C A P I T U L O

Sistemas de partculas 10

C o n c e p t o s

en c o n t e x t o

C O N C E P T O S EN C O N T E X T O

Mientras este atleta de salto de altura pasa sobre la barra, se dobla hacia atrs y mantiene sus extremidades por abajo del nivel en que se encuentra sta. Esto significa que la altura promedio de las partes de su cuerpo es menor que si tuviera que mantenerse recto, por lo que requiere menos energa para elevarse sobre la barra.

Los conceptos introducidos en este captulo permiten examinar en detalle varios aspectos del movimiento del saltador:

? E l cuerpo del saltador es un sistema de partculas. Dnde est la posicin promedio de la masa de este sistema cuando el cuerpo est en posicin recta? C m o cambia cuando el saltador modifica la posicin de sus extremidades? (Ejemplo 8, inciso a), pgina 322)

? Cul es la energa potencial gravitacional de un sistema de partculas y cunto reduce el saltador su energa potencial al doblar su cuerpo? (Pgina 321 en la seccin 10.2 y ejemplo 8, inciso b), pgina 322)

10.1 Cant idad de movimiento

10.2 Centro de masa

10.3 Movimiento del centro de

10.4 Energ a de un sistema de

partculas

305

306 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

? Cul es la ecuacin de movimiento de un sistema de partculas y en qu medida el movimiento de traslacin de un saltador recuerda el movimiento de proyectiles? (Pgina 324 en la seccin 10.3)

Hasta el momento, se ha estudiado casi exclusivamente el movimiento de una sola partcula. Ahora se comenzar a analizar sistemas de partculas que interactan mutuamente a travs de algunas fuerzas. Esto significa que deben examinarse y resol-verse simultneamente las ecuaciones de movimiento de todas estas partculas.

Dado que los trozos de materia ordinaria estn hechos de partculas (electrones, protones y neutrones), todos los cuerpos macroscpicos que se encuentran en el entor-no cotidiano son de hecho sistemas de muchas partculas que contienen gran nmero de ellas. Sin embargo, para la mayora de los propsitos prcticos, no es deseable adop-tar tal punto de vista microscpico extremo, por lo que en los captulos precedentes el movimiento de un cuerpo macroscpico, como un automvil, se trat como el movi-miento de una partcula. D e l mismo modo, al tratar con un sistema formado de m u -chos cuerpos macroscpicos, con frecuencia se encuentra que es conveniente tratar cada uno de stos como una partcula e ignorar su estructura interna. Por ejemplo, cuando se investiga un choque entre dos automviles, puede encontrarse conveniente considerar que cada uno de ellos es una partcula; entonces, se trata a los automviles que colisionan como un sistema de dos partculas que ejercen fuerzas una sobre la otra cuando estn en contacto. Y cuando se investiga el Sistema Solar, puede resultar con-veniente asumir que cada planeta y cada satlite son una partcula; as, el Sistema Solar se considera como un sistema de tales partculas, planetas y satlites, que se mantienen juntas holgadamente mediante gravitacin y que orbitan alrededor del Sol y en torno unos de otros.

Con frecuencia, las ecuaciones de movimiento de un sistema de varias partculas son difcil, y en ocasiones imposible, de resolver. Por tanto, es necesario contar con la mayor cantidad de informacin que se pueda extraer de las leyes generales de conser-vacin. E n las siguientes secciones, se familiarizar con el vector cantidad de movimiento y aprender cmo aplicar las leyes de conservacin de la cantidad de movimiento y de la energa a un sistema de partculas.

10.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO Las leyes de Newton pueden expresarse muy elegantemente en trminos de la canti-dad de movimiento, una medicin vectorial de gran importancia en fsica. La cantidad de movimiento de una sola partcula se define como el producto de la masa y la velocidad de la partcula-*

cantidad de movimiento p = mv (10.1) de una partcula

Por tanto, la cantidad de movimiento p es un vector que tiene la misma direccin que el vector velocidad, pero una magnitud que es m veces la magnitud de la velocidad. La unidad SI de cantidad de movimiento es kg m/s; sta es la cantidad de movimiento de una masa de 1 kg cuando se mueve a 1 m/s.

L a definicin matemtica de cantidad de movimiento es coherente con la nocin intuitiva cotidiana de "cantidad de movimiento". Si dos carros tienen masas iguales pero uno tiene el doble de velocidad que el otro, el primero tiene el doble de cantidad de movimiento. Y si un camin tiene tres veces la masa de un automvil y la misma

* A la cantidad de m o v i m i e n t o p = mv en ocasiones se le refiere como cantidad de movimiento lineal para

dis t inguir la de la cantidad de movimiento angular, analizada en el cap tulo 13.

10.1 Cantidad de movimiento 3 0 7

velocidad, tiene tres veces la cantidad de movimiento. Durante el siglo xix, los fsicos discutan sobre si la cantidad de movimiento o energa cintica era la mejor medida de la "cantidad de movimiento" en un cuerpo. Finalmente decidieron que la respuesta depende del contexto; como se ver en los ejemplos de este captulo y del siguiente, a veces la cantidad de movimiento es la cantidad ms relevante, otras lo es la energa y en ocasiones ambas lo son.

La primera ley de Newton afirma que, en ausencia de fuerzas externas, la velocidad de una partcula permanece constante. Expresada en trminos de cantidad de movimien-to, la primera ley afirma, por tanto, que la cantidad de movimiento permanece constante:

p = [constante] (no fuerzas externas) (10.2)

En consecuencia, puede decirse que la cantidad de movimiento de la partcula se con-serva. Desde luego, igualmente podra decirse que la velocidad de esta partcula se conserva; pero el significado ms profundo de la cantidad de movimiento surgir cuan-do se estudie el movimiento de un sistema de varias partculas que ejercen fuerzas unas sobre otras. Se encontrar que la cantidad de movimiento total de tal sistema se conser-va: cualquier prdida de cantidad de movimiento que tenga una partcula se compensa por una ganancia de cantidad de movimiento de alguna otra partcula o partculas.

Para expresar la segunda ley en trminos de cantidad de movimiento, observe que, ;:ado que la masa es constante, la derivada en el tiempo de la ecuacin (10.1) es

dv = m

dt dt

primera ley en trminos de cantidad

de movimiento

dp

dt mu

Pero, de acuerdo con la segunda ley de Newton, ma. es igual a la fuerza; por tanto, la 'jpidez de cambio de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo es igual a la fuerza:

dp (10.3) segunda ley en trminos de cantidad

de movimiento

-ita ecuacin da a la segunda ley una forma concisa y elegante.

E J E M P L O 1 Un tenista golpea una pelota de 0.060 kg de masa hacia una pared vertical. La pelota se impacta contra la pared perpendicu-

larmente con una rapidez de 40 m/s y rebota con una trayectoria recta, de vuelta, con la misma rapidez. Cul es el cambio de cantidad de movimiento de la pelota durante el impacto?

S O L U C I N : Tome el eje positivo x a lo largo de la direccin del movimiento ini-cial de la pelota (vase la figura 10.1). Entonces, la cantidad de movimiento de la oelota antes del impacto est en la direccin positiva y el componente x de la can-:idad de movimiento es

Px = m V x = - 0 6 0 kS X 4 0 m / s = 2 A k g ' m / s

La cantidad de movimiento de la pelota despus del impacto tiene la misma mag-nitud pero en direccin opuesta:

P'x = 2.4 kg m/s

A lo largo de este captulo, las primas en las cantidades matemticas indican que dichas cantidades se evalan despus del choque.) El cambio de cantidad de movi-miento es

A A =P'X~ px = ~ 2 A k g " m / s - 2 A kS " m / s = ~ 4 - 8 kS ' m / s

3 0 8 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

l^ a. lap'idex es Vi misma "mes y despus, pero la cantidad de movimiento cambi porque la direccin de la velocidad se invirti.

despus

La fuerza de la pared cambia la cantidad de movimiento.

F I G U R A 1 0.1 a) Una pelota de tenis rebota en una pared, b) En el instante del impacto, la pared ejerce una gran fuerza sobre la pelota.

Este cambio de cantidad de movimiento se produce por la (gran) fuerza que acta sobre la pelota durante el impacto contra la pared (vase la figura 10.Ib). El cambio de cantidad de movimiento es negativo porque la fuerza es negativa (la fuerza est en la direccin x negativa, opuesta a la direccin del movimiento inicial).

tercera ley en trminos

i cantidad de movimiento

Tambin la tercera ley de Newton puede expresarse en trminos de cantidad de movimiento. Dado que la fuerza de accin es exactamente opuesta a la fuerza de reac-cin, la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento generada por la fuerza de accin sobre un cuerpo es exactamente opuesta a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento generada por la fuerza de reaccin sobre el otro cuerpo. Por tanto, la tercera ley puede establecerse del modo siguiente:

Siempre que dos cuerpos ejerzan fuerzas uno sobre otro, los cambios resultantes de cantidad de movimiento son de magnitudes iguales y de direcciones opuestas.

Este equilibrio en los cambios de la cantidad de movimiento conduce a una ley general de conservacin de la cantidad de movimiento total para un sistema de partculas.

La cantidad de movimiento total de un sistema de n partculas es simplemente la suma (vectorial) de todas las cantidades de movimiento individuales de todas las partcu-las. En consecuencia, si p1 = m^wx, p 2 = mjy2, ... , y p = w / n son las cantidades de movimiento individuales de las partculas, entonces la cantidad de movimiento total es

cantidad de movimiento de un sistema de partculas

La fuerza de accin sobre cada partcula es igual y opuesta a la fuerza de reaccin que ejerce sobre la otra partcula.

MGURA 10 .2 Dos partculas que ejercen uerzas mutuas una sobre otra. El cambio leto de la cantidad de movimiento del par ie partculas aislado es cero.

P = P l + P2 + + (10.4)

El ms simple de todos los sistemas de muchas partculas consiste slo de dos par-tculas que ejercen algunas fuerzas mutuas una sobre otra (vase la figura 10.2). Supon-ga que las dos partculas estn aisladas del resto del universo, de modo que, aparte de sus fuerzas mutuas, no experimentan fuerzas adicionales de tipo alguno. De acuerdo con la formulacin anterior de la tercera ley, las rapideces de cambio de p x y p 2 son exactamente opuestas:

dt dt

La rapidez de cambio de la suma p x + p 2 es, por tanto, cero, pues la rapidez de cambio del primer trmino en esta suma se cancela con la rapidez de cambio del segundo trmino:

d(Pl + p 2 )

dt = 0

10.1 Cantidad de movimiento 3 0 9

Esto significa que la suma p j + p 2 es una constante del movimiento:

PJ + p 2 = [constante] (10.5)

Esta es la ley de conservacin de la cantidad de movimiento. Observe que la tercera ley de Newton es un concepto esencial para establecer la conservacin de la cantidad de movimiento: la cantidad de movimiento total es constante, pues la igualdad de ac-cin y reaccin mantiene los cambios de cantidad de movimiento de las dos partculas exactamente iguales en magnitud pero opuestos en direccin: las partculas simple-mente intercambian algo de cantidad de movimiento mediante sus fuerzas mutuas. Por ende, para las partculas, la cantidad de movimiento total P en algn instante es igual a la cantidad de movimiento total P' en algn otro instante, de modo que

P = P'

La conservacin de la cantidad de movimiento es una poderosa herramienta que permite calcular algunas caractersticas generales del movimiento, aunque se ignoren las propiedades detalladas de las fuerzas entre partculas. Los siguientes ejemplos ilus-tran cmo puede usarse la conservacin de la cantidad de movimiento para resolver ciertos problemas de movimiento.

conservacin de cantidad de

movimiento para dos partculas

E J E M P L O 2 Un can usado a bordo de un buque de guerra del siglo xvm se monta sobre un soporte que le permite rodar cada vez que es

disparado (vase la figura 10.3). La masa del can, incluido el soporte, es de 2 200 kg. El can dispara horizontalmente una bala de 6.0 kg con una velocidad de 500 m/s. Cul es la velocidad de retroceso del can?

