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Bloque 8 matematicas
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BLO
QU
E
8 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores
SUG
EREN
CIA
DE
EVID
ENCI
AS
DE
AP
REN
DIZ
AJE
UN
IDA
D D
E CO
MP
ETEN
CIA
Comprendelosmtodospararesolversistemasdetresecuacionescontresincgnitas(3x3).
Mtodonumricopordeterminantes. Mtodoalgebraicodesustitucin. Ubicaeinterpretasituacionesdiversas
utilizandosistemas3x3.
Resuelve ecuaciones lineales III
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8 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores
SUG
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PET
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AConstruyeeinterpretamodelos
aritmticos,algebraicosygrficosaplicandolaspropiedadesdelosnmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentacinyresolucindesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaractersticaspresentesentablas,grficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.
Reconoceodescribe,mediantelenguajeoraloescrito,situacionesquepuedenmodelarsemediantesistemasdeecuacioneslineales 3x3.
Asocialospuntosdeinterseccinconlassolucionesdeunsistema 3x3.
Reconocegrficamentecundounsistema3x3tieneuna,ningunaoinfinitassoluciones.
Resuelvepormediodedeterminantes,sistemasdeecuaciones3x3.
Resuelveporsustitucinalgunossistemas3x3.
Reconoceenunagrficalasolucindeunsistemadeecuaciones3x3.
Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosmbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunsistemadeecuaciones3x3.
Efectalascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesmodeladasconsistemaslineales3x3dondesepresentandistintasunidadesdemedicin.
Obtienelasolucindesistemasdeecuacioneslineales3x3.
Aplicaelmtodonumricopordeterminantespararesolversistemas3x3.
Utilizaelmtododesustitucinpararesolverunsistema 3x3.
Representaysolucionasituacionesdiversasutilizandosistemas3x3.
Expresaideasyconceptosdesistemasdeecuacionescontresincgnitasempleandorepresentacionesenlenguajecomn,simblicoogrfico.
Ejecutainstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocmocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedelasolucindeunaecuacinde3x3.
Aprecialasimplicidaddelosmtodosnumricospararesolversistemas3x3.
Valoralautilidaddelossistemas3x3pararepresentarysolucionardiversassituaciones.
Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuenta,enlasactividadesquelesonasignadas.
Asumeunaactitudpropositivaquefavorecelasolucindeproblemasendistintosmbitos.
Promueveeldilogocomomecanismoparalasolucindeconflictos.
270
B8 B8
Enestebloqueabordaremoselsistemadetresecuaciones linealescontresincgnitas,tambinllamadosistema3x3,conloscualesmodelaremosdiversassituaciones,aplicandopara la solucindel sistemaelmtodoalgebraicodesustitucinyelmtodonumricopordeterminantes.
Efectaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopcinquemuestraelresultadocorrecto.
1.Culeslaexpresinalgebraicaquerepresentaquelasumadetresnmerosenterosconsecutivoses72?
a) ( )( )x x+1 x+2 =72b) x y z 72+ + =
c) ( ) ( )x+ x+1 + x+2 =72d) xyz 72=
2.Elvalordexenlaecuacin ( )3 4x 7 2x 57
= es:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
3.Alsumardosnmeros,obtenemosunresultadocuatrovecesmayorqueelnmeromenor.Adems,cuandoalnmeromenorlesumamos15yalmayorlerestamos13setienenresultadosiguales.Qunmerosson?
a) 14 y 42 b) 24 y 41 c) 20 y 35 d) 15 y 53
4. Unaparejahacesulistadeloquenecesitaycalculagastarentrelosdos$850.Ellaeliminaunartculocuyocostoeralanovenapartedesupedidoyl,asuvez,eliminaotroequivalenteaunoctavodelimportedesulista.Asellospodrngastar$100menos.Elimporteoriginaldecadaunoera:
a)Ella:$400l:$450
b)Ella:$450l:$400
c)Ella: $500l:$350
d)Ella:$350l:$500
INTRODUCCIN
Evaluacin diagnstica
B8
271
B8 ResuelveecuacioneslinealesIII
5.Unatinadebaosellenaenmediahoraconlallavedelaguacalienteyen15minconlallavedeaguafra.Silatinasedesaguaen60min,enqutiemposellenalatinaconlasdosllavesyeldesageabierto?
a) 10 min b) 12 min c) 13 min d) 15 min
6.Cmorepresentarasunsistemadetresecuacioneslinealescontresincgnitas?
