1 = ℓ, cos θ2 = m, cos θ3 = n,

FX = F ℓ Fy = Fm Fz = Fn

A las letras ℓ, m y n se les denomina cosenos directores de F. Y se puede mostrar que

ℓ2 +m2+n2=1

Fig. 1-6

EJEMPLO 1.7 (a) Supóngase que F,en la figura 1-5 tiene una magnitud de 300 N y θ = 30°. Entonces

Fx = 300 cos30°= 259.8 N Fy = 300 sen30°= 150 N

(b) Supóngase que F = 300 N y θ = 145° (aquí F se encuentra en el segundo cuadrante).

Fx = 300 cos 145° = (300) (-0.8192) = -245.75 N (en la dirección negativa de X)

Fy = 300 sen 145° = (300) (+0.5736) = 172.07 N

EJEMPLO 1.8 En la figura 1-6 F representa una fuerza de 200 N. Sea θ1 = 60°, θ2 = 40°. Entonces,

ℓ = 0.5 m = 0.766 n = (1- ℓ2- m2)1/2 = 0.404 (tomando en cuenta que Fz es positiva; de otra manera, n = − 0.404), y las componentes rectangulares de F son:

Fx = (200) (0.5) = 100 N Fy = 153.2 N Fz = 80.8 N

Como una comprobación (1002 + 153.22 + 80.82)1/2 ≈ 200. Obsérvese que θ = 66.17°.

Adición de componentes

Para sumar A y B en la figura 1-7, se escribe A + B = R. A R se le denomina resultante o vector suma de A y B.

Las componentes de A y B son Ax = A cos α, Ay = A sen α, Bx = B cos ß, By = B sen β. Ahora bien, A y B se pueden reemplazar por estas componentes, y R es un vector que tiene las componentes rectangulares

Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By


Dado que Rx y Ry forman un ángulo recto R = (R2

x + R2y)½ = [(Ax + Bx )2+ (Ay + By)2] ½

Los cosenos directores de R están dados por

ℓ = cos θ = Ax + Bx m = sen θ =

Ay + By n = 0

R

R

Encontremos ahora el vector suma de, por ejemplo, tres Vectores, F1; F2, F3, trazados a partir de O. Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, la magnitud de la resultante está dada por

R = (F1x + F2x+ F3x)2 + (F1y + F2y+ F3y)2+ (F1z + F2z+ F3z)2] ½

donde F1x es la componente X de F1, etcétera. Los cosenos directores de R están dados por

ℓ= m = n =

La magnitud y la dirección de la resultante de cualquier número de vectores trazados a par-tir de O se obtienen de la misma manera.

EJEMPLO 1.9 En la figura 1-7, sea A una fuerza de 50 N con α = 20° y B una fuerza de 80 N con β = 60°. Encuéntrese el vector suma.

Ax = 50 cos 20° = 46.98 N Ay = 50 sen 20°= 17.1 N Igualmente, Bx = 40 N, By = 69.28 N. Por tanto,

R = [(46.98 + 40)2 + (17.1 + 69.28)2]½ = 122.6 N

ℓ = = 0.709

m = 0.705 n = 0

Obsérvese que tan θ =

por lo cual θ ≈ 45°.

1.4 VECTORES UNITARIOS

Cualquier vector F se puede escribir así:

F = F e

donde F es la magnitud de F y e es un vector unitario (aquel cuya magnitud es 1) en la direc-ción de F. Esto es, la magnitud de F está indicada por F y su dirección es la de e. F tiene uni-dades (por ejemplo N, m/s), F tiene las mismas unidades; e es un vector adimensional.

Vectores unitarios a lo largo de los ejes rectangulares

En la figura 1-6, se introducen los vectores unitarios i, j, k a lo largo: de X, Y, Z, respectiva-mente. Entonces, las componentes vectoriales de F se pueden escribir cómo Fxi, Fyj, Fzk. Dado que F es la resultante de sus componentes vectoriales, se obtiene una expresión muy importante

F = Fxi + Fyj + FzK En esta expresión, Fx = F cos θ1 = Fℓ, según se mostró anteriormente. También aquí la

magnitud y la dirección (esto es, los cosenos directores) se obtienen así:

F = (F2x + F2

y+ F2z)½

ℓ = m = n =

F1x + F2x + F3x R

F1y + F2y + F3y R

F1z + F2z + F3z R

46.98 + 40 122.6

17.1 + 69.28 46.98 + 40

≈ 1

Fx

F Fy

F Fz

F

6 REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS [CAPÍTULO 1

EJEMPLO 1.10 Refiriéndose al ejemplo 1.8 de la figura 1-6, donde

Fx = 100 N Fy = 153.2 N Fz = 80.8 N el vector F se puede escribir como

F=100i+153.2J + 80.8k

con magnitud F= (1002 + 153.22 + 812)1/2 = 200 N y dirección

ℓ = = 0.5 m =0.766 n = 0.404

Estrictamente se debería haber escrito

F = (100 N)i-(153.2 N)j +(80.8 N)k o F= 100i+153.2j + 80.8k N

pero por razones de simplicidad, se omiten las unidades cuando se expresa un vector en términos de sus componentes.

EJEMPLO 1.11. Las componentes rectangulares de un vector aceleración a son ax = 6, ay = 4, az = 9 m/s2. Por tanto, en notación vectorial

a = 6i + 4j + 9k

La magnitud de a es a = (θ2 + 42 + 92)1/2 = 11.53 m/s2, y los cosenos directores de a son

Expresión vectorial de un segmento de recta

La recta ab de la figura 1-8 está determinada por los puntos P1 y P2. Considerando el segmento de recta entre P1 y P2 como un vector s, se puede escribir

s = (x2 x1)i + (y2 - y,)j + (z2 z1)k con magnitud

y dirección ℓ =

s = [(x2 x1)2 + (y2 - y,)2 + (z2 z1)½]

Flg. 1-8

Un caso especial de esto es el llamado radio vector r, el segmento con origen en O y dirigi-do hasta el punto P(x, y, z).

r = xi + y j + zk con r - (x2 + y2 + z2)1/2 y

ℓ = x

m = y n =

z

r r r

m = n =ℓ =

100 200

6 11.53

11.53 4 9

11.53

x2 x1 s m = y2 y1

s n = z2 z1 s


1.5 MULTIPLICACIÓN VECTORIAL

Se deben considerar tres tipos de multiplicación. El método y la utilidad de cada uno se hará evidente a partir de los diversos ejemplos físicos y geométricos que se dan a continuación.

Multiplicación de un vector por un escalar

Un vector F se puede multiplicar por un escalar b. La cantidad bF es un vector que tiene una magnitud \b\ F (el valor absoluto de b multiplicado por la magnitud de F); la dirección de bF es la de F o − F, según que h sea positivo o negativo.

EJEMPLO 1.12. Considérese el vector velocidad

v=16i + 30j + 24k m/s con v = (162 + 302 + 242)1/2 = 41.62 m/s, cuya dirección está dada por ℓ = 16/41.62, etcétera.

Ahora multipliquemos v por 10: 10 v = 160i + 300j + 240k ≡ v1. Luego v1 = [(160)2 + (300)2 + (240)2]½ = (10)(41.62) = 10 υ

y los cosenos directores de v1, son

ℓ1 = 160 = 16 = ℓ (10)(41.62) 4L62

lo cual muestra que v1 tiene la dirección de v.

El producto escalar o producto punto

El producto punto de dos vectores cualesquiera, como F1 y F2 en la figura 1-2, se escribe F1 · F2 y se defne como el producto de sus magnitudes por el coseno del ángulo que forman. Esto es,

F1 F2 = F1F2 cos θ que es una cantidad escalar. En la figura 1-2, F1 = 75, F2 = 100, θ = 60°. Entonces,

F1 F2 = (75)(100)(0.5) = 3750

Producto punto de los vectores unitarios a lo largo de X, Y, Z. Dado que i, j, k son mutua-mente perpendiculares y de magnitud unitaria, por definición de producto punto se obtiene que

i · i = j · j = k · k = l i · j = i · k = j · k = 0

Producto punto en términos de las componentes rectangulares. Escribiendo dos vectores cuales-quiera como

F1 = F1xi + F1y j + F2zk F2 = F2xi + F2y j + F3yk

Su producto punto está dado por

F1 F2 = (Flxi + F1yj + F1zk) (F2xi + F2yj + F2zk) El lado derecho se simplifica al aceptar la premisa de que se cumple la ley distributiva, y em-pleando los valores de i · i , etcétera, encontrados anteriormente.

F1 F2 = F1xF2x + F1yF2y + F1zF2z Para mostrar que F1 F2 es justo la cantidad F1F2 cos θ, en donde θ es; el ángulo entre F1 y F2, al dividir y multiplicar el lado derecho por F1F2, se obtiene que

F 1 F 2 =F 1 F 2 = F 1 F 2 (ℓ1 ℓ2 +m 1 m 2 + n 1 n 2 )

Ahora bien, la fórmula familiar para la adición en dos dimensiones

cos θ = cos (θ1 - θ2) = cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2= ℓ1 ℓ2 + m1m2

se extiende para tres dimensiones como eos θ = ℓ1 ℓ2 +m 1 m 2 + n 1 n 2 . Por eso lo anterior se transforma en F1F2 cos θ, y por consiguiente este método de multiplicación está de acuerdo con la de-finición de producto punto.

m1 = m n1 = n

F 1 x F 2 x + F 1 y F 2 y + F 1 z F 2 z

F 1 F 2 + F 1 F 2 + F 1 F 2


EJEMPLO 1.13. Sea F1 = 10i - 15j - 20k, F2 = 6i + 8j - 12k.

F1 F2 = (10)(6)+ (-15)(8)+ (-20)(-12) = 180

Obsérvese ahora que F1 = (102 + 152 + 202)1/2 = 26.93, F2 = 15.62. De aquí que el ángulo θ for-mado por F1 y F2 está dado por

θ = 64.66º

Desde luego, el mismo valor se puede obtener partiendo de cos θ = ℓ1 ℓ2+ m 1 m 2 + n 1 n 2 .

Proyección de cualquier vector a lo largo de una recta. La proyección del vector A = (Ax, Ay, Az) a lo largo de la línea determinada por el radiovector r = (x, y, z) es Ar = A cos θ, en donde θ es el ángulo formado por r y A, De la definición de producto punto,

A r = (Ar cos θ) = Arr

Por tanto,

= Axℓ + Aym + Azn

donde ℓ, m, n son los cosenos directores de la línea considerada. La expresión de Ar es válida aun cuando la línea no pase por el origen.

EJEMPLO 1.14. Encuéntrese la proyección de A = 10i + 8j - 6k a lo largo de r = 5i + 6j + 9k. Aquí r = (52 + 62 + 92)1/2 = 11.92 y

Producto vectorial o producto cruz

El producto cruz de dos vectores, como F1 y F2 en la figura 1-9, se escribe F = F1 x F2, se define como el vector F que tiene una magnitud

F = F1F2 sen θ

y una dirección igual a la dirección de avance de un tornillo de cuerda derecha cuando se atorni-lla de F1 a F2 un ángulo θ; aquí se supone que el eje del tornillo es normal al plano determinado por F1 y F2 (la regla del tornillo de cuerda derecha). O, si la punta de los dedos de la mano derecha giran de F1 a F2, el pulgar extendido apuntará en la dirección de F (regla de la mano derecha).

Obsérvese que de acuerdo con la regla de tornillo de cuerda derecha, F1 x F2 = (F2 x F1) Y

Producto Vectorial = A x B

Flg. 1-10 Flg. 1-9


Producto cruz de los vectores unitarios. Dado que i, j, k son mutuamente perpendiculares y de magnitud unitaria, se deduce de la definición de producto cruz que

i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j

j x i = - k k x j = - l i x k = - j

Producto cruz en términos de las componentes rectangulares. Dados dos vectores, como los de la figura 1-10,

A = Axi + Ayj+Azk B=Bxi+Byj+Bzk

su producto cruz es C = A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byi + Bzk)

Aplicando la ley distributiva al lado derecho y utilizando los valores de i x i, etc., encontrados anteriormente, se obtiene

C = A x B = (AyBz AzBy)i + (AzBx AxBz)j + (AxBy AyBx)k De manera equivalente, A x B se puede expresar como un determinante,

lo cual se puede verificar al desarrollar el determinante con respecto al primer renglón. Obsér-vese que las componentes X, Y, Z de C son

Cx = AyBz - AzBy Cy = (AzBx - AxBz) Cz = AxBy - AyBx

Por lo tanto, la magnitud de C es C = C2 + C2 + C2)1/2 y sus cosenos directores son x y z

El vector C es, por supuesto, normal al plano de los vectores A y B.

EJEMPLO 1.15. Suponiendo que los vectores A y B.en la figura 1-11 están en el plano XY deter-mínese la magnitud y dirección de C = A x B.

C = (200)(100) sen (55° - 15°) = 20 000 sen 40° = 12 855.75

y por la regla de la mano derecha la dirección de C es la de +Z. Vectorialmente se puede escribir C = 12 855.75k.

Fig. 1-11


EJEMPLO 1.16. En la figura 1-10, sea A = 20i 10j + 30k y B = -6i + 15j - 25k. (a) Calcúlese la magnitud de A y B. (b) Encuéntrense los cosenos directores de A. (c) Obténgase el producto vecto-rial C = A x B. (d) Determínese la magnitud y dirección de C. (e) Calcúlese el ángulo θ formado por A y B. (f) Obténganse los valores de los cosenos directores ℓ2, m2, n2 de B, así como de los ángulos α21, α22, α23 formados por B y los ejes X, Y, y Z, respectivamente.

(a) A = (202 + 102 + 302)1/2 = 37.42 B = 29.77

(b)

(c) Aplicando la fórmula de determinantes,

C = i[(-10)(-25) - (15)(30)] - j[(20)(-25) - (30)(-6)] + k[(20)(15) - (-10)(-6)]

= -200i + 320j + 240k = 200(-i + 1.6 j + 1.2k) (d) La magnitud de C es

C = 200 (12 + 1.62 + 1.22)1/2 = 447.21

Los cosenos directores son

Obsérvese que C = C(ℓ3i + m3j + n3k).

(e) C=AB sen θ

447.21 = (37.42)(29.77) sen θ sen θ = 0.40145 θ= 23.67° B = -6i + 15j 25k = B(ℓ2i + m2j + n2k)

Entonces Bℓ2 = -6 Bm2 = 15 Bn2 = -25

B = (62 + 152 + 252)1/2 = 29.766 ℓ2 = -0.2016 m2 = 0.5039 n2 = -0.8399

Los ángulos correspondientes son α21=101.63° α22 = 59.74° α23 =147.13°

1.6 ENTIDADES FÍSICAS

He aquí las entidades o cantidades físicas que tienen importancia en el tratamiento de los campos generales de la mecánica, la electricidad y el magnetismo: masa, longitud, tiempo, velo-cidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, carga eléctrica, voltaje, y muchas más.

De todas éstas, cuatro y sólo cuatro, masa, longitud, tiempo, y corriente eléctrica (o carga, como se verá más adelante), se consideran entidades básicas e independientes. Todas las otras se definen por medio de relaciones sencillas de las básicas y se denominan cantidades derivadas.

Entidades básicas

De acuerdo con la práctica moderna, el Sistema Internacional de Unidades (SI) se utiliza en todo el texto, excepto donde se indique lo contrario. En este sistema, los nombres, símbolos y definiciones de las unidades correspondientes son:

CAPITULO 1] REPASO DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS 1 1

Longitud: metro (m) = la longitud de 1 650 763.73 longitudes de onda en el vacío de cierta línea espectral del kriptón-86.

Masa: kilogramo (kg) = la masa de un cilindro específico de platino-iridio que se conserva en Sévres, Francia.

Tiempo: segundo (s) = la duración de 9 192 631 770 periodos de oscilación de cierta línea espectral del cesio-133.

Corriente eléctrica: ampere (A). Considérense dos alambres paralelos, finos y muy largos, situados a 1 metro de distancia entre sí en el vacío, conectados en serie y que portan una corriente eléctrica estacionaria I. Supóngase que I se ajusta hasta que la fuerza magnética por metro de longitud sobre cada alambre sea exactamente 2 x 10-7 newtons. Este valor de I se define como un ampere.

Carga eléctrica: coulomb (C) se define como la cantidad de carga por segundo que pasa a través de la sección transversal de un alambre en el cuál existe una corriente estacionaria de un ampere. Éste es aproximadamente igual al valor de la carga total de 6.2419 x 1018 electrones.

Dado que coulombs = amperes x segundos, resulta claro que los amperes y los coulombs no son independientes, por lo que aquí hay que hacer una elección; cada uno de ellos se puede tratar como independiente. El otro debe entonces considerarse como cantidad derivada.

Longitud, masa, tiempo y corriente eléctrica (o carga) a menudo se denominan dimensiones físicas. Para el tratamiento de temas relacionados con la temperatura, la luz y la intensidad luminosa y

la entidad molecular, la mole, las correspondientes unidades independientes se definen en los capítulos siguientes.

Entidades derivadas

Una entidad derivada es la que se define en términos de dos o más entidades básicas. Ejemplos: velocidad lineal = longitud/tiempo; aceleración = longitud/tiempo2; fuerza = (masa x longi-tud)/tiempo2. Estas relaciones son válidas sin importar las unidades que se empleen.

Cuando se introducen unidades específicas, pueden obtenerse las correspondientes relaciones dimensionales. Por ejemplo, utilizando unidades del SI,

De igual manera, comenzando con la definición fundamental de cualquier cantidad derivada, se puede conocer la correspondiente expresión dimensional.

1.7 ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES EN ECUACIONES FÍSICAS

Una ecuación física expresa matemáticamente las relaciones que existen entre las cantidades físicas. La importancia del análisis dimensional se deriva del hecho de que cada término por separado en una ecuación física debe representar la misma entidad física; ambos deben ser di-mensionalmente iguales. Si esto no sucede, la ecuación será errónea. Y para la correcta solución de un problema, a lo largo del proceso de solución todos los términos se deben de expresar en las mismas unidades básicas.

Velocidad: u = ds ; u d relación, u = m dt s

Aceleración: a = du ; u d relación, a = m dt S2

Fuerza: a = F =Ma; u d relación, F = Kg m

= N

S2

Trabajo: W = ∫ F ds; u d relación, W =N m= Kg m = J.

S2


Para hacer una comprobación dimensional se reemplaza por m cada símbolo que representa la longitud en metros; la masa en kilogramos, por kg; el tiempo en segundos, por s; la velocidad en metros sobre segundo, por m/s; la aceleración en metros sobre segundos, por m/s2; la fuerza en newtons, por (kg m)/s2, etcétera. Después de reducir los términos, una ojeada basta para saber si la ecuación es dimensionalmente correcta. Si existen constantes en la ecuación sus dimen-siones deben conocerse a partir de consideraciones previas y ser tomadas en cuenta. Debe no-tarse el hecho de que si una ecuación es dimensionalmente correcta esto no garantiza que la ecuación sea intrínsecamente correcta. Diversos ejemplos relacionados con el análisis dimensio-nal sé encuentran en los capítulos siguientes.

Capítulo 2

Movimiento rectilíneo de una partícula con aceleración constante

2.1 DEFINICIONES DE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

La velocidad promedio, υprom, es una cantidad escalar. Una partícula que recorre una distancia s (por decir algo, de a a b en la figura 2-1) en un tiempo t, lo hace con una velocidad pro-medio dada por

υprom = O s = υpromt (2.1)

Fig.2-1

La velocidad lineal instantánea, υ (una cantidad vectorial), se define como (Fig. 2-1)

v = lím

∆t→0 ∆r = dr ∆t dt

O dado que r = xi + yj + zk , donde x, y, z, son las coordenadas rectangulares de la partícula en P1 en la figura 2-1; i, j, k son vectores unitarios a lo largo de X, Y, Z; y para mayor comodidad dx/dt se escribe como x etcétera. Obsérvese que v es tangente a la trayectoria en P1. Las unidades para v (asi como las de υprom) son m/s.

Aceleración lineal instantánea, a (un vector) es el cambio instantáneo del vector velocidad v con respecto al tiempo. Refiriéndose a la figura 2-2, la partícula en P1 tiene velocidad v1. En un tiempo corto, ∆t, su velocidad en P2 es v2. El cambio en la velocidad es ∆v = v2 v1, y la acele- ración instantánea en P1 es

v = lím ∆t→0

∆v = dv∆t dt

s t

14 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 2

Fig.2-2

O bien, a partir de (2.3) se puede escribir

(25) Las unidades de a son m/s2.

Desde la ecuación (2.2) hasta la (2.5), todas son expresiones generales de la velocidad lineal y la aceleración lineal en un movimiento tridimensional. Y son, por supuesto, aplicables a ca-sos especiales, como lo serían el movimiento a lo largo de una recta, el movimiento en un plano, el movimiento sobre la superficie de una esfera, y otros de ese tipo.

2.2 MOVIMIENTO BECTIL1NEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Cuando a es constante en magnitud y dirección, y cuando el movimiento es a lo largo de la línea de acción de a, se puede asignar una dirección positiva a lo largo de esta línea (ya sea en la dirección de a o en la dirección de a) y trabajar únicamente con números en lugar de vec-tores. Se tienen así las siguientes relaciones:

(2.6)

donde υprom es la velocidad promedio en el intervalo de tiempo de 0 a t, y donde υ0 y s0 son la velocidad y la distancia en t = 0.

En la mayor parte de los problemas se eligen los ejes de coordenadas de tal manera que s0 = 0. Por lo tanto, para el movimento a lo largo de X, con la partícula inicialmente en el origen, (2.6) se transforma en

Aceleración gravitacional. Todo cuerpo que cae libremente cerca de la superficie de la Tierra experimenta una aceleración decreciente aproximadamente constante de g = 9.8 m/s2.

CAPÍTULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 15

Problemas resueltos

2.1. La partícula que se muestra en la figura 2-3 se desplaza a lo largo de X con una aceleración constante de 4 m/s2. Al pasar por el origen, en la dirección + de X, su velocidad es 20 m/s. En este problema el tiempo t se mide a partir del momento en el que la partícula se encuentra por vez primera en el origen, (a) ¿En qué distancia x' y tiempo t', υ = 0? (b) ¿En qué momento la partícula se encuentra en x = 15 m, y cuál es su velocidad en ese punto? (c) ¿Cuál es su velocidad en x= +25? ¿Én x = 25 m? Trátese de encontrar la velocidad de la partícula en x = 55 m.

(a) Aplicando

0 = 20+(4)t′ o t' = 5s

Entonces

O a partir de que 0 = (20)2 + 2(4)x′ o x'=50m

(b)

Resolviendo esta ecuación cuadrática,

Por lo tanto t1 = 0.8167 s, t2 = 9.1833 s, donde t1 es el tiempo entre el origen y x = 15 m, y t2 es el tiempo para ir desde O hasta más allá de x = 15 m y regresar a este punto. En x = 15 m,

y (t) = at3/2 bt + c

Obsérvese que la rapidez es igual en ambos casos.

(c) En x = +25 m, υ2 = (20)2 + 2(-4)(25) o υ = ±14.1421 m/s

y en x = 25m, υ2 = 202 + 2(-4)(-25) o υ = 24.4949 m/s

(¿Por qué se debe descartar la raíz υ = +24.4949?) Suponiendo que x = 55 m, υ2 =202 + 2(-4) (55), de donde υ = +√40. Es de espe-

rarse el valor imaginario de υ dado que x nunca es mayor que 50 m.


2.2. Un automóvil de retropropulsión parte del reposo en x = 0 y se mueve en la dirección + de X con una aceleración constante de x = 5 m/s2 durante 8 s hasta que se termina su com-bustible. Y luego continúa con velocidad constante. ¿Qué distancia recorre el automóvil en 12 s?

La distancia a partir de O cuando el combustible se agota es de

2.3.

y en este punto v = (2ax1)1/2 = 50.5964 m/s. Por lo que la distancia recorrida en 12 s es x2 = x1 + υ (12 - 8) = 160 + (50.5964)(4) = 362.38 m

Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, desde la azotea de una torre que tiene una altura de 50 m (véase la figura 2-4). A su regreso no pega contra la torre y cae hasta el suelo, (a) ¿Cuánto tiempo t1 transcurre desde el instante en que la bola es lanzada hasta que pasa a la altura de la azotea de la torre? ¿Qué velocidad tiene en ese momento? (b) ¿Qué tiempo total t2 tarda la pelota en llegar al suelo? ¿Con qué velocidad υ2 llega? (a) En el sistema de coordenadas que se muestra en la figura 2-4, y = vot + 1/2 at2. Pero

en la azotea y = 0, y entonces

por lo cual t1 = 0, lo que indica el instante en el cual la pelota es lanzada, e igualmente t1 = 4.0816 s, tiempo en que se eleva y regresa a la altura de la azotea. Entonces, dado que υ = υ 0 + at,

υ 1 = 20 + (-9.8)(4.0816) = -20 m/s

que es el negativo de la velocidad inicial.

(b) o t2 = 5.8315 s

υ2 = 20 + (-9.8)(5.8315) = 37.15 m/s

Fig. 2-4

2.4. Refiriéndose al problema 2.3 y la figura 2-4, (a) ¿cuál es la altura máxima, desde el suelo, a la que llega la pelota? (b) Los puntos P1y P2 se encuentran a 15 y 30 m por debajo de la azotea de la torre. ¿En qué intervalo la pelota viaja de P1 a P2? (c) Se necesita que,

CAPÍTULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 17

después de pasar por la azotea, la pelota llegué al suelo en 3 s. ¿Con qué velocidad debe ser lanzada hacia arriba desde la azotea?

(a) Máxima altura desde el piso: h = ymáx + 50. Si se sabe que υ 20 + 2a ymáx= 0,

Por tanto, h = 70.4082 m.

(b) Si t1 y t2 son los tiempos para arribar a P1 y P2 respectivamente,

-15 = 20 t1 - 4.9t 21 y -30 = 20 t2 - 4.9 t 22

Resolviendo, t1 = 4.723 s, t2 = 5.248 s, y el tiempo de Pt a P2 es t2 t1 = 0.519 s.

(c) Si υi es la velocidad inicial deseada, entonces υ1, es la velocidad que alcanza después de pasar a la altura de la azotea (¿por qué?). Entonces, aplicando

para la caída de la azotea al suelo, se incluye que

-50= (-υi)(3)-4.9(3)2 o υi = 1.967 m/s

2.5. Una pelota que parte del reposo cae bajo la influencia de la gravedad durante 6 s, mo-mento en el que atraviesa un vidrio plano horizontal rompiéndolo y perdiendo 2/3 de su velocidad. Si luego llega al suelo en 2 s, encuéntrese la altura del vidrio por encima del suelo.

Partiendo de v = vot +1/2 at2, la velocidad justo antes de golpear el vidrio es

v1 = 0- 4.9(6)2 = -176.4 m/s

y, por tanto, la velocidad después de pasar a través del vidrio es (l/3) υ1 = 58.8 m/s. Entonces

-h = (-58.8)(2) -4.9(2)2 h = 137.2 m

2.6. Un plano inclinado, como el de la figura 2-5, forma un ángulo θ con la horizontal. Un sur-co OA hecho sobre el plano forma un ángulo α con OX. Un cilindro pequeño y liso se des-liza libremente hacia abajo por el surco bajo la influencia de la gravedad, habiendo partido del reposo en el punto (x0, y0). Obténgase: (o) su aceleración a lo largo del surco, (b) el tiempo que le toma llegar a O, (c) su velocidad en O. Sea. θ = 30°, x0 = 3 m, y0 = 4 m.

Flg.2-5


(a) La componente de g paralela a OY es g sen θ; de aquí que la componente a lo largo del surco sea a = g sen θ sen α. De donde

a = (9 .8 ) (0 .5 ) (0 .8) = 3 .92 m/ s 2 .

(b)

donde Entonces

y sen θ = 0.5

o t = 1.597 s

(c) v = 0 + (3.92)(1.597) = 6.26 m/s

2.7. Una cuenta (véase la figura 2-6) se desliza libremente hacia abajo por un alambre l iso que une a los puntos P1 y P2 que se encuentran en un círculo vertical de radio R. Si la cuenta parte del reposo en P1 el punto más alto del círculo, calcúlese (a) su velocidad υ al llegar a P2; (b) el tiempo que tarda en llegar a P2 y muéstrese que este tiempo es el mismo para cualquier cuerda trazada desde P1.

(a) La aceleración de la cuenta al descender por el alambre es g cos θ y la longitud del alambre es 2R cos θ. Por tanto,

(b)

que es la misma sin importar en qué lugar del círculo se encuentre P2.

Flg.2-6 Flg.2-7

2.8. El cuerpo 1 de la figura 2-7 parte del reposo desde la cima de un plano inclinado liso y en el mismo instante el cuerpo 2 es lanzado hacia arriba desde el pie del plano con una velocidad tal que ambos cuerpos se encuentran a mitad de camino en el plano. Determínense (a) la velocidad de lanzamiento y (b) la velocidad que tienen los cuerpos al encontrarse.

(b)

CAPITULO 2] MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA 19

(a) En un tiempo común t, el cuerpo 1, recorre una distancia

y el cuerpo 2 recorre una distancia.

sumando estas dos ecuaciones obtenemos ℓ = v02 t o t = ℓ/ v02. Sustituyendo este valor de en la primera ecuación y despejando v02, se obtiene

Problemas complementarios

2.9. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 40 m/s desde la cornisa de un acantilado que tiene una altura de 110 m. Despreciando la resistencia del aire, calcúlese el tiempo que la piedra tarda en llegar a la base del acantilado. ¿Con qué velocidad llega? Respuesta: 11.93 s; -76.89 m/s

2.10. Un protón en un campo eléctrico, uniforme se mueve en línea recta con aceleración constante. A partir del reposo alcanza una velocidad de 1000 km/s en una distancia de 1 cm. (a) ¿Cuál es su aceleración? (b) ¿Qué tiempo requiere para alcanzar dicha velocidad? Respuesta: (a) 5 X 1013 m/s; (b) 2 x 10-8 s

2.11. Se hace que un objeto se desplace a lo largo del eje X de tal manera que su desplazamiento está dado por

x = 30 + 20t 15t2

donde x se expresa en m y t en s. (a) Encuéntrenle tas expresiones para la velocidad x y la ace-leración x . ¿La aceleración es constante? (b) ¿Cuáles son ía posición; inicial y la velocidad inicial del objeto? (c) ¿En qué tiempo y a qué distancia del origen su velocidad es cero?(d) ¿En qué momento y en qué lugar su velocidad es -50 m/s? Respuestas: (a) x = 20 30t; x = -30 m/s2 = constante (c) t = 0.66667 s, x = 36.6667 m

(b) xo = 30 m, x o = 20 m/s (d) t = 2.3333 s, x = -5 m

2.12. Un hombre corre con una velocidad de 4 m/s para alcanzar y abordar un autobús que se en cuentra estacionado. Cuando el hombre se halla a 6 m de la puerta (en t = 0, el autobús avanza y continúa con una aceleración constante de 1.2 m/s2. (a) ¿Cuánto tardará el hombre en alcanzarla puerta? (b) ¿Si al comienzo se encuentra a 10 m de la puerta podrá darle alcance corriendo con la misma velocidad? Respuestas: (a) 4.387 s; (b) no

2.13. Una camioneta avanza con una velocidad constante de 21 m/s. El conductor ve un automóvil detenido justo adelante a una distancia de 110 m. Después de un "tiempo de reacción" de ∆t, acciona los frenos, los cuales dan a la camioneta una aceleración de 3 m/s2. (a) ¿Cuál es el máximo ∆t permisible para evitar el choque y qué distancia se moverá la camioneta antes de que se accionen los frenos? (b) Suponiendo un tiempo de reacción de 1.4 s, ¿qué tan lejosdel automóvil se detendrá la camioneta y en cuántos segundos a partir del momento en el que el conductor ve por primera vez el automóvil? Respuestas: (a) 1.7381 s, 36.5 m; (b) 7.1 m, 8.4 s

ℓ (0) t + 1 (g senθ)t2 2 2

ℓ v02 t + 1 (- g senθ)t2 2 2

20 MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 2

2.14. Una pelota parte del reposo desde la orilla de una hondonada profunda. Supóngase que la resistencia del aire le proporciona una aceleración de byú , donde y se mide positivamente hacia abajo. (Esta aceleración negativa es proporcional a su rapidez, yú; la constante positiva b se encuentra experimentalmente.) La pelota tiene una aceleración total de byú + g, y por tanto

yú = byú + g (1)

que es la ecuación diferencial del movimiento, (a) Muéstrese por diferenciación y sustitución que

y = k (ebt - l) + (g/b)t (2)

es una solución de ( 1 ) para un valor arbitrario de la constante k y que (2) da y = 0 para t = 0. (b) Muéstrese a partir de (2) que

yú = kbebt + g/b (3) Dado que en t = 0, yú = 0, pruébese que k = g/b2. Muéstrese a partir de (3) que si i → ∞, yú → g/b; esto es, la velocidad llega a un valor tal que la aceleración debida a la resistencia del aire neutraliza la aceleración positiva de la gravedad, y entonces yú = 0. (c) Supóngase que b = 0.1 s-1, para encontrar la distancia a la que cae y la rapidez con la que llega después de 10 s. (d) Muéstrese que después de 1 minuto la pelota habrá llegado esencialmente a su velo-cidad terminal de 98 m/s. Respuesta: (c) 360.522 m, 61.95 m/s

2.15. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el origen de los ejes (se considera a Y + hacia arriba), con una velocidad inicial yú 0. Suponiéndose, como en el problema 2.14, una aceleración bÿ debida a la resistencia del aire, se tiene que

ÿ = - b yú g (1) Obsérvese que cuando yú cambia de signo, también lo hace b yú ; de aquí que ( 1 ) sea válida para el movimiento hacia abajo, al igual que para el movimiento hacia arriba, (a) Muéstrese que

y = k (ebt - l) (g/b)t (2)

es una solución de (1) para cualquier valor de k. (b) Muéstrese que yú = kbebt g/b y, dado que yú = yú 0 en t = 0, demuestra que (c) Suponiendo que b = 0.1 s-1 y que yú 0 = 50 m/s, encuéntrense la altura y la rapidez para t = 3 s. (d) ¿Qué tiempo tardará la pelota en llegar a su máxima altura y cuál es ésta? (Indicación: ln 1.51 = 0.41211.) (e) Muéstrese que sin la resistencia del aire la pelota llegaría a una altura máxima de 127.55 m en 5.10 s. (f) Sustituyendo en (2), compruébese que el tiempo para subir y tocar tierra es de aproximadamente 8.9 s. Respuesta: (c) 89.59 m, 11.64 m/s; (d) 4.121 s, 96 m

Capítulo 3

Movimiento en un plano de una partícula con aceleración constante

Las relaciones (2.1) a (2.5) son aplicables a los tipos más generales de movimiento de una partícula (o de un punto), ya sea a lo largo de una línea, en un plano o en el espacio, y para el cual la aceleración a puede ser constante. En el caso especial del movimiento en un plano con aceleración constante, las expresiones vectoriales de la velocidad y la aceleración se reducen a:

en las cuales x y Ø son constantes cada una. Las magnitudes y direcciones de estos vectores es-tán dadas por

donde β y α son los ángulos que forman v y X, y a y X.

Las expresiones de la velocidad v y el desplazamiento r (el vector de posición de la partícu-la), en términos del tiempo t, se encuentran por integración y son:

en las cuales v0 y r0 son los valores de v y r en t = 0. Las componentes escalares de (3.5) y (3.6) proporcionan un conjunto de relaciones de la forma de (2.6) para cada coordenada:

El hecho de que a tenga magnitud y dirección constantes no implica que el movimiento se

realice a lo largo de una recta. En general, la partícula se desplaza a lo largo de una parábola. Esto es fácil de apreciarse al encontrar los ejes coordenados tales que uno de ellos, X por ejemplo, sea paralelo a a y tal que la partícula se encuentre en el origen cuando t = 0. Entonces, las primeras dos ecuaciones (3.7) se transforman en

Cuando se elimina t de éstas, el resultado es

22 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPITULO 3

que es la ecuación de una parábola (véase la figura 3-1). En el caso especial de que yú 0 = 0, la trayectoria es una recta: el eje X.

Problemas resueltos

3.1. Un proyectil (véase la figura 3-2) es disparado hacia arriba con una velocidad inicial v0 = 200 m/s a un ángulo θ = 60°. (a) Encuéntrese la posición y velocidad del proyectil 10 s des-pués del disparo, (b) Calcúlese la altura máxima h y el tiempo en el que llega a esta posición, (c) Obténgase el tiempo total de vuelo y el alcance R. Dedúzcase una expresión general para R. (d) Escríbase una ecuación de la trayectoria, (e) ¿Cuál es la velocidad del proyectil cuando se encuentra a una altura y = 1000 m?

Primero obsérvese que La aceleración de la gravedad es g = 9.8 m/s2 en la dirección negativa del eje Y. Enton-

ces x = 0, Ø = 9.8 m/s2. (a) Aplicando (3.7),

CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA 23

La magnitud de la velocidad es v = [(100)2 + (75.2)2]1/2 = 125.12 m/s; la dirección está dada por

(b) Cuando y = h, yú = 0 = yú 0 gt. Entonces t = yo/g = 17.67 s, y

(c) AI pegar en el suelo, y = 0. Entonces

Luego R = xú ot =. (100) (35.35) = 3535 m. Como antes, el tiempo de vuelo es Entonces

(d) Eliminando t de porque x = xú ot se obtiene que

como ecuación de la trayectoria. Alternativamente, la trayectoria está dada por (3.8), con x y y reemplazadas por y y x, respectivamente.

(e) Por (3.7), xú 2 = xú 20 y yú

2 = yú 20 - 2gyú . Por lo que v2 = xú 2 + yú

2 = v 20 - 2gy = (200)2 - 2 (9.8)

(1000) = 2.04 X 104/s2 ó v = 143 m/s. La dirección de la velocidad está dada por

o β = 45.6°. (¿Por qué existen dos valores para el ángulo?)

3 . 2 . Una pelota es arrojada hacia arriba desde la azotea de una torre de 35 m, véase figura 3-3, con velocidad inicial v 0 = 80 m/s a un ángulo θ = 25° . ( a ) Encuéntrense el tiempo que tarda en llegar al piso y la distancia R desde P al punto de impacto, ( b) Calcúlense la magnitud y la dirección de la velocidad en el momento del impacto.

(a) En el punto de impacto, y = 35 m y x = R. A partir de


t = 7.814 s. Entonces x = R = (80 cos 25°) (7.814) = 566.55 m. (b) En el momento del impacto, y = 80 sen 25° - (9.8) (7.814) = - 42.77 m/s y xú - xú 0 =

80 cos 25° = 72.5 m/s. Entonces v = (42.772 + 72.52)1/2 = 84.18 m/s y

3.3. Un proyectil (véase la figura 3-4) es disparado hacia arriba con velocidad u0 a un ángulo θ. (a) ¿En qué punto P(x, y) choca contra la azotea del edificio y en cuánto tiempo? (b) En-cuéntrese la magnitud y la dirección de v en P. Sea θ = 35°, v0 = 40 m/s, α = 30°, y h = 15m.

Primero obsérvese que y, de la ecuación para la azotea,

(a) Eliminando t de y = yú ot 4.9t2 mediante x = xú ot, se tiene que

para la trayectoria del proyectil. Igualando y en (1) a y en (2) y sustituyendo los valores numéricos,

0.004564 x2- 1.277558x + 15 = 0

por lo cual x = 12.28 m. Entonces y = h - (12.28) tan α = 7.90 m. El tiempo para chocar contra la azotea está dado por

12.28 = 32.7661t o t= 0.375 s

(b) En P, Entonces v = (xú 2 + yú 2)1/2 = 38.0 m/s y tan β = yú / xú = 0.588, o β = 30.46°, donde β es el ángulo que forma v con X en P.

3.4. En el problema 3.3 se puede ajustar el ángulo θ. Encuéntrese el valor de θ cuando el pro-

yectil choca con la azotea en un tiempo mínimo. De nuevo

CAPÍTULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DÉ UÑA PARTÍCULA 25

Igualando estas dos expresiones para y y eliminando x al utilizar x = xú ot = (v0 cos θ)t, se ob-tiene la siguiente ecuación para el tiempo en el que el proyectil choca con la azotea:

o utilizando la fórmula de la adición, sen(θ + α) = sen θ cos α + cos θ sen α, para un t mínimo, se debe tener dt/dθ=0. Derivando (1) con respecto a θ y estableciendo dt/dθ=0, se obtiene

lo cual implica que (dado que tmín ≠ 0)

cos(θ + α) = 0 o θ = 90°¬ α Este resultado significa que el proyectil debe ser apuntado en la dirección de la distancia

mínima, como si no existiera la aceleración de la gravedad. Sin embargo, la gravedad no puede ignorarse en este problema. Si se trate de determinar el valor de tmín al sustituir θ + α = 90° en (1) y resolver, se obtiene

que es complejo si v0 < √2gh cos α. En otras palabras, si v0 < √2gh cos α, el proyectil nunca llegará a la azotea, por lo que tanto el valor de 8 como el concepto de tiempo mínimo dejan de tener sentido.

3.5. Haciendo referencia a la f igura 3-5, el proyecti l se dispara con una, velocidad inicial v0 = 30 m/s a un ángulo θ = 23°. La camioneta se mueve a lo largo de X con una velocidad constante de 15 m/s. En el instante en que él proyectil, se dispara, la parte tra-sera de la camioneta se encuentra en x = 45 m. (a) Encuéntrese el tiempo necesario para que el proyectil pegue contra la parte trasera de la camioneta si ésta es muy alta, (b) ¿Qué pasaría si la camioneta tuviera únicamente 2 m de alto?

(a) En este caso, el proyectil golpea la parte trasera de la camioneta en el momento de alcan-zarla, o sea cuando la distancia respecto a la parte trasera de la camioneta es,

x1 = 45+15t y es igual a la distancia horizontal cubierta por el proyectil,

26 MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA [CAPÍTULO 3

(b) En t = 2.61 s, cuando el proyectil alcanza la parte trasera de la camioneta, su altura es

o sea 27 cm por encima del techo de la camioneta. Dado que el proyectil se mueve más rápido horizontalmente que la camioneta, es claro que después de esto aquél permanece por delante de la parte posterior de la camioneta, y nunca la golpeará en esta parte.

El proyectil alcanzará (en el segundo intento) una altura de 2 m en un tiempo total t2 dado por

esto es, 2.635 2.614 = 0.021 s después de alcanzar la parte trasera de la camioneta, por lo que el proyectil pega contra el techo de la camioneta a una distancia de

(32.22 15)(0.021) = 0.36 m = 36 cm desde la orilla posterior.

3.6. Con base en el problema 3.5(a) encuéntrese el valor de u0 cuando el proyectil golpea a la camioneta en y = 3 m, si todas las demás condiciones permanecen iguales.

El tiempo necesario para alcanzar la parte trasera de la camioneta está dado por

Sustituyendo los valores numéricos de sen θ y cos θ, se obtiene la siguiente ecuación cuadrática para v0:

Resolviendo, V0 = 25.27775 m/s.

3.7. Una partícula que se mueve en el plano YX tiene componentes X y Y de velocidad dadas por

xú = b1 + c1t yú = b2+c2t (1) donde x y y se miden en metros y f en segundos, (a) ¿Cuáles son las unidades y dimensio-nes de las constantes b1 y b2? ¿De c1 y c2? (b) Intégrense las relaciones anteriores para ob-tener x y y como funciones del tiempo, (c) Denotando la aceleración total como a y la velo-cidad total como v, encuéntrense las expresiones de la magnitud y la dirección de a y v. (d) Escríbase v en términos de los vectores unitarios.

(a) Una ojeada a ( 1 ) muestra que b1 y b2 deben representar velocidades en metros por segundo (m/s); dimensionalmente c1 y c2 deben ser |m/s2| y, por tanto, aceleraciones.

(b) donde x0, y0 son los valores de x y y en t = 0.

(c) Al diferenciar ( 1 ) con respecto a t, x = c1, y = c2. Entonces

CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UNA PARTÍCULA 27

donde a es el ángulo que forma a con X. Obsérvese que a es constante en magnitud y di-rección. Para la velocidad, donde β es el ángulo que forma v con X.

(d) v = (b1 + C1t)i + (b2+C2t)j

3.8. Refiérase a la figura 3-6. Un proyectil es disparado desde el origen con una velocidad inicial v1 = 100 m/s a un ángulo θ1 = 30°. Otro proyectil se dispara en el mismo instante desde un punto sobre X que se encuentra a una distancia x0 = 60 m desde el origen, con una velocidad inicial v2 = 80 m/s a un ángulo θ2. Se desea que los dos proyectiles choquen entre sí en algún punto P(x, y), (a) Determínese el valor necesario de θ2. (b) ¿En cuánto tiempo y en qué punto chocarán? (c) Encuéntrense las componentes de la velocidad de cada uno en el momento del impacto.

(a) Sean (x1, y1) (x2, y2) las coordenadas del primero y segundo proyectiles, respectivamente,

en cualquier tiempo t. Entonces

Para que choquen y1= y2 (e igualmente x1 = x2). Entonces


(c)

En realidad, yú 1 = yú 2 (¿por qué?); la diferencia aparente es un error de redondeo.

3.9. Una pelota, B1; es disparada hacia arriba desde el origen de X, Y con velocidad inicial v1 = 100 m/s a un ángulo θ1 = 40°. Después de t = 10 s, como se puede fácilmente mostrar, la pelota se encuentra en el punto P(x1, y1), donde x1 = 766.0444 m, y1 = 152.7876 m. Cierto tiempo después, otra pelota, B2, se dispara hacia arriba, también desde el origen, con velocidad v2 a un ángulo θ2 = 35°. (a) Encuéntrese un valor de v2 tal que B2 pase por el punto P(x1, y1). (b) Calcúlese cuándo debe ser disparada B2 para que las dos pelotas choquen entre sí P(x1, y1).

(a) Sean P(x1, y1, t1) las coordenadas y el tiempo de B1 y (x2, y2, t2) las de B2. Dado que B2 debe pasar por el punto P(x1, y1).

por lo que v2 = 105.69313 m/s.

(b) Sustituyendo el valor de v2 en x2 = (v2 cos 35°)t2 = 766.0444, se encuentra que t2 = 8.84795 s. Por tanto, con v2 = 105.69313 m/s y θ2 = 35°, B2 pasa por P(x1, y1)8.84795 s después de que se dispara. Pero B1 llega a este punto 10 s después de ser disparada. Por tanto, si las dos tienen que chocar, el disparo de B2 debe retrasarse 10 8.84795 = 1.152 s.


3.10. Una pelota es lanzada verticalmente desde un punto situado en un lado de una colina que tiene pendiente uniforme hacia arriba con un ángulo de 28°. Velocidad inicial de la pelota: v0 = 33 m/s, a un ángulo θ = 65° (con respecto a la horizontal). ¿A qué distancia hacia arriba de la pendiente caerá la pelota y en cuánto tiempo? Respuesta: 72.5 m; 4.59 s.

3.11. Un proyectil es disparado con una velocidad inicial v0 = 95 m/s a un ángulo θ = 50°. Después de 5 s pega contra la cima de una colima. ¿Cuál es la elevación de la colima por encima del punto de disparo? ¿A qué distancia horizontal del arma aterriza el proyectil? Respuesta: 241.37 m; 305.32 m.

3.12. Rehágase el problema 3.4 en un sistema de coordenadas con ejes perpendiculares y paralelos a la azotea. Muéstrese que la condición v2

0 ≥ 2gh cos2 a tiene una interpretación simple en este sistema.

3.13. El movimiento de una partícula en el plano XY está dado por

x = 25 + 6t2 y = -50-20t + 8t2 (a) Encuéntrense los siguientes valores iniciales: (b) Calcúlense la magnitud y dirección de a, la aceleración de la partícula. (c) Obténgase una ecuación para la trayectoria de la partícula (encuéntrese y en función de x).

CAPITULO 3] MOVIMIENTO EN UN PLANO DE UÑA PARTÍCULA 29

3.14. En la figura 3-7 las partículas a de un pequeño trozo de material radiactivo pasan a través de la rendija S hacia el espacio existente entre dos placas metálicas paralelas y muy grandes, A y B, conectadas a una fuente de voltaje. En virtud del campo eléctrico uniforme entre las placas, cada partícula tiene una aceleración constante s = 4 X 1013 m/s2 normal y hacia B. Si v0 = 6 X 106 m/s y θ= 45°, determínense h y R. Respuesta: 22.5 cm; 90 cm

3.15. El arreglo en la figura 3-8 es el mismo de la figura 3-7, excepto porque las partículas α entran en la rendija S desde dos fuentes, A1 y A2 a ángulos θ1 y θ2, respectivamente. v0 y a son las mismas para ambos grupos. Sabiéndose que v0 = 6 X 106 m/s, a = 4 X 1013 m/s2, θ1 = 45° + 1°, θ2 = 45° - 1o, muéstrese que todas las partículas están "enfocadas" en un sólo punto P. Encuéntrense los valores de R, h1, y h2 h1 Respuesta: R = 89.945 cm; h1 = 23.285 cm; h2 h1 = 2.114 cm

3.16. Una pelota es lanzada hacia arriba con una velocidad inicial v0 = 15 m/s a un ángulo de 30° con

la horizontal. El lanzador se encuentra cerca de la cima de una colina que tiene una pendiente hacia abajo con un ángulo de 20°. (a) ¿Cuándo chocará la pelota contra la pendiente? (b) ¿Qué tan lejos cae hacia abajo de la pendiente? (c) ¿Con qué velocidad pega? (Especifíquense las com-ponentes, horizontal y vertical.)

Respuestas: (a) 2.495 s después del lanzamiento (b) 34.50 m, medidos hacia abajo (c) xú = 13.824 m/s, yú = 16.96 m/s


3.17. Un bombardero (figura 3-9) vuela rasante a una velocidad v1 = 72 m/s a una altura de h = 100 m. Cuando se encuentra justo encima del origen deja caer la bomba B que choca contra la camioneta T, que se mueve a lo largo de un camino plano (el eje X) con velocidad constante v2. En el momento en el que la bomba es liberada la camioneta está a una distancia x0 = 125 m de O. Encuéntrense el valor de v2 y el tiempo de vuelo de B. Respuesta: 44.33 m/s (casi 100 mph); 4.51754 s.

3.18. Una partícula se mueve en el plano XY y a lo largo de la trayectoria dada por y = 10 + 3x + 5x2. La componente X de la velocidad, xú = 4 m/s, es constante, y en t = 0, x = x0 = 6 m. (a) Expré- sense y y x como funciones de t. (b) Encuéntrense y0 y yú 0. (c) Encuéntrense Ø y x , las compo-nentes de la aceleración de la partícula. Respuestas: (a) y = 208 + 252t + 80t2, x = 4t + 6; (b) 208 m, 252 m/s; (c) ÿ = 160 m/s2, x = 0.

3.19. El movimiento de una partícula en el plano XY está dado por

x=10+12t-20t2 y = 25 + 15t + 30t2

(a) Encuéntrense los valores de x0, xú o; y0, yú o. (b) Calcúlense la magnitud y dirección de v0. (c) Encuéntrense x , Ø, y a. (d) ¿El movimiento es a lo largo de una recta?

3.20. Considérese que el movimiento de una partícula está dado por

x = 5+10t +17t2 + 4t3 y= 8+9t + 20t2-6t3

(a) Encuéntrense las expresiones de x , Ø. (b) ¿Es éste un caso de movimiento con aceleración constante, como en todos los problemas anteriores? Respuestas: (a) x = 34 + 24t, y = 40 36t;

(b) a no es constante porque sus componentes tampoco lo son.

Capítulo 4

Leyes de Newton del movimiento: introducción

4.1 LEYES DE NEWTON DEL MOVIMIENTO

1a. Ley: Cualquier cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uni-forme a menos que sea afectado por fuerzas externas y desequilibradas que cambien dicho estado.

A partir de esta ley la fuerza se define como cualquier cosa que cambie o tienda a cambiar el estado de movimiento de un objeto. Igualmente, la primera ley de Newton implícitamente define los sistemas inerciales de coordenadas (véase la sección 4.3).

2a. Ley. Si sobre un cuerpo de masa m actúan varias fuerzas y a es su aceleración observada en un sistema inercial de coordenadas, entonces

ΣF=ma

donde Σ F es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. En el caso especial de que la fuerza resultante sea cero, la segunda ley de Newton nos dice que

a = 0, lo cual implica que la velocidad del cuerpo es constante en magnitud y dirección. 3a. Ley: Si el cuerpo 1 ejerce una fuerza F2 sobre el cuerpo 2 y éste ejerce una fuerza F1 sobre

aquél, entonces estas fuerzas son iguales y opuestas sin importar que otras actúen sobre los dos cuerpos:

F1 = -F2 De acuerdo con la tercera ley de Newton, ninguna fuerza ocurre por sí misma. Las fuerzas de

acción y reacción nunca están desequilibradas, debido a que son ejercidas sobre cuerpos diferentes.

4.2 MASA Y PESO

La propiedad que un cuerpo tiene de resistir cualquier cambio en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme recibe el nombre de inercia. La inercia de un cuerpo está rela-cionada con lo que se podría llamar en términos poco estrictos, "cantidad de materia" que con-tiene. Una medida cuantitativa de la inercia es la masa.

El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional ejercida sobre ese cuerpo, Un cuerpo de masa m tiene un peso w = mg en un lugar donde la aceleración gravitacional es g.

4.3 SISTEMAS (MARCOS) DE REFERENCIA

Existen ciertos marcos de referencia, llamados sistemas inerciales, en relación con los cuales cualquier partícula tiene un vector velocidad constante cuando está libre de fuerzas externas.

EJEMPLO 4.1. El sistema de referencia atribuido a las "estrellas fijas" generalmente se toma como un sistema inercial. Cualquier otro es inercial si y sólo si su velocidad con respecto a este sistema específico es constante.

32

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CAPÍTULO

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4]

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DEL MOVIM

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35

ma de la l gusano,

de movi-

niendo que es

ano vista ivalentes.

36

4.9. Udes

4.10. Ldft

(a) En el sisteinicial xú tiempo s

y la traye

(b) Supóngaseavanzado(x, y) y (x

La trayec que es un

Un pequeño desechado paempuje que asupóngase qu

En la fig

La suma redo. Por tanto,

Los objetos Adible. Deben figura 4-8. Ltrese la tensi

LEYE

ema X, Y del s= v0, donde v0e le denota t

ectoria es una

e que en t = 0o una distancix', y') del gusa

ctoria en el sis

na recta con p

dirigible desara que el diractúe hacia aue la fuerza

ura 4-7 las ec

sulta ser ,

A y B, cada umoverse en u

Los objetos sión en la cuer

S DE NEWT

suelo el gusan0 es la rapidez= 0). De aqu

parábola.

0 los dos sisteia vot + 1/2aot2

ano en los dos

stema X', Y' s

pendiente g/a

sciende con urigible se elevarriba sobre ade empuje es

cuaciones de m

descendie

ascendie

uno con masa un anillo sin e sueltan delrda justo des

TON DEL MO

no tiene una ac del pájaro en

uí que

emas de coord2 a lo largo des sistemas está

se obtiene sus

a0, como se en

una aceleracive con la misaquél y que ss la misma en

movimiento s

endo

ndo

m, están confricción en u

l reposo en lspués de que

OVIMIENTO

celeración con el momento e

denadas coinciel eje X, de taán relacionada

stituyendo las

ncontró en el

ión a. ¿Qué csma aceleracsea igual al pn ambos caso

on

nectados por uun plano vertas posicionese sueltan.

O

nstante Ø = -gen que suelta e

iden. En el tiel manera que

as por

expresiones

l problema 4.

cantidad de lión o? Existepeso del aireos.

la masa de

una cuerda ligical, como se

es que se mue

[CAPITULO

y una velocidel gusano (a e

empo t, O' halas coordenad

(2) en ( I ) :

7.

lastre debe se una fuerza que desplaz

l lastre desech

gera e inextene muestra en estran. Encué

O 4

dad ste

(1)

abrá das

(2)

er de

za;

ha-

n- la én-

CAPITULO

Emanermismfuerza

4.11. Un cuposic

dondfuerz

4.12. En la

F1 = 4

4.13. Poco de 22Respu

4.14. Para muna fumasa

O 4]

En el momentra que, como a magnitud aa horizontal d

uerpo con mión es

e α, β, γ son za que actúa

a figura 4-9 s4i N y F2 = 2

después de sa5 N ejercida puesta: 674.64

medir la masauerza neta hode la caja? Re

LEYES DE

o en que se sse observa, la dado que de

de A y la fuer

masa m se mu

constantes, (sobre él?

se muestra un2j N. Calcúle

Problealtar desde un por el aire. EnN, hacia abaj

a de una caja, orizontal de 1espuesta: 50 k

E NEWTON D

sueltan, A debas dos aceleraotra manera l

rza vertical de

ueve a lo lar

(a) Calcúlese

n bloque conese la aceler

emas comaeroplano, un

ncuéntrese la fo.

ésta es empuj50 N. Se obsekg

DEL MOVIM

be moverse hociones inicialela cuerda se ee B, en las po

rgo de X de t

e la acelera

n masa de 4 kación del blo

mplementn hombre de 9fuerza resultan

jada a lo largoerva que la ac

MIENTO

orizontalmentees son tangencencogería. Poosiciones que

tal manera q

ación del cu

kg sobre el coque.

tarios

91.8 kg sientente sobre el ho

o de una superceleración es

e y B verticalmciales. Más aúr tanto, la ecu se indican, s

que en el tiem

uerpo, (b) ¿C

cual actúan d

una fuerza haombre.

rficie lisa, ejede 3 m/s2. ¿C

37

mente de tal ún, tienen la uación de la son

mpo t su

Cuál es la

dos fuerzas,

acia arriba

rciéndose Cuál es la

38

4.15. Ufa

4.16. Uyf

4.17. Lec(

418.

dq

4.19. SecR

4.20. Tst(

4.21. ¿

N

Un baúl de 40fuerza que actal vector velo

Una fuerza rey a un cuerpofuerza si las d

La cabeza deen un leño; la contacto) es(b) la distanci

Un cuerpo c

v

donde a, b, c sque actúa sobr

Supóngase quen contacto socalcúlese: (a) Respuestas: (

Tres bloques se muestra entienen una ace(b) Calcúlese

¿Qué fuerza, acelere, y (b) N. Respuesta

LEYE

0 kg se desliztúa sobre el bcidad del baú

sultante de 20o con masa mdos masas mar

4 kg de un mduración del i de 0.0020 s. ia que la estac

con masa m se

v1 = 20 - 4(0.816

son constantere él? Respues

ue los bloqueobre una supela aceleración

(a) 0.75 m/s2;

idénticos, ca la figura 4-10eleración de 4la tensión en

además de F1tenga una ace

as: (a) -4i -2

S DE NEWT

a por el suelobaúl sea constúl. Respuesta:

0 N proporcio' una aceleracrchan juntas?

martillo se muimpacto (o el Encuéntrense

ca penetra en

mueve a lo la

67) = +16.7332 m

s, (a) Calcstas: (a) 3/4at

es A y B tieneerficie horizonn del sistema, ; (b) 4.5 N o -

da uno con m0. Supóngase 4 m/s2 bajo la cada una de

1 y F2, se debeleración de 42j N; (b) -

TON DEL MO

o y se frena detante, encuént 20 N, opuest

ona a un cuerpción de 24 m/Respuesta: 6

ueve a 6 m/s tiempo en el qe (a) el tieel leño. Resp

argo de Y de ta

m/s v2

cúlese la acelet -1/2; (b) 3/4m

n masas de 2ntal y lisa. S(b) la fuerza q

-1.5 N.

masa de 0.6 kgque yacen sob acción de unlas cuerdas. R

e aplicar al c4 m/s2 a lo larg16i -2j N

OVIMIENTO

e 5 m/s a 2 mtrense la magnta a la velocid

po con masa m/s2. ¿Qué acel m/s2.

cuando golpque se detienempo promediuestas: (a) 1

al manera que

= 20 - 4(9.1833

eración del cumat -1/2

kg y 6 kg, reSi los empuja que el bloque

g, están unidobre una super

na fuerza F. (aRespuestas:

cuerpo en la fgo de -X? Sup

O

m/s en 6 s. Supnitud y la dir

dad

m una aceleraleración prop

ea una estacae el martillo deio de la fuerza12 kN; (b) 6

en el tiempo

3) = -16.7332 m

uerpo, (b) ¿C

espectivamenuna fuerza hode 2 kg ejerc

os por cuerdarficie lisa y hoa) Encuéntrese(a) 7.2 N; (b

figura 4-9 parpóngase que F

[CAPITULO

poniendo que ección relativ

ción de 8 m/sorcionará est

a para clavarlespués de hacea de impacto, mm

t su posición e

m/s

uál es la fuerz

nte, y que estáorizontal de 6 e sobre el otro

s ligeras, comorizontal, y que el valor de Fb) 2.4 N, 4.8 N

ra que: (a) noF1 = 4 N y F2 =

O 4

la va

2, a

la er

es

za

án N,

o.

mo ue F. N

o se = 2

s

5

p

dc

cccta

5

dae

5

ceoa

Le

En este c

se estudia pa

5.1 CENTR

El centro posición rcm d

donde M = mconsiderar qu

El centro cuerpo se ha centro de gracoinciden en todos los proactúa sobre s

5.2 SISTEMEn un sist

donde ΣFext eacm es la aceespecificado

5.3 FUERZCuando d

componente Nen contacto. opone a la teaproximadas

donde µk y µs

eyes de

apítulo, la s

ara varios sist

RO DÉ MASA

de masa dedado por

m1 +m2 + . . .ue toda la made gravedadconcentrado.

avedad sin teun campo gr

oblemas. El psu centro de g

MAS DE PARtema de part

s únicamenteeleración del

qué partícul

ZAS DE FRICdos objetos eN normal a laA esta última

endencia de urelacionan f

s son los coef

Newtonm

egunda ley d

temas físicos

A

e un sistema

+ mn. Él ceasa está concd de un cuerp. Un cuerpo render a girarravitacional

peso de un cugravedad.

RTÍCULAS Qtículas que in

e la suma vectcentro de m

las "están inc

CCIÓN están en conas superficiea se le denomuna superficicon N:

ficientes de f

n del momás avan

de Newton d

s, cada uno c

de partícula

ntro de masacentrada, de apo es el puntorígido se puer. El centro duniforme y a

uerpo se pued

QUE INTERnteractúan,

torial de las fumasa. Al aplicluidas en el

ntacto, la fues en contacto

mina fuerza de a deslizars

fricción cinét

ovimiennzados

del movimien

con su propia

as con masas

a dé un cueracuerdo con o en el cual sde suspender

de gravedad ambos se puede considerar

RACTÚAN

fuerzas externicar (5.2) a usistema y cu

erza ejercidao y una compde fricción y e sobre la ot

tica y estática

C

nto: pro

nto de una p

a función de f

m1; m2,..., m

po es el pun(5.2).

se considera r en cualquiey el centro deden tratar cor como una f

nas, M es la mun sistema cuáles están ex

por uno sobponente f, par

está dirigidatra. Las sigui

a, respectivam

Capítu

oblemas

partícula,

fuerza F.

mn tiene un v

nto en el que

que el peso dr orientación

de masa de uomo idéntico

fuerza hacia a

masa total del omplejo debxcluidas.

bre el otro tralela a las sua de tal maneientes leyes e

mente.

ulo 5

s

vector de

se puede

de todo el n desde su un cuerpo os en casi abajo que

sistema y be quedar

tiene una uperficies era que se empíricas

40

Laentre estáticlímiteesto úun poc

Nosuperfsimilaun poctanto eque edeformfricció

5.4

Alley de

dondepartícudirigidcircula

5.1.

a fricción estsí. Cuando u

ca inicialmene que la fricciltimo ocurre,co más peque

o debería exisficies en conar se aplana uco. Una fuerzella como la existe cierto mación. Los cón por desliz

MOVIMIEN

l aplicarse a ue Newton se

e Σ F es la fueula, ω es la dda hacia adear, se denom

Localíces

LEYE

tática se preuna fuerza crnte se incremión estática n, la fuerza de feño que el vastir una friccintacto de un un poco cuandza de resistencsuperficie so movimientocoeficientes dzamiento.

NTO CIRCUL

una partícula qtransforma e

erza radial rede rotación deentro (radial)

mina fuerza ce

se el centro d

ES DE NEW

senta entre dreciente se a

menta para evno puede excfricción cinéalor máximo ón de rodamiobjeto que r

do descansa scia, fricción dobre la cual so relativo ede la fricción

LAR UNIFO

que se mueveen

esultante dirige la partícula ), que debe sentrípeta. Vé

Proble

de masa del si

WTON DEL M

dos superficiaplica a un ovitar el moviceder, y el obtica permanede la fricció

iento, dado qrueda sobre osobre una supde rodamientoe mueve se d

entre las sup de rodamien

RME

e en un círcul

gida hacia el y se mide en

ser aplicada péase la figura

emas resu

istema de tres

MOVIMIENT

ies que se enobjeto en repmiento. Finabjeto comenzece casi constn estática.

que no existe motro. En realiperficie, con lo, surge cuan

deben deformperficies de

nto son mucho

lo con una vel

centro del círn radianes porpara mantene5-1.

ueltos

s partículas (p

TO

ncuentran enoso, la fuerz

almente alcanzará a movertante en un va

movimiento ridad, una ruelo cual ella m

ndo la rueda gmar continuam

contacto mo más pequeñ

locidad const

rculo y v es lar segundo (raer un cuerpo

pe se muestra

[CAPITUL

n reposo relatza de la friccnza cierta fuerse. Una vez alor que suele

relativo entreeda o un cue

misma se defogira, debido a mente y debidmotivado porños que los d

tante, la segu

(

a velocidad dad/s). Esta fueo en movimie

a en la figura

O 5

tivo ción erza que

e ser

e las erpo rma que

do a r la

de la

unda

(5.4)

de la erza ento

5-2.

CAPITULO

5.2. Un blode unade 120velociel blobloque(a) E

(b) La

Po

5.3. Dos cuuna pola distdistan

(a) La

5]

oque de 10 ka cuerda. Lue0 N. (a) Encidad del cenque de 20 ke de 10 kg?scójase la dir

a diferenciaci

or tanto, desp

uerpos con molea fija y listancia a que ncias recorrid

as ecuacione

LEYES DE

kg y otro de ego se empujcuéntrese la ntro de masag tiene una v

rección +X co

ión de (5.1)

pués de 2 s,

masas de 10 ysa, figura 5-se mueven edas por los c

es de las fuer

NEWTON D

20 kg se couja el bloque

aceleración a después de velocidad de

omo este. Ent

con respecto

y 12 kg se co3(a). Encuénn 3 s. (c) Si d

cuerpos en lo

rzas sobre c

DEL MOVIM

locan sobre de 20 kg hacdel centro d2 s es de 8

e 6 m/s hacia

tonces

o al tiempo re

onectan por mntrense (a) ldespués de 3os siguientes

ada cuerpo s

MIENTO

una mesa liscia el este code masa de lm/s hacia ela el este. ¿C

esulta ser

medio de unaas velocidad

3 s se corta las 6 s. Véase

son

sa y se unenon una fuerzaos dos bloqul este. En es

Cuál es la ve

a cuerda quedes después da cuerda, calla figura 5-

41

n por medio a horizontal ues. (b) La e momento locidad del

(5.5)

pasa sobre de 3 s y (b) cúlense las 3(6).

42

5.4. Useqc

t

Las dos aciones deecuacione

Dado que

El cuerpo

(b) La distan

(c) Si se corty v20 = 2.Para el c

El cuerpo

antes de dde detene

. Luego, e

La distan

Un cuerpo cose ata una cextremo de laque se muevecuerpos 1, 2 y

Dado quetanto, Para cada cupositiva:

LEYE

aceleraciones e fuerzas la des sé obtiene

e la aceleraci

o 1 se mueve

ncia que reco

ta la cuerda, l67 m/s; en cauerpo 1, la di

o 2 recorre hac

detenerse y lueerse es

el cuerpo 2 rec

ncia total que

on masa m3 seuerda delga

a mesa. Los oen verticalmy 3, y las ten

e las longitude

erpo se escrib

ES DE NEWT

son de igual dirección del

ón es constanv = v0

hacia abajo y

orre cada cuer

os cuerpos cada caso se tomistancia en 6

cia arriba una

ego cae. El tiem

corre durante

recorre el cu

d = d'+

e mueve sobrda e inelást

otros extremoente. Véase siones de las

es de las cuerd

be la segunda

TON DEL M

magnitud permovimiento s

nte, la rapidez

0+at = 0 + (0.89y el cuerpo 2

rpo en 3 s e

aen librementema la direcciós es, entonce

distancia

mpo que el cu

5.73 s hacia

uerpo 2 es, ent

+d" = 0.4 + 159

e una mesa liica que pasa

os de las cuerla figura 5-4

s cuerdas.

das son fijas, x

a ley de Newt

MOVIMIENTO

ro tienen direcse toma como

z común desp9)(3) = 2.67 m/k

se mueve hac

es

e con velocidaón inicial del mes

erpo 2 tarda en

abajo una dis

tonces

9.2 = 159.6 m

isa y horizona sobre una rdas se atan a4. Encuéntren

x + y2 = const

on y arbitrari

O

cciones opueso positiva. Su

pués de 3 s esk cia arriba.

ades iniciales movimiento c

n desplazarse h

stancia de

ntal. A cada upolea lisa c

a cuerpos connse las acele

tante y y1 + y2

iamente se esc

[CAPÍTULO

tas. En las ecumando esas d

v10 = 2.67 m/somo positiva.

hacia arriba an

uno de sus ladcolocada enn masas m1 y meraciones de

2 = constante;

coge una dire

O 5

cua-dos

s .

ntes

dos un

m2, los

por

ección

CAPITUL

Ahor

figurtamb

5.5. En eluna mbles.

aB, a

encu

Calcu

E

Al suse ob

5.6. Un cverticcuerpunifo¿Cuá

EEl jal

LO 5]

ra se tienen ci A partir de lara 5-4 se debbién a3 debe se

l sistema de pmasa de 1 kg EncuéntreseDenótense yA

ac son. las acelSiguiendo la c

uentra en el ce

ulando la segu

Existe sólo un

Tustituir m = 1btiene

uerpo con mcal y se compo se encuenormemente mál es la velocEn el tiempo lón en la cade

LEYES D

nco ecuacione

a ecuación de le invertir; en

er invertida.

poleas que se cada una. De la tensión e

A, yB, yc, las peraciones en e

cuerda desde eentro de B, se

unda derivada

na cuerda y, p

T+mg-2T= ma kg y resolve

masa de 400 kienza a jalar

ntra en reposomás pequeño cidad del cue

t, sea y la alena es, entonc

DE NEV^TON

es de las cinco

las aceleracion tanto que si

e muestra en y E son poleen la cuerda osiciones de el tiempo t: el extremo queobtiene

a con respecto

aA + a

por tanto, una

aA T+er las cuatro e

kg se suspendhada arriba

o y el jalón da razón de 3

erpo cuando ltura (en metrces

T= (6

N DEL MOV

o incógnitas a1

nes se observi m2 > m1, a1

la figura 5-5eas fijas. Lasy la aceleraclos centros de

e se encuentra e

o al tiempo de

aB + 2ac = 0

tensión T. La

mg-2T=maB

cuaciones par

de, del extremverticalment

de la cadena "360 g (N) por

ha sido alzaros) del cuerp

6000-360y)g

VIMIENTO

1, a2, a3, T1, T

a que si m1 > se ¿debe inv

5 las poleas m cuerdas son

ción de las poe las poleas A

en el centro de

e, esta ecuació

as ecuaciones

B mg-2ra las cuatro i

mo inferior dte (véase la f"es de 6000 gr cada metroado a 10 m?po por encim

T2. Resolviend

m2, la direccivertir; en este

móviles A, B verticales e oleas.

A, B, C en el t

e A hasta el ex

ón, se obtiene

de fuerza son

2T= maC incógnitas aA,

de una cadenfigura 5 6). Ag (N). El jaló que se alza

ma de su posic

43

do,

ión de a2 en lae último caso

B, C tienen inextensi-

tiempo t; aA,

tremo que se

e

n

, aB, ac, T,

na ligera y Al inicio el ón se hace al cuerpo.

ción inicial.

a o

44

y

Esig

Se

0 Luinne

5.7. EnB

Pe

D

la segunda le

sta ecuación sgualdad 2ÿ =

ea V la veloc

La elecció≤ y ≤ 10, lauego, dado qu

ntervalo de integativa.

n la figura 5-. El coeficien

Si el bloquero el movimi

Dado que el va

LEYES

ey de Newton

T-40se puede transd(v2)/dy. Ento

idad a la altur

ón del signo a fuerza neta ue el cuerpo ptegración, la d

7 encuéntresnte de fricció

ue no cae, la fuiento horizont

alor máximo

S DE NEWT

n da

0g = 400ÿsformar en unonces

ra de 10 m. E

+ para V(5600 - 360

parte del repodirección del

se la aceleracón estática en

uerza de friccital del bloque

de f/N es µs,

ON DEL MO

o (5na para y = v

Entonces, inte

V (movimieny)g, es positi

oso, V será pomovimiento s

ción que requntre el bloqu

ión f se debe ee está dado po

se debe tener

OVIMIENTO

5600 - 360y)g = (la velocida

grando

nto hacia arriiva y, por tanositiva. Comose debe invert

uiere el carroe y el carro e

equilibrar conor N = ma. Po

r que a ≥ g/µ

O

= 400ÿ ad del cuerpo

iba) debe ser

nto, la acelerao la fuerza catir y la veloci

para evitar qes µs.

n el peso del br tanto,

s si el bloque

[CAPITULO

o) al utiliza

r comprobadaación tambiénmbia de signodad final deb

que caiga el b

loque: f = mg

e no cae.

5

arse la

a. Para n lo es. o en el bió ser

bloque

.

C

5

CAPITULO 5

5.8. Un plaSi de 9.2 m/µk = 0la mesque el

(o) E El

(b) Ena

5.9. Si al s

las fuE

Por ta

5]

ato de comidrepente se t/s2 [Fig. 5-8.75. Encuéntsa al plato, cmantel cubr

En la figura 5

l plato se desln el momentola misma dist

istema que seerzas sobre l

En la figura 5-9anto, las fuerz

LEYES DE N

da está sobreira del mant(a)]. El coefrense (a) la a

cuando el exte exactamen

5-8(b), la ecu

iza, dado que o en que el botancia del bor

e muestra en a esfera, sup9(b), ΣFver ==as que actúan

NEWTON D

e un mantel,tel en sentidficiente de faceleración; (tremo del ma

nte la cubierta

uación dé fue

x p es menor qrde del mante

rde de la mesa

la figura 5-9oniendo que

= R1 cos 30° -n son

DEL MOVIM

con su centdo vertical cfricción ciné(b) la velocidantel pasa baa de la mesa.

rza para el p

que 9.2 m/s2.el se encuentra:

9(a) se le prono hay friccw = maver= 0

MIENTO

tro a 0.3 m don una aceltica entre el

dad; (c) la disajo el centro .

lato es

a en el centro

porciona unaión. y Σ Fhor = R2

del borde deeración conl mantel y elstancia del exdel plato. Su

,

o del plato, am

a aceleración

R1 sen 30°

45

la mesa stante de l plato es xtremo de upóngase

mbos están

n, obténgase

= ma.

46

5.10. EplDce

n la figura 5-parte de este úa cual se des

Después de qcuando únicael bloque 3 ti

En la fig

Resolviendo segunda ecuax = 1/2at2, est

En el in+ (ℓ/16), do

LEYE

-10(a) el bloúltimo. Supóplaza y que e

que el sistemaamente la cuaienen masas

gura 5-10(b)

simultáneameación, a2 = (gto es,

stante en el quonde ℓ es la lo

ES DE NEWT

que 1 tiene uóngase que noel coeficientea es liberado,arta parte del iguales.

las ecuacione

ente la primer/4)µk. Luego,

ue la cuarta pongitud del bl

TON DEL M

un cuarto de lo existe fricce de fricción , encuéntrese bloque 1 per

es de movimi

ra y la tercera e los desplazam

arte del bloquloque 2. Por t

MOVIMIENT

la longitud deión entre el bcinética entre

e la distancia rmanece sobr

ento son

ecuaciones semientos de lo

ue 1 permanecanto,

TO

el bloque 2 ybloque 2 y la e los dos bloqque ha recor

re el bloque

obtiene a1 = (s bloques 1 y

ce sobre el blo

[CAPITULO

y pesa una cu

superficie soques es µk = rrido el bloqu2. El bloque

(g/2)(l µk); d2 están dados

oque 2, x2 + ℓ

O 5

uarta obre 0.2. ue 2 1 y

de la s por

= x1

CAPITULO

5.11. Dos 5-ll(ala m

dondsuelo

A

Enton

y, fin

5.12. El pl

Mué

dond

partiy

O 5]

cuerpos, cona). Si la masaesa. SupóngaEn la figura 5

de N y f son o sobre la mesA partir de es

nces,

nalmente,

lano inclinadoéstrese que el

de µs = tan θ

Si el bloque n

ir de éstas,

LEYES DE

n masas m1 y a de la mesa case que la me5-11 (b) las e

las componensa. stas dos ecuac

o que se muebloque se de

es el coefici

no se desliza d

E NEWTON

m2, se liberacon cubierta lesa no se muecuaciones de

ntes vertical y

ciones,

stra en la figueslizará sobre

a> g ente de fricc

debe tener la

N DEL MOVI

an desde la polisa es m3, enceve.

e las fuerzas pa

y horizontal (d

ura 5-12 tienee el plano si

tan (θ α) ción estática d

misma aceler

IMIENTO

osición que scuéntrese la r

ara los cuerpo

de fricción) de

e una acelerac

de las superf

ración que el p

se muestra enreacción del s

os son:

e la fuerza eje

ción hacia la

ficies en cont

plano. Por tan

47

n la figura suelo sobre

ercida por el

derecha a.

tacto.

nto A

48

Aa

Sli

5.13. Emdtolap

frlifudfi

P Cta o

5.14. UlavM(l

te

Ahora bien, elceleración a d

Si a > g tan(θ izamiento se t

En el arreglomasa de 0.9 kdel eje de rotornamesa, ea figura 5-13ara que los b

En este prricción entre Aigero: B tendeuerza de fricc

dialmente haciigura 5-13(c).

Las ecuac

Por sustracción

Con esto se veanto

o

Un tubo liso ya figura 5-14elocidad ℓω,

Muéstrese qul/ω)(ln 2) y

Dado queanto, la aceler

el sistema no i

Cuando l

LEYES

valor máximdebe satisfacer α), el bloqutraduce en α ≤

o de la tornakg, el bloquación. El coe

es µs = 0.1. 3(a). Encuénbloques comiroblema todoA y B. Dado qerá a moverse ción f entre la adentro sob.

iones de las fu

n,

e que ω puede

y horizontal d(a). Una parten tanto que

ue la partículque nunca l le el tubo es lración, es purainercial que gi

a partícula se

S DE NEWTO

mo de f/N en ar

ue se deslizará≤ 0, lo cual d

mesa que see B t iene uneficiente de fConsidérese

ntrese la rapiiencen a desl depende de que B es más radialmente hlas dos superfre B y del mi

uerzas cuando

e incrementars

de longitud /'tícula se colo el tubo gira

la recorrerá llegará a O eniso, no existe

amente en direira junto con e

e encuentra a

ON DEL MO

usencia de de

á. (Obsérveseefine propiam

e muestra enna masa de 1fricción estát que se om

dez angular lizarse. la conecta prmasivo que A

hacia afuera, eficies se oponsmo modo ha

o no hay despl

se hasta que f

gira alrededooca en el extralrededor dela mitad de ln un tiempo e una fuerza rección circularel tubo, con lo

una distancia

OVIMIENTO

eslizamiento e

e que ante a =mente al ángul

la figura 5-1.7 kg y ambtica entre los

miten la friccde rotación

redicción de A, se extrapolaempujando A rndrá a su movacia afuera sob

lazamiento son

f y f′ alcancen

or de un eje vremo del tubl eje con velola longitud dfinito. radial sobre r. Esto lo sugieque "nos desh

a r de O en el

[

es µs = tan θ

= 0, la condicilo θ.)

-13, el bloqubos se encues bloques y eión y la masade la tornam

la dirección da al caso en eradialmente havimiento relatbre A, como s

n, entonces

n sus valores m

vertical, comoo y se proyecocidad anguladel tubo dura

la partícula; ere observar ehacemos" de l

l sistema no i

[CAPITULO

θ. Por tanto, la

ión del no des

ue A tiene uentran a 13 centre éstos y a de la polea

mesa, necesar

de la fuerza del que A es muacia adentro. Ltivo; actuará rse muestra en

máximos. Por

o se muestra cta hacia O car constante ante un tiemp

la fuerza, y pl movimiento a fuerza circul

nercial [figur

5

a

s-

na cm

la en ria

de uy La ra-la

lo

en on ω . po

por en

lar.

ra

5

5

CAPITULO

5-14(b)señalad

Multipl el signo

Cuando Cuandofinito.

5.15. Muéstrel lastre

5.16. Tres blcuerdasdel plan

5]

)], la única fueda. La ecuació

licando por rú

o menos se to

o r = ℓ, t = 0,

o r = ℓ/2, t =

rese que la acee. Úsese este loques con ms sobre un plano sobre el blo

LEYES DE

erza sobre ellaón (4.1) se t

dt = dr e inte

oma debido a q

, de donde c'

= (ln 2)/ω. C

Probleeleración del checho para v

masas 2, 4, y 6ano inclinadooque que se e

NEWTON D

a es la inercia]transforma en

egrando,

que r decrece

= In ℓ y

Cuando r → 0,

mas comcentro de mag

verificar el val6 kg, ordenad

o sin fricción ncuentra más

DEL MOVIM

] ("fuerza cenn

. Finalmente,

, t ∞ , y la par

mplementaga en el problelor de m que dos de menorde 60°. Se apalto, provoca

MIENTO

ntrífuga") mrω

rtícula no lleg

arios

ema 4.9 no case encontró er a mayor se plica una fuerando un movim

ω2 que tiene la

gará a O en un

ambia cuando n el problemaconectan porrza de 120 N miento hacia a

49

a dirección

n tiempo

se desecha a 4.9. r medio de

a lo largo arriba de

50

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22..

los bloques. más arriba y de los bloque

Un esquiadorel coeficienteesquiador es a

La tensión decable, ¿cuál ekg que descacinética es 0.

Suponiendo qtrayectoria cia cabo este m

Un pequeño de fricción esgular máxima

Un pequeño m y se muevCalcúlese (a(b) 0.752 m/s

Considérese uforma de círca moverse cocualquier tiemescrita para donde Rθ esRespuesta:

LEYE

Las cuerdas sel de en medi

es? Respuestas

r desciende poe de fricción cia = g(sen θ µ

e rompimientoes la aceleracióansa sobre un15? Respues

que la Tierra ircular de rad

movimiento. Re

bloque se encstática entre ea de la tornam

objeto con mve con velocia) la tensións

una cuenta de culo con un r

on una rapidezmpo subsecuelas direccione

s la longitud

ES DE NEWT

son muy ligeraio y (b) el bloqs: (a) 60 N;

or una colina inética entre loµk cos θ) .

o de un cable ón horizontal m

na superficie asta: 1.03 m/s2

(m = 6 X 102

dio R = 1.5 Xespuesta: 3.6 X

cuentra a unal bloque y la s

mesa si el bloq

masa de 0.1 kdad uniforme

n en la cuerda y

masa m que sadio R. Si ini

z v0, y si µk esente t. Despréces radial y tan

del arco des

TON DEL M

as. ¿Cuál es laque más bajo y(b) 20 N;

que forma un os esquíes y la

de acero es 2 máxima que saproximadam2

24 kg) gira con108 km, calcúX 1022 N

a distancia r dsuperficie de lque no se desl

kg se suspen en una órbity (b) la vel

e mueve libreicialmente se el coeficiente

ciese la gravedngencial, se t

scrito en el t

MOVIMIENT

a tensión en ly el de en med (c) 1.513

ángulo 0 respa pendiente, mu

X 104 N. Si see 1e puede proente horizont

n rapidez unifúlese la fuerza

del centro de la tornamesa eiza? Respuest

de de una deta circular y hocidad del obj

emente sobre uda a la cuenta

e de fricción cdad. (Sugerenctransforma en

tiempo t.)

TO

a cuerda entredio? (c) ¿Cuálm/s2

pecto a la horiuéstrese que la

e jala horizonoporcionar a utal si el coefic

forme alrededa necesaria pa

una tornameses µs. ¿Cuál eta: (µsg/r)1/2

elgada cuerdahorizontal conjeto. Respuest

un delgado alaa un impulso cinética calcúlcia: la segund

n

[CAPITULO

e (a) el bloquel es la acelerac

izontal. Si µka aceleración d

talmente conun cuerpo de 8ciente de fricc

dor del sol en ara que se lle

sa. El coeficies la velocidad

a de longitud n radio de 0.1tas: (a) 1.132

ambre dobladotal que comie

lese su rapidezda ley de New

O 5

e de ción

es del

este 8000 ción

una eve

ente d an-

0.2 1 m. 2 N;

o en enza z en ton,

Cantid

6.1 CANTI

La cantid

Las unidademiento de u

La segununa partícula

El momemomentum

donde la seg

donde Σ Fext

6.2 IMPUL

El impuls

donde F es momentum igual al cam

El lado izqucantidad de

6.3 CONSE

La ley de

dad de m

IDAD DE MO

dad de movim

es de la cantiuna partículanda ley de Nea con respect

entum total Pde las partícu

gunda igualda

t es el vector

LSO

so de una fue

el valor promestablece qu

mbio en la ca

uierdo es el imovimiento

ERVACIÓN

e la conserva

movimie

OVIMIENTO

miento de un

idad de movia es igual a laewton se puedto al tiempo e

P de un sisteulas individu

ad se sigue de

suma de las

erza F en un

medio de F ue el impulsoantidad de m

impulso de la lineal. Las U

DE LA CAN

ación de la c

ento, im

O (MOMENT

na partícula c

p= m

imiento son ka dirección ede reformulares igual a la fu

ema de partícuales:

e,(5.5). Enton

fuerzas exter

intervalo de

durante el ino de la fuerz

movimiento d

a fuerza F y Unidades del

NTIDAD DE

antidad de m

sí Σ F

pulso y

TUM) LINEA

con masa m

mv

kg m/s.; Laen la cual ser así: el camb

fuerza resultan

culas es la su

nces (5.2) se t

rnas que actú

e tiempo ∆t =

ntervalo de tza resultante

de la partícul

el lado derel impulso son

MOVIMIEN

movimiento l

Fext = 0,entonc

C

movimi

AL

que se muev

a dirección d mueve dich

bio en la cantnte que actúa

uma vectoria

transforma en

úan sobre las

= t t0 es el

tiempo ∆t. Ee que actúa sa:

cho es el camn N s (1 N

NTO LINEAL

ineal estable

ces; p = vecto

Capítu

iento rel

ve con veloci

e la cantidadha partícula. tidad de movia sobre la par

al de los vec

n

partículas de

vector defini

El teorema desobre una pa

mbio que res s = 1 kg m

L

ece que:

or constante

ulo 6

lativo

idad v es

d de movi-

imiento de rtícula,

tores del

el sistema.

ido por

el impulso artícula es

sulta en la m/s).

52

Esto im

6.4 M

Si usistema

donde VSi S

partícu

6.1. Ucu

c o Tm

6.2. Suhre

vo

p

mplica que en

MOVIMIENT

una partícula a S',

Vs′ es la veloS es un sistemula tiene la m

Un carro lancon masa de una altura de

Dado que con la cual co

o

Todas las fuermovimiento ho

Supóngase quna vía de trhacia el otroregreso la loexiste fricció

Todas las vagón más la obtiene

para todo tiem

CANT

n cualquier pr

TO RELATIV

tiene velocid

ocidad del mama inercial y

misma acelera

zador de mis110 kg y ret

e 4 m (véase la gravedad f

omenzó a asc

rzas que intervorizontal: P

que un niño sren. Sea M l extremo co

ongitud (L) dón en las ruedfuerzas son idel niño y la

mpo.