S O L U C I O N : La cantidad de movimiento total de la bala ms el can debe ser la misma antes del disparo y justo despus de disparar. Antes, la cantidad de movi-miento total es cero (figura 10.3a):

P = 0

Despus, la velocidad (horizontal) de la bala es v^ y la velocidad del can es v 2 (como lneas arriba, las primas sobre las cantidades matemticas indican que stas se evalan despus del disparo); por tanto, la cantidad de movimiento total es

P' = ml\'l + m2v'2

donde m1 = 6.0 kg es la masa de la bala y m2 = 2 200 kg es la masa del can (in-cluido el soporte). Por tanto, la conservacin de la cantidad de movimiento dice que

0 = + m,v! 2 V 2

El signo negativo indica que y l , la velocidad de retroceso del can, es opuesta a la velocidad de la bala y tiene una magnitud

6.0 kg

2200 kg X 500 m/s = 1.4 m/s

C O M E N T A R I O S : Observe que las velocidades finales estn en proporcin inversa de las masas: la bala emerge con una gran velocidad y el can rueda con una velo-cidad baja.

v 2 m2

JL E l can retrocede horizontalmente.

La bala se dispara horizontalmente.

F I G U R A 10.3 a) Inicialmente, el can y la bala estn en reposo, b) Despus del disparo, el can retrocede hacia la izquier-da (la velocidad v 2 del can es negativa).

3 A Q

Esta es una consecuencia directa de la igualdad de las magnitudes de las fuerzas c; accin y reaccin que actan sobre la bala y el can durante el disparo. La hien-de accin produce a la bala (de masa pequea) una gran aceleracin y la fuerza zt

, reaccin produce al can (de gran masa) una aceleracin pequea. En este clculo se despreci la masa y la cantidad de movimiento de los gaft-

liberados en la explosin de la plvora. Esta cantidad de movimiento adicional aumenta un poco la velocidad de retroceso.

E J E M P L O 3 Un automvil de 1 500 kg de masa, que viaja a 24 m/s, choca con un automvil similar que est estacionado. Los dos autorr.i -

viles permanecen unidos despus del choque. Cul es la velocidad del choque in-mediatamente despus de la colisin? Ignore la friccin contra el camino, pues es: fuerza es insignificante en comparacin con las grandes fuerzas mutuas que los automviles ejercen uno sobre el otro.

S O L U C I N : Bajo las suposiciones del problema, las nicas fuerzas horizontal son las fuerzas mutuas de un automvil sobre el otro. Por tanto, la conservacin de la cantidad de movimiento se aplica al componente horizontal de la cantidad de movimiento: el valor de este componente debe ser el mismo antes y despus d i ! choque. Antes del choque, la velocidad (horizontal) del automvil en movimien: es v1 = 24 m/s y la del otro automvil es v2 = 0. Por tanto, con el eje x a lo lar; de la direccin de movimiento (vase la figura 10.4), la cantidad de movimien:: total es

Despus de la colisin, ambos automviles tienen la misma velocidad (vase la fi-gura 10.4b). Las velocidades de los automviles despus del choque se designarn como v'x y v'., respectivamente. Puede escribirse v[ = v'2 = v' (los automviles tie-nen un v comn, pues permanecen unidos), de modo que la cantidad de movi-miento total es

p:

TECNICAS PARA RESOLUCION DE PROBLEMAS

Observe que la solucin de estos ejemplos involucra tres pasos, similares a los utilizados en ejemplos de conservacin de la energa:

Escriba primero una expresin para la cantidad de movi-miento total P antes del disparo del can o del choque de los automviles.

Escriba a continuacin una expresin para la cantidad de movimiento total P' despus del disparo o del choque.

Y luego use la conservacin de la cantidad de movimiento para igualar estas expresiones.

Sin embargo, en contraste con la conservacin de la ener-ga, debe tener presente que la conservacin de la cantidad de movimiento se aplica a los componentes de la cantidad de

CONSERVACION DE LA CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

movimiento: los componentes x, y, z de la cantidad de movimien-to se conservan por separado. En consecuencia, antes de escribir las expresiones para la cantidad de movimiento, necesita se-leccionar ejes coordenados y decidir cules componentes de la cantidad de movimiento quiere examinar. Si el movimiento es unidimensional, coloque un eje a lo largo de la direccin de movimiento, como el eje x en los ejemplos anteriores. Entonces es suficiente examinar el componente x de la can-tidad de movimiento. Sin embargo, en ocasiones es necesario examinar dos componentes de la cantidad de movimiento (o, rara vez, tres); de esta forma, resultan dos (o tres) ecuaciones. Cuando escriba los componentes de la cantidad de movi-miento, ponga atencin a los signos; el componente es posi-tivo si el movimiento es a lo largo de la direccin del eje y negativo si es opuesto a la direccin del eje.

10.1 Cantidad de movimiento 3 1 1

Los automviles quedan unidos, de modo que v\ v'2 = v'.

m2

C U

F I G U R A 10.4 a) Inicialmente, el automvil rojo tiene una rapidez de 24 m/s, y el automvil azul est en reposo, b) Des-pus del choque, ambos estn en movimiento con velocidad v'.

Por conservacin de la cantidad de movimiento, las cantidades de movimiento Px y P'x antes y despus del choque deben ser iguales:

mv = (m1 + m2)v' (10.6)

Cuando se resuelve sta para la velocidad del choque v , se encuentra

(10.7) 1500kg X 24 m/s

1500kg + 1500kg = 12 m/s

Las fuerzas que actan durante el disparo del can o en el choque de los autom-viles son muy complicadas, pero la conservacin de la cantidad de movimiento permite superar estas complicaciones y obtener en forma directa la respuesta para las velocida-des finales. Incidentalmente, es fcil comprobar que la energa cintica no se conserva en estos ejemplos. Durante el disparo del can, se suministra energa cintica a la bala v al can mediante la combustin explosiva de la plvora; durante el choque de los automviles, se usa algo de energa cintica para producir cambios en las formas de los automviles.

La ley de conservacin para la cantidad de movimiento depende de la ausencia de fuerzas "adicionales". Si las partculas no estn aisladas del resto del universo, entonces, idems de las fuerzas mutuas ejercidas por una partcula sobre la otra, tambin habr fuerzas ejercidas por otros cuerpos que no pertenecen al sistema de partculas. Las primeras fuerzas se llaman fuerzas internas y las ltimas, fuerzas externas. Por ejerci-lo, para los automviles del ejemplo 3, la gravedad de la Tierra, la fuerza normal del camino y la friccin de ste son fuerzas externas. En ese ejemplo se ignoraron estas fuerzas externas porque la gravedad y la fuerza normal se cancelan mutuamente, y la fuerza de friccin puede despreciarse en comparacin con la mucho mayor fuerza de impacto que los automviles ejercen uno sobre otro. Pero si las fuerzas externas son significativas, debe tomrseles en consideracin y tiene que modificarse la ecuacin 10.5). Si la fuerza interna sobre la partcula 1 es F j i n t y la fuerza externa es F x e x t , en-

tonces la fuerza total sobre la partcula 1 es F j n t + F j e x t y su ecuacin de movimiento

dt F u * + F , , (10.

fuerzas internas y fuerzas externas

3 1 2 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

Del mismo modo

Para cualquier nmero de partculas, las fuerzas mutuas de cada par son iguales y opuestas.

F I G U R A 10.5 Tres partculas que ejercen fuerzas mutuamente. Como en el caso de dos partculas, las fuerzas mutuas entre pares de partculas simplemente intercam-bian cantidad de movimiento entre ellas.

conservacin de la cantidad de movimiento para un sistema

de partculas

segunda ley para un sistema

de partculas

4>2

dt 2,int 2,ext (10.9)

Si se suman los lados izquierdos y los lados derechos de estas ecuaciones, las aportacio-nes de las fuerzas internas se cancelan (es decir, F1 i n t + F 2 i n t = 0), pues son pares ac-cin-reaccin. Lo que queda es

dp, dp2 H = F + F dt dt * 1 - a a 2'e

(10.10)

La suma de las rapideces de cambio de las cantidades de movimiento es igual a la rapidez de cambio de la suma de las cantidades de movimiento; por tanto,

( p i + P 2 )

dt F l , e 2,ext

La suma P = p : + p 2 es la cantidad de movimiento total y la suma F1 e

(10.11)

2,ext es la fuerza externa total ejercida sobre el sistema de partculas. Por ende, la ecuacin (10.11) afirma que la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento total del sistema de dos partculas es igual a la fuerza externa total.

Para un sistema que contenga ms de dos partculas, pueden obtenerse resultados similares. Si el sistema est aislado, de modo que no hay fuerzas externas, entonces las fuerzas interpartculas mutuas que actan entre pares de partculas simplemente trans-fieren cantidad de movimiento de una partcula del par a la otra, tal como en el caso de dos partculas. Dado que todas las fuerzas internas necesariamente surgen de tales fuerzas entre pares de partculas, dichas fuerzas internas no pueden cambiar la cantidad de movimiento total. Por ejemplo, la figura 10.5 muestra tres partculas aisladas que ejercen fuerzas una sobre otra. Considere la partcula 1; las fuerzas mutuas entre las partculas 1 y 2 intercambian cantidad de movimiento entre estas dos, mientras que las fuerzas mutuas entre las partculas 1 y 3 intercambian cantidad de movimiento entre estas otras dos. Pero ninguna de estas transferencias de cantidad de movimien-to cambiar la cantidad de movimiento total. Lo mismo sucede para las partculas 2 y 3. En consecuencia, la cantidad de movimiento total es constante. De manera ms general, para un sistema aislado de n partculas, la cantidad de movimiento total P = p j + p 2 + + pn cumple con la ley de conservacin

P = [constante] (no fuerzas externas) (10.12)

Si, adems de las fuerzas internas, hay fuerzas externas, entonces las ltimas cam-biarn la cantidad de movimiento. La rapidez de cambio puede calcularse esencial-mente de la misma forma que para el sistema de dos partculas y, de nuevo, la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento total es igual a la fuerza externa total. Esto puede escribirse como

f = F e x t (10.13)

donde F ^ = F 1 < a t t + F 2 e x t + + F n e x t es la fuerza externa total que acta sobre el sistema.

Las ecuaciones (10.12) y (10.13) tienen exactamente la misma forma matemtica que las ecuaciones (10.2) y (10.3), y pueden considerarse como las generalizaciones para un sistema de partculas de la primera y segunda leyes de Newton. Como se ver en la seccin 10.3, la ecuacin (10.13) es una ecuacin de movimiento para el sistema de partculas, que determina el movimiento de traslacin global del sistema.