7.Quentiendesporresolverunsistemadeecuacioneslineales3 x 3?_______________
____________________________________________________________________
Modelandoconsistemasdeecuaciones.
Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos clculos necesarios, registrndolos en su cuaderno de notas, para encontrar elsistema de ecuaciones quemodela la situacin planteada, as como su respuestacorrespondiente.
1. En la siguiente figura se tena un entero en cada cuadrado, cada nmero de lasegunda, tercera y cuarta fila era igual a la sumade los nmeros colocados enlos dos cuadradosqueestn inmediatamente arribade l. Los nmeros fueronborradosconeltiempo.QunmeroestaraenelcuadradomarcadoconlaletraA?
a) 2 b) 3 c) 5 d)7
Alfinalizareljaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.
Correspondeenestebloqueabordarlossistemasdeecuacionessimultneascontresincgnitas,loscualestambinsonllamadossistemasdedimensiones
Actividad introductoria
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTNEAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCGNITAS
272
B8 B8 3 x 3.Engeneral,unaecuacinlinealcontresincgnitasesunaigualdaddelaformaax+by+cz=dyelsistema 3 x 3 esrepresentadoportresdeestasigualdades.
Siexistenlostresvaloresx,y,zquesatisfacensimultneamentelasecuacionesdelsistemadado,elsistematienesolucin:es la terna (x,y,z)denmerosreales;enestecasosedicequeelsistemaescompatible.Deotromodo,elsistemapuedetenerunainfinidaddesoluciones,yelsistemaescompatibleindeterminado;sielsistemanotienesolucinsedicequeesincompatible.
Setieneunsistemadeecuacionessimultneascontresincgnitas,si consideramos tres ecuaciones de primer grado con tresincgnitascomosigue:
a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d3a3x + b3y + c3z = d3
dondex,yyzsonlasincgnitasy 1 2 3 1 2 3 1 2 3a ,a ,a ,b ,b ,b ,c , ,c c
Hay mltiples situaciones que conducen a plantear ecuaciones con tresincgnitas.
Ejemplo
Enciertaheladera,porunacopadehelado,doshorchatasycuatrogalletas,cobran$34 un da.Al siguienteda, por cuatro copas delmismohelado y cuatro galletas,cobran$44; yaltercerdason$26porunahorchataycuatrogalletas.Tienesmotivosparapensarqueenalgunodelostresdassepresentunacuentaincorrecta?
Solucin
Planteamiento:
Preciodelacopadehelado:x
Preciodelahorchata:y
Preciodelagalleta:z
Porunacopadehelado,doshorchatasycuatrogalletassecobr$34:
x + 2y + 4z = 34
Porcuatrocopasdeheladoycuatrogalletassecobr$44:
4x + 4z = 44
Porunahorchataycuatrogalletassecobr$26:
y+4z = 26
B8
273
B8 ResuelveecuacioneslinealesIII
Sistemadeecuacionesquemodelalasituacin:
x y zx z
y z
+ + =+ =
+ =
2 4 3411
4 26
Observaquelosvaloresdedosdelasvariablesx,y,zdeterminanelvalordelatercera.
Encuentraelsistemadeecuacionesquemodelacadaunadelassituacionessiguientes.
1.Se tienen tres recipientes concierta cantidaddeagua.Si se vierte1/3 deaguadelprimeroenelsegundoyluego 1/4 deaguadelsegundoenel terceroy,porltimo,extraemos1/10 del aguadel tercer recipienteparaverterlaenelprimerrecipiente,yseobtienennuevelitrosencadarecipiente,qucantidaddeaguatenacadaunodeellos?