TIDAD DE M

roceso que o

VO

dad v relativ

varco S' relatiy si Vs′ es coación relativa

Problemsiles, con matrocede haciala figura 6-1

fue la única fuender por el p

vienen en el linicial = Pfina

se encuentrala masa del nn una veloci

del vagón, pdas del vagóinternas (figu pelota, a par

MOVIMIENTO

curra en el in

a, el sistema

v = Vs′ + v' iva al sistemaonstante, S' ea a ambos m

mas resueasa de 4400a arriba de un1). Encuéntreuerza que se oplano inclinad

lanzamiento al. Escogiend

a de pie en eniño y el vaidad v0 dondega en el lad

ón, descríbasura 6-2). Por lrtir de la cons

O, IMPULSO

nterior del sis

(marco) S y

a S. es también uarcos (comp

eltos

kg, dispara n plano incliese la velociopuso al movdo se puede e

son internas.do la dirección

el extremo dgón. Él lanz

de rebota condo opuesto ye el movimilo tanto, si Vervación de l

O

stema, Pinicia

y la velocidad

un sistema inárese con el

horizontalmnado liso, el

idad inicial dvimiento del cencontrar a pa

Para la cadel cohete com

e un vagón qza una pelotantra la paredy queda en rento del vag

V y v son las a cantidad de

[CAPITULO

al = Pfinal.

d v' relativa a

nercial y unaejemplo 4.1)

mente un coheevándose ha

del cohete. carro, la rapidartir de

antidad de mo positiva,

que corre poa con masa m

d y recorre deposo. Si nón. velocidades d

e movimiento

O 6

al

a ).

ete sta

dez

or m

de no

del o se

CAPITULO

An dondevagón

con Su

versió

Fimún.

Pu

y luegarranqposicio no. masa

6.3. Supóngse muse muson ig

Lase con

O 6]

ntes de la prim

e se tiene deln, desplazándo

respecto al puponiendo queón de ambos v

inalmente, desPor eso V =

uede observar

go recorre unque. Éste resuión inicial en Más aún, debdebe perman

gase que dosuestra en la fueve hacia laguales, encué

as dos pelotas cnserva la canti

CANTIDA

mera colisión

l lado derechoose a una velo

piso del vagóne la primera cvectores de ve

spués de la se (m/M)V, o

rse que el vag

na distancia iultado (no exiel interior del

bido á que la ecer en repos

pelotas de mfigura 6-3. A izquierda a éntrese su ve

constituyen el idad de movim

D DE MOVI

n = vo, y po

o el tiempo,, ocidad

n. colisión sea peelocidad. Ento

egunda colisió

gón se mueve

igual hacia laiste un desplal vagón) se cucantidad de m

so (P=MVcm)

mastique se mmbas quedan15 m/s y la p

elocidad com

sistema. Al nomiento horizon

IMIENTO, IM

or tanto

necesario pa

erfectamente onces,

ón, la pelota y

e primero hac

a derecha, haazamiento netumple sin impmovimiento t

mueven a lo ln pegadas deelota B hacia

mún después d

o actuar fuerzantal: Pinicial =

MPULSO

ra que la pelo

elástica, su ef

y el vagón ten

cia la izquierd

sta quedar ento del vagón

portar si la primtotal del siste

largo de un pspués de la ca la derecha ade la colisión

as horizontales Pfinal.

ota alcance la

fecto será tan

ndrán una velo

da una distan

n reposo en esi la pelota remera colisiónma es cero, é

piso sin fricccolisión. Si la 25 m/s, y sin.

externas sobre

53

a pared del

sólo la in-

ocidad co-

cia

el punto de egresa a su

n es elástica él centro de

ción, como a pelota A i sus masas

e el sistema,

54

6.4. Sssu

q

6.5. S

nycv

curacce

Supóngase que muestra enu velocidad d

La conservaque mA = mB y

Si un cohete sno existirán fuy del combus

ohete y V esvelocidad v d

Primero coomo positiva

un pequeño intapidez V vambio en la caambio debe cas,

CANTI

ue las dos peln la figura 6-4después del i

ación vectoriay vA = vB, se ti

se mueve en fuerzas externstible sin utis la velocidaddel cohete en

onsidérese el la dirección dtervalo de tiem

v (en relaciónantidad de moancelar exactam

IDAD DE M

lotas de mast4(a) y que qumpacto. Tom

al de la cantidaiene que

el espacio innas que actúeil izar, m es ld del gas desn todo t iemp

sistema (nubdel cohete. El mmpo dt, una m con el sistem

ovimiento de lmente el camb

OVIMIENTO

tique del prouedan pegada

me vA=vB = 45

ad de movimie

terestelar, lejen sobre él. Sla masa del scargado en rpo.

e de gas + comomentum tomasa m dt de gma de referenla nube será, pbio en la cantid

O, IMPULSO

blema 6.3 chas después de5 m/s y θ = 4

ento, se advier

jos de cualquSi M es la magas descargarelación con

ohete) en un tal del sistema

gas se moverácia considera

por tanto m(v dad de movimi

O

hocan oblicuae la colisión.

45°.

rte en la figur

uier cuerpo qasa instantánado cada segel cohete, en

sistema inerca es constanteá en la direcciado), y se unir V)dt. Por coiento del cohe

[CAPITULO

amente, com. Encuéntrese

a 6-4( b ) . Da

que lo atraiganea del cohetgundo por elncuéntrese la

cia], escogien. Ahora bien, ón negativa crá a la nube. onservación, ésete, d(Mv); es

6

o e

do

a, e l a

do en on El ste sto

CAPITULO

la cuaMo la

6.6. Una csoporcomo que unde un

Lainstanyace sla canm(v d

y ésta la cuesuperf

o el p

6.7. Un mirompiqueñomiento

6]

al es una relacvelocidad y

cuerda uniforte, de tal mase muestra

na longitud ya longitud 3y parte descen

nte en el que tsobre la mesantidad de modt)v. Entonces

es la fuerza qerda y, de peficie de esta ú

eso de una lo

isil con masiéndose en do sale despedo y con una v

CANTIDAD

ción diferencila masa en t

rme, con maanera que suen la figura y de la cuerdy de la cuerdndente de la todos sus pun durante un in

ovimiento ims, la razón a l

que surge de eso (my)g, yaúltima es

ongitud 3y d

a M, que se os partes [Fi

dido a un ángvelocidad de

D DE MOVIM

ial entre la vet = 0, y supo

asa m por un extremo inf6-5(a). Si se

da ha caído, lda. cuerda está entos han bajantervalo dt qupartido a la la cual él mo

la detención ace sobre la

(2my)* + (e la cuerda.

mueve con vig. 6-6(a)] cogulo de 60° c400 m/s, enc

MIENTO, IM

elocidad y la mniendo que V

idad de longferior apenase la suelta, ma fuerza sob

en caída libreado una distanue sigue a dicmesa por es

omentum tran

de la caída desuperficie d

(my)g = (3my)g

velocidad v(on masas M/con respectocuéntrese la v

MPULSO

masa del coheV es constan

gitud, cuelgas toca la supmuéstrese qure la mesa es

e; tiene una rncia y. La lonho instante esta longitud a

nsfiere a la m

e la cuerda. Dde la mesa, la

g

v =: 200 m/s/4 y 3M/4. S a la direccióvelocidad ini

ete. Denotandte, se tiene

a verticalmenperficie de unue en el tiems equivalente

rapidez v = √ngitud de la cs v dt. El incral quedar en

mesa es

Dado que la loa fuerza tota

s), explota ei el pedazo món original dicial del otro

55

do con v0 y

nte de un na mesa,

mpo en el e al peso

√2gy en el cuerda que remento en

reposo es

ongitud de al sobre la

n el aire má& pe- del movi-

pedazo.

56

6.8.

En un pegravedad (unconserva la c

El diagraSe tiene que

Se puede

Una pelota m/s. Despuéla direccióndurante 0.02pelota.

CAN

equeño intervana fuerza extecantidad de mama vectoriale:

e también enc

de béisbol dés de que la pn que se mu25 s, encuént

NTIDAD DE M

alo de tiempoerna) se puede

movimiento. l para la cons

contrar v2 y θ

de 0.11 kg espelota es golpestra en la ftrese la magn

MOVIMIENT

o que incluya e despreciar. E

ervación del

al aplicar la

s lanzada hacpeada con el

figura 6-7(a)nitud de la fu

TO, IMPULS

el momento dEntonces, tod

momentum s

ley de los cos

cia un bateadbat, adquier

). Si la pelotuerza promed

SO

de la explosiódas las fuerzas

se muestra en

senos y la ley

dor con una e una velocidta y el bat esio ejercida p

[CAPITUL

ón, el efecto ds son internas

n la figura 6-6

y de los senos

velocidad dedad de 34 m/stán en contaor el bat sobr

LO 6

de la y se

6(b).

s.

e 17 /s en acto re la

CAPITULO

Elmues

6.9. Una cla figderralos p

Ldel flde ag Ahorrrespo

6.10 Un hsur atripulveloc

6.11. Llue

tanteque l

O 6]

l impulso es stra en la figu

cubeta llenagura 6-8. Un cama hacia unlatos están b

La balanza sopujo de agua. E

gua, que cae c

ra bien, una mondiente a una

helicóptero ina 17 m/s. Exlación del sucidad (a) rela

eve y las gote de 10 m/s, Ula lluvia form

CANTIDA

I = F ∆f. ura 6-7(b). A

a de agua se chorro constan lado de la bbalanceados,

porta el peso En un tiempo con una veloc

masa de 1 kg a masa aproxi

ntenta aterriziste una corr

ubmarino el hativa al agua

tas forman uUna mujer cma un ángulo

AD DE MOVI

La relación A partir de la

coloca sobrente de agua c

balanza; sé v¿cuánto más

de la cubeta l∆t la cantidad

cidad v = √2g

pesa 9.8 N, pimadamente d

zar sobre la criente de airehelicóptero d y (b) relativ

n ángulo a corre en conto β con la ve

IMIENTO, IM

entre la cantley de los co

e el plato decae desde unaierte a 0.5 kgs "pesará" la

llena y propord de movimie

gh, se hace cer

por lo que lade 0.7 kg más

cubierta de ue de 12 m/s

desciende verva al aire. Vé

con la verticara de la lluv

ertical. Encué

MPULSÓ

tidad de moviosenos:

e una balanza altura de 10 g/s. Si cuandcubeta al flu

rciona el impuento vertical dro,

a cubeta parede la que en r

un submarinohacia el oes

rticalmente aéase la figura

al, al caer coia con una véntrese la re

imiento y el

a, como se om en ella y el

do no hay fluuir el agua?

ulso para detende una masa (0

ecería tener urealidad posee

o que se dirigste. Si a los a 5 m/s, encua 6-9.

on una velocelocidad de lación entre

57

impulso se

observa en l líquido se

ujo de agua

ner la caída 0-5 kg/s) ∆t

un peso co-e.

ge hacia el ojos de la

uéntrese su

idad cons-8 m/s y ve α y β.

58

A partir d

CANT

del diagrama v

TIDAD DE M

vectorial, figu

MOVIMIENT

ura 6-10,

O, IMPULSOO [CAPITULOO 6

CAPITULO

6.12. Un elen el(4/9.8se ende vis

C

O

6.13. Un auuna bbala ecindietarda

Srelativdirecc Al eli

6.14. Un auque semovié

6.15. Un hohorizoEncuéRespu

6.16. Un nitante

O 6]

levador ascie techo del e8) s y luego

ncuentra en resta de un obsConsiderando p

O también, en

utomóvil blibala le pega eentra por unendo de cualen atravesarl

Sea V la velocva al automóvición del anch

iminar V se en

utomóvil de 12e mueve a 20 méndose junto

ombre de 60 kontal de velocéntrese la maguesta: 2 m/s s

iño con masa Vi sobre la su

CANTIDA

ende con unaelevador. Uncae durante eposo. Calcú

servador que positivo el sen

n el sistema in

indado de 2 en una direcca esquina y quier interaclo. cidad de la bail en la direccio del automó

ncuentra

Proble200 kg se dirim/s en una dirs. Encuéntr

kg se zambullcidad de 3 m/sgnitud y la direur

m está de pieuperficie de u

AD DE MOVI

a velocidad cn hombre en(4/9.8) s; en

úlese la velousa el elevad

ntido hacia arr

nercial del ele

m de longitución que formlo atraviesa

cción entre el

la. Debido al ón de la longitvil es V sen θ

emas comige hacia el esrección 60° noese su velo

le desde la pos y hacia el Nección de la v

e sobre un trinun lago conge

IMIENTO, IM

constante den el edificion t = (4/9.8) cidad del foc

dor. riba,

evador,

ud y 3 m dema un ángulodiagonalmen

l automóvil y

movimiento tud del automóθ. Luego, a pa

mplementste a 30 m/s yoreste. Los

ocidad común.

opa de una lanNorte. Inicialmvelocidad que

neo con masa lado. El niño

MPULSO

4 m/s. Un f ve que el fos le parece a

co en t = (4/

ancho se mo arctan (3/4)nte hasta la

y la bala, encu

del automóvióvil es V cos θartir de s = vt

tarios

y choca con unvehículos sRespuesta: 19

ncha de 90 kgmente el bote s

adquiere la la

∆t que se mucorre a lo lar

foco cae de sfoco se elevaal hombre qu/9.8) s desde

mueve a 13 m) con él (Figesquina opuuéntrese el ti

l, la velocida 13, y la velo

t,

na camioneta se enganchan y9.84 m/s a 40.

g, con una cose encuentra e

ancha.

ueve con velorgo del trineo

59

u soporte a durante ue el foco el punto

m/s cuando . 6-11). La esta. Pres-iempo que

d de la bala ocidad en la

de 3600 kg y continúan .9° noreste

mponente en reposo.

cidad consen la di-

60

r¿R

6.17. UBddR

6.18. Eanmp

6.19. U2R

6.20. Uyd

6.21. Uacq

6.22. U¿pR

6.23. UhmccsR

rección opues¿Cuál es la vRespuesta:

Un objeto, A, B, de 3 kg. origde 50° y su vede B después dRespuestas: (

El núcleo del ua. Ésta se emnúcleo de tomomento de laporción de 234

Un objeto en 20 m/s y otro Respuesta: 46

Una pelota de y luego se elevde la pelota al

Una niña, de pal tren, cuandocuando atrape que está de pie

Una granizada¿En qué direccparezca que elRespuesta: 34

Un bloque de hacia la izquimentáneamentcomprimido. Fcon el resorte sorte sobre el Respuestas:

CANT

sta a Vi y adquvelocidad fin

de 1 kg y con ginalmente enlocidad despu

de la colisión y(a) 29.4°;

uranio-238 es ite con una vorio-234, supa desintegració4 a 4. Respues

reposo explohacia el sure

6 m/s a 27° h

acero de 1 kgva a una altural suelo durant

pie sobre un to éste pasa pola pelota de n

e? Respuestas

a cae a un ángción y con quél granizo cae .6 m/s "contra

3 kg se deslierda a 50 m/ste llega al repFinalmente, sedurante 0.02 bloque? (b) ¿(a) 270 N · s

IDAD DE M

uiere una velonal del trineo

velocidad de n reposo. En laués del choquey la dirección o(b) 1.04 m/s

inestable y sevelocidad de poniendo queón? Las masassta: 2.393 X 10

ta en tres pedste a 30 m/s. acia el noroe

g se deja caera máxima de 2te la colisión.

tren que va a or un cruce, (anuevo? (b) ¿Cs: (a) 81.63 m

gulo de 60° cé rapidez debede manera toa" la granizad

iza sobre una s. Al hacer esoso. De nueve mueve hacias. (a) ¿Cuál

¿Cuál fue la fuhacia la dere

MOVIMIENTO

ocidad relativrelativa al hi

4 m/s hacia laa colisión, A se es 2 m/s. Enoriginal de A, s

e desintegra en1.4 X 106 m/

e el átomo des del torio-23404 m/s

dazos de mas¿Cuál es la v

este

r desde una al2.5 m. Encuént Respuesta:

40 m/s, lanzaa) ¿A qué distuál es la traye

m; (b) una pará

con respecto ae desplazarse talmente vert

da

superficie hosto último cho es aceleradoa la derecha aes fueron la m

fuerza promedecha; (b) 13,

O, IMPULSO

va al trineo aielo?

a derecha, chose desvía de suncuéntrense (a

y (b) la rapide

n un núcleo ds. ¿Cuál es la

e uranio-238 s4 y la partícul

as iguales. Uvelocidad del

ltura de 4 m; trese la cantid 15.9 kg m/s h

a una pelota htancia del cruectoria de la pábola

a la vertical yun observado

tical?

orizontal sin hoca con un ro hacia la dera 40 m/s. El bmagnitud y la dio del resorte5 kN hacia la

O

l saltar por su

oca contra un u dirección oria) el ángulo enez de B despué

e torio-234 y a velocidad dse encuentra la a se encuen

no se mueve tercer pedazo

al caer chocadad de movimihacia abajo

hacia arriba a ce se encontra

pelota vista po

y con una rapor que está par

fricción y se esorte, lo coecha por la fuloque permandirección del

e sobre el bloa derecha

[CAPÍTULO

u parte trasera

segundo objeiginal un ánguntre la velocidés de la colisió

en una partícude retroceso den reposo en

ntran en una pr

hacia el este o?

a contra el sueiento transferi

10 m/s relatiará la muchacor un observad

pidez de 40 mrado para que

mueve primeomprime y muerza del resonece en contac impulso del rque?

O 6

a.

to. ulo dad ón.

ula del

el ro-

a

elo ida

iva cha dor

m/s. le

ero mo-

rte cto re-

7

g

d

d

u

7

7.1 RAPIDEUna partí

gura 7-1) tien

donde f es la f

donde θ0 repr

El periodunidad SI de

7.2 MOVIM

El movim

Mo

EZ (VELOCIícula que se mne periodo

frecuencia; s

resenta la pos

do se mide ene ω es el radi

MIENTO AN

miento angul

ovimien

IDAD) ANGUmueve con v

sus coordenad

sición angula

n segundos (sián por segun

NGULAR C

lar se describ

nto curv

ULAR CONSvelocidad ang

das son

ar inicial; "su

s) y la frecuendo (rad/s).

CON VELO

be por

vilíneo e

STANTE

gular constan

u aceleración

encia en revo

CIDAD VAR

C

en un pla

nte ω en un c

es a = ω2r,

oluciones por

RIABLE

Capítu

ano

círculo de rad

, con compon

r segundo (re

ulo 7

dio r (fi-

nentes

ev/s). La

62

En un medio angula

Aceler

Lasción d

donde

Relaci

Par donde supone

7.3 M

En partícu

donde de rotaCon la

donde compode curv

movimiento de estas canti

ar en rad/s2.

ración angula

s fórmulas qude un cuerpo

θ0 y ω0 son l

iones entre la

ra una partícu

as es la acee que el valo

MOVIMIEN

un movimienula que recor

ρ es el radioación de la pa segunda ley

la fuerza reonente tangenvatura.

MOVIM

paralelo al pidades angula

ar constante

ue relacionan que gira en

la posición an

as cantidade

ula que se m

leración liner inicial de la

NTO A LO LA

nto general (Frre una traye

o de curvaturpartícula en ty de Newton

sultante que ncial Fs. Obsé

MIENTO CUR

plano XY, la ares. El despl

n el desplazan el caso de α

ngular inicial

s lineales y a

mueve a una d

eal tangente a longitud s d

ARGO DE U

Fig. 7-2), desectoria curva

ra de la trayetorno de un e

actúa sobre érvese que un

RVILÍNEO E

rotación de azamiento an

amiento anguα = constant

l y la rapidez

angulares en

distancia con

a la trayectodel arco es c

UNA CURVA

scrito en térma, la partícula

ctoria y ω = eje que pasa

la partícula na Fn positiva

EN UN PLAN

todo un cuerngular se mide

ular, la velocte son:

z angular inic

n el movimie

nstante r de u

oria circular.ero [véase la

A PLANA EN

minos de la dia tiene

v/ρ se definepor un centr

tiene una coa produce una

NO

rpo rígido see en radianes

cidad angula

cial.

nto circular

un eje fijo de

En la primea Fig. 7-l(a)]

N GENERAL

istancia s = s

e como la velro instantáne

omponente na aceleración

[CAPITULO

caracteriza py la acelerac

ar y la aceler

e rotación,

era ecuación.

L

(t) de una pa

locidad angueo de curvatu

normal Fn y un hacia el cen

O 7

por ión

a-

n se

ar-

ular ura.

una ntro

CAPITULO

7.1. La mde resegun(a)

7.2. Un a

tantetud yde laen el(a) E(b) L

Lp

O 7]

manecilla del evolución de ndero relativSi T es el pe

automóvil se e de 60 m/s [Fy dirección) ca aceleraciónl arco de 60°En la figura 7La aceleración

La aceleraciónpromedio con

se tiene que:

MOVIMIEN

Psegundero dla manecilla

va al reloj?

eriodo en segu

mueve alredFig. 7-3(a)]. cuando el aut

n instantánea °. 7-3(b), ∆v = 6n instantánea

n promedio conn respecto a la

NTO CURVIL

Problemasde un reloj tiea? (b) ¿Cuál

undos,

dedor de una (a) Calcúlestomóvil recodel automóv

60 m/s y ∆v fotiene magnitu

n respecto al tia longitud de

LÍNEO EN U

s resueltoene 2 cm de les la velocid

curva de radse el cambio orre un arco dvil con la ma

orma un ánguud

iempo (el cualarco) es a = ∆

UN PLANO

os

longitud, (a) dad de la pun

dio 300 m y de velocidad

de 60°. (b) Cagnitud de la

ulo de 120° co

l, a rapidez con∆v/∆t. Dado

¿Cuál es la nta de la man

a una velocidd resultante (

Compárese la aceleración

on vA.

nstante, es la mo que

63

frecuencia necilla del

dad cons- (en magni- magnitud promedio

misma que el

64

7.3. LeEs (

La aceleracióes el ángulo eEncuéntrense uperior del a

(b) A partir d

MOVIMI

n angular deentre el eje de

(a) la aceleasta en térmi

de dω/dt = α,

IENTO CUR

l asta que cael asta y la veeración tanginos de k, θ y

RVILÍNEO E

ae en la figurertical, y k es

gencial y (b)y ℓ (la longitu

EN UN PLAN

a 7-4 está das una constan la aceleracud del asta).

NO [

ada por α = knte. El asta pión centrípet

[CAPITULO

k sen θ, dondearte del repota del extrem

7

e θ so. mo

CAPITULO

7.4. Encuémovim

(a) Cmté

P y

Pfl

enaccocael

a diri

7.5. Una cCon bextremlociday (c) s

Ús A

q

7] M

éntrense (a) lmiento curvil

onsidérese emuestra en la férminos de los

Luego la v

ero

por tanto

Puede observarleo.

La compo

n la direcciónceleración cenomponente anambio en la vel ángulo. A es

Obsérvese

Es importala trayectoria

iferentes de laiamente las m

cuenta se desbase en la figmo de la barrad angular cosu trayectoriasense los resu

Al eliminar t se

que es una esp

MOVIMIENT

a velocidad ylíneo en un p

l .movimientfigura 7-5. Ens vectores unit

velocidad est

rse que la velo

onente radial dn del incrementrípeta debid

ngular de la acelocidad anguste término see que la comp

ante darse cuea. De aquí quas de la secciismas).

sliza sobre ugura 7-6, v0 ra a la cuenta

onstante ω0. Ea. ultados del p

e obtiene la ec

piral.

TO CURVILÍ

y (b) la acelelano.

to de una parn un punto de tarios i, j por

tá dada por

ocidad tiene u

de la aceleraciento de R de

da al cambio eeleración conlar, y 2 R· ω, une le denominaponente angul

enta de que, eue las componión 7.3 (por s

na barra larg= r, donde ra. Al mismo

Encuéntrense

roblema 7.4

cuación de la

ÍNEO EN UN

eración en co

rtícula a lo lla curva, los v

una componen

ión consta de ebido al camben la direcciónsta de dos par

na aceleración a aceleración lar se puede e

en general, r^ nentes de la asupuesto, las

ga con rapider es la distan

tiempo, la b (a) la veloci

(R = α = 0).

trayectoria:

N PLANO

ordenadas po

argo de una vectores unita

nte radial R· y

dos partes: Rbio de la rapn del vector vertes: Rα, la acedebida al camde coriolis.

escribir como

y θ^ no son naceleración daaceleraciones

ez constantencia del eje qbarra gira alridad de la cue

olares de un o

curva R = Rarios r^ , θ^ está

una compone

R , la aceleracipidez radial, yelocidad. Iguaeleración linea

mbio conjunto

o un solo térm

ormales ni tanadas anteriormresultantes s

v0 relativa aque se encueededor del ejenta; (b) su ac

65

objeto con

R(t) que se án dados en

nte angular

ón lineal y Rω2, la almente, la al debida al del radio y

mino

ngenciales mente sean on necesa-

a la barra. entra en el je con ve-celeración

66

7.6

7.7.

A un guardaque una embde la patrullpone en marapidez, percomienza unvelocidad endespués de r

En la figura

Con la primet = 1 h. Susti

La trayectoriamomento t =misma distaembarcación

Un paraguasgirar en tornparaguas es m, encuéntr

La veloci

MOVIM

acostas que sebarcación ilegla. También archa inmediro no la diren movimientn dirección orecibido el m

7-7,

era ecuación, ituyendo r en

a espiral del g τ, durante la p

ancia de P, p. Dado que θ

s abierto y mno al mango a

un círculo drese el lugar idad angular d

MIENTO CU

e encuentra egal se halla enla tripulació

iatamente a cción que si

to espiral alrpuesta a P =

mensaje, para

r = 12.5t, dola segunda ec

guardacostas dprimera revolpor lo que e≤ 2π para t =

mojado está soa una razón u

de 1 m de diáen el que las

del paraguas es

URVILÍNEO

en una zona dn una posicióón de la emb12,5 km/h.

igue la embarededor de P12.5 km/h. ¿a capturar a

onde se ha uticuación e inte

debe cruzar la tución. En ese

el guardacostτ,

ostenido comuniforme de 2ámetro, y la as gotas de ags

EN UN PLA

de niebla en eón P, 12.5 kmbarcación ilegEl capitán d

arcación persP a 48.5 km¿Cuál es el tiela embarcaci

ilizado la congrando.

trayectoria rad momento, amtas necesaria

mo se muestra21 revolucioaltura de éstegua caen al s

ANO

el mar se le nom hacia el oest

gal escucha del guardacoseguida. Esp

m/h, con una empo máximión ilegal?

ndición inicial:

dial de la embmbos barcos seamente habrá

a en la figura ones en 44 s. e por encima uelo.

[CAPÍTULO

otifica por rate de la posicel mensaje ysta conoce eera 1 h y lucomponente

mo que requer

r = 12.5 km

arcación en ale encontrarán á capturado a

7-8(a) y se hSi la sombradel suelo es

O 7

adio ción y se esta

uego e de rirá,

m en

lgún a la

a la

hace a del 1.5

CAPITULO

Entonces v0 =

Par

El alcalas got

7.8. Una ruaceleraceler (a) La

7.9. Un tor

velocison (adurant

(a) Lp

7] M

ces la velocid= rω =. (0.5) (

ra calcular el

ance horizontatas es un círc

ueda que da vación constaación angula

a aceleración

rno de hilar dad angular ) la magnitudte 20 s y (c)

La dirección deor lo que

MOVIMIENT

dad tangencial(3) = 1.5 m/s

tiempo en el q

al de la gota eulo de radio

vueltas con rnte. Complet

ar? (b) ¿Qué

angular se pu

tiene una vees 50 rad/s hd y la direccila velocidad

e la aceleració

TO CURVIL

l de las gotas .

que una gota

s, entonces x =

rapidez anguta 60 revoluctiempo tarda

uede encontrar

elocidad anguacia el oesteión de la ace angular a lo

ón angular es

ÍNEO EN UN

de agua que a

llega al suelo

= vot = (1.5) (

ular de 30 revciones más a

a en detenerse

r a partir de

ular de 50 ra. Si la acelerleración angu

os 30 s?

hacia el oeste

N PLANO

abandonan la

o se utiliza h =

(0.55) = 0.83 m

v/s y comienzantes de detee?

ad/s hacia elación angulaular, (b) el d

, como se mue

sombrilla del

=1/2gt2:

m; y el lugar d

za a detenersnerse, (a) ¿C

este; 20 s dar es constantesplazamient

estra en la fig

67

paraguas

donde caen

se con una Cuál es su

después su te, ¿cuáles to angular

ura 7-9(a),

68

7.10. E

y ambos es

(b) El despla

Este resu (ωi + ωvertir el

(c) En la fig

Una vde rotaci

En la figura 7su cuerda y, angular y en

1 2

MOVIM

vectores de la

azamiento ang

ultado tambiéωf), es ceroeje de rotació

gura 7-9(b), la

vez que α y ω ón.

7-10, conforentonces, asc

ntre la veloci

MIENTO CU

a derecha tien

gular, a partir

én se sigue a po. El efecto den.

a velocidad a

ω = ω0

son paralelas

rme desciendciende. Encudad lineal y

URVILÍNEO

nen dirección o

de

partir del heche la aceleració

angular despu

0 + αt = 50 + 5(3, cambia la ve

de el bloque, éntrense las rla angular.

EN UN PLA

oeste. La magn

ho de que la vón angular dur

és de 30 s es

0 - 20) = 100 radelocidad angul

el rotor rígirelaciones en

ANO

nitud de la ace

velocidad angrante el interva

d/s lar, mas no la

do se enredantre las aceler

[CAPITULO

eleración angu

gular promedialo de 20 s es

dirección del

a hacia arribaraciones linea

O 7

ular

io, in-

l eje

a en al y

CAPITULO

Si θ e

por lode la d e

7.11. La fi

cruzaincreω y l

Seobten

7.12. Una extrecuént

(a) A

O 7] M

es el ángulo q

o que la longcuerda que se

igura 7-11 mar la superficementa a una la aceleración

e toman la prner ω = ψ· y α =

barra se apoemo derecho trense (a) la v

A partir de la g

MOVIMIENT

que gira el rot

itud de la cuedesenreda del

muestra un rie del agua, drazón constan angular a d

imera y segun= ψ ; recuérde

oya ¿obre unse desliza ha

velocidad ang

geometría del

TO CURVIL

tor a partir de

erda que se en cilindro grand

rayo de luz de acuerdo coante de 10 raddel rayo refr

nda derivadasese que θ = 0.

cuerpo cilínacia ese lado gular ω y (b)

l problema, x

LÍNEO EN U

e su posición

nreda en el pde es Rθ. Tom

que pasa deon la ley de Sd/s, y n = 1.3

ractado si θ =

s con respecto.

ndrico, comosobre el sue

la aceleración

x = R/sen θ. T

UN PLANO

n inicial,

equeño cilindmando la prime

l aire al aguSnell (sen θ=3. Encuéntren= 30o

o al tiempo de

o se advierte elo, con una rn angular α en

También, ω =

dro es Rθ y lara y segunda d

ua. El rayo s n sen ψ). El nse la velocid

e sen θ = n se

en la figurarapidez constn términos de

θ· . Por lo ta

69

a longitud deriv a d a s

se dobla al ángulo θ se dad angular

en ψ para

a 7-12, y su tante v. En-e v, x y R.

anto

70

7.13. U

c

7.14. Ucc7a

7.15. U

bt

b

Una partículcúbica, y2 = asobre la partí

El radio

En este movimla partícula m7-2). Entonce Una partículcurva. La fucurva es de 37-13. En diaceleración ta

Un insecto sbicicleta, de tante V. Encse encuentrbicicleta.

Escójaseciones en estedebido a que del problema

MOVIM

a con masa max3, con veloícula. local de curva

miento de la pmomentáneames,

la cuya masauerza resultan30 N a 60° cocho punto, angencial de

se arrastra coradio a, en t

cuéntrense laa de pie a u

e un sistema de sistema de clos dos sistem

a 7.4, con ω =

MIENTO CUR

m se mueve socidad consta

atura de la cur

partícula, la cumente se mue

a es de 2 kg rnte que actú

on respecto a encuéntrensla partícula.

on velocidadtanto que la bas aceleracionun lado del

de coordenadcoordenadas smas tienen un= V/a, R = v,

RVILÍNEO E

sin fricción aante v. Encuén

rva es

urva ejerce uneva en un arc

recorre con uúa sobre la p

la tangente de (a) el rad

d constante vbicicleta bajanes del inseccamino, a l

as que se muson las mismana velocidad rse encuentra

EN UN PLA

a lo largo de untrese la fuer

na fuerza normco de un círcu

una velocidaartícula en ude la curva, cdio de curva

v a lo largo da por un camcto, al ser obo largo y pe

ueva con el ceas que existenrelativa consta que

NO

una curva parza de reacció

mal o centrípeulo de radio ρ

ad de 44 m/s un determinacomo se mueatura de la

del rayo de lino con una

bservado por erpendicula

entro de la run en el sistemante. Aplican

[CAPITULO

arabólica semón de la curv

eta haciendo qρ (véase la F

una trayectoado punto destra en la figcurva y (b)

la rueda de uvelocidad coun hombre qr al rayo de

ueda; las acelema fijo al cam

do los resulta

O 7

mi- a

que Fig.

oria e la

gura ) la

una ons-que e la

era-ino,

ados

CAPITULO

7.16. Encude radconsta

7.17. El árbduraninterv

7.18. Una rmienthasta

7.19. La órbConsicomo

7.20. Un auEl camdel auautom

7.21. Una pfuerzaExprér, K, y

7.22. Debidse m

la tierde la

7.23. Refiértotal Respu

O 7] M

uéntrese el tiedio r si (a) la rante y el cuer

bol de una mánte un intervavalo? (b) ¿Cuá

rueda gira conto angular de antes de que

bita de la tieidérese a la tisu velocidad

uto se mueve mino tiene unutomóvil par

móvil. Respues

partícula con ma resultante quésese el tiempy m. Respues

do a la rotaciómueve sobre larra. Encuéntrestierra, P. Resp

rase al problemde la cuenta.

uesta:

MOVIMIENT

Problempo que requ

rapidez es conrpo parte del r

áquina, que glo de 10 s. (a

ál será la veloc

n una acelera140 rad en uncomenzara el

rra alrededor erra como unorbital alrede

a lo largo de peralte de una la cual no sta: v = √rg ta

masa m, iniciaue actúa sobreo que requierta: (12πrm/K

ón de la tierra circunferencise la aceleracipuesta: (4π2R

ma 5.22. Calcú

TO CURVIL

emas comuiere un cuerpstante en v0; (reposo. Respu

gira a 40 rev/sa) ¿Cuál serácidad angular

ación angular tiempo de 5 s intervalo de

del sol es apa partícula y

edor de él. R

e la curva de n ángulo 6 con

existe una fan θ

almente en repe la partícula re la partícula/K)1/3

en torno de suia de un círcuón centrípeta

R cos λ)/P2

úlese como un

LÍNEO EN U

mplementpo para viajar(b) la componeuestas:

s, proporcioná el desplazamr final? Respue

constante des. Si la rueda p5 s? Respuest

proximadamencalcúlese tanespuestas: 2 x

un camino qn respecto a lafuerza de fric

poso, recorre tiene una com

a para retornar

u eje, un objetulo de radio R del objeto en t

na función del

UN PLANO

arios

r alrededor deente tangencia

a una aceleramiento angulaestas: (a) 256

e 8 rad/s2 y llpartió del repota: 1 s

nte circular, to su rapidez x 10-7 rad/s; 3

que tiene un aa horizontal. Ección que eje

una trayectormponente tangr a su punto d

to ubicado sobcos λ, donde términos de λ

tiempo la ma

una trayectoral As de la ace

ación angular ar del árbol d63.3 rad; (b) 2

eva a cabo unoso, ¿cuánto t

de radio 1.5angular en to0 km/s

arco circular Encuéntrese laerza el camin

ria circular de gencial dada pde partida en t

bre ella a una~ 6400 km esy del periodo

gnitud de la a

71

ria circular eleración es

de 1 rad/s2

durante este 61.3 rad/s

n desplaza-tiempo giró

5 X 108 km orno del sol

de radio r. a velocidad no sobre el

radio r. La por Fs = Kt. términos de

a latitud λ el radio de de rotación

celeración

d

8.1 TRABAJ

El trabajouna trayecto

donde Fs= Fds = dx i + d

La unidad

8.2 ENERG

Energía ecuerpo en viviaja a rapid

La unidad

8.3 PRINCIEl princip

trabajo WAB la energía ci

TrabJO

o realizado pria específic

F cos θ es la dy j + dz k, ta

d de trabajo

GÍA

es la propiedrtud de su m

dez v tiene u

d de energía

IPIO DE EQpio de equivrealizado po

inética de la

bajo, ene

or una fuerzaa es

componenteambién se pu

d W = es el joule (

dad que permmovimiento se

na energía c

es la misma

QUIVALENCvalencia entreor la fuerza repartícula:

ergía ci

a F sobre una

e de F en la uede escribir

F ds = Fx dxJ), donde 1 J

mite a un obje denomina einética dada

que la del tr

CIA ENTRE Le el trabajo yesultante que

nética y

a partícula qu

dirección de

x + Fy dy + F2

J = 1 kg m2

jeto realizarenergía cinéta por

abajo, el jou

LA ENERGÍy la energía e actúa sobre

C

y potenc

ue se desplaza

l movimient

dz 2/s2 = 1 N m

r trabajo. Ltica. Una par

le.

ÍA Y EL TRAde una partí

e la partícula

Capítu

cia

a de A a B a lo

o (Fig. 8-1).

m.

a energía qurtícula con m

ABAJO

ícula establea es igual al c

ulo 8

o largo de

Dado que

ue tiene un masa m que

ece que el cambio de

74

EJEMconstan

8.4 P

Pot

donde por F y

Lasmina w

8.1.

8.2.

PLO 8.1. nte) a lo largo

POTENCIA

tencia es la r

F y v son lay v. Si la pos unidades dewatt y se abr

Una caja es horizontal. Ltrabajo se rea

Únicametanto,

Una pistola pistola tiene (b) ¿Qué fuede igual mag(a) La energ

(b) El trabaj

donde F tanto, dado que

(c) No, ya qu

TRABAJ

En el caso deo de una recta

razón de tiem

fuerza y veltencia no va

e potencia sonevia W. Por

arrastrada soLa tensión en aliza?

ente realiza tra

dispara una13 cm de lo

erza promediognitud a la fugía cinética de

o realizado so

es la fuerza p

e la bala estab

ue existen fuer

JO, ENERGÍ

e una partículaa, AB,

mpo en que s

locidad instaaría con el tien joules por slo tanto,

1 w = 1

Problemobre el suelola cuerda es

abajo la comp

a bala de 3 gongitud, (a) ¿o actúa sobreuerza de los ge la bala al sa

obre la bala e

promedio (co

a en reposo in

rzas de fricción

ÍA CINÉTICA

a que se mueve

e realiza un

antáneas, respempo, P = W

segundo. A es

J/s = 1 kg m

mas resuo por una cuede 100 N mi

ponente horizo

gramos con u¿Qué cantidade la bala miengases que se

alir del cañón

s igual al cam

n respecto a l

nicialmente.

n sobre la bala

A Y POTENC

e con acelerac

trabajo:

pectivamenteW/t. sta combinac

m2/s3

eltos

erda que formientras se arra

ontal de la ten

una rapidez d de energía ntras se muevexpanden soes

mbio de su ene

a distancia x)

a mientras se m

CIA

ción constante

e, y θ es el án

ión de unidad

ma un ángulastra a la caja

nsión, Tx = 10

de 400 m/s. se le propor

ve dentro delobre la bala?

ergía cinética,

ejercida so

mueve en el int

[CAPITULO

e (bajo una fue

ngulo forma

des se le deno

o de 60° cona 15 m. ¿Cuá

0 cos 60°. Po

El cañón derciona á la bal cañón? (c) ¿

?

,

bre la bala.

terior del cañó

O 8

erza

do

o-

n la ánto

or lo

e la ala? ¿Es

Por

ón.

CAPITULO

8.3 Un rifcinétirifle rhacia (a) L

(b) Pso

L

lo

8.4. Una bde patamañsegunindep

Enuye e

8] T

fle de 4 kg dca adquierenecorre hacia adelante. Véa energía cin

or conservacobre el sistem

a energía ciné

o cual expresa

bala que tiensar a través

ño, pero que da bala despendiente de

El tablón realizen forma igua

RABAJO, EN

ispara una bn (a) la bala y

atrás mientraéase la figuraética de la ba

ción de la canma (la bala y

ética del rifle

a que el centr

e una rapidedel tablón suva a 92 m/s

pués de traspla velocidad

za la misma cal sus energía

NERGÍA CIN

ala de 6 gram (b) el rifle? (

as la balar se a 8-2. ala es

ntidad de moel rifle),

es, entonces

o de masa de

ez de 153 m/u velocidad e, se dispara

pasar el tablód de la bala.

cantidad de tras cinéticas.

NÉTICA Y P

mos con una(c) Encuéntreencuentra en

ovimiento, da

l sistema perm

/s choca contes de 130 mcontra el tab

ón? Supóngas

rabajo sobre l

POTENCIA

rapidez de 5ese la razón en el cañón y l

ado que no a

manece en rep

tra un tablónm/s. Otra balablón. ¿Cuál sse que la res

las dos balas

500 m/s. ¿Quentre la distanla distancia q

actúan fuerza

poso. Resolvi

n de madera.a, de la mismserá la rapidesistencia del

y, por lo tant

75

ué energía ncia que el

que recorre

as externas

iendo

. Después

ma masa y ez de esta tablón es

o, dismi-

76

8.5. Se deja caeestaca de masuelo, suponimpacto; (b)que se pierd

(a) La rapidmovimi

donde vLa f

(M + mequivale

(b) Ahor

dado qla esta

TRABA

er un pesadoasa m, y penniendo que es el tiempo en

de en el impa

dez del marroento se conse

' es la rapidezfuerza resultam)g, donde f eencia entre el

ra, ΣF = ∆ρ/∆tque se conservaca junto con

AJO, ENERG

marro de metra en el su

s constante y n que la estacacto. Véase l

o en el momeerva en el inst

Mz del marro juante (hacia ares la fuerza dtrabajo y la e

t, donde ∆t esva la cantidadel marro. Ent

ÍA CINÉTIC

masa M desdelo una distaque la estacaa se encuentrla figura 8-3

ento de golpetante de la col

Mv = (M+m)v'unto con la esrriba) sobre

de resistencia energía, resu

s el intervalo dd de movimientonces

CA Y POTEN

e una alturaancia d. Encua y el marro pra en movimi.

ear la estaca lisión; por lo

' staca justo desla estaca jundel suelo. En

ulta

de tiempo entrnto) del impac

NCIA

a y sobre el euéntrese (a) lpermanecen jiento y (c) la

es v = √3gyque

spués del impnto con el mantonces, según

re justo despucto y el cese de

[CAPITULO

extremo de ua resistencia untos durantenergía cinét

. La cantidad

pacto. arro es Σ F =n el principio

ués (o justo anel movimiento

O 8

una del

te el tica

d de

= f o de

ntes, o de

CCAPITULO

(c) Exél

Po

o

8.6. Dos cupasa srepentpierde

El úsistemaactúa u

(a) Pa

La

ella

(b) La

8] TR

actamente ant

or lo que la c

la fracción p

uerpos, con msobre una poe al cuerpo qu

e el cuerpo q

único efecto da se puede anauna sola fuerza

ara t < 4 s, mA

a rapidez poc

Se supone qu sistema y un c

a cantidad de

a pérdida de e

RABAJO, EN

tes del impact

cantidad perd

perdida fue m

masas m y 2mlea lisa (Figue asciende. E

que desciend

de la polea esalizar conveniea wA wB [Fig

A = 2mB = 2m

co antes de t =

ue la adición dcuerpo con mamovimiento l

energía cinéti

NERGÍA CIN

to, la energía

dida por el m

m/(M + m).

m, se unen por. 8-4.) DespuEncuéntrensee cuando se

s cambiar la dentemente comg. 8-4(c)].

m, y la ecuació

= 4 s es, ento

de la masa en tasa m que se ela nueva rapid

ica de A es

NÉTICA Y PO

cinética del si

marro fue

r medio de unués de 4 s un

e (a) la velociañade el cue

dirección de lamo un solo cue

ón de movimi

onces

t = 4 s es equivncuentra en redez está dada

OTENCIA

istema era 1/2M

na cuerda inen cuerpo condad y (b) qué

erpo con mas

a tensión de lerpo con masa

ento es

valente a una eposo. Entonca por

Mv2, y justo d

extensible y ln masa m es é tanta energíasa m.

a cuerda, pormA + mB y sob

colisión ineláes, por conser

77

después de

igera que unido de

a cinética

r lo cual el bre el cual

stica entre rvación de

78

8.7.

8.8.

8.9 U

En la figuratícula con mde: (a) A a B(a) En la tray

Entonces

(b)

(c) (d) La comp

(cos ф).

Encuéntrese cuando act

Un cuerpo coa elevar un inextensibleel cuerpo deenergía ciné8-6.)

Este probla masa del s

(a) La rapidmovimieque la cupor cons

TRABA

a 8-5 evalúesmasa m, confo

B; (b) B a Ayectoria AB, ms, WAB = mgy

ponente de la

el trabajo reúa sobre un

on masa m, decuerpo con que pasa sob

e masa M parética cuando

lema es básicsistema se inc

dez del cuerpento, que es la uerda se tensaservación de la

AJO, ENERGÍ

se el trabajorme la partíc; (c) A a B a

mg se encuentgy.

fuerza en la

alizado por una partícula

espués de caemasa M (M bre una poleara retornar a el cuerpo de

amente el miscrementa, por

po B, poco ancantidad de m

a, la rapidez da cantidad de

ÍA CINÉTIC

realizado pcula se muevea C, (d) A a C

ra en la direcc

dirección del

una fuerza daa que se mu

er desde el rep> m), unido

a fija y lisa. Esu posición

e masa M es

smo que el 8.6lo que la can

tes que la cuemovimiento dedel sistema (lamovimiento,

CA Y POTEN

or el peso me (debido a laC directamención opuesta a

movimiento

ada en unidadeve de x =

poso a través o a él por mEncuéntrenseoriginal; (b)puesto en m

6: sólo se ejentidad de mov

erda se tense,el sistema, es ma rapidez com

NCIA

mg que actúaa aplicación dnte; (e) A a Ba la dirección

es -mg cos ф

des del SI porl m a x=3m

de una distanedio de una e (a) el tiemp la fracción d

movimiento. (

ercen fuerzas vimiento se co

, es v = √2gy mv. Inmediatammún de los dos

[CAPITULO

a sobre una pde otras fuerzB a C a A.

del movimien

ф y AC = ∆s =

r Fx = 5 x 4m.

ncia y, comiecuerda liger

po que requerde cambio en(Véase la fig

internas cuanonserva.

y su cantidadmente despuéss cuerpos) es

O 8

par-zas)

nto.

= y/

,

nza ra e rirá n la gura

ndo

d de s de s v';

CAPITULO

M

dm

s

(b)

8.10. Un ca(véasfuerzN; lasiempestá

E A

P

fuerala setraye

E

O 8] T

Más aún, la a

donde la direcmiento.

Aplicandosistema retorn

La fracción

amino liso ense la figura 8zas F1, F2, y fuerza F2 siepre actúa tanen m. Si la p

l trabajo reali

A partir de la

uede observara la trayectoriección 9.1). Pectorias que uEl trabajo reali

TRABAJO, E

celeración de

cción positiva

o la fórmula dna a su posició

de cambio en

n forma de u8-7). Una parF3. La fuerza

empre actúa hngencialmentpartícula tien

izado por F, e

figura 8-7, d

rse que W1 = (2a de integraci

Para una fuerunan dos puizado por F3 e

ENERGÍA CI

l sistema está

a es la .que se

e la aceleración original cua

n la energía c

un cuarto de tícula que pea F1 siempre

horizontalmente al camino

ne velocidad

es:

ds = (6 m) d(

20 N) (6√2~ mión. La razón rza como éstauntos dados.es:

INÉTICA Y P

á dada por

e utilizó ante

ón constante sando

inética es

círculo de resa 4 N se mu

es hacia P2 ynte y siempre

y tiene una 4 m/s en P1,

(-2θ) = -12dθ

m), justo comode esto es qua, el trabajo

POTENCIA

riormente par

s = vot + 1/2at

radio 6 m yaueve de P1 a y siempre tietiene 30 N demagnitud de ¿cuál será su

θ , y F1 = 20.

si la cuerda Pe F1 es una fues el mismo

ra la cantidad

t2, se descubre

ace en el planP2 bajo la ac

ene una magne magnitud; l (15 10 s) Nu velocidad

Por lo cual

P1P2, y, no el aruerza conserva

a lo largo d

79

d de movi-

e que el

no vertical ción de las nitud de 20 a fuerza F3

N cuando s en P2?

rco circular, ativa (véase de todas las

80

t

y

E

8.11. Uq

dl

ee

8.12. E¿m

Para calcutrayectoria en

y

El trabajo

Entonces, segú

Una máquinaque el agua pde longitud dla cual se im

Durante uenergía cinétientonces

El martillo de¿Qué potencimartillo mien

TRABAJO

ular el trabajo la dirección

total realizado

ún el principi

a bombea conpasa por la e

del agua expumparte energí

un pequeño ica de esta agu

e cuatro tonea suministra ntras éste se

O, ENERGÍA

realizado porde la fuerza, e

o es

W1+io de equivale

ntinuamenteembocadura ulsada conforía cinética al

intervalo de tua es 1/2(kv ∆t

ladas métricala máquina alevanta

A CINÉTICA

r F2 y por w, en lugar de ha

W3+W2+W =encia entre el

e agua a travéde la mangu

rme abandonl agua.

tiempo, ∆t, lat)v2. La razón

as (4000 kg) al martillo? S

A Y POTENC

es convenienacerlo a la inv

23J trabajo y la en

és de una mauera es v, y sa la embocad

a masa de agn a la cual se im

de un martinSupóngase qu

CIA [

nte tomar la pversa. Por tan

nergía.

anguera. Si lsi k es la madura, encuént

gua expulsadamparte la ene

nete es elevadue no existe a

[CAPÍTULO

royección de to,

a rapidez cosa por unidatrese la razón

a es k(v ∆t). Lrgía cinética e

do 1 m en 2 saceleración de

8

la

n ad n a

La es,

s. el

CAPITULO

8.13. Una es de

8.14. A 8

2 h?

8.15. Una rizonfuerz

8.16. La fuel tra

Resp

8.17. Un v(a) ¿Qde 1 canza

8.18. La enp = m

(F =

8.19. Un blel trabloqu(a) 0

SM. Una a un un de

SJ1. ¿Quétante

8J2. En eExplpone

mien

O 8] T

lancha es ree 6 kN. ¿Cu

centavos po(1 hp = 746

niña ejerce untal de una meza? Respuesta:

uerza que actúabajo realizado

puesta:

vagón de ferroQué trabajo rekN y la direcca esta energía

nergía cinéticmv. Utilizando

fuerza, t = ti

loque se deslizabajo realizadue; (b) la fuer0; (b) -f∆s

fuerza horizoángulo de 60°esplazamiento

é potencia debe de 1 m/s? R

el problema 8.íquese esto. Re

ente centrípeta

ntras que F! co

TRABAJO, E

molcada a unál es la pote

or kilowatt-h W.)

Probluna fuerza hoesa una distan: 36 J

úa sobre una po por esta fuer

carril se aceleealiza la fuerzción del movi

a cinética. Resp

ca de una parto el cálculo di

empo.)

za sobre un plado por (a) la rza de la fricci

ntal constante con respecto o de 3 m de la

be suministrarRespuesta: 68

.10, ¿la partícuespuesta: No;

a necesaria. Po

os 45° w =

ENERGÍA CI

na velocidadencia sumini

hora, ¿cuál e

lemas comrizontal de 20ncia de 1.80 m

partícula susperza al moverse

era desde el rea ejercida sobimiento, encuépuesta: (a) 0.

tícula está dadiferencial mué

ano áspero a locomponente nión cinética f

e de 900 N ema la horizontala caja a lo larg

r un motor pa6 W

ula sólo se mudeben operar

or ejemplo, en

10.14 N.

INÉTICA Y

d de 20 m/s ystrada por e

es el costo de

mplement0 N al empujm. ¿Cuánto tr

endida está dae la partícula

eposo hasta qubre el vagón? (éntrese la dist.5 MJ; (b) 50

da por K = 1/2éstrese que:

o largo de una normal N de que ejerce el

mpuja una cajal. ¿Cuál es el tgo del plano i

ara elevar a un

ueve bajo la afuerzas radialeP1 la fuerza c

POTENCIA

y la tensión el cable de re

e operar un

tarios

ar un caja a trabajo se reali

ada por Fy = de y1 a y2.

ue tiene una en(b) Si la fuerzancia que reco00 m.

2mv2, y la cant

trayectoria dela fuerza queplano sobre e

a conforme subtrabajo realizainclinado? Re

n hombre de 7

acción de las ces adicionales

centrípeta nece

en el cable deemolque al b

motor de 5

través de la ciza sobre la c

ky + mg. En

nergía cinéticaza tiene un valorre el vagón

tidad de movi

e longitud As. e ejerce el plael bloque. Resp

be por un plando por esta fuespuesta: 1.35

70 kg a una ra

cuatro fuerzas para proporcio

esaria es

81

e remolque bote?

hp durante

cubierta ho-aja con esta

ncuéntrese

a de 0.5 MJ. lor constante mientras al-

imiento por

Encuéntrese ano sobre el puestas:

no inclinado erza durante

5 kj

apidez cons-

que se dan? onar la com-

En

9.1 FUER

Una fuermedio de

se le denompequeño des

El trabajU:

Este trabajotrayectoria cfuerza de fr

9.2. ENER

Un cuerpenergía denconservativa

EJEMPLO 9Hooke cuandvativa es un gravitaciona

9.3. CONS

La ley delesquiera A

no realicen Cuando

partícula se

nergía p

RZAS CONSE

rza F que se

ina fuerza cosplazamiento

o realizado p

o es independcerrada, este tricción cinét

RGÍA POTEN

po que está sunominada enea.

9.1. La ley de do se comprim

campo gravial de una partí

SERVACIÓN

e la conservaA y B de la tr

trabajo algununa fuerza dmueve de A

potencia

ERVATIVAS

puede obten

nservativa. Ao arbitrario de

or una fuerza

diente de la trabajo es ceroica) depende

NCIAL

ujeto a una fuergía potenci

Hooke, Fx = me una distanitacional unifoícula con mas

N DE LA ENE

ación de la eayectoria de

KA+UA = KB

na sobre la pde fricción ca B, se tiene

al y cons

ner a partir de

Aquí, Fs es la el punto de o

a conservativa

trayectoria qo. El trabajo re de la trayec

uerza conservial, se mide

kx, es consecia x tiene unorme g dirigisa m a una a

ERGÍA

energía en ele la partícula

B+UB

artícula las fcinética ejecu

KA+UA = KB

servaci

e una función

componente observación.

a es el negativ

que una a lorealizado por ctoria que se

vativa tiene enpor medio d

ervativa. Entonna energía potido verticalmealtura y es

l caso de unaa,

o ∆K

fuerzas no couta un trabaj

B+UB + |WF|

C

ón de la

n U dependie

de la fuerza eEn forma vec

vo del cambio

s puntos A yuna fuerza no

e elija entre l

nergía en virte la función

nces, un resortetencial U = 1/2ente hacia abaU = mgy.

a partícula es

K + ∆U = 0

onservativas.o de magnit

Capítu

a energ

ente de la po

en la direccióctorial,

o de la funció

y B; en el cao conservativlos dos punto

tud de su posU asociada

e que obedece/2kx2. Otra fueajo; la energí

s: para dos pu

tud |Wf | con

ulo 9

ía

osición por

(9.1)

ón de ds un

(9.2) ón asociada

(9.3)

aso de una va (como la os.

ición. Esta a la fuerza

e a la ley de erza conser-ía potencial

untos cua-

(9.4)

nforme una

84

y se direalizaentonce

9.1. Umte

9.2. UAp

ice que la enn sobre una es

Una caja quem de altura. trabajo se reenergía cinét(a) El trabajo

(b) El cambi

(c) Debido atrabajo torealizado Pero com

Una piedra qA partir de cpiedra y el su

ENERG

nergía se disipartícula de

KA+UA = K

e pesa 200 N La fuerza pr

ealiza? (b) ¿Ctica? (c) ¿Cuo realizado po

io de la energ

a que la caja potal realizado o por la fricció

mo W = fs

que pesa 20 consideracionuelo conform

GÍA POTENC

ipa por friccA a B fuerz

KB+UB- W'

Problem se iza sobreromedio (parCuál es el cauál es la fueror la fuerza d

gía potencial

parte del repospor las fuerzaón sobre la ca

(la fuerza de

N cae desdenes sobre la

me la piedra p

CIAL Y CON

ión. De manzas que no h

o

mas resue un plano incralela al planambio de la erza de friccióde izamiento e

es

so y termina sas no conservaaja. Entonce

fricción f se o

e una altura energía, encpenetra. Véa

NSERVACIÓN

nera más genan sido toma

∆K + ∆U

eltos

clinado que tno) es de 120energía potenón que actúa es

su movimientativas es Wi →fes

opone al movi

de 16 m y pcuéntrese la fase la figura

N

neral, si el tradas en cuen

U=W'

tiene 10 m de0 N. (a) ¿Quncial de la csobre la caj

to en el reposof + W, donde

imiento de la

penetra 0.6 mfuerza prome9-1.

[CAPITULO

abajo total qnta en U es W

(9.

e longitud y é cantidad daja? ¿Y en sa?

o, ∆K = 0. e W es el traba

caja), entonc

m en el sueloedio f entre l

O 9

que W',

.5)

3 e

su

El ajo

es

o. la

CAPITULO 9] ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN 85

Entre A y C, se efectúa sobre la roca un trabajo no conservativo W' = -fh'. 9.3. Una carga W se suspende de un carro por medio de un cable de longitud d [véase Fig.

9-2(a)]. El carro y la carga se desplazan a una velocidad constante v0. Un tope detiene al carro y la carga sujeta al cable comienza a oscilar, como se muestra en la figura 9-2(fo). (a) ¿Cuál es el ángulo a través del cual oscila la carga? (b) Si el ángulo es de 60° y d = 5 m, ¿cuál será la velocidad inicial del carro?

(a) El cable no realiza un trabajo sobre la carga, por lo que se conserva la energía de la carga.

9.4. Una fuerza F = x2y2i + x2y2j (N) actúa sobre una partícula que se desplaza en el plano XY. (a) Determínese si F es conservativa y (b) encuéntrese el trabajo realizado por F conforme mueve la partícula de A a C (Fig. 9-3) a lo largo de cada una de las trayectorias ABC, ADC y AC.

(a) Si F es conservativa, entonces

86

9.5.

De aquí El trabajo r

A l Entonces

A l

Entonces

A l

Una partícucircular liso relaciona θ1

Como En P2 desaparadial del pesegunda ley

ENER

que la fuerzaealizado por

o largo de AB

s

o largo de AD

s

o largo de AC

ula se muevede radio R (

y θ2. la fuerza nor

arece la fuerzaso de la partícde Newton,

RGÍA POTEN

dada sea no c F está dado

B, y = 0 y po

D, x = 0 y po

C, x = y y dx

a partir del(Fig. 9-4). En

rmal no realiz

a normal que cula, mg sen θ

NCIAL Y CON

conservativa. o por

or tanto WAB

or tanto WAD

= dy. Enton

l reposo desdn P2 abandon

a trabajo algun

ejerce la supeθ2, como la fue

NSERVACIÓ

(b)

= 0. A lo lar

= 0. A lo lar

ces,

de P1 sobre na el cilindro.

no sobre la pa

erficie, quedanerza centrípet

ÓN

rgo de BC, d

rgo de DC, dy

la superficie Encuéntrese

artícula, su ene

ndo únicamenta instantánea

[CAPITULO

dx = 0 y

y = 0 y

e de un cilin la ecuación

ergía se conse

nte la compon. Entonces, po

O 9

ndro que

rva.

nente or la

CAPÍTULO

9.6. Un cay rueque erapide(a) C

3

Ala

(b) A

9.7. Un aulo largtrabajresult(a) L

exso

dru(nE

(b) SS

9]

arro de jugueda sin fricció

el automóvil ez del carro e

Cuando h tien3. Entonces, e

Además, la enea posición 3:

Aplicando la c

utomóvil, qugo de un camjo realizado ptado obtenid

Las fuerzas exxterna neta esobre las llanta

onde acm es lauedas que estáno patinan), l

Entonces, Wext

i no se realizaSe podría habl

ENERGÍA P

ete parte del ón a lo largopuede come

en la posicióne el valor crít

en 3,

ergía potencia

conservación

e parte del remino horizontpor las fuerzo en (a) con

xternas que acs f1 + f2 (laas). Esta fuer

a aceleración dán instantánealas fuerzas f1 = 0.

a trabajo exterlar de un "tra

POTENCIAL

reposo desdeo del rizo 12enzar su movn 4?

tico, el carro

al del carro en

de la energía

eposo, alcanztal, (a) No co

zas externas qla conservac

ctúan sobre ela suma de las za acelera al

del centro de amente en cont

y f2 que actú

rno sobre el siabajo interno"

AK

L Y CONSER

e la posición 324. (a) Enc

vimiento sin

deberá perde

la posición 1

a entre las pos

za una energonsiderando que aceleranción de la en automóvil sefuerzas de friautomóvil, es

masa del autotacto con el caúan sobre esta

istema, ¿de dó" W', de tal m

K=K0=W

RVACIÓN

1 que se mucuéntrese la aque caiga de

r contacto con

es la misma q

siciones I y 4

ía cinética Kla resistenci

n al automóvinergía?

e indican en laicción estáticasto es,

omóvil. Dado amino se hallaas partes no r

ónde proviene manera que W'

uestra en la faltura h más el carril, (b)

n el carril en

que su energía

4,

K al acelerar sa del aire, enil, (b) ¿Es co

a figura 9-6. La ejercidas po

que las porcioan en reposo rerealizan traba

su energía cin

87

figura 9-5(a)pequeña en¿Cuál es la

n la posición

cinética en

sin patinar a ncuéntrese el ompatible el

La fuerza or el camino

ones de las elativo a él ajo alguno.

nética K?

88

9.8. Uc

r

9.9. C

n 9.10. ¿

d

9.11. Cvpey

Más aún,contenida

Una pieza decociente de l

El sistemreposo, por lo

Calcúlense lanales: (a) U

¿Qué cantidade 2 m a otra

El trabajo

A diferenéste no esgravitacio

Considérese,vertical por dpor un ánguloen el instante y tiene un de

ENERG

, se podría idea en la gasolin

e artillería delas energías

ma constituidoo que debido

as fuerzas F(y=-ωy, (b) U

ad de trabajo a de 20 m: (a

o es negativo

ncia del trabajstá sujeto a unonal:

en la figuradebajo de un po β0 y luego sque se muest

esplazamiento

GÍA POTENC

entificar W cona) y escribir

e masa m1, dcinéticas de

por la pieza da la conserva

(y) asociadas U = ay3- by2

realizan al ma) ¿el campo

o debido a que

o gravitacionana aceleración

a 9-7, un pénpequeño clavse libera a partra en la figuro angular θ c

CIAL Y CON

on el decremela conservació

ispara un prola pieza de

de artillería yación de la ca

con las sigu(c) U = U0 s

mover un cue gravitaciona

e la fuerza se

al, el trabajo en (∆K = 0), en

ndulo de longo C. Supóngartir del reposoa, cuando se rcon respecto

NSERVACIÓ

ento de una "eón de la energ

oyectil, conartillería y d

y el proyectil santidad de mo

ientes energísen βy .

erpo con masal de la tierra

opone al mo

externo depenntonces W' = 1

gitud ℓ suspease que la leno. Encuéntresrecorre una tra la vertical.

ÓN

energía interngía como

n masa m2. del proyectil.

se encuentra iovimiento

ías potenciale

sa de 1 kg dea? (b) ¿un ag

vimiento.

de de la rapid176.4 J, el neg

endido a una teja inicialmese la velocidaayectoria circ.

[CAPITULO

na" ф (la energ

Encuéntrese.

inicialmente e

es unidimens

sde una alturgente externo

ez del cuerpogativo del trab

distancia ℓente se desplaad v de la lentcular de radio

O 9

gía

e el

en

sio-

ra o?

. Si bajo

ℓ1

aza teja o ℓ1

CAPITULO

todo puntoLa endel rde la

9.12. Se dbloqen elmesa

poco

la fue

9.13. Consmasade la

9.14. Una

cuanelástuna m

9.15. En elautomResp

O 9]

La tensión qusu movimien

o más bajo de nergía potencreposo y su ena energía es

dispara horizque de 7 kg ql bloque (B).a es de 0.4, ePor conservac

o después de la

erza de fricció

sidérese una coa ml y otra parta energía cinét

pelota con mado la cuerda eica (se consmesa lisa. Enc

l problema 9.móvil ejerza puesta: h = r/

ENERGÍA

ue la cuerda ejnto. El peso dla trayectoriaial de la lentejnergía potenc

zontalmente que se encue Si el coefic

encuéntrese lción de la cana interacción e

ón realiza un tr

Problolisión elástictícula inicialmtica de la prim

asa m, se amaestá horizontaerva la energícuéntrese la r

6, ¿cuál debercontra la part2

POTENCIAL

jerce sobre la de esta últimaa como punto dja en el instanial inicial es

una bala de entra sobre lciente de fricla distancia qntidad de moves p = mbvob; p

rabajo Wf = f

lemas coma (se conserv

mente en reposmera partícula

arra a una cueal. Cuando la ía) con un bloapidez de la p

ría ser la alturte más alta de

L Y CONSER

lenteja no reaa es la única de referencia pnte que se muemgℓ (1 cos

20 g con una cubierta d

cción cinéticaque el bloquevimiento el mor lo que la en

fs = µk(mB +

mplementva la energía) so con masa m?

erda de longitucuerda está v

oque de masa pelota y la del

ra del comienel carril una f

RVACIÓN

aliza trabajo afuerza que repara la energíestra es mgℓ(1β0), la expres

na velocidade una mesa; a entre el bloe se deslizará

momentum del nergía cinética

mb)gs para de

tarios

unidimensionm2. ¿Cuál es la

ud L (véase lavertical, la pel

m2, que se enl bloque justo

nzo del movimfuerza igual a

alguno sobre lealiza trabajoa potencial gr

1 cos θ). Dadsión para la c

d de 600 m/sla bala (b)

oque y la cubá. sistema bloq

a del sistema e

etener el bloqu

nal entre una pfracción del d

a figura 9-8) yota realiza un

ncuentra en reo después de l

miento si se de su peso?

89

la lenteja en . Tómese el

ravitacional. do que parte onservación

s contra un se incrusta bierta de la

que-mas-bala s

ue. Por tanto,

artícula con decremento

y se suelta na colisión poso sobre a colisión.

esea que el

90

9.16. U

m

9.17. U

9.18.

9.19. U

9.20. Uh

R

9.21.

Un pequeño bcírculo de radencuentra inicque ambos blomovimiento ecuando aband

Un bloque se(Fig. 9-10). ¿la esfera? Res

Obténgase la inaplicable la

Un péndulo cgirar sobre unlibera, como scuentra a un án

Un bloque cohorizontal. Enque comienzaRespuesta: v =

Un resorte qmente contra el resorte se sel centro de mRespuestas:

ENERG

bloque con mdio R cortada

cialmente en reoques se encuen la cima de dona al bloque

e desliza a pa¿A qué distancspuesta: x = R

respuesta dea diferencia en

consiste en unn punto fijo yse muestra en ngulo θ? Respu

on masa m sencuéntrese la a su movimien= [2gh(1 µ cot

que obedece ael suelo hasta

suelta, ¿qué cmasa del resor

(a) cero; (b)

GÍA POTENC

masa m se desa sobre un greposo sobre unentran inicialmla trayectoria

e grande. Resp

artir del reposcia por debajoR/3

l problema 9ntre un cilindr

na barra rígidy otro extremola figura 9-11

uesta: v - [2gℓ(

e desliza hacirapidez del b

nto a partir deθ)]1/2

a la ley de Hoa alcanzar unacantidad de trarte por encim h = kL2/8Mg

CIAL Y CON

sliza hacia aban bloque co

na mesa, y ambmente inmóvila. Si m = M, puesta: v = √g

so desde la co de la cima d

.17 a partir dro y una esfer

da ligera de loo que porta u1. ¿Cuál es la (cos θ - cos θ0)

ia abajo sobrloque después

el reposo y qu

ooke, con maa longitud L/2,abajo realiza e

ma de su posicig

NSERVACIÓ

bajo sobre unn masa M (F

bos objetos se mes y que el blencuéntrese lgR

ima de una ede la esfera e

el resultado dra en este caso

ongitud ℓ, queuna masa m. E

rapidez de la )]1/2

re un plano qs de que desci

ue el coeficien

sa M y const, donde L es sel suelo sobreión original?

ÓN

a trayectoria ig. 9-9). El bmueven sin frioque con masla rapidez del

esfera sin fricl bloque perd

del problema o?

e tiene un extEn un ángulo masa m cuand

que forma un iende una altunte de fricción

ante k, se comu longitud nat

e él? (b) ¿A qu

[CAPITULO

de un cuartobloque grandeicción. Supóngsa m comienza bloque pequ

cción de radioderá contacto

9.5. ¿Por qué

tremo que puθ0 el péndulo

do la barra se

ángulo θ conura h suponienn es µ.

mprime vertictural, (a) Cuanué altura se el

O 9

o de e se gase a su eño

o R con

é es

ede o se en-

n la ndo

cal- ndo eva

Un cuerpconstante. Elrespecto a és

En los cáxcm, ycm, zcm Para un cuer

10.1 MOM

Considértravés del pual eje se denose define com

Una torca, ela torca es untorno a un ej

La torca ptinguir entrecontrario al manecillas d

Es

po rígido es l centro de mste (esto es ciálculos reales m del rcm

rpo continuo

MENTO DE T

rese una fuerunto O del plomina brazo mo el produc

en cualquier na medida dee dado. La upuede tener

e los dos sentgiro de las m

del reloj es ne

stática d

aquel en el masa, como sierto sin impdel centro de

o, las sumas

TORSIÓN (T

rza F que yalano (Fig. 10de palanca, D

cto de la mag

punto de une la eficacia

unidad de la tun sentido ctidos de rota

manecillas deegativa.

de los c

que cada pae definió en ortar que el ce masa, a me

se reemplaz

TORCA)

ce en un plan0-1). La distaD. La magnignitud de la f

τ = F

n cuerpo rígicon que una orca es él neomo el de la

ación se adopel reloj es pos

cuerpos

ar de puntos (5.1), en el ccentro de ma

enudo es más

zan por integ

no y un eje pancia perpentud τ de la tofuerza y el br

FD

ido, la experfuerza dada wton-metro (

as manecillaspta la convensitiva y que l

Ca

rígidos

siempre mancaso del cuerasa sea un pun

simple encon

grales:

perpendiculandicular de lrca (momentrazo de pala

rimenta el cuproduce la r

(N m). s del reloj o nción de que la torca en el

apítulo

s

ntiene una srpo rígido estnto o no del ntrar las com

ar al plano qa línea de acto) de F en tonca; esto es,

uerpo en su crotación del c

al contrario.la torca en

l sentido de g

o 10

eparación tá fijo con cuerpo).

mponentes

ue pasa a cción de F omo al eje ,

conjunto; cuerpo en

Para dis-el sentido giro de las

92

Una

donde direcci

EJEMPmenta e

Un dm g, dcuerpo,

Por tancuerpo

10.2

Un con veleje cuaen que

La segu

En aplicarsobre lfuerza.

MuXY, la que tod

10.1. C

a expresión m

la magnitudión de τ) es p

PLO 10.1. en un campo elemento dm

donde r es el r,

nto, la torca go Mg, que act

CONDICIO

cuerpo rígidlocidad const

alquiera. ParaΣFext = 0, o

la sumala sumala suma

unda condici

la sumala sumala suma

el problema r al calcular lla línea de ac

uchos problemprimera cond

das las torca

Cuatro partícun rectángumasa.

Constrúyen la partícupecto a sus

ESTÁ

más compact

de la torca eerpendicular

Calcúlese lagravitacional del cuerpo ti

radio, vector q

gravitacional túa en el cent

ONES DEL E

o se encuentrtante (vcm = c

a que haya eq

a algebraica da algebraica da algebraica d

ión del equili

a algebraica da algebraica da algebraica d

10.6 se muelas torcas en cción de una

mas incluyendición se reduas son parale

culas con maulo de lados

yase un sistemula de 1 kg. Lmasas, (0,0),

ÁTICA DE LO

ta de la torca

τ

es τ = rF senal plano dete

a torca en tornuniforme g.

iene un peso que parte de O

también se ptro de masa.

EQUILIBRIO

ra en equilibrconstante, acm

quilibrio se de

de las compode las compode las compo

ibrio es que Σ

de las compode las compode las compo

estra que si stomo a cualqfuerza desco

fuerzas exteuce a dos eculas al eje Z.

Problemasas de 1 kga y b (Fig. 1

ma de coordenLas coordenad, (a,0), (a,b),

M = m

OS CUERPO

a o momento

τ = r x F

n θ = FD y derminado por

no a un punto

dm g; por lo O y llega hast

puede obtener

O

rio si su centm = 0) y si noeben satisface

onentes en Xonentes en Yonentes en Z

Στext = 0, o

onentes en Xonentes en Yonentes en Z

se cumple la quier punto qonocida, con

ernas coplanaaciones y la s

mas resue, 2 kg, 3 kg 10-2). Si a=l

nadas cartesiandas de las cua y (0, b). La

m1+m2+m3+m

OS RÍGIDOS

de torsión e

donde el eje dr r y F.

o fijo O que u

que una difera el elemento

r tomando en

tro de masa eo existe rotacer dos condic

X de las fuerzY de las fuerz

de las fuerza

de las torca de las torcade las torcas

primera conque se elija. Ulo que se elim

ares. Si se tomsegunda cond

eltos

y 4 kg se enl m y b = 2 m

no en el planoatro partículasmasa total M

m4= 10kg

S [

es

de la rotación

un cuerpo con

rencial de la to dm. Integran

n cuenta el pe

está en reposoción del cuerpciones. La pri

zas externas =zas externas =as externas =

s externas = s externas = s externas = 0

ndición, la seUsualmente smina la torca

ma ese planodición a una so

cuentran en m, encuéntre

o del rectángus son, en orde

M es

CAPITULO

n inducida (l

n masa M exp

torca es dτ = ndo sobre todo

eso completo

o o moviéndopo en torno aimera condic

= 0 = 0 = 0

0 0

0

gunda se puese elige el pua debida a dic

o como el plaola ecuación,

los vértices ese el centro

ulo, con el origen creciente r

10

la

eri-

r X o el

del

ose un ión

ede unto cha

ano , ya

de de

gen es-

CAPITULO

Susti

10.2. La fimate

Entoda equiv+ (30

Pero

A

a su m10.3. Encu

hech El

y por

10]

ituyendo las e

igura 10-3 esrial homogén

n el cálculo desu masa estuvvalente a una0/2) = 51 cm.

dado que el m

Al escribir ycm =masa, el centruéntrese él cea de un mate

l cuadrante es

r los ejes de c

ESTÁTICA

ecuaciones pa

s la vista lateneo. Encuéntr

el centro de mviese concent

a masa puntua Entonces,

material es ho

= 0 se utilizó eo de masa necentro de maserial con ma

stá limitado p

coordenadas;

A DE LOS CU

ara el centro

eral de un perese su centro

masa de un cuetrada en su pral mA en xA =

omogéneo,

el hecho de qucesariamente esa dé un cuadsa σ por uni

or la elipse

su área es A

UERPOS RÍ

de masa, se e

equeño compo de masa.

erpo, cualquierropio centro d36/2 = 18 cm

ue si un cuerpoestará sobre ddrante de unadad de área.

= πab/4.

GIDOS

encuentra que

ponente de un

r parte de éstede masa. Por

m y una masa

o posee un eje icho eje. a sección elí Véase la fig

e

na máquina h

e se puede trattanto, la piez

a puntual mB e

de simetría co

íptica y muy gura 10-4.

93

hecha de

tar como si za dada es en xB = 36

on respecto

delgada

94

10.4.

10.5.

LocalíceseLas coo

donde a es

Encuéntresidad const

En la fide Z. Las

ESTÁ

e el centro derdenadas del c

la masa por u

se el centrotante p.

gura 10-6 las coordenadas

ÁTICA DE L

masa de un centro de mas

unidad de área

o de masa d

a base del cons del centro d

LOS CUERP

cascarón hema son xcm = yc

a del cascarón

de un cono

no se encuene masa son xc

POS RÍGIDO

misférico de r

cm = 0 y

n. Dado que

circular rec

tra en el plancm = ycm = 0 y

OS

radio R (Fig.

to de altura

no XY y el ejey

[CAPITULO

. 10-5).

a h, radio R

e de simetría

O 10

, y den-

a lo largo

CAPITULO

Por

10.6. Muéresu

Eespapor dad

O 10]

r triángulos sim

éstrese que, ultante tieneEn la figura 1acio pero que

o que, por hip

ESTÁTIC

milares,

si la fuerza un valor fij

10-7 se muestno necesariam

pótesis, ∫ dF

CA DE LOS C

externa resuo, independitran dos puntomente pertene

= 0.

CUERPOS R

ultante sobreiente del punos arbitrarios

ecen al cuerpo

RÍGIDOS

e un cuerpo rnto en torno s, P y Q, que rígido. La tor

rígido es ceral cual se lase encuentranrca en torno a

95

ro, la torca a calcule. n fijos en el P está dada

96

10.7.

10.8.

A una barracuelga una ccontacto conla cuerda CDde ℓ si la ma(a) El sistem

figura 10tenían fr

Igualmegiro de l

A partir

(b) Con F2 =

Dos ruedas,ciable y puefigura 10-9(sistema se e

Supóngasindican en la largo de los muestra en la

ESTÁ

a muy ligera carga de 311n unas paredeD y las fuerayor fuerza

ma se encuent0-8(b) se encuricción. La co

ente, después dlas manecillas

de la condici

= F1 = 2224 N

, con pesos Wden rodar lib

(a). Encuéntrncuentra en

se que los plafigura 10-9(aplanos inclin

a figura. Los

ÁTICA DE LO

(Fig.10-8(a14 N en el pues verticales rzas de reacde reacción tra en equilibuentran en la

ondición de la

de sumar las ts del reloj), se

ión para la fu

ΣF1 = F2

N, a partir de

W y 3W, se bremente sobrese el ángulequilibrio es

anos inclinadoa), son normanados. Calcúlbrazos de pal

OS CUERPO

), que se encunto B. Los y lisas, (a) Scción en A yen E es de 2

brio estático. dirección X d

a fuerza en la

torcas en torne obtiene que

erza en la dir

-F,=0

e la condició

conectan pobre los planoslo ф que formstático.

os son lisos, qales y que las rese la suma lanca respect

OS RÍGIDOS

cuentra suspextremos de

Si ℓ = 0.25 my E. (b) Dete2224 N. Las fuerzas ddebido a que dirección Y d

no a E (es po

rección X se o

o F2 = 8

n de la torca

or medio de s inclinados ama la barra c

que las fuerzasruedas no rodde las torcas ivos de las fu

[C

pendida por ue la barra se

m, encuéntresermínese el

de reacción qse supuso queda

ositivo el senti

obtiene que

865N

a se tiene que

una barra dea 45° que se con la horizo

s de reacción darán sino que

en torno al puerzas W y 3

CAPITULO 1

una cuerda,encuentrane la tensión evalor máxim

que se ven en e las paredes

ido contrario

e

e peso desprmuestran en

ontal cuando

F1 y F2, que e resbalarán a punto P que W son

10

se en en

mo

la no

al

rela el

se lo se

CAPITULO

Por t

Uque lintuipoten

A papotenes inción energ

10]

tanto (son po

Un valor negatla rueda más ción física, sncial gravitaci

artir de la gráncial es un má

nestable. Con ф = 26.6

gía potencial

ESTÁTICA

ositivas las tor

ivo de ф signiligera. Este rse debe analional del siste

áfica de esa áximo. Esto sla más leve a° y llegará es un mínimo

A DE LOS C

rcas en el sen

ifica que en elresultado, conlizar más proma con respec

función (Fig.ignifica que e

aplicación de a la posici

o). Obsérvese

CUERPOS RÍ

tido contrario

l equilibrio la ntrario al dibuofundamente. cto" al punto C

. 10-10) se oel sistema se euna torca negón de equilique cuando la

ÍGIDOS

o al giro de las

rueda más pesujo de la figu

Calcúlese prC de la figura

bserva que aencuentra en gativa, el sisteibrio establea rueda más p

s manecillas d

sada permanecra 10-9, y conrimeramente 10-9(b)

a ф = 26.6° equilibrio, peema abandonae, ф = 45° pesada se encu

97

del reloj):

ce más alto ntrario a la la energía

la energía ro que éste ará la posi- (donde la

uentra en el

98

10.9.

punto C estásobre ella ttorca, que in

Para comф = -45°.

Un conjuntofigura 10-llinferior y lala izquierdhorizontal

Para mo(1) La fuerz

la mesa

ESTÁ

á en contactoiene una direncluye el puntmpletar la solu

o muy grandl(a). Los coea cubierta de da la pila deF. Encuéntrever la pila de

za F debe supea. Véase la fig

ÁTICA DE L

o con ambos pección desconto P, no propución de este p

de de platos ficientes de la mesa, son

e platos sin ese la mayore platos comoerar apenas la

gura 10-11 (b)

LOS CUERPO

planos inclinanocida. A ellorciona el vaproblema, el

se coloca sofricción entre

n 0.25 y 0.15,que éstos

r altura h a lo un cuerpo ra fuerza de fric).

OS RÍGIDOS

ados, por lo qlo se debe qulor ф = 45°. lector debe ex

obre una mee dos platos , respectivamse desacomoa. cual se pu

rígido se debección entre el

S [

que la fuerza nue la ecuació

xaminar la po

esa, como seadyacentes,

mente. Se quieoden aplicanuede aplicar e cumplir lo l plato inferior

[CAPITULO

neta de reaccón anterior de

osibilidad de q

e muestra eny entre el plere mover hando una fueF. siguiente: r y la cubierta

10

ión e la

que

n la lato acia rza

a de

CAPITULO

(2) d

(3) TEl

10.10. Una verticientderecargbarra

Lque sde giparedderecextrees el

y la Al el

Pe

10]

Se debe limitde girar en to

Se caerá si h

También se dEl plato al qulibre [Fig. 10

Si la fuerza dque se encuen

Por lo ta

barra rígidaicales, como tes de friccicha, son de 0a vertical de a se encontra

La solución desucede cuandoiro de las mand izquierda y cha. Por lo taemo tocando l mínimo deseCon N3 = f3

condición de

liminar F y N1

ero el mayor v

ESTÁTICA

tar h para quorno a P [Fig

> 0.33 m.

debe limitar hue se le aplica -11 (d)], con

de 0.15 W se antran sobre él

anto, para q

a en forma dse muestra enón estática e0.35 y 0.5, re1 N. ¿Cuál e

ará en equili

e este problemo F es muy penecillas del reel suelo, inme

anto, si se encla pared dereceado. = 0, las con

la torca (en to

1 de estas tres

valor posible d

A DE LOS C

ue la pila de p. 10-11 (c)],

h para que no F y los platopeso

aplica a h > 0.l se deslizarán

que todos lo

e T, cuyos bn la figura 10entre la barrespectivamen

es el valor máibrio estático

ma se simplificqueña. La fue

eloj que, debidediatamente h

cuentra un valcha (esto es, N

diciones de la

N 2

N

orno al punto

ecuaciones se

f2 = 0

de f2 es µ2 N2

CUERPOS R

platos no se c

se deslicen los encimados e

.164 m, tanto n y los que se

os platos se m

brazos miden0-12. La parea y el suelo,nte. Como seás pequeño deo en la posic

ca muchísimoerza de 1 N prodo a la baja rehace que la balor de F que cN3 = f3 0), s

a fuerza son

l - F = 0

1 - f2 = 0

de contacto c

e obtiene que

0.5-0.125N2

2 = 0.35 N2. D

RÍGIDOS

caiga. Cuand

os platos unoen él se deben

el plato en ele encuentran d

muevan juntos,

n 10 cm, reped de la izqu, y entre la be aprecia, la be la fuerza veión que se m

por una consovoca entonceesistencia porarra pierda concoloque la base puede presu

con el suelo)

De aquí que

o la pila está

s con respectn considerar u

l que se aplicadebajo no se m

hmáx = 0.16 m

posa entre doierda es lisa;barra y la pabarra está suertical F para

muestra?

ideración intues una torca enr fricción que ntacto con la prra en equilibumir que este

es

99

á a punto

to a otros. un cuerpo

a como los moverán.

m.

os paredes los coefi-ared de la

ujeta a una a el cual la

uitiva de lo n el sentido

ofrecen la pared de la

brio con su valor de F

(1)

(2)

100

10.11.

La fuerz

La fuerza sede F = 3 N, soluciones t

. Una viga uninferior porviga y el mla figura 1component

Constrúderecha y q

Reemplácomponentepor lo tanto

Considétravés de la

ESTÁ

za mínima es

e puede incrempunto en el q

tales que la p

iforme, que pr medio de un

muro una cuer10-13(b)] ques vertical y

úyase un sisteque el eje Y seácese la fuerzae vertical Fy. Eo ejerce una frense las torc

a bisagra. Los

ÁTICA DE L

entonces (1

mentar por encque N1 y f2 deared de la der

pesa 400 N y na bisagra sirda horizontaue la cuerda horizontal q

ema de referee dirija vertica que ejerce la El peso actúa fuerza T sobrecas en torno as brazos de pa

LOS CUERPO

1/19) N, corr

cima de este vsaparecen. Porecha podría

tiene 5 m de ln fricción. Sal de 3 m de a ejerce sobque la bisagr

encia tal que almente haciabisagra sobreen el centro de la viga que a un eje horizalanca de Fx

OS RÍGIDOS

respondiendo

alor, conservá

or lo tanto, aqno existir.

longitud, se ue amarra entlongitud. Enre la viga, a ejerce sobr

el eje X se da arriba. la viga por su

de masa de la vactúa hacia l

zontal perpendy Fy son cero

S [

a esto

ándose N3 = f3quí existe todo

une a un murotre el extremoncuéntrese la

y también re la viga.

dirija horizont

u componente hviga. La cuerdla izquierda. dicular a la vo y estas fuerz

[CAPITULO

3 = 0, por encio un conjunto

o por su extreo superior de fuerza T [véobténganse

talmente hacia

horizontal Fx yda jala a la vig

viga y que paszas tienen un

10

ima de

emo e la ase las

a la

y su ga y

sa a na

CAPITULO

torca palan

La co

y las

10.12. La pu112√perilcomptal m

D

Esto p ResofigurLa co

10.13. Tres pde 0.5en térse locResp

10]

cero en tornonca de la fuerz

ondición de la

condiciones p

uerta de un a√2N [Fig. 10-la y a lo la

ponentes de lmanera que θ

Dado que la p

proporciona la

olviéndolas, Fa, Cx se dibujondición de la

partículas, con5 m de lado. Erminos de un calice a lo largpuesta: xcm = 0

ESTÁTICA

o a este eje. Eza T es la dist

a torca es, ento

para la fuerza

almacén, que-14(a)]. La p

argo de una las fuerzas de= 90°. Supó

puerta se encu

as tres ecuacio

F = 128 N, Cyó en la direcca fuerza es

Problen masas de 2 kEncuéntrese esistema que tego del eje X p.29 m, ycm = 0.