10.2 Centro de masa 3 1 3

Revisin 10.1

PREGUNTA 1: Un automvil y un camin tienen iguales cantidades de movimiento. Cul tiene la mayor rapidez y cul la mayor energa cintica?

PREGUNTA 2: Un automvil y un camin viajan a lo largo de una calle en direcciones opuestas. Pueden tener la misma cantidad de movimiento y la misma energa cintica? PREGUNTA 3: Una bola de caucho que se suelta sobre un piso de concreto rebota con velocidad invertida. La cantidad de movimiento antes del impacto es la misma que despus del mismo?

PREGUNTA 4: La cantidad de movimiento neta del Sol y de todos los planetas y lunas del Sistema Solar es constante? Su energa cintica neta es constante? PREGUNTA 5: Considere dos automviles de masas iguales m y rapideces iguales v. a) Si ambos automviles se mueven hacia el sur en una calle, cules son la energa cintica total y la cantidad de movimiento total de este sistema de dos automviles? b), cules son la energa cintica total y la cantidad de movimiento total si un automvil se mueve hacia el sur y otro hacia el norte? Y c) cules son si un automvil se mueve hacia el sur y el otro hacia el este?

PREGUNTA 6: Un automvil y un camin tienen energas cinticas iguales. Cul tiene la rapidez ms grande? Cul tiene la cantidad de movimiento mayor? Suponga que el camin tiene la masa ms grande.

(A) Camin; camin (B) Camin; automvil (C) Automvil; camin (D) Automvil; automvil

10.2 CENTRO DE MASA En el estudio de la cinemtica y de la dinmica realizado en los captulos anteriores, siempre se ignor el tamao de los cuerpos; aunque se analizara el movimiento de un cuerpo grande (un automvil o un barco), se supuso que el movimiento poda tratarse como el movimiento de una partcula y la posicin se describa mediante algn punto de referencia marcado sobre el cuerpo. En realidad, los cuerpos grandes son sistemas de partculas y su movimiento cumple con la ecuacin (10.13) para un sistema de partcu-las. Esta ecuacin puede convertirse en una ecuacin de movimiento que contenga slo una aceleracin en lugar de la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de todo el sistema, al tomar como punto de referencia el centro de masa del cuerpo. La ecua- centro de masa cin que describe el movimiento de este punto especial tiene la misma forma matem-tica que la ecuacin de movimiento de una partcula; es decir, el movimiento del centro de masa es igual al movimiento de una partcula (vase, por ejemplo, la figura 10.6).

La luz estroboscpica registra imgenes a intervalos de tiempo iguales.

Aunque la llave gira, el centro de masa se mueve de manera uniforme

F I G U R A 10.6 Una llave que se mueve libremente en ausencia de fuerzas externas. El centro de masa, marcado con un punto, se mueve con velocidad uniforme, a lo largo de una lnea recta (usted puede com-probar esto al tender una regla a lo largo de los puntos).

3 1 4 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

1 kg

Para partculas de masa igual, el centro de masa est en la posicin promedio.

- o -CM

- i kg

F I G U R A 1 0.7 Dos partculas de masas iguales y su centro de masa.

La posicin del centro de masa es simplemente la posicin promedio de la masa del sistema. Por ejemplo, si el sistema est formado de dos partculas, cada una de 1 kg de masa, entonces el centro de masa est a la mitad entre ellas (vase la figura 10.7). En cualquier sistema que tenga n partculas de masas iguales, como un trozo de metal puro con tomos de un solo tipo, la coordenada x del centro de masa es simplemente la suma de las coordenadas x de todas las partculas dividida entre el nmero de partculas,

X^ ~\~ * I x n

l CM (para partculas de igual masa) (10.14)

Ecuaciones similares se aplican a las coordenadas _y y z si las partculas del sistema estn distribuidas sobre una regin tridimensional. Las tres ecuaciones coordenadas pueden expresarse de manera concisa en trminos de vectores de posicin:

r i + r 2 + (para partculas de igual masa) (10.15)

Si el sistema est formado por partculas de masas distintas, entonces la posicin del centro de masa puede calcularse primero al subdividir las partculas en fragmentos de masa igual. Por ejemplo, si el sistema tiene dos partculas, la primera de 2 kg de masa y la segunda de 1 kg, entonces puede suponerse que se tiene tres partculas de masas iguales, de 1 kg, dos de las cuales se ubican en la misma posicin. La coordenada del centro de masa es entonces

"CM

Esto tambin puede escribirse en la forma equivalente

"CM (10.16)

donde m1 = 2 kg y m2 = 1 kg. La ecuacin (10.16) en realidad es vlida para cuales-quier valores de las masas m1 y m2. La ecuacin simplemente asevera que, en la posicin promedio, la posicin de la partcula 1 est incluida m1 veces y la posicin de la partcu-la 2 se incluye m2 veces; es decir: el nmero de veces que cada partcula se incluye en el promedio es directamente proporcional a su masa.

E J E M P L O 4 Una mujer de 50 kg y un hombre de 80 kg se sientan en los dos extremos de un subibaja de 3.00 m de largo (vase la figura

10.8). A l tratarlos como partculas, e ignorar la masa del subibaja, encuentre el centro de masa de este sistema.

S O L U C I N : En la figura 10.8, el origen de coordenadas est en el centro del subi-baja; por tanto, la mujer tiene una coordenada x negativa (x = 1.50 m) y el hom-bre una coordenada x positiva (x = +1.50 m). De acuerdo con la ecuacin (10.16), la coordenada del centro de masa es

l CM m^xx + m2x2

m1 + m2

50kg X (-1.50m) + 80kg X 1.50m

50 kg + 80 kg

= 0.351

C O M E N T A R I O : Observe que la distancia de la mujer desde el centro de masa es 1.50 m + 0.35 m = 1.85 m y la distancia del hombre desde el centro de masa es 1.50 m 0.35 m = 1.15 m. La razn de estas distancias es 1.6, lo que coincide

10.2 Centro de masa 3 1 5

La mujer est en jcj = -1.50 m; el hombre est en x2 ~ +1.50 m.

La "regla de la palanca": las distancias hacia el centro de masa estn en proporcin inversa a las masas. FIGURA 10.8 Una mujer y un hombre en un subibaja

con el inverso de la razn de las masas, 50/80 = 1/1.6. Esta "regla de la palanca" es bastante general: la posicin del centro de masa de dos partculas divide el segmen-to de lnea recta que las conecta en la razn m1:m2 con el segmento de longitud ms corto y ms cerca de la masa ms grande.

Si el sistema consiste de n partculas de masas diferentes mv m2, se aplica la misma expresin: el nmero de veces que cada partcula se incluye en el promedio est en proporcin directa a su masa; el factor exacto por el que se multiplica la coordenada de cada partcula es la fraccin de la masa total que aporta la partcula. Esto da la siguiente expresin general para la coordenada del centro de masa:

m1x1 + m2x2 + + mnxn

m, + m-, + + m (10.17)

OTJXJ + m2x2 + + mnxn

M (10.18)

donde M es la masa total del sistema, M = m1 + m2 + + mn. Ecuaciones similares se aplican a las coordenadas y y z si las partculas del sistema se distribuyen sobre una regin tridimensional:

+ m2y2 ++ mnyn M

(10.19)

mxzx + m2z2 + + mnzn M

(10.20)

A l introducir la notacin estndar X para una suma de n trminos, estas frmulas pueden expresarse de manera ms concisa como

3 1 6 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

"CM 1 "

y. (10.21).

coordenadas del centro de masa ycM M: (10.22)

6CM 1 ;

X (10.23)

o

Para un cuerpo slido, se asigna la posicin x para la masa Am de un elemento de volumen.

F I G U R A 10.9 Un elemento de volumen pequeo del cuerpo en la posicin x tiene una masa Am.

La posicin del centro de masa de un cuerpo slido puede, en principio, calcularse a partir de las ecuaciones (10.21)-(10.23), pues un cuerpo slido es una coleccin de tomos, cada uno de los cuales puede considerarse como una partcula. Sin embargo, sera muy complicado tratar con 10 2 3 o ms tomos que conforman un trozo de mate-ria del tamao de, por ejemplo, una moneda. Es ms conveniente suponer que la ma-teria tiene una distribucin suave y continua de masa sobre todo su volumen. La masa en algn elemento pequeo de volumen en la posicin x sobre el cuerpo es entonces Ami (vase la figura 10.9) y la posicin x del centro de masa es

1 l CM Mi

(10.24)

En el caso lmite de 0 (y n > ), esta suma se convierte en una integral:

1

M (10.25)

Expresiones similares son vlidas para las posiciones y y z del centro de masa:

M ycM dm (10.26)

E l centro de masa de un cuerpo simtrico es obvio por inspeccin.

esfera

dllo

placa circular

4CM M idm (10.27)

Por tanto, la posicin del centro de masa es la posicin promedio de todos los elemen-tos de masa que constituyen el cuerpo.

Para un cuerpo de densidad uniforme, la cantidad de masa dm en cualquier ele-mento de volumen dado dV es directamente proporcional a la cantidad de volumen. Para un cuerpo con densidad uniforme, la posicin del centro de masa es simplemente la posi-cin promedio de todos los elementos de volumen del cuerpo (en matemticas, esto se llama centroide del volumen). Si el cuerpo tiene una forma simtrica, esta posicin promedio con frecuencia ser obvia por inspeccin. Por ejemplo, una esfera, o un anillo, o una placa circular, o un cilindro, o un paraleleppedo de densidad uniforme tendr su centro de masa en el centro geomtrico (vase la figura 10.10). Pero para un cuerpo menos simtrico, el centro de masa con frecuencia debe calcularse, ya sea al considerar partes del cuerpo (como en el siguiente ejemplo) o mediante integracin sobre todo el cuerpo (como en los dos ejemplos subsiguientes).

paraleleppedo

F I G U R A 10 .10 Muchos cuerpos para los cuales el centro de masa coincide con el centro geomtrico.

E J E M P L O 5 Un metro de aluminio se dobla en su punto medio de modo que las dos mitades estn en ngulos rectos (vase la figura 10.11).

;Dnde est el centro de masa de este metro doblado?

S O L U C I N : Puede considerarse que el metro doblado est formado por dos pie-zas rectas, cada una de 0.500 m. Los centros de masa de estas piezas rectas estn en

10.2 Centro de masa 3 1 7

25 cm

50 cm 75 cm / /

1_1 J i L

F I G U R A 10.11 Un metro, dobla-do 90 en su punto medio.

Para mitades de masa igual, el centro de masa de todo el metro es este punto medio.

E l centro de masas de cada mitad est en su punto medio.

F I G U R A 1 0 . 1 2 El centro de masa del metro doblado est en el punto medio de la lnea recta que conecta los centros de las mitades. Las coordenadas xCM y y C M de este punto medio estn a la mitad de las distancias que van a los centros de masa de los lados horizontal y vertical; es decir, 0.125 m cada uno.

sus puntos medios, 0.250 m de sus extremos (vase la figura 10.12). El centro de masa de todo el metro es la posicin promedio de los centros de masa de las dos mitades. Con los ejes coordenadas ordenados como aparecen en la figura 10.12, la coordenada x del centro de masa es, de acuerdo con la ecuacin (10.14),

0.250 m + 0 0.125 (10.28)

Del mismo modo, la coordenada y es

_ 0.250 m + 0 0.125 m

Observe que el centro de masa de este metro doblado est afuera del metro; es decir, no se encuentra dentro de su volumen (vase la figura 10.12).