2.Tresamigosfueronaladulcera.Miguelgast $27 ycompruncarameloydospaletas.Luisgast$41 ycompruncarameloydoschocolates.Hugopag$34poruncaramelo,unapaletayunchocolate.Culeselpreciodecadagolosina?
3.Ungrupodeveintepersonasentrehombres,mujeresyniosse reneparacelebrarel cumpleaosdeunodeellos.Elnmerodehombresymujeresasistente resultaserel tripledelnmerodenios.Adems, sihubieraasistido lamamdeCarlitos,elnmerodemujeressera igualal de los hombres. Cuntos hombres,mujeres y nios asistieron a lareunin?
4.Enunacompetenciadeportivaparticipancincuentaatletasdistribuidosentrescategoras:infantiles,juvenilesyveteranos.Eldobledelnmerodeatletasinfantiles,porunaparte,excedeenunaunidadalnmerodejuvenilesy,porotra,coincideconelquntuplodelnmerodeveteranos.Determinaelnmerodeatletasquehayencadacategora.
5.LaSra.Juliacomprparasudespensa5kgdeazcar,3kgdearrozy4 kgdefrijol;parasumamcompr4kgdeazcar,5kgdearrozy 3kgdefrijol;yparasusuegra2kgdeazcar,5 kgdearrozy5kgdefrijol.Sipagpor separadocada cuenta conun importede$151, $141 y $149 respectivamente,cuntocuestacadaartculo?
Actividad
274
B8 B8 Ecuaciones simultneas de tres por tres, con y sin solucin
Para resolver un sistema de ecuaciones simultneas lineales con tresincgnitas,podrnaplicarse losmtodosalgebraicosvistosenel sistema2 x 2: sumay resta,sustitucin, igualacinodeterminantes;sinembargo,enestebloqueenfocaremosnuestroestudioalmtodoalgebraicodesustitucinyalmtodonumricopordeterminantes.Nuevamente,paraelsistema3 x 3,paracualquiermtodoqueseaplique,lasolucindelsistemaeslamisma.
Mtodo algebraico de sustitucin
Paraaplicarestemtodosesiguenlossiguientespasos:
1. Seeligeunadelasecuacionesdelsistema,enlacualsedespejaunadelasincgnitas.
2. Sesustituyeeldespejeobtenidoenlasotrasdosecuacionesdelsistema,quedandodosecuacionescondos incgnitas,esdecir,unsistema2 x 2 queyasabemosresolver.
3. Los valores encontrados para dos de las incgnitas se sustituyen en eldespejeobtenidoenelprimerpaso,encontrandoaselvalordelaterceraincgnita.
4. Lasolucindelsistemasonlosvaloresobtenidosdelastres incgnitas,esdecir,laterna(x,y,z),comprobandoconellosqueseverificanlastresigualdades.
Ejemplo
Enseguida,seresuelveunsistemadeecuaciones3 x 3 porelmtododesustitucin,siguiendolospasosarribadescritos.
( )( )( )
2x y z 1 1x 5y 2z 3 24x 3y 5z 5 3
+ = + = + =
1.Seeligedespejaryenlaecuacin(1)donde:
y = 1 2x + z
O bien, y = 2x + z + 1
2.Sustituyendoeldespejeanteriorenlaecuacin(2)seobtiene:
x 5(2x + z + 1) + 2z = 3
Sesimplifica, x + 10x 5z 5 + 2z = 3
Sialefectuarelpaso2yresolverlaecuacinenunasolavariableseobtiene0x = c, 0y = c, o 0z=cconc 0,elsistemanotienesolucinysiresulta0x = 0, 0y = 0 o 0z = 0elsistematieneunainfinidaddesoluciones
B8
275
B8 ResuelveecuacioneslinealesIII
11x 3z = 3 + 5
11x 3z = 2 (4)
Alsustituirelmismodespeje,ahoraenlaecuacin(3)seobtiene:
4x + 3(2x + z + 1) 5z = 5sesimplifica: 4x 6x + 3z + 3 5z = 5
2x 2z = 5 3 2x 2z = 8x + z = 4 (5)
Delasecuacines(4) y (5)setieneelsistema2 x 2siguiente:
( )( )
11x 3z 2 4x z 4 5 =
+ =
Ahoraseresuelveestesistema,aplicandoelmtodomsadecuado.