A DE LOS CU

El peso de 400tancia a lo lar

onces

a dan

e pesa 244 Npuerta se ma

normal a le reacción enóngase que n

uentra en equi

ones escalares

Cy = 44.8 N, yción incorrect

emas comkg, 4 kg, y 6 kl centro de maenga su origenpositivo. .22 m

UERPOS RÍ

0 N tiene un brgo del muro

>

, se cierra poantiene abierta puerta. En

n las bisagras no existe un e

librio estático

y Cx = -83.2 a).

mplementakg, se localizanasa de este con en la partícu

ÍGIDOS

brazo de palanentre la bisag

.

or sí misma, ta por una funcuéntrense C y D cuandempuje axia

o: 0

N (el signo

arios

n en los vérticeonjunto, propoula de 2 kg y e

nca de 1.5 m. gra y la cuerd

al agregárseuerza F que s

la magnituddo la puerta el en la bisagr

menos signif

es de un triángorcionando suen el que la pa

101

El brazo de da,

le un peso dese aplica a lad de F y lastá abierta dera C.

.

fica que, en l

gulo equiláterous coordenadaartícula de 4 kg

e a

as e

a

o as g

i

102 ESTÁÁTICA DE LOOS CUERPOOS RÍGIDOS [[CAPITULO 10

CAPITULO

10.14. Una lineasu mde m Resp

10.15. EncuResp

10.16. Una inclisobreResp

10.17. Una altury la fmuro

10.18. Una al muse ende laResp

10.19. Dos las ltresede la

10]

barra delgadalmente con l

masa por unidadmasa medida a

puesta:

uéntrese el cenpuesta: xcm = yc

esfera de radnado de 30° ye la esfera. puesta: 56.58

escalera unifra de 12 m pofuerza normalo sobre la esc

escalera unifouro a una altu

ncuentra a puna escalera y elpuesta: µh

fuerzas tieneíneas de accióe que la torcaas fuerzas tie

ESTÁTICA

a de longituda distancia md de longitud partir del extr

ntro de masa dcm = 0, zcm = 3/8

dio 0.1 m y my una pared ve

N perpendicu

forme que mior encima dell que el sueloalera. Respue

orme descansaura h por encinto de comenzl piso es µ, ¿cu

en iguales magón de las fuerza que ejerce une magnitud

A DE LOS C

d L tiene una medida a parti

en el extremo remo más liger

de un hemisfe8R

masa de 10 kertical lisa. Ca

ular a la pared

ide 13 m y qu suelo. Éste e ejerce sobre

estas: (a) 6

a sobre un suema del suelo.

zar a deslizarsuál es la dista

gnitudes, F, dzas. A un sisten par de fuerzFD y, por tan

CUERPOS RÍ

masa por unir de uno de smás ligero esro.

erio sólido y u

g descansa enalcúlense las f

d; 113.16 N

ue pesa 300 Nes rugoso. Enla escalera; 2.5 N, 300 N

elo rugoso y s. Un hombre sse. Si el coeficancia horizont

direcciones opema como éstezas en torno anto, es indepe

ÍGIDOS

dad de longitsus extremos. λo, encuéntre

uniforme de ra

n la esquinafuerzas que la

perpendicular

N descansa cocuéntrense (a (b) la fue

; (b) 62.5 N

se apoya contsube por ella hciente de fricctal que recorri

puestas, y exise se le denomia cualquier ejendiente de la

tud λ, que se Si su masa tse la distancia

adio R y masa

a formada poas dos superfic

r al plano incl

ontra un muroa) la fuerza erza normal quN

tra un muro lihasta que la b

ción estática eió el hombre?

ste una distanina par de fuere perpendicul

a posición del

103

incrementa otal es M y a del centro,

a M.

or un plano cies ejercen

linado

o liso a una de fricción ue ejerce el

so, tocando base de ésta ntre la base

ncia D entre rzas. Mués-lar al plano l eje.

11.1 MOM

El equivamayor sea elangular. El m

donde las par1, r2,..., rn d

En algun

en términos

Esto implicade inercia ig

Las unida

11.2 TEOR

TeoremaI1 e I2, el

Teoremapasa a trrelaciona

donde M

TeoremaIox, IOY e I

MoMENTO DE IN

alente rotaciol momento demomento de

artículas del sidel eje. El mo

nas ocasiones de una long

a que una solagual al del cuades para el m

REMAS REL

a de la descom momento de

a de los ejes avés de su ceados por

M es la masa t

a de los ejes Ioz en torno a

ovimienNERCIA

onal de la mae inercia de un inercia de u

istema tienenomento de in

es conveniengitud k, denom

a partícula couerpo en cuemomento de

LATIVOS A

mposición. Sie inercia del

paralelos. Eentro de mas

total y D es l

perpendicua los ejes mu

nto de u

asa es una can cuerpo, ma

un sistema de

n masas m1, mercia de un c

nte expresar eminada radio

I = Mk

on masa M sitstión. inercia son k

LOS MOME

i un sistema sesistema com

I = I

El momento da y su mome

la distancia e

lares. Si un dutuamente pe

Ioz = Io

un cuerp

antidad denoayor será su ree partículas e

m2,..., mn y se lcuerpo con un

el momento do de giro, la

k2

tuada a una d

kg m2.

ENTOS DE I

e compone dempleto es

I1+ I2

de inercia ICmento de inerc

entre los dos

disco en el prpendiculare

ox + IOY

C

po rígid

ominada momesistencia al cen torno a un

localizan a lana distribució

de inercia I decual se encu

distancia k de

INERCIA

e dos partes, co

de un sistemia I en torno

ejes paralel

lano XY tienes OX, OY, y

Capítul

o

mento de inercambio en su n eje dado es

as distancias rón continua d

e un cuerpo couentra definid

l eje tiene un

on momentos

ma en torno a ua un eje para

os.

ne momentos OZ, entonce

lo 11

rcia. Entre velocidad

s

respectivas de masa es

on masa M da por

n momento

s de inercia

un eje que alelo están

de inercia s

106

11.3 E

La

donde cuerpo

En cinéticcuerpo

donde parale

11.4 M

Cuapasa a

donde αtorcas dequival

EJEMPno inerhorizonalguna

Obα como

La por

tomanal eje

EJEMPfricciónpuntos

11.1.

ENERGÍA C

energía ciné

I es el momo, también cacualquier mo

ca asociada coo en torno al

Icm y ω se clamente al ej

MOMENTOS

ando un cuerpa través del c

α es la acelerade las fuerzaslente rotacion

PLO 11.1. Corcial. Considéntal conforme a (α = 0), aun

sérvese, sin eo τext son cero,

razón a la cua

ndo en cuentade rotación.

PLO 11.2. Enn, ejercidas po fijos de aplic

Encuéntrese eje OZ perpetravés del ce(a) El mom

MOV

CINÉTICA D

ética de un c

ento de inercalculada en toovimiento de on la traslaciócentro de m

calculan en tje Z.

S DE TOR

po rígido rotacentro de ma

ación angular d externas, estaal de la segun

mo en la seguérese un lápizcae. Por lo tacuando existe

mbargo, que s, y por tanto τe

al se realiza c

a que las fuer

n el problemaor el camino scación relativo

el momento dendicular al plentro de masa mento de inerc

VIMIENTO D

DE UN CUER

uerpo rígido

cia del cuerpoorno al eje fijun cuerpo ríg

ón del centro dasa. En parti

torno al eje

RSIÓN (TO

a en torno a usa y que tien

τdel cuerpo, I eas tres cantidada ley de New

unda ley de Nz que se mannto, en relacióe la actuación

si se escoge eext = Iαcm.

cierto trabajo

potencia

rzas externas

a 9.7 se vio qusobre el automos a los ejes d

Problede inercia del slano de la figuy es paralelo

cia en torno al

DE UN CUER

RPO RÍGID

o que gira en

o en torno aljo. gido, la energde masa y la eicular, si el m

que pasa a t

ORCA) Y AC

un eje fijo en une una direcc

τext = Iα s su momento

ades se calculawton.

ewton, τext = Itiene horizonón con algunon de una torca

l eje que pasa

sobre un cue

a instantánea =

en realidad s

ue las fuerzasmóvil, no realizdel automóvil.

mas resusistema que se

ura y que pasa al eje OZ. l eje OZ es

RPO RÍGIDO

DO EN MOV

n torno a un

l eje fijo y ω

gía cinética tenergía cinétimovimiento e

través del cen

CELERACIÓ

un sistema ineción fija,

de inercia, y τan en torno a u

Iα generalmental y luego s de los extrem

a gravitaciona

a a través del c

erpo rígido po

τext ω

se mueven a

s de fricción,zan un trabajo

ueltos e muestra en la través del or

O

IMIENTO

eje fijo es

ω es la veloci

otal es la sumica asociada aes paralelo a

ntro de masa

ÓN ANGULA

ercial o en to

τext es la sumaun eje dado. E

nte no es válie suelta. El l

mos del lápiz nal (τext ≠ 0)

centro de mas

or una torca e

través de un

, y que por tao sobre éste. L

a figura 11-1, rigen; (b) un e

[CAPÍTULO

idad angular

ma de la enera la rotación al plano XY,

a que se mue

AR

rno a un eje q

a algebraica deEsta relación e

da en un sisteápiz se conse

no existe rotac.

sa del lápiz, ta

xterna está d

ángulo en to

nto las torcasLas fuerzas tie

en torno a (a)eje CZ' que pa

11

del

gía del

eve

que

e las s el

ema erva ción

anto

ada

rno

s de nen

) un sa a

CAPITULO

(b) E

11.2. Cua

un cuneneje psus d

cada

11.3. Enca unlong

Eelemdel ePara El m

La s

11]

El centro de mEl momento

atro partículascuadrado quen se puede igperpendiculadiagonales.

Dado que cada una de las c

uéntrese el mn eje a lo larggitud L. El punto impomento típico, deje. Dado quea el elemento q

momento de i

suma de las co

MOVIMIE

masa C se encude inercia de

s, con masas e tiene s= 1 mgnorar, encuér al plano del

da diagonal deuatro partícu

momento de go de la orill

ortante del cádm. Todas lase la placa es uque se muestr

inercia de est

ontribuciones

ENTO DE UN

uentra entre lal sistema en t

de 2 kg, 4 kgm de lado. S

éntrese el mol cuadrado y

el cuadrado tielas al eje es d

inercia de una de ancho a

álculo de un ms partes de dmuniforme, la mra en la figura

te elemento e

s de todos los

N CUERPO

as dos partícutomo al eje CZ

g, 6 kg, y 8 kSuponiendo qmento de ineque pasa a tr

ene una longitde 1/2(1)√2 m.

na placa recta (Fig. 11-2).

momento de im deben estar masa de cualq11-2,

en torno al ej

elementos qu

RÍGIDO

ulas y a 2 m deZ' es

kg, se encuentque la masa dercia dé la esravés del pun

tud s√2 la dist. Por lo tanto

angular unif La placa tie

inercia consisesencialmentquier parte es

je a una dist

ue conforman

e la partícula

tran en los véde las cuerdatructura en to

nto donde se i

tancia perpend

forme y planane una masa

ste en.-la electe a la misma s proporciona

ancia r es

n la placa es

107

de 2.5 kg.

értices de as que las orno a un intersecan

dicular de

a en torno M y una

cción de un distancia r

al a su área.

108

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

Encuéntreseque pasa a

Como se corre a lo laD = L/2, se

Calcúlese emasa m, en

Dado quperpendicula

Calcúlese elR, en torno

Constrúyfigura 11-3).cilíndrica y

y el moment

Un cilindrocomenzandoEncuéntresevalor de la f(a) Debido

bre el ci

MOV

e el momentotravés de suvio en el pro

argo de su ortiene que

el momento d

torno al eje e todos los ear R del eje,

l momento dal eje de sim

yase un sistem. Debido a qudelgada de ra

to de inercia d

homogéneoo su movimiene la rapidez fuerza de frio a que no exiilindro. Ento

VIMIENTO D

o de inercia I centro de m

oblema 11.3, erilla es I = 3/

de inercia de de simetría lementos de m

e inercia de umetría del cilma de coordenue el cilindro adio r y groso

del cilindro c

y sólido ruento con veloclineal v despcción que aciste deslizamionces, por con

DE UN CUER

Icm de la placmasa y es parel momento d/8ML2. Utiliza

e una cubiertdel cilindro

masa de la cu

I = mR2

un cilindro sólindro. nadas con el e

es homogéneor dr es

ompleto es

eda sin resbacidad angular pués de que ctúa sobre el iento, la fuerznservación de

RPO RÍGIDO

ca del probleralelo al ladode inercia de lando el teorem

ta cilíndrica. ubierta se enc

ólido y homo

eje Z a lo largeo, el momen

lar hacia abaω0 y velocidarueda una dicilindro?

za de fricción e la energía,

O CA

ema 11.3 en to de ancho ala placa en toma de los eje

muy delgad

cuentran a la

ogéneo con m

o del eje de sinto de inercia

ajo por un plad lineal v0 (Fistancia x. (b

no realiza tra

APITULO 11]

torno a un eja. orno a un eje qes paralelos c

da de radio R

misma distan

masa M y rad

imetría (véasede una cubie

ano inclinadFig. 11-4). (a)b) ¿Cuál es e

abajo alguno

e

que con

R y

ncia

dio

e la erta

o, ) el

so-

[CAPITU

(b)

11.8. Un 4.4 0.011.8 m

E

Miem. D

y el

E

La e

ULO 11

dado que ω =eje central (p

Una comparv2 = v2

0 + 2ax icon una aceler

Pero la fuerz

hilo muy ligN (Fig. 11-5 m. La friccióm.

El ángulo que

ntras el centroDado que la f

trabajo realiz

El momento d

energía cinéti

MOVIMIE

= v/r (no hay roblema 11.6

ración entre indicará que elración constan

za neta es (

gero se desen5). El carreteón le impide r

e el carrete h

o del carrete sfuerza de 4.4

zado por la fu

de inercia del

ica final del c

ENTO DE UN

deslizamient6). Entonces

el resultado centro de mas

nte

(mg sen θ) - f

nreda en un e pesa 1.1 Nesbalar. Encu

a girado tras

se mueve 1.8 m4 N actúa en u

d= 1.8+uerza es

W = Fd = (4

carrete es

arrete es

N CUERPO R

to) I = mr2/2

de (a) y la fsa del cilindro s

f. Por lo tant

carrete por y su radio d

uéntrese la rap

recorrer 1.8

m, se desenreuna distancia

1.08= 2.88 m

4.4)(2.88) = 12.6

RÍGIDO

para un cilin

fórmula de lase mueve hacia

to,

medio de undía giro con pidez de su ce

m es

da el hilo unaa de

67 J

ndro sólido en

a aceleracióna abajo del plan

na fuerza conrespecto a suntro después

a longitud (0.0

109

n torno a su

n constante no inclinado

nstante de u eje es de de recorrer

03) θ = 1.08

110

11.9.

dado que ω =4.4 N al cam

Considéresell-6(a), inicies la mitad dmuestra en luna altura

(sea a = b =

(razonando del cuerpo eL haga cont Primero se

se muestra q

donde M = MA continu

reposo; en el

MOVI

= v/r, y r = 0.mbio de la en

el cuerpo noialmente en rde un cilindrla figura ll-6(

2R en el pro

a partir del pen torno a un acto con el s

e necesita enque

MA + MB es lauación se aplicl momento del

IMIENTO D

.05 m en estenergía cinétic

12.67 = 0.0

o simétrico y eposo. La pa

ro de radio R(b). En la po

oblema 10.3)

problema 10.eje perpendicuelo.

contrar el mo

a masa total.ca la conserval choque gira

DE UN CUER

e caso¿ Igualaa: 58 v2 o

compuesto darte A es un cR. El cuerpo g

sición inicial

y el centro d

.3, con a = b cular que pas

omento de ine

ación de la eneen torno a un

RPO RÍGIDO

ando el trabaj

v = 14.8 m

de dos partes cuarto de cilingira, golpeanl, el centro d

de masa de B

= R). Encuésa a través del

ercia en torno

ergía. Inicialm eje instantán

O CAP

jo realizado p

m/s

que se muesndro de radiondo contra el de masa de A

B se encuentra

éntrese la vell punto L, po

o a L. En el p

mente el cuerpeo que pasa a

PITULO 11]

por la fuerza

stra en la figuo 2R; la parte

suelo como se encuentra

a a una altura

ocidad angulco antes de q

problema 11.

o se encuentra través de L.

de

ura e B

se a a

a

lar que

15

a en

[CAPITUL

11.10. Una esy comcuand

dondeIcm =

Enmovimmueve

La rorecorr

(N fodesliz

Lueg

Ah

LO 11

sfera sólida ymienza a descdo la línea de

e µ = tan γ es2MR2/5.)

n la figura 11miento ha cone en un círcul

tación de la erido el diámet

orma un ánguzamiento,

o, la ecuació

hora se pued

MOVIMIEN

y homogénea cender rodane los centros

s el coeficien

-7 se muestransistido en purlo de radio a

esfera que ruetro AoC0B0 en

ulo θ con la ve

n de la torca

en reso lve r (

NTO DE UN

descansa en ndo por la es forme un án

nte dé fricción

a la situación ro rodamiento+ b en torno

da en torno a un tiempo t. E

rtical y CB fo

a en torno a C

( 1 ) , ( 2 ) y (3

N CUERPO R

la cima de otsfera fija. Mungulo con la

n estática ent

en el momeno. El centro da C; sus ecua

su centro de En la geometrí

orma un ángul

C se puede es

) pa ra f y N c

RÍGIDO

tra- esfera fijuéstrese que vertical dado

tre las dos es

nto t, antes dee masa, C, deaciones de mo

masa se mideía de la figura

lo ф con N). M

scribir como

como func ion

a; se desplazcomenzará a

o por

feras. (Para u

l cual se supo la esfera queovimiento son

e por el ánguloa se observa qu

Más aún, dado

nes de θ . En

111

a un poco a resbalar

una esfera,

one que el e rueda, se n

o ψ que ha ue

que no existe

(2) y (3 ) ,

¡

¡

112

11.11.

11.12.

Para integra

Sustituyend

La esfertan γ), esto

Un disco paEl coeficienconstante ωencuéntrese

La fuerz donde F/

La difer

y por tanto Para consertorca opues

Un rotor pe43 N m paque se requmismo sent

(a) (b) La ace

MOV

ar esto se postu

do los valores

ra que rueda co es, cuando

ara pulir el sunte de friccióω. Suponiene la potencia

za de fricción

/A es la presió

encial de la to

o

rvar el disco gsta por el moto

esa 430 N, yara conservauiere para esttido que el a

eleración ang

VIMIENTO D

ula que

s para θ2 y θ

comenzará a r

uelo, de diámón entre el di

ndo que la ppara hacer gi

sobre el elem

ón que ejerce e

orca que se op

girando a una or de la pulido

y su radio dear la rotaciónto, (b) Si se aanterior, encu

gular se puede

DE UN CUER

en (1) y (3)

resbalar cuan

metro D, es eisco y el suepresión que irar el disco p

mento de área

el disco sobre

pone al movim

velocidad anora, el cual en

e giro es k =n de esta piezaplican un pauéntrese la a

e obtener a p

RPO RÍGIDO

, se encuentr

ndo la fricción

mpujado conlo es µ. El dise ejerce s

pulidor de pi

a dA es

el suelo. Dado

miento del di

gular constanntonces realiz

1.2 m. Se nza a 32 rad/s.ar de fuerzas

aceleración a

artir de τext =

O

ra que

n llegue a su

ntra el piso cisco rota conobre el suelsos (véase la

o que dA = r d

sco es

nte (α = 0) se dza trabajo a un

ecesita un pa (a) Encuént

s de 86 N mangular del ro

= Iα:

[CAPITULO

límite (f = N

on una fuerzn rapidez angulo es unifor

a figura 11-2.

dθ dr y A = π2/

debe ejercer una razón

ar de fuerzastrese la poten

m a la pieza eotor.

O 11

N

za P. ular rme, )

/D4.

una

s de ncia n el

CAPITULO 1

11.13. Si el tieneT1 T

L

11.14. Repít

Respu

11.15. Refiédescoresultpara cRespu

11]

cinturón qu 0.41 m de diT2, entre el l

a potencia qu

tase el problem

uesta:

rase al problemomposición, ctado del problcalcular el muestas:

MOVIMIEN

ue se muestraiámetro y qulado apretad

ue se transmit

Problema 11.7 con e

ma 11.9. (alcúlese el m

lema 11.6, el tomento de in

NTO DE UN

a en la figurue rota a 7.5 ro y el lado f

te al rotor de

emas comel caso de una

(a) Utilizanmomento de in

teorema de loercia de la pa

N CUERPO R

ra 11-9 transrev/s encuéntflojo de la ci

la polea es P

mplementaesfera uniform

ndo el resultadnercia de la pas ejes paraleloarte B en torn

RÍGIDO

smite 33.557trese la difereinta.

P = τω = R(T1

arios

me y sólida.

do del problemarte A en tornos y el teorem

no a L.

7 kW a una pencia de las t

1 T2)ω. Por

ma 11.6 y el teono a L. (b) Ut

ma de la' desco

113

polea que tensiones,

tanto

orema de la tilícense el omposición

114 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RÍGIDO [CAPITULO 11

11.16. Un halterio consta de una partícula de 2.4 kg y otra de 1.6 kg unidas por una barra de 0.8 m de longitud. Calcúlese el momento de inercia de este halterio en torno a un eje perpendicular a la barra y que pasa a través de un punto en la barra que se encuentra a 0.2 m de la partícula de 1.6 kg. Respuesta: 0.9296 kg m2

11.17. Una esfera con masa M y radio R tiene un momento de inercia en torno a un diámetro dado por I = 2/5MR2. Encuéntrese el momento de inercia de la esfera en torno a un eje que sea tangente a ella. Respuesta: 7/5 MR2

11.18. Una fuerza circunferencial de 1.2 N actúa sobre la superficie de un cilindro que puede dar vueltas sobre su eje. La masa del cilindro es de 2.5 kg y su radio de 0.1 m. Encuéntrense (a) la torca que actúa sobre el cilindro, y (b) la aceleración angular del cilindro. Respuestas: (a) 0.12 N·m; (b) 9.6 rad/s2

11.19. Una rueda cilíndrica y homogénea de radio 0.8 m y masa 2.5 kg gira libremente en torno a su eje sobre unos baleros sin fricción. Supóngase que repentinamente se aplica una fuerza de 5 N y que se mantiene tangente al borde de la rueda, (a) ¿Cuál es la aceleración angular de la rueda? (b) ¿Cuál es la rapidez angular y la energía cinética de la rueda en el tiempo t = 3 s? (c) ¿Qué cantidad de trabajo realiza la fuerza sobre la rueda durante este intervalo de 3 s? Respuestas: (a) 5 rad/s2; (b) 15 rad/s, 90 J; (c) 90 J

11.20. Una esfera homogénea de 10 kg y de radio 0.2 m se encuentra en un cierto instante rotando en torno a una flecha que pasa por su centro a 10 rev/s. Encuéntrese la magnitud de la torca suponiendo que una torca de fricción constante actúa de tal manera que la esfera se detiene en 10 s. Respuesta: 0.2 N m

11.21. Un carrete de hilo de radio r y masa m tiene la forma de un cilindro uniforme. Supóngase que un extremo del hilo se anuda al techo y que se permite al carrete girar bajo la acción de la gravedad. Calcúlese la aceleración angular del carrete y la tensión en el hilo. Despréciese la masa y el grosor del hilo. Respuestas: 2g/3r; mg/3

11.22. El motor de un automóvil proporciona 1 MW de potencia, mientras que el cigüeñal tiene una velocidad angular de 800 rad/s. Encuéntrese la torca ejercida sobre el cigüeñal. Respuesta: 1250 N m

11.23. Un volante tiene 2 m de diámetro y pesa 4003 N; se puede considerar a toda su masa concentrada en su borde. ¿Qué torca se debe aplicar al perno para incrementar la velocidad angular uniformemente de 5.2 rad/s a 6.3 rad/s en una revolución? Despréciese la fricción. Respuesta: 411.19 N m

12.1 CANT

Si r es laI relativo a

donde m es tribución co

Las unid

12.2 PRINC

El principL es

donde τext es respecto al mun punto fijocual vale únrígido, por l

12.3 CONS

La ley demomento an

12.1. Lr =

Ca

TIDAD DE M

a posición de este origen s

la masa de lontinua de ma

ades del mom

CIPIO DEL

pio del mome

la torca extemismo origeno en un sistemnicamente culo que L = Iω

SERVACIÓN

e conservacingular total L

La velocidad 2i + 4j + 6k

ntidad d

MOVIMIENT

una partículase define así:

la partícula, asa,

mento angul

MOMENTO

ento angular

rna resultanten. El principio

ma de referenciuando se hacω.

N DEL MO

ión del momL es constant

Prde una partíc

k. Encuéntres

de mov

TO ANGULA

a relativa a un:

v es su velo

ar son kg m2

O ANGULAR

r para un siste

e (sección 10o es válido cuia inercial. Ese que L yaga

OMENTO AN

mento angulate.

roblemas cula con masse el mement

vimiento

AR

n cierto orige

ocidad y p es

2/s o, equival

R

ema de partíc

.1). La torca uando el origste principio ga a lo largo d

NGULAR

ar establece q

resueltossa m es v = 5to angular de

Ca

o angula

en O, entonce

s su momento

lentemente, J

culas con un m

y el momentogen para L y τgeneraliza τextdel eje fijo d

que si τext =

s

i + 4j + 6k ce la partícula

apítul

ar

es su moment

o lineal. Para

J · s .

momento ang

o angular se mτ es el centro t = Iα. (seccióde rotación d

0, el sistema

uando se enca en torno al

o 12

to angular

a una dis-

gular total

miden con de masa o

ón 11.4) lo del cuerpo

a tiene un

cuentra en origen.

116

12.2 Un

12.3.

n eje ligero yél una barramasa m, unfigura 12-1.

El mome

donde éstas sel plano XY,

que cuan

Un cohete, Si su altitudkm, ¿cuál e

CANT

y rígido de loa ligera y ríginidas a ella. Encuéntrese

ento angular d

se consideran

do θ = 90°, da

con masa ded (y) es de 10es su moment

TIDAD DE M

ongitud D, girida de longitLa barra fore la torca que

de las esferas e

como partícul

ado un sistem

e 106 kg, tien0 km y su distto angular co

MOVIMIENTO

ra con una ratud 2d que tirma un ángue ejercen los

es

las. Ahora bien

ma simétrico, τ

ne una rapidetancia horizoon respecto a

O ANGULAR

apidez angulaene dos pequlo θ con el ebaleros.

n, suponiendo

τ0 se anula.

z de 500 m/sontal (x) desda este origen?

R [

ar constante ωueñas esferaseje, como se

o que en t = 0 l

s en la direccde un origen e?

[CAPITULO

ω, tiene unidos, cada una ce muestra en

la barra estaba

ción horizontelegido es de

12

o a con n la

a en

tal. 10

C

1

1

CAPITULO 1

12.4. Muéspartespartir

Re

ya qu

El esto sees justangula

12.5. Un arlas orcoordmesaaro c(Fig.

2]

strese que el ms: una que sur del movimielativo a O, u

ue, por definicprimer térmi

e le denominatamente el momar de giro del

ro con radio rillas, con undenadas recta. En un tiempon la mesa 12-3). ¿Cuál

CANTIDAD

momento anurge a partiriento del cueun punto fijo e

ción de centroino, rcm X P, ea momento angmento angularcuerpo. En re

de 0.1 m y mna velocidad angulares cuypo t, una línetiene una lo

l es el momen

DE MOVIM

gular de un cr del movimierpo con respen un sistema

o de masa, ∫ r'es el momentogular orbital dr del cuerpo ensumen,

masa 0.5 kg rde 0.5 m/s.

yo origen se ea dibujada dongitud de 1nto angular d

MIENTO ANG

cuerpo se pueiento del cenpecto a su cea inercial, el m

dm = 0. o angular del del cuerpo (co

n torno a su cen

rueda sobre Relaciónese encuentre endesde el orig

1 m y formadel con respe

GULAR

ede expresarntro de masaentro de masmomento ang

centro de maon respecto a Ontro de masa, y

una mesa pasu movimien

n la esquina igen hasta el pa un ángulo ecto al origen

r como la suma del cuerpo sa. gular es (Fig.

asa con respecO). E1 segundy se denomina

aralelamentento con un siizquierda traspunto de conde 30° con

n en este tiem

117

ma de dos y otra, a

12-2)

cto a O; a do término a momento

e a una de istema de sera de la ntacto del

el eje X mpo t?

118

12.6.

Utilícesemasa en el

y el momen

Para enc

encuentra atorno al cen

El péndulosin peso y una bisagr

La torca

El mom

y por tanto

Para esty L = Iω =

se pudo util

CAN

e la descompotiempo t es

nto total del a

contrar el moma la misma dintro de masa

o rígido que que portan ma sin fricción

a de los peso

mento angular

en la ecuación

te sistema, tan Iα. De aquí q

lizar como ecu

TIDAD DE M

osición que se

ro es

mento angularistancia del ccon una velo

se muestra emasas igualen O. Encuént

s en torno a l

del péndulo e

n de movimien

nto L como wque,

uación del mo

MOVIMIENT

hizo en el pro

r de espín, obsentro de mas

ocidad v', de

en la figura s m. El péndtrese la ecua

la bisagra es

en torno a la b

nto, τext = L, es

w se encuentra

τext = Iovimiento.

TO ANGULA

oblema 12.4, E

érvese que toda, r' = 0.1 m,

e magnitud 0.

12-4 está conulo oscila en

ación de mov

bisagra es

s

an a lo largo d

Iα

AR CA

El vector posic

do elemento d, y que todo e.5 m/s, perp

nstruido conn el plano veimiento del p

del eje de rota

APITULO 12

ción del centro

de masa del arelemento rota

pendicular a r

n dos barras crtical en tornpéndulo.

ación, con L =

2]

o de

o se a en '.

casi no a

= Iω

CAPITULO

12.7. Refiéejerc

AEl mo

dondnorm

Dadofuerz

Eción d

12.8. Supóha else ende bapora origi

Lapendla niñangumasa

12]

érase al problce el tubo sob

Aplíquese el priomento angul

e r es la distamal que ejerce

o que r decrecza se opone a

Este problema de coriolis, 2ω

óngase que elevado hasta ncuentra a 3.7alanceo. El code repente, nal). Calcúle

a torca debidade el columpioña se pone de lar orbital se

a.

CANTIDAD

lema 5.14 y abre la partícuincipio del molar de la partíc

ancia del eje e el tubo sobr

ce con el tiempla rotación dmuestra cómoωr [véase el p

l centro de m1.2 m (véase

7 m del puntoolumpio partpor lo que sese la altura

a a la gravedao. Esta torca epie. Por lo tanconserva, da

D DE MOVIM

a la figura 5-1ula. omento angulacula en torno

a O. La torcare la partícula

po (la partícue la partículao las consideraproblema 7.4(

masa de una e la figura 12o donde se sue del reposo,e eleva su cede su centro

ad es la únicaes cero en B ynto, el momendo que la niñ

MIENTO AN

14(a). Encuén

ar a la partículaa O es

a sobre la parta. Por lo tant

la se mueve h. (¿Es este el aciones de mo(&)].

niña que se b2-5). La niñujeta el colum y en la parteentro de mas de masa en

a torca externay conserva estnto angular se ña se pone de

GULAR

ntrese la direc

a, en un sistem

tícula es rFфto,

hacia O), Fф, eresultado que

omento angula

balancea en ña pesa 400 N

mpio cuando e más baja desa 0.6 m (retla parte más

a que actúa ente valor duranconserva en Bpie sin rotar

cción de la fu

ma inercial con

, donde Fф e

es negativa; ee usted predijoar conducen a

un columpioN y su centroella está en l

el arco la niñaornando a su alta del arco

n torno al punnte el instanteB; de hecho, el

en tomo a su

119

uerza que

n origen O.

s la fuerza

esto es, la o?) la acelera-

o ligero se o de masa a posición a se incor-u posición o.

nto del que e en el cual l momento u centro de

*

120

12.9.

12.10.

donde vB yque la niña

Según la

Entonces v'B

Una cuentatrayectoria cLa velocidaEl tirón T qcuenta es Rangular inic

(a) En estal = cons

(b) Ahora b

Un hombreinercia del peso de 22 los pesos ael hombre velocidad a

CANT

y v'B representse levante.

conservación

B = 1.2v = 4

a con masa mcircular de raad angular deque se ejerceR/4. Encuéntcial y (b) la r

a situación (ustante, o bien

bien, T = mr 2

se sienta sobhombre y elN en cada m una distanclevanta los p

angular final

TIDAD DE M

an la rapidez

de la energía,

.1 m/s. De nu

m está constreadio R sobre ue la sección de sobre la cuetrense (a) la razón de la t

una fuerza ce

2, dado que T

bre un taburel taburete en

mano. Con losia de 0.9 delpesos hasta del hombre y

MOVIMIENT

del columpio

,

uevo se utiliza

eñida por unaun plano horizde la cuerda erda se increrazón de la vensión final

entral) no exis

T suministra la

ete que gira etorno al eje

s brazos priml eje del tabuque se encuey el taburete

O ANGULA

en la parte m

a el principio

a cuerda inexzontal sin fricde O a la cue

ementa hastavelocidad anen la cuerda

ste torca algu

a fuerza centrí

en torno a un es de 8 kg

mero estiradourete, el homentra en el e?

R

más baja, ant

de conservaci

xtensible a mcción (véase lenta es iniciaa que la distangular final aa a la tensión

una en torno a

ípeta. Entonce

eje vertical. m2. El homs hacia los la

mbre gira a 4 eje de rotaci

[CAPITULO

es y después

ión para escrib

moverse en unla figura 12-6almente de ωancia de O a a la velocida inicial.

a O. Por lo tan

es,

El momentombre sostieneados, colocanrad/s. Entonón. ¿Cuál es

12

de

bir

na 6). 0- la

ad

nto,

o de un

ndo nces s la

CCAPITULO 1

Deexisteintern

donde

Se tie

Ob

en un

12.11. Una ccon ualgun

R

actúaimpli

para elz (y,

12.12. Demuencuede minstan

En

12]

ebido a que el e torca gravitanas,

e I1 = mom 12 = mom

lados 13 = mome

ene que

bsérvese que ena sola mano.

cuenta es pueuna velocidadna vez por la

elativo a O, u

sobre la cuenica que τz = d

el movimientode hecho, I)

uéstrese que entra en cieromento angu

nte.

n el instante

CANTIDAD

sistema es simacional alguna

L = c

ento de inerciento de inerc

ento de inerci

el momento an.

esta en movimd horizontal va cima de la c

una torca exte

nta, pero esta dlz/dt; por lo t

o de la cuentase anularían.

si r, el vectoto momento ular I en el

dado, r y la f

D DE MOVIM

métrico, su cena en torno a es

onstante

ia de los pesoia del taburet

a del taburete

ngular no se c

miento a lo lav0. Si la cuentcopa? (véase

erna

torca no tienetanto,

lz =a. En t = 0, lz =.

or posición dparalelo a sut iempo con

fuerza, mr , so

MIENTO ANG

ntro de masa sste eje. Por tan

o

os extendidoste y el hombr

e y el hombre

onservará si, p

argo del bordta se desliza

e la figura 12

e componente

= constante= mv0R > 0; en

e la partículau aceleraciónrespecto a u

on paralelos,

GULAR

se encuentra ennto, como toda

e con los braz

con los brazo

por ejemplo, e

de interior desin fricción,

2-7).

e Z. Ahora bie

ntonces la cue

a con respectn, r, entoncesun origen da

por lo que τ

n el eje de rotaas las demás f

zos estirados

os levantados

el hombre sost

e una copa he¿su trayector

en, la relación

enta no llega a

to a cierto ors la razón de

ado es cero e

= 0. Entonce

121

ación, y no fuerzas son

hacia los

s

tiene 44 N

emisférica ria pasará

n τ = dI/dt

a O, donde

rigen, se cambio

en dicho

s, i = 0.

122 CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR [CAPITULO 12


12.13. Una pelota de 0.2 kg se mueve con una rapidez de 5 m/s y en una dirección perpendicular a una puerta vertical; golpea contra un clavo en la puerta que se encuentra en un punto a 0.4 m del eje de las bisagras de la puerta. La pelota rebota con una velocidad de 3 m/s a un ángulo de 30° con respecto al plano de la puerta. Encuéntrese el momento angular de la pelota en torno al eje de las bisagras antes y después del golpe. Respuestas: 0.4 kg · m2/s; 0.12 kg · m2/s

12.14. Utilícese el principio del momento angular para encontrar la aceleración del centro de masa de una esfera que rueda hacia abajo sobre un plano inclinado rugoso que forma un ángulo θ con la horizontal. (Compárese con el problema 11.14.) Respuesta: acm = 5/7 g sen θ

12.15. Pruébese que el momento angular de un sistema de partículas tiene el mismo valor para dife-rentes puntos de referencia O y O' que se encuentran fijos en el sistema del centro de masa. (Sugerencia: sea O el centro de masa mismo.)

12.16. (a) Calcúlese el momento angular orbital de la Tierra con respecto a un origen en el centro del Sol. Tómese la órbita de la Tierra como un círculo de radio 1.5 X 108 km y supóngase que la Tierra viaja uniformemente a una rapidez de 30 km/s en la órbita. La masa de la Tierra es de 6 X 1024 kg. (b) Exprésese el momento angular de espín de la Tierra como una fracción de su momento angular orbital. Considéresela como una esfera uniforme de radio 6400 km. Respuestas: (a) 2.7 X 1034 J s; (b) 2.7 x 10-7

12.17. Un pequeño cuerpo con masa m parte del reposo desde la parte más alta de un plano inclinado liso que tiene un ángulo θ. Sea N la fuerza normal que actúa sobre el cuerpo y v su velocidad cuando ha recorrido una distancia x hacia abajo del plano, (a) Encuéntrese la torca, con respecto al origen que se encuentra en la parte más alta del plano inclinado y que es producida por todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, (b) Calcúlele el momento angular I y su derivada con respecto al tiempo, relativa al mismo origen, (c) ¿Cuál es la magnitud de N? Respuestas: ± (N - mg cos θ) x; (b) 0, 0; (c) mg cos θ

12.18. ¿Qué cantidad de trabajo realiza (a) la niña del problema 12.8; (b) el hombre del problema 12.10? Respuestas: (a) 240 J; (b) 42J

M

y

s

p

13.1. CAM

Una partíM, tiene una

y en direcciómasa m en e

se denominaEl campo

punto fuera d

13.2 FUERZ

La ley deM y separad

La fuerza se

13.3 ENERG

Una partía la presenci Obsérvese qse utilizó en

Para escacero), la par

La energacción gravit

donde m1 y m

MPO GRAVIT

ícula con maa intensidad

ón hacia M. Eel punto dad

constante gr gravitaciona

de esta distrib

ZA GRAVITA

Newton de ldas por una d

e ejerce a lo

GÍA POTENC

ícula, con maia de una mas

ue el nivel dlos primeros

apar de un crtícula m deb

ía potencial tacional es

m2 son las m

TACIONAL

asa M es la fude campo g

El campo gravdo.

ravitacional.al producido pbución, el mis

ACIONAL

la gravitaciódistancia r,

largo de la

CIAL GRAV

asa m en un casa M), tiene u

e referencia s capítulos, U

campo gravitbe tener la v

gravitaciona

masas de las p

Gravita

fuente de un g de magnitu

vitacional eje

. Las unidadepor una distrismo que si to

n establece qejercen fuer

línea que un

VITACIONAL

ampo gravitauna energía p

para la energU ≈ mgh, el nacional (esto

velocidad de

al de cualqui

partículas y r1

ación

campo graviud

erce una fuer

es de g son Nibución siméda la materia

que dos partírzas de atrac

ne las partíc

L

acional externpotencial gra

gía potencialnivel de refero es, para alc escape, ve,

ier par de pa

12 es su separ

Ca

itacional que

rza F = mg so

N/kg (1 N/kgtrica y esféri

a estuviese co

ículas cualesqcción entre s

ulas.

no de intensidavitacional

l es r =∞ pararencia se esccanzar r = ∞dada por

artículas deb

ración.

apítulo

e, a una dista

obre una part

= 1 m/s2). ca de materia

oncentrada en

quiera, con msí de magnit

dad g = MG/r

a la aproximogió arbitrar∞ con energía

bida a su pro

o 13

ancia r de

tícula con

a es, en un n el centro.

masas m y tud

/r2 (debido

mación que riamente. a cinética

opia inter-

124

13.4

Leyen uno3) La para to

El dos coen tor

Ensobre origen

Si su ecu Los inexcen

La óruna hcaso d

El

está d

Obsérunida

13.5

Elmasa vector

LEYES DE

yes de Keplero de los focorazón del cuodos los planmovimiento

onstantes: E,rno al centro n particular (cla que actúa u

n de un sistemla línea θ = 0

uación se pue

nvariantes futricidad) a tr

bita es una eipérbola parde una órbita

periodo en

dado por (véa

rvese que el ad de masa, E

LEY DE G

l flujo gravitde la materi

rial como

KEPLER. Ó

r: 1) Los plans. 2) El radio

uadrado del pnetas. de un objeto la energía tode la fuerza

como se mueuna fuerza dema inercial, 0 se elige comede escribir a

undamentales ravés de

elipse para Era E > 0. En a elíptica.

una órbita e

ase problema

semieje mayE/m.

GAUSS

acional que a que se enc

GR

ÓRBITAS

netas giran ao vector del Speriodo orbit

con masa m otal del obje

a. estra en el proe atracción Ges una secció

mo el eje de sasí

E y L determ

E < 0 (un círla figura 13-

elíptica de se

a 13.6)

yor o el peri

pasa a travésuentra en el

RAVITACIÓN

alrededor del Sol al planetaal y del cubo

bajo una fuerto, y L, la m

oblema 13.5)GMm/r2 dirigid

ón cónica cosimetría de la

minan los pa

culo para E -1 se indica e

emieje mayo

iodo es una m

s de una supeinterior de la

N

Sol en órbita recorre áreao del semieje

rza central demagnitud del m

) la órbita deda hacia la pa

on uno de susa sección cón

arámetros R

< 0 y e = 0),el significad

or

medida de la

erficie cerraa superficie.

as que son elis iguales en te mayor de la

e atracción semomento an

e una partículartícula con ms focos en el nica, en coor

(el semilatus

, una parábodo geométric

a energía de

da es 4πGMi Esta ley se e

[CAPITULO

ipses, con el tiempos iguaa elipse es ig

e caracteriza gular del obj

la, con masa masa M fija e

origen. denadas pola

s rectum) y e

ola para E = 0o de R y e en

la partícula

i, donde Mi eescribe en fo

O 13

Sol ales. gual

por jeto

m y n el

ares

e (la

0, y n el

por

es la orma

CAPITULO

Aquí, dS = nunitaria dirig

13.1. ¿Cuágr, am

13.2. Encusuper0.11

E

13.3. Consen elcuéncentr

(o) P

(b) D

13]

n dS es el elemgida hacia af

ál es la fuerzmbas separa

uéntrese la intrficie de Maveces la de n la Tierra, la

sidérese la sitl punto y = atrese (a) la dro del planet

Por conservac

De nuevo, po

donde el sign

mento de árefuera de la su

Prza gravitaciodas 20 cm?

tensidad del carte, sabiendo

la Tierra. Elaceleración g

tuación que sa (a > 2R) y distancia máxa; (h) su velo

ción de la ene

r conservació

no menos sig

GRAVITA

ea dirigido deuperficie.

roblemas onal que ejer

campo gravito que el radil radio de la gravitacional e

se muestra enque se aleja

xima h que ocidad cuand

ergía,

ón de la energ

gnifica que la

ACIÓN

e la superfici

resueltosrce una roca

tacional (o aco de ese planTierra es de

en la superfici

n la figura 13a del planeta

puede alcado se encuen

gía,

partícula se m

ie encerrada;

s

a de 10 kg so

eleración graneta es de 34

e 6400 km. e (despreciand

3-2, con la pade masa M a

anzar la partíntra a una dis

mueve hacia

n es la unida

obre una pie

avitacional) g400 km y su

do la rotación

artícula origina una rapideícula con resstancia a/2 de

el planeta.

125

ad normal

dra de 40

g sobre la masa es

n) es

nalmente z v0. En- pecto al el centro.

126

13.4.

13.5.

Una nave ela velocidadTómese la m

Por conse

Derívese (1fuerza gravit

A partir

Ahora bien,

Utilizando e

Sustituyendpara u = 1/r

donde R = LEs fácil

general de l

donde A y B

spacial se end con que llmasa de la Tervación de la

3.1) para la tacional.

del problema

en una fuerz

esta relación p

o esto en el mr:

L2/GMm2. observar que

la ecuación ho

son constante

GRA

ncuentra en egará a la suTierra comoa energía,

trayectoria d

a 7.4(b), la ec

a central el m

para eliminar t

miembro derec

e una solucióomogénea es

es arbitrarias.

AVITACIÓN

reposo a 108

uperficie de M = 6x 102

de un cuerpo

uación radial

momento angu

t de ( 1 ) .

cho de (1), s

ón particular

. Por lo tanto,

8 m del centrla Tierra, si

24 kg y su ra

o que se mue

l del movimie

ular se conser

e obtiene la s

de (2) es

,

[

ro de la Tieri ésta no tien

adio como R

ve bajo la in

ento es

rva:

siguiente ecua

up = 1/R, y

[CAPITULO

rra. Calcúlesne atmósfera = 6400 km.

nfluencia de

ación diferenc

que la soluc

13

se a. .

la

cial

(2)

ión

(3)

CAPITULO 1

Nadacentr

La

esto m(Re-1 perm

13.6. Dedúfluen

U13-1

La ra

de acestá Ahor

de do

13.7. ¿Es p

centr

Ede laposib

13.8. Se quuna ódeseasobreTierr

(a) E

13]

a sucede si se ho de fuerzas.

a ecuación (4

muestra que lr cos θ) tienanece en (4),

úzcase (13.3)ncia de la fue

Un elemento tr, es

azón a que cu

cuerdo con ladado por

ra bien, a par

onde

posible que uro de fuerza?

El momento ana partícula debble únicament

uiere hacer reórbita circulaa que la cápsue la Tierra. ¿Cra, (b) relativ

Elíjase un sisteen θ = al indeseadas se cmayor 2a = r

hace B = 0; esEntonces, es

4) es la ecuac

a distancia denen una razóne, se determi

) para el perirza gravitaci

riangular de á

ubre esta áre

segunda ley

rtir de la figu

una partícula?

ngular se consbe ser siemprte si la trayect

etornar una car a una alti tula abandoneCon qué rapiva al satélite?

ema inercial conicio del despcumplirán si lr0 + RE. Pero,

GRAVITA

sto únicamentcribiendo A =

ión general d

e un punto sobn constante (e)na por conser

iodo de un cuonal.

área de la elip

a es, entonce

de Kepler. Es

ura 13-1 y d

a se mueva b

serva en tornoe cero si la patoria de la par

ápsula espacud de 12600

e al satélite tadez deberá d?

on origen en eegue. En la fla trayectoria, a partir de la

ACIÓN

te hace girar e= e/R, se tien

de una sección

bre la curva a). Véase la figrvación de la e

uerpo que rec

pse, como el

es

sta área de la

e (13.2),

bajo una fuer

al centro de fartícula pasa rtícula es una

cial a la Tierr km por enci

angencialmendespegarse la

l centro de la Tfigura 13-4 sea BB' de la cápa figura 13-1,

el sistema de ce a partir de (

n cónica: ree

l foco (r) y sugura 13-3. La energía. Véas

corre una órb

que aparece

elipse es πaB

rza central q

fuerza, por lo a través del clínea recta qu

ra desde un sama de la sup

nte y realice ucápsula, (a)

Tierra y tal que puede observpsula es la mi,

coordenadas e(3) que:

scrita como

u distancia a lconstante arb

se el problema

bita elíptica b

sombreado en

B; por lo que

que pasa a tr

que el momencentro de fuerue pasa por el

atélite que seerficie de la

un aterrizaje relativa al ce

ue la cápsula sevar que las citad de una el

127

en torno al

la directriz itraria que a 13.16.

bajo la in-

n la figura

el periodo

avés del

nto angular za. Esto es centro.

e mueve en Tierra. Se tangencial entro de la

e encuentre ondiciones lipse de eje

128

la energ

Ahora brespecti

(b) Dado qupuede e

Entonc

y la rap

gía de la cáps

bien en B, las eivamente. Por

ue el satélite sescribir

es

pidez inicial d

GRA

sula por unida

energías poten lo tanto.

se encuentra en

e la cápsula re

vo

AVITACIÓN

ad de masa se

ncial y cinética

n una órbita c

elativa al saté

- v = 3.30 - 4.6

e determina p

a por unidad de

circular de rad

lite es

68 = -1.38 km/

[

por medio de

e masa son v20 /

dio r0, en el sis

/s

[CAPITULO

/2 y GME/r0,

stema inercial

13

se

CAPITULO

13.9. Una Confcercaelíptcentmasaform

(a)

(b)

(c)

13.10. Dos al gTiery alcon

13]

sonda espaciforme alcanza posible de tica que la coro del planeta es 0.815 ve

me se aproxim

En la órbita p

Utilizando el

(Por coincideproblema 13.8

Por conservac

cohetes, S1 giro de las mrra. Un cohelcanza S2 condiciones de v

ial se aproximza la posiciónVenus, se en

onducirá a unta a la sondaeces la masa

ma a B, (b) des

parabólica, E

l resultado de

encia, esta vel8.)

ción" del mom

y S2, se muemanecillas del

te de repuestn una velocidvuelo libre de

GRAVITA

ma al planetan B que se mncienden retron aterrizaje taa es de 16 09

de la Tierra.spués de que s

= 0. Entonce

el problema 13

locidad es mu

mento angular

even en órbitl reloj de radto es lanzadodad tangente espués del lan

ACIÓN

a Venus recomuestra en la ocohetes; parangencial en l90 km. El rad. Encuéntresese disparan lo

es

3.8,

uy cercana a l

r,

tas coplanaredio r1 y r2 = o desde S1 ena la órbita d

nzamiento, (a

orriendo una figura 13-5,

ra frenarla y la posición Adio del planee la velocidados retrocohete

a velocidad v

es, circulares6r1, respecti

n una direccide S2; el cohea) Encuéntres

trayectoria py donde esta

colocarla en A. En B la diseta es de 599d del vehícules, (c) al aterr

v0 que se encon

, y en sentidivamente, enión tangente ete de repuesse la rapidez

129

parabólica. ará lo más una órbita stancia del 0 km y su lo (a) con-rizar en A.

ntró en el

do contrario n torno a la

a su órbita sto viaja en del lanza-

130

miento del crepuesto llegmomento demuestra un

(a) Elíjase u13.8. El

La veloc

Por tant

(b) La rapid

en tanto

Por tantcrementa

cohete de repgue a S2? (c) el lanzamienboceto de la

un sistema ine eje mayor de

cidad de S1 en

to, la velocida

dez del cohete

que la veloci

to, al arribar ar su velocidad

GRA

puesto relativEncuéntrese

nto del coheta situación.

ercial fijo en ee la órbita elíp

n su órbita cir

ad relativa de

e de repuesto

idad orbital de

a B, los motod hasta la de S

AVITACIÓN

va Si. (b) ¿Qel ángulo β qte de repues

el centro de laptica del cohe

rcular es

l lanzamiento

en B es, por c

e S2 es

ores del cohetS2.

Qué debe sucue da la posicto. Véase la

a Tierra y preete de repuest

o es

conservación

e de repuesto

[

ceder para qución de S2 rel

a figura 13-6

ecédase como to es r1 + r2 =

del momento

o se deben enc

[CAPITULO

ue el cohete lativa a S1 en6, en donde

en el problem 7r1, y esto da

o angular,

cender para in

13

de n el

se

ma a

n-

CAPITULO

(c) E

13.11. Enrico

Adel cde m

Pcascamagn

El sicamp

13]

El tiempo nec

en tanto que e

Igualando est

ncuéntrese lay en un pun

Aplíquese el teascarón esfér

magnitud const

ara un punto arón esférico ynitud constant

igno negativopo real está di

cesario para q

el tiempo para

tos dos tiempo

a intensidad gnto fuera del

eorema de Gaico [Fig. 13-7tante sobre S.

en el exterioy que pase pote sobre S.

o indica que girigido radialm

GRAVITA

que el cohete

a que S2 recor

os,

gravitacionalcascarón. Se

auss dibujando7(a)] y que pas.

or, dibújese unor el punto baj

fue trazada emente hacia a

ACIÓN

e de repuesto

rra el ángulo β

l en un puntoea la masa de

o una esfera cse por el punto

na esfera cono consideraci

en la direccióadentro.

pase de A a B

β es

o en el interioel cascarón M

concéntrica S o P. Por simet

ncéntrica S [Fión. De nuevo

n equivocada

B es, por (13.

or de un cascM y su radio

de radio r entría, g debe se

ig. 13-7(b)] eo, g debe ser n

a en la figura

131

.3),

carón esfé- R.

n el interior er normal y

en torno al normal y de

13-7(b); el

132

13.12.

13.13.

Encuéntreseforme de m

Colóquesque pase a tr

esto es +GM

Para un pla esfera sóli

esto es +GM

Encuéntresede cilindro cascarón. Sutremos del cunidad de lo

Para un pObsérvese q

e la intensidamasa M y de r

e una esfera cravés de P. Se

Mr/a3, está diri

unto exterior,ida y que pase

M/r2, es radialm

e la intensidadcircular unifupóngase quecilindro, de tongitud. punto interior Pque g · dS = 0

GRA

ad gravitacionradio a, y en

concéntrica S degún el teorem

igido radialme

, dibújese unae por el punto

mente hacia ad

d gravitacionforme y muye los puntos tal manera q

P, elíjase la su0 en los extr

AVITACIÓN

nal en un punn un punto ede radio r en ema de Gauss:

ente hacia ade

a esfera concéo bajo conside

dentro.

nal en un puny largo de rase encuentra

que g se pued

uperficie gausremos planos

nto interior dxterior a la eel interior de l:

entro.

éntrica S [Fig.eración. Por e

nto en el interadio a, y en an lo suficiende considera

ssiana que se ms de S, y por

[

de una esferaesfera. la esfera sólida

13-7(b)] de rel teorema de

rior de un casun punto en

ntemente lejoar radial. Sea

muestra en la lo tanto

[CAPITULO

a sólida y uni

a [Fig. 13-7(a

radio r en tomGauss:

scarón en forn el exterior os de ambos a X la masa p

figura 13-8(a

13

i-

a)] y

mo a

rma del ex-por

a).

CAPÍTULO

y par

13.14. Encuradiose en

Simasatodosúnica

dond

13.15. Calcúm, enResp

13]

ra un punto ex

uéntrese la ino a, si la densncuentra haci

i el disco se a unitaria en Ps los anillos qamente compo

de dm = σ(2πr

úlese la intensn (a) la supuesta: (a) 27

xtrerior P [Fi

ntensidad grasidad de supeia arriba del

divide en un P (esto es, g) que constituyeonente Z, dFz

dr) = 2πλr2 d

Problesidad gravitaciperficie del So70 N/kg; (b) 5

GRAVITA

ig. 13-8(6)],

avitacional enrficial a cualeje a una dis

conjunto de se puede enc

en el disco. En, dada por-

dr es la masa d

emas comional debida aol y (b) la 5.9 x 10-3 N/

ACIÓN

n un punto soquier distancstancia z del

anillos concécontrar como n un anillo, la

del anillo. Ent

mplementaal Sol, con maposición de lkg

obre el eje deia r del centrcentro (Fig.

éntricos, la atr

la suma de la atracción en

tonces

arios

asa 1.99 x 1030

a Tierra (d

e un disco cirro es σ = λr. E 13-9).

racción total a atracción qu

n P tendrá, por

0 kg y radio 6.d = 1.5 x 1011

133

rcular de El punto

sobre una ue ejercen r simetría,

.97 x 108 m).

134

13.16.

13.17.

13.18.

13.19.

13.20.

13.21.

13.22.

Suponiendo Sol en la poscomprobar e

Dedúzcase y de

Exprésese eangular.

Respuesta:

Un cañón esTierra comode salida detorno a la T

Pruébese qu

donde el propuede utiliz

Un resultadopromedio tem13.20 para v

Encuéntrese de un cilindrc por encimdensidad esRespuesta:

que la Tierrasición de la Tiel problema 13

la expresión

l semieje men

s disparado hoo un sistema iel proyectil deierra. Respues

e para la órbit

omedio es un par la integral

o importante mporal de la everificar este r

la atracción gro circular una de la tapa d ρ.

GRA

tiene una órbierra en términ3.15 (b). Resp

(13.2) para e

nor de la órbi

orizontalmenteinercial, encue la boca del cstas: (a) 7.9 k

ta elíptica de u

promedio tempdefinida)

en los sistemnergía potencresultado en e

gravitacional soiforme delgad

del cilindro; la

AVITACIÓN

bita circular, dnos del periodpuesta: 4π2d/T

e a partir de

ita de un plan

e. Desprecianduéntrese (a) elcañón como pkm/s; (b) 11.2

un planeta que

poral sobre un

mas ligados es ial (ambas enel caso de un

obre una partícdo. Supóngasea altura del ci

determínese lao de la Tierra.

T2

eta en términ

do la resistencl mínimo y (b

para que sea p2 km/s (la vel

e gira en torno

n periodo del

que la energí

nergías son neplaneta que g

cula de masa ue que ese puntilindro es ℓ; e

a intensidad gr. Utilícese este

os de su ener

cia atmosféricab) el máximo puesto en órbilocidad de esc

o al Sol, de se

movimiento.

ía total es iguegativas). Utilgira en torno a

unitaria en un pto se encuentrel radio del ci

[CAPITULO

ravitacional de resultado pa

gía y moment

a y tratando a de la velocid

ita periódica ecape)

emieje mayor a

(Sugerencia

ual a la mitad ícese el proble

al Sol.

punto sobre elra a una distanilindro es a; y

O 13

del ara

to

la dad en

a,

: se

del ema

l eje ncia y su

1

d

acvpLa

e

E

1

poe

dm(

1

s d

e

df

14.1 ELAST

Se dice qudeja de actua

Esfuerzo eaplica la fuerzcuerpo deformvolumen del cpor tan θ ≈ θ,Las unidades adimensional

La ley de elásticos, el e

En las pequeñ

14.2 MOVIMUn cuerpo

partícula conoscilar. La fuelongación se

donde k es la movimiento oMAS).

14.3 ECUACLa ecuació

simple al est

donde ω2 = k/El desplaz

ecuación

donde x0 es lafase; y f = ω/2

ElastTICIDAD Y L

ue un cuerpo ear sobre él unes el cocienteza. Deformac

mado, (∆L)/L.cuerpo, (∆V)/ donde θ es edel esfuerzo . Hooke estab

esfuerzo en e

esfuer

ñas deformac

MIENTO ARMo que se des

n masa m uniuerza en el ree relaciona co

constante deoscilatorio qu

CIONES PARón de movimar unida a un

/m. zamiento de

a amplitud, o2π es la frecu

ticidad LA LEY DE

es elástico si na fuerza que de la fuerzación unitaria Deformación/V. Existe tamel cambio anson el N/m2

blece que pael cuerpo es

rzo = (módulo

ciones, los mó

RMÓNICO SIMsplaza muy pida a un resoesorte que lo on la elongaci

l resorte (la fue ocurre bajo

RA EL MAS

iento de una n resorte sin

la partícula

desplazamieuencia del mo

y movim HOOKE

regresa a su fue lo deformaa que sé ejerclineal es el c

n unitaria volmbién una defgular de la foo pascal (1

ara un cuerpoproporciona

o de elasticida

ódulos de ela

MPLE

poco a partiorte. Cuando

hace tomar ión (x) como

Fres = -

fuerza que pro la acción de

partícula conmasa de con

varía sinuso

ento máximo ovimiento osc

miento a

forma y dimea.

ce sobre un cuambio en lon

lumétrica es eeformación unorma de un cPa = 1 N/m2

o elástico deal a la deform

ad) (deforma

asticidad son

r del equilibo la partícula

su forma ori

- kx

oducirá una ee Fres se deno

n masa m qunstante k es

oidalmente c

de la partícucilatorio.

Ca

armónic

ensiones orig

uerpo entre engitud por uniel cambio en vnitaria por esfcuerpo a part2); la deforma

eformado, sinmación en él:

ción unitaria)

constantes.

brio puede sea se suelta, eiginal cuando

elongación unomina movimi

e realiza un m

con el tiemp

ula que oscila

apítulo

co

ginales despué

el área sobre lidad de longivolumen por usfuerzo cortair de su formación es una

n rebasar su:

)

er modeladol sistema com

o éste sufre u

nitaria del reiento armóni

movimiento

o, de acuerd

a; θ0 es la con

o 14

és de que

la cual se itud de un unidad de nte, dada a normal. cantidad

s límites

por una mienza a

una cierta

sorte). El co simple

armónico

do con la

nstante de

136

El

La fre

14.4

Elvimieviscoecuac

dondeamortindicavimie el momient

14.5

La

14.6

La

Para

14.1.

l periodo se r

ecuencia y el

MOVIMIEN

l movimientoento se vuelvsa actúa sobr

ción del movi

e ω es la fretiguamiento a que la fuer

ento). Para

ovimiento es to se transfor

ENERGÍA P

a función de

MOVIMIEN

a ecuación d

ángulos pequ

Un alambrse suspende 196 GN

Sea AL

donde Y es

ELAST

relaciona con

l periodo tien

NTO ARMÓN

o armónico sive gradualmenre un cuerpoimiento se es

ecuencia angupositivo. El rza viscosa s

una oscilaciórma en uno n

POTENCIAL

la energía p

NTO DE UN

de movimien

ueños (θ ≤

re de acero tde de él un c

N/m2.

L la elongación

s elmódulo de

TICIDAD Y M

n la frecuenc

nen las unida

NICO AMOR

imple es unante más pequ que unido ascribe así

ular del corresigno meno

siempre se o

ón amortiguao oscilatorio,

L DEL MOV

potencial aso

N PÉNDULO

to de un pén

≤ 5°) el movi

Probletiene 4 m de cuerpo con m

n. Luego, segú

e Young. La e

MOVIMIENT

ia del movim

ades de hertz

RTIGUADO

a idealizaciónueña debido a un resorte l

espondiente os que se encpone en sign

ada. En b = 2, decayendo e

VIMIENTO A

ociada con la

SIMPLE

ndulo simple

imiento es ar

emas resulongitud y 2

masa de 20 k

ún la ley de H

elongación es

TO ARMÓNI

miento de acu

z (1 Hz = 1 ci

n, ya que en a los efectoslleva a cabo

oscilador amocuentra a la ino a x (esto

2√ mk (amorexponencialm

ARMÓNICO

a ley de Hoo

de longitud

rmónico simp

ueltos

2 mm de diámkg? El módul

Hooke,

ICO

uerdo con la

iclo/s) y s, re

realidad la a de la friccióun movimien

ortiguado y bizquierda dees, siempre

rtiguamiento mente a cero.

O SIMPLE

ke Fres = -kx

d ℓ es

ple, con perio

metro. ¿Cuánlo de Young

[CAPITULO

ecuación

espectivamen

amplitud del ón. Si una funto vibratorio

b es un factol último térmse opone al

crítico), el m

x es

odo

nto se alargar para el acer

O 14

nte,

mo-uerza o, la

or de mino mo-

movi-

rá si ro es

C

14

14

14

14

APITULO 14

4.2. Un alatensión

4.3. Un alaalambrdel ant (a) El

(b) El

4.4. Un bloesfuerzrior, prEncuénfuerzo

4.5. La prevolumélumétr

El mañade d

4] EL

ambre de cobn se necesita

ambre se estire del mismoterior? (b) ¿C

alargamiento

trabajo que s

oque de gelazo alguno. Srovocándole untrense (a) elcortante.

sión en una cétrico de unaico del cobremódulo de eladebido a que

LASTICIDAD

bre de 2 m da? El módulo

ira 1 mm poro material y lCuánto trabaj

es inversame

se realiza para

tina tiene 60e aplica unaun desplazaml esfuerzo cor

cámara de expa pieza de ce es de 138 Gasticidad volum∆V es negativ

D Y MOVIMI

de longitud de Young p

r medio de una misma longjo se realiza

ente proporcio

a estirar el ala

0 mm por 60 fuerza de 0.

miento de 5 mrtante, (b) la

plosión es de obre sujeta a

GPa. métrica se defivo cuando ∆ρ

IENTO ARM

y 2 mm de dpara el cobre

na fuerza de gitud pero qual estirar cad

onal al área tr

ambre en amb

mm por 20 .245 N tange

mm relativo a deformación

345 MPa. ¿Ca esta presió

fine como B = ρ es positivo.

MÓNICO

diámetro se es de 117.6

1 kN. (a) ¿Cue tenga cuatda alambre?

ansversal, y p

bos casos es W

mm cuando

encialmente la superficie

n cortante, y (

Cuál será el pn? El módul

∆ρ/(∆V/V), do

estira 1 mmGN/m2.

Cuánto se esttro veces el d

por tanto

W = F x.

no está soma la superficinferior (Fig

(c) el módulo

porcentaje dello de elastici

onde él signo m

137

m. ¿Qué

tirará un diámetro

metido a ie supe-

g. 14-1). o de es

l cambio idad vo-

menos se

138

14.6.

14.7.

Un libro scon una amEncuéntredeslizarse.

En ausde acuerdo

donde x0 =es, pues,

Cuando mzarse. Aho

La energíresorte. Alanzacohemiento crtrese la codel movim

Para enK + Uelastic =

ELAS

se encuentra mplitud de 1 ese la frecue

encia de deslio con la ecuac

= 1 m. La fuer

mx exceda a la ora bien, mxmax

a de retrocesAl final del retetes retorna aítico). El lan

onstante del rmiento de recuncontrar la co= constante

STICIDAD Y

sobre una tab m. El coefic

encia del mo

izamiento, el lción

rza horizontal

mayor fuerza

x = 4r2f2mx0 , y

so de un lanztroceso un ama su posiciónzacohetes retresorte (k) y eulamiento. nstante del re

Y MOVIMIEN

bla horizontaciente de friccvimiento de

libro también

l sobre el libro

de fricción poy por tanto

zacohetes, comortiguador dn de disparotrocede 3 m cel coeficiente

sorte se puede

NTO ARMÓN

al y tiene un mción entre el la tabla en l

participa en e

o, que únicam

osible, µN = µ

on masa m = de impacto s

o sin sufrir ocon una rapide de amortigu

e hacer uso de

NICO

movimiento libro y la tabla cual el lib

l movimiento

mente puede de

µmg, el libro co

4536 kg, es e engrana de

oscilación algdez inicial deuamiento crít

e la conservac

[CAPITUL

armónico simbla es de µ = 0bro comenzar

armónico sim

eberse a la fri

omenzará a de

absorbida potal manera q

guna (amortie 10 m/s. Enctico (b = 2 √

ción de la ener

LO 14

mple 0.5. rá a

mple,

cción

esli-

or un que el igua-cuén- mk)

rgía:

C

14

14

CAPITULO 14

4.8. En la fverticacuerpozamienque la para él

La

(¿Por

La

corresp(ωt + φ

4.9. A partitema qsuponi

Elíjenergía

con re

sistema

donde es el m

Dadtencialcero y tendrá energí

4] EL

figura 14-2(aales del terreo de masa Mnto relativo eoscilación del movimiento

segunda ley d

qué no se incl

solución de pondiente al oφ), que está de

ir de considerque se muestriendo que no

jase el ángulo a potencial elá

specto a su lo

a es

momento de indo que las oscl gravitaciona

la energía poun máximo ya se tiene que

LASTICIDAD

a) se muestra eno. Cuando

M se desplazaentre el miemel terreno estéo relativo del

de Newton par

luye al peso M

esta ecuación oscilador quieeterminada po

raciones sobrra en la figuraexisten efect

θ (pequeño) pástica del reso

ongitud de equ

nercia total decilaciones son l. Cuando el rotencial tendráy la energía poe

D Y MOVIM

un sismógrafel soporte de

a una distancmbro inercialé dada por y =miembro ine

ra el miembro

Mg entre las f

diferencial eeto (y0 = 0), yor el movimie

re la energía, a 14-3. Encuétos de fricción

para representaorte es

uilibrio (no es

el disco y del muy pequeñasresorte se estiá un máximo;

otencial será c

MIENTO ARM

fo que se utilel instrumentcia x de la p (masa M) y

= y0 sen ωt. Ercial.

inercial del s

fuerzas que ac

stará constituiy una componento dado del

estúdiense loéntrese la frn.

ar la configura

s su longitud s

peso en tornos, aquí se despira a su máxim; en la posicióero. Por lo tan

MÓNICO

liza para regito se desplazosición de eel soporte es

Encuéntrese la

ismógrafo es,

ctúan? Con s =

ida por una cente estacionaterreno.

os pequeños mrecuencia n

ación del sistem

sin estirar). L

o al eje. precian los camma longitud, lón de equilibrnto, a partir de

istrar las osciza una distanequilibrio. El s = x y. Su

a ecuación di

en la figura 1

= x y,

componente traria de la form

movimientos datural del sis

ma. Dado que y

La energía ciné

mbios en la ena energía cinério, la energíae la conservac

139

ilaciones ncia y, el l despla-upóngase ferencial

14-2(b),

ransitoria, ma A sen

del sis-stema,

y = rθ, la

ética del

nergía po-ética será a cinética ción de la

140

14.10

14.11

14.12

Para en

Este result

0. Un cuerpoadicional es su peri

La con

y por tanto

. Una partícde la partcuencia d

2. Una lentejreposo a um. Encuéuna oscila

ELAS

ncontrar la fre

tado, cuando

o con peso dde 9 N lo alaodo?

stante del reso

o

cula que estáícula es de 1el movimien

ja se encuentun ángulo θAntrese el tiemción.

STICIDAD Y

ecuencia natu

se compara c

de 27 N cuelarga 0.05 m.

orte es

á unida a un r18 m/s2 y la vnto de la partí

tra unida a unA = 3o, como mpo necesar

MOVIMIEN

ral ω del siste

on ω2 = k/m,

ga de un resSi se tira de

resorte expervelocidad máícula y (b) su

na cuerda dese muestra eio para que l

NTO ARMÓN

ema, supónga

muestra que l

orte largo deél hacia abaj

rimenta un Máxima es 3 mu amplitud.

1.8 m de lonen la figura la lenteja reg

NICO

ase una soluci

la masa efecti

e tal rigidez ajo y luego se

MAS. La acelm/s. Encuént

ngitud y se la14-4. Supó

grese a A des

[CAPITULO

ión de la form

iva del sistem

que una fuee lo suelta, ¿c

leración máxrense (a) la

a suelta a paróngase que dspués de com

O 14

ma

ma es

rza cuál

xima fre-

rtir del d = 0.9 mpletar

C

1

1

CAPITULO 14

Por lo

4.13. Escríb14-5. C

En elimin

(a) U

(b) U

(c) Um

Laun

Por lo

4.14. Determ14-6(a

El cde la pobserv

Si les peq

4] EL

tanto, el tiem

banse las ecuCada masa de

cada caso elíjado el peso m

Un desplazami

Un desplazamie

Un desplazamieanera que

a fuerza restaunión de los res

tanto,

mínese si es pa). Si es así,

criterio del MAosición de equa en la figura

la masa m se dueño compara

LASTICIDAD

mpo que se ta

aciones de mebe moverse v

íjase la posicimg de la ecuac

ento ∆x de la

ento ∆x de la m

ento ∆x de la

uradora sobre sortes:

posible o no encuéntrese l

AS es que la fuilibrio. Debida 14-6(fe), con

desplaza a unaado con h y d',

D Y MOVIM

arda en regres

movimiento pverticalmente

ón de equilibión de movim

masa m hace

masa m hace su

masa m provo

m es k2 (∆ℓ

un MAS verla frecuencia

fuerza restaurado al peso mg,n los resortes

a distancia ∆x la fuerza en c

MIENTO ARM

sar a A partie

para los sisteme

rio de la masmiento, la cual

surgir una fue

urgir una fuerz

oca elongacion

2). Pero la fue

tical en el sia natural ω.

adora sea prop, la configuracestirados una

por debajo de

cada resorte es

MÓNICO

ndo de A es

mas que se m

a m como x = será de la for

erza restaurado

za restauradora

nes ∆ℓ1, ∆ℓ2 de

erza debe ser c

stema que se

porcional al deción del equilia distancia

e la posición ds

muestran en l

= 0, con lo qurma

ora 2k(∆x); k

a 4x(∆x); kef

e los dos resort

continua en el

muestra en

esplazamientoibrio es como

de equilibrio, d

141

a figura

ue queda

kef = 2k.

= 4k.

tes, de tal

punto de

la figura

o a partir la que se

donde ∆x

142

14.15

y por tanto

donde, en l

y luego se cEntonce

5. El aparato oscilacioneguador son

ELAST

o la fuerza res

la tercera líne

consideraron úes, puede ocur

de transmisies. Encuéntren de masa de

TICIDAD Y M

tauradora sob

ea, se utilizó l

únicamente lorir un MAS, si

ión que se mse la ecuació

espreciable.

MOVIMIENT

bre la masa m

la expansión b

os términos deiendo la const

muestra en la n del movimi

TO ARMÓNI

m es

binomial

e primer ordenante efectiva d

figura 14-7

iento del sist

ICO

n en pequeñas del resorte ket =

se mueve coema, si las ba

[CAPITULO

cantidades. = 2k sen2 φ, y

on muy pequarras y el am

O 14

y

ueñas morti-

CAPITULO

El

gul

14.16. Unaquemedla t

Res

14.17. UnaL qvertla p

Res

14.18. La suje

dondes

par

14.19. En men

14.20. Unala pderRe

O 14]

Las torcas de

momento de i

Debido al térlar amortiguad

a cuerda de ae se encuentradio de la cuerensión en la spuestas: (a)

a partícula coque se encuenticalmente hacposición de la

spuesta :

energía de uneto a un MAS

nde k es la consplazamiento a

ra mostrar dir

el oscilador arnte con el tiem

a partícula llepartícula se enecha con una spuesta; 7.2 m

ELASTICID

e las tres fuer

nercia en torn

rmino del amodo.

Problacero de pianan apartados rda es tirado lcuerda? (b) ¿2462 N; (fe)

on masa M se ntra suspendicia abajo y con

partícula en c

n cuerpo conS es

nstante del rea partir de la p

rectamente qu

rmónico amormpo. Muéstres

eva a cabo unncuentra a 6 m

velocidad demm a la derec

DAD Y MOV

rzas en torno

no a la bisagra

ortiguador, est

lemas comno (Y = 196 G

1 m, provocaateralmente u

¿Cuál es la fu392 N

une repentinaido, y se suen el origen en ecualquier tiem

n masa m que

sorte, x0 es la posición de eq

ue x = x0 cos (

rtiguado, la ense que

n MAS con unmm a la dereche 0.032 m/s. ¿cha de la posic

VIMIENTO A

a la bisagra s

a es I = mℓ 22 . P

ta ecuación re

mplemenGN/m2), de raando una tensuna distancia uerza lateral q

amente al extlta de inmed

el punto del cuampo t.

e se encuentra

amplitud del quilibrio. Hága

(wt + θ0).

nergía no se co

na frecuenciaha de su posicDónde se encción de equili

ARMÓNICO

son, para θ,

Por tanto, la e

epresenta un m

ntarios

adio 1 mm, ssión en la cude 0.04 m. (

que se aplica

tremó de un rediato-. Considal está suspend

a en el extrem

movimiento,

ase uso de la i

onserva sino q

a angular (ω) ción de equilicontrará la parbrio.

ecuación de m

movimiento ar

se estira entreerda de 39.3

(a) ¿Cuánto sea la cuerda?

esorte de longderando el ejdido el resorte,

mo de un reso

v es la velociintegral

que decrece pe

de 4.0 rad/sibrio y se muertícula despué

143

movimiento es

rmónico an-

e dos puntosN. El punto

e incrementa

gitud natural e Y dirigido, determínese

orte y está

idad y x es el

ermanente

s. Al inicioeve hacia laés de 0.4 s?

144

14.21. LdleeR

14.22. ((qR

14.23. U(cpR

14.24. Ucc

R

La constante kde 20 N se apllos extremos del cuerpo unael cuerpo se suRespuesta: x

(a) ¿En qué p(b) Encuéntrqueñas oscilacRespuestas:

Un cuerpo con(a) Si su despconstante del plazamiento, ¿Respuestas:

Una barra en fcortante µ. Se gcomo se indic

Respuesta:

ELASTIC

k de cierto reslica en uno de

del resorte, en a distancia deuelta. Descríb= 0.200 cos (2

osición alcanrese la tensiónciones de ampl (a) la posi

n masa de 0.4 plazamiento m

resorte? (b) S¿cuál es su áng (a) 4.95 N/m;

forma de cilingira un extremca en la figura

CIDAD Y MO

sorte se mide e sus extremostanto que el o

e 0.400 m hacbase el movim0.0 t+π) (m)

nzará su máxin máxima en litud a. ción vertical;

kg vibra en emáximo a partSi el movimiegulo de fase? (; (b) 0; (c)

ndro circular tmo de la barra ua 14-8. Encué

OVIMIENTO

al observar qs. Se coloca u

otro extremo ecia la izquierd

miento resultan= 0.200 cos (2

mo valor la teun péndulo s

(b) Mg[1 +

el extremo de tir de la posicento comienza(c) Encuéntres) x = 0.20 cos (

iene una longun ángulo pequéntrese la torc

ARMÓNICO

que éste se estun cuerpo con stá fijo. El resda de su posinte del cuerpo0.0 t) (m)

ensión de un imple con ma

(a/ℓ)2]

un resorte conión de equilib

a cuando se ense la ecuación (3.52t) (m)

itud ℓ, radio ueño dα resca restaurado

O [C

ira 0.2 m cuanmasa de 0.25

sorte se comprición de equi

o.

péndulo simpasa M y longi

n una frecuencbrio es de 0.2ncuentra en supara su posic

R, y módulspecto al ora en la barra

CAPÍTULO 14

ndo una fuerz0 kg en uno drime al recorrelibrio; despué

ple que oscilaitud ℓ, para pe

cia de 0.56 Hz2 m, ¿cuál es lu máximo desión al tiempo

o de esfuerzotro extremoa.

4

za de er és

a? e-

z. la s-t.

zo o,

15.1 PRE

El térmy tomar lafluidos en

La presnormal qupunto en c

La fuerza

Si p es conLa unid

15.2 PRIN

La presfluido y a

15.3 DEN

La dens

Para un cude densida

donde ρ es

15.4 LEY

Si p2

a condicióde un fluid

SIÓN EN U

ino fluido se a forma del rreposo. sión en un l

ue ejerce el fuestión:

normal que

nstante en todad del SI de

NCIPIO DE P

sión que se aplas paredes d

NSIDAD

sidad de un c

uerpo no homad son kg/m3

s la densidad

YES DE LA E

p1 es la difer

ón de que los do de densid

EsN FLUIDO

aplica a una recipiente: u

lugar dado dfluido y el ár

se ejerce sob

da la superfie presión es

PASCAL

plica a un fludel recipient

cuerpo homo

mogéneo, la d. La graveda

d del cuerpo y

ESTÁTICA D

rencia de pre

dos puntos sad constante

stática d

sustancia queun líquido o

de un fluido rea dA de la

bre una supe

icie plana, F el pascal (P

ido encerradte.

ogéneo se de

densidad se dad específica

y pagua = 100

DE FLUIDOS

sión entre do

e puedan uni p y que exis

de fluid

e no tiene unaun gas. La

es la razón pequeña sup

rficie plana

= pA.

Pa); de la sec

do se transmit

efine como su

define punto aa de un cuerp

00 kg/m3.

S

os puntos con

ir por medio dsta una aceler

C

os

a forma fija sestática de f

entre la maperficie plan

es, entonces

cción 14.1, 1

te sin disminu

u masa por u

a punto por ppo homogéne

n una diferen

de una trayecración gravit

Capítu

ino que es cafluidos es el

gnitud dF dna que pasa a

1 Pa= 1 N/m

uir a todas la

unidad de vo

p = dm/dV. Leo es

ncia en altura

ctoria localiztacional cons

ulo 15

apaz de fluir estudio de

de la fuerza a través del

m2.

as partes del

olumen:

as unidades

y2 y1,

ada dentro stante g di-

146

rígida veriables, e

El pr

él con unque desp

15.1. CTk

15.2. ¿

15.3. Dvuhq

erticalmentees

rincipio de Arna fuerza netplaza. A esta

Calcúlese la pTómese la prekg/m3.

¿Cuánto pesan

Detrás de unvertical resuluna torca quehorizontal; (bque actuar pa

(o) La figuraa la profu

Se puede[El esquela presión La fuerz

hacia abajo

rquímedes esta dirigida vea fuerza se la

presión a unaesión atmosfé

n 3 m3 de cobr

na represa el ltante sobre le tiende a hac(b) la torca enara producir l

a 15-1(6) es uundidad y es

e despreciar laema que se mun atmosférica

a total es

ESTÁTICA

. La forma d

stablece que uerticalmente a denomina f

Problema profundidadérica como 10

re, cuya graved

agua tiene ula represa, qucer girar la prn torno a O yla misma torc

una vista fron

a presión atmouestra en la figua.] La fuerza c

A DE FLUID

diferencial, q

un fluido acthacia arriba fuerza de emp

mas resued de 100 m po00 kPa y la de

dad específica

una profundidue tiende a dresa en torno y (c) la alturaca.

ntal de la cara

p = pg

osférica dado ura 15-1 (c) se

contra la regió

DOS

que es aplicab

úa sobre un cy de magnitu

mpuje.

ltos

or debajo de nsidad del ag

a es de 8.8?

dad h, Fig. 1eslizaría a loal punto O. Ea a la cual la

a de la represa

gy

que actúa sobe puede utilizaón marcada es

[C

ble cuando p

cuerpo extrañud igual al pe

la superficiegua del mar co

5-l(a). Ejerco largo de losEncuéntrense fuerza resul

a que da al ag

bre el otro ladar para justifica

CAPITULO 1

p o g son va-

ño inmerso eneso del fluido

del océano.omo p = 1030

ce una fuerzas cimientos y(a) la fuerza

ltante tendría

gua. La presió

o de la represar la omisión d

5

-

n o'

0

a y a a

ón

sa. de

CAPITULO

(b)

(c)

15.4. Un vsupun

de coninfi

Int

Otr

su

dontamcel

O 15]

La torca de

La torca tot

Si H es la alesta torca,

vaso cónico, perficie planalíquido de d

Imagínese quanillo infinite

ntribuye a la finitesimal de l

tegrando para

ro método La fuerza tot

fluido (¿por q

nde Fb es la fmiento sobre elan), y ω es el

E

la fuerza dF

tal en torno a

ltura, por enci

r = (b z) ta, como se muensidad ρ. ¿C

ue la superficieesimal (Fig. 15fuerza de lev

levantamiento

obtener la fue

al de presión qqué?). De aqu

fuerza dirigidel vaso (por sl peso del líqu

ESTÁTICA D

en torno a un

a O es

ima de O, en q

tan α, descanuestra en la fiCuál será la f

e interior del va5-2). La presi

vantamiento, des igual a la f

erza total de le

que ejerce un uí que, en este

da hacia abajosimetría, las fuido. Ahora b

DE FLUIDOS

n eje que pasa

que la fuerza t

nsa con su exgura 15-2. Sefuerza de lev

aso consta de uón p(z) actúa dado que actúfuerza de presi

evantamiento,

fluido estáticoe problema,

o sobre la supfuerzas horizobien,

S

a a través de

total F tendría

xtremo abierte quiere llenarvantamiento s

un infinito númsobre la cara v

úa horizontalmión sobre la ca

,

o sobre su con

erficie plana;ntales de pres

O tiene una m

a que actuar p

to hacia abajrlo hasta una sobre el vaso

mero de escalovertical de un

mente. Entoncara horizontal d

ntenedor es igu

Fz es la fuersión sobre el

147

magnitud

para producir

o sobre una altura h con

o?

ones en forma escalón y no es, la fuerza del escalón:

ual al peso de

rza de levan-vaso se can-

148

E

15.5. Eea

15.6. U3s

Pp

15.7. Ups

15.8. USc

A

15.9. Ucc

En consecuenc

Encuéntrese les la correspoagua y del me

Un barómetro33 cm3 cuandou superficie.

En término

Para la burbujpermanece fija

Un pequeño bprofundidad de lo suelta y

(a) Según el

donde V

Una boya cilíSi su gravedacoloque en su

Según el p

Al ponerle un

Un hombre ccon su cabezacuentra totalm

cia,

a presión a uondiente a unercurio son 10

o de mercurio se encuentr ¿Cuál es su

os de la densid

ja, la ley de Ba. Entonces,

bloque de madde 2.9 m. Enc (b) el tiemp

l principio de

es el volumen

índrica de maad específica u superficie su

principio de A

a carga, la altu

cuyo peso es a por encimamente inmers

ESTÁTICA

una profundidna columna de03 kg/m3 y 13

o se eleva a ra en el fondovolumen en

dad de peso, ρ

Boyle establec

dera, de densiuéntrense (a)

po en que el b

Arquímedes,

n del bloque. E

adera, de altures 0.8, ¿cuánuperior?

Arquímedes, la

ura que se sum

de 667 N y ca de la superfiso. Suponiend

A DE FLUIDO

dad de 10 m ee mercurio d.6 x 103 kg/m

762 mm. Uno de un lago dla superficie

ρg, del agua,

ce que pV = c

idad 0.4 X 10) la aceleracióbloque alcan

la fuerza neta

Entonces

ra 3 m y masanto se sumerg

a altura sumerg

merge es direct

cuya densidadficie con ayuddo que el vol

OS

en el agua cuae 760 mm de

m3, respectivam

na burbuja dede 45.7 m de p

del lago?

constante, sup

03 kg/m3, se suón del bloqueza la superfi

a hacia arriba

a 80 kg, flotagirá cuando un

gida, h, de la b

tamente propo

d es 980 kg/mda de un challumen de su c

[C

ando la presióe altura. Las mente.

e gas, cuyo vprofundidad,

poniendo que

umerge en el e hacia la supcie.

sobre el bloqu

a verticalmentn cuerpo de m

boya sin carga

orcional al pes

m3 logra flotaeco salvavidacabeza es 1/1

CAPITULO 15

ón atmosféricdensidades d

volumen es d se eleva hac

la temperatu

agua hasta unerficie cuand

ue es

te en el agua.masa 10 kg se

a está dada po

so o masa total

ar en el aguaas que se en-5 de su volu-

5

ca del

de ia

ura

na do

e

r

l

-

CCAPITULO 1

menlume

El

Igua

15.10. El pairebo c

L

15.11. Unasop15-que

con

15]

n total y que len del chalecol volumen del

alando la fuer

peso de un gloe y el peso decomienza a elLa ecuación d

a barra homoortada por un3. Si la grav

e emerge del

Dado que la fndición del equ

E

la gravedad eo salvavidas. l hombre es

rza de empuje

obo y el gas qe 1 m3 de airlevarse.

de movimiento

génea y delgna cuerda am

vedad específagua.

fuerza de empuilibrio rotaci

STÁTICA D

específica de

con el peso d

que contiene re es de 12.3

o del globo es

gada de longimarrada a unofica de la bar

puje actúa en ional es (A = á

DE FLUIDOS

l chaleco sal

del hombre m

es de 11.12 k3 N, encuéntr

tud 2ℓ flota po de sus extrerra es 0.75, e

el centro de gárea de secció

vavidas es 0.

más el peso del

kN. Si el globrese la aceler

parcialmenteemos, como sencuéntrese

gravedad del aón transversal)

.25, encuéntr

l chaleco salv

bo desplaza 1ración con qu

e sobre el aguse observa enla longitud d

agua que se d)

149

rese el vo-

vavidas,

132 m3 de ue el glo-

ua, estandon la figura de la barra

desplaza, la

150

15.12.

15.13.