E J E M P L O 6 La figura 10.13 muestra un mvil de Alexander Cal-der, que contiene una hoja uniforme de acero, en for-

ma de tringulo, suspendida en su centro de masa. Dnde est el centro de masa de un tringulo rectngulo de lados perpendiculares a y b}

S O L U C I N : La figura 10.14 muestra el tringulo colocado con un vr-tice en el origen y su ngulo recto a una distancia b a lo largo del eje x. Para calcular la coordenada x del centro de masa, necesita sumar las aportaciones de masa dm a cada valor de x; una de tales aportaciones es la tira vertical que aparece en la figura 10.14, que tiene una altura y = (a/b)x y un ancho dx. Dado que la hoja es uniforme, la tira tiene una fraccin de la masa total M igual al rea de la tirajy dx = (a/b)x dx divi-dida entre el rea total 5 ab:

dm (a/b)xdx M ~ \ab

2x dm = M^dx

b2 F I G U R A 1 0 . 1 3 Este mvil de Alexander Calder contiene un tringulo suspendido de su centro de masa.

3 1 8 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

Esta fraccin de la masa

x

F I G U R A 1 0 .14 a) Un tringulo rectngulo, con elemento de masa dm de altura y y ancho dx. b) El centro de masa est a un tercio de la distancia desde el ngulo recto a lo largo de los lados a y b.

Integre esto en la ecuacin (10.25) para xCM y sume las aportaciones desde x = 0 hasta x = b:

M

A I b23

cdm 1_

M

2x xM r dx

( 3 - 0)

b3

3

De modo que el centro de masa est a dos tercios de la distancia hasta el ngulo recto. Realizar un clculo similar parajyC M produceyCM ja. Por ende, xCM yjVcM estn cada uno a una distancia alejada del ngulo recto igual a un tercio de la lon-gitud del lado correspondiente (vase la figura \0.\4b).

F I G U R A 10 .15 La gran pirmide.

E J E M P L O 7 La gran pirmide de Giza (vase la figura 10.15) tiene una altu-ra de 147 m y una base cuadrada. Si supone que todo el volumen

est completamente lleno con piedra de densidad uniforme, encuentre su centro de masa.

S O L U C I N : Debido a la simetra, el centro de masa debe estar en la lnea vertical a travs del pice. Por conveniencia, coloque el eje y a lo largo de esta lnea y ordene

este eje hacia abajo, con el origen en el pice. Entonces debe encontrar dnde est el centro de masa sobre este eje y. La figu-ra 10.16a muestra una seccin transversal a travs de la pirmi-de, colocada de manera paralela a dos lados. El medio ngulo en el pice es

10.2 Centro de masa 3 1 9

Aqu y es la distancia bajo el vrtice.

AV. E l tringulo grande es una seccin transversal vertical a travs de la pirmide.

Se suman losas de grosor dy y rea (2x)2.

FIGURA 1 0 . 16 d) Seccin transversal a travs de la pirmide. El tringulo azul muestra que, a una altura y medida desde el pice, el medio ancho de la pirmide es x = y tan (b. b) La delgada losa horizontal indicada en rojo es un cuadrado que mide 2x X 2x, con un grosor dy.

Por ende, la masa de la losa de grosor dy a esta altura y es

dm = pdV = p(2y tan cf))2dy = 4p(tan2)y3dy

4p(tan24>)y2

(10.29)

(10.30)

Cuando se sustituye la ecuacin (10.30) en la ecuacin (10.29), se cancela el factor comn 4p tan2(/>, y obtenemos

(10.31) y2 dy

Conforme se suman las losas cuadradas de grosor dy en ambas integrales, la inte-gracin corre de y = 0 en la parte superior de la pirmide, a y = h en el fondo, donde h es la altura de la pirmide. La evaluacin de estas integrales produce

4 L

h

4 0 4

3 L

h l

3 0 3

y3 dy o

Ch y2 dy

Por tanto, la coordenada y del centro de masa es

_ h4/4 _ 3 J t M - 3 / 3 - /

Esto significa que el centro de masa est \ 147 m abajo del pice; es decir, est \ 147 m = 37 m sobre el suelo.

3 2 0 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

TECNICAS PARA RESOLUCION DE PROBLEMAS CENTRO DE MASA

Con frecuencia, los clculos de la posicin del centro de masa de un cuerpo pueden simplificarse al explorar la forma o la simetra del cuerpo: ' En ocasiones, es conveniente tratar el cuerpo como si es-

tuviera constituido por muchas partes y comenzar a cal-cular las posiciones de los centros de masa de stas (como en el ejemplo del metro doblado). As, cada parte puede asumirse como una partcula ubicada en su centro de masa y el centro de masa de todo el cuerpo es entonces el centro de masa de este sistema de partculas, que puede calcularse mediante las sumas, ecuaciones (10.18)-(10.20).

Si el cuerpo o alguna parte de l tiene simetra, la posicin del centro de masa por lo general ser obvio por inspec-

cin. Por ejemplo, en el caso del metro doblado, es obvio que el centro de masa de cada mitad est en su centro.

Los argumentos geomtricos a veces pueden sustituir a los clculos algebraicos de las coordenadas del centro de masa. Por ejemplo, en el caso del metro doblado, en lugar de los clculos algebraicos de las coordenadas [como para xCM en la ecuacin (10.28)], las coordenadas pueden obtenerse al considerar al metro como constituido por dos piezas rectas con centros de masa conocidos; enton-ces, las coordenadas del centro de masa global pueden encontrarse a partir de la geometra de un diagrama, como se muestra en la figura 10.12.

LA FISICA EN LA PRACTICA CENTRO DE MASA Y ESTABILIDAD

En el diseo de barcos, los ingenieros necesitan asegurarse de que la posicin del centro de masa del barco est en un punto bajo a fin de mejorar la estabilidad. Si el centro de masa est alto, el barco es pesado en la parte superior y puede volcarse. Con frecuencia, los barcos portan lastre en el fondo de la quilla para bajar el centro de masa. Muchos barcos se han perdido debido a lastre insuficiente o a un inesperado corri-miento del mismo. Por ejemplo, en 1628, el barco sueco Vasa (vase la figura 1), el orgullo y regocijo de la marina sueca y del rey Gustavo Adolfo I I , zozobr y se hundi en su viaje inaugural cuando fue golpeado por una rfaga de viento, apenas afuera del muelle. Llevaba un nmero excesivo de pe-

sados caones en sus cubiertas superiores, lo que lo hizo pe-sado en la parte superior; debi haber llevado ms lastre para bajar su centro de masa.

La posicin del centro de masa tambin es fundamental en el diseo de automviles. Un automvil pesado de arriba, como un SUV, tender a volcarse cuando acelere en una curva cerrada. Los automviles de alto rendimiento, como el Ma-serati que se muestra en la figura 2, tienen un perfil muy bajo, con el motor y la transmisin colocados en su parte baja, de modo que el centro de masa es tan bajo como sea posible y el automvil se mantenga en el suelo.

FIGURA! El barco sueco fea. FIGURA 2 Un automvil deportivo Maserati.

10.2 Centro de masa 3 2 1

La posicin del centro de masa entra en el clculo de la energa potencial gravita-cional de un cuerpo extendido ubicado cerca de la superficie de la Tierra. De acuerdo con la ecuacin (7.29), la energa potencial de una sola partcula de masa m a una altura y sobre el suelo es mgy. Para un sistema de partculas, la energa potencial gravitacional total es entonces

U = m l g y i + m2gy2 + + mngyn

= (mxyx + m2y2 + + mnyn)g (10.32)

La comparacin con la ecuacin (10.19) muestra que la cantidad entre parntesis es MyCM. Por tanto, la ecuacin (10.32) se convierte en

U=Mgycu (10.33)

Esta expresin para la energa potencial gravitacional de un sistema que est cerca de la superficie de la Tierra tiene la misma forma matemtica que para una sola partcula: es como si toda la masa del sistema se ubicara en el centro de masa.

Para un cuerpo humano que est de pie, la posicin del centro de masa se encuentra en el punto medio del tronco, aproximadamente a la altura del ombligo. Es por esto que la altura se usa en el clculo de la energa potencial gravitacional del cuerpo. Sin em-bargo, si se adopta cualquier posicin que haga flexionarse al cuerpo, el centro de masa se desplaza.

a)

0.935L (0.069A)

0.711L (0.461AZ)

0.425Z. (0.215A/)

0.182Z. (0.0967W)

0.018L (0.034M)

b)

0.717Z, (0.066M) 0.553Z. (0.0427W) 0.431Z. (0.017M)

0.672L

0.462Z,

0.285Z.

0.0401

energa potencial en trminos de la altura del centro de masa

Conceptos en

contexto

F I G U R A 1 0 . 1 7 a) Centros de masa de los segmentos corporales de un varn pro-medio de masa My altura L de pie. Los nmeros indican las alturas de los centros de masa de los segmentos corporales desde el suelo y (entre parntesis) las masas de los segmentos corporales; las extremidades derecha e izquierda se muestran combina-das, b) Puntos de articulacin del cuerpo. Los nmeros indican las alturas de las articulaciones desde el suelo.

La figura 10.17 indica los centros de masa de los segmentos corporales de un hombre de proporciones promedio puesto de pie. La figura 10.17b muestra los puntos de articulacin donde se unen estos segmentos corporales. A partir de los datos que aparecen en esta figura, puede calcularse la ubicacin del centro de masa cuando el cuerpo adopta cualquiera otra posicin, as como el trabajo realizado contra la gravedad para cambiar la posicin de cual-quier segmento. Por ejemplo, si el cuerpo se dobla en un apretado arco hacia atrs, el centro de masa se desplaza a una posicin justo afuera del cuerpo, aproximadamente a 10 cm por abajo de la mitad del tronco. Los saltadores olmpicos (vase la figura 10.18) obtienen ventaja de este desplazamiento del centro de masa a fin de obtener el mximo de la energa potencial gravitacional que pueden suministrar para un salto de altura. A l adoptar una posicin doblada mientras pasan sobre la barra, elevan su tronco arriba del centro de masa, de modo que el tronco pasa sobre la barra mientras el centro de masa puede pasar por abajo de la barra. Con este truco, el saltador eleva el centro de su tronco aproximadamente 10 cm en relacin con el centro de masa y gana altu-ra adicional sin gastar energa extra.

F I G U R A 1 0.1 8 Atleta de salto de altura que pasa sobre la barra.

3 2 2 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

Conceptos eit

contexto

E J E M P L O 8 Suponga que un hombre de proporciones promedio realiza un salto de altura mientras arquea su espalda (vase la fotografa de

apertura del captulo). En el pico de su salto, su torso est aproximadamente hori-zontal; sus muslos, brazos y cabeza forman un ngulo de 45 con la horizontal y sus pantorrillas estn verticales, como se muestra en la figura 10.19/>. a) Cunto se desplaza su centro de masa hacia abajo en comparacin con un hombre que pasa sobre la barra horizontalmente? (Vase la figura 10.19a.) b) Cunto se reduce su energa potencial? Suponga que la masa del saltador es M = 73 kg y su altura L = 1.75 m.