Atendiendoalassugerenciasdelbloqueanterior,seeligeresolverporelmtododesustitucin:
Seeligedespejarxenlaecuacin(5),donde:
x = 4 z
Alsustituirestedespejeenlaecuacin(4),seobtiene:
11(4 z ) 3z = 2
Alresolverlaecuacintenemos:44 11z 3z = 2 14z = 2 44
z=
=4214
3
Alsustituirz=3 eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:
x = 4 (3) = 1
Lasolucindelsistemaobtenido2 x 2sonlosvaloresz = 3 y x = 1
3. Alsustituirestosvalores x = 1 y z = 3eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,seencuentraaselvalordelavariabley.
y = 2x + z + 1y = 2(1) + (3) + 1
y = 2 + 3 + 1y = 2
276
B8 B8 4. As,lasolucindelsistemaformadoporlasecuaciones (1), (2) y (3)eslaterna
(1, 2 ,3):
Comprobacin:( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 3 1 11 5 2 2 3 3 24 1 3 2 5 3 5 3
+ = + = + =
Dondeobservamosqueseverificanlasigualdades.
Mtodo numrico por determinantes
Abordaremosahoraelmtodopordeterminantes,observaconatencincmoseformanyresuelvenlosdeterminantes.
Dadounsistemadeecuaciones3 x 3:
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
a x b y c z da x b y c z da x b y c z d
+ + =+ + =+ + =
Paraencontrarlasolucindelsistemasedesarrollancuatrodeterminantes,formadosdelasiguientemanera:
El primer determinante lo denotaremos con la letra D y se forma con loscoeficientes de las incgnitas: horizontalmente (las filas) contienen a loscoeficientes de cada ecuacin en el orden de x, y, z y verticalmente (lascolumnas)correspondenaloscoeficientesdeunamismavariable.
1 1 1
2 2 2
3 3 3
a b cD a b c
a b c=
Eldeterminante3 x 3 asobtenidoseresuelvecomosemuestraenelsiguienteesquema: se aumentan las dos primeras filas, y se multiplican los trescoeficientesquesetienenendiagonal(anotandolosresultadosdelproductoenladerechaeizquierda).Alasumadelosproductosobtenidadeladerechaselerestalasumadelosproductosobtenidosalaizquierda.
Cuandoenunsistema3 x3, unadelasecuacionesnotieneunavariable,el
coeficienteconsiderado
paraellaalmomentode
resolvereldeterminante
escero.
B8
277
B8 ResuelveecuacioneslinealesIII
SiD= 0, xD 0, yD 0 y zD 0 elsistemanotienesolucin.
SiD= 0, xD =0, yD =0y
zD = 0 elsistematieneunainfinidadde
soluciones.
Paradesarrollarcadauno
delosdeterminantes,
seaumentaronlasdos
primerasfilas.
Los tresdeterminantes restantes sedenotanpor , ,x y zD D D y se formanal
cambiarlacolumnadelavariabledeldeterminantequesebuscaporlacolumnaformadapor lossegundosmiembrosdelasecuaciones,esdecir,sisebusca
xD secambialacolumnadeloscoeficientesdexporlossegundosmiembros
delasecuaciones,yassucesivamentepara yy zD D .Unavezformadocadadeterminante,seresuelvetalcomoseprocedieneldeterminanteD.
SiD0,lasolucindelsistemaesnicayseencuentraalefectuarlassiguientesdivisiones:
xDxD
=
yDyD
=
zDzD
=
Ejemplos
Resolvamoselmismosistema3 x 3 delejemploanterior,ahoraconelmtodopordeterminantesyobservemosquelasolucineslamisma.