De lo anterior Descartando

En rigor, perpendicula

Si una vasijmuéstrese qurotación de

Como se mgenerada porigual presión,presión en cusuperficie en existiría una fsobre el elem

El elemenmovimiento e

Combinando

La subnorya que una c

Un tubo pequCon volúmenmitad del cítravés de la

r,

la raíz negatila solución an

armente. Sin e

a y el líquidoue la superficuna parábol

muestra en la r la rotación d, dado que se eualquier parte P ejerce el refuerza tangenc

mento es su pe

nto se mueve een las direccio

estas ecuacion

rmal de la curonstante subn

ueño y unifornes iguales drculo (véasesuperficie co

ESTÁTIC

iva, se observnterior es sólo embargo, el er

o que contiencie libre del la en torno a

figura 15-4, sde la curva APencuentra en ce de la superfiesto el resto decial a lo largo deso, mg.

en un círculo ones vertical y

nes se obtiene:

rva AP es NG ynormal es una

rme se dobla e dos fluidos la figura 15

omún forma c

CA DE FLUID

a que la mitadaproximada p

rror puede ser

ne giran uniflíquido es un su eje).

supóngase quePK en tomo alcontacto con elicie. Por lo tael líquido es nde la superficie

de radio NP cy horizontal so

:

y es constante propiedad qu

en forma de , cuyas densi-5). Encuént

con la vertica

DOS

d de la barra spues la superfir mínimo si A

formemente eparaboloide

e la superficie l eje de rotacil aire, el cual e

anto, la fuerzanormal a la supe.) Además de

con velocidad on, entonces

e. Por lo tantoue define a la

círculo de raidades son p ytrese el ángual.

[

sobresale del icie del agua n

A es pequeña.

en torno a un(superficie f

del líquido adión OA. Esta ejerce esenciala F que sobre perficie en P. ésta, la única f

angular ω. La

, la curva AP parábola.

adio r cuyo ply σ (p > σ) selo que el rad

CAPITULO

agua. no corta la bar

n eje verticalformada por l

dquiere la formsuperficie es lmente la mismun elemento (De lo contrar

fuerza que act

as ecuaciones

es una parábo

lano es vertice llena la dio que pasa

15

rra

l, a

ma de

ma de rio túa

de

ola,

cal.

a

CAPITULO

pesopura

15.14. Conse eenc

15.15. Un 0.3 lado10.

15.16. EnchacRes

15.17. Un unaes l

15.18. Un ladoestákg/

15.19. Un dencuefun

Resp

15.20. Resigu

O 15]

De las fuerzaos, pgV y σgamente radial

nsidérese un gejerce una fuecuéntrese la pr

cuadrado de m por debajo

o cuando el c1 kN/m3. Resp

cuéntrese el áce que el sistemspuesta: Tan θ

bloque de ma cuerda hacia la tensión en l

tanque contieo, se coloca vá en cada líqum3, respectiv

cuerpo de densidad p, donderpo justo antedidad máxima

spuestas:

suélvase de nuales en la inte

E

as externas quV, tienen torces. Entonces,

Problgas confinadoerza perpendiresión del gas

madera tiene o de la superficuadrado se inpuesta: 77 N

ngulo θ que lma entero se mθ = a/g

adera que pesel fondo de u

la cuerda? Res

ene agua encimverticalmente ido. Las dens

vamente. Resp

ensidad ρ' se de p> p'. Omítes de penetrara a la cual se

uevo el probleerfaz.

ESTÁTICA D

ue actúan sobas en torno alpara el equilib

lemas como en un conteicular de 20 Ns. Respuesta:

0.15 m de laicie del océannclina 30° con

la superficie dmueva en dire

sa 71.2 N y qun tanque de aspuesta: 23.6

ma de mercury en equilibriidades del ace

puesta: 32 mm

deja caer partanse todos losr en el lago, (bhunde antes d

hacia a

ema 15.13; só

DE FLUIDOS

bre los dos segl centro O; labrio,

mplemenenedor por meN sobre el pis5 kPa

do; su orilla sno. Encuéntresn respecto a l

de agua en unección horizon

que tiene gravagua con el pro

N

io. Un cubo dio entre amboero y del mercm en el mercu

tiendo del reps efectos disipb) su aceleracde regresar a l

arriba

lo que esta ve

S

gmentos de flas fuerzas que

tarios

edio de un pistón para evita

superior es hose la fuerza qula horizontal.

na cubeta formntal con una a

vedad específopósito de sum

de acero, de 60s líquidos. Encurio son 7.7 Xurio, 28 mm e

poso desde unpativos y calcúción al penetrala superficie y

ez las presione

fluido únicamee ejerce el con

stón de área 4ar que el gas

orizontal y seue el agua eje El agua del

ma con la horiaceleración a.

fica de 0.75 emergirlo totalm

0 mm de longncuéntrese quX 103 kg/m3 y

en el agua

na altura h enúlense (a) la var en el lago, y flotar.

es de los fluid

151

ente los dos ntenedor son

40 can2. Si se expanda,

encuentra a erce sobre un océano pesa

izontal, si se

es tirado con mente. ¿Cuál

gitud de cada é parte de él y 13.6 X 103

n un lago de velocidad del y (c) la pro-

dos deben ser

1

tde

(d

rr

1

sec

dv

1

lm

dde

16.1 ALGUN

Una líneatiempo, de talde flujo es aqexiste transpo

En el flujo(Sin embargode corriente s

Un flujo eremolinos (sirección fija).

16.2 LA EC

La conservsuperficie cerexisten fuentcorriente en u

donde ρ es lavelocidad pro

Si, ademá

16.3 ECUAC

Para el flulaciona la prmisma línea d

Obsérvesede volumen. de presión a lello por unida

NAS PROPI

a de corrientl manera que quel cuya suorte de fluidoo estacionario, la velocidadon fijos en el

es incompresii el segmento

UACIÓN DE

vación de masrrada sea iguates ni sumideun flujo estac

a densidad, suomedio en la s de ser estac

CIÓN DE BE

ujo estacionarresión p, la vde corriente,

e que cada térDe hecho, la

lo largo de la ad de volume

DináIEDADES DE

e es una líneel vector velo

uperficie estáo. o la velocidad en general l flujo estacioible si la deno de línea qu

E CONTINU

sa requiere qual al incremeneros de matecionario, se o

uponiendo qusección trans

cionario, el flu

ERNOULLI

rio de un fluivelocidad de de la siguien

rmino de la eca ecuación simlínea de corr

en).

ámica dEL FLUJO D

ea imaginariaocidad en cad

á formada po

ad del fluido varía de un p

onario. nsidad del fluie define dos

UIDAD

ue la cantidadnto de masa eeria dentro dobtiene la ecu

ue es uniformsversal (y norujo es incomp

ido incompreel fluido v, ynte manera:

cuación de Bemplemente esiente es igual

e fluidoDE UN FLUI

a en un fluidda punto de laor líneas de c

en un lugar punto a otro.)

ido p es conspartículas ve

d neta de flujoen el interior dde la superficuación de con

me en la secciórmal a ésta).presible, la ec

sible y no viy la altura y

ernoulli tienestablece que l al cambio en

Ca

os

IDO

do, que se toa línea es tangcorriente a tr

dado es inde Las líneas d

stante; es irroecinas del flu

o de masa hacide la superficcie. Aplicandntinuidad:

ón transversa

cuación de co

scoso, la ecuen dos punto

e dimensionesel trabajo rea

n energías po

apítulo

oma en un ingencial a éstaravés de las c

ependiente dee corriente y

otacional si nuido mantien

ia adentro de cie, suponienddo esto a un

al de área A,

ontinuidad se

uación de Beros cualesqui

s de energía palizado por latencial y ciné

o 16

nstante de a. Un tubo cuales no

el tiempo. los tubos

no existen ne una di-

cualquier do que no n tubo de

y v es la

reduce a

rnoulli re- era de la

por unidad as fuerzas ética (todo

154

16.1.

16.2.

16.3.

Un tanque a una razónde volumenEncuéntres

Sea p la

Por consertanque:

Integrando, o

Obviam

Encuéntresgas se esca305 m/s. L

La ecua

donde V, AEntonces,

Una chimediámetro enparte inferiuna rapidealtura hastatura h. Véa

La ecuaparte super

de 10 m3 de n de 1 m3/s. En pero a la dese una expres

a densidad en

vación de la

mente, este pro

se la razón deapa a través da densidad en

ación de conse

A, v son el vol

enea cónica dn su parte supior y se condz de 12.2 m/a llegar a un

ase la figura 1

ación de continrior de la chim

DINÁMI

Problevolumen tienEl gas escapaensidad del tsión para la d

el tanque. La

(l)(

masa, esto de

ceso no puede

e cambio de de un orificion el tanque a

ervación de la

umen del tanq

de 97.6 m de perior. Un ga

densa conform/s. Suponiendvalor final d

16-1.

nuidad, aplicamenea, da

ICA DE FLU

emas resune una válvula a través de tanque, que edensidad en e

razón neta de

(3ρ)-(l)(ρ) = 2

ebe ser igual

e continuar po

densidad en o de salida deal comenzar e

a masa es

que, el área de

alto tiene 30as de densidame se mueve do que la dende 1.28 kg/m

ada entre las s

UIDOS

ueltos a de admisióun orificio d

es un tercio del interior de

el flujo de ma

2ρ(kg/s)

a la razón de

or mucho tiemp

un tanque dee 0.13 m de del flujo era de

el orificio de

0.5 m de diámd 0.64 kg/m3

hacia arriba;nsidad se inc3, encuéntres

ecciones trans

n por la cual de salida a lade la densidael tanque.

asa hacia el tan

incremento d

po.

e 0.28 m3 de diámetro a une 16.1 kg/m3.

salida y la ve

metro en su b3 entra a la ch; abandona lacrementa linese la rapidez

sversales a un

[CAPÍTULO

se bombea ga misma razód de admisió

nque es

de la masa en

volumen si una velocidad d.

locidad de esc

base y 6.1 m himenea por sa chimenea coealmente cona cualquier a

a altura h y en

O 16

gas n

ón.

n el

un de

cape.

de su on

n la al

n la

C

1

1

CAPITULO 1

Ahora

y, por

16.4. En el ecuac

La

dondecorrienpuede

y la di

16.5. El deránguldel fl

Un

Suponmismo

16]

a bien, el diám

r suposición, t

caso de un fión hidrostáti

a ecuación de

e C es constannte a otra. Sin

e mostrar que

iferenciación

rrame de unao 6, como seujo de masa

n elemento de

niendo un flujoo valor en tod

DIN

metro de una

también varía

fluido estáticica,

Bernoulli se p

te a lo largo dembargo, si elC es constan

de esta ecuac

a represa ocue muestra ena través del

e masa de la r

o irrotacional, dos los puntos

NÁMICA DE

sección trans

a la densidad:

co, muéstrese

puede escribir

de una línea del flujo es irrotante en todo el

ción con respe

urre a través n la figura 16paso en térm

razón de flujo

la ecuación des en la cara de

E FLUIDOS

versal varía l

e que la ecua

r como

e corriente peracional (y este

fluido. Lueg

ecto a y propor

de un paso e6-2. Encuént

minos de 0 y

o Q está dado

e Bernoulli estel paso, de do

inealmente co

ación de Bern

ro generalmenincluye el casoo, con v = 0,

rciona la ecua

en forma de ttrese una expy0.

o por

tablece que patnde

on la altura:

noulli se red

nte varía de uno del fluido est

ación hidrostá

triángulo isópresión para

tm + 1/2ρv2 + ρg

155

uce a la

na línea de tático), se

ática.

ósceles de a la razón

gy tiene el

156

16.6.

donde C es

Se pued(θ y t/0) sinoaltura espec

Un fluido curvas de perpendicucomo se men el punt

(a) La macambi

y por t

Simila

Toman

(b) Si R e

una constante

de observar qo también de lacífica. Por ejem

incompresibl90°, como s

ulares. Para euestra, que po O,

agnitud del fluja de dirección

tanto la fuerz

armente, la fue

ndo las torcas

s la fuerza de

DINÁMI

e. Sustituyend

ue el flujo dea constante C. mplo, si v = 0

le de densidase muestra eel equilibrio erevenga que

jo del momenn, de -k a j; la

a sobre el tub

erza sobre el t

en torno a Z,

reacción en O

ICA DE FLU

do e integrando

e masa no dePara evaluar Cen y = y0, ent

ad p fluye a n la figura 1estático del tel tubo gire e

tum a través da fuerza sobre

bo en O es

tubo en P es

O, entonces la

UIDOS

o:

pende únicamC se debe conoonces

través de un

16-3. Las cuubo, encuént

en torno al eje

del tubo es pv2

e el fluido es,

a condición de

mente de la gocer la rapidez

n tubo uniforurvas están strense (a) la fe Z, y (b) la f

2A. En O, el flentonces

e fuerzas para

[CAPÍTULO

geometría del z del flujo en a

rme que tieneituadas en pfuerza F, aplifuerza de reac

lujo del mome

el equilibrio

O 16

paso

alguna

e dos lanos icada cción

entum

es

CAPITULÓ

16.7. Un comunase einiccae

(a)

(b)

Ó 16]

lo cual da

tanque cilíndmo se muestra

profundidadencuentra enialmente el agen el piso? (

En la superfiencuentra fueBernoulli,

Los valores v

De aquí se stérmino 1/2ρvción de Bern

El hecho

Después de donde el choque:

D

drico de 0.9 a en la figura d de h0 = 3 m el fondo degua al salir de(c) ¿Cuánto s

icie del líquidera del orifici

v1 y v2 de la rap

igue que el tév2

2 . Por lo tantonoulli, la cual

de que v2 sea i

asignar valororro cae sobre

DINÁMICA D

m de radio d16-4. Inicial. Un tapón cue uno de lose este orificiose requerirá p

do, p, v, y y tiio tienen los v

pidez se relaci

érmino 1/2ρv21 s

, se puede conda entonces

igual a la rapid

res a p, v, y ye el suelo, de

DE FLUIDOS

descansa sobrmente se llenuya área es ds lados del to? (b) ¿Cuál epara que el ta

enen los valovalores p2, v2 y

ionan por med

será (4039)2 ≈nsiderar a 1/2ρv

dez de caída lib

y justo fuera dacuerdo con l

S

re una platafna con agua (ρe 6.3 cm2 se anque, (a) ¿s la rapidez d

anque quede t

ores ρ1, v1 y y1y y2. De acuer

dio de la ecuac

≈ 1.6 X .107 vv2

1 efectivame

bre se conoce

del orificio dla ecuación d

forma de 6 mρ = 1 X 103 kgquita de un oCon qué rap

del chorro inictotalmente va

1, y en el chorrdo con la ecu

ción de contin

veces más peqente como cero

como ley de T

del tanque y ee Bernoulli se

157

m de altura, g/m3) hasta orificio que pidez fluirá cial cuando acío?

rro que se uación de

nuidad:

queño que el o en la ecua-

Torricelli.

en el lugar e encuentra

158

16.8.

16.9.

16.10. Hp

16.11.

16.12. y

pR

como si e

Por conserva

Comosuperficie

Un accesoriose mueva haversal . ¿Cuá

En el probde abandonarapropiada de

Un medidor den un conducρ1 ρ2 entrede esto, infié

Respuesta:

Haciendo usopasa a través

Respuesta:

Considérese e¿Cuál será la flujo se confi

Supóngase quy a una presióa en uno de lopecto al coheRespuestas:

el líquido hubi

ación de la ma

o en (a) se ence. Entonces,

o se une al orcia arriba co

ál es la máxi

blema 16.7 se r el orificio, aceleración c

Prode flujo de Vecto de sección dos presionesrase la rapide

del problemade cualquier s

el flujo de un fvelocidad de na a una aper

ue el gas en lón p1, y que sos extremos dte, en término

DINÁMIC

iese caído a pa

asa

cuentra que v2

rificio del tann un ángulo ma altura h'

vio que el chodonde su vel

constante en l

oblemas centuri introdu

n transversal cs ordinarias deez del fluido e

a 16.9, encuénsección transv

fluido con veleste fluido en

rtura cilíndric

a cámara de esale de la cámdel cohete. Enos de p1 y p1;

CA DE FLUID

artir del repos

2 = √2gh, desp

nque del probθ, sin afecta

' que alcanza

orro lleva a caocidad es v2a dirección Y

complemuce un estrechcon área a1. Ee fluido, p1 y len el conduct

ntrese el volumversal del con

locidad v0 a tran un punto dona de radio r/4

explosión de mara al espacincuéntrese (a)(b) el empuje

DOS

o desde la par

preciando de n

blema 16.7 pr su velocida

ará el chorro

abo el movim= √2gh0. Ent

Y

mentariosamiento con ál medidor regla presión en eo no estrecha

men de un fluiducto.

avés de un connde, debido al? Respuesta:

un cohete se io vacío a trav) la rapidez re

e producido so

[

rte más alta de

nuevo el movi

ara provocarad o área de s?

iento de un prtonces, aplica

área de secciógistra la difereel estrechamie

ado.

do por unidad

nducto cilíndrl estrechamien16v0

conserva a unvés de una abelativa de saliobre el cohete

CAPÍTULO 1

l tanque, (c)

miento de la

r que el chorrsección trans

royectil despuando la fórmu

ón transversalencia en presióento, p2. A par

d de tiempo qu

rico de radio rnto del tubo, e

na densidad pbertura de áreida del gas ree.

16

ro s-

ués ula

l a2 ón, rtir

ue

r. el

p1 a s

CAPÍTULO 16] DINÁMICA DE FLUIDOS 159

16.13. ¿Cuál es el empuje inicial sobre el tanque en el problema 16.7? Respuesta: 2pgh0a2 = 37 N

16.14. Un barril de agua se encuentra sobre una mesa de altura h. Si se le hace un pequeño hoyo en uno de los lados de la base, se observa que el chorro llega al suelo a una distancia horizontal R del barril. ¿Cuál es la profundidad del agua en el barril? Respuesta: R2/4h

16.15. Una placa plana se mueve normalmente hacia un chorro de descarga de agua a la razón de 3 m/s. El chorro descarga agua a una razón de 0.1 m3/s y a una rapidez de 18 m/s. (a) En-cuéntrese la fuerza sobre la placa debida al chorro y (b) compárese este resultado con el que se obtiene si la placa se encuentra estacionaria. Respuestas: (a) 2450 N; (b) 1800 N

Gas

17.1 ECUA

La ecuacrelaciona la bajas, todos donde N es en grados K

Los valores

El cociente

que es el nú

17.2 MOV

Desde ealeatorio, cvelocidad técinética deconjunto de

Para un gas

Por tanto, lenergía cinobjeto. (Vé

La enersu energía

ses, mo

ACIÓN DE E

ción de estadopresión, el vlos gases tien

el número deKelvin del gas

s de k, consta

e de estas dos

úmero de mo

VIMIENTO T

l sistema de rcon una amplérmica) vrms se traslación e moléculas d

s diluido, qu

la temperaturnética de trasléase el problergía total E dcinética total

ovimientt

ESTADO

o de un gas envolumen y la tnen la misma

e moléculas ens, la cual se r

ante de Boltz

s constantes e

oléculas en u

TÉRMICO

referencia delia distribucise puede defines igual a l

del gas:

e obedece a

ra absoluta dlación de susema 17.11.) e un gas ideal. Por tanto, s

to térmtermodi

n equilibrio ttemperatura decuación de e

n el gas; n es relaciona con

zmann, y R l

es el número

un mol.

el centro de mión de energínir como la vla energía c

la ley de los

de un objeto m moléculas, d

al (medida ensegún (17.2)

1

ico y la námica

térmico (tempdel gas. Tratáestado, denom

el número den la temperatu

la constante

o de Avogadr

masa, las molías cinéticas

velocidad dé ucinética de t

gases ideale

macroscópicdeterminada

n el sistema dy (17.3),

61

Ca

primera

peratura unifoándose de denminada ley de

e moles del gaura en grados

universal de

ro,

léculas de un. La velocidauna molécula traslación pr

es,

co es una meden el sistema

del centro de

apítulo

ra ley de

orme en todo nsidades suficlos gases idea

as; y T es la tes Celsius por

e los gases

n gas tienen mad cuadrátichipotética cu

romedio sob

dida del proma del centro d

e masa) es la

o 17

e la

el sistema) cientemente ales:

emperatura medio de

son

movimiento a media (o

uya energía bre todo el

medio de la de masa del

misma que

162

Una molacionaldenada

La exprde traslestán cucional a

La dcaminodiámetr

N/V es

17.3

En uvalor f

donde Wcalor qy el calla termreferenpotenc

El tel mismdado. P

La barproduc

Si eun gassistema

En un Un

volum

donde monoa

olécula diatóml. De acuerdoindependien

resión (17.5)ladarse y rotuantizadas. Ca T, distancia prom trayectoriaro d,

el número d

LA PRIMER

un proceso efinal E + ∆E

W es el trabaue penetra allor que sale dodinámica en

ncia si E se deial macroscó

trabajo W y emo para todoPor esta razón

ra es un aviscir funciones el sistema es (ideal o no)a de un volum

diagrama p-proceso adiaen se represe

γ > 1 cocieatómico, γ =

GASES, MO

mica posee to con el teorente) tiene la m

) es únicamear como un

Con la contri

medio que recl libre medio

e moléculas

RA LEY DE

en el cual la eE,

ajo realizado l sistema prode él se cuentn el sistema define como laópica que posel calor Q deps los proceson, (17.7) se e

so de que dQbásicas únicun gas ideal,

) y si el únicomen V1 a un v

V este trabajabático es aquenta por

nte de sus c5/3 (véase el

OVIMIENTO

tanto energíaema de la eqmisma cantid

nte aproximacuerpo rígidbución vibra

corre una moo, ℓ. Para un

por unidad d

LA TERMO

energía inter

∆ E

por el sistemveniente de ltan como neg

de referencia da energía totasea el sistempenden en genos que llevan escribe para u

Q y dW no socas Q y W. la energía ino trabajo reavolumen V2,

o es igual al uel para el cu

apacidades cl problema 1

TÉRMICO Y

a cinética de quipartición, cad de energía

ada, debido do, puede tenacional inclui

lécula de gasn gas ideal

de volumen.

ODINÁMICA

rna de un sis

E = Q - W

ma sobre sus los alrededorgativos.) La edel centro de al (la energía

ma). neral de los pal sistema de

un proceso in

on diferencia

nterna E está alizado en el

entonces

área bajo la ual Q= 0. Para

caloríficas (v7.3).

Y PRIMERA

origen rotaccada grado da 1/2kT, asoc

a que una mner vibracionida, E cesa d

s entre colisiocompuesto p

A

stema cambia

alrededores dres. (El trabajecuación (17.masa; se pueinterna más

procesos parte un estado innfinitesimal,

ales exactas;

dada por (17proceso es e

curva que d

a un gas ideal

véase el capí

LEY [

ional como dde libertad miada. Por lo t

molécula diatóes internas,

de ser simple

ones aleatoriapor molécula

a de un valor

durante el prjo realizado s7) expresa lade aplicar en cualquier ene

ticulares, en tnicial dado a

no se puede

7.4) o (17.5). el debido a la

escribe la exl, un cambio

ítulo 18). Pa

[CAPÍTULO

de origen traolecular (cootanto,

ómica, ademcuyas energí

emente propo

as se denominas esféricas

(17

r inicial E a u

(17.

oceso y Q essobre el sistema primera ley otro sistema

ergía cinética

tanto que ∆E un estado fin

(17

en integrar pa

Si el sistemaa expansión

xpansión. adiabático en

ara un gas id

17

as- or-

más ías or-

na de

7.6)

un

.7)

s el ma de de

a o

es nal

7.8)

ara

a es del

n el

deal

CAPITULO

17.1. Un (25 ¿Cude m (b)

(c) La d

17.2 Un mllevinicgas?lumdesd¿cuá

(a) (b)

(c)

O 17] G

gas ideal eje°C) y su volu

uál es la densimasa si el ga

) La masa atómcontiene 2.0

La masa atómdensidad del o

mol de gas dea a cabo un ial, (a) ¿Cuá? (c) Luego e

men; ¿qué trade el estado iál es el traba

Refiérase a lPor la ley de

El proceso a

GASES, MOV

Prerce una preumen es de 1idad de masa s es oxígeno

mica del hidr16 g, o 2.016

mica del oxígeoxígeno es ento

e helio, iniciaproceso isov

ál es el trabajel gas de helioabajo realiza nicial en (a) ajo realizado

la figura 17-1. e los gases idea

presión const

VIMIENTO T

roblemassión de 1.520-2 m3 (10 litsi el gas es h

o, O2?

rógeno es 1.00X 10-3 kg. La

eno es 16, por onces

almente a STPvolumétrico ejo realizado po se expandeel gas? (d) al estado finao por el gas?

WAB = 0, dadales, a volume

tante hace reto

TÉRMICO Y

s resuelto2 MPa cuandtros), (a) ¿Cuidrógeno mo

08, de tal mana densidad del

lo que un mol

P (p1 = 1 atmen el cual lapor el gas? (

e isobáricameSupóngase qal en (c) por m?

do que dW = pen constante,

ornar el gas a l

Y PRIMERA

os

do su temperuántos moleslecular, H2? (

nera que un ml hidrógeno e

l de O2 contien

m = 101.3 kPaa presión cae(b) ¿Cuál es lnte hasta alcaque el gas llmedio de una

pdV = 0.

la temperatura

LEY

ratura es de s de gas exist(c) ¿Cuál es l

mol de hidrógs, entonces

ne 32 g, o 32 x

, T1 = 0 °C = a la mitad dla temperaturanzar el doblleva a cabo ua expansión i

a original T1 =

163

298.15 °K ten ahí? (b) a densidad

geno (H2)

x 10-3 kg.

273.15 K), de su valor ra final del e de su vo-un proceso isotérmica;

= 273.16 K.

164

17.3.

17.4.

17.5.

G

Obsérvese qu

Determíneseadiabático ta

La prime

para el proce(17.4), de do

Más aún, uti Finalmente,

Encuéntreseun estado (p1

Para la e

Calcúlese la(100 °C).

La mas

GASES, MO

ue WAC ≠ WAB

e la relación al que únicam

era ley de la te

eso adiabáticoonde

lizando la ley

a partir de la

el trabajo re1, V1) a un es

expansión adi

a velocidad c

a de una molé

VIMIENTO

+ WBC; el tra

ρ-V en un gamente se real

ermodinámica

o. La energía d

y de los gases

ley de los ga

ealizado por stado (p2, V2)

abática,

cuadrática m

écula de H2 se

TÉRMICO Y

abajo entre lo

as ideal monliza trabajo d

a, (17.8), estab

de un gas id

ideales,

ses ideales, su

un gas ideal.

edia de las m

e puede calcu

Y PRIMERA

s estados A y

oatómico qude expansión

blece que

deal monoatóm

ustituyendo p

l al expander

moléculas de

lar a partir de

LEY [

C depende de

e lleva a cabn.

mico está d

ara T,

rse adiabática

hidrógeno (H

el peso molecu

[CAPITULO

e la trayectoria

bo un proceso

dada por

amente desde

H2) a 373.15

ular

17

a.

o

e

K

C

1

1

CAPITULO 1

17.6. Dedúz

Cvolumcompopartir

Ahoradel ga

Pero N

donde

17.7. De acute conpartir

Ela cap

o (la ec

donde

E

7] G

zcase la ley d

Considérese unen V. La velo

onente, dado de (17.1) y

a bien, si la meas 2, cada una

Nimi/V = pi

pi es la presió

uerdo con la ln la altitud, sude la ley de l

En la figura 17pa,

uación hidros

e m es la masa

En la integraci

GASES, MOV

de Dalton de l

na mezcla de gocidad cuadrátque depende y (17.3),

ezcla consta dcon masa m2,

la densidad d

ón del i-ésimo

ley de las atmuponiendo qulos gases idea

7-2 se muestra

tática; véase l

a molecular p

ión, se supuso

VIMIENTO T

las presiones

gases en equiltica media moúnicamente d

e N1 molécula, entonces la d

del í-ésimo si

gas si únicame

mósferas, la prue la temperaales.

a una delgada

la sección 15.4

promedio del

o que g, así co

TÉRMICO Y P

s parciales.

librio térmicoolecular de lade la temperat

as del gas 1, cadensidad ρ de

únicamente é

ente éste ocupa

resión atmosféatura es unifo

a capa de aire

4). A partir de

aire. Entonce

omo T, es inde

PRIMERA L

y en el interia mezcla es latura. La presi

ada una con me la mezcla es

él ocupa el rec

a la vasija. Est

férica disminuorme. Obtén

I

a una altitud z

e la ley de los

s

ependiente de

EY

ior de un recia misma para ión de la mez

masa m1; N2 mtá dada por

cipiente. Ento

ta es la ley de

uye exponencingase este res

z. Para el equ

gases ideales

z.

165

piente de cada gas

zcla es, a

moléculas

nces

Dalton.

ialmen- sultado a

uilibrio de

,

166

17.8.

17.9.

Las magnimuestra ena través demiento angde 600 rev

Una msegundo diotro. Enton

El sistema y un espejvertical. Lproducen posición aejemplo dcuadráticofina de cu

GASES, M

tudes de las vn la figura 17-el selector degular de 180°

v/s. ¿Cuáles smolécula que pisco gira un v

nces

móvil de un go que se susp

Las colisionetorcas que n

angular fluctúde movimiento medio del suarzo es K=l

MOVIMIENT

velocidades m-3. En un expe velocidades°, entre las doson los valorepasa a través

valor π, 3π, 5π

galvanómetropende de unaes aleatorias no son igualeúa continuamto brownianosistema es θ

X 10-13 N m

TO TÉRMIC

moleculares sperimento cons con los disos rendijas, ces posibles dde la primeraπ, sucesivame

o de D'Arsonva fibra muy fi

de las molées y opuestasmente y el siso). Véase la

rms = 2 X 10-

m/rad, encué

O Y PRIMER

se pueden men él se encuencos separado

cuando los die la rapidez da rendija pasaente, mientra

val está formana y que es c

éculas de airs en todo momtema exhibe figura 17-4. -4 y la torc

éntrese la tem

RA LEY

edir con el dintra que las mos 0.5 m y coiscos dan vuede las molécuará a través ds la molécula

ado por una bcapaz de girarre con el sistmento. El reun "cero" noSi el desplaza constante

mperatura de

[CAPITUL

ispositivo quemoléculas pasaon un desplazelta a una razulas?

de la segunda a va de un dis

bobina de alamr en torno a stema suspensultado es qu

o estacionariozamiento ang para una f

l aire.

O 17

e se arán za zón

si el sco a

mbre u eje

ndido ue la o (un gular fibra

CCAPITULO 1

Epotencinétivalor

Esta

17.10. Un ssistemyectocomo

(que

17.11. ImagEl teres la

Cvelocdada

Pero la dirPor lo

E

ideale

E

las mléculverda

17.12. Un rconfcuán

17] GA

El teorema dencial. En sus oca, 1/2Iω2, y la medio eje cad

es la tempera

atélite enviama solar y o

oria libre medo 2.4 x 10-10 m

es aproximad

gínese un termrmómetro se "temperatur

Con respecto acidad vx, vy vpor

v y = 0, dado qrección + Y o tanto,

El termómetroes 1/2mv2

rms =

El termómetromoléculas del la, en adición adera.

resorte que tfiguración sento se increm

Al ser compri

ASES, MOVI

la equiparticoscilaciones al

energía potencda energía es

atura del siste

ado al espacobtiene un vadia de los átomm.

damente 10 ve

mómetro colomueve a trava" que dará e

al termómetro v0, vz. La rapid

que para cada mexistirá otra

o convertirá v3/2kT. Entonce

o en movimiengas poseerán a la energía c

tiene una cone sumerge en

menta la energ

imido el resor

IMIENTO TÉ

ción se aplica leatorias, el sicial elástica de1/2kT. Por lo ta

ema, la cual

cio muestreaalor de 2.5 ámos de hidróg

eces la distan

ocado en el ivés del gas coel termómetr

en movimiendez cuadrática

molécula de gmolécula que

v'rms a una tees,

nto proporcionuna energía c

cinética desor

nstante de ren una vasija dgía interna de

rte, éste adqui

ÉRMICO Y P

a ambos tipostema espejo-

ebida al giro deanto,

es también la

a la densidadátomos de higeno? Tómese

ncia del Sol a

nterior de unon una velocio?

nto, una moléca media, v'rms, r

gas que tenga ue tenga la mi

mperatura, T'

nará la lecturacinética ordendenada que d

esorte 5 N/mde ácido en lel sistema res

iere una energ

PRIMERA L

os de energía -alambre tieneel alambre, 1/2K

a temperatura

d de la mateidrógeno pore el diámetro

la Tierra).

n gas ideal cuidad v0 en la

cula de gas tenrelativa al term

una cierta comisma velocida

', al utilizar l

a falsa T' debnada, en un mdetermina por

m se comprima cual se dis

sorte-vasija?

gía potencial e

LEY

en desorden, e una energía dKθ2. Según el t

a del aire.

eria en el inr cm3. ¿Cuáldel átomo de

uya temperatdirección + Y

ndrá las compmómetro estar

mponente de vead en la direc

la relación de

bido a que, resmonto de 1/2mv

sí misma la te

me 0.04 m, ysuelve el reso

elástica en una

167

cinética y de rotación teorema, el

nterior del es la tra-hidrógeno

tura es T. Y. ¿Cuál

ponentes de rá entonces

elocidad en cción Y.

e los gases

specto a él, v2

0 por mo-emperatura

con esta orte. ¿En

a cantidad

168

17.13.

17.14.

17.15.

17.16.

17.17.

Cuando el rey cinética de

Un tanque cmolinillo esderando al tdel sistema

aproximadam

Considéresecubeta que cencima del agua. Encuéjusto despuétransferido temperatura

Se apliccinética y po

(a) Se tien

esto es,

(b) Justo d

y despr

(c) Despuétempera

Si 2.1212 gperatura es

Un gas ideaLa cuarta pamedida si laRespuesta: 8

Un globo esy presión noapenas flotaRespuestas:

GASES, M

esorte se disusordenadas de

contiene un s de 2.24 kWtanque y al fpor hora

mente 6 MJ/h

e un sistema contiene ma =agua, y tanto

éntrese ∆Eint

és de que la rel suficiente que tuvieron

ca la primera lotencial macro

ne que Q = W

la conservaci

espués de qu

reciando la pro

és de que se hatura original,

Prramos de ude 0 °C y la p

al se coloca earte del gas sea temperatura 897.7 kPa.

sférico de 2 mormales y despa en el aire? ¿C: (o) 5.45 k

OVIMIENTO

uelve, esta eneel sistema.

fluido que eW. Del tanqufluido como e

h.

que consiste= 14.6 kg deo ella como , ∆K, ∆U, y

roca llega al re calor comon inicialmente

ley en el sistemoscópicas, K y

W = ∆Eint = 0,

ión de la energ

e la roca lleg

ofundidad de

ha perdido suf ∆Ei nt = 0. Igu

roblemas un gas monopresión es 81

n un tanque a saca del tanqes de 315 °C?

m de diámetro préciese la maCuáles son (b)

kg; (b) 1.3 k

O TÉRMICO

ergía potencia

es agitado poe se transfieel sistema, de

e en una roce agua. Inicel agua tiene

y W (a) cuandreposo en el fo para que lae.

ma de referency U, del sistem

por lo que ∆K + ∆U

gía mecánica.

a al reposo en

Q = W = ∆

la cubeta ∆U

∆Eint = - ∆Uficiente comualmente, ∆K

Q = ∆U = -

complemoatómico ocu0.6 kPa, ¿cuá

a 40 °C. La mque y se establ? Tómese la pr

se llena con hasa del globo,) la densidad, kg/m3; (c) 7

O Y PRIMER

al ordenada se

or un molinilre calor a unetermínese e

a que tiene uialmente la ren la misma do la roca cofondo de la cua roca y el a

cia del suelo, pma, así como su

U= 0 Entonces,

n el fondo de

K = 0

= 3391 J. En

= 3391 J mo para que la

= 0, W = 0, y

-3391 J

mentariospan un volum

ál es el gas? R

medida de la pece el equilibrresión atmosfé

helio. Supónga (a) ¿Cuánto d(c) la presión

738 kPa

RA LEY

e convierte en

llo. La potenna razón de l cambio de

una masa mr

roca se encuetempertura. mienza a entubeta, (c) desagua se encu

por lo que E inu energía inter

la cubeta,

ntonces,

a roca y el ag ∆U = -3391 J

s

men de 1.49 litRespuesta: He

presión es inicrio térmico. ¿C

férica como 10

anse condiciode helio conti

n del gas de he

[CAPITUL

n energías pot

ncia de entra0.586 kW. Cla energía in

r = 14.6 kg yentra a 23.7 mLa roca cae

trar en el aguspués de que entren a la m

ncluye las enerna, Eint.

gua recuperenJ. Por lo tanto

tros cuando lae

cialmente 608Cuál será la pr01 kPa.

ones de tempeene el globo s

elio?

LO 17

encial

ada al Consi-nterna

y una m por en el

ua, (b) se ha

misma

ergías

su ,

a tem-

8 kPa. resión

eratura si éste

CAPITULO

17.18. La dibucióentre

Encu

Respu

17.19. Muésvolum

17.20. ¿A quTierrahidróResp

17.21. Una rtienenrequiRespu

17.22. Dos gpresiLos dgasestante?

17.23. Las vEncu(c) mResp

17.24. Un mexpadel genergResp

17.25. Un El émen eqcilind

17] G

istribución esón de Maxwell E y E + dE p

uéntrese la ene

uesta: E = 1/2

strese que la fmen constante

ué temperaturaa (ve = √2

ógeno de la suuestas: (a) 10

reacción de fun una energíaiere para que uesta: 5.57 x

gases ocupanón de 1.38 M

dos contenedo entremezclars? Respuesta: 0

velocidades deéntrense (a)

muéstrese que ppuesta: (a) 29

mol de gas hidnde isobáricam

gas? (b) ¿Cuágía interna deluestas: (a)

cilindro equipmbolo se empuquilibrio térmidro si el volum

GASES, MOV

stadística de el-Boltzmann. Épor medio de

ergía cinética

kT

frecuencia de e varía confor

a la vrms de mo2gr)? (b) uperficie de la0100 K; (b) 44

usión nucleara cinética promocurra la fusi109 K

dos contenedMPa. El gas enores están unise. ¿Cuál es la0.965 MPa

e cinco moléc la rapidez p

para cualquier9.6 m/s; (b) 3

drógeno, inicimente hasta dl es el trabajo gas? (d) ¿La e546.30 K; (

pado con un éuja tan despacico con los alrmen final es la

VIMIENTO T

energía que suÉsta proporci

e

promedio sob

colisiones morme a la raíz c

oléculas de H2¿Cuál es la

a Luna (gM = 149 K

r ocurre en unmedio de al mión nuclear en

dores, A y B.n B, de 0.16 dos por un tua presión final

culas tienen lapromedio y (br distribución 2.6 m/s; (c

ialmente a coos veces su voo realizado poenergía térmic

(b) 2.27 kJ:

émbolo contieio que el aire rededores. Enca mitad del vol

TÉRMICO Y

ubyace en la ona el número

bre el conjunto

oleculares de cuadrada de la

es igual a la rtemperatura

1.6 m/s2, RM =

n gas de núclemenos 0.72 Mn el deuterio?

El gas en Am3 de volum

ubo de voluml en el contene

as siguientes (b) la rapidezde rapidez,

c)

ndiciones de olumen inicialor el gas al exca, entra o sale(c) 3.41 kJ;

ene 0.1 ml de aen el interior cuéntrese el trlumen inicial.

Y PRIMERA L

ley de los gao de molécula

o de N molécu

un tipo de gaa temperatura

rapidez de esccorrespondien

= 1750 km)?

eos de deuterMeV. ¿Cuál es

? (1 eV = 1.

, de 0.11 m3

en, ejerce unmen despreciaedor si la temp

magnitudes: 1z cuadrática m

presión y teml, (a) ¿Cuáxpanderse? (ce del gas, y si e(d) entran 5.6

aire a temperadel cilindro perabajo realizadRespuesta:

LEY

ases ideales eas con energía

ulas.

as dado en unabsoluta.

ape de la supente para el e

io cuando losla temperatur6 X 10-19 J.)

de volumen, a presión de

able, y se peperatura perma

12, 16, 32, 40media de estas

mperatura conál es la temperc) ¿En cuántoes así, en qué

68 kJ

atura ambientermanece esendo por el aire 169 J

169

s la distri-as cinéticas

a vasija de

erficie de la scape del

s núcleos ra que se

ejerce una 0.69 MPa. rmite a los anece cons-

0 y 48 m/s. moléculas,

stante, se ratura final

o cambia la cantidad?

e (20 °C). ncialmente dentro del

18.1 DILAT

El cambiun poco ∆T, donde α es eestán dados

El cambi

donde β es e

La unidaen las escala

18.2 CAPA

La capacla sección 19

donde Q es sistema. Para= C/n y la cade C, c' y c s

Las capa

Procesos a v

Para estocapacidad ca

Para un gla cual depe

Prop

TACIÓN TÉ

o de longitudes

el coeficiente por

io de volume

el coeficientead de α y β esas Celsius y K

ACIDAD CAL

cidad calórica9.1) se define

el calor hacia n moles o u

apacidad calóson J/K, J/mocidades calór

volumen cons

os procesos la alorífica se p

gas ideal (véaende únicame

piedade

RMICA

d, ∆L, en la lo

de expansión

en de un líqu

e de dilataciós ºC-1 (o K-1,Kelvin).

LÓRICA

a C de un sise así

ia el sistema una masa m deórica específiol K y J/kgricas suelen d

tante

primera ley dpuede obtene

ase el capítulente de la tem

es térmi

ongitud Lo de

n lineal del só

uido es

ón volumétric puesto que u

tema para el

durante el pe una sustancca (o simplem

g K, respectdefinirse únic

dé la termodiner a partir de

o 17), E es lamperatura. E

(g

icas de

e un sólido, cu

ólido. Los ca

ca. un intervalo

mismo proce

proceso y ∆Tcia homogénemente calor etivamente. camente para

námica (17.7la energía in

a energía cinéEn moléculas

gas ideal monoa

C

la mate

uando su tem

ambios de áre

de unidad d

eso (que se su

es el cambiea, la capacidespecífico) es

a dos tipos de

) establece qunterna del sist

ética desorde puntuales, (

atómico)

apítul

eria

mperatura es m

ea y volumen

de temperatur

upone reversi

o de temperadad calórica m

c = C/m. Las

e procesos.

ue Q =∆E, potema:

enada de las m(17.4) da

o 18

modificada

del sólido

ra es igual

ible; véase

atura en el molar es c' s unidades

or lo que la

moléculas,

172

o c'v =temper

En atómicmetale (la ley

Proces

Es

Al iguEn un

por (1

En

o c'p =

En

18.3

La secció

dondesigno temper

Igutromagradiacley de

2/3R = 12.4ratura; cuantlíquidos y só

ca contribuyees a altas tem

y empírica de

sos a presión

conveniente

ual que E, H eproceso a pr

7.7), de tal m

un gas ideal

= c'v + R. En

sólidos y líq

TRANSFER

razón dQ/dtón transversal

e dT/dx es elmenos reflejratura. Las un

ualmente, la egnética. El pión de un cueStefan-Boltz

PROPIE

7 J/mol K. Pto más grandólidos, las viben con E. Ún

mperaturas,

e Dulong y P

constante

e introducir la

es una funcióresión consta

manera que la

l, H = E + nR

particular, pa

quidos, la di

RENCIA DE

a la que se cl con área A y

l gradiente da el hecho denidades de k energía térmiproceso de aberpo negro (uzman,

EDADES TÉ

Para gases rede sea la molbraciones aleanicamente se

etit).

a entalpia de

H

n de estado cnte,

a capacidad c

RT es únicam

ara un gas id

ferencia entr

CALOR

conduce el cay grosor dx e

de temperatue que la condson W/m K

ica se puede bsorción es i

un radiador o

RMICAS DE

ales, Cv no sécula, más gatorias interme pueden dar

e un sistema,

H = E + pV

cuyo cambio

calorífica se

mente función

eal monoatóm

re Cp y Cv es

alor (en estades

ura en la pladucción se reK.

transferir poindependientabsorbedor p

E LA MATER

será una consgrande será lamoleculares yr aproximacio

, que se defin

no depende d

puede escrib

n de T; por l

mico,

s pequeña y a

do estacionar

aca y k es suealiza en la di

or emisión o te de la tempperfecto) de s

RIA

stante y pueda variación. y las oscilacioones para Cv

ne así

de la trayecto

bir como

lo tanto,

a menudo de

rio) a través

u conductividirección en l

absorción deperatura; peruperficie A e

[CAPITULO

de variar con

ones de la rejv. En el caso

oria del proce

espreciable.

de una placa

dad térmica.a que decrec

e radiación ero la emisiónestá regida po

O 18

n la

illa de

eso.

a de

. El e la

lec-n de or la

C

CAPITULO 1

18.1. ¿Cuálaumen

18.2. Un re°C. ¿C40 °C

El

donde

El rel

18.3. Si se cuandmodif

Ellongit

18.4. Un ho50 °Cderramβmercur

(a) El

(b) Pa E

18.5. Conside exapartacircul

Suencuetempe

18] PR

l es el cambnta de 0 °C a

eloj con un pCuántos segu

C? α = 16 x 10l periodo de u

e Po es el perio

oj pierde 27.6

evita que undo cambia sufique en 50 °l esfuerzo quetud ∆L provoc

orneador de vC? (b) Si el mará cuandrio = 1.82 x l0

l volumen del

ara la expansi

El derrame se

dérense dos bxpansión linadas una distlares que inteupóngase queentran rectas. Seratura T serán

ROPIEDADE

Prbio en la "loa 40 °C? αacer

éndulo de mundos ganará0-6 ºC-1. un péndulo sim

odo correcto.

65 s por día.

na barra de mu temperaturaK?

e se produce cado por el ca

vidrio contiehorneador s

do la tempe0-4K-1.

l horneador de

ión del mercu

rá entonces d

barras paraleleal a', a" ytancia fija d. erceptan un áne en el punto cSi su longitudn

ES TÉRMICA

oblemas ongitud de 2ro = 12 x 10-6

metal marca cá (o perderá)

mple es (secc

Por lo tanto,

metal (Y = 8a, ¿qué esfue

en la barra eambio de tem

ne exactamee llena con eratura se

espués de mo

urio,

de 1.009 - 1.0

las [Fig. 18-l( que se sujeUn cambio d

ngulo θ [Fig.cero de la esc

d común a esta

AS DE LA M

resueltos2 km de alam °C-1

orrectamente por día cuan

ión 14.6)

88.2 kPa, α =erzo se produ

es el que se dmperatura de 5

nte 1 litro (1mercurio a 0eleve a 50

odificar la tem

001 = 0.008 L

(a)] de diferenetan juntas de temperatu 18-l(b)]. En

cala se sitúa laa temperatura

MATERIA

s

mbre de ace

e el tiempo cndo la tempe

= 18.8 x 10-6

ucirá en ella c

ebería ejercer0 K:

L) a 0 °C. (a0 °C, ¿qué v0 °C? αvidri

mperatura es

L, u 8 mL.

ntes metales, con el prop

ura hará que sncuéntrese su a temperaturaes Lo, sus lon

ro cuando l

cuando la temeratura es de

6K-1) cambiecuando su tem

r para evitar

a) ¿Cuál es svolumen de io = 6.9 X

que tienen copósito de mase doblen enradio de curv

a a la cual lasngitudes a cual

173

a temperatur

mperatura es

e de longitudmperatura se

el cambio en

su volumen amercurio se

X 10-6K-1 y

oeficientes antenerlas

n dos arcos vatura, R. s barras se lquier otra

ra

de 0

d e

n

a e y

174

18.6.

donde R' y Rcurvatura po

Sustraye

Y al sumar

El radio me

Considéres

compensar al centro suspensióndos.

PROPIE

R" son los rador las barras u

endo la segun

estas dos ecu

edio de curvat

se el péndulolas fluctuaciode oscilació. Encuéntren

EDADES TÉ

dios de curvatuunidas. Tambi

nda ecuación d

aciones se ob

tura es

o sólido del reones de tempeón del pénduse las dimen

ÉRMICAS DE

ura de las barién, R' R" =

de la primera

tiene

eloj de pared eratura, utilizulo a una dsiones de est

E LA MATER

rras y θ es el á= d.

se obtiene qu

que se muesza una expansdistancia fijate péndulo si

RIA

ángulo subten

ue

tra en la figusión diferencia por debajse quiere qu

[CAPÍTULO

ndido en el cen

ura 18-2. A final para manteo del punto

ue marque seg

O 18

ntro de

n de ener o de gun-

CAPITULO

Lal cecentr

la cu Igual

dondh0 y

S

Para

18.7. Pruécuan

E

Corr

y el

18.8. Si unmutupara

Cde u

y el

18] P

La barra ligerantro de la lenro de suspens

ual será indepe

lmente

de ℓ0 es la longr0:

Si el reloj tien

las dimension

ébese que el cndo la temper

El momento d

respondiendo

resultado se o

n sólido anisouamente perp el sólido?

Considérese uun cambio de t

volumen del p

PROPIEDAD

a OS soporta lanteja C como ión O), la lon

endiente de la

gitud que se

ne que marcar

nes del péndul

cambio en el mratura cambia

de inercia es

a un cambio

obtiene en seg

trópico tiene cpendiculares e

un cubo, con sutemperatura ∆

paralelepíped

DES TÉRMIC

a lenteja pesadel centro de

ngitud efectiv

a temperatura

debe manten

segundos, el

lo se tiene:

momento de ia en ∆T.

de temperatur

guida.

coeficientes den el sólido,

us orillas para∆T, las dimen

o es

CAS DE LA M

da 'por medio oscilación ap

va del péndulo

si

er. Resolviend

periodo (2 s)

inercia de un

ra ∆T,

de expansión l¿cuál es el co

alelas a X, Y, Zsiones cambia

MATERIA

del tornillo deproximado delo es

do estas dos ú

) del péndulo

sólido está d

lineal αx, αy , yoeficiente de

Z, y de dimensan a

e ajuste S. Conl péndulo (co

últimas ecuaci

es

ado por ∆I =

y αz para tres d expansión v

sión Lo en T =

175

nsiderando njugado al

iones para

= 2αI0∆T

direcciones olumétrica

0. Después

176

18.9.

18.10.

18.11.

donde Vo = L

Un recipienteencuentran icalienta a 1final del sistdel agua es 4

Si 5 kg de asumergen encantidad de cambio de ekj/kg K. Elespecífico es

calor (o. en

Para resolverequilibrio deacero solidif

La conjetgrande que 3

Muéstrese c

A altas tese debe a lascristalina. Siátomo tendrádiculares, sei= 3kT, lo qu y una capacid

PROPIE

L30 . Por lo tant

e de cobre con inicialmente00 °C y luegtema es 40 °4.2 kj/kg K

cero a 1812.1n 3 kg de aguagua se evap

entalpia) del l calor de vaps 4.2 kj/kg K

ntalpia) perdido

r este problemel sistema. Suficado y cierta

tura que se hi3 kg.

ómo el teore

mperaturas ses vibraciones di se imagina cá energías cinis modos en toe proporciona

dad calorífica

EDADES TÉR

to, el coeficie

una masa de 0 a temperatugo se colocaC. Encuéntre

K, y el del cob

6 K, o sea liua a 273.16 Kporará si no e

acero es 272porización (elK.

o por los cuerpo

ma se requiereupóngase que a masa, x, de

izo fue correc

ema de la equ

e puede suponde los átomoscada átomo unnética y potenotal. Según el a una energía

a molar de

RMICAS DE

ente de expan

0.3 kg contieneura ambiente,a en el agua dese el calor ebre es de 0.3

geramente porK (justo por eexiste pérdida2 kj/kg y el l cambio de en

os calientes = ca

e una conjeturla mezcla teragua en form

ta; si no hubi

uiparticición

ner que esencias en torno a sunido a los con

ncial a lo largteorema de la molar de

LA MATER

sión volumétr

e 0.45 kg de ag, 20 °C. Un bdentro del caespecífico de9 kj/kg K.

r encima del ncima del pua de calor? Ecalor específntalpia) del a

alor (o entalpia

ra adecuada crmina en 373.ma de vapor.

iera sido así, x

conduce a la

almente toda lus posiciones ntiguos por m

go de tres direequipartición

RIA [

rica está dado

gua. El recipiebloque de malorímetro. Ll metal. El c

punto de fusiunto de congel valor de fusfico del aceragua es 2260 k

a) ganado por lo

como lo es el.16 K (= 100

x habría sido

a ley de Dulo

la energía intede equilibrio

medio de resorecciones mutu

n, su energía to

[CAPITULO

o por

ente y el agua etal de 1 kg La temperatualor específi

ón del acero,elamiento), ¿qsión (esto es,o sólido es 0kj/kg y su cal

os cuerpos fríos

estado final C), con todo

negativo o m

ong y Petit.

erna de un meen la estructu

rtes, entoncesuamente perpeotal será 6(1/2k

18

se se

ura ico

se qué el

0.5 lor

s

de el

más

tal ura el en-kT)

CAPITULO

18.12. Un recorchparedextercuenciona

Caproxcalor

Para hace

18.13. Un hcomo¿cuán

18.14. Encuse m

Eesfér

Desd

18] P

efrigerador orho de 90 mmd interior se crior. Si el mo

ntra cerrada, ¿ando? La con

Considérese unximación, tómr en el interio

extraer este cr que el calor

hoyo muy peqo un cuerpo nnta potencia

uéntrese la razuestra en la f

El flujo estacirico de radio

de la superfici

PROPIEDAD

rdinario es térm de grueso y

conserva, en otor del refrig¿a qué razón nductividad tén intervalo de

mese la conducor de la caja e

calor el motorr salga a una

queño en un hnegro. Si tiensale a través

zón de flujo dfigura 18-3.

onario de calr y grosor dr

ie interior de l

DES TÉRMIC

rmicamente e5.6 m2 de supromedio, 22

gerador funcidebe tomarsérmica del co tiempo ∆t du

cción calorífices

debe, dado qrazón de

horno eléctricne un área de del hoyo?

de calor a tra

lor (que es inr es

la esfera huec

CAS DE LA M

equivalente a uperficie inter2.2 °C por deiona 15% dele calor del inorcho es k = 0urante el cuala como estaci

ue únicament

co, que se uti 100 mm2 y s

avés de la esfe

ndependiente

ca intégrese es

MATERIA

una caja consrior. Cuando ebajo de la tel tiempo en enterior mient0.05 W'm Kl la puerta estonaria durante

e funciona alg

iliza para tratsi se desea m

era hueca cuy

del radio r) a

sto a la superf

stituida por lála puerta se c

emperatura deel que la puerras el motor

K. tá cerrada. A e ∆t. Entonces

gún tiempo (

tar metales, amantenerlo a 1

ya sección tra

a través de un

ficie exterior:

177

áminas de cierra, la e la pared rta se en-está fun-

manera de s, la tasa de

(0.15) ∆t,

actúa casi 1100 °C,

ansversal

n cascarón

178

18.15.

18.16.

18.17.

18.18.

18.19.

18.20.

18.21.

Un calentadm por 5 m. eleve de 0 °C

En el intela elevación

donde n es e

dado que en

Una barra dedel metal es Respuesta: 0

Una barra deperatura a 31eficiente de e

El mercurio edel conductorespectivamegrados sobre

¿Cuántos kgcobre de 0.1específicos dhielo es 335

Si se utilizarpresión y tecalentar 4.54373.15 K? ReEncuéntrese figura 18-4.

Respuesta:

PROPIE

dor de 200 W¿Cuánto tar

C a 10 ºC? c'ai

ervalo de tiemn de la temper

el número de

n las condicion

Pre metal tiene de 18.8 X 10.7002 m

e acero y níqu1 °C produce expansión line

en un termómo es de 0.2 mente 1.82 x 10e el termómetr

g de hielo a 0 1 kg, con el de ambas susta5 kj/kg. Respu

ra todo el calomperatura nor

4 kg de agua eespuesta: 0.039el flujo estaci

EDADES TÉ

W se encienddará el calen

ire = 20.93 J/m

mpo ∆t el calorratura por me

moles de aire

nes iniciales

roblemas una longitud

0-6 ºC-1, encu

uel tiene una lun alargamieneal. Respuesta

etro tiene un vmm. Si los c

0-4 ºC-1 y 2.4 xro? Respuesta

°C se deben apropósito de ancias son 4.2uesta: 0.39 kg

or producido, rmales (el ca

en un recipien9 m3 ionario de calo

RMICAS DE

de en el interntador para l

mol K.

r dentro de la edio de

e en la cocher

1 mol ocupa 0

complemd de 0.7 m a 4uéntrese la lon

longitud de 0.nto de 121.6 µa: 0.623 805 m

volumen de 21coeficientes vx 10-5 ºC-1, ¿a qa: 1.06 mm.

añadir a 0.6 kenfriar la va

2 y 0.39 kj/kgg

¿cuántos metrlor de combute de cobre de

or a través del

E LA MATER

rior de una clograr que la

cochera es (20

ra. Tratando a

0.0224 m3. En

mentarios40 °C. Si el congitud de esta

.62406 m a 21µm. Encuéntrm; 19.5 x 10-6

10 mm3 a 0 °Columétricos dqué distancia

g de agua a 1asija y su con K, respectiv

ros cúbicos deustión es 37.3e 0.45 kg (c =

l cilindro circu

RIA

ochera aislaa temperatur

00W) ∆t. Esto

al aire como u

ntonces,

oeficiente de a barra a 50 °C

1 °C. Una elevese su longituºC-1

, a esta temperdel mercurio están entre sí

00 °C en una ntenido a 30 vamente; el ca

e gas natural e MJ/m3) se 0.39 kj/kg K

ular hueco que

[CAPÍTULO

da de 8 m poa del aire se

o se relaciona

un gas ideal

expansión linC.

vación de la tud a 0 °C y el

ratura el diámy del vidrio las marcas de

vasija aislada°C? Los calo

alor de fusión

en condicionenecesitarían p

K) de 297.59 °

e se muestra e

O 18

or 6

con

neal

tem- co-

metro son

e los

a de ores

n del

s de para °K a

en la

i

tpdi

cl

sn

Spr

ern

ds

D

lmud

Ent

19.1 PROCE

En el proctravés de unaproceso, el side un procesointroducir un

La reverscópicos. Un plento) y si en

19.2 ENTRO

Cualquierse puede defnitesimal en

donde T es laLa ecuaci

Sin embargoproceso irrevreversible y

La importen todo procereversible) peno interactúa

La ecuacidefinición desistema y el v

Definición esLa segund

lidad. Ahora moleculares un estado orgde equilibrio

tropía y

ESOS REVER

ceso reversiba sucesión coistema se encuo como éste sn cambio infinibilidad es unproceso real sn él no intervi

OPÍA

r sistema terfinir de la sigel cual absor

a temperaturión de Clausio, dado que Sversible se puarbitrario qutancia de la feso la entropermanece cona con sus alreón de Clausiu

e la temperatuvolumen V:

stadística de da ley de la bien, a nivel tienden, conganizado, unaque correspo

y la seg

RSIBLES

ble un sistemontinua de esuentra en equse puede invenitesimal en na idealizaci

se aproxima aienen los efec

modinámicoguiente manerbe calor dQ,

a en grados Kius, dS = dQ/S es una funcuede calcularue una los estfunción de la pía total del snstante. La seededores. us, junto con ura en grados

la entropíatermodinámimolecular ésforme pasa ea vez abandoonda a Ω esta

unda le

ma pasa de untados de equ

uilibrio térmicertir (de aquí las condicionón que nunc

a la reversibilictos disipativ

o tiene una fuera. Si el sist entonces el

Kelvin. La en/T, únicamención de estadr al integrar dtados inicial entropía se a

sistema y de segunda ley se

la primera leKelvin de un

ica indica qusta se relacionel tiempo, a honado, se recuados microscó

S = k l

ey de la

n estado iniciuilibrio. Esto co y mecánicel adjetivo "rnes externas.a se ha realiidad si es cuavos (como po

unción de esttema lleva a cambio de en

ntropía tiene

nte es válida edo, el cambidQ/T a lo lary final.

aprecia en la sus alrededore aplica al sist

ey de la termn sistema, en t

ue la entropína con el incrhacerse más cupere algunaópicos distintln Ω

Ca

termod

al a un estadsignifica que

co con sus alrreversible") e. zado en los

asiestático (esodría serlo la

tado S, denocabo un procntropía del si

unidades J/Ken el caso deo de entropígo de la tray

segunda ley res se incremtema sólo si e

modinámica, ptérminos de l

a es una medremento del dcaóticos; y esa vez. Para untos, la entrop

apítulo

dinámica

do final de eqe, en cada inededores. La

en cualquier in

experimentossto es, extremfricción).

minada entroceso reversibistema está d

K. procesos rev

ía que acompyectoria de un

de la termodmenta o (en unestá aislado; e

ermiten dar ula energía inte

dida de la irdesorden. Loss muy impron estado mac

pía se puede d

o 19

a

quilibrio a stante del dirección

nstante al

s macros-madamente

opía, que ble e infi-dado por

versibles. paña a un n proceso

dinámica: n proceso esto es, si

una nueva erna E del

reversibi- s sistemas bable que roscópico

definir así

180

dondecuerda19.14)

19.3

Unquinasporciocíclicadondeciclo tempeque ofuncio

EJEMretornazado p

donde temperlos depincrempara re

Unde un más altrabajo

La igu

E

e k es la cona con las pred).

MAQUINA

na máquina ts funcionan aonando calora ese Qcaliente, Qfriodel depósito

eratura y el tropera entre dona en un cic

MPLO 19.1. a a su estado por la máquina

Wº es el traraturas, y ∆Stpósitos calien

mento ∆Stotal > ealizar trabajo refrigeradordepósito de blta temperatuo que se real

ualdad únicam

ENTROPÍA Y

nstante de Bodicciones que

AS TÉRMICA

térmica es unabsorbiendo cr a un depósi

o y W (véase de más alta

rabajo realizados depósitoclo reversible

Para una máoriginal. La pa en un ciclo

abajo que reatotal es el cambnte y frío) dur0 en la entrop

o, donde T es lar (o bomba debaja temperaura. Cuando uiza sobre el r

mente es váli

Y SEGUNDA

oltzmann. Ese están contem

AS Y REFRI

n sistema o dcalor a un deito de baja te

Fig. 19-1) retemperatura,

ado por ciclos de calor ce entre dos te

áquina térmicaprimera ley de

alizaría una mbio de la entroprante un ciclopía del universa temperatura e calor) es unatura, se le prun refrigeradrefrigerador

ida para una

A LEY DE LA

sta definiciónmpladas en la

IGERADORE

dispositivo quepósito de alemperatura.

epresentan, re, el calor pro. La mayor e

corresponde emperaturas

a, a lo largo dee la termodiná

máquina de Cpía del univer. En general,

so, una cantidadisponible má

na máquina téroporciona trdor en un cicWi satisface

bomba de ca

A TERMODI

n de entropíaa ecuación de

ES

ue transformalta temperaturLa eficiencia

espectivamentoporcionado pficiencia térma la de la mfijas. Esta e

e un ciclo, ∆Sámica, nos da

Carnot funciorso (en este cacuando un pr

ad de energía ás baja a la quérmica que oprabajo y sumilo toma calo

alor de Carno

INÁMICA

a, debida a Be Clausius (v

a calor en trara, realizandoa y de una m

te, el calor abpor ciclo al dmica posible máquina de ficiencia má

= ∆E = 0 dad

a entonces par

onando entreaso, el cambioroceso irreverT ∆StotaI no pu

ue se proporciopera inversaministra calor r Qfrio de un

ot

[CAPITUL

Boltzmann, céase el proble

abajo. Estas mo trabajo, y pmáquina térm

bsorbido en cdepósito de bde una máquCarnot, la c

áxima es

do que la máqura el trabajo re

e las mismas o de la entropírsible produceuede aprovechona calor.mente; toma c

a un depósitodepósito frío

LO 19

con-ema

má-pro-

mica

cada baja uina cual

quina eali-

dos ía de e un

harse

calor o de o, el

CCAPÍTULO 1

19.4 OTRO

Kelvin-Plotro efecttrabajo.

Clausius: efecto máLa equiva

19.1. Calcú¿Cuáde vaes 2.2

L

Cpía de

19.2. Un mpreciperatumentel cam(a) P

(b) AE

19.3. La figde árparedtacto cialmdio dse reencuedepósentro

19] ENTR

OS ENUNCI

lanck: es imto que la extr

es imposiblás que la tranalencia de est

úlese el cambl es el cambio

apor a 100 °C26 J/kg. La temperatur

Cuando el vape 10 kg de va

mol de agua aable y que coura final de le fría? (c) ¿Cmbio total dePor simetría, l

Ahora bien, dEntonces

gura 19-2 muea A y longit

des son diatértérmico con

mente constane una gran fustablece el eentran a la msito de calor

opía del depó

ROPÍA Y SEG

IADOS DE L

mposible consracción de ca

e construir unsferencia dtas dos formu

Prbio de la entroo de entropíaC en agua a l

a del agua per

por se condenapor al conden

a 290 K se viontiene 1 mola mezcla, (b)Cuál es el came la entropía la temperatura

dQ = c'v dT, do

uestra un gas tud ℓ, con un rmicas (no co

n un depósitonte a To confouerza el gas sequilibrio térmisma temper; (b) el camósito de calor

GUNDA LEY

LA SEGUND

truir una máqalor de un dep

una máquinade calor de uulaciones se

roblemas opía asociadoa asociado conla misma tem

rmanece const

sa es necesarinsarse en agu

ierte dentro ol de agua or) ¿Cuál es el

mbio de la entdel sistema?a final T de la

nde n es el nú

diluido y copistón móvi

onductoras d de calor, tan

orme proporcie comprime, rmico (es deeratura), encu

mbio de entror y del gas.

Y DE LA TER

DA LEY DE

quina que oppósito y la re

a que, operanun cuerpo frí

demuestra en

resueltos con la evapon el proceso i

mperatura)? E

tante mientras

io extraer 2.26ua a 100 °C es

de un recipieriginalmente

cambio de latropía, ∆S2, d

? Para el aguaa mezcla debe

úmero de mol

nfinado en unl en uno de s

de calor) y qun grande queiona o absorbde un volumcir, todas lauéntrese (a) opía, ∆S2, d

RMODINÁM

LA TERMO

pere en un cicealización de

ndo en un cico a uno calien el problema

s

oración de 10 inverso (la coEl calor de va

s hierve. El ca

6 J/kg de calos ∆S = 60.6

ente de capaca 310 K. (a)

a entropía, ∆Sdel otro mol da, c'v = 75.4 e ser la media

les y c'v es el

n cilindro cosus extremos.ue el sistema su temperatu

be calor. Repemen Aℓa un vo

s partes y elel cambio del gas; y (c)

ICA

ODINÁMICA

clo y que no una cantidad

clo, no produente. a 19.7.

kg de agua aondensación aporización

ambio de la en

or. El cambio dJ/K.

cidad calorífEncuéntrese

S1, del agua ode agua? (d) J/mol K. aritmética de

calor específ

n sección tra. Suponiendose encuentraura permaneentinamente, olumen Aℓ/2.l medio ambde entropía, ∆) el cambio

181

A

produzca d igual de

uzca otro

a 100 °C. de 10 kg del agua

ntropía es

de entro-

fica des-e la tem-original-¿Cuáles

e las dos:

fico molar.

ansversal o que las a en con-ce esen-por me- Cuando

biente se ∆S1, del total de

182

19.4.

E

(a) La temde un ginternarealizaQ para

donde Es

térmico

(b) El cambde la dide entrVo = Aℓ

y enton

Dado q

(c)

Esto se

lo cualla presi

Una piedr285 K. Conde entropía

ENTROPÍA Y

mperatura fingas ideal dep es ∆E = 0 en

ado sobre el el gas es

el signo negate calor es reco. La tempera

bio de entropiferencia de enropía AS2 se ℓ a otro Vo/2.

nces el trabajo

que ∆E = 0 p

e puede reescri

, en vista de lión que se apl

a caliente senforme la pi

a del estanque

Y SEGUNDA

nal del gas epende únicamn este procesogas: W= -Fℓ

ativo indica qucibido por el atura del depó

ía de un sistemntropía entre lacompaña po Para este pro

realizado po

ara el gas, Q

ibir como

la segunda leylica.

e lanza al inedra se enfríe.

A LEY DE L

es igual a su mente de su teo. El trabajo eℓ/2. Entonces

ue se extrae cdepósito de cósito de calor

ma que lleva os estados finor una comproceso,

Q = W y

y, proporciona

nterior de unía, proporcio

LA TERMOD

temperatura emperatura, pejecutado pors, por la prim

alor del gas.alor, en tanto

r no cambia, p

a cabo divers

nal e inicial. Suresión isotérm

a el límite infe

n estanque qna 295 kj de

DINÁMICA

inicial, To.

por lo que el el gas es el n

mera ley de

que el gas alpor lo que

os procesos dupóngase entomica del gas

ferior p0 2 ln 2

que tiene une calor. Encu

[CAPITUL

La energía incambio de en

negativo del trla termodiná

lcanza el equi

depende únicaonces que el cdesde un vo

2 = 1.39 p0 par

na temperatuuéntrese el ca

LO 19

nterna nergía rabajo ámica,

ilibrio

amente ambio lumen

ra

ura de ambio

CAPITULO

p

19.5. Encuproce

Ste cer

19.6. Diez de codedorentro

(a) Ec

d

(b) E

r

19.7. Muésla ter

Linvers

EPlancmáquT1 < Tcantidtanto,

19] ENTR

El estanqpermanecerá f

éntrese la exeso isocórico

Si dos estadosrcanos, dQ =

kilogramos dobre (cv = 0.3res, ¿cuál se

opía del siste

En el procesocobre son

donde T es la t

El cambio de resultado del p

strese que lormodinámica

Los enunciadosamente. En la figura 1ck al extraer cauina se podría T2 y T2. Comodad neta de cal, esto viola el

ROPÍA Y SE

ue se puede cofija en 285 K.

xpresión para(aquel en qu

termodinámic T dS, por lo

de aluminio (c39 J/kg K) aerá la temperema cuando l

a volumen c

temperatura fi

entropía de cproblema 19.5

s enunciadosson equivale

os A y B son e

9-3 (a) se mualor Q2 de un d

utilizar para o se advierte elor Q1 de T1 a enunciado de

GUNDA LEY

onsiderar comEl incremento

a el cambio due el volumen

cos que se encque

cv = 0.91 J/kga 375 K. (o) ratura final dlos dos bloqu

onstante los c

inal del sistem

ada metal en :

s de Clausiuentes.

equivalentes s

uestra una mádepósito con thacer funcion

en la figura 19T2 sin necesidClausius.

Y DE LA TE

mo un depósitoo de entropía d

de entropía dn permanece

cuentran dentr

g K) a 250 Si no existe de los metalues de metal

cambios de la

ma. Dado que n

el proceso a v

s y de Kelvin

i una violació

quina que podemperatura T2nar un refrige9-3(b), la máqdad de que se s

RMODINÁM

o de calor, pordel estanque es

de un sistemaconstante).

ro del proceso

K se colocantransferenciaes? (b) Calcl se ponen en

a energía inte

no existe trans

volumen cons

n-Planck sob

ón de A implic

dría violar la 2 y que realizaerador ordinarquina compuessuministrara u

MICA

r lo que su tems

a que lleva a

están infinite

n en contacto a de energía aúlese el camn contacto.

rna del alumi

sferencia de e

stante está da

bre la segund

ca una violaci

formulación da un trabajo W io entre los dsta podría tran

un trabajo exte

183

mperatura

cabo un

esimalmen-

con 30 kg a los alre-

mbio de la

inio y del

energía,

ado por el

da ley de

ión de B, e

de Kelvin- W = Q2. Esta

depósitos a nsferir una rno. Por lo

184

19.8.

E

El enunCon este refconvertir code Kelvin-Pl

Determque se mue

ENTROPÍA Y

nciado de Claufrigerador y unompletamentelanck.

mínese la eficestra en la fi

Y SEGUNDA

usius lo podríana máquina tée una cantidad

iencia térmicgura 19-5, u

A LEY DE LA

a violar el refrérmica ordinard de calor Q2

ca de una máqun ciclo de O

A TERMODIN

rigerador que sia, como en la Q1 en traba

quina de gasoOtto de aire.

NÁMICA

se muestra en a figura 19-4(ajo. Esto viola

olina que llev

[CAPITULO

la figura 19-4( b ) , sería posaría el enunci

va a cabo el c

O 19

4(a). sible ado

ciclo

CA

19

APITULO 19

Sutrabajo

Sim

Po

Ahdescrib

(véase

Entonce

El (véase

9.9. Una hatanto qde comde la cdeberáque oc

(a) Laun y

Qfrio (b) Ex

a b

(2

9] ENTRO

upóngase que o (aire). Enton

milarmente, p

or lo tanto, la e

hora bien, supbir por medio

la sección 17

es,

ciclo de Ottola figura 19-6

abitación se que la tempermpresión que ocasa que opeá realizar para

urren en el i

a unidad operanidad opera de

las dos expres= 552 j.

xisten dos trasbaja temperatu

2) entre el dep

OPÍA Y SEGU

el ciclo es revnces, a lo larg

para el proces

eficiencia térm

oniendo que sde las ecuaci

7.3). Esto res

constituye un6).

conserva a-2atura del exteoperan a 57 °Ceran a 17 °Ca transferir funterior y en

a entre los depe manera rever

siones dan Qc

sferencias irrevura;

pósito a alta t

UNDA LEY D

versible y quego de la línea

o d → a, el ca

mica es

se trata de un iones

ulta, después

n ejemplo de u

27 °C por meerior es de 42C (en el exter. (a) Si la u

uera de la casael exterior de

pósitos a 273 rsible, su efici

caliente = 4552

versibles de c

emperatura y

DE LA TERM

e Cv es constaa B →a, el ca

alor que sale

gas ideal, los

de la sustrac

un ciclo revers

edio de un si2 °C. La unidarior) y unos renidad opera a 4 kj? (b) ¿Ce la casa con

+ 17 = 290 Kiencia térmica

J. Entonces, e

alor: (1) entre

el exterior,

MODINÁMIC

ante para la sualor que entra

del sistema es

dos procesos

cción,

sible que es di

stema de airad de refrigeresortes de expreversibleme

Cuáles son losn esta cantida

K y 273 + 57 =a es máxima:

el trabajo que

e el interior de

CA

ustancia que ra al sistema e

s

adiabáticos se

iferente del de

re acondicionración tiene cpansión en el ente ¿cuánto

s cambios en ead de refriger

= 330 K. Dad

e entra es Wi =

e la casa y el d

185

realiza el s

e pueden

e Carnot

nado, en cilindros interior

o trabajo entropía ración?

o que la

= Qcaliente

depósito

186

19.10

19.11

19.12

0. Una máqpor ciclo,por ciclotrabajo re

1. Muéstrese

Supóngas

Duraterna no cse realiza

Igualmen

A lo

Después d

Entonces,

2. El númervolumen que es

ENTROPÍA

uina térmica, es proporci, es proporc

ealiza durante

e que, en un c

se que la sus

ante la etapa acambia, y el csobre éste. P

nte, en la etapa

largo de las tr

de dividir estas

ro Ω de estaV, cuando la

A Y SEGUND

a, que operaonada al depcionada al de cada ciclo?

ciclo de Carn

stancia que r

a → b, en tancalor Q1 que

Procediendo c

a c → d, el cal

rayectorias b →

s ecuaciones,

dos accesibla energía del

DA LEY DE L

a con una efipósito de altadepósito de ?

not (Fig. 19-6

realiza el trab

nto que el gas absorbe a paromo en el pro

lor liberado, Q

→ c y d → a lo

les a N átoml gas se encu

LA TERMOD

iciencia de 1a temperaturbaja temper

6),

bajo es 1 mo

se expande isrtir del depósoblema 19.3 (

Q2, es

os procesos so

mos de un gasentra entre E

DINÁMICA

17%, absorbra, (a) ¿Qué cratura? (b) ¿

ol de un gas i

sotérmicamensito a T1 es ig(b), se encuen

on adiabáticos

s ideal monoE y E + dE, s

[CAPITUL

e 100 kj de cantidad de c¿Qué cantida

ideal.

nte, su energíual al trabajo

ntra que:

s, y por lo tanto

oatómico cone puede mos

LO 19

calor calor, ad de

ía in-o que

o

n un strar

C

19

19

APITULO 19

donde de V y muéstr (b) La

(b) La

de

9.13. ¿Es pNo

sea may

9.14. Un recpared. ratura iguales

Sutiene q

donde

(a) Deesp

(b) La

[B

da

Po

P

9] ENTRO

el factor A(NE. (b) Utiliz

rese que

entropía está

temperatura K

e donde

osible diseñao; se debe proyor que comp

cipiente aislaSupóngase qTo. Si se qui

s, (b) son dife

ustituyendo E que

(para un gas

espués que la ppecie a tempe

a entropía tota

B(N) depende

ado que cada g

or lo tanto,

En el prob

Por lo tanto, e

OPÍA Y SEGU

N) depende úzando esta fun

á dada por

Kelvin está dad

ar una máquioporcionar calpense con crec

ado tiene dosque inicialmeita la pared, cerentes.

= 3/2NkT en l

dado) B(N)

pared se quitaeratura To, igu

al inicial es

paramétricam

gas ocupa un v

lema 19.3(b)

l concepto est

UNDA LEY D

únicamente dnción de entr

da por

ina térmica qor a un depósces el de crem

s secciones, ente en cada calcúlese el

la expresión p

) depende ún

, cada secciónual que antes

mente de la m

volumen final

se vio que el

tadístico de en

DE LA TERM

de N (a) Encuropía y la def

que no provoqito frío y alca

mento de entro

cada una desección existcambio de la

ara S que se e

nicamente de

n de volumen Vs de quitar la

masa atómica]

2 Vo y la temp

cambio de la

ntropía concu

MODINÁMIC

uéntrese la enfinición de la

que contaminanzar un incremopía del depós

volumen Vo

ten N átomosa entropía si

encontró en el

N.

Vo contiene N pared. Enton

, y la entropía

peratura perma

entropía de c

uerda ton el te

CA

ntropía S en a temperatura

nación térmicmento de entrsito caliente.

o, separadas s de un gas a(a) ambos ga

l problema 19

átomos de la mces, ∆S = 0.

a total final e

anece igual.

ualquier gas,

ermodinámico

187

función Kelvin,

ca? ropía que

por una a tempe-ases son

.12(a) se

misma

es

al dupli-

.

188

19.15

19.16

19.17

19.18

19.19

19.20

19.21

19.22.

19.23

19.24

5. Dedúzcase

6. ¿Cuál es esión constaRespuesta:

7. Una cubet2 kg de ag°C. Calcúl

8. ¿Cuál es laa 0 °C en hRespuesta:

9. Pruébese qdepósito fr1 (Tfrio/Tca

0. En un día departamenRespuesta:Qf r io + W,

. Compáresde 180 °C gasolina q°C. Respue

. Un sistemmicroscópocurrir de muéstrese

3. Encuéntreconstante

4. A partir devolumen d

ENTROPÍA

Pe la ecuación q

el cambio de ante de 1 atm : 6092 J/K

ta contiene 2 gua fría a 0 °Clese el cambio

a mínima potehielo a 0 °C e: 40.7 W

que cualquier río tiene una ealiente).

caluroso un esnto. ¿Funciona No. Aunquedonde W es l

e la ef icienciy una tempera

que tiene una esta:

ma que está inpicas diferenteΩ2 maneras mque

ese una exprees, Cp y Cv.

el problema 1de un gas idea

A Y SEGUND

Problemaque se dio en

la entropía den vapor a 10

kg de agua caC. Después deo de la entrop

encia que deben un tiempo d

máquina térmeficiencia térm

studiante deja ará esto?e el refrigerada energía que

a de Carnot datura de condetemperatura d

nicialmente enes, realiza un

microscópicas

esión para la Respuesta:

9.23 infiérasel están relacio

DA LEY DE L

as compleel ejemplo 19

de 2 kg de m00 °C, a partir

aliente a 40 °e mezclarse, eía en el proce

be suministrarde 10 min? La

mica que opmica menor o i

abierta la pue

dor absorbe u se suministra

de una máquinensación de 50de combustión

n un estado mn proceso quediferentes. S

entropía de uS = Cv ln pV

e que, duranteonados por me

LA TERMOD

mentario9.1.

moléculas de H de agua a la m

C. Ésta se vieel agua tiene ueso. Respuesta

rse a un refriga temperatura

ere cíclicameigual que la ef

erta del refrige

un valor Qfrioa para hacer fu

na de vapor qu0 °C a la eficin de 1510 °C y

macroscópico, lo lleva a ui la entropía in

un gas ideal Vγ + constan

un proceso adedio de pVγ =

DINÁMICA

os

H2O cuando smisma temper

erte en otra cuna temperatua: 20 J/K

erador que coa del cuarto es

nte entre un dficiencia de C

erador en un e

o, proporcionafuncionar al re

ue t iene una teencia de Carny una tempera

que puede ocun estado macnicial es S1 y

que tiene capnte, donde γ

diabático reveconstante.

[CAPITU

se transformanratura?

ubeta que conura uniforme

ongela 1 kg des de 20 °C.

depósito calienCarnot,

esfuerzo por en

a un calor Qefrigerador.

emperatura deot de una máqatura de escap

currir de ΩLcroscópico qula entropía fin

pacidades calγ = Cp/Cv

ersible, la pres

ULO 19

n a pre-

ntiene de 20

e agua

nte y un

nfriar su

Qcaliente =

e caldera quina de e de 410

maneras

ue puede nal es S2,

loríficas

sión y el

2

d

dp

2

p

d

2

t

P

Pg

20.1 FUNCI

Una onda dada por

donde los sigpositiva y neg

Estas func

20.2 ONDAS

La velocidpequeños desp

donde F es lapotencia i

20.3 LA OND

La onda v

iene una vel

Para una x p

Para una t pagitud de ond

F

IÓN DE OND

y(x, t) que v

gnos positivogativa de X, rciones satisfa

S SOBRE UN

dad de una oplazamientos

a tensión en nstantánea t

DA SINUSO

iajera sinuso

ocidad de

articular, y

articular, y esda, dado por

Fenóme

DA

viaja a lo lar

o y negativo respectivameacen la ecuac

NA CUERD

nda que viajs transversale

la cuerda y transmitida p

OIDAL

oidal

es una func

s una función

enos on

rgo de X sin

se refieren aente. ión de onda

A EXTEND

a sobre una es y(x, t), est

ρ es la denspor la onda e

ión periódic

n periódica d

ndulator

cambiar de

a la propagac

en una dimen

IDA

cuerda estiraá dada por

idad lineal d

es

ca de t, con

de x, con per

Ca

rios

forma y a u

ción de la on

nsión

ada y uniform

de la cuerda.

periodo

riodo espacia

apítulo

una velocidad

da en las dir

me, la cual p

. La

al, denomina

o 20

d v está

(20.1) recciones

(20.2)

provoca

(20.3)

(20.4)

(20.5)

(20.6)

(20.7)

ado lon-

(20.8)

190

La

Esto qrante

20.4 Cu

cualqusi sólo

20.5

Latud deonda eencue

Lolas onsegmemento

20.1.

20.2.

20.3.

potencia pro

quiere decir cada periodo

PRINCIPIOuando dos onuier instanteo estuviera p

ONDAS EST

a superposicióe onda λ, perestacionaria ntran a una d

os modos norndas estacionaento internodos adyacentes

Una onda densidad li

A partir

Un alambrmente bajomedio del (a) En el p

Dos alamb(a) Si la fralambre #2¿cuál es su(a) 125 Hz(b) La lon

el alam

omedio transm

que una canto temporal.

O DE LA SUPndas se encue es la suma apresente una

TACIONARIA

ón de dos onro que se procon nodos (lu

distancia λ/2 rmales de vibarias con nodal de la cuerd

s están desfas

viaja a 5 m/ineal de la cur de (20.3),

re uniforme yo su propio alambre y (

punto medio d

res, con densrecuencia de 2? (b) Si unau longitud dz. ngitud de ondmbre #2, λ2 = v

FENÓMENO

mitida por un

tidad de ene

PERPOSICIÓuentran presealgebraica deonda individ

AS

ndas sinusoidopagan en diugares en queentre sí.

bración de undos en cada exda oscila con sados medio p

Proble/s en una cuuerda?

y flexible depeso. ¿Cuál

(b) un punto del alambre, l

sidades linealla onda es 1a onda tiene

de onda en e

da es λ = v/f. v2/f. Entonces

OS ONDULA

na onda sinus

rgía PpromT p

ÓN DE ONDentes simultáe los desplazdual.

ales que tienrecciones ope el desplazam

na cuerda de xtremo de la frecuencia n

periodo, l/2fn

emas resuuerda someti

e 20 m de lones la rapidemuy cercan

la tensión es

les p1, y p2, s25 Hz en el una longitul alambre #2

En el alambrs,

ATORIOS

soidal se pued

pasa a través

DASáneamente, e

zamientos y1(

en la misma puestas a lo lmiento es per

longitud L, fcuerda. En elatural fn = nf.

ueltos

da a una ten

ngitud y que ez del pulso o al extremoF = w/2. La d

se unen y expalambre #1,

ud de onda d2?

re #1 la longi

de calcular a

de una loca

el desplazam(x, t) y y2(x,

amplitud y lalargo de una rmanentemen

fija en ambol modo normaf1 donde f1 =

nsión de 20 N

pesa 50 N ctransversal

o superior?

densidad line

perimentan la¿cuál es su fe 0.03 m en

itud de onda

[CAPITULO

partir de (20

(20

alidad x fija d

miento y(x, t)t) que ocurri

a misma longcuerda, es u

nte cero) que

s extremos, sal n-ésimo, c= v/2L. Los se

N. ¿Cuál es

cuelga verticaen (a) el pun

eal del alambr

a misma tensifrecuencia enel alambre #

es λ1 = v1/f y

O 20

0.4):

0.9)

du-

t) en irían

gi- una

se

son ada eg-

la

al- nto

re es

ión, n el #1,

y en

CAPITULO

20.4. En l¿Cucuen

(a)

(b)

20.5. Una

Encamp(a) Aes, e

20]

la figura 20-áles son (a) ncia? (e) ¿En

Cualquiera d

Al observar lla perturbaci

a onda transv

uéntrense (a)plitud, y (e) lA partir de laentonces

FENÓ

1 una onda vla longitud dn qué direcci

de las tres grá

las tres gráficón se repite p

versal viajeray

) la velocidala velocidad a expresión se

ÓMENOS ON

viajera sinusde onda, (b) lión viaja la o

áficas muestra

as se advierteprimeramente

a está dada poy = 0.004 sen (

ad de onda, (btransversal de puede escri

NDULATORI

soidal se mula rapidez de onda? (f) Esc

a que el perio

e que en cualq

después de (π

or

(25x + 250t)

b) la longitude la partículibir ω = 250s-

IOS

estra en tresonda, (c) la

críbase la fun

odo espacial, o

quier lugar fijoπ/20)s. De aqu

(m)

d, de onda, (a del punto m-1 y k = 25m-

instantes diamplitud, y nción de ond

o longitud de

o (por ejempuí que,

(c) la frecuenmedio en x =1. La velocid

191

iferentes. (d) la fre-

da.

onda, es

plo, x = 0)

ncia, (d) la = x0, t = t0. ad de onda

192

20.6.

20.7.

20.8.