S O L U C I N : a) En la figura 10.19a, el centro de masa del cuerpo horizontal est en y = 0, pues cada segmento en esencia est en y = 0. En la figura 10.20 se usaron las posiciones relativas de los puntos de articulacin y los centros de masa de la figura 10.17 para determinar la posicin vertical de cada segmento corporal en la posicin arqueada hacia atrs. Por ejemplo, el centro de masa del muslo est a una distancia 0.521L 0.425Z, = 0.096L de la articulacin de la cadera y por tanto est a una distancia vertical 0.096Z, X sen 45 = 0.068Z, abajo de y = 0. De igual modo, pue-de determinarse que los centros de masa de pantorrillas, pies, cabeza, brazos, ante-brazos y manos estn en y = -0.270L, -0.434L, -0.016L, -0.067L, -0.1831. y 0.269L, respectivamente. A partir de la figura 10.17, las masas de los siete seg-mentos son 0.215M, 0.096M, 0.034M, 0.069M, 0.066M, 0.042My 0.017M, res-pectivamente. El torso, de masa 0.461M, de nuevo est en y = 0. Por tanto, al usar la ecuacin (10.19) o (10.22), el centro de masa arqueado hacia atrs est en

ycM M 2 my

M (0.215 X 0.068 + 0.096 X 0.270 + 0.034 X 0.434 + 0.069

X 0.016 + 0.066 X 0.067 + 0.042 X 0.183 + 0.017 X 0.269

0 X 0.461)ML

0.073Z, = -0.073 X 1.75 m -0.13 m

En consecuencia, en esta posicin arqueada, se gana una ventaja de altura de 13 cm.

b) De acuerdo con la ecuacin (10.33), la energa potencial cambia por

\U=MgAyCM

= 73 kg X 9.81 m/s2 X (-0.13 m) (10.34)

= -93 J

Muslos, cuello y brazos doblados 45 los respectivos puntos de articulacin; pantorrillas estn verticales.

E l centro de masa puede calcularse a partir de los datos de la figura 10.17.

FIGURA 1 0.1 9 a) Posicin horizontal, b) Saltador de altura en posicin arqueada hacia atrs.

10.3 Movimiento del centro de masa 3 2 3

Estas distancias se obtienen directamente de los centros de masa y de los puntos de articulacin de la figura 10.17.

0.434Z,

F I G U R A 1 0 . 2 0 Posiciones verticales de los centros de masa de los segmentos corporales. Estos se determinan a partir de las posiciones de las articulaciones y de los centros de masa de la figura 10.17 y de la geometra de la posicin arqueada hacia atrs.

y = 0

Revisin 10.2

PREGUNTA 1: Aproximadamente dnde est el centro de masa de la serpiente que se muestra en la figura 10.21a? PREGUNTA 2: Aproximadamente dnde est el centro de masa de la herradura que se muestra en la figura 10.21? PREGUNTA 3: Es posible que el centro de masa de un cuerpo est arriba de la parte ms alta del cuerpo? PREGUNTA 4: Considere un bote que tiene una quilla con un pesado bulbo de plomo en el fondo. Si el bulbo cae, el centro de masa del bote:

(A) Permanece en la misma posicin (B) Se desplaza hacia abajo

(C) Se desplaza hacia arriba

10.3 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA

Cuando las partculas de un sistema se mueven, con frecuencia el centro de masa hace lo mismo. Ahora se obtendr una ecuacin para el movimiento del centro de masa, que relaciona la aceleracin del centro de masa con la fuerza externa. Esta ecuacin permi-tir calcular el movimiento de traslacin global de un sistema de partculas.

De acuerdo con la ecuacin (10.18), si los componentes x de las posiciones de las respectivas partculas cambian por dxv dx2,dxn, entonces la posicin del centro de masa cambia por

1 dx. CM M

(m1dx1 + m2dx2 + + mndxn) (10.35)

A l dividir esto entre el tiempo dt que tardan estos cambios de posicin, se obtiene

CM dt

1_ M dt dt

dx n

dt (10.36)

El lado izquierdo de esta ecuacin es el componente x de la velocidad del centro de masa y las rapideces de cambio en el lado derecho son los componentes x de las velo-cidades de las partculas individuales; por tanto

-=5.

7

F IGURA 10 .21

d) Una serpiente, b) Una herradura.

3 2 4 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

velocidad del centro de masa

,1 + OT2^,2 + " + m v n x,n ,CM M

Observe que esta ecuacin tiene la misma forma matemtica que la ecuacin (10.18); es decir, la velocidad del centro de masa es un promedio de las velocidades de las par-tculas, y el nmero de veces que la velocidad de cada partcula se incluye es directa-mente proporcional a su masa.

Dado que ecuaciones similares se aplican a los componentes y y z de la velocidad, puede escribirse una ecuacin vectorial para la velocidad del centro de masa:

(10.37) m1v1 + w 2 v 2 +

V C M - M

La cantidad en el numerador es simplemente la cantidad de movimiento total [com-pare la ecuacin (10.1)]; por tanto, la ecuacin (10.37) dice

M (10.38)

cantidad de movimiento en trminos

de la velocidad del CM P = M v

C M (10.39)

Esta ecuacin expresa la cantidad de movimiento total de un sistema de partculas como el producto de la masa total y la velocidad del centro de masa. Obviamente, esta ecuacin es anloga a la ecuacin familiar p = mv para la cantidad de movimiento de una sola partcula.

Se sabe, a partir de la ecuacin (10.13), que la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento total es igual a la fuerza externa neta en el sistema,

^ = F dt

Si se sustituye P = MvCM y se toma en cuenta que la masa es constante, se encuentra que

Ma, CM

y, en consecuencia,

movimiento del centro de masa M a C M = Fext (10.40)

Conceptos e n -contexto

Esta ecuacin para un sistema de partculas es el anlogo de la ecuacin de Newton para el movimiento de una sola partcula. La ecuacin asevera que el centro de masa se mueve de la misma forma que una partcula de masa Mbajo la influencia de una fuerza F

ext

Este resultado justifica algunas de las aproximaciones hechas en captulos previos. Por ejemplo, en el captulo 2, en el ejemplo 9, se trat a un paracaidista que caa de un risco como una partcula. La ecuacin (10.40) muestra que este tratamiento es legti-mo: el centro de masa del paracaidista, bajo la influencia de la fuerza externa (grave-dad), se mueve con una aceleracin descendente g, tal como si fuese una partcula en cada libre. Del mismo modo, despus de que un atleta que ejecuta un salto de altura se separa del suelo, su centro de masa se mueve a lo largo de una trayectoria parablica, como si fuese un proyectil, y la forma y altura de esta trayectoria parablica no le afec-tan cualesquiera contorsiones que el saltador pudiera hacer mientras est en vuelo. Dr. captulo 4, se sabe que la velocidad vertical inicial v determina la altura mxima k c;. centro de masa; es decir, v = V 2 p . Las contorsiones del saltador permiten a su cuer-po pasar sobre una barra aproximadamente 10 cm ms alto en relacin con la alruri mxima del centro de masa.

10.3 Movimiento del centro de masa 3 2 5

Si la fuerza externa neta desaparece, entonces la aceleracin del centro de masa desaparece; por tanto, el centro de masa permanece en reposo o se mueve con velocidad uniforme.

E J E M P L O 9 Durante una "caminata espacial", un astronauta flota en el espacio a 8.0 m de su nave espacial que rbita la

Tierra. El est unido a la nave espacial por medio de un largo cordn umbilical (vase la figura 10.22); para regresar, se jala l mismo median-te esta cuerda. Cunto se mueve la nave espacial hacia l? La masa de la nave espacial es de 3 500 kg y la del astronauta, incluido su traje espacial, es de 110 kg.

S O L U C I O N : En el marco de referencia del astronauta y la nave espacial en rbita (cada libre), cada uno efectivamente no tiene peso; es decir, la fuerza externa sobre el sistema efectivamente es cero. Las nicas fuerzas en el sistema son las ejercidas cuando el astronauta jala la cuerda; estas fuerzas son internas. Las ejercidas por la cuerda sobre la nave espacial y sobre el astronauta durante el jaln son de igual magnitud y de direcciones opues-tas; el astronauta jala la nave espacial y sta jala al astronauta. Sin fuerzas externas, el centro de masa del sistema astronauta-nave espacial permanece en reposo. Por tanto, la nave espacial y el astronauta se mueven hacia el centro de masa y ah se encuentran.

Con el eje x en la figura 10.23, la coordenada x del centro de masa es

F I G U R A 1 0 . 2 2 Astronauta en una "caminata espacial" durante la misin Gminis 4.

^CM 1^^ 1 ^ ^^ 2*^ 2

mx + m2 (10.41)

donde mx = 3 500 kg es la masa de la nave espacial y m2 = 110 kg es la masa del astronauta. Estrictamente, las coordenadas xx y x2 de la nave espacial y del astro-nauta deben corresponder a los centros de masas de estos cuerpos, pero, por cues-tin de simplicidad, se desprecia su tamao y se trata a ambos como partculas. Los valores iniciales de las coordenadas son xx = 0 y x2 = 8.0 m; por tanto

0 + 110 kg X 8.0 m

3 500 kg +110kg 0.24:

Durante el aln, la nave espacial se mover de xx = 0 a xx = 0.24 m; simultnea-mente, el astronauta se mover de x2 = 8.0 m a x2 0.24 m.

F I G U R A 10 .23 a) Posicin inicial del astronauta y de la nave espacial. El centro de masa est entre ellos. b) Posicin final del astronauta y de la nave espacial. Ambos estn en el centro de masa.

3 2 6 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

C O M E N T A R I O : Las distancias recorridas por el astronauta y por la nave espacial estn en razn inversa de sus masas. El astronauta (de masa pequea) se mueve una distancia grande y la nave espacial (de masa grande) se mueve una distancia ms pequea. ste es el resultado de las aceleraciones que el jaln de la cuerda produce a estos cuerpos: con fuerzas de magnitudes iguales, las aceleraciones del astronauta y de la nave espacial estn en la razn inversa de sus masas. Sin embargo, el mtodo de clculo con base en la posicin fija del centro de masa permite obtener directa-mente las posiciones finales, sin necesidad alguna de examinar las aceleraciones.

E J E M P L O 1 0 Un proyectil se lanza a cierto ngulo 6 con respecto a la hori-zontal, 0 < 9 < 90. Justo cuando alcanza su pico, explota en

dos piezas. La explosin hace que una primera pieza trasera llegue a un alto mo-mentneo y simplemente cae, golpeando el suelo directamente bajo la posicin pico. La explosin tambin hace que la rapidez de la segunda pieza aumente y se impacte con el suelo a una distancia cinco veces ms lejos del punto de lanzamien-to, en comparacin con la primera pieza (vase la figura 10.24). Si el proyectil ori-ginal tena una masa de 12.0 kg, cules son las masas de las piezas?

S O L U C I N : Puesto que la explosin no produce fuerzas externas, el centro de masa contina en su trayectoria original, una trayectoria parablica que golpea el suelo en el alcance xmix, dado por la ecuacin (4.43). El pico de la trayectoria parablica ocurre a la mitad de esta distancia; por ende, la primera pieza, de algu-na masa mv se impacta con el suelo a una distancia \mix del punto de lanza-miento. Tambin se dice que la segunda pieza, de masa m2, golpea el suelo a una distancia 5 X 2 xmix del punto de lanzamiento. Las dos piezas llegarn al suelo en el mismo instante, pues esta explosin afect slo la cantidad de movimiento hori-zontal de cada pieza. Si se toma el origen en el punto de lanzamiento, el compo-nente x del centro de masa es

J2 5m2Xmix 12

Pueden dividirse ambos lados de esta ecuacin entre xmix y reordenarse para ob-tener

OTj = 3m2

Dado que se sabe que la masa total es mx -obtiene

12.0 kg, o 4m2 = 12.0 kg, se

- = 9.0 kg y m2 = 3.0 kg

..--A*- .

FIGURA 10 . 24 Un proyectil explota en su pice. El fragmento trasero simplemente cae y la pieza delantera aterriza cinco veces ms lejos del punto de lanzamiento. alcance de proyectil original

Los fragmentos estn \ a la misma altura.

10.4 Energa de un sistema de partculas 3 2 7

C O M E N T A R I O : Observe que, para relacionar ambos puntos de impacto con el centro de masa, tiene que conocer que los impactos ocurrieron en el mismo instante; cuando calcule el centro de masa, siempre debe usar las coordenadas de un sistema de partculas en un instante particular.

Q | RevsnTo^3

PREGUNTA I: Cuando usted se arrastra desde la parte trasera de una canoa hasta la parte frontal, el bote se mueve hacia atrs en relacin con el agua. Explique. PREGUNTA 2: Usted est encerrado en un vagn colocado sobre ruedas sin friccin en las vas del ferrocarril. Si camina desde la parte trasera del vagn hasta la parte frontal, el vagn rueda hacia atrs. Es posible que usted haga que el vagn ruede una distancia mayor que su longitud?

PREGUNTA 3: Usted suelta un puado de canicas sobre un suelo liso; stas rebotan unas contra otras y ruedan alejndose en todas direcciones. Qu puede decir acerca del movimiento del centro de masa de las canicas despus del impacto contra el suelo? PREGUNTA 4: Un automvil viaja hacia el norte a 25 m/s. Un camin con el doble de masa del automvil se dirige al sur a 20 m/s. Cul es la velocidad del centro de masas de los dos vehculos?

(A) 0 (B) 5 m/s sur (C) 5 m/s norte (D) 10 m/s sur (E) 10 m/s norte

10.4 ENERGIA DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

La energa cintica total de un sistema de partculas simplemente es la suma de las energas cinticas individuales de todas las partculas:

v 1 ~. , 2 - i - 1 ,2 -i. 4- 1 m ,2 f i n AI\a cintica d e un sistema K - 2 m x v x + -2m2v2+-+-2mnvn (10.42) pite]

Dado que la ecuacin (10.39) para la cantidad de movimiento de un sistema de partculas recuerda la expresin para la cantidad de movimiento de una sola partcula, usted puede estar tentado a suponer que la ecuacin para la energa cintica de un sistema de partculas tambin puede expresarse en la forma de la energa cintica traslacional del centro de masa I\MVQM, que recuerda la energa cintica de una sola partcula. Pero esto est mal! La energa cintica total de un sistema de partculas por lo general es mayor que \MVQ-WX. Esto puede verse en el siguiente ejemplo simple: considere dos automviles de masas iguales que se mueven uno hacia el otro con ra-pideces iguales. Entonces la velocidad del centro de masa es cero y, en consecuencia, \MVQM = 0. Sin embargo, dado que cada automvil tiene una energa cintica positi-va, la energa cintica total no es cero.

Si las fuerzas interna y externa que actan sobre un sistema de partculas son con-servativas, entonces el sistema tendr una energa potencial. Anteriormente se vio que, para el ejemplo especfico de la energa potencial gravitacional cerca de la superficie de la Tierra, la energa potencial del sistema tiene la misma forma que para una partcula sola, U = MgyCM [vase la ecuacin (10.33)]. Pero esta forma es un resultado de la fuerza particular (uniforme y proporcional a la masa); en general, la energa potencial para un sistema no tiene la misma forma que para una partcula sola. A menos que se especifiquen todas las fuerzas, no puede escribirse una frmula explcita para la energa

328 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

potencial; pero, en cualquier caso, esta energa potencial ser alguna funcin de las posiciones de todas las partculas. La energa mecnica total es la suma de la energa cintica total [ecuacin (10.42)] y la energa potencial total. Esta energa total se con-servar durante el movimiento del sistema de partculas. Observe que, al calcular la energa potencial total del sistema, debe incluir la energa potencial tanto de las fuerzas externas como de las internas. Se sabe que estas ltimas no contribuyen a los cambios de la cantidad de movimiento total del sistema, pero dichas fuerzas internas y sus ener-gas potenciales contribuyen a la energa total. Por ejemplo, si dos partculas caen una hacia la otra bajo la influencia de su atraccin gravitacional mutua, la cantidad de mo-vimiento ganada por una partcula se equilibra debido a la prdida de cantidad de movimiento de la otra, pero la energa cintica ganada por una partcula no se equilibra con la energa cintica perdida por la otra: ambas partculas ganan energa cintica. En este ejemplo, la atraccin gravitacional juega el papel de una fuerza interna en el siste-ma y la ganancia de energa cintica se debe a una prdida de energa potencial gravi-tacional mutua.

Q l Re i^^ sJn 10^4

PREGUNTA 1: Considere un sistema que est formado por dos automviles de masa igual. Inicialmente, los automviles tienen velocidades de magnitudes iguales en direc-ciones opuestas. Suponga que chocan de manera frontal. Se conserva la energa cintica? PREGUNTA 2: E l Sistema Solar est formado del Sol, nueve planetas (entre ellos, el planeta enano Plutn) y sus lunas. La energa total de este sistema se conserva? Se conserva la energa cintica? Se conserva la energa potencial?

PREGUNTA 3: Dos masas iguales, sobre una superficie horizontal sin friccin, estn conectadas mediante un resorte. A cada uno se le da un breve empujn en una direc-cin diferente. Durante el movimiento posterior, cul de los siguientes permanece consrante? (P = cantidad de movimiento total; K = energa cintica total; U = energa potencial total).

(A) solamente P (B) P y K (C) P y U (D)KyU (E)P,KyU

R E S U M E N

RAPIDEZ DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

CONSERVAC ION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

(en ausencia de fuerzas externas)

TCNICAS PARA RESOLUCIN DE PROBLEMAS Conservacin de la cantidad de movimiento

TCNICAS PARA RESOLUCIN DE PROBLEMAS Centro de masa

LA FSICA EN LA PRCTICA Centro de masa y estabilidad

CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNA PARTCULA p = mv

CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTCULAS P = P i + P2 + "'

^ = F dt

P = [constante]

(pgina 310)

(pgina 320)

(pgina 320)

(10.1)

(10.4)

(10.13)

(10.12)

Preguntas para discusin 3 2 9

CENTRO DE MASA

(Usando M = mx + m2 + + mn) XCM = J j ^ m i x i + m2x2 ++ mcn)

f s " 9 M 1

(10.18)

(10.19)

(10.20)

CENTRO DE MASA DE DISTRIBUCIONES

CONTINUAS DE MASA

donde dm = p dV{p es la densidad y dVes un elemento de volumen).

esfera placa circular

anillo paraleleppedo 6CM

M

\_ M)

\^ M

(dm

ydm

zdm

(10.25)

(10.26)

(10.27)

VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA mxvx -t- w 2 v 2

"CM M (10.37)

CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UN

SISTEMA DE PARTCULAS (cerca de la superficie de la Tierra)

P = Mv, CM

^ C M = F e x t

U = Mgy, CM

(10.39)

(10.40)

(10.33)

ENERGIA CINETICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS K = \mxv\ \m2v22 + + ^mnvn (10.42) 1 2

P R E G U N T A S PARA D I S C U S I O N

1. Cuando la boquilla de una manguera contra incendios descarga una cantidad de agua grande a rapidez grande, se necesitan muchos bomberos fuertes para mantener estacionaria la boqui-lla. Explique.

2. Cuando dispara un arma de fuego, un cazador siempre la pre-siona firmemente contra su hombro. Por qu?

3. Como se describe en el ejemplo 2, los caones que se encuen-tran a bordo de los buques de guerra del siglo xvin con fre-cuencia se montaban en soportes (vase la figura 10.3). Cul era la ventaja de este arreglo?

4. Las pelculas de Hollywood con frecuencia muestran a un hombre que es derribado por el impacto de una bala, mientras que el hombre que dispar permanece de pie, muy inalterado. Esto es razonable?

5. Dnde est el centro de masa de este libro cuando se cierra? Marque el centro de masa con una cruz.

6. Aproximadamente dnde est el centro de masa de este libro cuando est abierto, como en este momento?

7. Una fuente dispara un chorro de agua hacia arriba, en el aire (vase la figura 10.25). Aproximadamente, dnde est el centro

3 3 0 CAPTULO 10 Sistemas de partculas

de masa del agua que est en el aire en un instante? El centro de masa est ms alto o ms bajo que la altura media?

13. Un elefante salta desde un risco. La Tierra se mueve hacia arriba mientras el elefante cae?

14. Un malabarista est de pie sobre una bscula, manipulando cinco bolas (vase la figura 10.26). En promedio, la bscula registrar el peso del malabarista ms el peso de las cinco bolas? Registrar ms que eso? O registrar menos?

V

0 f l

F I G U R A 10 .25 Chorro de agua de una fuente.

8. Considere la llave en movimiento que se muestra en la figura 10.6. Si el centro de masa de esta llave no se hubiera marcado, cmo podra encontrarlo mediante inspeccin de esta fotografa?

9. Es posible impulsar un bote de vela al montar un ventilador en la cubierta y soplar aire a la vela? Es mejor montar el ventila-dor en la popa y soplar aire hacia atrs?

10. El sexto mtodo de Cyrano de Bergerac para impulsarse a s mismo hasta la Luna era el siguiente: "sentado en un plato de hierro, arrojar violentamente un imn al aire, el hierro lo sigue, atrapo el imn, lo lanzo de nuevo, y as procedo indefinidamen-te". Qu est mal en este mtodo (aparte del insuficiente jaln del imn)?

11. Dentro de los frijoles saltarines mexicanos, una pequea larva de insecto salta arriba y abajo. Cmo es que esto eleva al frijol de la superficie de la mesa?

12. Responda la siguiente pregunta, enviada por un lector del New York Times:

Un patrullero estatal lleva al conductor de un camin a una estacin de

pesaje para ver si el camin est sobrecargado. Mientras el vehculo

rueda en las bsculas, el conductor salta de la cabina y comienza a

golpear la caja del camin con un bat. Un observador le pregunta qu

hace. E l camionero responde: "Aqu traigo cinco toneladas de canarios.

S que estoy sobrecargado. Pero si los mantengo volando todo estar

bien." Si los canarios vuelan en esa caja cerrada, ;el camin realmente

pesar menos que si las aves se mantuvieran en sus perchas?

F I G U R A 10 .26 Malabarista sobre una bscula.

15. Suponga que usted llena un globo de goma con aire y luego lo libera de modo que el aire salga por la boquilla. El globo volar a travs de la habitacin. Explique.