(c)(d) Por simp

(e) La veloc

Un osciladorgenera una o15 X 10-3 kgpromedio tra

La densidad tante cambiamite sin sufrforme ésta seviaja lo sufic¿Cuál es la n

Apliquemdonde la ampla onda es A2 del problema

y la razón a l

La razón neta

Dos fuentes

Envían ondaque se encu

Consúltes

F

ple observació

cidad transver

r armónico sonda sinusoig/m y que se ansmitida por

lineal de un a gradualmentrir reflexión ae propaga. Suciente para qunueva amplitu

os la conservaplitud de la on

y la densidada 20.6,

la cual la ener

a de creación

a una distan

as con rapideentra a 12 m

se la figura 20

FENÓMENOS

ón, A = 0.004

rsal de la part

imple, con udal a lo largencuentra ba

r la onda?

alambre no ute con la longalguna. La veupóngase queue la densidaud en términ

ación de energnda es A1 y la d lineal es ρ1/2

rgía sale del p

de energía en

cia de 20 m

ez de 3 m/s. ¿m de la prime0-3. Supóngas

S ONDULAT

m.

tícula en x0, t0

una amplitud o de una cueajo una tensi

uniforme y qgitud, de tal melocidad y la e una onda siad lineal se reos de la amp

ía a la parte dedensidad line. La razón a la

punto 2 es

n la sección d

entre sí vibra

¿Cuál es la eera fuente y ae que la fuent

TORIOS

0 es

de 4 mm y uerda que tienión de 225 N

que se encuenmanera que uforma de la

inusoidal, inieduzca a la mlitud inicial?

el alambre queeal es ρ1; y el pa cual la energ

debe ser cero.

an de acuerd

ecuación de ma 8 m de la ste 1 envía ond

[

una frecuencine una densidN. ¿Cuál es

ntra bajo una na onda incidonda puedenicialmente de

mitad de su va?

e se encuentra punto 2, dondgía entra al pun

Por lo tanto,

o con las ecu

movimiento psegunda? das en la direc

CAPITULO 2

ia de 450 Hz,dad lineal dela potencia

tensión consdente se trans

n cambiar cone amplitud Aalor original.

entre el punto e la amplitud nto 1 es, a par

uaciones

para una part

cción +X, por

20

, e

s-s-n-1,

1, de

rtir

tícula

CAPITULO

y su

De

La p

20.9. Cuanpertentr

Sescr

donPor Paraen v

O 20]

upóngase que

aquí que v =

perturbación r

ndo se superturbación resure un valor m

Sin que se pieribir las comp

de ω2 es un poc

a hacer que lovalor absoluto

FEN

e la fuente 2

3 m/s, e igu

resultante en

rponen dos oultante exhibeáximo y un v

erda la generaponentes de las

co mayor que ω

os multiplicando, se multiplic

ÓMENOS ON

emite ondas

alando y1, en

el punto x1 =

ndas sinusoie pulsaciones;alor mínimo.

lidad, se pueds ondas como

ω1 y ф es una co

dos de cos α yca y divide en

NDULATOR

en la direcció

n x1 = 0 a y'1

12 m, x2 = -8

dales que tie la amplitud eEncuéntrese

de elegir x = 0

onstante de fase

y sen α en la úntre

RIOS

ón X, de tal

e y2 en x2 =

8m es, entonc

enen frecuencen un lugar dad

la frecuencia

0 como el pun

e. La onda resu

ltima línea se

manera que

0 a y'2 se ob

es

cias muy semdo oscila peria de las pulsa

nto fijo de obs

ultante estará en

an menores qu

193

btiene que

mejantes, la ódicamente ciones.

servación y

ntonces dada

ue la unidad

194

20.10.

20.11.

20.12.

Finalmente, d esto es, El desplazam

Ésta es unvariando com

Por lo tanto, lB son A1 + Aentre las dos o

Se quiere ajucomparándol¿Cuál es la m

Cuando se lodensidad linemás alta a la

Primero s

Entonces, 42por ambos ext

Dos alambreUna onda inc

se dirige hac

F

definiendo al á

miento y ahora

na perturbaciómo

a frecuencia dA2 y |A1 A2|, ondas compon

ustar la frecuelo con un oscmáxima frecu

o fija por ambeal de 10-2 kga cual resuense debe encon

0 Hz es el sextremos,

es que tienencidente,

cia la derecha

FENÓMENOS

ángulo σ como

a se puede esc

ón sinusoidal c

de las pulsaciorepresentan re

nentes.

encia de un ocilador estánduencia permis

bos extremosg/m resuena na es de 490 ntrar qué múlt

xto armónico.

n densidades

a en el alamb

S ONDULAT

o

cribir como

cuya amplitud

nes es (ω2 ωespectivamente

oscilador a 10dar que tiene usible de las pu

s, un alambrea una frecuenHz. ¿Cuál e

tiplo entero es

. Como para u

diferentes se

bre x ≤ 0, se r

TORIOS

d, B, es una fu

ω1)/2π. Los vale la interferenc

03 Hz, con ununa frecuenculsaciones en

e que tiene unncia de 420 Hes la longituds 420 Hz con

una onda estac

e unen en x =

refleja y se t

[

unción periódi

lores máximoscia constructiv

n margen de eia exactamenntre los dos o

na tensión deHz. La siguied del alambrfrecuencia fu

cionaria en un

= 0 (véase la

ransmite par

CAPITULO 2

ica del tiempo

s y mínimos deva y destructiva

error del 1%,nte de 103 Hzosciladores?

e 900 N y unaente frecuencre? undamental:

n alambre fijo

a figura 20-4)

rcialmente en

20

o,

e a

.

a cia

o

).

n

CAPITULO

x =am

donxión∂y/∂

el a

20.13. Lafici

la fde

O 20]

= 0. Encuéntrplitud de la o

Las ondas ref

nde Ar puede sn). Las condi∂x sean contin

Se puede obsalambre 2 es m

as ondas transie de una mem

Supóngase qfigura 20-5. Dla membrana

FEN

rense las amonda inciden

flejada y trans

ser negativa (ciciones de la nuos. Por lo ta

ervar que Ar emás denso qu

sversales se dmbrana flexi

que la fronteraDetermínese la

vibrando con

NÓMENOS ON

mplitudes de lnte.

smitida tienen

correspondienfrontera en x

anto:

es necesariamue el 1.

desplazan en ble sujeta a t

a de la membra ecuación den simetría circ

NDULATOR

la onda reflej

las formas

ndo a un cambx = 0 son qu

mente negativa

un espacio btensión. Encu

rana es un círc movimiento

cular; el despla

RIOS

jada y transm

bio de fase deue el desplaza

a cuando k2 > k

bidimensionaluéntrese la ve

culo muy grande un elemenazamiento ver

mitida en térm

e 180° despuésamiento y y l

k1, lo cual pue

l a lo largo delocidad de o

nde, como se mnto de área dSrtical de dS es

195

minos de la

s de la refle-la pendiente

ede ocurrir si

e la super-onda.

muestra en S = r dr dθ, s y(r, t). Se

196

smdo

Lrd

y

I

y

o

nsghc

A

C

supone que lamembrana y distribuye uniopuestos de u

La fuerza

La componentradial tangentedesplazamiento

y

Igualmente, la

y por eso la fu

La masa dobtiene

La ecuaciónada polar r dse puede hacergolpeado impuhubiese pasadcuadrado de l

Así pues, por

debería servir

Cuando r es g(20.2) que la

A diferencia dmedio uniform

FE

membrana essea F la tensiformemente an segmento d

radial que ac

te vertical de ee a la superficios,

a componente v

uerza vertical

del elemento d

ón (1) es, de hdesempeña un r utilizando la ulsivamente. Pdo a través dla amplitud de

conservación

para simplific

grande, se pueperturbación

de la onda lineme,

ENÓMENOS

s delgada, unisión a la cuala través de to

de línea de lon

ctúa a través d

esta fuerza es ie en dS y el pl

vertical de la f

neta que actú

dS es σr dr dθ

hecho, la ecupapel análogoenergía. Imag

Poco después el frente de oe la onda [véa

de la energía

car ( 1 ) . Sin em

ede despreciaru actúa como

eal, la onda cir

S ONDULATO

forme y perfel se estira la oda la memb

ngitud ds tend

de la frontera

dFy = (dFr) sano de la mem

fuerza que actú

úa sobre dS es

θ; por lo tanto

uación de ondo al de la coorgine que en t =se esperaría qonda circular ase (20.9)].

a, A α 1/√r. En

mbargo, cuand

r el término uo una onda lin

rcular complet

ORIOS

ectamente elásorilla de la mrana; por tan

derá a apartars

a interior de d

sen ф, donde θmbrana sin defo

úa a través de

s

, utilizando la

a para ondas rdenada cartes 0 el centro de

que la mayor pde radio r, aEntonces

ntonces, el cam

do se hace la s

/4r2 y se pue

neal que viaja

ta, u/√r, camb

[C

stica. Sea a lamembrana. E

nto, el materiase con una fue

dS es, entonce

θ es el ángulo ormar. En el ca

la frontera ext

a segunda ley

circulares, dosiana x en (20e la membranaparte de la enea una razón p

mbio de varia

sustitución, el

ede observar aa una velocid

bia de forma a

CAPITULO 2

densidad de lEsta tensión sal en los ladoerza F ds.

es

entre una líneaso de pequeño

terior de dS es

de Newton s

onde la coord.2). La analog

a sin deformar ergía de la ondproporcional

able

resultado es

al comparar codad

l propagarse e

20

la se os

ea os

s

e

de- gía es da al

(2)

on

en el

2

2

2

2

2

2

2

2

2

CAPITULO 2

20.14. Una o

La on(a) ¿Cde la Respu

20.15. Un ho20 vesu lantiemp

20.16. Una o(a) lRespu

20.17. Dedú

20.18. Una ose enc(b) ¿0.2 m

20.19. Para umecán

dondrenci

20.20. Se estmentadel al Respu

20.21. En el Respu

20.22. Para qgrandpara u

20]

onda transver

nda viaja en laCuál es la funpartícula que

uesta:

ombre tiene aneces s y que lncha. Encuénto. Respuesta:

onda sobre unaa velocidad d

uestas: (a) 2

zcase (20.9)

onda sinusoidacuentra sujeta ¿Cuánta poten

m? Respuestas:

una onda sobnica de las pa

e Pprom es el a: supóngase

tira un alamba a Lo + ∆L. Elambre, en tér

uesta:

problema 20uesta: -0.333

que sea válidode en comparauna onda sinu

FENÓ

Problersal sobre una

dirección posnción y(x, t) qe se localiza e

nclada su lancla cresta de utrese el númer5

a cuerda está de onda, (b) l.0 m/s; (b) 1

) a partir de

al se mueve a la una tensión d

ncia transmite: (a) 4.5 m/s

re una cuerdaartículas que c

promedio de que la onda i

bre de densidaEncuéntrese larminos de ∆L,

.8 ¿cuál es la3 rad = -19.1°

o el principioación con la vsoidal, esto im

ÓMENOS OND

emas coma cuerda es un

sitiva X con unque describe aen x = 8 m?

cha en un laguna onda requro de ondas a

descrita por y la longitud de 1.05 m; (c) 0

(20.4).

lo largo de unde 10 N.

e ésta última ss; (b) 1.00 W

a, muéstrese qcomponen un

la potencia trncide sobre u

ad ρ(kg/m3) a rapidez con , Lo, ρ, y Y (m

diferencia de°

o de superposielocidad trans

mplica que la a

DULATORIO

mplementan pulso que en

na rapidez cona esta onda?

o. Observauiere 5 s paralo largo de la

= 0.04 cos onda, (c)

0.52 s

a cuerda horiz(a) ¿Cuál es

si su longitud W

que la energíana longitud un

ransmitida poruna sección no

de tal manerala que una on

módulo de You

e fase entre la

ición es necessversal de unaamplitud debe

OS

arios

n t = 0 está d

nstante de 6 m(b) En t = 2 s

que el flotada recorrer losa longitud de

(12.0x + 24.0el periodo.

zontal de denss la velocidad de onda es de

a por unidad nitaria de la cu

r la onda y v o deformada d

a que su longinda transversaung).

a perturbación

sario que la va partícula dele ser menor qu

descrito por

m/s y mantienes, ¿cuál es la

dor de su anzus 15 m de lonsu lancha en c

0t) (m). Enc

idad lineal 0.5de la onda?

e 6 m y su am

de longitud (uerda) está da

es su velocidde la cuerda.)

itud inicial Lal se movería

n y y cada fue

elocidad de lal medio. Muésue la longitud

197

su forma, velocidad

uelo oscila ngitud de cualquier

cuéntrense

5 kg/m que

mplitud es

(la energía ada por

ad. (Suge-

o se incre-a lo largo

ente?

a onda sea strese que, de onda.

la LoPosuf

21.

dontis

do21

donperqutem

21.

trapo

y t

pupo

El sonido esmisma direc

os resultados dr lo tanto, laficientemente

.1 VELOCI

El desplazam

nde B es el mfacen la ecu

nde ρ0 es la.1(b)]. En pa

nde p0 es la prturbar del gae, si γ es co

mperatura ab

.2 INTENSI

La intensidaansferencia dor la forma b

tienen las unEn un medi

untual decrecor parte del m

s una onda locción en la cudel capítulo 2

as ondas obede pequeñas) e

IDAD DEL S

miento longitu

módulo de elación de ond

a densidad darticular, si e

presión del gaas, K es la cononstante, la vsoluta.

IDAD Y VO

ad I de una ode energía poidimensiona

idades W/m2

io tridimensie inversamen

medio.

Onongitudinal eual la onda t20 se aplicandecen el prinexhiben pulsa

SONIDO

udinal x del m

asticidad voluda (20.2). La

del medio cuel medio es u

as sin perturbnstante de Bolvelocidad de

LUMEN DE

onda sinusoidr unidad de ál de (20.9):

2. ional, la intente como el c

ndas sonn un medio e

transmite la en tanto a las oncipio de supaciones, onda

medio y el exc

umétrico del a velocidad d

uando éste seun gas,

bar, y es la raltzmann y m eel sonido en

E LAS ONDA

dal de sonidoárea transver

ensidad de lacuadrado de l

noras

en el cual lasenergía y la

ondas transveperposición (sas estacionaría

ceso de presió

medio (prob

de onda está

e encuentra

azón de calor es la masa de

un gas varí

AS SONORA

o es la razón prsal a la direc

as ondas de la distancia a

Ca

s partículas ocantidad de rsales como

siempre que as, etcétera.

ón p. se relaci

lema 14.5). Tdada por

en equilibri

específico, ρuna molécula

ía como la r

AS

promedio (socción de prop

sonido radia la fuente, si

pítulo

oscilan a lo lamovimientoa las longitudlas amplitude

ionan por me

Tanto pe com

o [véase pro

ρ0 es la densia del gas. Obsraíz cuadrada

obre un periopagación. Est

adas por unano existe abs

o 21

argo de o lineal. dinales. es sean

dio de

mo x sa-

oblema

dad sin sérvese a de la

odo) de tá dada

fuente sorción

200

E

en lamen

21.3

Slo la

dondes lafuenexte

Lluz eexist

21.1

El nivel de in

a cual I se ensional, como

EL EFEC

Supóngase quargo de la mi

de v0 y vs sona velocidad dente; vs es positnsión al mov

Las ondas trael efecto deptir un medio

1. En la figu4.5 m/s hrapidez imeste puls

(a) Cpulso

en paLa ra

ntensidad o s

ncuentra en Wo el radián.

CTO DOPPL

ue una fuente eisma recta. É

n las velocidael sonido en etiva si la fuenvimiento no cansversales (cpende únicam

transmisor.

ura 21-1 se mhacia la deremparte el puo? (c) ¿En q

Considérese lo tarda

asar por esta papidez promed

ON

onoridad se

W/m2. La un

LER

emite ondas dÉste escucha

ades del obseese medio. Lnte se muevecolineal de lcomo la luz)

mente de la v

Problmuestra una echa en una ulso a la partíué fracción c

la partícula e

partícula; en edio de la partí

NDAS SONOR

define por

nidad de sono

de sonido de fará un sonido

ervador y de a velocidad v hacia el obsa fuente y detambién tien

elocidad rela

lemas resvista instantlarga barra dícula? (b) ¿Ccambia la de

en el borde de

ese lapso la paícula sobre es

RAS

oridad (o volu

frecuencia fs yo de frecuenc

la fuente rela

vo es positiva ervador. Véael observadonen un efectoativa entre la

ueltos

tánea de un pdelgada de d

Cuál es el camensidad del s

el pulso que

artícula se desste intervalo d

umen), el de

y que un obsecia

ativas al medsi el observa

ase el problemr.

o Dopler, pera fuente y el

pulso longitudensidad 104

mbio de presólido debido

se muestra e

splaza longitude tiempo es,

[CAPITUL

ecibel (dB) es

rvador se mu

dio transmisoador se acercama 21.10 para

ro en el caso observador,

udinal que vi4 kg/m3. (a) sión asociadoo al pulso?

en la figura 2

udinalmente 2entonces,

LO 21

s adi-

eve a

or y v a a la a una

de la al no

iaja a ¿Qué o con

1-. El

2 mm.

CCAPÍTULO 21

Sici

(b) Copudisla paesEn

quca

po

co

[v

La c

pr

(c) Cusaen

y invo

do

1]

in embargo, ddad up en cad

onsidérense laulso en la figstancia v ∆t hasección transv

artículas es apte conjunto den consecuenci

ue ejerce hacialmente en la

or encima y abLa relación

on

véase parte (a

comparación d

roporciona la

uando el pulsoles de la barra

nviadas a x +

las partículas ntermedios. Entolumen S[∆x +

onde se utiliz

ebido a que eda instante del

as partículas qugura 21-1. Enacia la derechaversal de la barproximadamee partículas adia, debe actuar

a la derecha ebarra una

bajo de cualqn pe = ρovvp, q

a)] da

de esta última

fórmula para

o pasa a travésa en x y x + ∆xx, aquellas q

que se encuentonces, una ma+ (∂x/∂x) ∆x]

zó vp/v = ∂x

ONDAS SON

l perfil del pu intervalo de t

ue forman la p un pequeño

a, por lo que torra) se ponen eente ρ0(Sv ∆t)dquiere una canr sobre estas u

el material qu

quier presión pque es válida p

a ecuación con

la rapidez de

s del pequeño x, las partícul

que componen

ntran entre estasa Am que inic].

/∂x a partir d

NORAS

ulso es lineal, tiempo.

parte de la barrintervalo de

odas las partícuen movimiento), ρ0 es la dentidad de movuna fuerza

ue yace hacia

presente en elpara todas las

n

e la onda:

volumen deli

as que compon la sección tr

tas dos secciocialmente ocup

e (b). Sustituy

la partícula se

ra que yace a ltiempo ∆t, e

ulas en un voluo a una velocidensidad sin d

vimiento ρo(Sv

la izquierda. E

l equilibrio. ondas de soni

imitado por lanen la secciónransversal en

nes transversa

paba un volume

yendo valores

e mueve con u

a derecha del bel pulso penetumen Sv ∆t (S dad vp. La masaeformar. Por

v ∆t)vp en un ti

En resumen, e

do, cuando se

s secciones trn transversal ex + ∆x a

ales se envíanen S ∆x ahora

s numéricos,

201

una velo-

borde del trará una = área de

a de estas lo tanto,

iempo ∆t.

existe lo-

e combina

ansver-en x son

a lugares ocupa un

202

21.2.

21.3.

21.4.

21.5.

21.6.

donde

tuvo q

Las ondas módulo de

o 2100 MP

¿Cuál es lapondienteskHz? La pcondicione

Para utiene la form

de modo qu

Se quiere qde 1 kHz cfragma? A cidad del s

Se qui

Entonces, a

o 0.38 mm

¿Cuál es el(b) ¿El um

Un conducde oscilaci

se utilizó la d

que ser usado.

longitudinale elasticidad v

Pa.

a amplitud d a una onda dresión estánd

es normales d

una onda de dema

ue la amplitu

que una bocicon una pote

la temperatusonido es 344iere que la int

a partir de

.

l nivel de ruidmbral del dolo

cto que se ención de 210 H

OND

definición de

es viajan a trvolumétrico d

de la onda dede desplazamidar es p0 = 10de presión y t

esplazamiento

d es

ina con un dncia de 40 W

ura bajo cons4 m/s. tensidad del so

do, en dB, de or (I = 1 W/m

cuentra iniciaz. Cuando am

DAS SONORA

l módulo de e

ravés del agudel agua? La

e presión en iento sinusoid01 kPa, γaire =temperatura e

o de la forma

iafragma de W. ¿Cuál es lideración, la

onido sea

(a) una m2)?

almente cerrambos extremo

AS

elasticidad vo

a a una rapida densidad de

el aire bajo dal de amplitu= 1.4 y la rapes v = 331 m

a x = x0 cos

0.1 m de radla mínima amdensidad del

conversación

ado por un exos se abren, e

olumétrico y d

dez de 1450 ml agua es de

condiciones ud x0 = 1 µm pidez del son

m/s.

(kx + ωt), la

dio genere ramplitud de osl aire es 1.29

n ordinaria

xtremo tiene el conducto o

[CAPÍTULO

de la relación

m/s. ¿Cuál es103 kg/m3.

estándar cory frecuencia

nido en el air

a onda de pres

adiación acússcilación del

kg/m3 y la v

(I = 10-6 W

una frecuencoscila a 840 H

O 21

s el

rres-de 2

re en

sión

stica dia-

velo-

W/m2)?

cia Hz

C

2

2

CAPITULO 21

(no es satisfa

Lade pres

donde

Las má

1.7. ¿Cuál produca 10 k

La

y esta tanto,

0.13 µW

1.8. Un objes la raθ de la

donde

1]

la frecuenciaará estas cond

a figura 21-2 insión que surge

j = 1 , 2, 3,

ás pequeñas i

es la mínimacirá un nivel

km de la fuena intensidad I

intensidad de

W.

jeto que viajapidez del soa onda de ch

n = V/v es e

a fundamentadiciones? La

ndica el tipo de en ambos ca

... Dado que

y j que satisfa

a potencia dede intensidadnte?

I está dada po

ebe manteners

aja en línea ronido en el mhoque está d

el número de

ONDAS SON

l). ¿Cuál es la velocidad d

de condicionesasos. En (a),

v es la mism

acen esta ecua

e salida de und de 40 dB

or

se sobre la sup

recta con rapmedio, crea udado por

e Mach.

NORAS

a longitud mádel sonido es

s a la frontera o

ma en ambos

ación son i =

na fuente pun en el oído d

perficie de un

pidez V > vuna onda de c

ás pequeña dde 330 m/s.

obedecidas po

casos,

0, j = 2; y cua

ntual e isotróde una person

na esfera de ra

a través de uchoque. Mué

del conducto (

or la onda estac

alquiera de es

ópica de sonina que se encu

adio de 10 km

un medio, doéstrese que el

203

(L) que

cionaria

stas da

do que uentra

m. Por lo

onde v l ángulo

204

21.9.

21.10

La figura frentes dede la geomcircular re

Esta envo

. Dos trenlocomotoescucharavelocidad

Empl

0. Un tren aEl últimoel silbatosonido essobre las

(c) Tantolos un

(d) La eccompEn es

21-3 muestrae onda esféricmetría del proecto que tiene

ltura cónica c

nes, cada unoras emite soa un hombrd del sonidoleando la conv

acaba de sal vagón empie

o, que tiene us v = 344 m/svías y más a

o el movimienne. Por tanto, cuación Doppponentes, a loste caso se tie

ON

a, en un corte os emitidos poblema, que te un ángulo en

onstituye la on

no a una velonidos con ue que viaja es v = 330 mvención de sig

lir de una laeza a entrar e

una frecuencis. ¿Cuál es laadelante del t

nto de la fuen vs = vo= 0 en

pler es válida o largo de la lene que [véase

NDAS SONOR

longitudinal, por el objeto..todos los frenn el ápice de 2

nda de choque

locidad de 1una frecuenc

en el últimm/s.gnos que se di

arga curva een la curva, qia fs = 200 Ha frecuencia qren? (b) y el

nte como el dn la ecuación D

para el movilínea que une e figura 21-4(

RAS

el objeto en u., τ1, τ2, . . . se

ntes de onda s2θ, donde

e.

17 m/s, se acia fs = 200 mo vagón de

io en la secció

n U, como ue es un sem

Hz. La velocidque escucharmaquinista,

el observadorDoppler, y f0 =imiento no cola fuente y e

(b)]

[C

un instante degundos antesson tangentes

alejan uno dHz. ¿Cuál

el otro tren?

ón 21.3,

se muestra emicírculo. El m

dad del tren rá (a) un homsituado delan

r son perpend= fs = 200 Hz.olineal si vs yl observador,

CAPITULO 21

e tiempo, junt. Resulta clar internamente

de otro. Unes la frecuen? Supóngase

en la figura maquinista haes de 29 m/s

mbre que se ente del tren?

diculares a la . y vo se toman, respectivam

1 1

to con los o, a partir e al cono

a de las ncia que e que la

21-4(a). ace sonar s y la del encuentre

línea que

n como la ente

C

2

2

2

2

2

2

CAPITULO 2

21.11. La distrecepcmétricopara co

1.12. La velonificatiobtieneRespue

1.13. La inte

A partiexpresRespue

1.14. La frectrense con la Respue

1.15. Un trensilbato es de 3tren? ((c) ¿CurelacióRespue

1.16. Una mvelocidLa velopecular

1]

tancia a que seión de un pulo del agua es onvertir en dis

ocidad del sonivas a esa tempe únicamente esta: Sí.

ensidad (prom

ir de ésta y desión para la inesta:

cuencia funda (a) la velocfrecuencia fu

esta: (a) 720 m

n se aproxima con una frecu

330 m/s. (a) ¿(b) ¿Cuál es lauál es la frecun con la carret

esta: (a) 1.55 m

muchacha llevdad de 3 m/s. ¿ocidad del sonr del diapasón

Probleme halla un sublso de sonidode 21000 MP

stancia el tiem

nido en un gaperatura las via partir de tra

medio) de un

e la relación entensidad de l

amental de cieidad de las on

undamental, m/s; (b) 1.6 m

a la plataformuencia de 200 H¿Cuál es la lona frecuencia quencia que metera y que se apm; (b) 213 H

a un diapasón¿Qué frecuencnido es de 330n.) Respuesta:

ONDAS SON

mas compbmarino se calo en un generPa y su densid

mpo medido? R

as de moléculibraciones inteanslaciones y r

na onda de so

ntre el excesola onda X = f(

erta cuerda de ndas a lo larg(c) la longit

m; (c) 0.533 m

ma de una estacHz, medida pongitud de ondue medirá un edirá el conduproxima a la e

Hz; (c) 239 H

n que oscila acia de pulsacio0 m/s. (Sugere 8.1 Hz

NORAS

plementarlcula midiendrador sumergidad es de 103

Respuesta: dkm

as de hidrógeermoleculares?rotaciones mo

onido es [véas

o de presión y(x vt) en un

violín de lono de la cuerdatud de onda dem

ción a una veloor el maquinistda en el aire tr

hombre que suctor de un auestación desde Hz

a 440 Hz y elones escucharáencia: reempl

rios

o el tiempo endo. El módul kg/m3. ¿Cuál

m = 0.725 ts

eno a 0 °C es ? (Sugerencia:

oleculares, ent

e (20.4)]

y el desplazammedio de den

gitud 0.8 m esa, (b) la longiel tercer armó

ocidad de 20 ma. La velocidaranquilo que sse encuentra eutomóvil que s

una dirección

lla corre haciá entre las ondalácese la pared

ntre la transmlo de elasticidl es el factor

de 1.3 km/s. ¿: si la energía tonces γ es igu

miento, obténgnsidad en rep

s de 450 Hz. Etud de onda a

ónico.

m/s, haciendo ad del sonido ese encuentra fen la plataformse mueve a 40opuesta a la d

a una pared cas directa y red por una ima

205

misión y la dad volu-de escala

¿Son sig-del gas se

ual a 7/5.)

ase una oso p0.

Encuén-asociada

sonar su en el aire frente al ma? 0 m/s en del tren?

con una flejada?

agen es-

22.1 CARG

Con el prfundamental mecánicas. Eeléctrica (eneléctrica queunidad derivser una camicrocoulom

Cualquierentero de

donde e es

EJEMPLO billones de ccoulomb es u(número atómcualquier secA es

Ca

GA ELÉCTR

ropósito de exy su corresp

En el SI se elin un alambree pasa a travévada para la carga eléctricmb (µC) y el nr carga observ

la carga en u

22.1. (a) Uncargas de eleuna definiciómico 29) es (ción transvers

arga eléc

RICA

xpresar cantidpondiente unige la corriene, por ejempés de una seccarga eléctricca demasiadnanocoulombvada q (grand

un electrón.

n coulomb coectrones (el nn de la cantid(29) (1.6022 sal de un alam

ctrica y

dades electronidad básica nte eléctrica,plo) correspocción transveca es el A s

do grande; b (nC). de o pequeña,

ontiene (1.602número exactdad de carga)x 1019-) = 4.

mbre en dos m

y ley de

omagnéticas, (sección 1.1 medida en aonde al tranersal fija en ds o coulomb (de aquí qu

, positiva o ne

22 x 10-19)-1,to no necesar), (b) La carg.646 X lO-18 C

minutos durante

C

Coulom

se debe añad) a las utiliz

amperes (A). sporte de ciedeterminado (1 C = 1 A ue se utilic

egativa) es, en

o aproximadriamente deb

ga en el núcleC. (c) La care los cuales ex

Capítu

mb

dir una nuevazadas en las Dado que unerta cantidadintervalo de s). Un couloen frecuent

n magnitud, u

damente, 6 mbe ser entero,o de un átom

rga que pasa xiste una corr

lo 22

a dimensión cantidades

na corriente d de carga tiempo, la mb resulta

temente el

un múltiplo

millones de , ya que el

mo de cobre a través de iente de 15

208

22.2 F

La fde un sfuerza

donde es una de Newcargas

Exp

Por raztividad

(véase

minos d

Cuadebe remedio.

Sobre Tod

especiacionada

La ces neceaun cua

Igualos sub

Sin ximadamagnituanteriornéticas

FuerzaLas

q3,... secalculatotal so

FUERZA EN

figura 22-1 msistema inerceléctrica dad

r =re = r(ℓi+constante po

wton (sección simétricamen

perimentalme

zones matemád del espacio

el problema

de ε0, la ley d

ando q1 y q2 eeemplazarse p

la validez dedas las leyes al (capítulo 38as brevementcarga q1 debeesario que seando se aproalmente, si seíndices intercembargo, si

amente válidaud y de direcrmente, son ú que se produ

a total ejercids fuerzas entree encuentran fa por medio dobre q es just

CARGA

NTRE CARG

muestra dos cacial X, Y, Z. da por

+ mj + nk) (vositiva. Obsér13.2). La primnte esféricas ente se encue

áticas, es convacío y que

25.10 donde

de Coulomb s

están inmersapor Kε0, don

e la ley de Code la "electr8). De acuerdte, son: e estar en repe encuentre eoxime a la vee desea calcucambiados, q2u y v son ta

a para ambas cción opuestaúnicamente fucen cuando a

da por diverse cargas puntfijas en un sisde la ley de Ctamente la su

A ELÉCTRIC

GAS PUNTUA

argas puntualDe acuerdo

véase secciórvese la analmera conservay no traslapa

entra que

nveniente reese define así

se define el

se escribe

as en un medinde K (una ca

oulomb

rodinámica cldo con ésta, l

poso relativo en el origen),elocidad de laular F1, la fuer

2 debe estar ean pequeñas fuerzas, de t

a. (Debe recofuerzas electrambas cargas

sas cargas putuales actúan stema inercialCoulomb comuma vectorial

CA Y LEY D

ALES

es, una de lascon la ley de

ón 1.6) es el vlogía entre laa su validez sadas, donde r

emplazar b poí

farad, F, la u

io dieléctricoantidad adim

lásica" debenlas condicion

a un sistema, en tanto qua luz, c. rza sobre q1 d

en reposo y q1que u2/c2 «

tal manera quordarse que Frostáticas en s están en mo

untuales

independienl. Entonces, lamo si no existl de las fuerz

DE COULOM

s cuales, q1, se Coulomb, la

vector de desa ley de Couli q1 y q2 repre

r es la distanc

or otra consta

unidad de cap

o e isotrópico mensional) es

n cumplir losnes de la valid

a inercial de rue q2 puede te

debida a q2, a1 puede tener 1, v2/c2 « 1, ue F2 y F1 seF1 y F2, al calas que no s

ovimiento.)

temente. Supa fuerza F(1) sotieran q2, q3,.

zas individua

MB [

se encuentra fa carga q2 ex

splazamientoomb y la ley

esentan dos dicia entre los d

ante, ε0, deno

pacitancia elé

como el acela constante

requisitos ddez de (22.1)

referencia (poener cualquie

al aplicar (22.cualquier vella ley de Co

e pueden conalcularse come incluyen la

póngase que lobre la carga .. . etc. Por úles:

[CAPITULO

fija en el origxperimenta u

(22

o de q1 a q2 yy de gravitaciistribuciones dos centros.

ominada perm

éctrica). En té

(22

ite, ε0 en (22dieléctrica d

de la relativid o (22.2), me

or supuesto, er velocidad

.1) o (22.2) clocidad v.

oulomb es aprsiderar de igu

mo se mencioas fuerzas ma

as cargas q1, q debida a q1

último, la fuer

(22

22

en na

2.1) y b ión de

mi-

ér-

2.2)

.2) del

dad en-

no u,

con

ro-ual

onó ag-

q2, 1 se rza

2.3)

C

CAPITULO 2

22.1. En lacuéntconst

y

L

L

22.2. En laℓ, m, beran

L

dondsegun

L

22.3. Dos eportasitivoEl coy el n

E

La ca

la cuatrac

¡o se

22]

a figura 22-1trense la magtante dieléctri

y la magnitud

Los cosenos d

La dirección d

a figura 22-1, n, tienen los

n a partir del a fuerza sobr

e e= ℓi+ mjnda ley de Ne

La fuerza sobre

esferas de ma como cargaos, de un centobre tiene 63.número de AvEl número de á

arga total neg

al, por supuesción es

ea unos 16 mi

CARGA ELÉ

Pr, sean q1 = 2gnitud y la dica 2.5.

d de F2 es

directores de F

de F2 es la mi

q1 es una pas valores quereposo, encue el electrón

j+ nk. La mewton la acele

e la partícula

metal se encue de superficitímetro cúbic.54 de peso avogadro es 6átomos en un

gativa de los e

sto, es también

llones de tone

ÉCTRICA Y

roblemas 00 µC, q2 =

dirección de

F2 son

isma que en (a

artícula α (care se encontraruéntrese la aces

masa de un eleceración del ele

α es F2 y su

entran separie todos los eco de cobre. ¿atómico, núm6.022 x 1022 án centímetro c

electrones es,

n la carga total

eladas!

LEY DE CO

resueltos30 µC, x = 2Fs (a) en el e

a).

rga + 2e), q2ron en el proceleración in

ctrón es me = 9ectrón es

u masa es 6.65

adas 100 kmelectrones, y ¿Cuál es la fu

mero atómicoátomos/mol.cúbico es

entonces,

l positiva de lo

OULOMB

s

20 cm, y = 2espacio libre

es un electróoblema 22.1. nicial de cada

9.11 X 10-31 k

5 X 10-27 kg; p

m en el espacla otra lleva

uerza de atraco 29, densida

os núcleos. Po

25 cm, z = 30e, (b) en un m

ón, y r = 1 Å=Si las partíc

a una de ellas

g, por lo que d

por tanto,

cio. Una de la todos los núcción entre lad de 8.96 X 1

or lo tanto, la f

209

0 cm. En-medio de

= 10-10 m; ulas se li-s.

debido a la

as esferas úcleos po-as esferas? 103 kg/m3;

fuerza de

210

22.4.

22.5.

En la figurala magnituddistribuidas

La fuerz

A partir de

En la figurZ, y q en unx1 = 0.8 mtotal sobre

y r1 = 0.87

Igualmente,

y la fuerza

La fuer

CARG

a 22-2, q1 = 3d y dirección sobre esfera

za sobre q3 deb

esto, F3 = [(1

ra 22-3, q1 se n punto P(x,

m, z2 = 0.75 e q.

775 m. De aq

,

a sobre q debi

rza total es, en

A ELÉCTRIC

00 µC, q2 = 4n de F3, la fus que se local

bida a q1 es

5.775)2 + (4.8

localiza sobry, z) en el espm, x = 0.4

quí que la fue

ida a q2 es

ntonces,

CA Y LEY D

400 µC, q3 = uerza total slizan en el es

8)2]1/2 = 16.49

re el eje X a pacio. Sabienm, y = 0.5

erza sobre q

DE COULOM

500 µC, r12 =obre q3. Las pacio vacío.

9 N, y la direc

una distanciando que q1 = m, z = 0.6 m

debida a q1 e

MB

= 9 m, r13 = 1cargas están

cción de F3 es

a x1 del orige40 µC, q2 = m, encuéntre

es

[CAPITULO

12 m. Calcúlen uniformeme

stá dada por

en, q2 en z2 so50 µC, q = 8 ese F, la fue

22

ense ente

obre µC,

erza

C

22

22

CAPITULO 22

2.6. Una ca22-4. LF sobrvecind (a) Po

Di

de

(b) Pabacaqumfu

2.7. En la fde carconducel eje q2 = 40el cualplano

El

2] C

arga q1 se enLa carga q sere q tiene u

dad del origen

or simetría, F

iferenciando

e donde x = ±ara x = 0, F =argo, el equiliaso especial deuier distribucióas 22.7 y 22.

uerzas eléctric

figura 22-5 srga +q1 y quctora de longiX a una dis

0 µC, L = 1.5l el péndulo pvertical XY.)vector del or

CARGA ELÉC

ncuentra fija e puede mov

una magnitudn.

se dirige a lo

F con respec

±y/√2. Obviam= 0, lo cual sigibrio es inestel siguiente reón de cargas f10 se muestraas actúan otra

e muestra unue se encuenitud L. Otra estancia h> L m, h = 1.8 m

permanezca e) igen a q1 es

CTRICA Y L

en y y otra cver a lo largod máxima?

o largo de X;

cto a x e igual

mente estos pugnifica que q able dado qusultado generafijas, nunca sea que el equilas fuerzas, com

na esfera con ntra suspendesfera, que tie

verticalmenm, M = 0.8 kgen reposo. (El

LEY DE COU

carga igual en de X. (a) ¿P(b) Estudie

su magnitud

lando el resul

untos son máxse encuentra

ue para x ≠ 0, al: una carga me encuentra enibrio estable mo lo sería la

masa Ai, quedida a manerene una carga nte hacia abajg, y g = 9.8 ml movimiento

ULOMB

n y, como sPara qué valo

la variación

es

ltado a cero,

ximos y no men equilibrio F se aleja d

móvil, sometin equilibrio esse puede alcatensión en un

e porta una dra de pénduluniforme +q

ajo del origenm/s2, encuéntro del péndulo

se indica en lor de x la fuern de la fuerz

se obtiene

mínimos. en el origen.del origen. Ésda a la acciónstable. (En loanzar si ademna cuerda.)

distribución ulo de una cu2, se encuentrn. Para q1 =rese el valor d está confina

211

la figura rza total za en la

. Sin em-ste es un

n de cual-s proble-

más de las

uniforme uerda no ra fija en 60 µC,

de θ para do en el

212

22.8.

Por lo ta

La torca re Para el equ

Esta ecposición depodrían serLa otra solu

Sustituyend

Una carga puniformemω en tornofuerzas cua

La fuer

CARG

anto, la fuerza

sultante sobre

uilibrio,

cuación tiene e equilibrio envir para ciertaución es

do los valores n

puntual q1 smente distribuo del origen ealesquiera, enrza de atracció

GA ELÉCTR

total sobre q1,

el péndulo alr

dos solucionn 8 =, 0 o en

as escalas de lo

numéricos

se encuentrauida sobre unaen una órbitancuéntrese unaón sobre q2,

RICA Y LEY

excluyendo la

rededor de O e

nes. La prime8 = 180°. Est

os parámetros

fija en el ora esfera con ma circular de ra expresión de

DE COULOM

a tensión en la c

es (véase la se

ra de ellas, stas posibilidadfísicos (véanse

igen de X, Ymasa m que giradio r. Despe r.

MB

cuerda, está da

ección 10.1)

sen 8 = 0, codes se descarte los problema

Y. La carga +ira con una ve

preciando la g

[CAPITULO

ada por

rresponde a utan; sin embaras 22.10 y 22.1

+q2 se encuenelocidad angugravedad y ot

O 22

una rgo, 14).

ntra ular tras

CAPITULO

se enobtien

22.9. La cu22-6la mindic

Auna c

22.10. Con µC, ydel pun pesigue

(a) Cn

(b) Pp

22]

ncuentra claramne

uerda extrem6, está cubiert

magnitud y laca.

A partir de la scomponente Y

referencia aly que los datopéndulo? (b)equeño ángue?

Con ambas cano se aplica m

Ahora la fuerzθ = 0.

Para |θ| ≤ |θ0|,pectivamente.

CARGA EL

mente dirigida

madamente lata uniformem

a dirección d

simetría del pY, por lo que

l problema 22os restantes p Si la lenteja

ulo 0O y despu

argas reducidamás; clarament

za gravitacion

, se pueden ap. Esto da

ÉCTRICA Y

a hacia el orig

arga ab no comente con unde la fuerza s

problema es clse tiene que

2.7 y a la figpermanecen ia del pénduloués se suelta

as por un factte,

nal predomina

proximar sen

Y LEY DE CO

gen. Igualando

onductora quea carga de +σsobre q1, que

laro que la fu

gura 22-5, supiguales, (a) ¿Co se desplaza partir del r

tor de 100, la

a sobre la fuerz

θ y cos α en

OULOMB

o ésta a la fue

e se muestra σ coulombs pe está coloca

uerza resultant

póngase que Cuál es ahoraa a partir de reposo, ¿cuál

solución (2

za eléctrica, y

(1) del proble

erza centrípeta

en el eje X dpor metro. Enada en el lug

te, F, tiene ún

q1 = 0.6 µC

a la posición la posición

l es el movim

2) del problem

la posición de

ema 22.7 a θ y

213

a, mrw2, se

de la figura ncuéntrese gar que se

nicamente

y q2 = 0.4 de reposo de reposo

miento que

ma 22.7 ya

e reposo es

y 1, res-

214

22.11.

22.12.

22.13.

22.14.

22.15.

22.16.

Así puestorca linMAS an

dado qumovimi en comp en ausen

Suponiendo circular de raRespuesta: 9.2

Muéstrese qumolecular =1

Resuélvase dmergido en aRespuesta: θ

Refiérase al θ = 180° seaRespuestas:

En el probleesfera que tien la figuraprincipio de

Respuesta:

En la figurabuida + q)Otra carga, Qr = 0.8 m, Men el plano vµC. Respues

CARGA

s, se puede obneal de restaungular, y obede

ue el momentoento es entonc

paración con

ncia de fuerza

Prque el electró

adio 0.5 Å (0.24 x 10-8 N; 2.2

ue el número de18) es de 16.7

de nuevo el paceite (consθ = 43.5°

problema 22. un punto de

ema 22.9, q1 eiene masa m. Sa 22-6, ¿cuán

energía-traba

22-7, dos esf) se encuentQ, está fija a

M = 0.5 kg, h vertical XY. Enstas: (a) ≈58°

A ELÉCTRIC

bservar que, pración; por loecerá a la ecua

o de inercia eces

as eléctricas

roblemas ón de un átom.05 nm), encu5 x 106 m/s

e electrones as73 X 1023 y que

problema 22.7stante dieléctr

7. ¿Qué cond (a) equilibrio

es negativa y Si la esfera seto tardará enajo y la integr

feras (cada utran suspendiduna distancia= 1.5 m, y g =ncuéntrese el á°; (b) 31°

CA Y LEY D

para los valoreo tanto (capítuación

en torno de O

(débiles).

complemmo de hidrógeéntrese la fue

ociados con loe la carga neg

7, suponiendorica = 2.5).

iciones debeno, (b) equil

se halla distre libera a partn alcanzar la ral definida

una con masadas del punto a h > r directa= 9.8 m/s2. Lángulo de equi

DE COULOM

es dados de loulo 14), el mo

O es I = ML2 =

mentarioseno gire en torrza de atracci

s átomos contegativa correspo

o que el sistem

n satisfacer loslibrio estable?

ribuida uniforir del reposo línea de carg

a M y con unaP por medio d

amente por deos péndulos eilibrio cuando

MB [

os parámetros ovimiento del

= 1.8 kg m2

rno del protónión y la veloci

enidos en 5 cmondiente es 2.

ma completo

s parámetros f

rmemente soben la posición

ga? Sugerenc

a carga uniforde hilos de sedebajo de P. Seestán confina (a) Q = 0, (b)

[CAPITULO

físicos, hay upéndulo será

2. El periodo d

n en una órbiidad del electr

m3 de agua (pes68 X 105 C.

se encuentra

físicos para qu

bre una pequen que se muesia: aplíquese

rmemente distda de longitudean q = 40 µCdos a movers) Q = 43.13

22

una un

del

ta rón.

o

su-

ue

eña stra e el

tri-d r. C, se

CAPITULO 2

22.17. Ve

22]

erifíquese que

CARGA ELÉ

e r = |m| en el

ÉCTRICA Y

problema 22

LEY DE CO

.8 y que t = |S

OULOMB

S| en el proble

ema 22.15.

215

2

fipuelF ca

Ssounar

(2

El cam

3.1 DEFIN

Considéresgura 23-1, dountuales. Unl punto P(x, ysobre la carg

argas se defi

e puede obseobre una cargna carga punrreglo de car

Cuando el 23.1) se trans

mpo elé

NICIÓN GEN

e un conjuntoonde + q1 y a carga de p

y, z), y un obsga de prueba. ne por medio

ervar que E ga unitaria (1 ntual, q localrgas pudo ha

conjunto desforman en

éctrico f

NERAL DE E

o de cargas e q2 están distrueba +q' , cervador (tamEntonces, el

o de

es un vector C) en el puntizada en un p

aber formado

e cargas estac

formado

E

en reposo relatribuidas sobrcarga puntual

mbién en reposl campo eléct

en la direccto bajo considpunto en el qo E) está dad

cionarías se

o por ca

ativo a un sisre los cuerposl positiva de so con respectrico E en P(x

ción de F y rderación. En que el campoda por

reduce a un

Ca

argas e

stema inercials B1 y B2, y pequeña mag

cto a X, Y, Z)x, y, z) formad

epresenta la forma equiva

o eléctrico es

a sola carga

apítulo

n repos

l X, Y, Z, com q3 y + q4 sognitud, se loc mide una fuedo por el conj

fuerza (en nalente, la fuers E (sin impo

puntual q1,

o 23

so

mo en la on cargas caliza en erza neta

njunto de

(23.1)

newtons) rza sobre ortar qué

(22.2) y

218

en laecuacsecció

23.2

A

esto cargaese p

23.1.

23.2

a que ε0 es reción (23.3) eón 22.2.

PRINCIPI

A partir de (22

es, el campoas) q1, q2, q3,.punto por las

. En el sistde E en e

A part

y los cose

2. RefiérSe enc

CAMPO

eemplazada pes válida aun

IO DE SUPE

2.3) y (23.1),

eléctrico en ... se encuentcargas indivi

tema inerciall punto x = 5

tir de (23.3), l

enos directores

rase al problecontró que la

O ELÉCTRIC

por Kε0 cuann cuando la c

ERPOSICIÓN

cualquier putra al sumar (iduales.

Probl de la figura

50 cm, y = 60

la magnitud d

s de E son

ema 22.5 y efuerza total s

CO DE CARG

ndo se trabajacarga de prue

N PARA E

unto, debido o integrar) lo

emas res23-2, q = 60

0 cm, z = 80 c

de E es

encuéntrese Esobre q = 8 X

GAS EN REP

a en un medieba se encue

a la distribuc

os campos for

ueltos

µC. Encuéntcm. Supónga

E en el puntoX 10- 6 C era

POSO

io dieléctricontre en mov

ción de cargarmados indep

trese la magnase un espaci

o ocupado po

[CAPITUL

o e isotrópicoimiento; véa

as (o elementpendientemen

nitud y direccio vacío.

or q.

LO 23

o. La se la

os de nte en

ción

C

2

2

2

2

CAPITULO 2

23.3. En el

están (a) laq = 5

(a) A

E

y

23.4. Un cauna cade exatablec

Da

23.5. En refforma

Darecció

23.6. Dos cse mu

23] CA

punto P(x, y,

formados pa magnitud y X 10 9. colo

A partir de la

En magnitud,

la dirección d

ampo eléctricarga de 1 C sactamente 1

cer como V/mado que 1 V

ferencia al pado por la cuado que, en geón (Y) y está

cuerdas muy uestra en la fi

AMPO ELÉC

, z) (Fig. 23-3

or cargas indy la direccióocada en P.

figura,

de Etotal está d

co E estático se mueve a trJ de energía

m. = 1 J/C y qu

roblema 22.9uerda cargadaeneral, E = Fdado por

largas y no cigura 23-4. S

CTRICO DE C

3), los campo

dividuales quón de Etotal e

Fig

dada por

da lugar a unravés de una cinética. Mu

ue 1 J = 1 N

9 y a la figura, en el lugarF/q, el campo

conductoras e encuentran

CARGAS EN

os eléctricos

ue no se muen P; (b) la

g.23-3

na fuerza condiferencia d

uéstrese que

m,

ra 22-6, encr de q1.

o eléctrico tam

se estiran a l

n uniformeme

N REPOSO

estran en la fuerza sobre

nservativa (sde potencial d

las unidades

cuéntrese u

mbién es pura

lo largo de loente cargadas

figura. Encue una carga

sección 9.1): de +1 volt (Vs de E se pue

una expresió

amente radial

os ejes X y Ys, con densid

219

uéntrense puntual,

cuando V), pier- eden es-

ón para E

en la di-

Y, como dades de

220

23.7.

carga σx y σen P; sean

Aplican

Dos pequeñnectadas poEn la figurejes se el igel plano Xmomento d

El camp

El vector q

La torca es,

Se puede obE.

CAMPO

σv, respectivaσx = 5 µC/m

do el resultad

ñas esferas qor medio de

ra 23-5 se mugen de tal mY. Sabiendo

dipolar P y lapo ejerce sobr

qI se define co

entonces,

bservar que la

O ELÉCTRIC

mente. Encuém, σy = 8 µC/

do del problem

que portan cauna delgada

uestra un dipoanera que E que q = 4 µ

a torca τ que re el dipolo el

omo el mome

a torca tiende

CO DE CARG

éntrense la mm, x = 3 m, y

ma 23.5,

argas uniformbarra de lon

olo de este tipse encuentreC, E = 5 x 1tiende a cam

léctrico una t

ento dipolar P

a disminuir a

GAS EN REP

magnitud y la dy = 4 m.

memente distrgitud l y conpo en un came a lo largo d05 N/C y qu

mbiar el ánguorca dada por

P:

a 6, esto es, a a

POSO

dirección del

ribuidas + qnstituyen un mpo eléctricode X y que ee l = 20 cm,

ulo θ. r

alinear P con

[CAPITULO

campo eléctr

y q están dipolo eléctr E uniforme;l dipolo yagencuéntrens

el campo exte

O 23

rico

co-rico. los a en e el

erno

2

2

CAPITULO 2

23.8. Encuéobser

Eorient

Si la poten

Ose pu

Este r

23.9. Las dy port+q seq2 =

23] CA

éntrese la eneva en la figu

l trabajo realitación θ0 = θ a

posición de encial es justam

bsérvese que uede hacer igu

resultado es ge

os pequeñas tan cargas un encuentra fi50 µC, q = 60

AMPO ELÉC

ergía potencira 23-5.

izado por un a la orientació

quilibrio se tomente igual al

en este caso ual a cero cam

eneralmente v

esferas de laniformementeija en el orig

0 µC, x1 = 2 m

CTRICO DE

al del dipolo

campo externón θ0 = 0 (la p

oma como el trabajo:

P ·E = -0.4 combiando el niv

válido.

a figura 23-6 e distribuidasgen. Encuént

m, y1 = 2.5 m,

CARGAS EN

del problem

no al rotar el dposición de eq

nivel cero de

os θ. Entoncesvel de referenc

están unidass q1 y +q2. Utrese la fuerzx2 = 3.5 m, y2

N REPOSO

ma 27.7 cuand

dipolo (siempquilibrio) es

energía poten

, junto con uncia),

a una barra dUna tercera esza neta sobre2 = 4 m.

do está orient

pre en el plan

ncial, entonce

na constante ad

delgada y nosfera que pore el halterio, s

221

ado como se

no XY) de una

es la energía

ditiva (la cual

conductora, rta una carga si q1 = 40 µC,

222

23.10

Únicam(x1, y1) Y (x

por lo que l

y la fuerza

. En la figurencuentra fcon masa muna expres(b) Suponimovimiento

(b) Suponieexpres

Por lo

CAMPO

mente el campox2, y2) son

las fuerzas so

neta es

ra 23-7 la cfija sobre X m1 y que tiensión exacta endo que m1o subsecuente

endo que |x| psión para F, la

tanto (sección

O ELÉCTRIC

o eléctrico, de

obre el halteri

arga q está en x = a. Un

ne una carga de la fuerza

1 se libera a e.

permanece mua cual se trans

n 14.2), el mov

CO DE CARG

ebido a +q, se

io son

uniformemena carga igualq1, se puede

a total sobrepartir del re

uy pequeño cosforma en una

vimiento es ar

GAS EN REP

e toma en cue

nte distribuil está fija en deslizar a lo

e m1 en la peposo en un

omparado cona fuerza restau

rmónico simp

POSO

enta (¿por qué

ida sobre unx = a. Una

o largo de X. posición en qpunto x0 « a

n a, se puede duradora linea

ple, x = x0 cos

[CAPÍTULO

é?) Sus valore

na esfera que pequeña esf(a) Encuéntr

que se muesa, encuéntres

despreciar x2 el

ωt, de frecuen

O 23

es en

e se fera, rese stra, e el

en la

ncia

CAPITULO 2

23.11. Refiédos cde osRespu

23.12. Hága

23.13. EncuRespu

23.14. En launifo

y las

UtilizenergRespu

23] CA

érase al problecargas fijas, (scilación de m1

uestas: (a) E =

ase un análisis

uéntrese la fueuesta: F = 5.55

a figura 23-9 urme. Los cosen

componentes

zando las relagía potencial duestas: (a) τ =

AMPO ELÉC

Probleema 23.10. (a

(b) Si q = 30 µ1. = qax/ττεo(a

s dimensional

erza sobre la c5i +4.444j + 7.

un dipolo elécnos directores

ℓ = 0rectangulares d

Ex = 40kVaciones vectordel dipolo rela-0.710i + 0.04

CTRICO DE

emas coma) EncuéntreseµC, q1 = 5 µC

a2-x2)2; (b)

para verificar

carga de 6 µC.333 k N

ctrico, de momde P son

0.462 m =de E son

V/m Eriales apropiadativo a la orie45j + 0.528k

CARGAS EN

mplementae el campo el

C, a = 0.8 m, y

1.835 s

r que (1) del p

C en la figura 2

mento dipolar

= -0.580

Ey = 45kV/mdas encuéntrenentación perpe N m; (b)

N REPOSO

arios

éctrico en cuay m1 = 0.9 kg

problema 23.1

23-8.

P, aparece en

n = 0.671

Ez = nse (a) la torcendicular a E. U = -0.311 J

alquier punto g, encuéntrese

10 da ω en s-1.

n un campo elé

50kV/m ca sobre el dip

223

x entre las e el periodo

.

éctrico E.

polo, (b) la

224

23.15.

23.16.

Dos anillos vierte en la mínese el ca(c) encuéntd = 1.5 m, mcampo eléc

Refiérase altrón? Respu

CAMPO

circulares unfigura 23-10.

ampo eléctricrese el campomuéstrese quetrico resultan

l problema 22esta: 0.577 TV

O ELÉCTRIC

iformemente . En un punto co debido a C1o resultante, e el campo re

nte es cero en

.11. ¿Cuál es V/m

CO DE CARG

cargados, C1arbitrario P e

1; (b) por a (d) Si q1 =

esultante es ce cualquier otr

la magnitud d

GAS EN REP

y C2, son paraentre los anillanalogía, encu8 µC, r1 = 0.ero sobre el ero lugar sobre

del campo eléc

POSO

alelos y coaxios y sobre el

uéntrese el cam5 m, q2 = 4

eje X en x = 0e el eje X?

ctrico donde se

[CAPITULO

iales, como seeje X, (a) dempo debido a µC, r2 = 0.3 m0.85 m. (e) ¿

e mueve el ele

O 23

e ad-eter-C2;

m, y ¿El

ec-

yvd

2

budE

Eqc

E

En la secciy se demostróválido para el de la distancia

24.1 FLUJO

En la figurbuidas en toduna superficiedebido a Q eEl flujo eléctr

En términos dque E es tangeondición de

El flujo total

Flu

ión 13.5 se deó que es propcampo eléctra).

O ELÉCTRIC

ra 24-1 Q reda la región d S de forma a

en algún punrico a través

de "líneas deente en cada pque las línea

l hacia afuer

ujo eléc

efinió el flujo porcional a larico E (el cual

CO

epresenta la sdel espacio liarbitraria y qunto P de S, y del element

e fuerza" (indpunto, dψ se ps estén supue

ra de S está d

ctrico y

del campo gra masa encerrl como g, es u

suma algebraibre que se m

ue encierra comy dS = n dSto de área dS

dicadas por lpuedes interpestamente .di

dado por la i

ley de G

ravitacional grada por la suun campo que

aica de las camuestra en lampletamente S es el vectoS se define as

las flechas cupretar como eibujadas con

integral de (

Cap

Gauss

g a través de uuperficie. Un e depende del

argas (positiva figura. La l

la carga Q. Eor de un elemsí

urveadas en lel número de

densidad no

(24.1)

pítulo

una superficieresultado an

inverso del c

va y negativaínea de trazo

E es el campo mento de áre

la figura 24-líneas que cormal E.

24

e cerrada nálogo es cuadrado

a) distri-os índica eléctrico ea en P.

(24.1)

-1), a las orta dS, a

(24.2)

226

24.2

En

Esto propopropoestén

24.1

LEY DE G

n términos d

es, el flujo orcional a orcionalidadn en movimien

. Dedúz

Por suparbitrario campo deb

El flujo a

donde dΩ ángulo sól

o sea la leyInversa

FL

GAUSS

de las cantid

eléctrico quela carga el

d es 1/ε0 = 4nto.

zcase la ley d

perposición esdel interior dbido a q está

través de dS

es el ángulo sido total subte

y de Gauss. amente, la le

LUJO ELÉCT

dades definid

e sale de unaéctrica netaπb. La ley d

Problede Gauss a p

s suficiente coe una superficdado por la

es, entonces

sólido infiniteendido por tod

y de Coulom

TRICO Y LEY

das anteriorm

a superficie

a en el intede Gauss es

emas resupartir de la le

onsiderar el ccie cerrada S.ley de Coulo

esimal subtendda la superfici

mb se puede o

Y DE GAUS

mente, la ley

cerrada y arb

erior de la válida aun c

ueltosey de Coulom

aso de una so. En un punto mb y es

dido por dS enie cerrada S es

obtener a part

S

y de Gauss se

bitraria en esuperficie;

cuando las c

mb.

ola carga puntP de S (véase

n el lugar de qs 4π estereorra

tir de la ley d

[CAPITUL

e escribe:

l espacio libla constant

cargas encerr

tual, q, en un e la figura 24-

q. En este lugaadianes. Enton

de Gauss (p

O 24

(24.3)

bre es te de radas

lugar -2), el

ar, el nces,

roble-

CAPITULO 2

24.2. Utilíbre lel ce

Econcégauss

que e

24.3. ComCadaE = 3placa

Enorm

24]

cese la ley da superficie

entro de la e

En la figura 24éntrica, de radsiana y es nor

es el mismo ca

mo se muestra placa tiene 300 kV/m (vas (esto es, n

Empleando la mal a la super

FLUJO EL

e Gauss parade una esfersfera.

-3 la esfera, ddio r> a. Por rmal a la supe

ampo que pro

a en la figurun área A = 6

véase el probno se curva).

superficie gauficie interior

LÉCTRICO Y

a verificar qura, es equiva

de radio a, estásimetría, E ti

erficie en tod

oduce una car

ra 24-4, plac600 cm2. Ent

blema 23-4), . Evalúese Q

ussiana que sede la placa, s

Y LEY DE G

ue una carga Qlente externa

á rodeada por iene una magn

das partes. Por

ga puntual Q

cas de un catre las placasy se supone

Q.

e muestra en lse tiene que

GAUSS

Q, uniformemamente a una

una "superficnitud E constr lo tanto,

localizada en

apacitor tiens, el campo el

que el camp

la figura 24-4

mente distriba carga puntu

cie gaussiana"ante sobre la

n el centro de

nen cargas +léctrico es co

po es cero fu

4 y suponiend

227

buida so- ual Q en

esférica y superficie

la esfera.

+Q y Q. onstante a era de las

do que E es

228

24.4.

24.5.

En la figurde una cavila ley de Gpared de laP3 en el ext

En la superfSobre la supPara una su

De la mism

En realicampos meE2 = 0 en centonces, un Q sobre la

Un sólido cde carga σ =y que R =

Considé

FLU

ra 24-5 una pidad esférica

Gauss, el cama cavidad, enterior de la e

ficie interior dperficie exter

uperficie gaus

ma manera,

dad, debería sediante la ley cualquier lugana carga neta a pared de la

cilíndrico, m= 5 µC/m3. Ca200 mm. érese una supe

(carga en el

UJO ELÉCTR

pequeña esfea, dentro de u

mpo E en los n los puntos sfera grande.

de la cavidad rior de la esfessiana esférica

seguirse el prde Gauss. D

ar sobre la supcero en el intcavidad (esto

muy largo y nalcúlense E1 e

erficie gaussian

interior del cil

RICO Y LEY

era que portauna gran esferpuntos P1 enP2 en el met.

existe una disera grande exia de radio r1 q

rocedimiento ie esta maneraperficie de unerior de la sup no puede ser

no conductor en Pt y E2 en P

na cilíndrica d

lindro) = E1 x (

Y DE GAUSS

a una carga +ra de metal. E

n el espacio eal de la esfe

stribución' uniiste una cargaque encierre

inverso e infea, para un me

na esfera gaussperficie gaussr en cualquier

(Fig. 24-6) tP2, sabiendo q

de radio r1 y lo

(área del cilindr

S

+Q se localiEncuéntrenseentre la pequra grande, y

iforme de carga inducida +Q

+Q,

erir las cargas etal perfectamsiana de radioiana, lo cual iotra parte).

tiene una denque r1 = 150 m

ongitud ℓ,

ro)

[CAPITULO

za en el cente, por medio

ueña esfera y en los punto

ga inducida

Q.

inducidas demente conduco r2. Debe exiimplica una ca

nsidad uniformm, r2 = 300 m

O 24

tro de la

os

Q.

los ctor, istir, arga

rme mm

CA

24

24

APITULO 24

4.6. HágaseA p

o |V/m

4.7. Una lamente trico tide este

Aplgaussianen dos (las caraPor lo t

4]

e un análisis dartir de la secc

|, como se req

ata de metal, distribuida).

iene un valore punto.

líquese la ley dna una pequeñ(Fig. 24-7). Das de la pequtanto,

FLUJO ELÉ

dimensional dción 22.2, ε0 =

quería.

suspendida dEn cierto pu

r de E = 600

de Gauss comñísima cápsula

Dado que E debueña cápsula

ÉCTRICO Y

de la expresió= |F/m| = |C2/N

de un hilo deunto muy cerc kV/m. Evalú

mo en el problea, colocada de be ser perpendes E ∆A, y e

LEY DE GA

ón de E2 que sN m2|, y por

seda, porta ucano a la supúese la densi

ma 24-4, perotal manera qudicular a la suel flujo a trav

AUSS

se encontró elo tanto

una carga poperficie de la idad superfic

o esta vez eligiue la superficieuperficie, el fluvés de las otra

en el problem

ositiva (no unlata, el camp

cial de carga

iendo como sue' conductora lujo a través deas dos caras

229

a 24.5.

niforme-po eléc-a cerca

uperficie a divida e una de es cero.

230

24.8

24.9

24.1

24.1

24.1

24.1

24.1

24.1

8. Aplíques

9. CalcúleseRespuesta

10. Un cubo interior dseda. DetRespuesta

11. La dimenmado de Respuesta

12. La carga ntrazos. Re

13. El flujo t¿Qué carg

14. En la figuesfera quRespuesta

15. Muéstres

F

Pe la ley de Ga

e el flujo total a: 5.25 X 10-7

pequeño, cone un recipientetermínese la ca: + 30 µC

nsión más granE a una dista

a: 10.8 kV/m

neta Q en la fiespuesta: 7.11

total hacia el ga porta la pa

ura 24-5 la esue tiene carga:

e que el flujo

FLUJO ELÉC

Problemaauss a una sup

ψ del núcleo 7 N m2/C

n una carga ne de metal de farga total sob

nde del sistemancia de 5 m

figura 24-1 es 5 x 106 N m2

interior de laapa, medida en

fera grande ti +Q1. Determ

eléctrico

CTRICO Y LE

as compleperficie aprop

de un átomo d

neta de +30 µforma elipsoid

bre la superfic

ma del problemdel cubo?

63 µC. Encué2/C

a superficie dn unidades de

iene una cargamínese la ma

EY DE GAU

ementariopiada para obt

de cobre (núm

µC, se suspendal, el cual tamie exterior de

ma 24.10 es 0

ntrese el flujo

de una papa ce carga electró

a inicial Q2.gnitud del cam

SS

os

tener la ley d

mero atómico

nde de unos hmbién está suspl recipiente.

0.04 m. ¿Cuál

o total a través

argada es de ónica? Respue

. Luego se intmpo eléctrico

[CAPITUL

e Coulomb.

o = 29).

hilos de seda pendido de hil

es el valor ap

s de la superfic

4 x 103 N mesta: -2.21 X 1

troduce la peqo en P3.

LO 24

en el los de

proxi-

cie de

m2/C. 1011e

queña

25

prel(9

Etrcu

fu

E

p

la

d

25

o la

Oc

5.1 ENERG

La fuerza rueba q' es unléctrica U co9.3) da lugar a

Esto es, la enrabajo que reaualquier tray

Inversamenuerza eléctric

En particular,

or lo que, en

Si la únicaa energía ado

onde, como

5.2 POTENCLa energía

voltaje, V. (Aa segunda.) D

Obsérvese qucomo ya se m

GÍA POTENC

eléctrica F qna fuerza conmo la dada pa la energía p

nergía potencalizaría el cam

yectoria. nte, si esa enca a lo largo d

, las compon

n forma vecto

a fuerza que aopta la form

siempre, K e

CIAL ELÉCpotencial elé

Aquí se utilizDado que ф =

ue la unidad mencionó, 1 V

PoteCIAL ELÉCT

que ejerce unnservativa. Ppor (9.2) o (9potencial abso

cial eléctrica mpo externo

nergía se conode una direcc

nentes de F a

orial,

actúa sobre lama

es la energía

TRICO O VOéctrica por unzará la primer= U/q' y E = F

del potencialV/m = 1 N/C

encial eTRICA

na distribucióPor lo tanto, la

.3). Cuando oluta de la car

absoluta de para moverla

oce como unción arbitrari

a lo largo de

a carga puntu

cinética de l

OLTAJE

nidad de cargara denominacF/q', ф y E tie

l eléctrico esC.

eléctrico

ón estacionara carga de prel punto de rrga de prueba

una carga da desde dicho

na función de ia ds se pued

los ejes X, Y

ual es la fuerz

la carga punt

a de prueba sción; en las apenen la mism

s el volt (V),

Ca

o

ria de cargasrueba posee ueferencia A sa en el punto

e prueba en o punto hasta

la posición, e calcular po

Y y Z están da

za eléctrica F

tual.

e denomina pplicaciones d

ma relación qu

donde 1 V =

apítulo

s sobre una cuna energía pse toma en elB(x, y, z):

un punto dael infinito a t

la componenor medio de (

adas por

F, la conserva

potencial elécde circuitos seue U y F:

= 1 J/C. Igua

o 25

carga de potencial infinito,

ado es el través de

nte de la (9.1) así

ación de

(25.3)

ctrico, ф e emplea

almente,

232

EJEMq que

Se esllega

En co

A

Ez =

EJEMpotencarte

con uф y Eperpe

y, po

MPLO 25.1 e se localiza e

scoge como trhasta q. A lo

onsecuencia,

A manera de pr

(q/4πε0r3)z

MPLO 25.2 (Encial es constsianas las sup

una superficie E se puede expendiculares en

or lo tanto, E

(El potenciaen el origen (F

rayectoria palargo de esta

rueba, verifíqu

z. Por otro la

Equipotencialtante se denoerficies equip

para cada valpresar geométrntre sí. Y en e

debe ser perp

POTEN

al cerca de unFig. 25-1), se

ra la integractrayectoria,

uese que Ez =

ado,

les). Una supomina superfiotenciales está

lor de la constricamente comofecto, para un

pendicular a

NCIAL ELÉC

a carga puntuegún (23.3) el

ción de (25.4)

∂ ф/∂z. Dado

erficie (o, enficie (curva) eán dadas por l

tante c. En téro sigue: las lín

na dirección ds

ds.

CTRICO

ual). Si la fuenl campo en P

) la línea de

o que

n dos dimensiequipotencial.la ecuación

rminos de los eneas de campo s que yaga en u

nte del campo e'(x', y', z') est

∞ a P(x, y, z)

iones, una cu. Por lo tanto

equipotencialey las equipoteuna superficie

[CAPÍTUL

es una carga putá dado por

) que, prolon

urva) en la cuo, en coorden

es, la relaciónenciales son siee equipotencial

LO 25

untual

gada,

ual el nadas

n entre empre l,

CAPITULO

25.3 PRINC

De (23.4

Usualmenteadición vectde una regiócarga dq =

en el punto f

Debe obdistribución

25.4 EL EL

Cuando cuando se m

de energía púltima se lepuede conve

O 25]

CIPIO DE SU

4) se sigue qu

e es más simptorial en (23.4ón del espaciτ dv da luga

fijo P, de acu

bservarse quen de carga se

LECTRÓN-V

un electrón mueve desde

potencial eléce denomina eertir en electr

PO

UPERPOSIC

ue

ple realizar la 4). (Véase el io con densidar al potencia

uerdo con (25

e (25.8), en lextiende has

VOLT

(carga e) "un lugar hast

ctrica y ganaelectrón-volt rón-volts divi

OTENCIAL E

IÓN PARA ф

adición escaproblema 25

dad τ (C/m3) al

5.6). El poten

la forma en sta el infinito

cae" a travésta un punto d

a [véase (25.3t (eV). En geidiendo entre

ELÉCTRICO

ф

lar en (25.7) .6.) En particcomo se indi

ncial total en P

que está esco.

s de una difedonde el pote

3)] la misma eneral, cualqu 1.602 x 10-1

O

y luego difercular, si la carica en la figu

P está entonc

crita, no se p

erencia de poencial eléctric

cantidad de uier energía 9 J/eV.

renciar фtotal qrga se distribuura 25-2, el el

ces dado por (

puede aplicar

otencial de 1 co es 1 V ma

energía cinétexpresada e

233

que hacer la uye a través lemento de

(25.7) como

r cuando la

V, esto es, ayor pierde

tica. A esta n joules se

!

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CAPITULO 2

tre lollega

25.5. Los elcalienmedisupocampllegacuántel án(Despcalor

25]

os alambres?ará a B? (d) ¿

lectrones (raznte f (Fig. 25da por un volniendo que ppo eléctrico n a P con untos electrón-v

nodo despuéspréciese una r.)

PO

? (b) ¿Qué tr¿Cuál es el c

zón de carga 5-5) son atraltímetro, es Vparten del reppromedio en

na rapidez devolts de eners de que 6 xpequeña can

OTENCIAL E

abajo W puecampo prome

entre masa, eídos por el á

V = 600 V. (a)poso en f? (bn el cual se

e 4 X 107 m/sgía llega cadx 1023 electrntidad de rad

ELÉCTRICO

ede realizar ledio E9tam en

e/me = 1.759 xánodo P. La d) ¿Con qué ve

b) Si la distanmueven los

s, ¿cuál es elda electrón a Prones (aproxiación de ray

la esfera? (c)ntre A y B?

x 1011 C/kg) qdiferencia deelocidad u losncia de f a P es electrones?l nuevo voltaP? (e) ¿Cuántximadamenteyos X; esta en

) ¿Con qué r

que salen del e potencial ens electrones les de 3 cm, ¿? (c) Si los eaje aplicado? ta energía se un mol) hanergía aparec

235

apidez u

filamento ntre f y P, legan a P,

¿cuál es el electrones (d) ¿Con pierde en

an salido? cerá como

236

25.6.

25.7.

(d) 600 eV

Refiérase aen general

(a) Muéstrey0, z0) satisf

(b) Genera

V (cada elec

a la figura 25P(x, y) en el

ese que el potface la ecuació

alícese el resu

POTENC

ctrón cae a tr

5-6, (a) escríbl plano XY.

tencial ф (x, yón de Laplace

ultado de (a).

CIAL ELÉCTR

ravés de 600

base una exp(b) Encuéntr

y, z) debido ae,

.

RICO

V).

presión del porense expres

a una carga pu

otencial ф(x,iones de Ex y

untual q loca

[CAPITULO

y) en un puny Ey en P.

alizada en (x0,

O 25

nto

,

C

2

CAPITULO 2

Su

Lde

(b) D(2ec(2

25.8. En el siguieinteriola ley

Porinteriopequeñen todo

donde definic

5]

umando las tre

La última expree Laplace.

Debido a que 25.7) se deducecuación. En ot25.8).

problema 22ente manera: or de una regde Gauss.

r el contrarioor P0. Entonceño, a, que (i)os los puntos

En es la comción de potenc

POT

es segundas de

esión se vuelv

la ecuación de que el potenctras palabras, s

2.6(b), se citel potencial

gión libre de c

, supóngase qes (Fig. 25-7) ) la esfera yade la superfic

mponente normcial eléctrico,

TENCIAL EL

erivadas,

ve cero en toda

de Laplace escial que se derise la obtiene d

tó un resultaeléctrico no p

carga. Hágase

que el potencse podría enc

aga completamcie esférica. Ap

mal (radial) de

LÉCTRICO

as partes meno

s lineal, a paiva de cualquidespués de dif

do importantpuede tener e una demostr

cial toma un verrar a P0 en u

mente en la rplicando la le

el campo en l

os en r = 0, ob

rtir del princer distribuciónferenciar bajo

te que se puun valor mínración inform

valor mínimouna esfera gauregión libre dy de Gauss a e

la superficie d

bteniéndose la

ipio de supern de cargas satel signo de in

uede mencionimo (o máxim

mal de esto, ut

local, ф0 en ussiana de un de carga y (iiesta esfera se

de la esfera. P

237

ecuación

rposición tisface esa ntegral en

nar de la mo) en el tilizando

el punto radio tan ) ф ≥ ф0 obtiene

(1)

Pero, por

(2)

238

25.9.

25.10

esto es, la dse pueden cse aproximrequiera. E

Pero

integral so

Encuéntre2a.

Tómeseproblema, (y, z), el p Por lo tant

El pote

anterior.

. Considére1 porta unse define

derivada del pconservar las

me, por medioEntonces,

(4) es impobre S debe se

ese el potenci

e la barra a lobasta con detotencial debi

to,

encial en el pu

se un sistemana carga +Q ycomo

POTENC

potencial en lacondiciones (

o de una difere

osible: ф ф0r positiva. Est

ial debido a u

o largo del ejterminar el podo al element

unto (x, y, z)

a de dos cuerpy el cuerpo 2

CIAL ELÉCT

a dirección ra(i) y (ii) y al mencia de coci

0 no puede serta contradicci

una barra del

e Z, como enotencial en unto de carga dq

) se obtiene re

pos conductoruna carga Q

TRICO

dial. Ahora bimismo tiempoentes, a cualq

r negativa en ción proporcion

gada y unifor

n la figura 25-n punto arbitrq = λ ds es

eemplazando

res (equipotenQ. Entonces,

ien, si es nece permitir que

quier grado de

ada punto de Sna el resultado

rmemente ca

-8. Por simetrrario del plano

y2 por x2 + y2

nciales) y sepla capacitan

[CAPITULO

esario disminula derivada ene precisión qu

S y, por lo tano deseado.

rgada de long

ría de rotacióno YZ. En el p

2 en la expres

arados; el cuecia del sistem

O 25

uir a, n (2) ue se

to, su

gitud

n del punto

sión

erpo ma

CAPÍTULO

esto entrecapacdos c

Seprodu

Alas ununa e

25.11. Una bpies/smism

25.12. (a) UpartícgramcasosResp

25.13. Refiénectaexter

25.14. Se pu

dondelectrque T

25.15. El canente

dond Respu

25.16. Un di

eje depuntoRespu

25]

es, la razón d los cuerpos.citancia depecascarones es

e sabe que (vucido por una

A partir de estenidades oficialeesfera aislada:

bala pesada (seg. ¿A travé

ma rapidez, su

Una carga de 3 cula α (+2e deos de masa) t

s anteriores en uestas: (a) 9

érase a la figua entre A y B yrno que el mo

uede mostrar q

de me es la marones por unidT = |s|.

ampo eléctricoes X

e A y ℓ son co

uesta:

isco circular tel disco el cao por el discouesta:

PO

de la magnitu En el SI la unde únicamenféricos y con

véase el probla carga puntua

e resultado sees del SI para l:

Proble(2 gramos de s de qué difeponiendo que

microcoulome carga) cae a tiene una rapelectrón-volts

936 TeV; (b)

ura 25-4. Un my se permite qtor realiza si

que el período

asa del electródad de volume

o E formado p

onstantes. Det

tiene una cargampo eléctrico.

OTENCIAL E

ud de la cargaunidad de capnte de la geo

ncéntricos que

lema 24.4) el al +Q localiz

observa que la permitividad

emas commasa) se disrencia de pot

e tiene una ca

bs cae a travétravés de unaidez de 0.304s. 2 MeV; (c)

motor eléctricoque de una bat

VAB = 50 V?

o T de oscilac

ón; e es la maen. Por medio

por cierta dist

termínese Ey.

ga superficialo depende ún

ELÉCTRICO

a entre la magpacitancia es emetría del sie se muestran

campo eléctrzada en el cen

ε0 se puede exd. Por ser r2 →

mplementapara con un rtencial tendríarga de 1 µC?

s de una diferea diferencia de48 km/s. Expr

1.16 x 1021 e

o (supóngase tería fluya unRespuesta: 5

ción de los ele

agnitud de la de un análisis

tribución de c

l σ(C/m2). Muicamente de σ

gnitud de la del farad (F), stema. Calcú

n en la figura

rico entre losntro del sistem

xpresar en F/m∞, se obtiene

arios

rifle de aire aa que caer esRespuesta: 2

encia de potene potencial derésese la ener

eV

que tiene 100na carga de 10500 kJ.

ectrones en un

carga eléctric dimensional

cargas es bidi

uéstrese que eσ y del ángul

diferencia dedonde 1 F = lese la capac25-9.

cascarones ema. Entonces,

m; y en efectocomo la capac

a una velocidta bala para a

2.09 MV

ncial de 50 vol 1 MV; (c) urgía de cada

0% de eficien04 C. ¿Cuál es

n plasma está

ca; y n es el nde unidades v

mensional, co

en cualquier po α subtendid

239

potencial 1 C/V. La itancia de

es igual al ,

o éstas son citancia de

dad de 150 adquirir la

lts; (b) una una bala (4 uno de los

cia) se co-s el trabajo

dado por

número de erifíquese

on compo-

punto del do en ese

240

25.17.

En el problepotencial deb Respuesta: U

donde r =

ema 25.9 supóbido a una caUtilizando la

= (y2 + z2)1/2.

POTENCI

óngase que λ =rga puntual qregla de L'Ho

IAL ELÉCTR

= q/2a y mués localizada en

ospital,

RICO

trese que por n el origen.

[

ser a → 0 se p

[CAPÍTULO

puede obtener

25

r el

26

se

Vdulatadi

doto

Eta

C6.1 CORR

La razón de define com

Véase la secciuctor) es un va corriente a tanto, la corrieirección del

onde dA = dSotal a través d

EJEMPLO 26.ante, (26.3)

CorrienteRIENTE Y D

del flujo de camo la corrien

ión 22.1. La dvector cuya dtravés de un áente a través flujo, está da

S cos θ es la de una superfi

.1 Si la carga da

e eléctrDENSIDAD D

arga eléctricate eléctrica I

densidad de cdirección es área unitariade un elemenada por (véas

proyección picie S (por eje

fluye uniform

rica, resDE CORRIE

a a través de uI a través de

corriente elécla del flujo d

a perpendiculnto de área dse la figura 2

dI = J · dS =

perpendiculaemplo la secci

memente en un

istenciaENTE

un área dada dicha área.

ctrica J en un

de la carga enlar a la direc

dS, orientado 26-1)

= J dA

ar de dS en laión transversa

n alambre de

Ca

a y pote

a (en el interioEntonces,

n punto (en e

n dicho puntoción del flujoarbitrariamen

a dirección dal de un cond

área A de sec

pítulo

encia

or de un cond

el interior de o y cuya mago en ese puntonte con respe

el flujo. La cductor) es, ent

cción transver

o 26

ductor)

(26.1)

un con-gnitud es o. Por lo ecto a la

(26.2)

corriente onces

sal cons-

242

comoJ. A pdensiárea,

26.2

Emductodel re

dondohm definel SI;

Ladada

en dosecció

La unE

Susti

comovecto

es vá

26.3

Enmada

En (2la temvalor

26.4 La

una belectcircu

o la relación epartir de estoidad de corrieo J de joules

LEY DE OH

mpíricamenteora, etcétera)esistor. Esta

e el factor de(Ω), se defi

nición de vol; véase la seca resistencia por

onde ρ, la resón 26.3). Las

nidad SI de lal campo eléctuyendo esto

o la expresiónorial

álida en cada

COEFICIEN

n muchos caamente por m

26.9), θ es la tmperatura de res típicos de

FUENTES Da diferencia dbatería o un gromotriz" de

uito abierto d

CORRIENT

entre la corri (o directameente son A/ms con / de den

HM; RESIST

e se ha obser es casi propo proporciona

e proporcionne por medi

lt que se utilicción 26.5.) de un condu

sistividad, es unidades de

a conductividctrico promedo, junto con (

n de la ley de

a punto del c

NTE DE LA

sos, la variacmedio de la sig

temperatura ela resistencia

e a y de p a t

DE ENERGÍAde potencial enerador mec la fuente, la

de una batería

TE ELÉCTRI

iente constanente a partir d

m2. (Se debe tensidad de co

TENCIA

rvado que la orcional a la alidad se exp

nalidad, R, seio de (26.5) izó en el cap

uctor de long

s una propiedρ son Ω m.

dad es el siemdio en el con(26.4) y (26.6

Ohm en térm

E = p J

onductor.

TEMPERAT

ción térmica guiente relaci

ρ

en °C (véase sa, tiene unidatemperatura

A ELÉCTRIentre las term

cánico) cuand cual se indica o generador

CA, RESIST

nte I en el alamde la definiciener cuidado rriente.)

corriente I ediferencia, v

presa por mev = IR

e denomina rcomo 1 Ω =

pítulo 25, 1 V

gitud L y áre

dad del mater

A menudo en

mens por metnductor que 6), en (26.5),

E = ρJminos de cant

o

TURA DE LA

de la resistenión lineal (aq

ρ = ρ0(l + αθ)

sección 17.1 pades de °C-1 o ambiente.

CAminales de cudo no proporcca como ve. Ar.

TENCIA Y PO

mbre y la denión de J) se opara no conf

en un "resistov, de potenciaedio de la ley

esistencia. L= l V/A. (Se

V = 1 J/C, no

ea A de secci

rial y dependn lugar de ρ s

tro (S/m). se ha menciose obtiene qu

tidades de "ca

J = σE

A RESISTEN

ncia o de la rquí escrita par

para la escalaK-1. En la tab

ualquier fuenciona corrienA ésta a menu

OTENCIA

nsidad de corbserva que lafundir A de a

or" (alambre al eléctrico eny de Ohm:

La unidad de e debe obser

o es la definic

ión transvers

de de su tempe especifica l

onado es E =ue

ampo". En ge

NCIA

resistividad sra la resistivid

a Celsius) y αbla 28-1 se me

nte de energíate, es una meudo se le den

[CAPITUL

rriente constas unidades d

amperes con A

largo, barra ntre los extre

(2la resistencirvar aquí qución primari

sal uniforme

(2

peratura (véasa conductivid

(26

= v/L, o v =

(2eneral, la rela

se obtiene aprdad):

(2

α, el coeficienencionan algu

a eléctrica (cedida de la "funomina voltaj

LO 26

ante de la A de

con-mos

26.5) a, el

ue la a en

está

26.6) se la

dad

6.7)

EL.

(26.8) ación

roxi-

26.9)

te de unos

como uerza je de

CA

reco

Ecu

26

reca

Eca

A

un

y el

E

APITULO 26

A una fuenesistencia entorriente I pas

l signo negatuando I tiene

6.5 POTEN

Como la poealizar un trabambio de la e

n particular,ambio de ene

partir de (26La potencia

na corriente I

la potencia alla es vab está

Esta última p

6] CORRI

te real de enetre las placassa a través d

tivo se utilizae la dirección

NCIA ELÉCT

otencia mecábajo (por camenergía eléct

si una cantidergía eléctric

6.12) (1 A)(la de salida deI está dada p

absorbida poá dada por (2

potencia se d

IENTE ELÉC

ergía eléctrics de una celdde la fuente,

a en (26.10) cn opuesta (ca

TRICA

ánica (secciónmpos eléctricos

tricaE con re

dad de cargaca es dE = (d

l V) = 1W oe una fuente dor (26.11) y

or una resiste26.11) y (26.5

isipa en form

CTRICA, RE

ca se le atribuda o la resiste

su voltaje te

vt = ve ± I

cuando la fuearga de una c

n 8.4), la pots sobre cuerpespecto al tie

a dq se muevedq)v, y por lo

1 l V = W/de energía que(26.10) como

P = Ivt = I(

ncia pura R c5) como

ma de calor.

ESISTENCIA

uye una resisencia de la arerminal, vt, e

Ir

ente proporciocelda de alma

tencia eléctricos cargados)

empo:

e a través deo tanto.

/A. Así se dee tiene un volo

(ve - Ir)

cuando la dif

A Y POTENC

tencia internrmadura de uestá dado por

ona corrienteacenamiento

ca se define co, de manera

una diferenc

efine realmenltaje terminal

ferencia de p

CIA

na, r; por ejemun generadorr

e y el signo p).

como el tiemequivalente,

cia de potenc

nte el volt enl vt y que prop

potencial a tra

243

mplo, la . Si una

(26.10)

ositivo

mpo para como el

cial v, el

(26.11)

n el SI. porciona

(26.12)

avés de

(26.13)

244

26.1

26.2.

26.3

. (a) Una cmedio, pbulbo de segundo el circuit

. Un alambque se enalambre?

(b) La pélorías

. Como se concéntrila barra resistividDespreci(a) la corpunto P e (a) Sup

CORRIEN

corriente estapasan a travé

radio de dos el filamento

to de la placa

bre largo de ancuentra cone? (b) ¿Cuántas

érdida de potes por minuto,

muestra en lica en el inter

y el cilinddad ρ. Una batiando las resirriente total Ientre la barra

poniendo un f

NTE ELÉCTR

Problacionaria de és de una sec

elementos (vy llegan a la

a?

acero conducectado a sus ts calorías se g

encia es P = (6

a figura 26-2rior de un casdro se encuetería que tienistencias de I; (b) la densia y el cilindro

flujo radial de

RICA, RESIS

lemas res5 A fluye en

cción transvevéase la figura placa. ¿Cuá

ce una corrienerminales indgeneran por m

6.32) (48.24)

2, una barra dscarón cilíndrentra relleno

ne un voltaje tla barra y deidad de corrio; (c) la resis

e carga entre

STENCIA Y P

sueltos

n un alambre.ersal del alara 25-5), 6 x l es la lectura

nte de. 6.32 Adica 48.25 V.minuto en él?

= 304.94 W =

e metal con rrico de radio ro de un materminal vt se el cilindro, obente J y el catencia R entr

la barra y el

POTENCIA

. ¿Cuántos elmbre por mi1014 electrona de un micro

A. Un voltím. (a) ¿Cuál es? (1 cal = 4.18

= 304.94 J/s. C

radio r1 está cr2 y longitud

aterial de alconecta com

bténganse laampo eléctricre la barra y e

cilindro, se ti

[CAPITU

lectrones, en inuto? (b) En

nes abandonanoamperímetr

metro muy pres la resistenci84 J.)