16. La cmara de combustin del motor de un cohete est cerrada en el frente y a los lados, pero se encuentra abierta en la parte trasera (vase la figura 10.27). Explique cmo la presin del gas sobre las paredes de esta cmara de combustin da una fuerza neta hacia delante que impulsa al cohete.

cmara de garganta abertura combustin 4 | combustin

F I G U R A 1 0 . 2 7 Cmara de combustin de un motor de un cohete.

PROBLEMAS

10.1 Cantidad de movimiento

1. Cul es la cantidad de movimiento de una bala de rifle de 15 g de masa y 600 m/s de rapidez? Cul la de una flecha de 40 g de masa y 80 m/s de rapidez?

2. Cul es la cantidad de movimiento de un automvil de 900 kg de masa que se mueve a 65 km/h? Si un camin de 7 200 kg de masa debe tener la misma cantidad de movimiento que el auto-mvil, cul debe ser su rapidez?

3. Con los valores mencionados en las tablas 1.7 y 2.1, encuentre la magnitud de la cantidad de movimiento para cada uno de los siguientes objetos: la Tierra que se mueve alrededor del Sol, un avin jet a mxima rapidez, un automvil a 55 mi/h, un hombre que camina, un electrn que se mueve alrededor de un ncleo.

4. El empujn que una bala ejerce durante el impacto sobre un blanco depende de la cantidad de movimiento de la bala. Un rifle Remington .244, usado para cazar ciervos, dispara una bala

de 90 granos (1 grano es y^x con una rapidez de 975 m/s. Un rifle Remington .35 dispara una bala de 200 granos con una rapidez de 674 m/s. Cul es la cantidad de movimiento de cada bala?

5. Un electrn, con 9.1 X 10~31kgde masa, se mueve en el plano x-y; su rapidez es de 2.0 X 10 m/s y su direccin de movi-miento forma un ngulo de 25 con el eje x. Cules son los componentes de la cantidad de movimiento del electrn?

6. Un paracaidista de 75 kg de masa est en cada libre. Cul es la rapidez de cambio de su cantidad de movimiento? Ignore la friccin.

7. Un jugador de ftbol patea un baln y lo enva por el aire con una rapidez inicial de 26 m/s en un ngulo hacia arriba de 30. La masa del baln es de 0.43 kg. Ignore la friccin. a) Cul es la cantidad de movimiento inicial del baln? b) Cul es la cantidad de movimiento cuando el baln llega a

la altura mxima de su trayectoria? c) Cul es la cantidad de movimiento cuando el baln regre-

sa al suelo? Esta cantidad de movimiento final es la misma que la cantidad de movimiento inicial?

8. La Tierra se mueve alrededor del Sol en un crculo de 1.5 X 1011 m de radio con una rapidez de 3.0 X 104 m/s. La masa de la Tierra es de 6.0 X 1024 kg. Calcule la magnitud de la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de la Tierra a partir de estos datos. (Sugerencia: La magnitud de la cantidad de movimiento no cambia, pero la direccin s.)

9. Una masa de 1.0 kg se libera desde el reposo y cae libremente. Cunta cantidad de movimiento adquiere despus de un se-gundo? Y cunta despus de diez segundos?

10. Una mujer de 55 kg que se encuentra en un bote de remos de 20 kg lanza un salvavidas de 3.0 kg con una velocidad horizon-tal de 5.0 m/s. Cul es la velocidad de retroceso de la mujer y del bote?

11. Un hombre de 90 kg se zambulle desde un bote de 20 kg con una velocidad horizontal inicial de 2.0 m/s (relativa al agua). Cul es la velocidad de retroceso del bote? (Desprecie la fric-cin del agua.)

12. Un tomo de hidrgeno (1.67 X 10 2 7 kg de masa) en reposo puede emitir un fotn (una partcula de luz) con cantidad de movimiento mxima de 7.25 X 10~27 kg m/s. Cul es la mxima velocidad de retroceso del tomo de hidrgeno?

13. Calcule el cambio de la energa cintica en el choque entre los dos automviles descritos en el ejemplo 3.

14. Un rifle de 10 kg que yace sobre una mesa lisa se descarga por accidente y dispara una bala de 15 g de masa con una rapidez de boquilla de 650 m/s. Cul es la velocidad de retroceso del rifle? Cul es la energa cintica de la bala y cul es la energa cintica de retroceso del rifle?

15. Un buque comn de guerra de alrededor del ao 1800 (como el USS Constitution) transportaba 15 largos caones en cada lado. Los caones disparaban una bala de 11 kg con una rapidez de boquilla de aproximadamente 490 m/s. La masa del buque era ms o menos de 4 000 toneladas mtricas. Suponga que los 15

caones de un lado del buque se disparan (casi) simultnea-mente en una direccin horizontal en ngulo recto en relacin con el buque. Cul es la velocidad de retroceso del buque? Ignore la resistencia ofrecida por el agua.

16. Dos automviles, que se mueven a 65 km/h en direcciones opuestas, chocan frontalmente. Uno de ellos tiene una masa de 700 kg; el otro, una masa de 1 500 kg. Despus del choque, ambos permanecen unidos. Cul es la velocidad de los restos? Cul es el cambio de la velocidad de cada automvil durante el choque?

17. El ncleo de un tomo de radio (3.77 X 10~2S kg de masa) sbitamente expulsa una partcula alfa (6.68 X 10 2 ' kg de masa) de una energa de 7.26 X 10 1 6 J. Cul es la velocidad del retroceso del ncleo? Cul es la energa cintica del retroceso?

18. Un len de 120 kg de masa salta sobre un cazador con una velo-cidad horizontal de 12 m/s. El cazador tiene un rifle automtico que dispara balas de 15 g de masa con una rapidez de boquilla de 630 m/s e intenta detener al len en el aire. Cuntas balas ten-dra que disparar el cazador al len para detener su movimiento horizontal? Suponga que las balas quedan dentro del len.

*19. Encuentre la velocidad de retroceso para el can descrito en el ejemplo 2 si el can se dispara con un ngulo de elevacin de 20.

*20. Considere el choque entre los automviles en movimiento e inicialmente estacionario descritos en el ejemplo 3. En este ejemplo, se desprecian los efectos de la fuerza de friccin que ejerce el camino durante el choque. Suponga que ste dura 0.020 s y que, durante este intervalo de tiempo, los automviles unidos se deslizan con las ruedas bloqueadas sobre el pavimen-to con un coeficiente de friccin xk = 0.90. Qu cambio de cantidad de movimiento y qu cambio de rapidez produce la fuerza de friccin en los automviles unidos en el intervalo de 0.020 s? Este cambio es de rapidez significativa?

*21. Una ametralladora Maxim dispara 450 balas por minuto. Cada bala tiene una masa de 14 g y una velocidad de 630 m/s. a) Cul es la fuerza promedio que el impacto de estas balas

ejerce sobre un blanco? Suponga que las balas penetran el blanco y permanecen incrustadas en l.

b) Cul es la rapidez promedio a la que las balas entregan su energa al blanco?

*22. Un buho vuela paralelo al suelo y atrapa con sus garras a un ratn que se encuentra sin moverse. La masa del buho es de 250 g y la del ratn es de 50 g. Si la rapidez del buho era de 4.0 m/s antes de atrapar al ratn, cul es su rapidez justo despus de la captura?

*23. Una partcula se mueve a lo largo del eje x bajo la influencia de una fuerza en funcin del tiempo de la forma F = 2.Qt + 3.O2, donde Fx est en newtons y / en segundos. Cul es el cambio en la cantidad de movimiento de la partcula entre / = 0 y / = 5.0 s? [Sugerencia: Reescriba la ecuacin (10.3) como dpx = Fxdte integre.]

*24. Un jarrn que cae de una mesa y golpea un suelo liso se rompe en tres fragmentos de igual masa que se mueven alejndose horizontalmente a lo largo del suelo. Dos de los fragmentos

dejan el punto de impacto con velocidades de iguales magnitu-des v en ngulos rectos. Cules son la magnitud y direccin de la velocidad horizontal del tercer fragmento? (Sugerencia: Los componentes x y y de la cantidad de movimiento se conservan por separado.)

*25. El ncleo de un tomo de cobre radiactivo que experimenta de-caimiento beta simultneamente emite un electrn y un ncutrino. La cantidad de movimiento del electrn es 2.64 X 10~22 kg m/s, la del neutrino es 1.97 X 10 2 2 kg m/s y el ngulo entre sus direcciones de movimiento es 30.0. La masa del ncleo residual es 63.9 u. Cul es la velocidad de retroceso del ncleo? (Sugeren-cia: I .os componentes x y y de la cantidad de movimiento se con-servan por separado.)

*26. El viento solar que barre la Tierra consiste de un chorro de par-tculas, principalmente iones hidrgeno, de 1.7 X 10~27 kg de masa. I lay aproximadamente 1.0 X 10' iones por metro cbico y su rapidez es de 4.0 X 10 m/s. Qu fuerza ejerce el impacto del viento solar sobre un satlite artificial de la Tierra que tiene un rea de 1.0 m 2 trente al viento? Suponga que, en el impacto, los iones al principio se pegan a la superficie del satlite.

*27. El rcord para la lluvia ms intensa lo conserva Unionville, Marvland, donde 3.12 cm de lluvia (1.23 pulgadas) cayeron en un intervalo de 1.0 min. Si se supone que la velocidad de im-pacto de las gotas de lluvia sobre el suelo era de 10 m/s, cul fue la fuerza de impacto promedio sobre cada metro cuadrado de suelo durante esta lluvia?

"28. Un automvil viaja con una rapidez de 80 kin/h a travs de una intensa lluvia. Las gotas de lluvia caen verticalmente a 10 m/s y hay 7.0 X 10 4 kg de gotas de lluvia en cada metro cbico de aire. Para los siguientes clculos, suponga que el automvil tiene la forma de una caja rectangular de 2.0 m de ancho, 1.5 m de alto v 4.0 m de largo.

a) A qu rapidez (en kg/s) golpean las gotas de lluvia el fren-te y la parte superior del automvil?

b) Suponga que, cuando una gota de lluvia golpea, inicialmen-te se pega al automvil, aunque despus cae. A qu rapidez entrega el automvil cantidad de movimiento a las gotas de lluvia? Cul es la fuerza de arrastre horizontal que el im-pacto de las gotas de lluvia ejerce sobre el automvil?

*29. Una nave espacial con rea frontal de 25 m 2 pasa a travs de una nube de polvo interestelar con una rapidez de 1.0 X 106 m/s. La densidad del polvo es de 2.0 X 10"1S kg/m'. Si todas las partculas de polvo que impactan la nave se pegan a ella, encuentre la tuerza de desaceleracin promedio que el impacto del polvo ejerce sobre la nave espacial.

**30. Un jugador de basquetbol salta recto hacia arriba para lanzar un largo tiro con un ngulo de 45 con la horizontal y una rapidez de 15 m/s. El jugador de 75 kg momentneamente est en reposo en lo alto de su salto, justo antes de que el tiro se suelte, con sus pies a 0.80 m sobre el suelo, a) Cul es la velocidad del jugador inmediatamente despus de soltar el tiro? b) Cuan lejos de su posicin original aterriza? Considere al jugador como una partcula puntual. La masa de un baln de basquet-bol es de 0.62 kg.