Convertida en

colocada de mL. El espaciolta resistenc

mo se muestras expresione

co E en cualqel cilindro.

iene que, en P

ULO 26

pro- n un n por o en

eciso a del

n ca-

manera o entre ia, de .

es de quier

P:

CAPITULO

(b) (c)

26.4. Un

1.64Iden

ResoA

Enton

La ta

26.5. En cla te

A(26. Ento

26.6. Contengalam

L

Por

ResoPero

26.7. Un ase codel a

26] COR

con J y E en

y por lo tanto

Resolviendo

A partir de (A partir de l

alambre de 424 Ω a 20 °Cntifíquese el m

olviendo estasA partir de Ro

nces,

abla 26-1 indi

cierto punto Pemperatura d

A partir de la .9),

onces

n una barra dga una resistembre. La densidad d

otro lado, en l

olviendo las do A = πd2/4, a

alambre de aonectan en palambre de c

RRIENTE EL

la dirección

o, observando

I,

(a), a ley de Ohm

metal de diC, y 2.415 Ωmetal.

s relaciones si= ρ0L/A,

ica que el me

P de una placde la placa e

tabla 26-1, ρ

de cobre que encia de 250

del cobre es 8

la tabla 26-1 se

dos ecuacionesa partir de lo c

acero, de longaralelo a una

cobre es de 1

LÉCTRICA, R

de r. Entonce

o la polaridad

m,

ámetro 2 mmΩ a 150 °C. E

imultáneamen

tal es cobre.

ca de cobre as de 50 °C. C

ρ20 ºc = 1.72 x

tiene una m0 Ω a 20 °C.

.9 X 103 kg/m(8.9 X

e menciona qu

s anteriores sicual d = 0.37

gitud 2000 ma fuente que t

mm; la temp

RESISTENC

es, por defini

de vt,

m y longi tuEncuéntrense

nte, α = 3.9 x

a través de laCalcúlese la

x 10-8 Ω · m y

masa de 1.5 kDetermínese

m3 y, por lo tanX 103)LA=1.5ue para R20 ºc:

multáneamenmm.

m, y un alambtiene un voltaperatura de lo

IA Y POTEN

ción de poten

d 300 m t iee los valores

10-3 ºC-1 y R

cual fluye cmagnitud de

y α = 3.9 X 10

kg se quiere he la longitud

nto, 5

nte, L = 1.565 k

bre de cobreaje terminal dos alambres

NCIA

ncial,

ne una resisde α , R0, ρ0

0 = 1.5236 Ω

orriente, J =e E en P.

0-3 ºC-1. A

hacer un alam L y el diám

km y A = 0.10

, de longitudde 200 V. Eles de 100 °C

245

stencia de y ρ20ºc

.

5 MA/m2;

plicando

mbre que etro d del

077 mm2.

d 3000 m, diámetro

C. Si con-

246

26.8.

26.9.

C

ducen la miintensidad d

Como se10-8 Q m p Entonces

Como se su

a partir de lo

Estos valore

Una barra dde cobre qubarra de camente con

La resis

Ésta será in

En la figurainterna r = (a) I; (b) va

(d) la pote

CORRIENTE

isma corrientdel campo el

e vio en el probpara el acero.

upone que la c

o cual el diám

es también se

de carbón, deue tiene una

arbón a 0 °C pla temperatu

tencia total, e

dependiente d

a 26-3, la bat0.5 Ω; para e

ab, la "caída dncia absorbi

E ELÉCTRIC

te, encuéntreéctrico en ca

blema 26.4, ρ0 Por lo tanto,

corriente es la

metro del alamb

obtienen a pa

e longitud 5 resistencia Rpara que la rura?

en función de

de θ si

tería tiene unel resistor, R de voltaje" a ida por R; (e

CA, RESISTE

nse la corrienada uno.

= 1.596 X 10-8

a 100 °C,

a misma en ca

bre de acero e

artir de E = ρI

m, se encuenR1 = 10 Ω a 0resistencia de

e la temperatu

na fuerza elec= 19.5 Ω. Cotravés de R;

e) el calor ge

ENCIA Y PO

nte, el diáme

Ω m para el

ada alambre,

s d = 2.034 m

I/A.

ntra conectad0 °C. ¿Cuál se la combinac

ura θ, está dad

ctromotriz ve

on el interrup (c) la "pérdienerado en R

OTENCIA

etro del alamb

cobre. Igualm

mm. Los campo

da en serie cserá la resistción no camb

da por

e = 100 V y uptor S cerradoida de voltajeR y en la bat

[CAPITUL

bre de acero

mente, ρ0 = 9

os eléctricos s

on un alambencia R2 de lbie apreciabl

una resistencio, encuéntrene" en la batertería.

O 26

y la

9.06 X

on

re la le-

ia nse ría;

C

26

26

CAPITULO 2

Obm

6.10. En el cde la bR2 = 1potenc

(a) La

y an

(b) Co

y

6.11. En el cde la b8 Ω, R(b) la p

(a) Da

o

(b) Co

6] CORR

bsérvese que mente la resisten

circuito en pbatería es ve =0 Ω, R3 = 20

cia suministra

a resistencia e

Rtot = 2.8571 ntiguo "mho".

omo en el pro

por lo tanto

circuito en sebatería es ve =

R2 = 15 Ω, R3 potencia sum

ado que I1 = I

omo en el pro

RIENTE ELÉC

el calor total ncia interna r.

aralelo simpl= 80 V; la res0 Ω. Encuéntrada por la ba

equivalente de

Ω. La unidad

oblema 26.9(a

erie simple qu= 200 V; la r= 20 Ω. Enc

ministrada al

I2 = I3 = Itot, l

oblema 26.10(

CTRICA, RE

es PR + Pr =

le representasistencia interrense (a) Rtot,atería al circu

be tomar en c

SI de la resist

a),

ue se represeresistencia inuéntrense (a)circuito en s

la pérdida de

(b),

ESISTENCIA

I[I(R + r) ] =

ado en la figurna es r = 0.4 la resistencia

uito en parale

uenta la pérdi

tencia recípro

nta en la figunterna es r = ) Rtot, la resisserie por la b

potencia está

A Y POTENC

= Ive; esta rela

ura 26-4, la f4 Ω; las resista equivalente

elo.

ida de potenci

oca es el sieme

ura 26-5, la fu0.6 Ω; las re

stencia equivaatería.

á dada por

CIA

ación define e

fuerza electrotencias son R a R1, R2, y R

ia real; por lo

ens (S), y reem

fuerza electroesistencias soalente a R1, R

247

fectiva-

omotriz R1 = 5 Ω; R3; (b) la

tanto,

mplaza al

omotriz on R1 = R2 y R3;

248

26.12.

26.13.

2644,

En la figuR2 = 30 Ωvtot = 250 Vparalelo; (bsuministra

(a) A part

(b) A part

¡

Cierto alama 40 °C y d

, En el circuEncuéntres

Respuestas

CORRIENT

ura 26-6 se mΩ, R3 = 20 Ω

V. Encuéntreb) la resistencada por la fue

tir del resulta

tir del resultad

Pmbre, de diámde 83.6 Ω a 10

uito de la figuse la potencias: (a) 864 W;

TE ELÉCTRI

muestra un c, R4 = 25 Ω,

ense: (a) R23 ycia total Rtot mente.

ado del proble

do del proble

roblemasmetro uniform

0 °C. ¿De qué

ura 26-7, vt = suministrada (b) 740 W

ICA, RESIST

ircuito en pa R5 = 35 Ω, y R456, las re

medida entre A

ema 26.10(a)

ma 26.11 (a),

s compleme 2 mm y loné metal es el a

216 V y, a 0 °a por la batería

TENCIA Y PO

aralelo y en Re = 40 Ω;

esistencias eqA y B; (c) la c

,

,

mentariosgitud 2.5 km,alambre? Resp

°C, Rc = 30 Ωa (a) a 0 °C,

OTENCIA

serie para e; el voltaje uivalentes deorriente total

s

, tiene una respuesta: hierro

Ω, RCu = 40 Ω, , (b) a 100 °

[CAPITUL

l cual R1 = total aplica

e los dos grupItot; (d) la pot

sistencia de 9o

y RFe = 60 ΩC.

LO 26

10 Ω,

ado es pos en tencia

96 Ω

.

CCAPITULO

26.15. Muésde un

26.16. Hága

26.17. RefiécorrieRespu

26.18. En la(a) Respu

26.19. Con rDeterpotenMuésRespu

26.20. Mués

26] CORR

strese que en conductor en

se un análisis

rase a la figurente I, (b) uestas: (a) 15

a figura 26-4, la fuerza elecuestas: (a) 13

referencia a la rmínense (a) ncia suministrastrese que las uestas: (a) 6 A

(h) 240

trese que

RIENTE ELÉ

el calor genern el cual fluye

s dimensional

ra 26-3 y sean la fuerza ele

5 A; (b) 172.5sean I1 = 10 Actromotriz de32.5 V; (b)

Fig. 26-8, ve1 =I, (b) vab, (c)ada por la primrespuestas a

A; (b) 150.4 V0 W

ÉCTRICA, R

rado por segune corriente es

de unidades,

R = 10 Ω, vabctromotriz de5 V; (c) 22.5 A, R2 = 12.5 Ωe la batería, (b9.6 A; (c) 5

= 160 V, ve2 =) vbc, (d) vdg, mera batería, (f), (g) y (h)

V; (c) 48.4 V

RESISTENCI

ndo y por mestá dado por ρ

sobre los resu

= 150 V, y re la batería, (

V Ω, r = 0.5 Ω, b) I2, (c) I3, (5.4 A; (d) 2

= 40 V; R1 = 9(e) vbf, (f) la(h) la potencison consisten

V; (d) 102 V

IA Y POTEN

tro cubico enρJ2 (W/m3).

ultados del pr

r = 1.5 Ω. (c) la caída de

v1 = 120 V, I(d) R3, (e) R2.222 Ω; (e)

9 Ω, R2 = 8 Ω;a potencia coia absorbida pntes.

V; (e) 96.4 V;

Véase Pro

NCIA

cualquier pu

roblema 26.3.

Determínensee voltaje en la

Itot = 25 A. DeRtot, (f) R1.

e) 4.8 Ω; (f)

; r1 = 1.6 Ω, nvertida a ca

por la segunda

(f) 720 W;

oblema 26.3.

249

nto dentro

e (a) la a batería.

etermínese

12 Ω

r2 = 1.4 Ω. alor, (g) la a batería.

(g) 960 W;

ConsidéreDados los vavalores de la

27.1 PASOS

Sobre un dirección dedesconocida por medio d

Se indicaque apunte dportadores dexisten fuerzindican con

Se marcaa éstas como

Como undados de vo

27.2 LEY D

La suma en la Fig. 27

En (27.1) un

27.3 LEY D

La suma (lazo) es igu

donde IR dentravés de unrecorre contiflecha de vopositiva si la

Leyes d

ese una red calores de un cias cantidades

S PRELIMIN

diagrama dee las corrienty se indica co

de una flechaa la direcciónde la terminade la carga pzas electromouna flecha dn las resisten

o r1, r2... (vn punto de imltaje, corrien

DE KIRCHH

algebraica d7-5) es cero. E

na corriente q

DE KIRCHH

algebraica deual a la suma

nota la corriena fuente (batnuamente en

oltaje apunta a flecha de la

de kirch

compuesta deierto número s restantes se

NARES

e la red cuidates dadas. Aon una flecha.

n de cada fueal a la +. (Epositiva se motrices desco

de voltaje. ncias R1, R2,..véase la Fig. mportancia pnte y resisten

OFF PARA C

de todas las cEsto es, en c

que sale del

HOFF PARA

e todas las fualgebraica d

nte en la resitería o generauna y otra diren la direcci

a corriente de

hhoff de

e resistenciasde fuerzas el pueden enco

adosamente dArbitrariamena. Toda corrie

erza electromEsto indica lamoverán bajoonocidas, se a

., y si las fue27-2).

práctica, se dncia en los di

CORRIENTE

corrientes en ualquier nod

nodo se con

A CIRCUIT

uerzas electrode las caídas

istencia R coador) que tierección. Una fón del recorr

e IR o Ir apunt

e circuit

s y fuentes (bectromotricesontrar aplican

dibujado, se ite se escoge

ente, conocida

motriz conocida dirección eo la influencasigna una d

entes tienen u

debe decir quiagramas.

ES

cualquier nodo,

sidera negati

TOS CERRAD

omotrices en de voltaje (l

rrespondientene una resistfuerza electrorido; una caídta en la direc

C

tos resis

baterías) coms ve, corrientendo las leyes

ndica con fle una direccia o desconoci

da con una flen el circuitocia de la fueirección arbi

una resistenci

ue es útil esc

odo (como, p

iva.

DOS (LAZO

torno de cuaa RI y la rI)

e, e Ir denotatencia internaomotriz ve se tda de voltajeción del reco

Capítu

stivos

mo la de la fies I, y resistens de Kirchhoff

echas de líneaón para cadaida, se debe r

lecha delgadao externo en lerza electromitraria a cad

ia interna, se

cribir todos l

por ejemplo,

OS)

alquier circuien torno del

a la corriente a r. En (27.2)toma como poe RIR o rIr se torrido.

lo 27

igura 27-5. ncias R, los ff.

a gruesa la a corriente representar

a o abierta la cual los

motriz.) Si a una y se

representa

os valores

a, b, c, g,

(27.1)

to cerrado lazo:

que pasa a

) el lazo se ositiva si su toma como

252

UnP1 y P

dondela red.anterioP2.

27.4

Si se nec(27.1) el conjsí y dedos raúnicam

Enmándocontenel diagfinitasindepe

27.1.

na extensión m2 cualesquie

las sumatori Se aplican laormente. Si v

APLICACI

la red contienesita seleccioy ecuacionesjunto de todoe cualquier eamas se encumente aquell cuanto a laolos uno pornido en ningugrama de la rs, dentro de endientes; se

Refiéracorrientes

Ecuacio

[Se puede

LEYE

muy útil de (2ra en la red e

ias se toman as mismas reg12 es positiva

IÓN DE LAS

ne n cantidadonar n ecuacios de los lazos os los nodos,ecuación de uentran, es dos puntos do

as ecuaciones uno, de tal m

una de las ecured se dibujalas que el escriben tant

se a la Fig. 2que se obser

ones de los no

escribir otra

ES DE KIRCH

27.2) es la sigestá dada po

a lo largo de glas para los

a, esto signific

S DOS LEYE

des desconocones independ(27.2). Obsér da lugar a eclos lazos. Co

de esperar quonde se encues de los lazomanera que cuaciones preva en un planodiagrama ditas como sea

Proble27-1 y encuénrvan en la fig

odos. En el n

a ecuación en

HHOFF PAR

guiente: la difor

cualquier trasignos algebrca que P1 se e

ES

idas (resistendientes entre rvese que cuacuaciones deomo (27.1) eue el escribientran tres o os, se puede cada nueva ecvias. Se puedeo (el caso usuivide el plana necesario.

emas resuntrense las cgura son arb

nodo a, I1 I2 I

n d, pero ésta

RA CIRCUITO

ferencia de po

ayectoria conraicos de ve, Rencuentra en

ncias, corrientodas las pos

alquier conjun los nodos, qes evidente pir las ecuaciomás ramas.observar un

cuación conte seguir un prual). Entoncno, dan luga

ueltos

corrientes I1,itrarias.

I3 = 0

a es la negativ

OS

otencial, v12, e

ntinua y dirigiRIR, y rIr que un potencial

ntes, fuerzas eibles ecuacionto distinto deque son indeppara un nodoones se cons

n conjunto intenga un térmrocedimiento ces, las frontar a las ecua

I2, I3. Las di

va de (1)].

[CAPITULO

entre dos pun

ida de P1 a P2se mencionapositivo relat

electromotricones de los noe nodos, exce

pendientes eno en el cual ssideren "nod

ndependiente mino que no e

sencillo cuaneras de las áraciones de l

irecciones de

O 27

ntos

2 en

aron tivo

es), odos epto ntre sólo dos"

to-esté ndo reas lazo

e las

(1)

C

2

2

CAPITULO 2

Ecuac

y reco

(Se supropo

Ahindep

Obsérescog

27.2. RefiéΩ, R3

SeProce

AqFiA

esto etienea

27.3. En lalos pu

27]

ciones de los

orriendo afecta

upone que lasorciona una ehora se pued

pendientes (1)

rvese que cadgieron arbitra

érase de nuev3 = 4 Ω, R4 =

e pueden dejaediendo como

quí el signo nig. 27-1.

Aplicando la r

es, el punto eal recorrer la

a figura 27-2 untos p1 y p2

LEYES DE K

lazos. Recor

a,

s baterías no ecuación indeen resolver s), (2), (3), par

I1 = 6.053

da valor de I riamente, y q

vo a la Fig. 2= 6 Ω. Encuén

ar las flechas o en el proble

negativo indi

elación (27.

e se encuentratrayectoria e

encuéntrens2.

KIRCHHOFF

rriendo el lazo

100 = 4

60= 12

tienen resisteependiente, siimultáneamenra I1, I2, I3,

3 A I2 =

es positivo,que se indican

27-1, y ahorantrense R1, I3

que indican lma 27.1, se o

ica que la dir

.3) a lo largo

vef = (-6)(1

a a 8 volts poedcbaf o edaf.

e todas las co

F PARA CIR

o adcba de la

I3 + 6 I1 +10 I

2 I2 + 4(-I3)

encia interna.ino la suma dnte (aplicandde lo cual se

= 5.263 A I por lo, que s

n en la Fig. 27

a sean v1 = 13, v2, y el vol

las direccionobtiene la ecu

ección de I3 e

de la rama d

12)-(-80) = 8

or encima delf.

orrientes y la

RCUITOS

red plana, se

I1

.) Obsérvese de (2) y (3do métodos uobtiene

I3 = 0.7895 A

son correctas7-1.

00 V, I1 = 4 ltaje vef entre

nes de las coruación para el

es opuesta a

dirigida de e a

V

l punto f. El m

a diferencia d

e obtiene

que el lazo af). suales) las e

las direccion

A, I2 = 6 A, e los puntos e

rrientes que sl nodo

la que se señ

a f,

mismo resulta

de potencial,

253

(2)

(3)

afedcba no

ecuaciones

nes que se

R2 = 12 e y f.

se indican.

ñala en la

ado se ob-

v12, entre

254

27.4.

27.5.

Las fuerde las corri

La ecuació

y para el la

Al resolver

Aplicando

Entonces, p

Encuéntres27.3 y com

La pote

La potencia

Y por conse

La red queexcepto poen la red, ron en el pC1 = 10 µF

LEYE

rzas electromientes indican

n para el lazo

azo adefa, v2

r ( 1 ) , (2),

(27.3) a lo la

p1 es un poten

se la potencimpárese con l

ncia total sum

a absorbida po

ervación de la

e se muestraor los dos capno les llega

problema 27.F y C2 = 15 µ

ES DE KIRCH

motrices tienenn las direccion

o abcda es

120 - 80

2 + v3 =

(3), se obtie

I1 = 4.590 A

rgo de la tray

vl2 = (0.5)(4.59

ncial negativo

a total suminla potencia t

ministrada es

or las resisten

a energía, Pl =

a en la f igurapacitores C1 y

corriente. E1, y C1 y C2

F, encuéntre

HHOFF PAR

n las direccionnes supuestas

0 = 20I1 + 0.5 I

ne

I2 = 3.513

yectoria p1cdp

90)+ (15)(-3.51

relativo a p2.

nistrada por lotal transfor

ncias es

= P2.

a 27-3 es exy C2. Poco dentonces, I1, Itienen carga

ense q1 y q2.

RA CIRCUIT

nes que se mus de las I. La

I1 - 15 I2 - 0.4 I2

A I3 = 8

p2,

3)- 120 = -170.

.

las fuentes (lrmada en calo

actamente igespués de queI2, I3 tienen ls constantes

OS

uestran en la fiecuación del

2

8.103 A

.4 V

las baterías) or en todas l

gual a la de e los capacitoos valores qq1 y q2, resp

[CAPITULO

igura y las flenodo o es

en el problemas resistenci

la f igura 27ores se conectue se encontectivamente.

O 27

echas

(2)

(3)

ma as.

7-1, tan tra- Si

CCAPITULO 2

A

(El sq1 = (

27.6. En la

niendlas co

Splo,

Al el

Sust

27]

partir de (2

signo negativo(10) (39.47) =

red de la figdo que las diorrientes, vol

Se necesitan sea, e, y g) se

legir las tres

tituyendo los d

LEYES DE K

5.9), problem

o sólo significa394.7 µC. Igu

gura 27-4, larecciones deltajes y resist

eis ecuacionese obtiene

trayectorias

datos y resolvi

KIRCHHOFF

ma 25.10, q1 =

a que el puntoualmente,

as baterías tie los voltajes tencias que n

s independien

elementales a

iendo las ecua

F PARA CIR

= C1|vca|, q2 =

o c es negativo

enen resisteny corrientes

no se especifi

ntes. Eligiendo

aedeba, aehgfa

aciones (1)

CUITOS

= C2 |vck|. Aho

o en relación c

ncias internasson las que

ican.

o tres de los cu

a, y jcbafgif,

a (6), se ob

ora bien, por

on (a). Por lo

s despreciablse indican, c

uatro nodos

se tiene

btiene:

255

(27.3),

tanto,

es. Supo-calcúlense

(por ejem-

256

27.7.

27.8.

27.9.

27.10.

Refiérase a entre los pucapacitor deRespuestas:

¿Cuál es el Kirchhoff p

En la FiR4 = 8 Ω, Calcúlense lRespuesta:

En la Fig. 2V, v7 = -35 DetermínenRespuesta:

LEYE

Prla Fig. 27-4. untos b y h?e 25 µF conec

número máxpara la red de

g. 27-5, seaR6 = 4 Ω, las cantidades

27-5, sean v1V; R1 = 10 Ω

nse las corrien

ES DE KIRCH

roblemas (a) ¿Qué le (b) ¿Cuántctado entre lo

ximo de ecuacla Fig. 27-5?

an I1 = 5 A, R7 = 3 Ω; restantes.

= 100 V, vΩ, R2 = 8 Ω, Rntes y la difer

HHOFF PAR

complemectura realizarta energía se s puntos b y h

ciones indepe Respuesta: 3

I4 = 8 A, v1 = 100 V, v

v2 = 60 V, v3R3 = 6 Ω, R4

rencia de pote

RA CIRCUITO

mentariosrá un voltímetalmacenará e

h? (Sugeren

endientes deri3 de nodos y 3

I5 = -7 A; Rv2 = 20 V, v3 =

3 = 40 V, v4= 9 Ω, R5 =

encial entre lo

OS

s

tro de alta resien (el campo

ncia: dE = q

ivables a part3 de lazos

R1 = 10 Ω, R2= 40 V, v5= -3

= 80 V, v5 =4 Ω, R6 = 5 Ω

os puntos e y

[CAPITULO

istencia coneco eléctrico de dv = Cv dv).

tir de las leye

2 = 6 Ω, R3 = 30 V, v7 = 70

= -70 V, v6 =Ω, R7 = 2 Ω.a.

O 27

ctado e) un

es de

7 Ω , 0 V.

120

r

Fuer

28.1 EL CA

Se dice qprueba, que un sistema ininducción mavelocidad de

o F = quB smiden en el mde tesla con

A partir d

fuerza eléctridecir, la direca la velocidaexista una fucentral. A peeléctrico. Uncampo eléctrrelatividad eselectromagn

Cuando efuerza sobre

Esta relación

28.2 FUERZ

Considérecomente I endeduce direc

Aquí el vectpositiva (corrlongitud ds. como un tod

rzas ma

AMPO MAGN

que una regióse mueve en

nercial. Esta fuagnética o dee la carga, la

sen θ, donde mismo sistemel símbolo d

de (28.1) se pica qE: (i) encción de B), enad de la cargaunción escalaesar de tales n campo magrico que camstablece que ético, la "carn una región una carga de

n se conoce c

ZA SOBRE U

ese un alambn un campo mctamente que

tor ds tiene mriente convenSin embargo

do (una fuerz

agnética

NÉTICO

ón del espacella, experim

fuerza se puedensidad de flufuerza está d

θ es el ánguma inercial. Lel SI para la

puede observ cada punto dn que la fuerz

a en movimiear de potencidiferencias e

gnético surge mbia), como s

los campos era" que el obse encuentrane prueba es l

como ecuació

UN ALAMBR

bre de formamagnético Be un element

magnitud ds yncional). En ro, por colisionza que, más a

as sobre

io .está ocupmenta una fuede describir enujo magnéticdada por

ulo pequeño La unidad demultiplicació

var que la fudel campo maza magnética ento y, por lo al para la fue

existe una proa partir del m

se estudia en eléctricos y mservador ve n presentes ula suma vecto

ón de Lorentz

RE QUE TRA

a arbitraria, cB que puede v

o de longitud

y se encuentrrealidad, (28.4nes esta fuerzaún, es capaz

e cargas

pada por un erza en virtun términos deco; o simplem

entre los vee B o B es el ón por 1021.)

uerza magnétiagnético exises cero, (ii) Latanto, no reaerza, y la fueofunda conexmovimiento el capítulo 2

magnéticos sodepende de sn campo magorial de las fu

z.

ANSPORTA

como ab en variar de un pd ds experim

ra en la direc4) da la fuerzaza se transforz de realizar

Ca

s en mo

campo magnd de su movi un vector de

mente, campo

ctores u y Btesla (T). (NPor (28.1),

ica difiere sigte una direcca fuerza magn

aliza trabajo aerza no es coxión entre losde las cargas

29. Además, on dos aspecsu sistema degnético B y unfuerzas eléctr

CORRIENT

la figura 28-punto a otro

menta una fue

cción del mova sobre los porma en una futrabajo sobre

apítulo

ovimien

nético si unamiento con rcampo B, den

o magnético.

. Los tres veo se debe con

gnificativameción de movimnética es perpalguno; de aqonservativa ys campos mas (o sea, a pala teoría espe

ctos de un soe coordenadasn campo elécricas y magné

TE

-1, que trans. A partir de

erza dF dada

vimiento de ortadores de cuerza sobre ee el alambre)

o 28

nto

a carga de respecto a nominado Si u es la

(28.1) ectores se nfundir T

(28.2)

ente de la miento (es endicular

quí que no y tampoco agnético y artir de un ecial de la

olo campo s. trico E, la éticas:

(28.3)

porta una (28.1) se

a por

(28.4) una carga

carga en la el alambre ).

258

Lade un

o F =

EJEMconsteB unifplano

a fuerza netan alambre de

= ILB sen θ; e

MPLO 28.1 (Toe de n vueltas, forme que (en como el plan

FUE

a sobre el alaelgado de lon

en forma de

orca sobre unportando cada

n ese momentono XY (Fig. 2

ERZAS MAGN

mbre ab se ongitud L en u

componentes

a bobina plana una de ellas uo) forma un á

28-2).

NÉTICAS SO

obtiene integun campo un

F = I(L x B)

s,

na). Considéreuna corriente I.ngulo θ con la

OBRE CARGA

grando (28.4)niforme B, la

)

ese una bobina. La bobina se a normal al pl

AS

) de a a b. Ena integración

a plana de forlocaliza en un lano de la bob

[CAPITULO

n el caso espen da

(2

ma arbitraría,campo magné

bina. Se elige

O 28

ecial

(28.5)

, que ético este

C

p

Csuec

U

Cd

P

P

llpi

o

2

fe

y

O

N

CAPITULO 28

Se calcularproducto cruz

Cuando esto seus valores ori

una fuerza netel problema 10calcular la torc

Utilizando la e

Cuando se intdy = d(y2/2) se

Pero se sabe q

Por lo tanto, fi

Obsérvese a bobina lo haa dirección da

pulgar extendindependiente

o τ = nIAB se

28.3 FLUJ

Del mismoflujo magnéticelemento de

y a través de

Obsérvese qu

No es raro qu

8]

rá la fuerza netz (véase la sec

e integra en toiginales (recuéta. Experimen0.6 se puede eca. Se tiene

expresión ante

tegra esto en e convierten e

que el área de

inalmente,

que la torca nace perpendicada por la regido apuntará ede cualquier

en θ, donde θ

O MAGNÉT

o modo que seco ф se asociárea dS se d

una superfic

ue la unidad

ue B (la "den

FUERZAS M

ta sobre la bobcción 1.5), se

orno del perímérdese que Bx,

nta, sin embargelegir cualquie

erior para dF,

torno al períen cero, dado

la bobina est

o tiene compocular a B. Si sgla de la manoen la direcciósistema partic

es el ángulo

ICO

e asocia un fluia al campo m

define así

cie S cerrada

d SI del flujo

nsidad de flu

MAGNÉTICA

bina en esta ore tiene que a p

metro de la bob, By, Bz son cogo, un par de er punto que c

esto se transf

ímetro de la b que x2/2 y y2

tá dada por

onente Z, por le representa p

o derecha (conn de A); ento

cular de coord

formado por

ujo eléctrico ψmagnético B.

a o abierta,

o magnético

ujo magnético

S SOBRE CA

rientación. Utipartir de (28.4

bina, el resultaonstantes). Pofuerzas y, porconvenga (el o

forma en

bobina, todos2/2 vuelven a

lo que tiende apor A a un vecn los dedos cu

onces (28.6) sedenadas:

A y B.

ψ al campo eléPor lo tanto,

es el weber

o") sea dado

ARGAS

lizando la form4):

ado es cero, dar lo tanto, la br lo tanto, unaorigen, por eje

s los términotomar sus val

a hacer girar actor de área qurvados en la e puede poner

éctrico E (véa, el flujo mag

(W), donde

en Wb/m2.

ma de determi

ado que x y y rbobina no exp

a torca resultanemplo) en torn

os en xdx = d(lores original

la bobina y alue tenga magdirección de Ir en una form

ase la sección gnético a trav

259

inante del

retornan a perimenta nte τ. Por no al cual

(x2/2) o y es.

(28.6)

l plano de nitud A y I, el dedo

ma que sea

(28.7)

24.1), un vés de un

(28.8)

(28.9)

(28.10)

260

EJEM

dondeahora'

que e

Secomode Ga

lo cuamagn

28.1.

MPLO 28.2.

e ф0 es el fluj''escribir como

s la ecuación

e pueden inteo en el caso eauss se trans

al significa qnéticas", sino

En la figuresfera quemagnético(b) Dados B(c) En lo am/s. (La caB = 0.1 T,

FUE

El flujo a t

o en θ = 0, lao

básica para l

erpretar (28.8léctrico. Sin forma en

que las líneas que se cierra

ra 28-3 la ca tiene una m uniforme, (B = 0.5 T, q =nterior reemp

arga y la masaencuéntrens

RZAS MAGN

través de la bo

a posición de

a maquinaria

8) o (28.9) eembargo, se

s de fuerza man sobre sí m

Problearga q se encasa de 5 gram(a) Dados q = 40 µC, y u =plácese la esa del electróne F y la acele

NÉTICAS SO

obina de la fig

equilibrio de

eléctrica.

en términos d puede mostr

magnéticas nomismas.

emas resucuentra unifomos. La esfer= 3 µC, u =

= 60 km/s, encfera por un e

n son e = 1eración.

OBRE CARGA

gura 28-2 es

la bobina. La

de "líneas derar que para l

o terminan en

ueltos

ormemente dira se mueve n= 4 km/s, y cuéntrese F y lectrón que t.602 x 10-19 C

AS

a ecuación de

e fuerza" o "los campos m

n alguna espe

istribuida sonormalmenteF = 2.4 mNla aceleracióiene una veloC y m = 9.11

[CAPITULO

la torca se pu

líneas de flumagnéticos la

(28ecie de "carg

bre una peque hacia un ca, encuéntresn, a, de la esf

ocidad u =5 X1 X 1031 kg.) P

O 28

uede

ujo", a ley

8.11) gas

ueña mpo e B. fera, X 106 Para

CAPITULO

28.2. En lapor sα1 = F; (b

28.3. En laplaca

28]

a figura 28-4sus cosenos d0.3, α2 = 0.4,

b) la magnitu

a figura 28-5a P1 por medi

FUERZAS M

4, sean q = 4directores β1 , α3 = 0.866. Eud y la direcc

5, los electronio de un volta

MAGNÉTICA

40 µC, u = 5= 0.5, β2 = 0Encuéntrenseción de F; (c

nes que salenaje v1. Alguno

AS SOBRE C

km/s y B =0.6, β3 = 0.62e (a) Fx, Fy, Fc) el ángulo

n del filamenos de, ellos pa

CARGAS

2 T. La dir245; los cosenFz, las componθ.

nto caliente fasan a través

ección de B nos directorenentes rectan

f se aceleran de una peque

261

está dada es de u son ngulares de

hacia la eña ren-

262

28.4.

dija S1 y sepasan a travpor v1 − v2radio R.

Los electrdebido al cv1 − v2 y Bv1 = 600 V, mT, qué va

(a) Dado qutenía en

El valo Por lo separado

(b) A partiiguales)

(a) Un protópotencial deB = 0.6 T. C

FUER

desaceleran vés de la rendij. Una serie d

rones que emecual se desv

B éstos pasarv2 = 200 V, R

alor tiene R?

ue la fuerza mn S2, que por c

or de B debe s

tanto, B =o.

ir de (28.13),); esto da R =

ón (q = +e,e 200 kV desCalcúlese R. (

RZAS MAGN

de P1 a la plaja S2 al espaci

de rendijas de

ergen de S2 enían en una trán a través R = 100 mm,?

magnética no rconservación

ser tal que la f

= 0.6744 mT

R = mu/eB y168 mm.

m= 1.673 =scribe una tra(b) Un átomo

NÉTICAS SOB

ca P2 por medio por encima eflectoras me

ntran a un camrayectoria cde todas la

, encuéntrese

realiza trabajon de la energía

fuerza magné

. Obsérvese

y para B = 4

= 10-17 kg) ayectoria cir

o de He doble

BRE CARGA

dio del voltajede P2, con unaetálicas b1, b

mpo magnéticoircular. Cons rendijas y el valor nece

o, un electra, está dada po

ética constituy

e que B depe

4x 10- 4 T (la

que cae a trcular en un cmente ioniza

AS

e v2. Algunosa energía cinét2 etc., define

o uniforme B n los valores

llegarán a Pesario de B. (b

rón conserva or

ya la fuerza c

ende de e/m,

as otras canti

ravés de unacampo magn

ado (una partí

[CAPITULO

s de estos últimtica determin

en un círculo

normal al pap apropiados P3. (a) Cuanb) ¿Con B =

la velocidad q

centrípeta nec

y no de e y

idades perma

a diferencia ético uniformcula α: q = 2

O 28

mos nada o de

pel, de

ndo 0.4

que

cesaria:

m por

anecen

de me, e,

2

2

CAPITULO 2

m = 6similCalcú

(a) A

(b) L

28.5. Un cafiguraformecuentrdad in

Si d =E

que es

28.6. Una cde los Encué

28]

6.65 X 10-27 klar al de la figúlese B.

A partir de (28

La velocidad d

apacitor se coa 28-6. En el e y también uran en la direnstantánea

= 40 mm, v =En este caso,

s una fuerza e

carga q = 40 s campos uni

éntrense la m

FUERZAS M

kg), que cae a gura 28-5, des

8.12), la Rapid

del núcleo de h

oloca entre lespacio entr

un campo magección de Z.

= 2000 V, y B

en el plano X

µC se mueveformes

agnitud y la

MAGNÉTICA

través de unascribe una tray

dez del protón

helio es u = 3

los polos de e las placas dgnético B unUna pequeña

B = 1.5 kT, ¿

XZ.

e con veloci

dirección de

AS SOBRE C

a diferencia dyectoria circu

n es 6.189 x 10

.104 x 106 m/s

un imán muydel capacitoriforme; los d

a esfera, de c

¿cuál es la fu

idad instantá

la fuerza ins

CARGAS

de potencial dular con radio

06 m/s. Entonc

s, y aplicando

y grande, comr existe un cados campos sarga q = 3 µ

erza instantá

ánea u = (5 X

stantánea sob

de 100 kV en de 250 mm.

ces, a partir de

(28.13), B = 0

mo se muestampo eléctricon paralelos C, tiene una

ánea sobre la

X 104)j m/s

bre q.

263

un aparato

e (28.13),

0.258 T.

tra en la o E uni- y se en- veloci-

esfera?

a través

264

28.7.

28.8.

A partir de

Medido en 0.3 T paraldirectores

porta una cneta sobre

Escríbas

Por lo tanto

En la figurCerca de sude las orillse localizaun ángulo θI . Para el rθa = 30°, θb

La long

FUER

esto, Ftot = (2

un sistema dlelo al eje Z.

corriente consel alambre.

e B = 0.3k

F = 50[(

, F = (2.12 + 1

ra 28-7, el cu superficie elas se suponen cerca de laθb θa. Comradio de la cab = 65°, encu

gitud orientada

RZAS MAGN

2.612 + 1.34 +

de coordenad. Un alambre

stante de 50 A

k y L= (0

(0.250)(0.45i + 0

1.6882)1/2 = 2.6

írculo represel campo B ese que el cam

a cara del polo se indica, aara del polo

uéntrese la fu

a del alambre

NÉTICAS SOB

+ 0.812)1/2 = 3

das inercial, ee delgado, de

A. Encuéntren

0.250)(0.45i + 0

0.56j + 0.6956k

694 N; los cos

senta la caras uniforme y n

mpo es cero. Dlo en el planoa y b están c R = 150 m

erza total sob

a, en la direc

BRE CARGA

.04 N. Los co

existe un came longitud 25

nse la magnit

0.56j + 0.6956k

k) x (0.3k)] = 2.1

senos directore

a del polo nonormal haciaDos alambreo XY; están ronectados enmm, I = 40bre los alamb

ción de la cor

AS

osenos directo

mpo magnétic50 mm y que

tud y la direc

k). Entonces

10i - 1.688 j N

es de F son

orte de un ima afuera de las estirados y

rígidamente un serie y port A, B = 0.4

bres.

rriente, es

[CAPITULO

ores de Ftot son

co uniforme e tiene cosen

ción de la fu

s, aplicando (28

N

mán muy gran página; más

y aislados, a unidos formatan una corri4 T,

O 28

n

de os

erza

8.5),

nde. allá y b,

ando ente

CAPITULO 2

y por

Igualm

Por loEl

y que

28.9. Una suna cel ejeel pun

La

Por lo

del ala

28]

lo tanto, la fu

mente,

o tanto, la fuel problema tam

e el ángulo de

sección parabcorriente I = e X, se halla ento x1 = 0.25

a ecuación par

o tanto, a lo la

ambre es

FUERZAS M

uerza sobre el

rza total es F=mbién se podrí

e F debe ser 1

bólica de un a12 A. Un camen el plano. C5 m, y1 = 1 m

ra el alambre e

argo del alam

MAGNÉTICA

l alambre a es

=Fa + Fb = 1.9ía haber resue

Fa = Fb = I(

/2(θa + 0b) =

alambre (Figmpo uniformCalcúlese la fm.

es

mbre, dy = 32x

ds = i dx + j dy

AS SOBRE C

s

95i + 2.13J lto observand

(2R)B = 4.8 N

47.5°.

. 28-8) se encme, B = 0.4 T

fuerza total s

x dx. Por (28.

= i dx + j32x dx

ARGAS

N, or F = 28.9o que

cuentra en el T, que forma sobre el alam

4), la fuerza

dx

9N.

plano XY y trun ángulo de

mbre, entre el

sobre un elem

265

ransporta e 60° con origen y

mento

266

28.10.

28.11.

28.12.

y

(Para u

Con referey que tranEl ángulo fla fuerza to

En lugarhecho (ejemnético unifoY, de b2 a b

La fuerza re

Una bobinaporta una cotiene cosenoβ1= 0.49, β2sobre la bob

Se tiene un área dirig

Por analogídipolar mpotencial d

FUER

n método que

ncia a la figusporta una cformado por otal sobre el

r de integrar amplo 28.1) de orme. De aquíbl, completand

eal sobre el se

a rectangular dorriente I en cos directores β2 = 0.56, β3 =bina.

que B = (gida A= (ab

a con el caso agnético de

de la bobina a

RZAS MAGN

e evite la inte

ura 28-9, el acorriente I, sel plano YZ alambre.

a lo largo del que es cero laí que si se imado el lazo, la f

F' =emicírculo de

de n vueltas, fiada vuelta. Siβ1, β2, β3. Sab

= 0.668, y B =

(0.4)(0.49i +b)i = 0.015i m

de un dipolo una bobina

asociada con

NÉTICAS SO

gración véase

alambre semse encuentray el plano de

alambre, coma fuerza neta sagina que unafuerza sobre e

= I(2Rj x B2 k) =ebe ser tal que

figura 28-10, si en ese lugar eiéndose que a

= 0.4 T, encuén

+ 0.56j + 0.66m2. Entonces

eléctrico (proplana que

su orientació

BRE CARGA

e el problema

micircular de r en un campel semicírcul

mo en el problobre un circu

a corriente I taeste segmento

= 2IRBzie cancele F";

se encuentra eexiste un cama = 100 mm, bntrese la magn

68k) T, y en la

oblemas 23.7 porta corrienón en un cam

AS

a 28-10.)

radio R, apoypo magnéticolo es arbitrari

lema 28.9, pueito cenado en

ambién fluye ao recto será

esto es

n el plano YZmpo magnéticob = 150 mm, nnitud y la dire

a posición dad

y 23.8), defínnte y exprés

mpo magnétic

[CAPITULO

yado en b1 yo paralelo a io. Encuéntre

ede aplicarse un campo ma

a lo largo del

Z; su área es abo B uniforme qn = 20, I = 12 ección de la to

da, la bobina ti

nase el momensese la energo uniforme B

O 28

b2 Z.

ese

el ag- eje

b y que A,

orca

iene

nto gía

B.

2

CAPITULO 2

Cocorrie

Entonpoten

2S.13. Una bcamp

de tamomel áng(de "

(d) Ld

28]

omparando τ ente, el momen

nces, razonandncial

bobina planapo magnético

al manera quemento dipolar d

gulo formadoeslabonamie

La energía pode ф es el fluj

FUERZAS M

= P x E paranto dipolar ma

do como en el

a de 12 vueluniforme

e su área diride la bobina, o por la normaento") que pa

tencial se puejo total a trav

MAGNÉTICA

a el dipolo eléagnético como

problema 23.

ltas transport

B = 0.2i +igida es A = (b) la energíaal positiva a lasa a través d

ede escribir cvés de N vuelt

AS SOBRE C

éctrico y τ = no

8, se puede m

ta 15 A. La

+0.3 j-0.4k 0.04i = 0.05

a potencial de la bobina y elde la bobina.

omo tas, cada una

CARGAS

nI (A x B) p

ostrar que la b

bobina se or

T 5j + 0.07k mla bobina en campo, (d) e

de área A. Po

para la bobina

bobina tiene un

rienta con re

m2. Encuéntrenla orientación

el flujo total m

or lo tanto,

267

a que porta

(28.14)

na energía

(28.15)

especto al

nse (a) el n dada, (c) magnético

don-

268

28.14.

28.15.

28.16.

28.17.

28.18.

28.19.

28.20.

28.21.

28.22.

El valor negparte de la c

En la figur¿Cuál es el

Utilizandoformado por

Una carga qB; el ánguloencuéntrese

En un solenmagnético usección tran

Con referenBx = -0.8 TRespuesta: ℓ

Refiérase al40° en tomocantidades Respuesta:

Un solenoide electroncomponentese indica, loy e/m = 1.7 Respuesta: Un alambreun campo mla fuerza tot

Refiérase alfuerza sobre

Una bobinacuentra en u

Los vértices(a) Determíyección delpolar de la b

Respuesta:

FUER

gativo de ф cocara positiva

a 28-9, sea βflujo a travé

o la regla de lar el campo un

Prq = 300 µC o formado poel valor local

noide de núcluniforme, parsversal del so

ncia a la figur, By = 0.4 T, ℓ= 0.1340, m =

l problema 28o de una línea permanecen 0.2343i + 0.114

ide muy largones colocado es u1 = u coos electrones s6 X 1011 C/kg

delgado, de 2magnético unifo

tal sobre el al

l problema 28e la sección P

triangular (un campo mag

s del triánguloínese el vectol área del triábobina y (c) l

(a) 0.01875

RZAS MAGN

orresponde al de la bobina

β el ángulo fs del área lim

a mano derechniforme y el ár

roblemas se mueve conr u y B es 32l de B. Respue

eo de aire y lralelo a su ejlenoide? Resp

ra 28-4, sean Bz = -0.7 T.

= -0.3887, n =

.5 y a la figurparalela a Y, sin cambio 49k N

o (Fig. 28-11en su interi

os β y u2 siguen una trayg para los ele

250 mm de lonorme B que folambre es de 4

.9 y a la figurPQ del alambr

(Fig. 28-12) gnético unifor

B =

o se encuentrar de área del

ángulo sobre ea energía pote

i+ 0.025j + 0.0

NÉTICAS SOB

ángulo obtusohacia su cara

formado por mitada por el

ha para definir rea dada es en

complemn velocidad µ°. Si la fuerzaesta: 0.89 T

largo que tiene, de 0.06 T.

puesta: 0.3927

q = 500 µC;Calcúlense lo0.9115

ra 28-6. Supquedando la palguno. ¿Cuá

) forma un cior dispara u= u sen β, noyectoria helicectrones, calc

ngitud y que prma un ángulo4.5 N. Encuén

a 28-8. Sin hare. Respuesta:

tiene cuatro vrme.

0.5i + 0.45j +

an sobre los ejtriángulo. (Su

el plano XZ; eencial de la bo

015k m2; (

BRE CARGA

o θ que se enca negativa.

el plano YZalambre sem

la normal posn todas partes

mentariosµ = 6 km/s a tra instantánea

ne un radio d ¿Cuál es el f

7 mWb

ux = 5 km/sos cosenos di

óngase que elplaca negativaál es ahora

campo uniformun haz cuya ormal y paraleoidal. Dados B

cúlese el radio

parta una corro de 48° con lantrese B. Resp

acer uso de cál: +1.36kN

vueltas, porta

0.74k T

ejes en x1 = 0.ugerencia: la etcétera.) Encobina.

(b) 0.45i + 0.6j

AS

contró en ( c )

Z y el plano dmicircular y el

sitiva e, el ángigual a β + (π

ravés de un casobre la carg

de 50 mm, eflujo a través

, uy = -6 km/irectores de F

l capacitor se a fuera de la pla fuerza sob

me B paralelo avelocidad d

ela a B. respecB = 1 mT, β =o y el paso de

riente I = 50 Aa dirección de Ipuesta: 0.484

lculos adicion

una corriente

2 m, y1 = 0.15componente X

cuéntrese (b)

+ 0.36k A·m

[CAPÍTULO

; esto es, el f

del semicírcul eje Y?

gulo (en radianπ/2). De aquí q

ampo magnétga es de 0.85

existe un cams del área de

/s, uz = 8 kmF.

rota un ángulpágina. Las debre la esfera

a su eje. Un cae salida u tictivamente. Co= 30°, va = 600e la hélice.

A, se encuentraI. La magnitudT

nales obténgas

e de 6 A, y se

5 m, z1 = 0.25X de A es la p el momento

m2; (c) -0.76

O 28

flujo

ulo.

nes) que

tico N,

mpo la

m/s;

o de emás a?

añón iene omo 0 V,

a en d de

se la

en-

5 m. pro-

o di-

614 J

C

2

CAPITULO 2

28.23. (a) análisi

8]

Verifíquenss dimensiona

FUERZAS M

se las equivalal de (28.13)

MAGNÉTICA

lencias dadas ).

AS SOBRE CA

en (28.2)

ARGAS

y (28.10).. (b) Hága

269

ase un

29.1 CAM

En la figlos ejes inerobservación en P existe u La constanteno una canti Aquí, el hense sigue que

En magn

donde θ es elos círculos largo de dic

F

MPO MAGNÉ

ura 29-1 se mrciales X, Y, P se especific

un campo ma

e µ0, denominidad que se o

nry (H) es la e

nitud,

el ángulo entcentrados y p

cha línea.

Fuentes

ÉTICO SOBR

muestra una Z. El lugar qca por medio

agnético, cuyo

nada permeabobtiene expe

unidad de in

tre v y r (véaperpendicula

de cam

RE UNA CAR

carga puntuque ocupa indel vector de

o valor instan

bilidad del esrimentalmen

nductancia (v

ase la Fig. 29res a la línea

mpo mag

RGA EN MO

ual q en movinstantáneamee desplazamientáneo, deter

spacio vacíonte (véase el

véase el capí

9-1). Obsérveinstantánea d

C

gnético

OVIMIENTO

imiento y deente q con reento r (o por mminado en el

, en el SI es uproblema 29

tulo 31). A p

ese que B es de movimien

Capítu

o

e velocidad vespecto al pumedio de r)l sistema iner

una cantidad 9.6):

partir de (29.

constante a lnto de q y que

lo 29

v relativa a unto fijo de . Entonces,

rcial, es

definida y

1) y (28.2)

lo largo de e B = 0 a lo

272

29.2

Cuacampo

donde hasta P

El c(por ejaquí qusi la int

CAMPO MA

ando (29.1) so producido e

r es el desplP. La relación

campo total,emplo, sobre

ue una corrietegración se e

FU

AGNÉTICO

se aplica a uen un punto

azamiento den (29.4) es la

B, en P se oe la longitud nte real fluyeefectuara únic

UENTES DE

SOBRE UN

un elemento Iexterno P se

esde b, el luga ley de Biot-

obtiene al intotal de un a

e en una trayecamente sobr

CAMPO MA

FILAMENT

I dl de un file obtiene ,

gar en el que-Savart.

ntegrar (29.4)alambre que pectoria cerrare una parte d

AGNÉTICO

TO DE CORR

lamento de c

se encuentra

) sobre el filporta corrien

ada, y se obtende la trayector

RIENTE

corriente (Fig

a el elemento

amento entente). Es impondría un resu

ria. (Véase el

CAPITULO

g. 29-2) para

(29

o de corriente

ro de corrienortante recordultado engañoproblema 29.

29]

el

9.4)

e,

nte dar oso .4.)

C

EEs

L

E

2

l

Lla

Ccd

CAPITULO 2

EJEMPLO 29Elegimos los eser a lo largo

La integración

En particular

29.3 LEY C

Por ser lala fórmula (2

La integral dela figura 29-4abierta S y

Cuando E escurvan en dirededo pulgar ex

9]

9.1. Calculemejes como en l

o de Z; a part

n desde φ = 0

r, en el centro

CIRCUITAL

a ley de Coul29.4) puede e

e línea de la iz4). En la derecy bordeada po

plana, se apección de la ixtendido.

FUENTE

mos el campo la figura 29-3ir de (29.4)

0 hasta ф = 2π

o (z = 0),

L DE AMPÉR

lomb (23.3) eescribirse com

zquierda es alcha, I represer E; en el

plica la siguiintegración a

ES DE CAMP

sobre el eje d, y observamo) obtendremo

π da, entonces

RE

expresable enmo la ley circ

lrededor de cuenta la comen

caso de una

ente regla dilo largo de E

PO MAGNÉT

de una trayectoos que, por simos que

s

n forma intecuital de Amp

ualquier trayete total que p corriente dis

ireccional: siE, la dirección

TICO

oria circular dmetría, el camp

gral como lapére:

ectoria cerradpasa a través d

tribuida,

i los dedos dn positiva de I

de corriente dpo resultante e

a ley de Gaus

da E (línea punde cualquier s

de la mano deI queda indica

273

e radio a. en P debe

(29.5)

(29.6)

ss (24.3),

(29.7)

nteada de superficie

(29.8)

erecha se ada por el

274

29.1.

29.2.

29.3.

29.4.

Con refereEncuéntre

Aplican

De nuevo,hasta P(x, y

Sean q = 4ángulo θ.

La magn

Hágase un

Se tien

Un alambrcampo en PBiot-Savar(a) A par

1 di tie

FU

ncia a la figuse la magnit

do (29.3),

con refereny, z) es

00 µC y v =

nitud de r es

n análisis dim

e que

re recto, a lo P debido a lart, (b) utilizartir de (29.4)ene la direcció

UENTES DE

Probleura 29-1, seatud de B en

ncia a la figu

r =(3i - 6j + 9k)

s r = (502 + 8

mensional de

largo de Z ea sección ab úando la ley ci) es evidenón i. Por lo

CAMPO MA

emas resuan q = 35 µCel punto P.

ura 29-1, sup

= 50i + 80j + 7) X 106 m/s. E

802 + 702)1/2(1

unidades de

n la figura 2únicamente (rcuital de Amte que dB en P tanto,

AGNÉTICO

ueltos

C, r = 50 mm

póngase que

70k mm Encuéntrense

10-3) = 0.1175

(29.6).

9-5, porta un(longitud, ℓ1 +mpére, (c) exP debido a c

m, v - 2 x 106

e el desplaza

e Bx, By, Bz en

5 m. Aplican

na corriente I+ ℓ2): (a) uti

xplíquese la dcualquier elem

[CAPITULO

6 m/s, y θ =

amiento desd

n P y también

ndo (29.1),

I. Encuéntreslizando la ley

discrepancia.mento de corri

O 29

60°.

de q

n el

se el y de iente

C

2

CAPITULO 2

Dd

(h) Ad

E

(c) Eaarscℓ y

Eú

29.5. Dos transplongi

29]

Debido a ladel círculo x2

Al aplicar (29.de (a), se

En particular,

n realidad, laaparecer de laa. Si la integraesultado difer

simétrico y seconcordarían. Pℓ1→∞ ℓ2 →∞

y, por lo tanto

Este resultadoúltimo es corr

alambres recportan corrieitud entre los

FUENTE

a simetría c+ y2 = R2, B

7) al círculo xobtiene

, en el punto

a corriente el misma maneación en (a) srente para B. De obtendría uPor ejemplo, en (a) y ma

o,

o concuerda corecto tal como

ctos, paraleloentes iguales Is alambres. ¿

ES DE CAMP

ilíndrica deB es tangencia

x2 + y2 = R2,

P,

éctrica no puera en el puntose extendiera Del mismo moun resultado d

supóngase quanteniendo a R

on el obtenidoo está.

s y muy largI en la misma¿Esta fuerza

PO MAGNÉT

l problema eal y de magnit

y atendiendo

uede aparecer o b; debe exissobre toda la

odo el problemdiferente en (ue la trayectorR fija,

o en ( b ) ; p

gos (Fig. 29.6a dirección. Ees de atracc

TICO

s evidente qutud constante.

a las conside

abruptamentstir una trayec trayectoria c

ma no seguiría( b ) ; y estos ria se cierra e

para un alamb

6), tienen entEncuéntrese lión o es de r

ue en todos l

eraciones de la

e en el puntoctoria de regrecerrada, se oba siendo cilínd

dos nuevos en el infinito.

bre recto e inf

tre sí una disa fuerza por urepulsión?

275

los puntos

a simetría

o a y des-eso de b a tendría un

dricamente resultados Haciendo

finito este

stancia d; unidad de

276

29.6.

29.7.

Considé1 produce u

dirigido hacfuerza sobre

Según la teanterior. E

Explíquese (en unidade

La ecuaccuando d es1=1 A, exac

Un solenoin' = n/L vuel campo msobre el eje

(a) Tómesedase el uno unacontribu

al camp

donde θ(b) Sea L →

valor d

FU

rese la seccióun campo mag

cia el interior e la sección es

rcera ley de NEntonces, los

por qué la pees del SI).

ción ( 1 ) del ps igual a 1 mctamente. Est

ide de núcleoueltas por unmagnético en e cuando L s

e una secciónsolenoide en

a corriente n'1uye con

po en P. Integ

θ1 y θ2 son los→ ∞, de tal mde n/L = n' pe

UENTES DE

n 0 ≤ y ≤ 1 m gnético

de la hoja [vs

Newton, la fudos alambres

ermeabilidad

problema 29.5m y se mide qu

o fuerza el va

o de aire, connidad de long

el punto axiase hace muy

n longitudinal n una sucesión1 dx. Entonce

grando de x =

s medios ángumanera que ℓ1rmanezca fijo

CAMPO MA

del alambre 2

véase el probl

uerza por metrs se atraen ent

del espacio v

5 se utiliza paue F es 2 X 1alor µ0 = 4π x

n longitud L gitud y transpal y arbitrarigrande comp

del solenoiden de anillos ins, por (29.5),

-ℓ2 a x = ℓ1, d

ulos subtendid1→ ∞ y ℓ2→∞o. Entonces,

B→µ0n'I

AGNÉTICO

2. En cada pun

lema 29.4c)].

ro sobre el altre sí con una

vacío resulta

ra definir el a0-7 N/m (un v10-7.

y radio r (Fiporta una coo P. (b) ¿Quéparada con r

e en el plano Xnfinitesimales un anillo loca

donde ℓ1 + ℓ2

dos en P por lo∞. Más aún, scos θ1 → 1, c

Ii

nto de esta sec

Entonces, util

lambre 1 es ela fuerza µ0I2/2

ser exactame

ampere de la svalor conven

ig. 29-7) estárriente I. (a)é se puede der?

XY, con P en de ancho dx

alizado a una

= L, se obtien

os dos extremosea n → ∞, decos θ2→l y

[CAPITULO

cción, el alam

lizando (28.5)

(

l negativo de 2πd (N/m).

ente 4π x 10-7

siguiente maneniente), enton

á formado po) Determínesecir del camp

el origen. Divx, portando cadistancia x de

ne que

os del solenoide manera que

O 29

mbre

) la

( 1)

la

7

era: nces

or se po

ví- ada e P

de. el

C

2

CAPITULO 2

es2co

29.8. En la R = 30B en perme

Lacírculárea π y la l

9]

sto es, el camp9.15) el campoonstante.

figura 29-8 0 mm. La barr

el punto Peabilidad del

a densidad delos concéntricπr2, es

ey circuital d

FUENTE

po se hace unio en cualquier

se muestra lara porta una c (r = 20 m

l metal es apr

e corriente escos a la super

de Ampere da

S DE CAMP

forme a lo largr punto del inte

a sección tranorriente I = 5

mm) y en laroximadamen

uniforme sobficie de la bar

a

PO MAGNÉT

go del eje del serior de un sol

nsversal de ukA dirigida h superficie nte µ0.

bre la secciónrra. La corrien

TICO

solenoide. De enoide infinito

una larga barhacia afuera d

de la barra

n transversal,nte a través de

hecho (véase o tiene este mi

rra de metal ce la hoja. Enc, suponiend

, las líneas deel círculo pun

277

problema ismo valor

con radio cuéntrese o que la

e B serán nteado, de

278

29.9.

29.10.

29.11.

29.12.

Sustituyend

En el átomórbita en torevolucion

El elect

Las cargasv2 = 4 X 10el que q1 y campo mag0.35). Resp

El solenoidcuéntrese B

Cinco alambLas corrienI5 = 18 A una distanc

FU

do los valores n

mo de hidrógeorno del núclees por segund

trón que órbit

Ps puntuales q06 m/s a lo larq2 están en lo

gnético formadpuestas: (a)

de de la figuraB en el centro

bres rectos, lantes que transp

(las corrientecia de 10 cm d

UENTES DE

numéricos,

eno de Bohr (eo en un círcudo. Estímese

ta es equivale

roblemas1 = +800 µCrgo del eje Yos puntos y1 =do por las car 0 + 0; (b)

a 29-7 tiene del solenoide

rgos y aisladoportan los alams negativas se

del cable. Re

E CAMPO M

(véase el capulo de radio ael campo ma

ente a una tray

s complem y q2 = -500

Y, como se mu= 0.3 m, y2 =rgas (a) en el (3.55 - 0.7

n = 300 vuele. Respuest

os, se hallan mmbres son I1e oponen en es-puesta: 74

AGNÉTICO

pítulo 40), el a ≈5.3 X 10-11

agnético en el

yectoria circu

mentariosµC tienen v

uestra en la f 0.45 m, resorigen O, (

7146)i mT

tas; L = 300 mta: 14.31 mT

muy juntos = 20 A, I2 =dirección a µT

único electróm, haciendo fnúcleo.

ular de corrien

s

elocidades v1figura 29-9. Espectivamente(b) en el punto

mm; r = 50 m

y forman u= 6 A, I3 =las positivas)

[CAPITULO

ón describe uf ≈ 6.6 X 1015

nte I, donde

1=7 X 106 m/En el instantee, encuéntreseo P (0, 0

I

mm; I = 12 A.

un pequeño = 12 A, I4 = . Encuéntrese

O 29

una 5

/s y e en e el .15,

En-

cable. 7 A, B a

CAPÍTULO 29] FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO 279

29.13. Una cuerda no conductora, recta y muy larga, está cubierta con una densidad de carga de 40 µC/m, y se jala con una velocidad de 300 m/s a lo largo de su longitud. ¿Cuál es el campo magnético a una distancia normal de 5 mm respecto de la cuerda en movimiento? Respuesta: B = 0.48 µT

29.14. Un disco circular no conductor gira en torno de su eje con una velocidad v en su orilla. Si el disco tiene una carga superficial uniforme σ (C/m2), encuéntrese el campo magnético en el centro. (Sugerencia: utilícese [(29.6) e intégrese).] Respuesta: Bcentro = µ0σv/2

29.15. Aplicando la ley circuital de Ampere a un contorno apropiado, muéstrese que B es uniforme en el interior de un solenoide extremadamente largo y de sección transversal arbitraria. Res- puesta: B = µon'Ie, donde e es el vector unitario a lo largo del eje.

30

cocaun

exese

Encuenha

Obgrtro

Ley de

01. FEM IN

En la figuraonductora conambia de formn punto a otro

Como resultperimentaráe instante ten

n la ecuaciónuando, por ejen la espira se acer que una

bsérvese quearse, por lo ostático que e

e Farad

NDUCIDA

a 30-1 se mun referencia ama a través deo e igualmen

tado conjunton una fuerza

nga velocidad

n de Lorentz,emplo, B camdefine comocarga unitar

e cualquier fuque no cont

estuviese pre

ay de la

uestra una coa los ejes inee un campo mnte puede cam

o del movimia. Específicamd u experime

(30.1), E, rmbia con el tio el trabajo qria positiva r

uerza conserribuiría a vi.

esente.

a fuerza

onfiguración rciales X, Y,

magnético B. mbiar con el

iento y del camente, una centará una fu

epresenta unempo. La fue

que la fuerza ecorra una v

rvativa que e De aquí qu

a electro

en un instanZ; la espira cÉste puede vtiempo.

ampo magnétcarga q en unuerza

n campo elécerza electrom

de Lorentz (vez el circuit

estuviera inclue en (30.1)

Ca

omotriz

nte dado de ucontinuamenvariar en mag

tico, todas lasn elemento de

trico inducidmotriz inducid(no conservao cerrado, E

luida en F sese omita cua

pítulo

z induci

una espira flente se trasladagnitud y direc

s cargas del ae longitud ds

do que está pda (fem) insta

ativa) realizarsto es,

e haría cero alquier camp

o 30

ida

exible y a, gira y cción de

alambre s que en

(30.1)

presente antánea ría para

(30.2)

al inte-po elec-

282

Endemomagnconst

La ecfacto

30.2 En

positsignofem egeominfierenergun caconduinduc

30.1.

n los experimostró que el lanético Φ que te de N vuelt

cuación (30.res que prov

LEY DE Ln el caso de iva en torno do en la ley deen la direcció

metrías más core la direcciógía. La ley deampo magnétiuctor en movcida debe ser

. Una espiraentre los ppolos y quen la espi

mentos realizado derecho datraviesa a latas,

3) es la ley dvocan el cam

LENZ

una espira pde la espira ese Faraday sigón negativa eomplicadas, sóón de vi a pae Lenz estableico cuyo flujovimiento, la r tal que se o

a rectangular polos de un imue (por razonra.

LEY DE FA

ados por Farde (30.2) es iga espira. De a

de Faraday;bio del flujo

plana, supóngstán determin

gnifica que unen torno de laólo se utiliza artir de la leyece: (1) la coro se opone al fuerza que e

oponga al mo

Problede N vueltas

mán permanees de comodi

ARADAY DE

aday (y esto gual a dΦ/dtaquí que se e

es válida sin magnético.

gase que la dnadas por la rn incrementoa espira. Frec(30.3) para eny de Lenz, unrriente que flcambio del flejerce el cam

ovimiento del

emas resus (Fig. 30-2), nte. Suponienidad) es cero

E LA FEM

se sigue de lat, el cambio coescriba vi =

n importar la

dirección delegla usual deo del flujo a tcuentemente,ncontrar la mana consecuenluye en respulujo que induc

mpo magnéticl conductor.

ueltos

se mueve hando que B es más allá de e

as ecuacioneon respecto a dΦ/dt, o par

a naturaleza

l flujo positiv la mano deretravés de la e y sobre todoagnitud de vi, ncia de la coesta a la fem ce la fem; o (2co externo so

acia la derechuniforme ent

ellos, calcúles

[CAPITULO

es de Maxwelal tiempo del fra una espira

(

del factor o

vo y la dirececha. Entonceespira induceo en el caso dy por separad

onservación dinducida pro

2) en el caso dobre la corri

ha con velocidtre las caras dse la fem indu

O 30

ll) se flujo

a que

(30.3) los

cción es, el e una de las do se de la duce de un iente

dad u de los ucida

C

3

3

3

CAPITULO 3

El fem in

tiene etorno da las mtanto, imán.

30.2. Supónde corcircun

Ah

Si la e

30.3. En el constaωt = π

(a)

30.4. Una elargo El áreembarm-1, I

en t =

A

en el i

EntonLa diincrem

0]

flujo total quenstantánea que

el mismo tamade la espira. Esmanecillas delaumenta el flu

ngase que el rriente alternnstancias obté

hora el flujo to

espira se muev

problema 30ante, x0 = 30π/4, (c) ωt

) -18 V (en el s

espira plana solenoide qu

ea A delimitrgo, su plano= 12 sen 15

= 0.005 s, cal

partir del pro

interior del so

nces, la fem inrección concumentan y, por

LEY D

e atraviesa la ee

año que x > 0.sto se confirma reloj da lugarujo a través de

imán permana, la cual esténgase la exp

otal es NΦ = N

ve con veloci

0.2, sean B0 =0 mm. Evalú= π/2, (d) ωt =

sentido de las m

de N = 10 vuue tiene n' vutada por la eo siempre per0t (A), y sup

lcúlese la fem

oblema 29.7(

olenoide, por

nducida es deuerda con la r lo tanto, Φ

E FARADAY

espira es NΦ =

El signo mása por medio der a un campo me la espira. Est

nente del proablece un cam

presión del vo

N(B0 sen ωt)lx

dad constante

= 0.1 T, ω = úese v i en los= 3π/4.

manecillas del r

ueltas de alaueltas por m

espira se puermanece normponiendo que

m inducida e

(b),

lo que el fluj

e 8.064 V y tiley de Lenz,hace lo mism

Y DE LA FE

= NBℓx. Obser

s de vi indica qe la ley de Lenzmagnético dirte incremento

oblema 30.1 smpo magnéti

oltaje inducid

x, de manera q

e, entonces en

400 rad/s, ls instantes co

reloj); (b) - 11.7

ambre flexiblmetro y que p

ede cambiar mal al eje e

en la espira e

jo que atravie

iene la direcc, ya que en e

mo.

EM

rvando que x d

que la fem tienz: una corrienterigido hacia ar se opone al d

se reemplazaco B = B0 sen

do.

que la fem ins

n la expresión

= 150 mm, Norrespondient

77 V; (c) +0.75

le se coloca orta una coral estirarla, del solenoi

en este instan

esa a la espira

ión que .se inel instante da

decrece, se tie

ne dirección pe en el sentidorriba en la esp

decremento de

a por un electn ωt. En igua

stantánea es

anterior x = x

N = 10, u = 5tes a (a) ωt =

5 V; (d) + 12.0

en el interioriente I = I0 por decir al

ide. Para n'

nte.

a es

ndica en la figado tanto B c

283

ene para la

ositiva en contrario

pira y, por l flujo del

troimán aldad de

x0 + ut.

5 m/s = = 0, (b)

01 V.

or de un sen ωt.

lgo, sin = 3000

gura 30-3. omo A se

284

30.5.

30.6.

30.7.

Supóngasecircular ríotras condel campo (a) Establ

en ( 1 )

(b) Dado

dado q

Pa

plemereloj e

Hágase unRecuérd

N, es única

El cuadradforma un supóngaseciones de no se incluciendo condonde 0 <

e que en el pgida, de radiiciones permeléctrico ind

leciendo que

) del problem

que la espira

que, por sime

ra ciertos valoente que, en esen torno a la e

n análisis dimdese que ω = |amente un nú

do sombreadcampo magn

e que B = 0 muna espira r

uye en la figuntacto con loℓ0< ℓ1. Al m

LEY DE FA

problema 30o r, cuyo cenanecen iguale

ducido Ei en

ma 30.4, se obt

a es estaciona

etría, Ei es con

ores de t, Ei asos momentosespira (véase l

mensional de s-1|, siendo el

úmero. Por lo

do en la figurnético, B = Bmás allá de lrectangular ura. La barraos alambres a

mismo tiempo

ARADAY DE

.4 la espira dntro se encuees. Encuéntrecualquier pu

tiene

aria, u = 0 en

nstante en ma

así como está , Ei (al igual qla figura 30-3)

unidades de radián una unitanto (sección

ra 30-4 repreB0 sen ωt, uni

as orillas. Loy están unid

a de metal adab y dc, y se, el marco se

E LA FEM

deformable sntra sobre el

ense (a) la femunto de la es

cada punto d

agnitud y tang

dada por ( 1 )que u¡) tiene la).

(2) del probidad adimension 29.1),

esenta una caiforme y noros alambres

dos a un mard puede deslize mueve de te mueve con

se reemplaza eje del solen

m vi inducida spira.

de ella, y (30

gente al círcul

es negativo. a dirección de

lema 30.5. onal. Entonces

ara de un grarmal a las caab, bc, y cd

rco rígido nozarse (paralelal manera quvelocidad co

[CAPITULO

a por una espnoide. Todasen la espira;

0.2) se hace

lo. Entonces

Ello significa las manecilla

s, cos ωt, junto

an imán. El iaras de los po

representan o conductor,lamente a bcue ℓ2 = ℓ1 senonstante u, co

O 30

pira las (b)

(1)

sim-as del

o con

imán olos; porque ) ha-n αt, omo

CA

30

APITULO 30

se indiabcda.por la

(a) El

en

(b) Cu

DapocomaSi

fu

0.8. Un alade un entre l

Métod

En los punsentidotodas p

donde en tantode voltsiguien

0]

ca, (a) Derív (b) ¿En qué orilla del po

flujo instantá

n donde B0, ω,

uando x = 0, e

ado que u y ℓ or su fase ωτ.onforme el maanecillas del r B(τ) < 0, la

Las mismaserza sobre el a

mbre recto dcampo magnos extremos

o 1.

un intervalo dntos fijos c y do contrario a lpartes, se tien

la segunda igo que u = U a ltaje entre a ynte manera:

LEY DE

ese una expredirección flu

olo?

áneo que atrav

ℓ1, ℓ0, α, x0 y

esto es, cuand

son positivos. Entonces, siarco abandonareloj en torno dcorriente fluy

s conclusionalambre de ab

de longitud Lnético unifordel alambre.

de tiempo el ad son las posiclas manecillasne que:

ualdad se dero largo de ab.

y b. Dado que

E FARADAY

esión para la uye la corrien

viesa la espira

u son constan

do t = τ = x0\u

s, el signo de i B(τ) > 0 (esa el campo), lde la espira, pye de a a d.

nes se sacan ab.

L se mueve corme B (Fig.

alambre recorciones iniciales del reloj alre

riva del hechoEntonces, la fee U, y B, son

Y DE LA FEM

fem instantánte en la barra

a es

ntes. Por lo tan

u, se tiene qu

vi (τ) será tal sto es, si B sla fem tiene dproporcionand

a partir de la

on velocidad30-5). Encu

rre el interior es de los extreededor del co

o de que u = 0 em inducida con constantes,

M

nea, vi, que sa en el momen

nto,

ue, a partir de

que B(τ), el cale de la pág

dirección contrdo una corrient

ley de Lenz,

d constante Uuéntrese la d

de un paralelemos b y a. Si

ontorno y si se

a lo largo de

ompleta aparecse puede eva

se induce en lnto en el que

(a):

cual está detegina en la figuraria al sentidte de d a a en

cuando se ca

U (sin girar) diferencia de

ogramo abcdai se aplica (30e asume que E

los lados bc, ce como una dialuar la integr

285

la espira ab pasa

rminado ura 30-4

do de las la barra.

alcula la

a través voltaje

a, donde 0.2) en el Ei = 0 en

cd, y da, iferencia ral de la

286

30.9

Aquí, L ePara las dique el extalambre fbajo a unvoltaje ba

Método

En la

Entonces,instantáne

La ley

La fór

Obsérvese

9. En la figlargo y duna corri

La línea dla fem indalambre, todos los

(a) Fuerala secEnton

L

s la longitud irecciones de Utremo a se encfluye de b a a voltaje alto.

ajo. Entonces,

2.

figura 30-5 s

, el área dirigeo a través del y de Faraday a

rmula (2) es e que este mé

ura 30-6 los e núcleo de aente alterna

de trazos indiducida v, en e(c) Si se quit

s puntos del

a del selenoidección transversnces

LEY DE FAR

vectorial del U, B y L que scuentra a un va (compruébes En el circuit el alambre en

ea W el vect

gida del paralparalelogramoahora da (recu

equivalente atodo no requi

anillos circuaire, con radi

ica un alambrel alambre, y tara el alambcírculo punt

e B = 0, por lo sal del solenoi

RADAY DE

alambre: dse indican en lvoltaje mayor se por medio to externo flun movimiento

or de d a a, d

lelogramo se o es Φ = B Auérdese que B

a la fórmula ere hacer sup

ulares indicaio R = 0.1 m

re circular co(b) el campo re circular ¿Eeado?

que el flujo qude: Φs = BA =

LA FUERZA

desde a hasta la figura 30-5,que el extremde la ley Len

uiría, como eso equivale a u

de tal manera

puede escribi

A = B (W x L)B y L son con

( 1 ) anterioosiciones acer

an una secció. Tiene n' = 2

ncéntrica de eléctrico ind

Ei podría perm

ue atraviesa el = (µ0n'I) (πR2)

A

b. , vba es negativ

mo b. La corrienz); esto es, fs usual, de unna batería con

a que

ir como A = ).

nstantes)

or (véase el rca de Ei.

ón transversa2000 vueltas

radio r = 0.12ducido Ei en cumanecer sin

alambre es el = πR2µ0n'I0 se

[CAPITUL

vo, lo cual signente inducida fluye de un von voltaje alton fem vba.

W x L, y el

problema 30-

al de un solenpor metro y

2 m. Calcúlesualquier puntcambio algun

flujo que atraven ωt.

LO 30

nifica en el

oltaje o a un

flujo

(2)

-16).

noide lleva

se (a) to del no en

viesa

CAPITULO

3

( b ) C

Ad

(c) S

30.10. FueramuesB, paejemu =

Atrayecmovi

donde

El Por lB = B Simil

30]

Este result30.5(a).

Como en el pr

Aquí el signo dirección opu

Sí.

a del solenoidstra en la figuaralelo a X. Lplo) tiene un

u2k. Obténg

plíquese la lectoria es el qmiento no tien

e Φs es el fluj

segmento reco tanto, se p

Bxi , y L = x1 i

armente,

LEY D

tado también

roblema 30.5

menos implicuesta a la que

de del problemura 30-7. A trLa fuente extena velocidad gase una exp

ey de Faradayque atraviesa ne component

jo del solenoi

to OP se muevpuede calcula+ y1 j .

DE FARADA

se podría ob

(b)

ca que cuandose indica en l

ma 30.9 exisravés de todaerna que formuniforme u eresión para l

a la trayectorla región so

te Z). Por lo t

de que se calc

ve, en efecto, aar vP O a part

AY DE LA FE

tener haciend

o I es positiva a figura 30-6

te un alambra la región exma este campen la direccióla fem en el

ria OPQO. Elmbreada y es

tanto,

culó en el pr

a través del catir de ( 1 ) de

EM

do que N= 1

y se incremen

.

re PQ fijo enxiste un campo (un electro

ón negativa dalambre.

l único flujo qs debido al s

roblema 30.9(

ampo uniformeel problema

y r = R en e

nta, Ei se encu

n el plano XYpo magnéticooimán muy grde Z. Esto es,

que pasa a travsolenoide (el

(a), y

e B con veloci30.8 , con U

287

l problema

uentra en la

Y, como se uniforme

rande, por B = Bxi y

vés de esta campo en

(1)

idad + u2k. = + u2k ,

288

30.11.

30.12.

30.13.

Entonces, a

donde dΦ2/

Un solenoidresistencia ttorno del soR2. Poco tieestacionarioen C2 y la caC2 y hágasrelaciónese Respuesta:

Refiérase alinducido enversal, (b)resultado de

Respuesta:

Una espira constante θ forma por mel tiempo detiempo, sabrev/min y ωRespuesta:

a partir de ( 1

/dt se evaluó

Pde largo y detotal R1 y un rlenoide, se coempo despuéso I1 = v/R1. Sinarga fluye a trse un análisi la magnitud

l problema 30n cualquier pu Para los date (a).

rectangular (Fen un campo

medio de un elee acuerdo con Bbiéndose que θω = 300 rad/s,

LEY DE FA

) , (2) y

en el problem

roblemas núcleo de airadio r. Otra bonecta a un ress de que se cin embargo, mravés de ese cis dimensionade Q con el v

0.9 y a la figuunto de un círtos del proble

Fig. 30.9) tieno magnético coectroimán queBz = B0 sen ωtθ = 0 en t = 0 evalúese vi e

ARADAY DE

( 3 ) ,

ma 30.9(a).

s complemire, C1 en la fbobina, C2, desistor; supóngierra el interr

mientras que lacircuito. Encual del resvalor final de

ura 30.6. (a) Erculo de radio

ema 30.9, junt

ne N vueltas, omo el que see no se muestrt. (a) Obténg0. (b) Para Nn t = (π/600)

E LA FEM

mentariosfigura 30-8, te N vueltas de ase que la resi

ruptor S, la coa corriente se féntrese la carsultado que Φ)

Encuéntrese lao r (r<R), coo con r = 0.08

área ℓ1ℓ2, y re advierte en ra) es uniformgase el voltaje= 100, B0 = 0s.

s

tiene n' vuelta alambre aislaistencia total dorriente en Cforma en C1, sga total Q quese obtenga.

a magnitud dencéntrico a u

8 m y 300í = 0

rota con una vla figura. Estme en el espac

e inducido com0.2 T, ℓ1ℓ2 = 0

[CAPITULO

as por metro,ado y enredaddel circuito C1 alcanza el vse induce unae fluye a travé. (Sugeren

el campo eléctuna sección tr0.8π, evalúese

velocidad ange campo (qucio, pero varía

mo una función0.04 m2, θ = 1

O 30

una do en

2 sea valor fem és de ncia:

trico rans-e el

gular ue se a con n del 1800

C

3

3

3

CAPÍTULO 3

30.14. EL proun Mque B

Respu

30.15. En la largo alterny2)1/2 uyj, co

30.16. Realiz

para l

30]

oblema 30.13 AS angular, θ

Bz = 0.2 T ℓ1ℓ2

uesta:

figura 30-10 y de cubierta

na I = I0 sen ω< R del centroomo se indica

zando los cálc

los vectores a

LEY D

se cambia de θ = θ0 sen βt.2 = 0.04 m2, N

se indica cona de aire que tití. (a) Encuéno. (b) Una ca en la figura 3

culos en términ

arbitrarios B, L

DE FARADA

la siguiente m (a) Determín

N = 100, θ0 =

n el anillo graiene n' vueltantrese Ei, el cacarga puntual 30-10. Encuén

nos de compon(UxB) · L

L, U.

Y DE LA FE

manera: Bz es cnese vi y (b) e

= (π/4) rad y q

ande una seccs por unidad d

ampo eléctricoq se mueve en

ntrese la fuerz

nentes rectangL = B · (LxU)

EM

constante y elevalúese en t

que β = 200 ra

ción transversde longitud y o inducido, an el plano XY za sobre la car

gulares, demué)

l rectángulo lle= (π/600) S s

ad/s.

al de un solenque porta una

a una distancicon velocidad

rga.

éstrese que

289

eva a cabo sabiéndose

noide muy a corriente a r = (x2 + d u = uxi +

3

snΦ

ac

L

31.1 AUTO

En la figucomo se indiflujo total es vuelta.

Si Φ camb

se induce en negativo, o sΦ (increment

Suponiendalrededores, cional a Z:

El factor La unidad de

Diferenci

OINDUCTAN

ura 31-1 la cica en la figuNΦ, donde N

bia (como su

la bobina. Pea, en la direto de R), vi edo que C se eel flujo form

de proporcioel SI para la iando (31.1)

NCIA DE UN

corriente I foura. Cada líneN es el númer

ucedería al de

Para un increección opueses positiva, esencuentra en

mado y, por lo

onalidad L seinductancia, con respecto

InductaNA BOBINA

orma un camea de flujo atro total de vu

eslizar el con

emento de Φsta a la de I (vsto es, en la el espacio v

o tanto, el flu

e denomina ael henry, se

o al tiempo, s

ancia

A

mpo magnéticta (o "eslabo

ueltas y Φ es e

ntacto sobre R

(decrementovéase la seccdirección de

vacío y que nujo de eslabo

autoinductandefinió en (

se obtiene pa

Ca

co dentro y na") alguna oel flujo prom

R), una fuerz

o de R), dΦ/ción 30.2). PI.

no existe mateonamiento es

ncia o (simpl(29.2). ara la fem (in

apítulo

fuera de la bo todas las vuedio que esla

a electromotr

/dt es positivara un decrem

erial magnéti directament

lemente indu

nversa) en el

o 31

bobina C, ueltas. El

abona una

riz

vo y vi es mento de

ico en los e propor-

uctancia).

inductor

292

Supdesde uducir l

Esta cductor

31.2

En bobinaque padirecta

donde encuen

Entoncia, se

póngase que, un valor inicla carga a tra

antidad de enr; es decir, en

INDUCTAN

la figura 31-a C2. El flujo tarten de C1 y amente propo

el factor dntran fijas. Ig

nces, las dos be mide en he

al cerrarse elial cero a un

avés de C, co

nergía en rean el espacio e

NCIA MUTU

-2 parte del ftotal que eslabque eslabonaorcional a I1,

de proporciongualmente, in

bobinas tieneenries.

IND

l interruptor Svalor final I.

ontra la fem i

alidad se almencerrado por

UA DE DOS B

flujo formadobona C1 con Can cada una d,

nalidad, M12ntercambian

en una sola i

DUCTANCIA

S en la figura. Entonces el inducida es

macena en el r las vueltas

BOBINAS

o por I1 en la C2 es N2Φ12, dde las N2 vue

2, es constando los papel

nductancia m

A

a 31-1, la cortrabajo realiz

campo magnde C (véase e

bobina C1 esdonde Φ12 es eeltas. Dado q

nte, suponiénes de C1 y C

mutua, M; al

rriente en el czado (por la b

nético final eel problema 3

slabona algunel número pro

que el flujo fo

ndose que l2,

igual que la

[CAPITULO

circuito se elebatería), al co

en torno del i31.3).

nas vueltas deomedio de línormado en C1

las bobinas

autoinductan

O 31

eva on-

in-

e la neas

1 es

se

n-

C

ucE

Ed

Ecapdpnp

Afin

d

3

CAPITULO 3

Si las dos cuna parte debiambio de la c

Explícitamente

En la primerade las corrient

EJEMPLO 31onvención deuto-inductancositiva o neg

dirección de lroducir un inc

negativa v12 enpositiva en la r

Ahora supóngaigura 31-3. Elegativa.

Para la enede (31.7) se o

31.1. (a) Ena una decrecdireccbobina

1]

corrientes I1 ido al cambiocorriente en le,

ecuación (31tes varía, exis

1.1. Al aplicae que la direcia L siempre egativa. Considas corrientes cremento del n C2 (esto es, relación

ase que el circl voltaje v12 es

ergía almaceobtiene que:

n cierta bobincorriente de

cer I a una rción? (c) Para?

e I2 cambian o de su propia otra bobina

1.7), M reempstirá únicame

ar (31.7), se dección de I pes positiva. Pedérese, por ej

positivas. Uflujo (de izquv12 se opondr

cuito C2 se gistará ahora en

nada en la un

Prona se forma ue 10 A. Deterazón de 100ra una corrien

INDUCTA

con el tiempa corriente, c

a, como está d

plaza a M21; ente un términ

debe tener cuipositiva es laero conforme emplo, el esqn incremento

uierda a derechrá en direcció

ira un ángulo n la misma dir

nión de los c

oblemas run flujo de esermínese la i0 A/s. ¿Cuálnte de 15 A,

ANCIA

po, la fem indcomo está daddado por la le

en la segundno en la dere

idado con el a dirección de

a la geometríquema de la fo de I1 podríaha) a través d

ón a I2). Por lo

de 180° en toección de I2 y

ampos magn

resueltosslabonamieninductancia dl es el voltaj, ¿qué cantid

ducida en caddo por (31.2)ey de Faraday

da, a M12. Por cha de cada e

signo de las ie la fem posa, la inductanfigura 31-3, ea por la reglae C2 y, por lo o tanto, M12 =

orno de un ejey, por lo tanto

néticos de las

nto de 3.5 "wde la bobinaje de autoinddad de energ

da bobina sur), y por otra dy y por (31.4)

supuesto, si ecuación (31.

inductancias. sitiva autoindncia mutua M pen el cual se a de la mano tanto, inducir

= M debe con

e normal al pla, M se debe c

dos bobinas

eber-vueltasa, (b) En (a),ducción y cu

gía se almace

293

girá, por debido al o (31.5).

sólo una

.7.)

Según la ducida, la puede ser indica la derecha,

r una fem nsiderarse

ano de la onsiderar

, a partir

" debido , se hace uál es su ena en la

294

31.2.

31.3.

31.4.

(a) Como d

(b)

(c) (a) En cieincrementa¿cuál es el

(a) Por (

(b)

Un solenoalambre qusolenoide formar la cV, en el cu

Utilícese enúcleo del(a) El fluj

existen

y, a pa (b) Al apl

La bobina transversalaislado. Summ. Calcú

Las líneun círculo

Entonces, Bcon respec

en la secció

dato del prob

vi

rta bobina ea a una razónl valor de vi?

(31.2), 30 = L

ide extremadue porta una y a partir de

corriente I (b)ual existe un

esta integral pl solenoide ejo por vuelta n n' vueltas en

artir de (31.

icarse (31.9

toroidal de nl circular y u radio promeúlese de man

eas de flujo sonde radio r se

B varía como cto a ρ (com

ón transversal

IN

blema se sabe

= -(0.35)(-1

l flujo cambn de 60 A/s; c?

L (60), o L =

vi = LI = -(0

damente largcorriente I. (

e esto determ) Según la teo

n campo mag

para mostrar es exactamenes Φ = BA =n 1 m de long

.3),

9) a 1 m del

núcleo de aireestá uniformedio es R = 1era aproxima

n círculos conobtiene

1/r en la seccmo lo es por lo

l, por lo que B = µ0n'I

DUCTANCIA

e NΦ = 3.5 W

00)= +35 V,

bia a una razcalcúlese L y

0.5 H, y vi =

0.5)(-100) = 50

go y de núcle(a) Calcúles

mínese E ', eloría de Maxwnético, está d

que la energnte E '.

= µon'IA, dondgitud. Por lo t

núcleo, se tie

e y que se mumemente enre100 mm y el ada la autoin

ncéntricos. Al a

ción transversos valores dad

I = constante

A

Wb en (31.

, en la direc

ón de NΦ = v i . (b) Si en

-NΦ = -30 V

0 V, en la dire

eo de aire tiese la autoindl trabajo por

well, la energíadada por

ía magnética

de A es el áretatito, utilizan

ene que por s

uestra en la fiedada con Nradio de la s

nductancia de

aplicarse la ley

al de la bobindos), se pued

(n' = N/2

1). Por lo tan

cción de la c

30 Wb/s, enlugar de esto

V y en direcci

ección de I

ene n' vueltaductancia por

metro que sa almacenada

a almacenada

ea de la seccindo (31.1),

er B constant

gura 31-4, ti

N = 500 vuelección transve la bobina.

y circuital de A

na. Sin embargde escribir

2πR)

[CAPITULO

nto,

corriente

n tanto que Io, 1 = 100 A

ión opuesta a

as por metro metro, L',

se requiere pa en un volum

(31

a por metro en

ión transversa

te,

ene una seccltas de alamversal es ρ =

Ampere en tor

go, si R es gra

O 31

I se A/s,

a I.

de del ara

men

1.9)

n el

al y

ión bre 20

rno a

ande

C

31

31

31

APITULO 31

Para es

Por

1.5. Supóngtiene uexactam

Al amente,

1.6. (a) Con(véase de 10 A200 A/

(a) A

(b) A ptos

(c)

1.7. Supóng120 mHenergía

Uti

1]

ta aproximaci

los datos num

gase que el tuna permeabimente). Calc

aumentar la pela inductanci

n una corrienel problema

A en C2 ¿cuá/s, ¿cuál es la

partir de (31

partir de (31.s son iguales.

gase que las bH, y una indua total de la i

ilizando (31.8)

ión, el flujo to

méricos, L = 0

toroide del plidad µ= 100úlese L y la e

ermeabilidad pia por el mism

nte de 10 A ea 31.1) en C2ál es el eslaboa fuerza elect

.4),

5), N1Φ21 = (

bobinas C1 y Cuctancia mutnductancia.

8),

INDUCTAN

otal de eslabo

0.6283 mH,

roblema, 310µ0 (la cual senergía alma

por un factor dmo factor. Ent

en C1 (Fig. 32. ¿Cuál es laonamiento entromotriz v2 q

0.05) (10) = 0

C2 (Fig. 31-2tua M = 50 m

NCIA

onamiento es

.4 tiene un nse supone co

acenada para

de 100, se inctonces, L = 62

31-2) existe ua inductancian C1? (c) Si Ique' se induc

0.5 Wb. Esto

) tienen autoimH. Para I t =

núcleo de hieonstante, cosa

I = 15 A.

crementa el ca2.83 mH y

un flujo de 0a mutua? (b)I1 se incremece en C2?

es, para I1 =

inductancias L= 20 A e I2 =

erro y que ela que nunca

ampo y, consec

.5 "weber-vu Con una cor

enta a una raz

I2, los eslabo

L1 = 200 mH 15 A, calcúl

295

hierro sucede

cuente-

ueltas" rriente zón de

namien-

yL2 = lese la

296

31.8

31.9.

31.10

31.11

31.12

31.13

31.14

31.15

. En la figuconstante40 mH, constante120 A/s yA/s e I2 s

Utilíce

. En el circfem induinductanc

0. La bobinflujo promalmacena

1. En la figu

Para L =

2. En el probRespuestade la bobi

3. Refiéraseenergía mmanera qunada? Res

4. Dos bobintancia muautoinduc

5. En la figudad de lon(a) ExpréN2 = 500,

ura 31-3 se pes en forma iM = +15 m

e. Calcúlese y se deja consse decrement

ese (31.7),

Pcuito de la figcida de +8

cia? Respuesta

a de la figuramedio-de eslab. Respuestas:

ura 31-1 la ba

60 mH, deter

blema 31.11 ea: va = I0(R2 + ina. (Pruébes

e al problema magnética total

ue la magnituspuestas: (a) 2

nas, como las utua M. Si se cctancia de dich

ura 31-5 la bobngitud. La bo

ésese la induc, r = 20 mm. R

IN

puede observndependient

mH. (a) Se inel voltaje indstante a I2. Cata a una razó

Problemagura 31-1 se aV. (a) Encas: (a) 125 m

a 31-1 tiene 1bonamiento en(a) 12.5 mW

atería se reem

rmínese el vo

encuéntrese unL2ω2)1/2 sen (

se que R y ωL

31.8 y a la fil almacenada,

ud de M perma25.75 J; (b) 1

que aparecen conectan en seha bobina? Re

bina C1 es un bina C2 consitancia mutua Respuestas:

INDUCTANC

var que I1 e I2e al variar lasncrementa Iducido en cadalcúlense v1 y

ón de 200 A/s

as compleaminora I a ucuéntrese L. mH; (b) 9 J

100 vueltas Ln cada vuelta, Wb; (fe) 14.0

mplaza por un

ltaje inducido

na expresión pωt + б), donde

L son dimensio

igura 31-3. (a (b) Si se inv

anece igual, ¿4.5 J

en la figura 3erie, se hacen espuesta: L1 +

largo solenoiiste de N2 vuede las dos bo(a) M = µo n'

CIA

2 pueden aums resistencias

I1 a una razóda bobina, (by v2. (c) Se ins. Calcúlense

ementariona tasa de 64 (b) Si I =

= 125 mH. ( (b) Para I = 1

06 J

n alternador q

o. Respuesta:

para el voltajee tan б = wL/Ronalmente igu

a) Para I1 = 25vierte la direcc¿cuál es el nue

31-2, tienen auequivalentes a

+ 2M + L2.

ide, de radio reltas, aproximobinas, (b) E'1 N2πr2; (b) 2

mentar, dismis R1 y R2. Seaón de 120 Ab) Se aminorncrementa I1 ae v1 y v2.

os

A/s, con lo c12 A, ¿cuál

(a) Para I = 115 A, encuéntr

que suministr

vi = -600 cos

e terminal delR y donde R incuales.)

5 A e I2 = 15 ción de C2 perevo valor de l

utoinductanciaa una sola bob

r y que tiene nmadamente la mEvalúese M, d2.369 mH

[CAPITUL

inuir o permaa L1 = 50 mH

A/s e I2 perma I1 a una raza una razón d

cual se produes la energía

0 A, encuéntrese la energía

a una corrien

s 400t (V)

alternador.cluye a la resis

A, encuéntrero se la sitúa dla energía alm

as L1 y L2 e inbina. ¿Cuál se

n'1 vueltas pormitad de las ddados n'1 = 3 m

LO 31

anecer H, L2 = manece zón de de 120

ce una a de la

rese el a que se

nte

stencia

ese la de tal

mace-

nduc- ría la

r uni- de C1 mm-1

CA

31

APITULO 31]

.16. Se estabde 10 mHde inducinconsis

]

blece que dos bH. ¿Son congr

cción es siemprtentes.

bobinas tenganruentes entre sre positiva.] Re

INDUCTAN

n autoinductaní estos valores

espuesta: Nece

CIA

ncias de 5 mHs? [Sugerenciasariamente, L1L

H y 18 mH, y ua: (31.9) impliL2 > M2; los va

una inductanciaica que la eneralores estableci

297

a mutua rgía total idos son

32.

cansiepor

Am dodelind AundipmoM meob

32.

pu Laµ0,un

pr

Ca1 LOS TR

Los fenómentidad vectorendo el vector la definición

H, denominampére en la f

nde I denota l medio. En dependiente dA M se le deidad de volum

polares magnéovimientos or= 0. Por lo ta

edio. Los valservan las sig

2 SUSCEPT

Para un meuede escribirs

a cantidad adi tiene unidad

n número, se

A los mater

Materiales

Materiales proporcional a

ampos mRES VECTO

enos magnéticrial, la induccr de campo qn (28.1). Sin

ado intensidaforma

la corriente vel vacío, H ede las propieenomina magmen, y es justaéticos (problerbitales de loanto, M (o µ0Mlores de M sguientes equi

TIBILIDAD

dio isotrópicse así

imensional χdes H/m y es le denomina

riales se los c

diamagnétic

paramagnética la temperat

magnétORES MAG

cos en el espción magnétique se tiene eembargo, aqu

ad magnética

verdadera enes simplemendades microsgnetización, pamente lo quma 28.12), de

os electrones M) es la porcse pueden daivalencias:

MAGNÉTIC

co en el cual

χm se denomila permeabili

a permeabilid

clasifica de a

os, en los cu

cos, en los ctura absoluta

icos enGNÉTICOS

pacio vacío pica B (capítuen cuenta paruí se introduc

a, se define p

n el medio; esnte B/µ0. Entscópicas del polarización e su tercera debidos al espínpor unidad dión de B que

ar en A/m o

i

CA; PERME

l B, H y M s

ina susceptibidad del matedad relativa.

acuerdo con s

uales χm es

cuales χm esa.

medios

pueden ser deulos 28 a 31)ra la fuerza .cen dos nuev

por medio de

sto es, el flujotonces, H (o medio. La unmagnética o

denominaciónn (giro) del eldé volumen ddepende de l(véase el pr

EABILIDAD

se encuentran

bilidad magnerial. A la raz

susceptibilid

una constan

muy pequeñ

Cap

s mater

escritos en té. En un medsobre una ca

vos vectores, H

la ley de Bio

o macroscópµ0H) es la p

nidad SI de Hmomento dip

n significa: sulectrón, el espdel material. las propiedaderoblema 32.5

D

n en la mism

ética del medzón µrel ≡ µ/µ0

dades de la si

nte negativa m

ña y positiva

pítulo

riales

érminos de udio material, Barga en moviH y M tales q

ot-Savart o la

ico de carga porción de B,H es el A/m. polar magnétuma dé los mopín del núcleo

En el espacies microscóp) en J/T m

ma dirección

dio; y µ, al ig0, que únicam

guiente man

muy pequeña

a, y es inver

32

una sola B sigue miento, que

(32.1) a ley de

a través , que es tico por omentos

o, y a los o vacío, icas del

m3. Y se

, (32.1)

gual que mente es

era:

a.

samente

300

Maún,

323

Cpueddondflujo dondsole

donddel nmismCom

se pbargmuyanteecua

32.4

L

Para

[com

32.1

Materiales ferχm depende

CIRCUIT

Considérese udan considerde ℓ es la lono en el núcle

de A es el árnoide y el fl

de se denominúcleo. Se acmo que A; la

mo (32.4) tien

uede considego, en el casoy importante: emano, R =ación no line

4 DENSID

La expresión

a un medio e

mpárese con (

1. Una bobiun área dflujo tota

Ya se versal, y d

CAMPOS

rromagnético de manera co

OS MAGNÉ

un solenoide ar uniformes

ngitud mediaeo está dado

rea de la secujo en el núc

ina a NI fuerzostumbra esp

a reluctancia ne la forma d

erar el núcleoo de las sust en tanto qu

= ℓ/µA depenal en H y se

AD DE ENE

n general par

en el cual B

(31.9)].

ina toroidal tde sección traal Φ y ε. Supvio (problemde magnitud

MAGNÉTIC

os, en los queomplicada de

ÉTICOS

toroidal de s en una secca de circunfer

por

cción transvecleo es

rza magnetompecificar a la se mide en r

de la ley Ohm

o como el eqtancias ferroue R = ℓ/σAnde, debido adebe resolve

ERGÍA

a la energía

y H son para

Probliene N = 120ansversal, A óngase un nú

ma 31.4) que

COS EN MED

e χm es posie H; por ello M

núcleo de hición transverrencia del nú

ersal. Por lo

motriz (fmm)fmm en "ampecíprocos de

m, con

quivalente de magnéticas, (sección 26.2a µ, de la fmer por iteració

por unidad d

alelos, lo ant

lemas res00 vueltas; un= 60 cm2; y uúcleo vacío.B es aproxim

DIOS MATER

tiva y puede M no es propo

ierro y de dimrsal. La ley dúcleo, y N es

tanto, la rel

) y se define pere-vueltas"

el henry (H-1)

un circuito ela analogía

2) es indepenmm. En conón o gráficam

de volumen e

terior se tran

sueltos

na longitud puna corriente

madamente uni

RIALES

ser mucho morcional a H e

mensiones tade Ampére pel número to

lación entre

a ℓµ/A como", las cuales s).

eléctrico de rno se cumpl

ndiente de la fsecuencia, (3mente.

en un campo

nsforma en

promedio de e I = 1.5 A. C

iforme en cual

[CAPITUL

mayor que 1.en estos mater

ales que B y para H da Hℓotal de vuelta

la corriente

o la reluctancson por supue

resistores. Sile, por un aspfem y se cono32.4) se hac

o magnético

núcleo, ℓ= 8Calcúlense B

lquier sección

LO 32

. Más riales.

H se ℓ= NI as. El

en el

(32.4)

cia R esto lo

in em-pecto: oce de ce una

es

(32.5)

(32.6)

80 cm , H el

trans-

CA

32

32

32

APITULO 32

Entonce

2.2. Repítas

H, qA/m. La

compara

Se pvalores típico, ppoco de

2.3. La densbobina ddensidad

(b) y qu (a) (b) Pa

en

2.4. El anilNI = 1H, M (slos dipo Por el pes

lo cual enúcleo d

ampere-

2] CAM

es,

se el problem

que depende úa permeabilida

ada con µ0 = 1

puede observarde B, Φ y ε m

por ejemplo, ele los valores en

sidad de flujo de la misma lod de flujo es B

ue la presencia

ra N2I2 = N1Iel núcleo d

lo en el prob2000 ampere

suponiendo qolos magnéti

problema 32.3(

es más de 100 de aire se requ

-vueltas.

MPOS MAGN

ma 32.1 para u

únicamente dad del Bi es

.256637 x 10-

r que la presenmenor que la del alumbre de an el espacio lib

en una bobinaongitud y enre

B2 para una fmm

a del material

I1 la parte (ade aire corre

blema 32.3 ses-vueltas y

que es constanicos del hierr

(b), el número

veces la fmm uieren

1

NÉTICOS EN

un núcleo de b

e I es igual q

6 H/m para el e

ncia de materie los valores e

amonio de hierbre.

a toroidal de núdada sobre unm de N2I2 Mué

magnético in

) da B2 = (1 esponde a un

se construyeun radio me

nte), χm, y la cro.

de ampere-vu

de la corriente

2000+ 1.338 x

N MEDIOS M

bismuto (χm =

que en el núc

espacio vacío.

iales diamagnéen el espacio lirro (χm = 7 X 10

úcleo de aire e anillo toroida

éstrese que (a)

ncrementa la f

+ χm)B1 = Bna fmm extr

en gran meedio de R = contribución

ueltas que los d

e de la bobina.

106 = 1.35.x 106

MATERIALE

= 2 X 10-6).

cleo vacío; po

Por lo tanto,

éticos conllevabre. Para un m0-4), los valore

es B1 para unaal de sus ceptib

fmm de la bob

B1 + χm B1. Era de

dida con hie150 mm, B =equivalente d

dipolos magné

Esto es, para f

6

ES

or lo tanto, H

a una reducciómaterial para-mes pueden exce

a fmm de N1I1bilidad constan

bina en χm N1I

El campo χm B

erro, en el cu= 1.8 T. Calde ampere-vu

éticos del hierr

formar B = 1.8

301

H = 2250

ón de los magnético ederse un

1. En una nte χm, la

I1.

B1 extra

ual, con cúlense

ueltas de

o aportan

8 T en un

302

32.5.

32.6.

32.7.

32.8.

C

(a) Muéstrdelo de Boestá cuantPlanck. Cmico (a es(a) La ec

J y B esu con

(b) El momen su

Entonces,

El númeroniendo qupara NI = dipolos est

Toman

Muéstresecomo

A part

De otro m

ObsérvNo existe

Los datos de sección

CAMPOS MA

rese que los mohr el átomo tizado en unialcúlese, en

sta cantidad scuación (28.1es en T. A escntribución a lmento dipolaru órbita circu

el magnetón d

o de átomos e cada uno t3000 ampere

tán alineados ndo el valor d

e que la energ

ir de (31.1)

odo, suponien

vese que (32.una pérdida d

con respectotransversal A

AGNÉTICOS

momentos dipde hidrógeno

idades de h/2J/T, la magn

se la conoce c15), Uθ = Π-cala atómica oa energía del

r, Π, es directaular; en efe

de Bohr está d

por metro cúiene un mome-vueltas en con H, calcúlel magnetón d

gía almacena

y (32.4),

ndo una densi

7) no es el ande energía aso

o al circuito A1 = 1200 mm

S EN MEDIO

polares magno (capítulo 402π, donde hnitud más peqcomo magnet-B, proporcioo subatómica,

átomo. amente proporecto,

dado por

úbico de hiermento dipolarel anillo del lense M, χm, µde Bohr que s

ada en un cir

idad constante

nálogo de P =ociada con la

magnético qm2, A2 = 800

OS MATERIA

néticos se pue0), el momenh = 6.626 x 1queña permittón de Bohr).

ona la unidad los momentos

rcional al mom

rro es aproxir magnético problema 32µ, B. se obtuvo en

rcuito magné

e de energía co

= PR para unreluctancia e

que se muestmm2; longitu

ALES

eden dar en Jnto angular or10-34 J s etida del mom

J/T para Π, ds dipolares se

mento angular

imadamente de un magne.4 y que la c

el problema 3

ético lineal se

omo la dada p

n circuito elécen un circuito

tra en la figuudes ℓ1 = 210

[CAPITUL

J/T. (b) En elrbital del ele

es la constanmento dipolar

dado que Uθ eaprecian deb

r, mvr, del elec

8.5 x 1028. Setón de Bohrcuarta parte d

32.5, se tiene

e puede escr

(32

por (32.6),

ctrico de resimagnético lin

ura 32-1 son:0 mm, ℓ2= 43

LO 32

l mo-ctrón te de r ató-

es en ido a

ctrón

Supo-, que

de los

que:

ibir

2.7)

stores. neal.

: áreas 0 mm,

CCAPITULO 3

y lonhierroI = 2atrav

(a)

(b) Le

dOc

32] C

ngitud de la co (µrel)1 = 20

2.5 A. Calcúleviesa al circu

Las reluctancen serie o en p

donde se supuObsérvese quecompleta de hi

AMPOS MA

capa.de aire 00, para el reense (a) la fm

uito, (d) la de

ias en serie oparalelo. Por

uso que la cape la reluctancierro.

AGNÉTICOS

ℓa= 2 mm; esto del hiermm, (b) la reensidad de fl

fmm = NI

en paralelo slo tanto,

pa de aire tieia de la capa

EN MEDIOS

permeabilidrro (µrel)2 = 3eluctancia totaujo en cada

I= 2500 ampere

se combinan i

ene un área efde aire es ap

S MATERIAL

dad relativa d300; el total al del circuitoparte.

e-vueltas

igual que las r

fectiva de A2proximadamen

LES

de la parte inde vueltas N

o, (c) el flujo

resistencias e

(sin zonas m

nte igual a la

303

nferior de N = 1000; o total que

léctricas

marginales). trayectoria

304

32.9.

32.10.

32.11.

32.12.

C

Verifíquese l

que se realiz

Verifíquense

Un anillo depromedio R mWb. Suponsucede a metensidad del constante); unidad de vorequiere paraanillo; (i) almacenada.

Con respectola capa de aiRespuesta:

CAMPOS MA

Prla conversión

zó en el proble

e las siguientes

e hierro tiene = 16 cm. Ex

niendo que M enudo), determcampo magné(d) la suscept

olumen; (f) laa producir la m

la energía po

o al problema ire?

AGNÉTICOS

roblemas de unidades

ema 32.5 (b).

s equivalencia

1200 vueltasxperimentalmes directamenmínense (a) lético en el hietibilidad magn permeabilida

misma densidaor unidad de

32.8, ¿qué po

S EN MEDIO

complem

as para las uni

s, un área de ente se tiene

nte proporcionla densidad derro; (c) la penética del hierad relativa dead de flujo en uvolumen en e

orcentaje de l

OS MATERIA

mentarios

idades de la re

sección transque, para I =

nal a H (o sea qde flujo magnermeabilidad drro; (e) el mol hierro; (g)un núcleo de ael campo mag

a energía mag

ALES [

eluctancia:

sversal de 24= 4 A, el flujque n sea cons

nético en el hdel hierro (supomento dipola la corriente

aire; (h) la autgnético, y (j)

gnética total s

[CAPITULO

cm2 y un rado es de Φ = stante, lo cualhierro; (b) la poniendo quear magnético padicional queoinductancia la energía to

se almacena e

32

dio 1.4 no in-

e es por

e se del

otal

n

Res

33.1 EL C

El tipo d

Cuando slo que se estque es consanálisis másalmacenadatiempo.

Aplicand

donde los tr(25.9). Escr

Una soluciónciales apropLa solución

en la cual qcombinaciónc2 se determtransitoria tinario, Q(t) =

puesta

CIRCUITO E

de circuito qu

se cierra el inttablece una ctante), tienen

s completo taas en L y C,

do al circuito

res términos ribiendo q en

n de la ecuacipiadas, da q e de (33.1) ten

q1(t) y q2(t) son c1q1(t) + c2

minan a partiiende a cero (= Cv, la cual

en el tie

EN SERIE R

ue se estudia

terruptor S laorriente I en n que encontambién incluy

y la potenc

o la relación d

de la derechn lugar de I, e

ión diferenciaen función dendrá la form

on solucionesq2(t) se le denr de las cond(excepto en el representa la

empo desimp

R-L-C

ará en este c

a fuente (una bel circuito. D

trarse expresye la determiia proporcio

de Kirchhoff

ha se obtieneesta ecuación

al lineal de see t; a partir dea

s de (33.1) innomina solucdiciones inic

el caso de R =a última carg

e los cirples

capítulo se m

batería) comiDados los valoiones para quinación de lo

onada por la

f para voltaje

en, respectivan adquiere la

egundo orden e esto se pue

ndependienteción transitoriales. Confor= 0), abandon

ga del capacit

Ca

rcuitos

muestra en la

enza a proporores de R, L, ue q e I en fos voltajes vafuente, toda

es se tiene qu

amente, a para forma

(33.1), sujetaden obtener l

s con v reemria; los valorerme el tiempnando la solutor.

apítul

eléctric

figura 33-1

rcionar una caC y fem v (su

función del tiab, vbc, vcd, laas ellas en fu

ue

rtir de (26.5)

a a las condicilos demás re

mplazada por es de las conso aumenta, l

ución de estad

o 33

cos

.

arga q, por uponiendo iempo. Un s energías unción del

), (31.2) y

(33.1)

iones ini-sultados.

(33.2)

cero. A la stantes c1 y la solución do estacio-

306

La eel térmicircuitoestado

33.2 A

Un ecuaciomite quotro.

Diveblemas

33.1.

33.2.

RESPUE

ecuación diferino o los térmo R-L (no hayestacionario

ANALOGÍAS

circuito elécones diferencue el comport

ersos sistemaresueltos.

Hágase un angase que v e

Para la ec

la función tra

Por lo tanto,

Cuando t

razón que daproximación

El parámetro (a) Esa cons(2) sea sólo

ESTA DE LO

rencial para uminos correspy capacitancQ = v/R, o s

S ELECTROM

ctrico y un sciales que lostamiento de u

as mecánicos

nálisis compls constante,

cuación difere

ansitoria es q1

q(t) = c1e-t/CR

→ ∞ , las divedepende del tn. Se tiene que

RC en (2) delstante debe tun número. V

OS CIRCUITO

un circuito depondientes alia), Q(t) = (v

sea, la ley de

MECÁNICAS

istema mecá rigen tienen

uno de ellos e

s análogos a

Problemleto del circuy q = 0 y t =

encial de prim

1(t) = e-t/CR, lo

R + Cv. Las co

ersas cantidadtamaño de Re:

l problema 33.ener dimensVerifíquese e

OS ELÉCTR

e 1 ó 2 elemen elemento o ev/R)t en (33.2e Omh.

S

ánico puedenn exactamenteen el tiempo s

los circuitos

mas resueito simple R-= 0 (el instan

er orden

o cual se pued

ondiciones inic

es se aproximaRC; cuanto m

.1 se denominiones de tiem

esto por medi

RICOS SIMPL

ntos se obtienelementos au2). Esto corr

ser idénticoe la misma foe infiera a pa

s simples R-L

eltos

C (figura 33-nte en el cual

de verificar ha

ciales dan

an a sus valoremás pequeño

na constante dempo, para haio de un análi

LES [

ne a partir de usentes. En paesponde a un

os en el sentorma matemáartir del comp

L-C se estudi

-1, con L ausel se cierra el

aciendo la sus

es de estado essea RC, más

e tiempo del ccer que el exisis dimensio

[CAPÍTULO 33

(33.1) al omiarticular, en una corriente d

ido de que lática. Esto peportamiento d

ian en los pr

ente). Supón-interruptor).

(

stitución en

stacionario a us rápida será

ircuito R-C. xponente onal de unida

3

tir un de

las er-del

ro-

-

(1)

una la

-

CAPITULO

des.dism

(b)

Esto

33.3. Hágpónrrup

A Asícueprob

A

L

33.4. Hággascirc

mendife

Hac

dontiemento

O 33] R

. (b) ¿Cuál dminuye 50%

A partir de I=

o se puede log

gase un análingase que v eptor). A partir de (3

como esta enta las condblema 33.1 c

A partir de e

La constan te

gase un análie que v es cocuito), e I =Cuando el cirnte de la dismierencial que lo

ciendo v = 0 en

nde ω≡ (LC)-1/mpo; en lugar onces, de la fo

RESPUESTA

debe ser el taen el primer

= I0e-t/RC se obt

grar, por ejem

isis completoes constante y

33.1),

ecuación es fdiciones iniccomo

esto y de la c

de t iempo de

isis completoonstante y q

= 0 en t =0. rcuito tiene resinución expono rige (33.1)

n (1), se encue

/2. Estas funcide esto, repreorma

DE LOS CIR

amaño de la cmilisegundo?

tiene, con el t

mplo, con R.=

o del circuitoy que I = 0 e

formalmente ciales corres

ondición de

el c i rcui to R-L

o del circuitoque q = q0 en

sistencia cero nencial que se es ahora

entra que las fu

ones, y sus deesentan oscilac

RCUITOS EL

constante de ?

tiempo medido

= 144 Ω, C = 1

o simple R-L en t = 0 (el in

idéntica a (1pondientes,

que q = 0 en

L es L/R [véa

simple L-C n t = 0 (C se

(un caso ideae observó en lo

unciones "trans

erivadas, no seciones sin amo

LÉCTRICOS

tiempo si la

o en ms,

10 µF.

(figura 33-1nstante en el

1) del problela solución

n t = 0,

ase el problem

(Fig. 33-1, ce carga antes

al), su comporos problemas

sitorias" son

e hacen cero cortiguar (MAS

S SIMPLES

corriente en

1, con C auseque se cierra

ema 33.1 y toestá dada p

ma 33.8(a )] .

con R ausentes de conecta

rtamiento difie33.1 y 33.3. L

onforme se inS). La solució

307

el circuito

ente). Su- a el inte-

omando en por (2) del

e). Supón- rse en el

ere esencial-La ecuación

(1)

ncrementa el ón de (1) es,

308

33.5.

RESPU

Obsérvesque produce

Analícese brcondicionesR2 < 4L/C.

DependieR-L-C puedetiguar. Se vercaso subamo

La ecuac

tendrá soluc

Sustituyend

Entonces q(iniciales ésta

A partir

donde vL(0) terruptor. L

ESTA DE LO

se que I es unae un generador

revemente els iniciales de

endo de los ve oscilar entrerá que la relaciórtiguado).

ción para el ci

iones transito

o en ( 1 )

(t) = c1q1(t) + a se transform

de (2), se enc

es el voltajLa corriente es

OS CIRCUIT

a corriente altr ac con una v

l circuito R-Lel problema 3

valores relati los extremos ón que antes se

rcuito

orias de la form

(con v = 0), s

c2q2(t) + Cv, ma en

cuentra que l

e a través dels un sinusoide

TOS ELÉCTR

terna, como sivelocidad ang

L-C de la fig33.4 y que lo

vos de R, L, del decremen

e supuso condu

ma

se evalúan las

y después de

a corriente es

l inductor en e amortiguado

RICOS SIMPL

i fuera la corrgular ω.

gura 33-1 (v os parámetro

y C, la respunto exponenciauce a las oscilac

s constantes p

e evaluar c1 y

s

el instante desexponencialm

LES [

iente (de esta

constante). Ss del circuito

uesta transitoal y de la osciciones amortigu

positivas reale

c2 a partir de

spués de que mente (véase

[CAPITULO

do estacionar

Supónganse lo son tales q

oria del circuilación sin amuadas (el llama

(

es y α y ω com

las condicion

se cierra el ine la figura 33-

33

(2)

io)

las que

uito mor-

ado

(1)

mo

nes

(2)

(3)

n--2).

CAPITULO

33.6. Mué

Ebloqconsfluidcoef

L

las ccondq, v,

Igua

Dcond

33.7. Encuque

Evedadel rlo ta

Ela m

33] RE

éstrese que lo

El sistema (a)que, con masastante, F, y bdo viscoso debficientes a1 y aLas ecuaciones

cuales tienen ldiciones iniciaR, L, respecti

lmente, la ene

De la misma diciones inicia

uéntrense losse muestran

En el sistema ad, mg; la furesorte, y fri

anto,

En el sistemamanivela com

ESPUESTA D

os sistemas (a

) es justo el a m, se muevajo una fricc

bido a la fuerza2 son positivos diferenciales

la misma formales x = xú = 0vamente, en la

ergía cinética

manera, sustiales y = yú = 0

s criterios paren la figura

(a), la esferauerza hacia acción por vis

(b), tres torcmo se ve en la

DE LOS CIR

a), (b), (c) de

circuito R-L, ve a lo largo ión por visco

za de gravedados, y la fuerzas en los tres si

ma matemática0 en t = 0 se pa expresión pa

del bloque al

ituyendo y, m0 en t = 0:

ra el movimi33-4.

a, con masa mrriba del resoscosidad a2

cas actúan so figura;

RCUITOS EL

e la figura 33

del que se hde una línea

osidad a1xú . d, mg, y bajo de empuje sostemas son

a. Por lo tantopuede encontrara la carga qu

l tiempo t es

mg, a2, m por

iento subamo

m, experimentorte k (x-ℓ0)2xú . (a1>0). E

bre el disco:

ÉCTRICOS

3-3 son equiv

habló en el prhorizontal al

En (c) una esla fricción po

obre la esfera s

o, la soluciónar por la susti

ue se obtuvo e

r q, v, R, L, s

ortiguado de l

ta hacia aba),, donde ℓ0sta ecuación

τ1 = jr, dond

SIMPLES

valentes

roblema 33.3l aplicársele sfera cae a tr

or viscosidad se desprecia.)

n de (b) que situción de x, Fn el problema

se resuelve (b

los sistemas

ajo la fuerza 0 es la longit

de movimien

de la fuerza f

309

. En (b) el una fuerza avés de un a2yú .. (Los

satisface las F, a1, m por a 33.3:

b) bajo las

mecánicos

de la gra-tud natural nto es, por

se aplica a

310

33.8.

33.9.

33.10.

33.11.

33.12.

RESPU

debido a la tanto, su ecu

Se puedecuación di

Así puevimiento sub

(a) En el pω= |s -1|.

Considéresedensador en

Un circuitodensador esdel tiempo.

Muéstrese q

Respuesta:

En la figurresorte; éstesistema. Re

UESTA DE L

fuerza viscosuación de mo

de observar quiferencial es

s, por medio bamortiguado

Prproblema 33.3

e un circuito n cualquier mo

o L-C sin fuens 4 mC. Encué. Respuestas:

que la energía

ra 33-5 aparee tiene constaespuesta: véas

OS CIRCUIT

a de frenado; vimiento es

ue tanto (a)

de una comp son

roblemas 3 verifíquese

R-C al que nomento si la c

ntes tiene paréntrense (a)

(a) f = 65 Hz

a se conserva e

ce un sistemante k y longitse figura 33-6

TOS ELÉCTR

y τ3 = kθ, l

como (b

paración con e

complemque L/R = |s|

o se le apliccarga inicial e

rámetros L = la frecuencia

z; (b) I =

en el circuito

a mecánico qtud natural ℓ0.6, en la cual s

RICOS SIMP

a torca de res

b) son análog

el problema 3

mentarios. (b) En el p

ca una fem. s de q0. Resp

1.5 H, C = a de oscilación-1.633 sen 40

del pro

que consta Encuéntrese e supone que

PLES

stauración en

gos al circuito

33.5 los criter

s

problema 33.5

Encuéntrese puesta: q = qo

4 µF. La cargn, (b) la c08.25t (A)

de dos masun equivalenla inductanci

[CAPITULO

el resorte. Po

o R-L-C, cuy

rios para el m

5 verifíquese

la carga del coe-t/RC

ga inicial delorriente en fu

sas unidas pnte eléctrico dia mutua es ce

O 33

r lo

ya

mo-

que

con-

l con-unción

or un e este ero

C

3

CAPITULO 3

33.13. (a) Aeléctr

(b) Apsistem

dondedel re

Coson idxú 1 a q induca1 y ala enecapac

Obsér

3] RE

Aplicando las ico de la figu

plicando las lema mecánico d

e F1 y F2 sonesorte sin estiromparando (1dénticos: las qú1, x 1 a q 1 etctancias L1 y L

a2, a las resisteergía E 2 almaccitor C (figura

rvese la corresp

ESPUESTA D

leyes de Kirchura 33-6 (

eyes simples dde la figura 33

las fuerzas arar, a1 y a2 so1) y (2), se ob

coordenadas cétera; las fu

L2; la constantencias R1 y R2cenada en L1ya 33-6) están

pondencia entr

DE LOS CIRC

hhoff muéstre(supóngase qu

de la mecánica3-5 son

aplicadas, k n los coeficieserva que desx1 y x2 corre

erzas F1 y F2e del resorte k

2. (c) Muéstrey L2, la energían dadas por

re E 1 y E 2, ig

CUITOS ELÉ

se que las eue no existe i

a, muestre que

es la constanentes de friccisde el punto desponden a la2 a los voltajek a 1/C; los cose que la enera E 3 del resor

gual que la exis

ÉCTRICOS S

ecuaciones difinductancia m

e las ecuacion

nte del resoión viscosa sode vista matemas cargas q1 yes v1 y v2; la

oeficientes de rgía cinética Erte y la energí

stente entre E

SIMPLES

ferenciales dutua) son

nes de movimi

orte, ℓ0 es laobre los bloqumático los dosy q2, respects masas m1 yfricción por v

E1 de las masaa E 4 almacen

E 3 y E 4.

311

del sistema

(1)

iento del

(2) a longitud ues. s sistemas ivamente;

y m2 a las viscosidad as m1 y m2, nada en el

S

34

ωtinf =

se

Es

es

Al

doR

Solucio4.1 CIRCU

Con referent, se mantien

nstantáneo de= frecuencia

Los valorese expresan en

sto debe sum

Al igual qutudiaremos

l sustituir (34

onde se defin(Ω) la reacta

nes estUITO EN SER

ncia al circuie entre los puel voltaje, vaa en Hz.

s instantáneon términos de

mar ua, lo cua

ue (33.1), (34la segunda,

4.2) en (34.1)

tan

nió a la impedancia inductiv

tacionarRIE

ito de la figuuntos P1 y P2

a = valor má

os del voltajee la corriente

al da como ec

4.1) tiene unque se supo

) se determin

n

dancia Z (Ω)va XL ≡ ωL (Ω

rías para

ura 34-1, supó debido a un áximo o amp

e a través dele instantánea

cuación difer

a solución trone es de la f

an las consta

y el ángulo Ω), y de la re

a circuit

óngase que ugenerador acplitud de la

l resistor R, a i y de la car

rencial del c

ransitoria y oforma

antes descono

de fase ф (raeactancia cap

Ca

tos sim

un voltaje sinc ("alternadoronda de vol

del inductor rga instantán

ircuito

otra de estado

ocidas Z y ф c

ad) en términpacitiva Xc ≡

apítulo

ples CA

nusoidal, ua =r"), donde ua ltaje y ω =

L y del capanea q por me

o estacionario

como

nos de la resis(ωC)-1 (Ω). L

o 34

A

= va sen = valor 2πf con

acitor C dio de

o. Aquí

)

stencia Los

314

valocribi

dond(V),

LaLas dson rfijosque anguinsta90°;o netravé

SOLUCIO

ores de estadirse así

de las amplity vc ≡ IXC (V)as relaciones diversas ondarespectivamens 0o, 90°, 270gira en el se

ular constanteantáneo de la vc "se retardgativo. Obséés de la igua

ONES ESTAC

do estacionar

tudes de las c). (34.4) se ind

as se represennte I, vR, vL,

0°, ф con el ventido contrae ω, se puedeonda corresp

da" de I por érvese tambiéaldad vectori

CIONARIAS

io de la corr

cuatro ondas

dican convenientan por vectovc, va. Los ve

vector I. Si loario al giro de observar qupondiente. Ob90°; y va "seén que la ecial

S PARA CIRC

riente y de la

s se indican c

entemente enores que parteectores vR, vLos cinco vectde las manecue la componbsérvese quee adelanta" ouación del c

CUITOS SIM

as tres caídas

como I ≡ va/

n el diagrama en del origen,L, vc, va formatores se cons

cillas del relonente Y de c

e I y vR están o "se retardaircuito (34.1

MPLES CA

s de voltaje p

/Z (A), vR ≡

de vectores r I, vR, vL, vc; van, respectivasideran comooj en torno d

cada vector pen fase; vL "s" de I, según

1) se refleja

[CAPITU

pueden ahora

IR (V), vL ≡

rotantes (Fig.va, cuyas longamente, los áo una unidadde O con velroporciona ese adelanta" n que ф sea pa en el diagr

ULO 34

a es-

≡ IXL

. 34-2). gitudes

ángulos d rígida

ocidad el valor a I por ositivo rama a

C

epv

n

3

Pc

L

dt

CAPITULO 3

La potencestado estacipromedio se voltaje aplic

[compárese nombre de fa

34.2 CIRC

En el circuP1 y P2. Comcorriente son

Las solucione

donde las retotal, se tien

34] SOLU

cia suministraonario, es dtoma sobre uado. En el pr

con (17.2)].actor de pote

UITO EN PA

uito de la figmo éste es el

es del estado

actancias XLe que

UCIONES ES

ada por el ale más interé

un largo perioroblema 34.

Debido a laencia. En térm

ARALELO

gura 34-3 se avoltaje a tra

estacionario

L y Xc son se

STACIONAR

lternador tienés la potenciodo de tiemp1 se muestra

a manera en lminos del di

aplica un volavés de cada

de (34.8) son

egún se las d

RIAS PARA C

ne un valor iia promedio po o, de manea que

la que está enagrama vect

ltaje alterno u elemento de

n

definió en la

CIRCUITOS S

instantáneo isuministrada

era equivalen

n (34.6), a coorial, he aqu

ua = va sen ωel circuito, la

a sección 34

SIMPLES CA

iu. En condica, Pprom, en lnte, sobre un

os ф = R/Z suí otra expres

ωt entre las teas tres ecuac

4.1. Para la c

A 315

ciones de la que el ciclo del

e le da el sión

(34.7)

erminales ciones de

corriente

316

dond

Eva, IRe I qinsta

es un

L

dond

SOLUCIO

de I ≡ va/Z, y

En el diagramR, II, IC, I, don

queda atrás o antáneos. La

n reflejo de

Las fórmulas

de ahora cos ф

ONES ESTAC

y la impedan

ma vectorial dnde IR está ense adelanta aigualdad vec

la conservac

de la potenc

ф = Z/R. Com

CIONARIAS

ncia y el áng

e este circuitn fase con va

a va por |ф|. Cctorial

I

ción de la ca

cia promedio

mo antes,

PARA CIRC

gulo de fase

o en paralelo, Ic se adelan

Como antes, l

I = IR + IL + Ic

arga en el cir

o del alternad

CUITOS SIMP

están definid

o (Fig. 34-4), nta a va por 90las componen

rcuito

dor, análoga

PLES CA

dos por

los cinco vec0°, IL queda antes Y proporc

as a (34.6) y

[CAPITUL

ctores rotanteatrás de va pocionan los va

(34

(34.7), son

(34.13)

(34.14)

LO 34

es son or 90°, alores

4.12)

C

3

3

CAPITULO 3

34.1. Expré34-1.

Dula eneo se d

Pero, dos té

Da

a part

34.2. Un voR-L, las amque

en t =

34.3. En elmedi

34] SO

ésese la poten

urante un perioergía requiere disipe en el re

en estado estaérminos del la

ado que i es s

tir de la cual

oltaje sinusoidonde R = 2

mplitudes I, v

= T/6. (d) Cal

l problema 34o del circuito

LUCIONES E

Proncia promed

odo del voltajque la energía

esistor. Por lo

acionario, i y ado derecho s

sinusoidal, fá

l la parte rest

dal de frecue0 Ω y L = 4OR, vt y encuén

lcúlense Irms,

4.2, la frecueo?

ESTACIONA

oblemas rdio de estado

e aplicado (poa en el circuito tanto,

q son periódise hacen cero

ácilmente se p

tante de (34.

encia f = 60 HO mH. (a) Cantrense los va

va , rms y la po

encia se camb

ARIAS PARA

resueltosestacionario

or ejemplo) deo, PpromT, se a

cas y tienen p, con lo cual

puede mostra

6) se sigue a

Hz y valor picoalcúlense el palores instantá

otencia prome

bia a 1200 H

A CIRCUITO

o de entrada a

e t = 0 a t = 2πalmacene en el

periodo T; en c

queda

ar que

la vez.

o 150 V se apperiodo T, ωáneos i, uR, uL

edio del circu

z; ¿cuál es ah

S SIMPLES C

al circuito de

π/ω ≡ T, la conl inductor y en

consecuencia,

plica a un circ, XL, Z, ф. (b

L en t = T/6.

uito.

hora la poten

CA 317

e la Fig.

nservación den el capacitor

, los primeros

cuito en serieb) Calcúlense(c) Pruébese

ncia pro-

7

s

e e e

318

34.4.

34.5.

SOLUCIO

Al incre Entonces, d

En el circuu = 250 se (c) Obtén

Calcúles

(c) Utili

Para ciertade potenci

el circuitoResuélvas

Se tien

NES ESTAC

ementarse la f

dado que Pprom

uito de la figun 400t (V). (a

nganse exprese Pprom.

zando la ident

a frecuencia ia unitaria (co

o consume unse de nuevo e

ne que cos ф =

CIONARIAS

frecuencia po

varía inversam

ura 34-1, seana) Calcúlese X

siones de i, u

tidad trigonom

angular, ω0, ondición llam

na potencia mel problema 1 únicamente

PARA CIRC

or un factor de

mente a Z2,

n R = 20 Ω, LXL, XC, Z, ф,

uR, uL, uc y d

métrica

del voltaje apmada voltaje d

máxima para34.4(a) a un e si

CUITOS SIMP

e 20,

L = 0.16 H, CI, vR, vL, vc. (b

demuéstrese

plicado el cirde resonanci

a un va dado,voltaje de re

PLES CA

C = 30 µF, y (b) Verifíques

que ua = uR +

rcuito R-L-C ia). Debido a

en el voltajeesonancia.

[CAPITUL

el voltaje aplse que

+ uL + uc. (

tendrá un fa que

e de resonan

LO 34

licado

(d)

ctor

cia.

C

3

3

3

3

3

CAPITULO 3

Obsér912.8

34.6. SupónL = 0

Lo El áng

A parcircui

34.7. Un voC = 8Respu

34.8. Muést

34.9. Un cirvoltaje

34.10. Los dsen 40

34] SOLUC

rvese que el 87/250 = 3.65

ngase que en0.06 H, C = 1

os valores inst

gulo fase está

rtir de (34.10to es

oltaje alterno 8 µF. Encuénestas: (a) 1000

trese que (a) X

rcuito simple e aplicado es

atos del circu00t (V); R

CIONES EST

máximo voltveces el m

n la figura 3418 µF. Hágas

tantáneos de la

á dado por

0), i = 9.109 s

Probleua = 150 sen

ntrense (a) f, 0 Hz; (b) 19.894

XL y Xc tienen

en serie conti

uito en serie qR1 = 15 Ω; R2

TACIONARIA

taje entre las máximo voltaje

4-3 el voltajee un análisis

a corriente son

en (400t - 0.

mas com6283.2t (V) s(b) X, (c) Z,

4 Ω; (c) 28.21 Ω

n dimensiones

iene una resist

que se muestra2 = 10 Ω; L = 0

AS PARA CI

terminales de aplicado.

e aplicado es s completo d

n:

.6035) (A).

plementase aplica al ci (d) el factorΩ; (d) 0.709; (e

de resistencia

tencia R = 20

a en la figura 0.16 H; C = 60

IRCUITOS SI

del inductor (

va = 150 senel circuito.

La potencia p

arios

rcuito en serir de potenciae) 5.317 A; (f)

a; (b) (1/

Ω y una induc

34-5 son: vol0 µF. Calcúlen

IMPLES CA

(o del capacit

n 400t (V), R

promedio tom

e R-C, con Ra, (e) I, (f) v106.34 V; (g) 1

/LC)1/2 = |s-1|.

ctancia L = 0.

ltaje aplicadonse (a) XL,

319

tor) es de

R = 20 Ω,

mada por el

R = 20 Ω y vR, (g) vc. 105.78 V

.06 H. El

, ua = 300 (b) Xc,

320

34.11.

34.12.

34.13

SOLUCIO

. En el probdientes de Respuestas

.

. Considéresentre los pcircuitos sa partir de Respuestas

ONES ESTAC

lema 34.10 en Z, I, vL, y vc.: ω = 322.75 r

se la red en sepuntos P1 y P2eparados R-Lél obténganse

s: (b) véase fi

CIONARIAS P

ncuéntrese la f ad/s; Z = 25 Ω

erie y en para. (a) Muéstre

L-C. (b) Dibúje las expresionigura 34-7. A

PARA CIRCU

frecuencia ang

Ω; I = 12 A; vL =

alelo de la figuse que la ramese el diagramnes de la corripartir de I = I

UITOS SIMP

gular de reson

= vc = 619.68 V

ura 34-6. Se aa a1d1 y la ram

ma de vectoreiente total máxI1 + I2,

PLES CA

nancia y los va

V

aplica un voltama a2d2 se pus rotantes de lxima I y la im

[CAPITULO

alores correspo

aje ua = va senueden tratar cola red comple

mpedancia tota

O 34

on-

n ωt omo eta y al Z.

CAPÍTULO 334] SOLUUCIONES ESTTACIONARIIAS PARA CIIRCUITOS SIMPLES CA

321

Re35.1 LEYES

Un rayo dun medio isov = c/n, donden el vacío, cvacío) de la

Supóngasángulo 0i conen el medio

(i) Los t(ii) El án(iii) Las d

ley d

Si n1 > n2 y θ

entonces no vista del med

35.2 POLARUna onda

la perturbacitorno de la d

eflexiónS DE LA REde luz es una

otrópico, los rde n es el índic ≈ 3 X 108 mluz.

se que un ran la normal a1 y un rayo

tres rayos y lngulo de incidirecciones d

de Snell:

θ1 exceden el

existirá el radio 1, reflexi

RIZACIÓN

a electromagnión carezca ddirección del

n, refracEFLEXIÓN línea cuya d

rayos son rectce de refracc

m/s. El índice

ayo en el mea la interfase (refractado e

la normal se idencia es ig

del rayo incid

l ángulo críti

yo refractadoón total inter

nética o cualqde simetría cl rayo).

cción y Y LA REFRirección nos tas, a lo largo

ción del medioe de refracció

edio 1 incide(Fig. 35-1). En el medio 2encuentran s

gual al ánguldente y del ray

ico θC, donde

o, fenómeno rna.

quiera otra onilíndrica en t

polarizaRACCIÓN

da la direccióo de las cualeso. Debido a qón es una fun

e en la interfEntonces, exi2, de tal mansobre un plano de reflexióyo refractado

e

denominado

nda transversatorno de la d

Ca

ación de

ón del flujo ds la energía v

que n > 1, la vnción de la lo

faz con un mistirá en ese l

nera que no común, el ón: θ1 = r. o están relacio

reflexión tot

al está polarizdirección de p

apítul

e la luz

de energía radviaja con una velocidad es mongitud de on

medio 2, formugar un rayo

plano de inc

onadas por m

tal o, desde e

zada siemprepropagación

o 35

diante. En velocidad

menor que nda (en el

mando un reflejado

cidencia.

medio de la

l punto de

e y cuando (o sea, en

324

Si ase dicerayo, Ey form

En diculartiene ces elíp

En lares dtorias considde la m

Poldices del otro sobre refractpara uncristal se den

Poltiene uestá da

35.3 Un

transvIo (W/intens

Cuatransm

35.1.

a lo largo de ue que la onda E oscila a lo la

man un plano.el caso de la

res de igual acomponentes pticamente po

el caso de lade igual ampldurante el ti

derar como la misma ampli

larizacin pode refracción:

para las oscila superficie

tados, linealmno de los hace birrefringenomina placa

larizacin pouna polarizacado por la ley

INTENSIDAn polarizadorersal y que ab/m2) y está lidad transmi

ando la luz nmitida es 1/2Io.

¿En qué diragua es n2

Los rayoθ1 = 90°,

Obsérvese qsol a 90° =

REFLEX

un rayo de unes plana o lin

argo de una re a luz circularamplitud conperpendicula

olarizada. luz no polaritud pero conempo que sesuperposicióntud.

r birrefringe: uno para laslaciones perp

e de un medimente polarizaes refractadosnte de un gros

de media on

or reflexin.ión lineal coy de Brewste

AD DE LAr perfecto es bsorbe toda lalinealmente pitida está dad

no polarizada

rección ve la = 4/3 y el d

os del ocaso ll

que θ2 es el ánθ2 = 41.4° po

XIÓN, REFRA

na onda electnealmente poecta fija; las lí

rmente polarn una diferencares de difere

rizada o naturn una diference la observa. n de dos onda

encia. Ciertos oscilaciones

pendiculares aio birrefringados y formas (el rayo ordisor tal que lada; si difiere

. La luz que mpleta y nor

er:

A LUZ POLuna placa qua luz polarizapolarizada a da por la ley

I = Iocode intensidad

Problempuesta del So

del aire es n1

egan casi tang

ngulo crítico por encima de l

ACCIÓN Y P

tromagnéticaolarizada. De íneas corresp

rizada, el camcia de fase deentes amplitu

ral, el campocia de fase quEn otras pal

as planas pola

materiales an del campo pa la direcciónente como é

ando ángulos inario), pero ns dos ondas q

en en 90°, pla

se refleja dermal al plano

ARIZADA

ue transmite tada normal alun ángulo θde Malus co

os2θ (W/md I0 incide so

mas resuol el pez de la ≈ 1.

gentes a la sup

para el rayo ila horizontal.

POLARIZACI

a el campo elémanera equivondientes a to

mpo eléctricoe 90°. Sin emudes y cierta d

o eléctrico tienue experimenlabras, una oarizadas, perp

nisotrópicos (caralelas a cie

n. Un rayo de éste, usualme

rectos entre no para el otroque emergen aca de cuarto

una superfico de incidenci

toda la luz pol eje. Si la onθ con respectomo

m2) obre un polari

ueltos

a figura 35-2

perficie del ag

nverso (del

IÓN

éctrico yace evalente, en unodos los punt

o tiene compombargo, si el c

diferencia de

ne componennta varias fluconda no polarendiculares e

como la calcitrta dirección luz no polari

ente se dividsí. La ley de

o: el rayo extrdifieran en u

o de onda.

cie lisa y dieia si el ángul

olarizada a loda incidente to al eje de

izador perfec

? El índice d

gua. Según la l

pez al sol). E

[CAPITULO

en un plano fin punto dado os son parale

onentes perpecampo eléctri fase fija, la l

ntes perpendicctuaciones alrizada se pue

e incoherentes

ta) tienen dos (el eje óptico

izada que incide en dos raye Snell es válraordinario. Uuna fase de 18

léctrica (vidrlo de inciden

o largo de un tiene intensidtransmisión,

to, la intensid

e refracción

ley de Snell, c

El pez percibe

35

fijo, del

elas

en-ico luz

cu-ea-ede s, y

ín-o) y ide yos ida Un 80°

rio) ncia

eje dad , la

dad

del

con

al

CA

35

35

APÍTULO 35]

5.2. Supóngque se inmers

5.3. Dos rec(n = 1 cocient

En

servadde un ra parti

] REF

gase que el ínoriginan en a en (a) aire

cipientes idén47), se obserte de las prof

la figura 35-dor que mire erayo vertical 1r de la ley de

FLEXIÓN, RE

ndice de refrel interior d(n2 = 1), (b)

nticos, uno llrvan desde ar

fundidades ap

-3 se índica een la dilecció1 y el rayo apre Snell se tien

EFRACCIÓN

racción de unde la esfera, e

agua (n2 = 1

leno con aguarriba. ¿Cuál p

parentes?

el fondo de unón -Y, la imagroximadamentne que

N Y POLARIZ

na esfera de vencuéntrese .33).

a (n = 1.361)parecerá tene

n recipiente pgen de P, marte vertical 3 (

ZACIÓN

vidrio es n1 =el ángulo crí

) y el otro llener mayor pro

por medio delrcada P', se dó 2) Dado que

= 1.76. Para lítico si la esf

no con aceitefundidad y c

l punto P Pareterminará poe θ1 y θ2 son p

325

los rayos fera está

e mineral cuál es el

ra un ob- or medio equeños,

326

35.4.

35.5.

En consecagua parec

Un rayo drefracciónpágina, y θ1 en que

La luz ince índice dangular mδ ≈ (n l)

(a) Comoobservy apli

lo cua

REFLE

cuencia, para ycerá más prof

de luz inciden n2 = 1.6, coel cubo está ocurre la refl

cide con un áde refracción

mínima, δmin, )α, es indepen

o el prisma esvar fácilmenteicando la ley d

al implica que

EXIÓN, REFR

y y n2 dadas, yfundo, por un

sobre la caromo se muestrodeado de a

flexión total i

ngulo Bi sobn > 1 (Fig. por el prism

ndiente de θ1

s simétrico y e que la desviade Snell a las

sen K = n senθ

e θ2 = α/2. En

RACCIÓN Y

y' es inversamfactor de

ra vertical iztra en la figu

agua (n = 1.3nterna en la

bre un prisma35-5). (a) O

ma, (b) Muést.

como las trayación δ será un dos interface

θ2 y

ntonces,

POLARIZAC

mente proporc

quierda de u

ura 35-4. El p3). ¿Cuál es superficie de

a triangular isObténgase unatrese que si a

yectorias de l mínimo cuand

es se tiene que

n sen(α θ2

CIÓN

cional a n1. El

un cubo de viplano de inciel ángulo ma

e arriba?

sósceles de áa expresión pa es suficien

la luz son revdo θ1 = θ3 = k. e:

2) = sen K

[CAPITULO

recipiente lle

idrio de índicidencia es el ayor de incid

pice con ángpara la desvi

ntemente pequ

versibles, se pCon esta cond

O 35

eno de

ce de de la encia

gulo α

ación ueña,

puede dición

CCAPITULO 3

E

(

Ad

35.6. Un rase mude refse qu

P

35] RE

Esta ecuación i

(b) Cuando α

Además, cuandde tal manera

ayo de luz chuestra en la ffracción 1.5 c

uiere que la d

or el problem

EFLEXIÓN,

implícitamente

α es muy pequ

do α es suficieque δ = (n l

hoca contra ufigura 35-6. Dcuyo ápice tiedesviación to

ma 35.5(b), el

REFRACCIÓ

e determina δm

ueño, entonce

entemente peql)α.

un espejo plaDespués de laene un ángulo

otal del rayo

prisma en pri

δ = (1.50

ÓN Y POLAR

mín.

es así lo es δm

queño, todas la

ano con un áa reflexión, po de 4°. ¿A qusea de 90°?

imer lugar pro

0- 1)(4¡) = 2o

RIZACIÓN

mín; y el resulta

as desviacione

ngulo de incasa a través dué ángulo se

ovocará una d

ado de (a) se

es δ son cerca

cidencia de 4de un prisma debe girar el

desviación fij

327

transforma en

anas a δmín,

45°, como de índice espejo si

a,

n

i

328

35.7.

35.8.

35.9.

sin importardesviación dtanto, se debreloj en la f

Cuatro placgirando 30placa procedel haz de

La primresolución v= 3/4 de la transmitida

¿A qué ángsus rayos rede la horizo

Para quede Brewster

Pruébese qfrecuencia,

Supóngafase α; esto

Ésta es la eejes X y Y.

REFLEX

r la orientacióde 90°, por lobe girar un án

figura 35-6.

cas perfectam° en el sentid

edente; la últluz incident

era placa tranvectorial a un áintensidad, qupor la pila es

gulo β por eneflejados en eontal? (Véase

e los rayos reflr.

que una partí a ángulos re

ase que las vib es

cuación de un Véase el pro

XIÓN, REFR

ón del espejo. o que se debe ngulo de 1/2(2

mente polarizdo contrario ima placa forte y no polar

nsmite 1/2 deángulo de 30°,ue abandona as, entonces

cima del horel agua (n2 = la figura 35-

lejados estén l

ícula que recectos y fuera braciones tien

na elipse cuyoblema 35.15.

RACCIÓN Y P

En la orientacrotar de mane°) = 1o, en el

zadoras estánal giro de larma un ángulrizado se tra

e la intensidad transmitiendoa la placa pre

rizonte se enc1.33), los en

-7.)

linealmente po

ciba dos vibrde fase, desc

nen lugar a lo l

os ejes mayor

POLARIZAC

ción dada, el eera tal que cansentido inver

n apiladas deas manecillaslo recto con l

ansmite por l

d incidente. Co la fracción cocedente. La fr

cuentra el So

ncuentra linea

olarizados, el

raciones armcribirá una trlargo de los ej

r y menor está

CIÓN

espejo por sí mncela los 2o aso al giro de l

e tal manera s del reloj cola primera. ¿la pila?

Cada placa suos 30° de la am

fracción de la

ol cuando algalmente polar

ángulo de inci

mónicas simprayectoria elíes X y Y, con

án inclinados

[CAPITULO

mismo producdicionales. Polas manecillas

que su eje eson respecto a

Qué intensid

ucesiva formamplitud, o cos2

intensidad in

guien al obserizados a lo la

idencia debe s

ples de la miíptica. n una diferenci

con respecto

O 35

ce la or lo s del

stá la

dad

a una 2 30°

nicial

rvar argo

ser el

isma

ia de

a los

C

3

3

3

3

CAPÍTULO 3

35.10. Una ppara ¿Cuá

Laplaca los dodeben

35.11. Dedú

La on respepropo

55.12. Un ra40 mmEncuéRespu

35.13. Una lcentrotamenevitarRespu

35.14. Un pra un een el desví

35] RE

placa de un cla luz de lonl es el groso

a longitud delde grosor ℓ es

os rayos debenn diferir por

úzcase la ley

nda incidente p

ectivamente aorcional al cu

ayo de luz incim de grosor yéntrese el despuesta:

lata cilíndricao de su superfnte llena de agría ver la manuesta: 0.46 m

risma cuyo ápespejo verticalprisma, (a) ¿a el rayo? Res

EFLEXIÓN,

uarto de ondngitud de ondr mínimo de

l camino óptis nℓ y la longn emerger de (k + 1/4) λo,

de Malus, I

plana polarizad

lo largo y peuadrado de la

Probleide con un ángy un índice deplazamiento tr

a y delgada, aficie inferior sgua (n = 1.33)ncha, si el disc

ice tiene un ánl plano, como¿Cuál es el ánspuestas: (a)

REFRACCIÓ

a se construyda en el vací la placa par

co (c veces egitud del camila placa con u k = 0, 1, 2,.

= Io cos2 θ .

da E = Eo sen

erpendicular aamplitud y d

emas comgulo de 60° soe refracción dransversal entr

abierta por suse encuentra u). Calcúlese elco estuviera f

ngulo de 4o y o se muestra enngulo de incid2°; (b) -1

ÓN Y POLAR

ye con un mato λo = 589 n

ra esta longit

el tiempo de rno óptico del una diferencia. . Entonces,

ωt, es equival

al eje de transado que única

mplementaobre la superfie 1.5. El medre los rayos in

u tapa superiouna pequeña ml radio del má

flotando en el

un índice de rn la figura 35-dencia en el e178°

RIZACIÓN

terial cuyos ínm son n = tud de onda?

recorrido) de rayo extraord

a de fase de 90el grosor mín

lente a dos ond

smisión. Dadoamente se tra

arios

icie de una pladio en cada ladncidente y eme

or, tiene una amancha negra ás pequeño discentro de la s

refracción de -8. Un rayo hoespejo? (b) ¿A

índices de ref1.732 y n | | =

?

la onda ordindinario es n | |ℓ. 0°, los caminonimo satisfac

das planas pol

o que la intenansmite E||,

aca de vidrio qdo de la placa

ergente.

altura de 0.4 y la lata está

sco circular opsuperficie de

1.5 está situadorizontal de luA qué ángulo

329

fracción = 1.456.

naria en la Dado que

os ópticos e

larizadas.

nsidad es

que tiene a es aire.

m. En el comple-paco que agua.

do frente uz incide o total se

330

35.15.

35.16.

35.17.

35.18.

35.19.

Encuéntrese

Respuesta:

En (1 ) del

proporcion

Una luz no misión formRespuesta: I

Encuéntreseincide sobr

Una luz linmedio. ¿Qularizado? (adencia? Respuestas:

REFLEX

e la dirección d

Ex =

Linealmente p

problema 35.

na la elipse qu

polarizada deman un ánguloI = 1/2I' cos2θ

e la intensidae un polarizad

nealmente polué se puede da) ¿son parale

: (a) Al ángutanto, no se parte se reperpendicula

XIÓN, REFR

de polarizació

= 20 cos ωt (V

polarizada a6

.9, muéstrese

ue se gráfica e

e intensidad Io θ. Exprésese

ad transmitiddor perfecto.

larizada inciddecir de los helos al plano d

lo de Brewsterefleja luz alg

efracta. Tantoarmente al plan

RACCIÓN Y P

ón cuando, en c

V/m) Ey =

6.4° con respe

que un camb

en la figura 35

' incide sobre e la intensida

da cuando laRespuesta: I'/

de a un ángulhaces reflejadde incidencia

er la componeguna, (b) Uo el haz reno de incidenc

POLARIZAC

cierto punto, e

= 40 cos (ωt + π

ecto a +X.

bio de variable

5-9.

una pila de dd 1 del haz em

a luz circularm/2

lo de Brewstedos y refracta? (b) ¿son

ente paralela sUna parte de lfractado com

cia.

CIÓN

el campo eléctr

π) (V/m)

es apropiado

dos filtros cuymergente.

mente polariza

er sobre la suados si el hazperpendicular

se refracta comla luz inciden

mo el refleja

[CAPITULO

rico está dado

yos ejes de tra

ada de intensid

uperficie de z incidente esres al plano d

mpletamente; nte se refleja yado se polar

O 35

por

ans-

dad

cierto stá po-de inci-

por lo y otra rizarán

La ópticates (convergtodas las lentrayos son pa

36.1 FîRM

Las dos r

donde

f ≡ lond0 ≡ disdi ≡ disℓ0 ≡ tamℓi = tam

Las cinco cabraico, comoobjeto real yimagen real una imagen

a geométrica gentes, divergtes son delga

araxiales, o se

MULA GAU

relaciones bá

ngitud focal, cstancia del obstancia de la maño lineal dmaño lineal dantidades poro se especific

y convergen h(la cual se pvirtual (la cu

Ópestudia los

gentes) tieneadas: que su gea, que forma

USSIANA DE

ásicas de los

cm bjeto, cm imagen, cm

del objeto, cme la imagen, r convenciónca en la tabla

hacia un objetpuede proyecual no puede

ptica geoefectos que ln sobre los rgrosor es máan pequeños

LAS LENTE

espejos y las

m cm

n se dan en ca 36-1. Recuto virtual. Invctar directame ser proyecta

ométriclos espejos (prayos de luz. s pequeño quángulos con

ES; FîRMU

s lentes sen

entímetros. Cuérdese que lversamente, lomente sobre uada directam

Ca

ca

planos, cóncaEn el presen

ue su radio deel eje del sis

ULA DE LA A

Cada cantidalos rayos de os rayos de luuna pantalla)

mente sobre u

apítulo

avos, convexnte capítulo se curvatura y stema óptico.

AMPLIFICA

ad tiene un siluz divergen

uz convergen ), pero diverguna pantalla)

o 36

os) y las lene supone queque todos los

ACIîN

igno alge-n desde un

hacia una gen desde .

n- e s

332

36.2

La ficame(36.1)

36.1.

36.2.

TRAZO DE

posición, tamente con sóloy (36.2) en l

Descríbase iluminado).

En la figdel espejo M

Dibújese rrespondenciencuentran asecan en P[ cualquier puen P'1P'2. Po

La imageobjeto, ℓo) esUn ojo, que

Para un (d0 y ℓ0 son

Descríbase del centro d

En la figura Por convenipartir de la gF, b' es para

E RAYOS

maño y claseo dibujar la os problemas

la imagen qu

gura 36-1, P1PM.

cualquier númia con los raya', b', c'. Proy[ con lo cual sunto del objetoor lo tanto, se en es erecta. Cs igual a P'1P'se localice comespejo plano positivas seg

la imagen fode curvatura

36-2, los rayoiencia, a se dgeometría del

alelo al eje ópt

ÓPTICA

e de la imagtrayectoria d

s resueltos.

Probleue forma un

P2 representa u

mero de "rayoyos reflejadosyectados haciase localiza un

o real se tratanpuede localiz

Como se puede'2. (longitud demo se ve en lao, f = ∞. Porgún la tabla 36

ormada por un, C.

os reales a, b,dibuja paralel espejo y de l

tico, y c' retorn

A GEOMÉTR

gen que se fode ciertos ray

mas resuespejo plano

un objeto real

Flg.36-1

os reales", com (que se cons

a atrás como lín punto de la n de la misma mzar la imagen e mostrar a pae la imagen, ℓi

a figura, obserlo tanto, (36

6.1).

n espejo cónc

c se dibujan lo al eje óptica ley de la refna a través de

RICA

orma siempreyos. Este mé

ueltos

o con un obje

a una distanci

mo a, b, c, a struyen al aplíneas de trazoimagen virtuamanera, se loccompleta.

artir de geomei). Igualmentervará una flech6.1) da di = -d

cavo cuando

a partir de unco, b a travésflexión, el ray C a lo largo d

e se pueden étodo se emp

eto real (un c

ia d0 de la sup

partir de P1 aicar la ley de

os, los rayos val P'1P'2. Cuancaliza el punto

etría simple, P, do y di son de

ha P'1P'2 por do < 0 y (36.

se sitúa un ob

n punto P1 del s de F, y c a

yo reflejado ade la trayector

[CAPÍTULO

determinar gpleará junto c

uerpo materi

perficie reflect

al espejo. En e la reflexión)virtuales se intndo los rayos

o correspondie

P1P2 (longitude igual magnitdetrás del esp.2) da ℓi = ℓ0

bjeto real fue

objeto real P1a través de C' pasa a travésria de c. La int

O 36

grá-con

ial

tora

co-) se ter-

s de ente

d del tud.

pejo. 0 >0

era

1P2. . A s de ter-

C

3

CAPITULO 3

seccióservar P1, deObsérv

Se

(una i

(una i

36.3. Deséste y

Véimage

Es

6]

n de los rayos que los rayos spués de la revese que la im

ea f = +20 cm,

imagen real)

imagen invert

scríbase la imy su punto focéase la figura en es erecta, vstableciendo

ÓP

s reales a' b' ca, b, c son mu

eflexión, pasa magen está inv

, do = +45 cm

y a partir de

tida y reducid

magen formadcal, F. 36-3. AI con

virtual (por deque f= +20 c

PTICA GEOM

c' en P'1 localizuy especiales. S

a través de Pvertida.

m, ℓo= +5 cm.

(36.2) se obt

da).

da por un espe

struir los rayoetrás del espejm, do = +15

MÉTRICA

za un punto dSin embargo, c'1 , como se pru

Entonces, a p

tiene

ejo cóncavo c

os como en eljo), y amplificm, ℓo = +5 cm

e la imagen recualquier rayoueba al aplica

partir de (36.

cuando un obj

l problema 36cada. m, a partir de

eal P'1P'2. Se po (paraxial) quar la ley de la

1), se obtiene

jeto real se si

6.2, se adviert

e (36.1) y

333

puede ob-ue parta de reflexión.

e que

itúa entre

te que la

(36.2):

334

36.4.

36.5.

Descríbase objeto real

En la figobjeto real PEl rayo refrc' es la conttersección dotros puntos

Suponiene que:

Por los valor

RepítasEn la fig

y amplificadSuponie

la imagen fse sitúa más

gura 36-4, porP1P2 se dibujaractado a' pastinuación de cde los rayos rs de P'1P'2 se lndo que f = +

d

res supuestos,

e el problemgura 36-5 se mda. endo que f =

di = -

ÓPTICA

formada por s allá de su pr razones de c

an paralelos alsa a través dec. Estos rayosreales a', b', localizan de la+20 cm, do =

di = +60cm (

la imagen es

a 36.4 para emuestra la cons

+15 cm, d0 =

-30 cm (virtu

A GEOMÉTR

una lente depunto focal fcomodidad lol eje óptico a tel punto focas, por supuestc' se localizaa misma mane+30 cm, ℓo =

(real) ℓ

amplificada.

el caso de un strucción d

= +10 cm, ℓ0 =

ual) ℓi = +

RICA

elgada convefrontal, F.

os rayos realetravés de F y l trasero F', bo, siguen la l

a el punto P' era. La imagen= +6 cm, a pa

ℓi = -12cm (

objeto real se los rayos

= 2 cm en (36

+6 cm (erect

ergente (posi

s a, b, c que a través del cb' es paraleloey de la refrade la imagenn está invertidartir de (36.1)

invertida)

situado entre s; la imagen

6.1) y (36.2)

ta, amplificada)

[CAPITULO

itiva) cuando

parten de P1centro de la leno al eje ópticoacción Con la n real P'1P'2. Lda. ) y (36.2) se t

la lente y F.es virtual, er

se obtiene qu

)

O 36

o un

del nte. o, y in-Los

tie-

recta

ue

C

3

3

CAPITULO 3

36.6. Descrgativa

Endo y f.

36.7. Descr

El Por lo de objrayos mismo

6]

ríbase la ima).

n la figura 36-6 La imagen e

ríbase la ima

objeto virtual tanto, en la f

eto virtual al reflejados a'

o tamaño y a

Ó

agen de un o

6 aparece la coes virtual, ere

agen que form

es una imagenfigura 36-7 laespejo plano , b', c' convela misma dis

ÓPTICA GEO

objeto real fo

onstrucción deecta y reducid

ma un espejo

n real intercepa lente converM. La construergen hacia estancia del es

MÉTRICA

ormada por u

e rayos, la cuada.

o plano de un

ptada (producirgente auxiliaucción de rayoella), erecta (pejo en que s

una lente del

al es independi

n objeto virt

ida por algún ar L forma la ios muestra qu(la misma orise encuentra

lgada, diverg

iente de la rela

tual.

sistema ópticoimagen real I

ue la imagen eientación de I1.

335

gente (ne-

ación entre

o auxiliar). I1 que sirve es real (los I1) y del

336

36.8.

36.9.

Se puede+15 cm parseparación

Esto es, I1 e(objeto virt

Se puede de

Descríbase

En la fig(no se muesf > 0, se ob

lo cual muela lente. Má

por lo tanto

Descríbaseentre ella y

En la figL1 (no se mu

e comprobar era la lente, ude 18 cm ent

está a 22.5 tual), ℓ0 > 0,

di = +4.5 c

ecir que el efe

la imagen f

gura 36-8, la lstra); I1 es el otiene

estra que la imás aún, (36.2)

, la imagen es

e la imagen qsu punto foc

gura 36-9 la leuestra). I1 es

ÓPTICA

el resultado utun objeto reatre la lente y e

18 = 4.5 cm py f = ∞ en (3

cm (real, dist

ecto neto de M

formada por

ente positiva,objeto virtual

magen es real ) da, para ℓo

s erecta y redu

que forma unal posterior.

ente negativael objeto virtu

A GEOMÉTR

ilizando (36.1l situado a uel espejo, se e

por detrás de M36.1) y (36.2)

tancia igual)

M ha sido mo

una lente po

, L2, interceptpara L2. Al ap

y que se sitúa> 0,

ucida. Estas c

na lente nega

a, L2, intercepual para L2. A

RICA

1) y (36.2). Supuna distancia encuentra a p

M. Por lo tant), se obtiene q

ℓi = ℓo

ver I1 9 cm h

ositiva de un

a la imagen replicarse (36.1)

a entre la lent

onclusiones s

ativa cuando

ta la imagen Al aplicar (36.

poniendo unade 45 cm de

partir de (36.1

to, utilizando que

(erecta, tamaño

acia la lente.

objeto virtu

eal I1 que prod), con d0 < 0 (

te y el punto f

e describen en

o un objeto v

real I1, que pr1), con f < do

[CAPITULO

longitud focae la lente, y 1) que:

d0 = 4.5 cm

o igual)

ual.

duce una lente(objeto virtua

focal posterio

n la figura 36

virtual se sit

roduce una leo<0, se obtien

O 36

al de una

m

e L1 al) y

r de

-8.

túa

ente ne

C

3

CAPITULO 36

6.10. En la Un obla distahace e

(a) Pri

E

Sene

(

6]

figura 36-10bjeto real se pancia al objetequivalente a

imero se loca

sta imagen sir

egún los tamaegativa (imag

Obsérvese 1) es válida

ÓP

0 se muestra upresenta a L1.to d0 y los paráa una sola le

aliza la image

rve como la im

años relativos gen virtual).

que no se hica para cualqui

PTÍCA GEOM

una combinac (a) Encuéntámetros del s

ente delgada

n proveniente

magen (real o

de d0 y de los

cieron suposicier par de len

MÉTRICA

ción de dos ltrese la distanistema, (b) Mde longitud

e de L1:

o virtual) del o

parámetros, d

ciones acerca ntes delgadas.

entes delgadncia a la imag

Muéstrese que focal f, don

objeto para L2

d1 puede ser p

de los signos

as (lente comgen di en térmsi s → 0 el sisde

2 únicamente:

positiva (image

de f1 y f2; por

337

mpuesta). minos de stema se

en real) o

r lo tanto,

338

36.11

36.12

36.13

36.14

36.15

36.16

(b) Si s→

la últi

. Refiérase la relaciónreal en la

2. En la figudetrás del Respuestaespejo.

. Un espejo frente a él Respuesta

4. Un objeto Localícese

5. El radio def, do, ℓo. Respuesta:

6. En la figula lente neRespuesta

→0, (1) se ha

ima de las cu

Pa la figura 36

n (36.1) que, siposición de P

ura 36-3, sea fespejo a una : Una imagen

convexo (na d0 = 30 cm: Una imagen

virtual se locae la imagen. Re

e curvatura de

: f =+20cm; d

ra 36-6 se locgativa. Descrí: La imagen e

ÓPTIC

ace

uales es la fórm

Problema6-2 y muéstrei un objeto reaP1P2.

f = 35 cm. Udistancia de 7

n real y erecta

negativo) tien. Localícese l

n virtual y ere

aliza por detráespuesta: Una

e un espejo po

do = 33.333 cm

caliza un objeíbase la imagees real, erecta

CA GEOMÉT

mula gaussia

as compleese por medioal se coloca en

Un objeto 70 cm. Descra, de 2 cm de

ne una longitla imagen. ¿Ecta a 13.64 cm

ás del espejo da imagen virtu

sitivo es de 40

m; ℓo = 6.67cm

eto virtual enen.a y se encuent

TRICA

na para una l

ementarioo de la construn la posición d

virtual, de 6 íbase la imag tamaño, se f

ud focal de -2s erecta? m por detrás d

del problema 3al a 87.5 cm p

0 cm, di = 50

m

tre F' y la len

tra en el lado

ente delgada

os

ucción de rayde P'1P'2, se fo

cm de tamañgen que se forforma a 23.33

25 cm. Un obj

del espejo.

6.13, a una dipor detrás del e

cm, ℓi = 10 cm

nte sobre el la

emergente.

[CAPITUL

de longitud f

yos y tambiénormará una im

ño, se localizama. cm al frente

jeto real se co

istancia de 35 espejo.

m. Encuéntren

ado emergente

LO 36

focal

por magen

a por

del

oloca

cm.

nse

e de

3

sudinpso

fulace

Eof

E

m

Pc

pLe

37.1 INTER

A menos quuperposición

dirección de lntensidades; e

procedentes deon incoherent

Supóngase fuentes coherenas ondas proveálculo similarstá dada en té

El término I12,ondas en P, lo fase

En el caso espe

La interferemáxima si

Por lo tanto, encomo fuentes e

para θ pequeñLa interferencencuentra don

Inter

RFERENCIA

ue las amplitu(sección 20.4la propagacióeste fenómenoe fuentes cohetes, simplemenque un puntontes de luz cuyenientes de lar al que se realérminos de las

, que es una mcual a su vez de las

ecial de que I

encia es const

n la configuraen fase (∆ф' =

∆r =

o; (37.3) propcia es destructnde

rferenci

A

udes sean muy4). Sin embargón) de la sumo es conocidoerentes, fuentente se suman l

o de observaciya longitud des dos fuentes elizó en el probintensidades,

medida de la iz se determinas dos fuentes:

I1 = I2 = Io, (

tructiva en los

ación de la dob= 0) de igual in

= mλ

porciona el valtiva en los pu

a y difra

y grandes, las ogo, la intensidma de dos ono como interfes que tienen las dos intensión P se localie onda es λ. Poestán polariza

blema 20.9 se , I1 e I2, en P d

interferencia, a por la diferen

(37.1) se tran

s puntos P don

ble rendija de Yntensidad, la i

lor de la intenuntos P donde

acción

ondas de luz sdad (o sea el fndas puede nfefencia. Ésta una diferenciidades. za a las distanor razones de

adas en el mismpuede mostra

desde las dos f

depende de lancia de trayec

nsforma en

nde I12 > 0. E

Young, Fig. 3intensidad má

nsidad máximae I12 < 0. En

Ca

de la lu

inusoidales obflujo de potenno ser igual a

ocurre únicaa de fase fija

ncias r1 y r2, resimplicidad, smo plano. Asíar que la intensfuentes por

a diferencia dectorias ∆r ≡ r1

En particular,

37-l(a), donde xima se locali

a como 4I0. particular, la

aptulo

z

bedecen el princia en el tiema la suma de

amente entre lentre sí. Si la

espectivamentsupóngase tamí pues, por mesidad resultant

e fase, ф, entr1 r2 y la dife

existirá una in

las dos rendijiza por medio

a intensidad m

o 37

ncipio de mpo en la e las dos las ondas as fuentes

te, de dos mbién que dio de un te, I, en P

(37.1)

re las dos erencia de

(37.2)

(37.3)

ntensidad

as actúan de

mínima se

340

En la

o seamáxide la

L

dondproceinten

Cfase interfes tra

37.2

Eincidde radistrifuentde aqpor dformen la

a figura 37-l(

a se hallan a mos y los mí configuració

a generalizac

de Io es la intedentes de r

nsidad máxim

omo se mostde 180° cuanferencia son ansmitida po

DIFRACC

n el caso deden sobre unaadiación en eibuidas unifotes secundariquí el nombredetrás de la b

ma de una larga difracción d

INTERF

(a), estos mín

mitad de camínimos se muón de la dob

ción de (37.3

tensidad en Pendijas adya

ma igual, de m

tró en el probndo son refleposibles cuan

or ellas.

IîN

e las ondas pa superficie opel lado opuesrmemente soias pueden ilue de difraccióbarrera, dondga y delgada rde Fraunhofe

FERENCIA

nimos se loca

mino entre louestran en la fle rendija.

3) a una conf

P debida a unacentes y qumagnitud N2

blema 20.12ejadas por unndo la luz se

planas de luzpaca con un osto del orificobre el área deuminar regionn ("romper" o

de se le denorendija, de aner está dada

Y DIFRACC

alizan por me

os máximos; figura 37-l(b)

figuración de

na rendija, y ue arriban a

Io, cuyas pos

, las ondas en medio óptic refleja a par

z (esto es, cuorificio, el prio es el mismel orificio y qnes en el inteo "doblar"). Eomina difraccnchura w [Fipor

CIÓN DE LA

edio de

el valor de l), la cual es la

e N rendijas e

ф es la dife

P. Como en siciones angu

electromagnétcamente densrtir de dos int

uando los frerincipio de Hmo que se pque oscilaranerior de la somEl fenómeno ción de Fraug. 37-2(a)], l

A LUZ

a intensidad a gráfica de (

es

rencia de fasel caso de N

ulares satisfa

ticas sufren uso. Por lo tanterfases muy

entes de ondaHuygens estabproduciría porn coherentemembra geométes simple en unhofer. Si ela distribució

[CAPÍTULO

mínima es 0

(37.3) para el

(

se entre las oN = 2, existeacen

un corrimiennto, los efectpoco separa

a son planosblece que el cr fuentes idénente en fase. trica de la badistancias gra

el orificio tieón de intensid

O 37

0. Los l caso

(37.4)

ondas e una

nto de tos de das o

s) que campo nticas Estas

arrera; andes

ene la dades

CCAPITULO 377] INTTERFERENCCIA Y DIFRAACCIÓN DEE LA LUZ 341

342

dondde la

UEn uinterf(37.5caliz

(la eccomoθ ≥ 0patróespac

37.1.

37.2.

37.3.

de ф ≡ (2π/λ)Wa rendija. En lUna rejilla de una incidencferencia de la5). Por lo tanzan por medio

cuación de lao se muestra0) correspondón de la renciamiento d d

Dos radiade las ondπ/4. Encuéción del observaci

Dado q

Un experilongitud dresoluciónentre sí la

Refiéra

la separacfranjas ady

En un expsí y se ilumqué distanlas rendijque coinc

INTER

W sen θ es la dla figura (37-difracción cia normal, sas N rendijasnto, existen po de

a rejilla), per en la figura

diente a un pindija, lo cuade las rendija

adores idénticdas emitidaséntrese la disángulo θ y

ión P [véase que ∆r = (λ/8

imento de dode onda 500 nn angular de

as dos rendijaase a la figura

ión angular dyacentes es qu

perimento deminan con unncia mínimaas se encontr

cida con una

RFERENCIA

diferencia de -2(fo) se mueonsta de un gse puede mos (37.4), modpicos de inte

ro las alturas37-3. El val

ico dado se dal dependeráas.

Problecos tienen uns por ambas stribución de que especila figura 37-

8) sen θ, la di

oble rendija nm y se colocl ojo del obs

as si el observa 37-1 (a). Da

de franjas adyaue

e doble rendijna mezcla de de la franja rará una franfranja brilan

Y DIFRACC

fase, en el ánestra la gráficgran número,ostrar que sudulado por elerferencia fue

d sen θ = mλ

de estos piclor de m (0, 1denomina ordá de la relac

emas resuna separaciónfuentes. La intensidades

ifique la dir-l(a)].iferencia de f

de Young secan las rendijservador es 1vador apenas ado que las fra

acentes es λd.

ja de Young,dos longitudbrillante cen

nja brillante dnte del otro?

CIÓN DE LA

ngulo de obseca de (37.5)., N, de rendiju patrón de l patrón de dertes, e igual

cos conforman1, 2,...; únicaden. Ciertos óción entre el

ueltos

n d = λ/8, dodiferencia d

s en el camporección de l

fase en P es

e realiza utiljas a 2 m de u1' (0.000291 distingue las

anjas brillante

Por lo tanto,

, las rendijasdes de onda, λntral común de uno de lo

A LUZ

ervación θ, en

as paralelas, Fraunhofer

difracción de lmente espac

n lo envolvenamente se neórdenes puedl ancho de l

nde λ es la lode fase ∆ф' do de radiaciónlos radiador

lizando una funa pantalla.

rad), ¿a qués franjas de ines se localizan

la condición

s se encuentrλ = 750 nm y sobre una pas patrones de

[CAPITUL

ntre las dos or

surcos o ranes el patrónuna sola ren

ciados, que s

nte de difraccesita consid

den no estar ela rendija w

ongitud de ode las fuentesn como una fres al punto

fuente de luzSabiendo qu

é distancia esnterferencia?n por medio d

para distingu

an a 2 mm enλ' = 900 nm,

antalla a 2 me interferenc

LO 37

rillas

uras. n de

ndija, e lo-

ción, derar en el y el

nda s es fun- de

z de ue la stán ?

de

uir

ntre , ¿A

m de ia

C

3

3

CAPITULO 3

Rebrillan

Iguala

Por lo

37.4. ConsiUn hadio 2)reflejparale

Sedistande ond180°

La co

en ta

37.5. Por mde gropulidoluz bl

37] IN

efiérase a la Fnte del patrón

ando estas dis

o tanto, la prim

idérese una az de luz, a () se divide ea (parcialme

elo a b. Encu

e calcula la dincia adicional da es λ2 = (n1/ en la reflexi

ndición del m

anto que la c

medio de un posor t = 250 no. ¿Cuál es el lanca? Supón

TERFERENC

Fig. 37-1 (a). λ' se localiza

tancias se tien

mera posición

plancha muy(medio 1) incn un rayo reente) en el fuéntrense las

iferencia de fde 2t (suponie/n2)λ1. Más aúión. En conse

máximo de la i

condición de

roceso de annm e índice de

color de los ungase una in

CIA Y DIFR

La franja brian en

ne que

n en que ocur

y delgada decide casi norflejado, b, y

fondo de la is condicione

fase, ф, entre endo una incidún, uno de loscuencia,

interferencia c

el máximo de

nodizado, unae refracción nutensilios concidencia nor

RACCIÓN DE

illante m-ésim

rre el traslape

e grosor t , comalmente en un rayo refrinterfaz y rees de interfer

los dos rayodencia casi nors rayos (b, si n

constructiva e

la interferenc

a película tran2 = 1.8, se denstruidos conrmal de la luz

E LA LUZ

ma del patrón

e es

omo se muesn la interfaz cractado, d. Egresa al medrencia para l

s en P. El rayrmal) en un mn2>n1) sufre u

es, entonces

cia destructiva

ansparente deposita sobre esta hoja cuaz.

λ y la m'-ési

stra en la Ficon la planch

El rayo refracdio I como uos rayos b y

yo d ha recormedio donde la

un cambio de

a es

e óxido de aluna hoja de a

ando se obser

343

ma franja

g . 37-4. ha (me ctado se un rayo y d.

rrido una longitud

e fase de

luminio, aluminio van con

344

37.6.

Se debefluctúen enharán de minterferenci

Únicamentregión del v

El máxi

y de estos De lo a

fuertementque la ilum

Una antenOpera a unpor la antregistra curisco.