**31. Un arma montada en un carro dispara balas de masa m en di-reccin hacia atrs con una velocidad de boquilla horizontal u. La masa inicial del carro, incluida la masa del arma y la de la municin, es 7W, y la velocidad inicial del carro es cero. Cul es la velocidad del carro despus de disparar n balas? Suponga que el carro se mueve sin friccin e ignore la masa de la plvora.

10.2 Centro de masa

32. Una moneda se encuentra sobre una mesa a una distancia de 20 cm de una pila de tres monedas. Dnde est el centro de masa de las cuatro monedas?

33. Una mujer de 59 kg y un hombre de 73 kg se sientan en un subibaja de 3.5 m de largo. Dnde est su centro de masa? Ignore la masa del subibaja.

34. Considere el sistema Tierra-Luna; use los datos que aparecen en la tabla impresa en los forros del libro. Cuan lejos del centro de la Tierra est el centro de masa de este sistema?

35. Considere al Sol y al planeta Jpiter como un sistema de dos partculas. Cuan lejos del centro del Sol est el centro de masa de este sistema? Exprese su resultado como un mltiplo del radio del Sol. (Use los datos de los forros interiores de este libro.)

36. Dos ladrillos estn adyacentes y un tercero se coloca simtrica-mente sobre ellos, como se muestra en la figura 10.28. Dnde est el centro de masa de los tres ladrillos?

F I G U R A 10 .28 Tres ladrillos.

*37. Dnde est el centro de masa de una hoja uniforme con forma de tringulo issceles? Suponga que la altura del tringulo es h cuando el lado distinto es la base.

*38. Considere una pirmide con altura h y base triangular. Dnde est su centro de masa?

*39. Con la finalidad de balancear la rueda de un automvil, un mecnico aade una pieza de aleacin de plomo al borde de la tueda. El mecnico encuentra que, si agrega un trozo de 40 g a una distancia de 20 cm del centro de la rueda de 30 kg, la rueda est perfectamente balanceada; es decir, el centro de la rueda coincide con el centro de masa. Cuan lejos del centro de la rueda estaba el centro de masa antes de que el mecnico balan-ceara la rueda?

*40. La distancia entre el oxgeno y cada uno de los tomos de hi-drgeno en una molcula de agua (H 2 0) es 0.0958 nm; el n-gulo entre dos enlaces oxgeno-hidrgeno es de 105 (vase la figura 10.29). Considere los tomos como partculas y encuen-tre el centro de masa.

*41. La figura 10.30 muestra la forma de una molcula de cido ntrico (HN0 3 ) y sus dimensiones. Considere los tomos como partculas v encuentre el centro de masa de esta molcula.

Problemas

H

0.0958 n m ^ l

F I G U R A 10 .29 tomos en una molcula de agua.

Q

H

0.141 i

130-

F I G U R A 10 .30 tomos en una molcula de cido ntrico.

*42. La figura 9.13a muestra las posiciones que tenan los tres pla-netas interiores (Mercurio, Venus y Tierra) el 1 de enero de 2000. Mida los ngulos y distancias de esta figura y encuentre el centro de masa del sistema de estos planetas (ignore el Sol). Las masas de los planetas se mencionan en la tabla 9.1.

*43. El Grupo Local de galaxias est formado por la Va Lctea y sus vecinos ms cercanos. Las masas de los miembros ms im-portantes del Grupo Local son las siguientes (en mltiplos de la masa del Sol): Va Lctea, 2 X 1011; galaxia Andrmeda, 3 X 1011; Gran Nube Magallnica, 2.5 X 1010;NGC598, 8 X 109. Las coordenadas x,y, z de estas galaxias son, respecti-vamente, las siguientes (en miles de aos luz): (0,0,0); (1 640, 290,1 440), (8.5,56.7, -149) y (1 830,766,1 170). Encuentre las coordenadas del centro de masa del Grupo Local. Considere todas las galaxias como masas ptmtuales.

"44. Una barra delgada uniforme se dobla en forma de un semi-crculo de radio R (vase la figura 10.31). Dnde est el centro de masa de esta barra?

*45. Tres piezas cuadradas uniformes de hoja metlica se unen a lo largo de sus bordes, de modo que forman tres de los lados de un cubo (vase la figura 10.32). Las dimensiones de los cuadrados son L '. unidos?

L . Dnde est el centro de masa de los cuadrados

F I G U R A 10 .32 Tres piezas cuadradas de hoja metlica, unidos en sus bordes.

*46. Una caja hecha de madera contrachapada tiene dimensiones L X L X I . L a parte superior de la caja est perdida. Dnde est el centro de masa de la caja abierta?

*47. Un cubo de hierro tiene dimensiones L X L X L . A travs del cubo se taladra un agujero de -j L de radio, de modo que un lado del agujero es tangente a la mitad de una cara a lo largo de toda su longitud (vase la figura 10.33). Dnde est el centro de masa del cubo perforado?

F I G U R A 1 0 . 3 3 Cubo de hierro con un agujero.

*48. Un semicrculo de hoja metlica uniforme tiene radio R (vase la figura 10.34). Encuentre el centro de masa.

r 7\ 0 R R

F IGURA 10.31 Una barra se dobla en forma de un semicrculo. F I G U R A 10 .34 Sem: crculo de hoja metlica.

3 3 4 as de partculas

*49. El monte Fuji tiene aproximadamente la forma de un cono. El medio ngulo del pice de este cono es de 65 y la altura del pice es de 3 800 m. A qu altura est el centro de masa? Su-ponga que el material en el monte Fuji tiene densidad uniforme.

*50. Demuestre que el centro de masa de una placa triangular plana uniforme est en el punto de interseccin de las lneas dibuja-das desde los vrtices hasta los puntos medios de los lados opuestos.

*51. Considere un hombre de 80 kg de masa y 1.70 m de alto con la distribucin de masa descrita en la figura 10.17. Cunto traba-jo hace este hombre para elevar sus brazos desde una posicin colgada hasta una posicin horizontal? Y cunto trabajo hace desde una posicin elevada verticalmente?

*52. Suponga que un hombre de 75 kg de masa y 1.75 m de alto corre en su lugar, elevando sus piernas como en la figura 10.35. Si corre a la tasa de 80 pasos por minuto para cada pierna (160 en total por minuto), qu potencia gasta en elevar sus piernas?

0.521L

F I G U R A 1 0 . 3 5 Hombre con pierna elevada.

*53. Una esclusa en el canal Champlain tiene 73 m de largo, 9.2 m de ancho y una elevacin de 3.7 m; es decir, la diferencia entre los niveles de agua del canal en un lado de la esclusa y el otro lado es de 3.7 m. Cunta energa potencial gravitacional se desperdicia cada vez que la esclusa realiza un ciclo (que implica el llenado de la esclusa con agua del nivel alto y luego el vertido de esta agua en el nivel bajo)?

*54. La gran pirmide de Giza tiene una masa de 6.6 X 106 tonela-das mtricas y una altura de 147 m (vase el ejemplo 7). Supon-ga que la masa se distribuye uniformemente sobre el volumen de la pirmide.

a) Cunto trabajo debieron realizar los antiguos egipcios contra la gravedad para apilar las piedras en la pirmide?

b) Si cada trabajador entreg trabajo a una rapidez promedio de 4.0 X 103 J/h, cuntas personas-hora de trabajo se almacenaron en esta pirmide?

**55. Un cascarn hemisfrico delgado de grosor uniforme est sus-pendido de un punto sobre su centro de masa, como se muestra en la figura 10.36. Dnde se encuentra dicho centro de masa?

**56. Suponga que gotas de agua se liberan desde un punto en el extremo de un techo con un intervalo de tiempo constante A. entre una gota de agua y la siguiente. Las gotas caen una dis-

F I G U R A 10 .36 Un cascarn hemisfrico usado como gong.

tancia / hasta alcanzar el suelo. Si A/ es muy corto (de modo que el nmero de gotas que caen por el aire en cualquier instan-te dado es muy grande), demuestre que el centro de masa de las gotas que caen est a una altura de y / sobre el suelo. A partir de esto, deduzca que la altura promediada en el tiempo de un proyectil liberado desde el suelo y que regresa al suelo es y de su altura mxima. (Este teorema es til en el clculo de la presin de aire promedio y la resistencia del aire que encuentra un proyectil.)

10.3 Movimiento del centro de masa

57. Un protn con 1.6 X 10 1 3 J de energa cintica se mueve hacia un protn en reposo. Cul es la velocidad del centro de masa del sistema?

58. En una molcula, los tomos usualmente ejecutan un movi-miento vibratorio rpido en torno de su posicin de equilibrio. Suponga que, en una molcula de bromuro de potasio (KBr) aislada, la rapidez del tomo de potasio es 5.0 X 103 m/s en un instante (en relacin con el centro de masa). Cul es la rapidez del tomo de bromo en el mismo instante?

59. Un pescador que se encuentra en un bote atrapa un gran tibu-rn blanco con un arpn. El tiburn lucha durante un rato y luego queda laxo cuando est a una distancia de 300 m del bote. El pescador jala al tiburn con la cuerda unida al arpn. Duran-te esta operacin, el bote (inicialmente en reposo) se mueve 45 m en la direccin del tiburn. La masa del bote es de 5 400 kg. Cul es la masa del tiburn? Suponga que el agua no ejerce friccin.

60. Un hombre de 75 kg sube las escaleras desde la planta baja hasta el cuarto piso de un edificio de 15 m de alto. Cunto retrocede la Tierra en la direccin opuesta conforme el hombre asciende?

61. Un camin de 6 000 kg est sobre la cubierta de un ferry de 80 000 kg. Inicialmente el ferry est en reposo y el camin se ubica en su extremo frontal. Si el camin avanza 15 m a lo largo de la cubierta hacia la parte trasera del ferry, cunto se mover el ferry hacia adelante en relacin con el agua? Suponga que el agua no tiene efecto sobre el movimiento.

Problemas de repaso 3 3 5

62. Mientras se mueve horizontalmente a 5.0 X 103 m/s a una altitud de 2.5 X 104 m, un misil balstico explota y se rompe en dos fragmentos de masa igual que caen libremente. Uno de los fragmentos tiene rapidez cero inmediatamente despus de la explosin y aterriza en el suelo en forma directa abajo del punto de la explosin. Dnde aterriza el otro fragmento? Ignore la friccin del aire.

63. Una bala de 15 g que se mueve a 260 m/s se dispara hacia un bloque de madera de 2.5 kg. Cul es la velocidad del centro de masa del sistema bala-bloque?

64. Una mujer de 60 kg y un hombre de 90 kg caminan uno hacia el otro, cada uno movindose con una rapidez v en relacin con el suelo. Cul es la velocidad de su centro de masa?

65. Un proyectil de masa M alcanza el pico de su movimiento a una distancia horizontal D del punto de lanzamiento. En su pico, explota en tres fragmentos iguales. Un fragmento regresa direc-tamente al punto de lanzamiento y otro aterriza a una distancia 2D del punto de lanzamiento, en un punto en el mismo plano del movimiento inicial. Dnde aterriza el tercer fragmento?

*66. Un proyectil se lanza con una rapidez v0 a un ngulo 6 con respecto a la horizontal. En el pico de su movimiento, explota en dos piezas de masa igual, que continan movindose en el plano original de movimiento. Una pieza golpea el suelo a una distancia horizontal D ms all del punto de lanzamiento que