La antenlago (Fig. perturbacioreflejado y

y existe unfase en E e

INTERF

e encontrar quntre 400 nm

modo construcia constructiva

te el valor covisible. imo de la inte

valores, sóloanterior se infe, en tanto qu

mina.

a de radar sena longitud dtena. El primuando éste se

na de radar rec37-5). Venu

ones en B y D el rayo direct

n corrimiento es

FERENCIA Y

ué colores de l(violeta) a 70

ctivo. A partira ocurre en

orrespondient

erferencia des

λ1 = 450 nmfiere que el exe el extremo v

e localiza ende onda de 40mer mínimo e halla a 35°

cibe señales dus se puede tienen siemprto es

de fase de TC

Y DIFRACC

la región del v00 nm (rojo)r del problem

e a m = 1, es

tructiva ocurr

m (violeta) se xtremo rojo-anvioleta-azul te

la cima de u00 m. El planen la señal

° por encima

irectamente dconsiderar in

re la misma fa

C debido a la r

CIÓN DE LA

visible, cuyas , interferirán

ma 37.4, con n

sto es, λ1 = 6

re en

encuentra en naranjado-amaendrá una inte

un risco muyeta Venus sareflejada po

a del horizon

e Venus y pornfinitamente ase. La diferen

reflexión en B

LUZ

longitudes de destructivamn1= 1 (aire),

600 nm (na

la región delarillo del especensidad menor

y alto, a la oale del horizoor la superficnte. Encuéntr

r la reflexión dlejos, de tal ncia de trayec

B. Por lo tanto

[CAPÍTULO

e onda en el vmente y cuále

el máximo d

aranja), cae e

l visible. ctro será refler que la luz bla

rilla de un laonte y es segucie de Venurese la altura

de la superficiemanera que

toria entre el

o, la diferenci

O 37

acío es lo de la

en la

ejado anca

ago. uido s se

a del

e del e las rayo

ia de

C

37

37

3

37

CAPITULO 37

y para implica

7.7. Una renormalmáximsituadorendija

Unaque todla lentatravieuna dis

A pdel má

donde

7.8. En la FFraunhrifiqúe

PorSuponidos val

El erro

37.9. Una fuerejilla se tras

De orden coincid

de don

7.10. Cuanddente dcada m

7] INT

un mínimo dearía y = 0, se

ndija se locallmente con lu

mo central delos a 4 mm de a?

a propiedad fudos los rayos e no altera esan el centro dstancia f fren

partir de (37.5áximo central

w es el anch

Fig. 37-2(bhofer de unaese este valor

r (37.5) los priendo que el vlores, ф = 3π,

or que resultó

ente de luz emde difracció

slapan apena

acuerdo con lm-ésimo y el

dirán exactame

nde m = 3. Po

do una rejillade una fuentemáximo prin

TERFERENC

e intensidad etiene que ф =

liza "en el inuz de longitud patrón de didistancia entr

undamental derecorren la ml patrón de dde la lente no

nte a la pantal5), o de la Fig está dado po

ho de la rendi

b) se indica sola rendija

r.

rimeros dos mvalor de $ parse tiene que

de la suposic

mite una men se ilumina s a un ángul

la ecuación del límite de loente si

or lo tanto, da

a de difraccióe muy delgad

ncipal en el p

CIA Y DIFRA

sto debe ser i= 3π, por lo qu

finito" frented de onda de ifracción quere sí. ¿Cuál e

e cualquier sistmisma longituddifracción de son desviadoslla de observg. 37-2(b), elor

ija. Pero

el primer pia, cuya brilla

mínimos de intra el primer p

ión hecha es

zcla de longcon esta fue

o de 30°. ¿C

e la rejilla, el ongitud de on

ado que θ = 3

ón se iluminada y muy largpatrón de Fra

ACCIÓN DE

gual a π, 3π, ue

a una lente d600 nm. Los se observa es la anchura d

tema de enfoqd de camino ó

la rendija. Ds, el efecto netación. l ángulo del p

co secundariantez es 0.04

tensidad (cerospico secundar

de 4% aproxi

itudes de onente, se obserCuántas línea

límite de lonnda corta del

30°,

a normalmenga (por ejempaunhofer es

E LA LUZ

5rc. Excluye

de longitud foprimeros mín

en el plano fode la

ue, como lo esóptico a travésDe hecho, dadto de la lente

primer mínim

io en el patr47 veces la d

s) se localizanrio se encuent

madamente.

da de 450 a 6rva que dos es por metro

gitud de onda espectro de

nte con luz mplo, una renduna imagen

endo ф = π, lo

ocal 1 m y senimos a cada ocal de la len

s una lente, cos de ella. Por do que los raes colocar la r

mo en el lado

rón de difracdel pico cent

n a ф = 2π y tra a la mitad

600 nm. Cuaespectros adytiene Ja rejil

a larga del esporden (m +

monocromáticdija en una pa

brillante de

345

o cual

e ilumina lado del

nte están

nsiste en lo tanto,

ayos que rendija a

positivo

cción de tral. Ve-

ф = 4π. de estos

ndo una yacentes la?

pectro de l)-ésimo

ca proce-antalla),

e la

346

37.11

37.12.

37.13.

37.14.

fuente. Expincidente

Dejandque el m

A partir deN ф/2 = + Pero

La ecuacióción de la De aquí qu

. Reconsidéde onda. ER ≡ λ/δ , dresolubles en el orden

De acueangular es problema 3

La diferen

Y compara

Obsérv

. Una rejillalongitudes observan eRespuesta: d

. En un expde orden cobservaciórefracción franja brill

. En un expenormalmenfranjas adEncuéntres

INTER

présese la ancy de la anch

do a un lado lomáximo prince (37.4) se puπ; o sea ∆θ = 4

ón ( i ) se aplicrejilla. Obsér

ue, cuanto má

rese el probleEl poder de rdonde δ es la

las líneas espn m-ésimo.

erdo con el crila mitad del an

37.10 como

nciación de la

ando las dos e

vese que el p

P plana de difrade onda, 559 n

en el espectro dθ = 2.05 x 10-

erimento de dcero del patróón. Cuando u

es 1.5, se collante de quint

erimento de donte dos rendijayacentes es se la longitud

RFERENCIA

chura angular hura de la rejos máximos y mipal se encuen

uede inferir qu4π/N. Esta mism

ca al pico de orvese que ∆θs ancha sea la

ema 37.10 curesolución dea diferencia mpectrales λ 1

iterio de Raylencho angular d

ecuación de l

xpresiones pa

poder de reso

Problemasacción con 20nm y 559.5 nde segundo o

-4 rad

doble rendijaón de interfereuna película oca sobre unato orden. ¿Cuá

oble rendija, las paralelas qde 9.4 mm c de onda de la

Y DIFRACC

de esta línea ejilla.mínimos secuntra a un ánguue el máximoma diferencia d

orden m-ésimes inversame

a rejilla, más n

uando la fuente la rejilla, a más pequeña/2δ y X + 1/2

eigh, dos picosde cada pico. E

las rejillas, d s

ara d cos θ (∆θ

olución es el

s complem0 000 líneas pnm. ¿Cuál esorden?

a de Young seencia se encudelgada y de

a de las rendijaál es el grosor

a luz provenieue están a 2 mcuando se coa luz amarilla

CIÓN DE LA

espectral en té

undarios (véasulo ∆θ entre do central se exde fase caracter

mo cuando cos nte proporcionítidas serán l

te emita una muna longitud

a de longitud2δ . Encuéntre

s son apenas reEsta separación

sen θ = mλ, da

θ)min se obtien

l mismo en t

mentariospor metro se ilus la separación

e emplea luz dentra en la pae un materialas, en este casr de la películ

ente de una lámmm de distancoloca la panta. Respuesta: 5

A LUZ

érminos de la

se la Fig. 37-3os mínimos co

xtiende desdriza los otros m

θ se evalúa aonal al ancho,las líneas espe

mezcla contind de onda λ, es de onda p

ese Rm, el pod

esolubles cuann mínima está

a

ne que Rm = mN

todas las lon

sumina con luz

n angular de la

de 600 nm y arte central sol transparenteso la posición a? Respuesta:

mpara de vapoia entre sí. Laalla a 3.2 m590 nm

[CAPITUL

longitud de

), se puede suonsecutivos.e N ф/2 =-π

máximos princi

a partir de la e Nd, de la rej

ectrales.

nua de longituse define com

para la cual sder de resoluc

ndo su separacidada por (1 ) d

N.

ngitudes de o

z consistente das dos líneas q

la franja brillobre la pantale, cuyo índiccentral la ocu

: 6 µm

or de sodio ilua distancia ent

m de las ren

LO 37

onda

poner

a ipales.

ecua- illa.

udes mo son ción

ión del

onda.

de dos que se

lante lla de ce de upa la

umina tre las ndijas.

C

3

CAPITULO 3

37.15. Muésserva r2m + s

curvatum-ésim

37.16. Una r1000 de dif

37.17. Una rintensonda

37.18. ¿Cuán(589.5

7] INT

strese que enel patrón de

r2m = Rsλ d

ura "de la caramo del patrón.

rendija larga nm. ¿Cuál es

fracción de Fr

rejilla de difrasidad se observde la luz, si é

ntas líneas deb592 nm y 588

TERFERENC

n un experimefranjas con lu

donde λ es la a inferior "de l

y delgada, ds el ángulo θ raunhofer? Re

acción que tieva a un ánguloésta es un má

be tener una r8.995 nm) en

CIA Y DIFR

ento de los auz reflejada alongitud de

la lente y rm +

e 2 µm de anque correspo

espuesta: 30°

ene 100 000 lo de 20° con reximo de prim

rejilla de difrael espectro de

RACCIÓN DE

nillos de Newa partir de la onda de la ls y r m son

ncho, se ilumnde al primer

líneas/m se ilspecto a la

mer orden? Re

acción si con ee segundo ord

E LA LUZ

wton (Fig. 37superficie plauz que se utilos radios de l

ina con luz dr mínimo de i

umina normanormal. ¿Cu

espuesta: 384

ella se resuelvden? Respuest

7-6), en el cuana, casi normiliza, R es ellos anillos (m +

de longitud dintensidad en

almente. Un muál es la lo nm

ve el doblete dta: 494

347

ual se ob-malmente radio de + s)-ésimo

e onda de n el patrón

máximo de ongitud de

del sodio

3

r

lmfe

mf

3L

dir

dt

38.1 LOS D

Recuérdesrespecto del

Postuladolongitud, masmismas constfísica (la mecequivalentes.

Postuladom/s cuando sfuente de luz

38.2 CONSELas transform

Sean dos sdel eje comúninercial y qurazones de co

Supóngasedenada tempotemporal t'. E

OS POSTUL

se que en la scual es válid

o I. Todas lassa, tiempo y tantes numércánica, al igu

o II. La veloce mide en cu

z.

ECUENCIASmaciones de L

sistemas inercn X,X' (Fig. 38ue todos los omodidad su

e que un evenoral t, y el miEntonces, los

RelaLADOS BçSI

ección 4.3 seda la primera leyes de la fíotras tienen icas en todosal que la elec

cidad de la luzualquier sistem

S DE LOS POLorentz

ciales, L y L 8-1). Supóngarelojes de un

upóngase que

nto se especiismo evento es dos conjunt

atividadICOS

e definió el sisa ley de Newísica, expresaexactamente

s los sistemasctricidad y el

z en el espacima inercial. E

OSTULADOS

L ', en movimiease que un reln sistema ene, cuando los

fique en L pen L ' por las tos de coorde

d especia

stema inerciawton del movadas en algún

las mismas fs inerciales. Emagnetismo

io vacío tieneEsto es cierto

S

ento a una veloloj se encuentrn particular es orígenes O

por las coordcoordenadas

enadas se rel

Ca

al

al como un sivimiento.

sistema consformas matemEs decir, en c), todos los s

e un valor únio sin importa

ocidad relativra fijo a cada

están sincronO y O' coincid

denadas espacs espaciales xacionan por

apítulo

stema de coo

sistente de unmáticas e incuanto a las le

sistemas inerc

ico c = 2.9979ar el movimie

va constante v a punto de cadizados. Tambden, t = t' = 0

ciales x, y, z yx' y', z' y la co

o 38

ordenadas

nidades de cluyen las eyes de la ciales son

925 X 108 ento de la

a lo largo da sistema bién, por 0.

y la coor-

oordenada

350

o por

Obsérinterc

Lau' = (uen L

Contr

Un orepo

su lon

Dado Si la bproyecproye

DilataSu

por unpuntoL ' sedos einterv

Dadoel obsPrecasistemsi se q

RelacSu

inerciu rela

rvese que, de ambiar las cos transformau'x, u'y, u'z), l :

raccin de la Imagine un

observador enso. Sin embangitud como

que ℓ < ℓ', barra tiene uncciones X y cciones Y y

acin del tiemupóngase qun reloj unido

o P en el tieme le conoce coeventos ocurrvalo de tiemp

que ∆t > ∆tservador en Laución: (38.6)mas de referequiere obten

ciones entre lupóngase queial L , y resuativa a L , su

acuerdo conoordenadas pciones de coola velocidad

longitud na barra rígidn L ', en repoargo, un obse

la barra se cna orientació

X' de la baY' y para las

mpo

e un evento o al punto P d

mpo t'2, medidomo el intervren en diferepo ∆t ≡ t2

, el intervaloL ; a él le pare) no es válidaencia. Se deber la relación

la masa y la e la masa de uulta ser m0, masa (medid

RELATIV

n el postuladoprimadas y nordenadas dede una partí

da que se enoso con respervador en L ,

contrae (relan arbitraria f

arra; ambos os proyeccione

E1 ocurre ende L '. Supón

do por el mismvalo de tiempentes lugares t1 entre E1 y

o de tiempo secerá que el ra para dos evebe recurrir din entre las se

velocidad, launa partículala masa en

da en L ) es

VIDAD ESPE

o I, se obtieneno primadas ye Lorentz imícula medida

ncuentra fijacto a la barra, para el cual

ativa a su lonfija en L ', enobservadores es Z y Z'.

n el punto Pngase que unmo reloj. Al ipo propio ents, por lo quey E2. Se tien

se dilata (relareloj en movimentos que ocuirectamente eparaciones d

a masa y la ea se mide miereposo. Si lu

ECIAL

e (38.2) a pary cambiar el mplican la siga en L ' y u =

a a lo largo da, mide su lon

la barra se m

ngitud en reptonces (38.5)medirán las

P(x', y', z') enn segundo evntervalo de ttre E1 y E2. P

e requiere doe que:

ativo al intermiento en L

urran en lugara las transfode tiempo de

energaentras se encuuego la partí

rtir de (38.1),signo de v. guiente trans

= (ux, uy, uz),

del eje X' enngitud como

mueve con ve

poso) para e) únicamentes mismas lon

n L ' en el tivento, E2, ocuiempo ∆t ' ≡ Para un obseros relojes pa

rvalo de tiem' funciona máres diferentesormaciones de dichos even

uentra en repícula se mue

[CAPÍTULO

o viceversa,

formación ensu velocidad

n la figura 3ℓ', la longitud

elocidad v, m

l observadore se aplicará angitudes para

empo t'1 , medurre en el mit'2 t'1 medidrvador en Lra determina

(3

mpo propio) pás despacio. en ambos

de Lorentz (3ntos.

poso en un siseve con velo

O 38

, al

ntre d

8-1. d en

mide

r L . a las a las

dido ismo o en los

ar el

38.6)

para

38.2)

stema

ocidad

CAPÍTULO

y su energía

donde Eo ≡ mreposo, inclutérmica, y otdefine como

La energíen reposo Eo38.11).

En todos la Fig. 38-1.

38.1. En el10 mcorre(c) v

A

38]

a total (medi

m0c2 es la eneruyen las contritras), que po energía ciné

ía total E de uo, y por tanto

los problemaLa velocidad

l tiempo t ' =m, y' = 4 m, z' espondientesv = 2 x 108

Aplicando (3

RE

da en L ) es

rgía en reposibuciones de see la partícética, K, de l

un sistema aila masa en re

Pras, L y L ' sod de la luz se

= 4 x 10-4 s, = 6 m (obsér

s de x, y, z, tm/s.

38.1).

ELATIVIDAD

so de la partíctodas las formula cuando ela partícula;

islado se coneposo E0/c2, n

roblemas on sistemas intoma como c

medido en Lrvese que estt, medidos en

D ESPECIAL

cula. La masamas de energíestá en reposesto es,

nserva en la reno se conserv

resueltosnerciales cuy

c =. 2.997925

L ', una partíto constituyen L , para (a)

L

a en reposo, y ía (gravitacio

so en L . A la

elatividad esvan por separa

s

yo movimient5 x 108 m/s.

ícula se encue un evento). ) v = +500 m

por tanto la eonal, electroma diferencia

pecial, pero lado (véase el

to relativo se

uentra en el Calcúlense l

m/s, (b) v =

351

energía en magnética,

E E0 se

la energía l problema

e indica en

punto x' = los valores -500 m/s,

352

38.2.

38.3.

38.4.

38.5.

Supóngase1100 m, y =Calcúlensev = 2 X 108

Aplicand

En t = 10- 3

ocurre este A partir

Entonces, a

Supóngase bombilla deL , se expaque, aun cuobservan u

La ecuac

La transform

la cual se re

La ecuaciónvelocidad c.

En realidver exactamlas relaciontransformac

Una nave esTierra. ¿Cuá

El obser

que en t = 6= 100 m, z = los valores m/s.

do (38.2):

3 s (en L , oc evento para

de la primera

a partir de la

que, en el ine destello exnde un frentuando L ' se n frente de o

ción del frente

mación de Lor

educe

n (2) represen dad, el razona

mente el mismones entre las cciones de Lore

pacial (en repál es su velocid

rvador mide l

RELATIV

6 x 10-4 s, la300 m, todoscorrespondie

curre una expel observado

a relación en

cuarta relaci

nstante en quplota en ese

te de ondas emueve relat

ondas exacta

e de ondas en

rentz de ( 1 )

nta un frente d

amiento siguió tipo de ondasoordenadas enentz. Véase el

oso) de longitdad relativa a

a longitud de

VIDAD ESPE

s coordenads los valores entes medido

plosión en xor en L ', si p

(38.2),

ón en (38.2),

ue el origen origen comú

esférico a partivo a L co

amente simila

L es

es

de ondas esfé

ó el camino má, debido a los pn los dos sistl problema 38

tud 100 m requla Tierra?

e la nave espa

ECIAL

as espacialemedidos en e

os en el siste

x = 5 km. ¿Cpara él ocurr

,

O' coincide ún. De acuerdrtir de O a un velocidad ar expandién

érico que se ex

ás largo. Los opostulados I y emas tengan u.19.

uiere 4 µs para

acial y descub

s de una parel sistema "esma "en movi

uál es el t ieme en x' = 35.

con O (en t =do con los obna velocidadv, los obser

ndose a parti

xpande a part

observadores eII. Esto (casi suna forma par

a pasar ante un

bre que es

[CAPÍTULO

tícula son x stacionario" Limiento" L ',

mpo en el qu354 km?

= t' = 0), unbservadores ed c. Muéstresvadores en Lr de O'.

tir de O' con u

en L y L 'desiempre) hace rticular, la de

n observador e

38

= L . si

ue

na en se L '

(1)

una

eben que

e las

en la

CAPITULO

dondes ℓ/v de loDe o

en pa

38.6. Un remarcalugarsistem

Endica q

38.7. En uneste p

38.8. Un hP, may locaocurrsi v =

A

Los elos recon a

38.9. Un el

38]

de v es la velov. Entonces,

o cual v = 0.0tro modo, de

asar ante el ob

eloj se encuena exactamentr en L '). Encma "estacion

n (a) los inque el reloj e

n cierto lugarproceso de a

hombre insertarca t = 15 µsalizado en P2(en simultánea= 2 x 108 m/plicando la cu

eventos no ocelojes en L ' naquéllos.

lectrón tiene

RE

cidad de la na

083 c. esde el punto

servador terre

ntra en el marte 200 segundcuéntrese el inario" L , si (

ntervalos de tien L ' funcion

r en L ' se reacuerdo con l

ta un clavo es. En el mism(3000 m, 500amente en L ).s. uarta relación

urren simultáno están sincro

e velocidad u

ELATIVIDAD

ave relativa a

de vista de la

estre. Igualand

rco L en ciedos. Después,intervalo de t(a) v = 2, X 1

iempo son pana más lentam

quieren 45 mlas medidas

en el punto Pmo momento, 0 m, 150 m), s. Calcúlese el

n de (38.2),

áneamente en onizados, aun

u' relativo a L

D ESPECIAL

él. Entonces,

a nave espaci

do esto a 100/v

erto punto (x', marca 300 stiempo entre

105 m/s, (b) v

articularmentemente que un

minutos para realizadas en

P1(4000 m, como lo mar

su hermano intiempo de cad

L '. Por lo tancuando los re

L ', y las com

, él encuentra

ial, ésta tarda

v (s) se obtie

, y', z'). En deegundos (dos

e estos dos evv = 2 x 108 m

e iguales, perono en L .

cocinar una n L ? Sea v =

100 m, 200rca otro relojnserta otro clada evento que

nto, a partir delojes en L ' ha

mponentes de

que el tiempo

a

ene el mismo v

eterminado ms eventos en eventos, medi

m/s.

o en (b) el res

patata. ¿Cuá= 2 X 108 m/s

m) de L ; e sincronizad

avo en P2. (Dose determina

del punto de vayan sido sinc

e ésta son

353

o de vuelo

valor de v.

momento el mismo ido en el

sultado in-

ánto tarda s.

el reloj en o con éste os eventos

aría en L ',

vista de L , cronizados

354

38.10.

38.11.

n 38.12.

EncuéntrenA partir

Igualmente,

La conservacespecial; si(a) Obténgcantidad de

(a) Elevanobtiene

Pero mvector

DebidMeV/cma 38.

(b) La enetica, 1

Muéstrese mente inelá

Supóngel uno acantidaM0c2. L

Se puede obEn la "colis

nuye (véase

Las masas e

El deuterónenergía se un neutrón

se las compode (38.3)

, uz = 1.97159

ción de la cantn embargo, ease la relacióe movimiento

ndo al cuadrae

mc2 = E, la en

de la cantida

do a la formac, a nivel ató.20.) ergía total de

MeV. Enton

que la masa ástica.

gase que dos al otro con igd de movimi

La energía ini

servar que laión" de partíe el problem

en reposo del

n (el núcleo debe liberar

n libre, que in

RELATIVID

onentes de la v

x 107 m/s. Po

tidad de movimeste principioón entre la cao de un elect

ado (38.7)

nergía total; mad de movim

a de (38.9), lamico, donde

l electrón es nces, a partir

en reposo no

cuerpos idéngual rapideziento el cuericial del siste

a masa final ículas elemen

ma 38.12).

protón, del ne

del hidrógenr en la formanicialmente

DAD ESPEC

velocidad me

or lo tanto,

miento lineal do es el que coantidad de motrón de 1 me

y luego mul

m0c2 = E0, lamiento. Por lo

as cantidadese las energías

su energía ede (38.9)

o se conserva

nticos, cada u u', chocan y

rpo conglomeema era

en reposo, Mntales para fo

eutrón y del d

no pesado) coación de un dse encuentra

CIAL

edidas en L , a

de un sistema onduce a la novimiento y lV.

ltiplicando am

a energía en ro tanto, la rel

s de movimies están dadas

en reposo, 0. se obtiene

a en una con

uno con masy quedan pegerado debe q

Mo, excede a formar el núc

deuterón son:

onsta de un pdeuterón a pan en reposo

así como la m

aislado es válno constanciala energía tot

mbos lados p

reposo; mu =lación busca

ento a menuds en eV o Me

511 MeV, mque

ndición simét

a en reposo gados. Por coquedar en rep

Por lo tan

la masa inic

cleo, la masa

protón y un nartir de un p"en el infini

[CAPIT

magnitud de u

ido en la relata de la masa tal, (b) Calcú

por c4[l - (u2/c

= p, la magnitada es

do se especifieV. (Véase el

más su energí

trica y perfec

m0, se aproxonservación poso, con ennto,

ial en reposoen reposo d

neutrón. ¿Cuáprotón libre yito"?

ULO 38

u.

tividad (38.7).

úlese la

c2)], se

tud del

(38.9)

ican en l proble-

a cine-

cta-

ximan de la

nergía

o, 2m0. ismi-

ánta y de

CAPITULO

L

(lo c

Así penergdeute

38.13. Una masala Ti

C

por l

38.14. La mdesp108 m

(a) L

(b) L

38.15. Encutemp

38.16. En eles el

38.17. Un evt'1 = X 10-4

que v

38]

La masa en rep

cual es equiva

pues, por consegía. Esta mismerón para sep

nave espaciaa determinaderra?

Considerando

o cual u = 4.2

masa en reposoués de que h

m/s. (a) Evalú

La energía cin

La energía en

uéntrese el inperatura se in

l momento t dtiempo del go

vento sucede e3 X 10 -4 s. D4 s. ¿Cuál es ev = 2 x 108 m

RE

poso que se p

alente a una p

ervación de la ma cantidad deparar hasta el

al en reposo sa desde la T

el sistema de

2082 X 107 m/

o de un protóna caído a travúese ∆V. (b)

nética del pro

n reposo del p

ncremento dencrementa en

Probledeterminado eolpe medido p

en x' = 1000 mDespués, cuandel intervalo ent/s. Respuesta

ELATIVIDAD

pierde al form

pérdida de ene

energía, los al energía, la eninfinito al pr

sobre la Tierierra es m =

la Tierra com

/s.

n es m = 1.67vés de una diEncuéntrese

tón es

rotón es moc2

E = 938.3 +

e la masa de100 °C.

emas comen L , el origepor un reloj en

m en el eje X';do otro eventtre los evento

as: (a) 5 x 10

D ESPECIAL

marse un deut

ergía en repo

lrededores debnergía de amarotón y al neu

rra tiene una 10100 kg. ¿

mo inercial y a

2614 X 10 -27

iferencia de e la energía to

= 938.3 MeV

+ 321 = 1259.3

100 kg de c

mplementan O' de L 'es

n L ' situado e

; en ese momeo ocurre en es (a) medido e-4 s; (b) 6.712

L

terón es

so)

ben absorber erre del deuteró

utrón.

masa mo= 10¿Cuál es su v

aplicando (3

kg. Su velocipotencial eleotal del protó

V; por lo tanto

MeV

cobre (C = 0

arios

golpeado poren O'? Respue

ento, el reloj ul mismo punten L '; (b) m2 x 10-4 s

exactamente 2.ón, debe sumin

0000 kg. Al vvelocidad u r

38.7),

idad en el labevada, ∆V, eón.

o, la energía t

.389 kj/kg

r un meteoritoesta:

unido a ese puto, el reloj ma

medido en L .

355

.22 MeV de nistrarse al

volar, su relativa a

boratorio, s u = 2 X

total es

K) si su

o. ¿Cuál

nto marca arca t'2 = 8 Supóngase

356

38.18.

38.19.

38.20.

38.21.

38.22.

38.23.

Un electrón

Si v = 2 X 10Respuestas:

Verifíquese q

se transform

Calcúlese el MeV/c. Respuesta: 1 M

La masa en rrelativa al la

Un tanque reel tanque se en L ?

Respuesta:

Refiérase al inciden al ca

sale de un cañ

05 km/s, ¿cuá (a) 17 000 km

que, según la t

ma en la ecuac

factor de conv

Me V/c = 0.534

reposo de un áaboratorio) d

ectangular sellena con un

problema 38.alcular la razó

RELATIV

ñón de electro

l es la velocidm/s; (b) 206 6

transformació

ción de onda

versión entre l

4 x 10-21 kg m/

átomo de litiodoblará esta m

fija en L ', clíquido de de

22. Compruébón a la cual en

VIDAD ESPE

ones en O' con

dad del electr670 km/s

ón de Lorentz,

en L ',

las unidades c

/s

o es m0 = 1.15masa su valor?

con sus orillasensidad ρ, me

bese que el obn el tanque se

CIAL

n componente

ón, (a) en L

la ecuación d

conocidas de l

5224 X 10 -26 k? Respuesta: 2

s paralelas a ledida en L ', ¿

bservador en Le pierde la ma

[C

es de velocida

L ', (b) en L

de onda en L

la cantidad de

kg. ¿A qué r2.59628 X 108

los ejes de co¿cuál es la de

L ' y el observasa debido a l

CAPITULO 38

ad

L ?

movimiento y

rapidez (con m/s

oordenadas. ensidad medid

vador en L , ca evaporación

8

y

n

Si da

co-n.

L

d

c

d

rrNt

e

Ap

39.1 NATU

La radiaco su longitud

La misma radenergía E o lde carga cersistema inercconstituye ti

donde h es laes, a partir d

En la des

rectamente presulta ser cε0N es el númtiempo y E e

donde Eo es

39.2 EFECT

La liberacefecto fotoel

Aquí, K m á xperficie de untrabajo del m

El potencdetener al mcuencia de lasin importar entonces rees

URALEZA DU

ión electromd de onda λ,

diación, consla cantidad dro, de masa cial). Si en suene una ener

a constante dde (35.9) y co

scripción ondproporcional a

0/2 ≈ 1.33 X 1mero de fotones la energía

la amplitud d

TO FOTOEL

ción de electéctrico. La e

x es la energín metal, hv esmetal, es la ecial de frenaás energético

a onda electrola intensida

scribir como

UAL DE LA

magnética, conlas cuales se

iderada comode movimienen reposo cu aspecto onrgía

de Planck [pron Eo = 0,

dulatoria, la al cuadrado d0-3 S. En la denes que cruz

a de cada fotó

del campo el

LÉCTRICO

trones de un ecuación foto

ía cinética más la energía deenergía de enado, Vs, es eo fotoelectrónomagnética ind incidente;

Foton LUZ

nsiderada come relacionan

λv =

o un flujo de to p de los foero y que vi

ndulatorio la

E = hoblema 32.5

intensidad dde la amplituescripción cozan un área ón. Por lo ta

léctrico.

material, deoeléctrica de

K m á x = háxima (no ree los fotones qnlace del últil valor de la

n; esto es, eVncidente por d

es decir, hvc

eVs = h(

nes

mo una ondapor

ccuantos (llamotones indiviiajan únicamradiación tien

hv(b)]. La cant

e un haz de ud [véase (20orpuscular, la

unitaria peranto,

ebido a la acEinstein es

h v - W m í n

lativista) de que golpean limo electróna diferencia dVs = K m á x . Ldebajo de la cuc = W m í n .

(v-vc)

Ca

, se caracteri

mados fotonesiduales. Los

mente con rane frecuencia

idad de mov

radiación el0.9)]; el factointensidad es rpendicular a

ción de la ra

los electronela superficie,

n del átomo dde potencialLa frecuenciaual no existe La ecuación

apítulo

iza por su frec

s), se caracterfotones son pidez c (en a v, cada fot

imiento de c

lectromagnétior de proporcjustamente N

al haz por u

adiación, se d

es expulsadosy W m í n la f

del metal. de retardo qa umbral, vc,corriente fotode Einstein

o 39

cuencia v

(39.1)

riza por la idénticos cualquier

tón que la

(39.2) ada fotón

(39.3)

ica es di-cionalidad NE, donde unidad de

(39.4)

denomina

(39.5) s de la su-función de

que logra es la fre-oeléctrica,

se puede

(39.6)

358

39.3 Cu

electrlo tan

dondenominComponda

39.4

El cargascomo fotone

Si de moopues

Si positrópartícude moenergíes

39.1.

DISPERSIÓNuando un fotóón retrocedeto, una long

e θ es el ángnado longitudpton sea signCompton (en

Fig. 39

ANIQUILAC

electrón y el s son opuestaspara interactu

es, por lo que

las dos antipaovimiento, lotas y serán dun fotón tienón. La ley deula, ordinaria

ovimiento. Laía del fotón.

¿Cuál eUtilizan

N DE COMPón de longitue y el fotón ditud de onda

gulo de disped de onda Coificativo, la n la región d

9-1 Conserva

CIÓN DE PA

positrón cons, y se puedenuar de manere la conserva

artículas se anos dos fotonede igual magnne suficiente e conservacióamente el núa energía cinLa ley de co

s la energía edo la convers

F

PTON

ud de onda λdispersado tiea más larga,

ersión, como ompton, tienelongitud de

de los rayos

ación de la canti

ARES, PROD

nstituyen un pn aniquilar enra significanteación de la e

niquilan en es tendrán sus

nitud (lo cualenergía, puen de la cantid

úcleo de un átnética obtenidonservación d

Probleen un cuantoión hc = 19.8

FOTONES

choca con unene una enerλ'. La ecuac

se muestra e un valor de onda incidenX o de los r

tidad de movim

DUCCIÓN D

par de antiparntre sí cuandoe. Por lo regunergía en est

l reposo, debs vectores del significa enede producir udad de movimtomo masivoda por este nde la energía

emas resuo de radiación65 x 10-26 J m

n electrón librgía menor a ción de Comp

en la figura 0.0243 Ǻ =

nte debe ser rayos γ).

miento en la disp

DE PARES

rtículas. Tien se encuentra

ular después dte proceso se

ido a la ley de cantidad deergías fotóniun par de an

miento requieo, que aporte núcleo es desa en este proc

ueltos

n cuya longim = 1241 eV

bre de masa ela del fotón ipton es

39-1. El térm2430 fm. Pa

comparable

persión de Com

nen masas iguan lo suficientde la aniquilace expresa así

e conservacióe movimientoicas iguales).ntipartículas, uere la presenccierta porció

spreciable coceso de prod

tud de onda nm, se tiene

[CAPITULO

en reposo meincidente, y

(3

mino h/mec, ara que el efea la longitud

mpton

uales me perotemente cercación quedan

ón de la cantio en direccio un electrón yia de una terc

ón de la cantiomparada conducción de pa

mide 700 nme que

O 39

e, el por

39.7) de-

ecto d de

sus anos dos

idad ones

y un cera dad n la ares

m?

C

3

3

3

3

3

CAPÍTULO 3

39.2. Un seEl senlongitemitid

La

La lám

Dasegunradio

y el nú

39.3. Una láde ondEncuédad de

A

39.4. Con ltrabajcinéti

39.5. ¿En q

cuandde raymás p

Daaceleraun sol

39.6. Sobresión d

39]

nsor se exponsor tiene untud de onda da en forma

a energía de u

mpara utiliza 2

ado que la radndo es n multi10 m:

úmero de foto

ámpara de mda es 412 nméntrese el núme área, suponpartir de E =

luz de longito fotoeléctrica del fotoel

qué cantidad,do se bombardyos X tiene upequeña en eado que la funación, se puedo fotón de en

e una superficde fotoelectro

one durante 0na apertura des de 600 nmde luz.

un fotón de lu

200 W de pote

diación tiene siplicado por e

ones que entra

mesa ilumina lm. La amplitumero N de fotniendo que la= hc/λ y (39

tud de onda ico de 2 eV.lectrón más e

, en el efectodea un blanco

un potencial dsta radiación

nción de trabade suponer quenergía máxima

cie incide luzones cuyo po

FOTON

0.1 s a una bode 20 mm de m? Supóngas

uz es

encia. El núme

simetría esfériel cociente de

an al sensor e

la superficie ud de esta ontones que choa iluminació9.4),

600 nm se . Encuéntreenergético, y

o fotoeléctrico de tungstende aceleración?

ajo del tungstee la energía cina:

z de longitudotencial de fr

NES

ombilla de 20diámetro. ¿C

se que toda l

ero de fotones

ica, el númeroel área de la a

s 0.1 s es

de un escritonda electromocan contra en es normal.

ilumina un mense (a) la ey (c) el poten

co inverso, sno con electroón de 60 000

eno es muchonética complet

d de onda λ1 =renado es de

00 W situadaCuántos fotola energía de

que, emite por

o de fotones qapertura entre

(0.1) (1.53 x

orio con luz vmagnética eel escritorio p

metal que tinergía del fo

ncial de frena

se producen ones acelerad

0 V, ¿cuál es

o más pequeñta de un electr

= 550 nm, prVs1 = 0.19 V

a a 10 m de dones entran ee la lámpara

r segundo es, e

que entran al se el área de la

1014) = 1.53 x

violeta cuya s de 63.2

por segundo y

ene una funotón; (b) la ado.

fotones de rdos? Si una mla longitud d

ña que el poterón se pierde a

rovocando laV. Supóngase

359

distancia. en él si la

es

entonces

sensor por esfera de

x 1013.

longitud V/m.

y por uni-

ción de energía

rayos X máquina de onda

encial de al crearse

a expul- e que la

360

39.7.

39.8.

39.9.

radiación dde frenado

Verifíquese(θ = 180°).

Véase lde la conse

y a partir d

Sustituyenen la relaci

de donde

Supóngas0.2 MeV. longitud dfotones diincidencia?

Muéstreseaniquilan

de longitud de Vs2; (b) la fun

e la ecuación

la figura 39-1.ervación de la

de la conservac

do estas expreión de la canti

λ' λ = 2hc/E

e que los el(a) ¿Cuál e

de onda de losispersados q?

e que, cuandcreándose do

onda λ2 = 190nción de trabaj

n de Compto

. Suponiendocantidad de m

ción de la ener

esiones en la cidad de movim

E0 = 2h/mec, qu

ectrones en es la longitus fotones disp

que emergen

do un positróos fotones, ca

FOTONES

0 nm incidiera o de la superfi

on (39.7) cua

o que el electrómovimiento se

rgía relativista

cantidad de mmiento y energ

ue es la ecuac

un blanco dud de onda apersados un á

a un ángulo

ón y un electrada fotón tien

sobre la supericie, y (c) la fre

ando el fotó

ón se encuentrtiene que,

a,

movimiento fingía, (38.9), se

ción de Compt

de carbón disasociada a esángulo de 90o

o de 60° co

rón (ambos ene la longitud

rficie. Calcúlenecuencia umbr

ón se disp

ra inicialment

nal del electróne obtiene

ton con cos θ =

spersan un hstos fotones?o? (c) ¿Cuál eon respecto a

esencialmend de onda de

[CAPITUL

nse (a) el poteral de la super

persa retroce

e en reposo, a

n y la energía

= 1.

haz de fotone? (b) ¿Cuál s la energía da la direcció

nte en reposoCompton.

O 39

encial rficie.

ediendo

a partir

final

es de es la

de los ón de

o) se

C

3

3

5

3

3

3

3

CAPITULO 3

Lacantidconse

39.10. Demutrón e

Elcinétilo tan

39.11. EncuéRespu

59.11. En la trón e13.6 e

39.11. Con lSe exotro etrabaj

39.12. Se maEncuéRespu

39.13. La fucuenc¿cuál Respu

39.16. DespuSi el eRespu

39]

a energía totadad de movimervación de la

uéstrese que les la mitad d

l fotón incidenica sea igual anto,

éntrese la eneruesta: 2.36 eV

fotoionizacióexpulsado cuaeV. Respuesta

uz ultravioletxpulsan electrelectrodo para jo Wmín de es

antiene una caéntrese la longuesta: 0.0125 n

nción de trabcia umbral de

es la máximauestas: (a) 72

ués de la aniquelectrón y el puesta: 0.49 Me

l antes de la amiento requiere

energía,

la longitud de la longitud

nte debe tener cero (aquí se

Problergía de los fot

V

ón del átomo ando el átomoa: 7 eV

ta cuya longitrones del tung

evitar que losta superficie?

aída de voltajgitud de onda nm

bajo fotoeléctla muestra? (

a energía cinét20 THz; (b) 1

uilación de papositrón teníaeV

FOTON

aniquilación ee que las ene

de onda umbrd de onda Com

r al menos la prescindirá d

mas comptones en un ha

de hidrógeno absorbe un f

tud de onda egsteno, y un ps electrones lle? Respuesta:

e de 100 kV emás corta en

rico de una h(b) Si incide stica de los ele1.06 eV

ares, dos fotonan la misma en

NES

es 2mec2; y deergías de los

al para la prompton.

suficiente enee la energía ci

plementaaz cuya longit

o, ¿cuál será lfotón de 60 nm

s 250 nm se ipotencial de 2eguen al segun2.62 eV

entre el ánodoel espectro de

hoja de cobre sobre la hoja ctrones expul

nes de 1 MeVnergía cinétic

espués, 2hc/λfotones sean

oducción de u

ergía para creainética del núc

arios

tud de onda es

la máxima enm? La energía

ilumina una s2.4 V se aplicndo electrodo

o y el cátodo e los rayos X

es de 3 eV. luz de longitu

lsados?

V se mueven ena, encuéntres

λ (la conservaiguales). Ento

un par positr

ar un par que cleo que retro

s 526 nm.

ergía cinéticaa de ionizació

uperficie de tca entre el tu

o. ¿Cuál es la f

de un tubo deque se emiten

(a) ¿Cuálud de onda de

n direccionese el valor de e

361

ación de la onces, por

rón-elec

la energía cede). Por

a del elec- ón de H es

tungsteno. ngsteno y

función de

e rayos X. n.

es la fre-e 310 nm,

opuestas. ella.

40.1 INTROUn átomo

es el símbolnúmero de eneutrones).

EJEMPLO 4en el núcleo. exactamente

donde No es eEl protón

cuencia, la m

El modelen general, aque se le hancual están pincorrecta. Scon un elect

40.2 ENER

Supóngasestacionariodada por

(Véase el pr

40.3 POSTU

(1) El elmento angu

ODUCCIÓN

o se especificlo químico delectrones en

40.1. La especLa unidad dede 12 u. Dado

el número de n y el neutrón masa del átomo

lo de Bohr sea cualquier átn quitado todrohibidas ór

Sin embargo, rón.

RGÍA CLASI

se que un ele, de carga Ze

roblema 40.1)

ULADOS D

ectrón no pular, mvr, sea

El

ca al dar la codel elemento,n el átomo n

cie más abune masa atómio que, por def

Avogadro (stienen masas

o neutro AX se

e aplica al áttomo semejandos sus electrbitas precisaesta última p

CA DEL ÁT

ectrón se mue. Entonces, l

). Recuérden

EL MODEL

uede ocupar a un múltiplo

átomo

omposición d, Z es el númneutro) y A

dante de carbica (u) se eligfinición, 12 g

ección 17.1).s iguales, y tieerá muy cerca

omo de hidrónte al hidrógtrones exceptas, circularespredice las en

TOMO

eve en una óa energía tota

nse los valore

O DE BOHR

una órbita do entero de h

de Boh

de su núcleo, mero de prot

es el númer

bón es el C, ge de tal manegramos de C

enen mucho mana a A u.

ógeno, H; ageno (átomo cto uno. A la s o elípticas nergías de ion

órbita circularal del electró

es aproximad

R

de radio arbith/2π:

126

126

1 1

Ca

hr

utilizando laones en el nro total de n

el cual tiene era que la masC constituyen

más masa que

al helio ionizcon un electrluz de la medel electrón)

nización y el

r de radio r ón, que es la e

dos

trario, sino s

apítulo

a forma X. Enúcleo (que enucleones (p

6 protones 6 sa del átomo d1 mol, se tien

e el electrón.

zado, He+ oón), o sea, un

ecánica cuánt), la teoría despectro de l

en torno de energía del át

sólo aquella

Z A

3 2

o 40

En ésta, X es igual al protones y

neutrones de C sea ne que

En conse-

o He+ y, n átomo al tica (en la

de Bohr es os átomos

un núcleo tomo, está

(40.1)

cuyo mo-

(40.2)

12 6

4 2

364

Recuérla mas

(2) esto di

(3) Eh, a uenergía

(4) cuantoelectro

40.4 N

Estcentríp

Ahora

A los electróencuenradio ycuerda

40.5 E

Cuaonda d

donde

Estpor tanconsis

rdense los valoa (en reposo)El electrón n

ifiera de las lEl electrón p

una órbita inta

El electrón po de energía ones o con en

NIVELES D

tableciendo qpeta, se obtie

a bien, resolv

valores cuanón. Cuando nntran en el niy la energía an con los va

ESPECTROS

ando se sustdel fotón emi

la constante

te valor para nto, estacionaste en reempl

ores h = 6.626) del electrónno irradia enleyes clásicaspuede "caer" terna (de baja

puede "subir"como el da

nergía radian

DE ENERGÍA

que la fuerzaene que

viendo (40.1)

ntizados de n = 1, el átoivel base o esde ionizació

alores experim

S ATÓMICOS

ituyen las enitido o absor

de Rydberg

la constanteario. La correlazar la masa

EL ÁTO

62 x 10-34 J sn. Al entero nnergía mientrs de la electrdesde una ór

a energía) de

" desde una ódo por (40.3

nte.

A

a de Coulom

, (40.2), (40.

energía En somo tiene sustado base. O

ón del H (enmentales en g

S

nergías permrbido se obtie

está dada por

de Rydberg ección necesaa del electrón

1 1

OMO DE BO

s y m = 9.109 xn se le denomas se mueve icidad y el mrbita exteriorenergía Eℓ, y

órbita interna3), Ésta se p

mb entre el e

.4) para r, v,

se les denomu mínima enObsérvese qun el estado bgran medida

mitidas (40.7)ene que

r

refleja la suparia del moden m en (40.5

OHR

x 10-31 kg paramina número c

en una de lamagnetismo. r (de alta eney esto lo hace

a hasta una órpuede sumini

electrón y el

y E como fu

mina niveles dergía; es ent

ue r°1 y E°1 rebase); los val.

, y v = c/λ e

posición de uelo de Bohr p), (40.7), y (

a la constantecuántico de las órbitas per

rgía), en la ce irradiando u

rbita externaistrar con un

núcleo es ig

unciones de n

de energía dtonces cuandepresentan relores 0.529 Ǻ

en (40.3), pa

un núcleo co

para una masa40.9) por

[CAPITULO

e de Planck y pa órbita. rmitidas, aun

ual la energíun fotón de

(4

a absorbiendon bombardeo

gual a la fue

n, se obtiene

del átomo codo se dice quespectivamenǺ y 13.6 eV

ara la longitu

on masa infina nuclear fini

O 40

para

nque

a es

40.3)

o un o de

erza

(40.4)

on un ue se nte el con-

ud de

(40.8)

(40.9)

nita y, ta M,

C

le

(

d

cfnp

CAPITULO 4

la masa reduentonces

(El valor cor

Ahora biedescrito por 10-3 Ǻ-1! Lascomún de nℓ figura 40-1, nh =∞. Las trpara el H e1

1

40]

ucida del átom

rrecto de E°1

en, el espectuna expresió 'líneas" espeen (40.8). Ldonde las li

ransiciones cen la figura 4

EL

mo. El valor

es 13.598 eV

tro de emisióón del mismoectrales (probas tres seriesneas de trazo

causantes de e40-2.

L ÁTOMO D

teórico corre

V.)

ón que se obo tipo de (40blema 37.10)s más prominos representaestas series s

DE BOHR

ecto de la con

bserva en el .8) ¡con una ) se agrupan nentes para ean los límitesse indican en

nstante de Ry

átomo de hiconstante emen series que

el H se indics de las seri el diagrama

1 1

ydberg para e

idrógeno es mpírica de 1.e responden acan (no a escies correspon de niveles d

365

el H es,

de hecho .096776 X a un valor cala) en la ndientes a de energía

1 1

366

40.1.

40.2.

40.3.

Obténgase (

Según

Por lo tanto

Utilizando Bohr y (b)

Calcúlenseblema 40-2

(a) El mom

Pero a

(40.1).

(25.6), la en

o, a partir del

la masa redula quinta órb

e la velocidad.

mento angular

partir de la F

EL ÁTO

Proble

ergía potenci

problema 13.

ucida del Hbita de Bohr

d del electró

r total, Ln, dep

Fig. 40-3 y de

1 1

OMO DE BO

emas resu

ial del electró

.21, la energía

H, calcúlese er.

ón y su mome

pende únicam

la definición

OHR

ueltos

ón en el camp

a total del ele

el radio de (a

ento angular

mente del núm

n del centro de

po del núcleo

ectrón es

a) la órbita m

r en las dos ó

mero cuántico,

e masa,

[CAPITULO

es

más pequeña

órbitas del pr

n. Por lo tant

O 40

de

ro-

to

CAPITULO

40.4. Veridel

H

40.5. Calcserie

U

40.6. La c

se ll1/13

40.7. ¿Cudel

En1 =Lym

40.8. Un gacellínea

Sniveexci

O 40]

ifíquense los H.

Haciendo la

cúlense las loe de Lyman, Utilícese la fó

combinación

lama constan37.

ál es la máxi H en estado

El fotón con e= 1 a nh= ∞. Pman, que en e

gas de hidróglerados a paras espectraleSi un átomo ael (n = 4); véaitar las tres pri

1 1

1 1

E

valores asign

corrección d

ongitudes de (b) la serie d

órmula de Ryd

de las cantid

nte de estruc

ima longitudo base?

el que se bomPor lo tanto, sel problema 4

geno monoatrtir del reposs se emitiránabsorbe 12.7ase la Fig. 40imeras líneas d

EL ÁTOMO

nados en la fig

de la masa red

onda de las de Balmer. Tadberg,

dades fundam

ctura fina. M

d de onda de

mbardea debe u longitud de

40.5(a) fue de

tómico se boo a través de

n?

5 eV de ener0-2. Por lo tande Lyman, las

DE BOHR

gura 40-2 a lo

ducida en (4

tres primerasambién encu

mentales [véas

Muéstrese que

la luz que pu

tener suficiee onda no debe 911.76 Ǻ.

ombardea cone una diferen

rgía, será llevnto, para caers dos primeras

os primeros c

40.7), se tiene

s líneas espeéntrense los

se (40.6)]

e α es sólo un

uede llevar a

ente energía pbe exceder la

n un haz de encia de poten

vado del niver al nivel base

de Balmer y l

uatro niveles

e que

ctrales del Hlímites de la

n número, de

a cabo la foto

para llevar al edel límite de

electrones quncial de 12.7

el base (n = 1e existe la posla primera de

1 1

367

s de energía

H en (a) la s series.

e magnitud

oionización

electrón de la serie de

ue han sido 75 V. ¿Qué

1) al cuarto sibilidad de Paschen.

368

40.9.

40.10.

40.11.

40.12.

40.13.

(a) Calcúlenspotencial de iserie K (nℓ= (a) Con Z =

Por tanto

(b) De acuerd1/9 de las londel problema (Los valorestante empíric

Supóngase qumetal, (a) Cacuéntrense lanh = 2, 3, 4.

(a) Aquí Z =energías corre

(b) Dividien Estas longitudel voltaje corr

esto es, un po

La primera línpor debajo dinfiérase la fóRydberg por m

Un electrón yminado positroRespuesta: 6.8

Calcúlense, enfrarrojo) paraRespuestas: 1.

se los primeroionización? (b1; nh = 2, 3, 43 y m' ≈ m,

o, E1 = -122.4

do con (40.8)gitudes de ond

a 40.5(a),

s anteriores soca de Rydberg

ue se disponealcúlense losas longitudes¿Cuál es el p

= 29 y m' = ≈espondientes a

ndo las longitu

des de onda serespondiente a

otencial de io

Pronea de Balme

de la línea coórmula H demedio de la m

su antipartícuonio. ¿Cuál ser8 V (RP - R∞/2

n µm, las long el H. .87563 µm; 1.2

2 1

1 1

EL ÁTO

os tres niveleb) Encuéntren

4). (40.7) se tra

4 eV (el poten

, las longitudda correspondi

on un poco mag para el H

e de medios ps tres primeros de onda de potencial de i

m y, por tana 1H:

udes de onda q

e encuentran ea λ∞.

onización de 1

oblemas cr del isótopo rrespondiente

el deuterio. (Smasa reducida.)

ula (sección 39rá el potencial d2)

gitudes de ond

28217 µm; 1.09

1 1

MO DE BOH

s de energía dnse las longit

ansforma en

ncial de ioniz

des de onda deientes al hidró

ayores, dado qen lugar de R

ara quitar 28 os niveles delas líneas espionización de

to, las energí

que se obtuvie

en la región de

11.5 kV.

complemdel hidrógeno

e al hidrógenugerencia: l)

9.3), el positróde ionización d

da de las tres p

9412 µm

HR

del litio dobletudes de onda

zación es de

el litio doblemgeno. Por lo ta

que en el probRx.)

electrones dee energía del pectrales de lel último elec

as permitidas

eron en el prob

e los rayos X.

mentarios

o, deuterio, seo ordinario ala masa del nú

ón, pueden fordel positronio?

primeras línea

[C

emente ionizaa de las tres pr

122.4 V) y

mente ionizadanto, utilizand

blema 40.5 se

el 29Cu en un electrón rest

la serie para ctrón?

s serán 292 =

blema 40.5 (a)

El potencial d

encuentra a 6a 6562.8 Ǻ. Aúcleo entra en

rmar un sistem

as en la serie d

CAPITULO 4

ado. ¿Cuál esriras líneas de

do (Z = 3) serádo los resultado

utilizó la con

vapor de estetante, (b) En-la cual n1 =1

= 841 veces la

) entre 841,

de ionización

6561.01 Ǻ, juA partir de en la constante

ma ligado deno

de Paschen (in

40

su e la

án os

ns-

e -;

as

es

sto sto de

o-

n-

CAPITULO

40.14. (a) Bohr

(b) vida elect

40.15. (a) EEncucalcusultaRespu

40.16. Una mentse ex

Resp

40]

Muéstrese qur en un átomo

Verifíquensemedia del Hrón en ese tie

El electrón deuéntrese la freular la frecuenados de (a) y (uestas: (a) v

frecuepredichcargad

banda continute 1000 Ǻ hasxamina con un

uesta: Las lín1215 ǺPaschen

1 1

E

ue la frecuenco con un elect

las unidadesH en su primeempo? Respue

H cae desdcuencia de la

ncia de revolu(b) a la luz de= 52.6 MHz. ncia del fotónha por las ecu

do en su movim

ua de radiacióta 10 000 Ǻ p

n espectrógrafo

neas que emitǺ y 1025.7 Ǻ en, con excepc

1 1

EL ÁTOMO D

cia de revoluctrón está dada

s s-1 o Hz parer estado excitesta: (c) 8.3 X

de una órbita pradiación que

ución del elecel principio de

(b) f = 52.6 n correspondeuaciones clásicmiento circula

ón que contienasa a través do. ¿Qué result

te el hidrógenen la serie de

ción de sus cua

DE BOHR

ción del electa por

ra el lado dertado es de 10

X 106

para la cual ne se emite, (btrón en la órbe correspondeMHz. (c) A n

e a la frecuencas de Maxwear con acelera

ne todas las lode un gas de htados se encue

no excitado en Lyman, la seatro primeras

trón en la órb

echo de la ec ns. ¿Cuántas

n = 501 en otr) Utilícese el

bita n = 500. encia de Bohrnúmeros cuánncia de la radell; a saber: la

ación centrípet

ongitudes de oidrógeno monentran?

ntre los 1000 erie completa líneas.

bita circular n

cuación anteris revoluciones

ra para la cuaproblema 40.(c) Compáre

r. ticos altos (n

diación electroa frecuencia dta.

onda desde apnoatómico. La

Ǻ y los 10 0de Balmer y

369

n-ésima de

ior, (c) La s realiza el

al n = 500. .14(a) para nse los re-

= 500), la omagnética del electrón

proximada-a radiación

000 Ǻ son: la serie de

41.1 ENER

La energgeneral, la edada por

donde mp, mque se trate.las comparaexpresión en

A menudo smasa, como

y la equival

41.2 DESIN

Cualquieexcepto si lalos nucleoneradiactiva, etiempo t es

donde No esdesintegracitadística y suposicioneprobabilidaddel núcleo.

La vida suficientempartir de (41

RGÍA DE AM

gía de amarreenergía de am

mn, y M son re Al sumar o s

ativamente pn términos de

se quita de (4o u (ejemplo 4

lencia entre m

NTEGRACIÓ

er núcleo ineas leyes fundaes y la carga eel número de

s el número iión) es espees independs (i) de que ld de que un núVéase el probmedia, T1/2,

mente grande d1.3),

MARRE DE

e del deuterómarre del nucl

espectivamenustraer Z masequeñas ener

e las masas en

41.1) o (41.2)40.1). Obsérv

MH = 1.masa y energía

ÓN RADIACT

estable puedeamentales de celéctrica impoe núcleos no

nicial (muy gcífica de cad

diente del melos núcleos súcleo dado deblema 41.5.

de un núclede núcleos no

El núNÚCLEOS E

ón, H, se caeótido X co

te las masas esas electrónicrgías de aman reposo de át

) el factor c2, vese que los v

.007825 ua 1 u 931.

TIVA

e desintegrarconservaciónosibilitan ese desintegrado

N = N0

grande) de núda núclido recanismo exae desintegran

ecaiga en los s

o inestable edesintegrado

2 1

A Z

úcleo

ESTABLES

alculó en el pompuesto de Z

en reposo de ucas en reposo arre de estos tomos neutro

el cual en efvalores

mn = 1.008.5 MeV (prob

rse y convertn de la masa y

proceso. De aos (N) que es

N0e-λt

úcleos inestabradiactivo. Laacto del procn independiensiguientes ∆ti

es el tiempo os habrá decre

C

problema 38.Z protones y N

un protón, una la derecha delectrones,

s:

fecto hace qu

8665 u

blema 41.1).

tirse en otrasla energía, la

acuerdo con lstarán present

bles en la mua relación (4ceso. Su valntemente unoi segundos es

después del ecido hasta 1/

apítul

.12. De una mN = A Z neu

n neutrón y dede (41.1), y. dse puede ree

e BEX tenga

s partículas a cantidad de ma ley de la detes en una m

uestra; λ, (la c41.3) es únicidez descans

os de otros; (iλ ∆t, sin impo

cual cualquie/2 de su núme

o 41

manera más utrones, está

el núcleo del despreciando escribir esta

unidades de

(o fotones), movimiento, sintegración

muestra en el

(41.3)

constante de camente es-sa sobre las ii) de que la ortar la edad

er población ero inicial. A

372

De otroacti

La uniantiguo

41.3 R

Unade una

x se denEl v

reposo

= (Dado q

Q =Según masas

41.1.

41.2.

41.3.

o modo, la pvidad, A, de

dad SI de aco curie (1 Ci

REACCIONE

a reacción nu partícula y

nomina el proalor Q de undel proyecti

Q≡[

(energía en repoque la energí

= (energía cinéla reacción, Qen reposo, e

Si una masa

Con base

Estímese la 1015)A1/3 (mneutrón y de

(Las densida

Calcúlense masa del O16

8

probabilidad e una muestra

ctividad es e= 3.7 x 1010

ES NUCLEA

clear en la cuy la formaci

x

oyectil; a X ea reacción nuil más el blan(Mx + Mx) - (M

oso de las partía total E = E

ética de las partQ puede ser pl valor Q de

1 u se convir

e en el ejemplo

densidad de m), donde A el protón son

ades ordinarias

(a) la energíO neutro es M

EL

de que un na es su razón

l becquerel (s-l).

ARES

ual una partíción de un nú+ X→Y + y

el blanco; y euclear es la ennco y de la pMy+MY)]c2

culas participanE0 + K se con

tículas resultanpositiva, neguna reacción

Problemrtiera complet

o 40.1,

materia en eles el número

n iguales a 1

s son del orden

ía de amarre Mo = 15.9949

NÚCLEO

núcleo no se n de desinteg

(1 Bq = 1 s-1

cula x choca cúcleo residua

o

s la partículanergía disponpartícula pro

ntes) (energíanserva, tamb

ntes) (energía gativa o cero.n es el mismo

mas resuetamente en en

l núcleo. Tómo de masa de.67 X 1027 k

n de 103 kg/m

del O y (b)15 u.

16 8

desintegre dgración:

1), pero aún

contra un núcal Y se indic

X(x,y)Y

a producto; ynible a partirducto más e

a en reposo de lién se tiene

cinética de las Debido a suo en todos lo

eltos

nergía, ¿de cu

mese el radio l núcleo, y su

kg.

m3.)

) la energía d

[

durante T1/2

se utiliza am

leo X, resultaca como

y Y es el núclr de la diferenl núcleo que

las partículas reque

partículas partu dependenciaos sistemas in

uánta energía

del núcleo coupóngase qu

de amarre po

[CAPITULO 4

es de 1/2. L

(41

mpliamente e

ando la emisi

eo que reculancia de masa recula:

(41.

esultantes)

ticipantes) (41.a única de lanerciales.

se dispondría

omo R = (1.2e las masas d

or nucleón. L

41

La

.5)

el

ón

a. en

6)

7) s

a?

2 X del

La

CAP

41.4

41.5

41.6

PITULO 41]

4. La energnucleón nucleón m15.99491

Después d

La ES es

o 12.13 MSi el n

que la ES como un grande seSe removnúcleos spara los n

. Obténgas

Comeprevisto dnúmero prque sucedN(t) tienees N(t) x 1000 ( )"

Cuandecaer se

6. MuéstresA par

decaen e

1 6

gía de separamás débilm

menos ligado15 u.

de quitar un p

por lo tanto,

MeV. núcleo se inter es mayor que "efecto de vol

ea el número toverá gran cane quiten, el ef

nucleones que

se (41.3), o s

nzando con ude núcleos quromedio de nú

dería en un intee una probab(λ ∆t). [Comp.] En consecu

ndo No es muye puede ident

se que la vidrtir del probleentre el tiemp

ación, ES, es ente ligado

o es un protón

protón, H, d

en términos

rpreta de acuela EA [calcula

lumen", ya queotal de nucleonntidad de enefecto del volu quedan. Ento

sea la ley esta

un gran númeue no se han úcleos observadervalo infinitebilidad de depárese: "si se uencia, se tien

y grande (comtificar con el n

a media de uema 41.5, la po t y t + dt)

1 1

EL NÚCLE

la energía mdel núcleo. n. La masa at

del núcleo O

de las masas

erdo con el moada como 7.98e el núcleo pones A, más dif

ergía para qumen y otros e

onces, la EA. p

adística de la

ero, No, de tipdesintegrado dos si el experisimal de tiemp

esintegración lanzan 1000

ne que

mo casi siemprnúmero obser

un núcleo inefracción de nestá dada por

16 8

O

ínima que seCalcúlese la

tómica del N

O, queda un n

atómicas neu

delo de la got8 MeV en el prsee una energfícil será quitaitar el primerfectos decrecpara el O es

a desintegrac

pos de núcleodespués de unimento se repitpo (t, t + ∆t). Dλ ∆t, el númdados, el núm

re lo es), el núrvado en real

estable es pornúcleos que tir

15 7

16 8

e debe suminia energía ESN es 15.00010

núcleo de N:

utras,

ta líquida, la problema 41.3(bía de amarre Ear el protón indr protón. Peren y la EA conmás pequeña

ión radiactiv

os inestables, n tiempo t. [Etiera muchas vDado que cualmero esperad

mero de los qu

úmero esperadidad.

r término meienen vida m

15 7

istrar para quS para el O,08 u y del O

:

paradoja apareb)] se puede exEv = aA. Cuantdividual del nro entre más ntinúa reduciéque su ES.

va.

sea N(t) el nEsto es, N(t)

veces.] Considéquiera de los n

do de que deue mostrarán u

do, N de núcle

edio Tprom = 1edia t (esto e

16 8 16 8

373

uitar el , si el

O es de

ente de xpresar to más

núcleo. y más éndose

número será el

érese lo núcleos ecaigan un 5 es

eos sin

1/λ

es, que

374

41.7.

41.8.

41.9.

Si un núclidal bombardeque existan dde estos núc

(a) La poblaminuye

Separand

(b) A partirmenta onúmero

En loley de decierto m

Una sustancque las canti

X decae

Por cada núcλxNx núcleosλyNy núcleos

Para inte La vida medeste element

(a) El núm

do radiactivo ar un blanco

después de t sleos radiactiv

ación N simula una razón λ

do las variabl

r del resultado incrementa amáximo de núo anterior se sesintegración

momento.

ia X se desinidades inicial

a una razón

cleo X que se d por segundo.por segundo.

egrar esto, tra

dia del 215At to, ¿cuál es s

mero de átomos

EL

se produce acon neutroneegundos de q

vos.

ltáneamente sλN. Por lo tan

es e integrand

o de (a) se asintóticamenúcleos es esupuso que n/radiactiva, y p

ntegra en unales de X y Y

de

desintegra se f. Pero al mism El increment

aspóngase λyN

es de 100 µsu actividad (

s radiactivos p

NÚCLEO

a una razón ces), encuéntreque el número

e incrementa nto, la razón n

do, se tiene qu

puede observnte hacia n/λ, entonces el m/λ, al igual qupor lo tanto, e

a sustancia rason Nx0 y Ny0

forma uno de mo tiempo queto neto de núc

Ny y multiplíq

s. Si inicialm(a) inicialmen

presentes al in

onstante de nense (a) el nú sea N0, (b) e

a una razón nneta de increm

ue

var que N(t) de acuerdo c

más grande de ue N0, es muyel resultado de

adiactiva Y. E0, respectivam

Y. Por lo tante Y se forma, cleos Y por se

quense ambos

mente una munte? (b) ¿Des

nicio es

[

n por segundúmero (esperal número máx

n y por la desmento, es

comienza en

con N0 > n/λN0 y n/λ.

y grande; de oe (a), deja de te

Encuéntrese Nmente.

o, Y se formase desintegragundo será pu

s lados por eλy

uestra contiespués de 200

[CAPITULO 4

o (por ejempado) de núcleximo(esperad

integración di

n No y se decλ o n/λ > No.

otra manera, lener validez e

Ny, si se sabe

a una razón da a una razón dues

yt dt:

ene 6 mg de µs?

41

plo os

do)

is-

cre- El

la en

e

de de

C

4

4

4

CAPITULO 4

y

P

41.10. La tabradiacla con

De o In CRuna recpasa a Entonc

o λ = 0Ob

41.11. A mencon unformauna pactividtranscuna acactividla actipor ki

(a) A

(b) Si

41.12. Calcú

41]

la constante d

or lo tanto, la

bla siguiente ctivo. Suponinstante de dec

enotando el fa

R = ln β ∆t, Acta cuya pendtravés de los

ces

0.3049 h-1 = 8bsérvese que el

nudo se supona vida mediaa de CO2 a paieza de maddad de 14C dcurrido desdectividad especdad actual de ividad especíilogramo, ¿cu

Aplicando (41.

i en lugar de e

lese el valor

de desintegraci

actividad inic

muestra la raiendo que la rcaimiento del

actor de propo

Así, pues, si loiente sea λ. Sdatos comien

8.469 x 105 sl valor calcula

ne que la proa de 5568 añoartir del aire cdera con masde 2.5 desintee que la madcífica de 14C dlas plantas vi

ífica cuando uál será la ve

5) a 1 kg de m

esto, A0 = 170

Q de la reac

EL NÚCL

ión del 215At es

cial es

azón de contrazón de connúclido.

orcionalidad c

os datos se graSupóngase, ponza exactamen

l.ado de λ es ind

oducción de 1

s. En consecucontendrán unsa de 20 graegraciones podera ha sido de 250 desintivientes no escortaron e1 á

erdadera edad

madera, con A0

0 Bq/kg,

cción

LEO

s

eo observadanteo es propor

como α, se tie

afican en papelor motivo de snte pasando po

dependiente de

14C en el aireuencia, las plana cantidad enamos, tomadaor segundo, cortada, si lategraciones ps representativárbol fue de d de la pieza

0 = 250 Bq/kg

a en una muercional a la a

ene

l semilogarítmimplicidad, quor los dos prim

e las unidades

e se balancea antas vivas qun equilibrio da de una cab(a) Encuéntras plantas deor segundo pva de su activ170 desintegcortada?

g,

estra de ciertoactividad, enc

mico, la curva due la "mejor" meros puntos

que se elijan p

por su desintue absorben cade 14C. Supónbaña india, trese cuánto tie la actualidaor kilogramo

vidad en el pagraciones por

375

o núclido cuéntrese

deberá ser recta que de datos.

para CR.

tegración arbono en ngase que tiene una iempo ha ad tienen , (b) Si la

asado, y si r segundo

1

376

41.13.

41.14.

41.15.

41.16.

Si la masa y 4.002603

Súmensemasas atóm

Esta reac

17.6 MeV.

Encuéntres

Las masas ey 16.999133

Despuésmasas atóm

A diferepierden 1.19menos que een el sistem

El siguienteposible de e

El resultadouna partículEncuéntres

La reacc

en la cual s(problema 4a cero, se ti

Calcúlese la

Encuéntrese

en reposo deu, respectiva

e 2 masas elemicas. La masa

cción es exoté

se el valor Q

en reposo de 3 u, respectiv

de sumar 9 micas junto con

Q

encia de la re9 MeV de eneel proyectil (la

ma del centro d

e ciclo protónenergía estel

o neto de estala a ( He), e el valor Q

ción en su con

se entienden á40.12), con maiene

Pra energía nucl

la energía de

4 2

EL

e los átomos amente.

ectrónicas a ca en reposo de

érmica (Q>0)

Q de la reacci

los átomos namente.

masas electrón la masa del

Q = (4.002603 + = -0.001281

eacción del prrgía en ella. E

a partícula α, de masa).

n-protón de rlar:

s reacciones e dos positrondel ciclo. La

njunto es

átomos neutroasa 2me. Por lo

roblemas ear de amarre

separación de

42

L NÚCLEO

neutros H,

ada lado de lel neutrón es

); se proporci

ión nuclear

neutros He,

ónicas a cada H, 1.007825

14.003074) - (1u = -1.19 MeVroblema 41.12

Es obvio, puesHe) tenga al m

reacciones nu

es que cuatrones ( e), dosa masa en rep

os, a condicióo tanto, record

complem

e del deuterón

e un neutrón d

2 1

4 2

1 1

42

0 1

H, y He s

la reacción pa1.008665 u y

iona en la rea

N, y O so

lado de la re5 u.

16.999133 + 1.00V 2, esta reaccis, que la reaccimenos 1.19 M

ucleares se h

protones (

s fotones de poso del átom

ón de que e dando que γ y

mentariosn, H. Respue

del He. Respu

3 1

4 2

14 7

17 8

11

0 1

42

2 1

son 2.014102

ara que se puy, por tanto,

acción una ene

on 4.002603

acción, se pu

07825)

ión es endotéión no puede eV de energía

a sugerido co

H) se combinrayos γ y domo de helio

se interprete y v tienen mas

esta: 2.22 MeV

uesta: 20.58 M

[CAPITULO

2 u, 3.016049

uedan utilizar

ergía cinética

u, 14.003074

ueden utilizar

rmica (Q<0);llevarse a cab

a cinética (med

omo una fuen

nan para produos neutrinos es 4.002603

como positroa en reposo ig

V

MeV

41

9 u

las

a de

4 u,

las

; se o, a

dida

nte

ucir (v). u.

onio gual

C

4

4

4

CAPITULO 4

41.17. La vidgramo

41.18. Calcúde 19.

41.19. Calcú

41]

da media del o de radio? Resp

úlese la masa .7 minutos. Re

úlense: los val

radio, Ra, puesta: 3.6 x 1

de una fuentespuesta: 0.02

ores Q de las

226 88

EL NÚC

es de 1620 a010 s1 ≈ 1 Ci

te de Bi qu24 µg

reacciones

21483

CLEO

años. ¿Cuál es

ue tiene una a

s la actividad

actividad de 1

d de una mues

1 Ci y una vi

377

stra de un

ida media

Índice

A (ampere), 11, 207 Absorción, proceso de, 172 Aceleración:

angular, 61-62 constante, 62 momento de torsión (torca) y, 106

cálculo de la, 32 componente normal de la, 62 componente tangencial de la, 62 de coriolis, 65 expresión vectorial para la, 21 gravitacional, 14 lineal instantánea, 13-14 relación dimensional de la, 11

Actividad de una muestra, 371 Adición:

por componentes, 4-5 gráfica, 2

Alambre portador de corriente, fuerza sobre un, 257-259

Alternador, potencia de un, 316 Amortiguamiento,

crítico, 136 factor de, 136

Ampere, ley, circuital de, 273 espira de, 300

Ampliación, fórmula de, Amplitud, en el movimiento armónico simple, 135 Análisis

dimensional, 11 de ecuaciones físicas dimensional, 11

Analogías electromecánicas, 306 Ángulo crítico, 323 Aniquilación de pares, 356 Antipartículas, 356 Arquímedes, principio de, 146 Atmósferas, ley de las, 165 Átomo:

de Bohr, 363-369 energía clásica del, 363

Autoinductancia, de una bobina, 291 (véase también Inductancia)

Avogadro, número de, 161

Becquerel (Bq), 372 Bernoulli, ecuación de, 153 Biot-Savart, ley de, 272 Birrefringencia, polarización por, 324 Bobina (s):

autoinductancia de una, 291 Inductancia mutua de dos, 292-293 plana, momento de una fuerza sobre una, 258

Bohr, átomo de, 339-369 Boltzmann, constante (K) de, 161 Bomba de calor, 180 Bq (Becquerel), 372 Brewster, ley de, 324

C (coulomb), 11, 207 Calor específico, 171 Campo: eléctrico (E), definido, 217 establecido por cargas, 217 principio de superposición para el, 218 elecromagnético, 257 gravitacional, 123 intensidad de, 123 magnético (véase Campo magnético) Campo magnético:

de una carga en movimiento, 271 de un filamento de corriente, 272 fuentes de, 271-279 intensidad del, 299

en un medio material, 299-304 densidad de flujo del, 257, 259 flujo en, 259

Cantidad de movimiento, 51 angular, 115-122

conservación de la, 115 definición de la, 115 espín de la, 117

momento de torsión (torca) y, 106 orbital, 117 principio de la, 115 lineal, 51

conservación de la, 51 Capacidad, calórica, 171 específica, 171 molar, 171 Capacitancia, 238 Carga (s):

conservación de la, 316 eléctrica, 11, 207 en movimiento, campos magnéticos sobre, 271 fuerzas magnéticas sobre, 257-269 de prueba, 217 puntuales, 217 fuerza entre, 208 fuerza total ejercida por, 208 potencial eléctrico cerca de, 232 en reposo, campo eléctrico establecido por,

217-224 Carnot, máquina de, 180

379

380 ÍNDICE

Centro, de gravedad, 39 de masa, 31, 91

Ci (curie), 372 Ciclo protón-protón, 376 Circuitos:

ca de estado estacionario, 313-321 eléctricos

simples, respuesta en el tiempo de, 305-31] magnéticos, 299 en paralelo, 315-316 resistivos, leyes de Kirchhoff para, 251-256 R-L-C en serie, 305 en serie, 313-315

Clausius, ecuación de, 179 segunda ley de la Termodinámica, postulado

de, 181 Coeficiente:

de expansión lineal, 171 de expansión volumétrica, 171 por temperatura de la resistencia, 242

Componente (s): normal de la aceleración, 62 suma por, 4-5 vectoriales, 3-5

Compton, dispersión de, 358 ecuación de, 358 longitud de onda de, 358

Condiciones para el equilibrio, 92 Conductividad, 242

térmica, 172 Conservación:

de la cantidad de movimiento angular, 115 de la cantidad de movimiento lineal, 51 de la carga, 316 de la energía, 83

Constante: de Boltzmann, 161 de desintegración, 371 dieléctrica, 208 de estructura fina, 367 de fase, 135 gravitacional, 123 de Planck, 357

.de un resorte, 135 de Rydberg, 364 universal de los gases (R), 161

Continuidad, ecuación de, 153 Coordenadas angulares, 61 Coriolis, aceleración de, 65 Corriente (s),

eléctrica, 11, 207, 241 densidad de, 241

ley de las, de Kirchhoff, 251 Cosenos directores, 4 Coulomb (c), 11, 207

ley de, 208 validez de la, 208

Cruz, producto, 8-10 Cuarto de onda, placa de un, 324 Cuerpos rígidos, 91

energía cinética del movimiento de, 105-106 estática de los, 91-92 movimiento de, 106-114

Curie (Ci), 346 Curva plana, movimiento a lo largo de una, 62-63

Dalton, ley de las presiones parciales de, 165-166 dB (decibel), 200 Decibel (dB), 200 Deformación unitaria,

de esfuerzo cortante, 135 lineal, 135 volumétrica, 135

Densidad, 145 de corriente eléctrica, 241 de energía, 300 de flujo magnético, 257, 259

Desintegración constante de, 371 radiactiva, 371

Desplazamiento, 21 angular, 61-62 longitudinal, 200 en el movimiento armónico simple, 135

Diagrama de vectores rotantes, 314 Dieléctrica, constante, 208 Difracción, 340-342

rejilla de, 342 Dilatación de tiempo, 350 Dinámica de los fluidos, 153-159 Dipolo eléctrico, 220 Dispersión de Compton, 358 Dulong y Petit, ley de, 172

E (véase Campo eléctrico) Ecuación (es):

de estado de un gas, 161 físicas, análisis dimensional de las, 11

Efecto, dopler, 200 fotoeléctrico, 357

Eficiencia de una máquina térmica, 180 Einstein, ecuación fotoeléctrica de, 357 Eje(s),

óptico, 324 paralelos, teorema de los, sobre los momentos

de inercia, 105 perpendiculares, teorema de los, 105

Elasticidad, 135 movimiento armónico y, 135, 144

Electrón-volt (eV), 233 Emisión de radiación, 172 Empuje, fuerza de, 146 Energía, 73

de amarre del núcleo, 371 cinética, 73

de un cuerpo rígido en movimiento, 106-107 en la relatividad especial, 351

clásica del átomo, 363 conservación de la, 83 densidad de la, 300 eléctrica, fuentes de, 242 niveles de, 364

ÍNDICE 381

potencial, 83 gravitacional, 123 del movimiento armónico simple, 135

potencial eléctrico y, 231 en reposo, 351 separación de la, 373

Entalpia, 172 Entidades:

básicas, 10-11 derivadas, 11 físicas, 10-11

Entropía, 179 definición estadística de la, 179

Equilibrio, condiciones del, 92 Equipartición, teorema de la, 162 Equipotenciales, 232 Escalar (es), 1

multiplicación de, por vectores, 7 producto, 8

Escape, rapidez de, 123 Esfuerzo, 135

cortante, de formación unitaria por, 135 Espacio vacío:

permeabilidad del, 271 permitividad del, 208 velocidad de la luz en el, 349

Espín, cantidad de movimiento angular de, 117 Espectros atómicos, 364-365 Espejos, relaciones básicas de los, 331 Estado:

base o nivel base, 364 estacionario, solución de, 305

Estática: del cuerpo rígido, 91-92 de un fluido (ver Fluidos estáticos)

Estructura fina, constante de, 364 eV (electrón-volt), 233 Evento, 349 Excentricidad, 124 Expansión (dilatación):

lineal, coeficiente de, 171 térmica, 171 volumétrica, coeficiente de, 171

Expansión vectorial: para un segmento de recta, 6 para la velocidad y la aceleración, 21

Farad (F), 205 Faraday, ley de la fuerza electromotriz inducida

de, 281-289 Fase,

ángulo de, 313 constante de, 135 diferencia de, 339

fem. (véase Fuerza electromotriz) Fenómenos ondulatorios, 189-197 Filamento de corriente, campo magnético de un, 272 Fluido,

dinámica de un, 153-159 estática de un, 145-151

leyes de la, 145-146 movimiento de un, 153 presión en un, 145

Flujo, 225 eléctrico, 225 estacionario, 153 gravitacional, 123 incompresible, 153 irrotacional, 153 magnético, 244

densidad de, 257, 259 promedio, 291

Fotones, 357-361 Fraunhofer, difracción de, 340 Frecuencia, 61

en el movimiento armónico simple, 135 natural, 190 umbral, 357

Fricción: cinética,

coeficiente de, 39 estática, coeficiente de, 39 fuerzas de, 39-40 de rodamiento, 40

Fuentes coherentes, 339 Fuentes incoherentes, 339 Fuerza, 31

cálculo de una, 32 centrípeta, 40 conservativa, 79, 83 electromotriz, 281-283 inducida, 281-283 de empuje, 146 entre dos cargas puntuales, 208 de fricción, 39-40 gravitacional, 123 de Hooke, ley de la, 83 impulso de una, 51 de inercia, 32 magnética sobre cargas en movimiento, 257-269 magnetomotriz (mmf), 300 .no conservativa, 83 radial, 40 relación dimensional de una, 11 sobre un alambre portador de corriente, 257-259 total ejercida por varias cargas puntuales, 208-269 trabajo realizado por una, 73

Gas (es), constante universal de los, 161 diatómico, 162-163 ecuación de estado de un, 161 ideal, ley del, 161 monoatómico, 153

Gauss, ley de, 124 Giro, radio de, 105 Gota líquida, modelo de la, 373 Grados de libertad, 162 Gravedad:

centro de, 39 específica, 145

Gravitación, 123-134 ley de la, de Newton, 123

Henry (H), 271 Hertz (Hz), 136

382 ÍNDICE

Hooke, 135 ley de, 135 ley de la fuerza de, 83

Huygens, principio de, 340 Hz (Hertz), 136 Imágenes

y objetos reales, 331 reales y virtuales, 331

Impedancia (Z), 313 Impulso,

cantidad de movimiento, teorema del, 51 de una fuerza, 51

Incidencia, plano de, 323 Inducción magnética, 257 Inductancia, 291-297

mutua de dos bobinas, 292-293 (véase también Autoinductancia)

Inercia, 31 momento de, 105

Intensidad, del campo magnético, 299 magnética, 299 máxima y mínima, 339-340 de las ondas de sonido, 199

Interacción de partículas, sistemas de, 39 Interferencia, 399

Joule (J), 73

k (constante de Boltzmann), 161 Kelvin,

Planck, postulado de la segunda ley de la Termodinámica de, 181

temperatura de, 179 Kilogramo (kg), 11 Kirchhoff,

ley de las corrientes de, 251 ley de los voltajes de, 251-252 leyes de, para circuitos de resistencias, 251-256

Laplace, ecuación de, 236 Lentes,

compuestas, 337 gaussianas, fórmula de las, 331 relaciones básicas de las, 331

Lenz, ley de, 282 Ley(es),

circuital de ampere, 273 de Kepler, 124 de Newton de la gravitación, 123

de Newton del movimiento, 31 introducción, 31-38 problemas más avanzados, 39-50 Libertad, grados de, 162 Línea de corriente, 153 Longitud, 11

contracción de la, 350 de onda, 189

de Compton, 358 en reposo, 350

Lorentz, ecuación de, 257, 281

transformaciones de, 349-350 Luz:

circulante polarizada, 324 elípticamente polarizada, 324 interferencia y difracción de la, 339-347 linealmente polarizada, 324 natural, 324 naturaleza dual de la, 357 no polarizada, 324 polarizada, intensidad de la, 324 rayo de, 323 reflexión, refracción y polarización de la, 323-330 velocidad de la, en el espacio vacío, 349

m (metro), 11 Mach, número de, 203 Magnetización, 299 Malus, ley de, 324 Máquina térmica, 180 MAS (véase Movimiento armónico simple) Masa, 10, 31

atómica, unidad de (u), 363 centro de, 39, 91 y energía, equivalencia entre, 371 y rapidez, y relaciones de masa y energía, 350-351 reducida, 364 en reposo, 350 unidad (u) atómica de, 363

Materia, propiedades térmicas de la, 171-178 Materiales diamagnéticos, 299 Materiales ferromagnéticos, 299 Materiales paramagnéticos, 299 Medios materiales, campos magnéticos en, 299-304 Metro (m), 11 Microcoulomb (C), 207 mmf (fuerza magnetomotriz), 300 Modos normales de vibración, 190 Módulo,

de elasticidad volumétrica, 137 elástico, 135

Momento: brazo del, 91 dipolar, 220 de una fuerza, 91-92

aceleración angular y, 106 sobre una bobina plana, 258

de una fuerza en sentido contrario a las manecillas del reloj, 91

de una fuerza en el sentido de las manecillas del reloj, 91

de inercia, 105 teoremas del, 105

Movimiento: angular con rapidez variable, 61-62 armónico amortiguado, 136 armónico simple (MAS), 135

ecuaciones del, 135 energía potencial del, 136

circular: relaciones entre las cantidades lineales y an-

guiares en el, 62 uniforme, 40

de un cuerpo rígido, 105-114

ÍNDICE 383

curvilíneo en un piano, 61-71 a lo largo de una curva plana en general, 62-63 de una partícula en un plano, 21-30 de un péndulo simple, 136 rectilíneo de una partícula, 13-20 rectilíneo uniformemente acelerado, 14 relativo, 52 térmico, 161-162

Multiplicación: de un vector por un escalar, 7-8 vectorial, 7-11

Nanocoulomb (nC), 207 Núcleo, 371-377

retroceso de un, 372 Número cuántico, 363

Objetos reales y virtuales, 331 Ohm, 242

ley de, 242 Onda(s):

ecuación de, 189 estacionarías, 190 función de, 189 incoherentes, 324 principio de superposición para las, 190 sobre una cuerda, rapidez de las, 189 sonido, 190 viajeras sinusoidales, 189-190

Óptica geométrica, 331-338 Órbita elíptica, 124

Pa (pascal), 135-145 Parábola, ecuación de una, 21-22 Pares, aniquilación y producción de, 358 Pascal (Pa), 135, 145

principio de, 145 Péndulo simple, movimiento de un, 136 Periodo, 61

en el movimiento armónico simple, 135 Permeabilidad, 299

en el espacio vacío, 271 relativa, 299

Permitividad del espacio vacío, 208 Peso, 31 Placa de media onda, 324 Planck, constante de, 357 Plano:

de incidencia, 323 movimiento en un, a lo largo de tina trayectoria

curva, 61-71 movimiento de una partícula en un, 21-30

Polarización, 323-324 por birrefringencia, 324 magnética, 299 por reflexión, 324

Polarizador perfecto, 324 Potencia, 74

de un alternador, 316 eléctrica, 243 instantánea, 106 transmitida instantánea, 189

Potencial: de frenado, 357 diferencia de, 219 eléctrico, 231-240

cercano a una carga puntual, 232 principio de superposición para el, 233 Presión (es),

en un fluido, 145 parciales, ley de Dalton de las. 165-166

Proceso(s), adiabático, 162 a presión constante, 172 reversibles, 179 a volumen constante, 171-172

Producción de pares, 358 Producto,

punto, 7-8 vectorial, 8-10

Propiedades térmicas de la materia, 171-178 Pulsaciones, 193

R (constante universal de los gases), 161 Radiación:

electromagnética, 357 emisión de, 172

Radianes por segundo, 61 Radio de giro, 105 Rapidez (velocidad):

angular, 61-62 constante, 61

cuadrática media, 161 de escape, 123 de la luz en el espacio vacío, 349 promedio, 13 del sonido, 199 térmica, 161 variable, movimiento angular con, 61-62

Rayleigh, criterio de, 346 Rayo(s):

de luz, 323 paraxiales, 331 trazo de, 331

Reacciones nucleares, 372 Reacción endotérmica, 376 Reacción exotérmica, 376 Reactancia:

capacitiva, 313 inductiva, 313

Recta: movimiento de una partícula a lo largo de una,

13-21 movimiento uniformemente acelerado a lo largo

de una, 14 Reflexión:

ley de la, 323 polarización por, 324 total, 323 total interna, 323

Refracción, índice de, 323 ley de la, 323

Refrigerador, 180 Regla del tomillo de cuerda derecha, 8

384 ÍNDICE

Rejilla, ecuación de una, 342 poder de resolución de una, 346

Relaciones dimensionales, 11 Relatividad especial, 349-356 Reluctancia, 300 Resistencia, 242

coeficiente por temperatura de la, 242 interna, 243

Resistividad, 242 Resolución, poder de, de una rejilla, 346 Resonancia, voltaje de, 318 Resorte, constante de un, 135 Resultante, 4-5 Retroceso de un núcleo, 372 R-L-C, circuito en serie, 305 Rodamiento, fricción de, 40 Rydberg, constante de, 364

s (segundo), 11 Segmento de, recta, expresión vectorial para un, 6 Segundo (s), 11 Semilatus rectum, 124 Separación de energía, 373 Serie,

circuito en, 313-315 circuito R-L-C en, 305

Siemens por metro (S/m), 242 Sistemas,

de referencia, 31-32 de referencia inerciales, 31, 349 de referencia no inerciales, 31-32

S/m (siemens por metro), 242 Snell, ley de, 69 Solución transitoria, 305 Sonido, 199

ondas de, 199-205 intensidad y volumen de las, 199

velocidad del, 199 Sonoridad de las ondas de sonido, 199 Stefan-Boltzman, ley de, 171 Suma,

gráfica, 2 vectorial, 2, 4-5

Superposición, principio de, 190 para el campo eléctrico, 217 de ondas, 190 para el potencial eléctrico, 233

Susceptibilidad magnética, 299 Sustracción gráfica, 2-3

T (tesla), 257 Temperatura en grados Kelvin, 179

Teorema sobre la descomposición de los momentos de inercia, 105

Termodinámica: primera ley de la, 162 segunda ley de la, 179

postulados alternativos de la, 181-182 Tesla (T), 257 Tiempo, 11

constante de, 306 dilatación del, 350 resnuesta de, de circuitos eléctricos simples, 305-

311 Trabajo:

energía, principio de equivalencia, 73-74 función de, 357 realizado por una fuerza, 73 relación dimensional de unidades del, 11

Transmisión de calor, 172 Trayectoria (camino)

curva, movimiento en un plano a lo largo de una, 61-71

diferencia de, 339 ley de la, de Kirchhoff, 251-252 libre media, 162 óptica, longitud de la, 329

Tubo de flujo, 153

u (unidad atómica de masa), 363 u-d, relaciones, 11

V (volt), 219, 231 electrón (eV), 233

Valor Q, Vectores, 1

componentes de, 3-5 multiplicación de, por

escalares, 7-8 representación gráfica de, 1-3 unitarios, 5-6

Velocidad: cuadrática media, 161 expresión vectorial para la, 21 lineal instantánea, 13 relación dimensional de la, 11

Vida media, 371 Volt (V), 219, 231

electrón (eV), 233 Voltaje, 231

en circuito abierto, 242 de resonancia, 318 terminal, 242

Watt (W), 74

Z (impedancia), 313

Engineering

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