278
B8 B8 ( )( )( )
2x y z 1 1x 5y 2z 3 24x 3y 5z 5 3
+ = + = + =
Seresuelvenlosdeterminantes:
Efectuamoslasdivisionescorrespondientes,ylisto:
xD 28x 1D 28
= = = yD 56
y 2D 28
= = = zD 84
y 3D 28
= = =
Lasolucindelsistemaformadoporlasecuaciones(1), (2) y (3)enesteejemploeslaterna(1, 2 ,3).
Comprobacin:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 3 1 11 5 2 2 3 3 24 1 3 2 5 3 5 3
+ = + = + =
B8
279
B8 ResuelveecuacioneslinealesIII
Observemosqueseverificanlasigualdades.
Veamosqueelsistemaquesemuestraacontinuacinesincompatible,esdecir,notienesolucin.
Apliquemosprimeroelmtododesustitucin.
( )( )
( )
3x 4y 2z 1 12x 3y z 2 2
5x y z 5 3
+ = + = + =
Tenemos:1.Elegimosdespejarzenlaecuacin(3)donde:
z = 5 5x + y
Obien, z = 5x + y + 5
2.Alsustituireldespejeanteriorenlaecuacin(1)seobtiene:
3x 4y + 2(5x + y + 5) = 1
Sesimplifica,3x 4y 10x + 2y + 10 = 1 7x 2y = 1 10
7x 2y = 9 (4)
Alsustituirelmismodespeje,ahoraenlaecuacin(2),seobtiene:
2x 3y + (5x + y + 5) = 2
Sesimplifica: 2x 3y 5x + y + 5 = 2 7x 2y = 2 5 7x 2y = 3 (5)
Delasecuacines(4) y (5)setieneelsistema2 x 2siguiente:
= =7 2 9 47 2 3 5x yx y
( )( )
Almultiplicarpor(1)laecuacin(5)ysumarestasecuaciones,setiene: + =
+ =
+ =
7 2 97 2 3
0 0 6
x yx y
x y
Locualindicaqueelsistemanotienesolucin.
280
B8 B8 Apliquemosahoraelmtodopordeterminantes.
( )( )
( )
3x 4y 2z 1 12x 3y z 2 2
5x y z 5 3
+ = + = + =
Tenemos:
PuestoqueD =0,Dx0,D
y0yD
z0,elsistemano tiene solucin.
B8
281
B8 ResuelveecuacioneslinealesIII
Actividad
I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultneas3 x 3 por elmtodoalgebraicodesustitucinyel mtodonumricopordeterminantes.
1. x y z 23x 2y z 42x y 2z 2
+ + = = + + =
2. 3x 4y 2z 1
2x 3y z 25x y z 5
+ + = + = + =
3. 2x 5y 3z 0
x y z 02x y 0
+ = + = =
4. 4x y z 4x y 4z 1
2x y 7z 3
+ = + = + =
5. 4x y 5z 257x 5y z 173x y z 21
+ = + = + =
6. 2x 5y 16
x 3y 2z 2x z 4
+ = + = + =
7. x 3y z 52x y 5z 7
x 10y 8z 9
+ = + = + =
8. x 2y 3z 2x 8y 27z 0
x y z 1
+ = + = =
II.Dadoqueyamodelastecadaunadelassituacionessiguientesporsucorrespondientesistema de ecuaciones, encuentra la solucin al utilizar alguno de los mtodosabordados,comprubalaydalarespuestacorrectaalasituacindada.
1. En cierta heladera, por una copadehelado, dos horchatas y cuatrogalletas,cobran$34unda.Otroda,porcuatrocopasdelmismoheladoycuatrogalletas,cobran$44,yuntercerdason$26porunahorchataycuatrogalletas.Tienesmotivos para pensar que en alguno de los tres das se present una cuentaincorrecta?
282
B8 B8 2.Setienentresrecipientesconciertacantidaddeagua.Sisevierte1/3 deagua
delprimeroenelsegundoyluego 1/4 deaguadelsegundoenelterceroy,porltimo,extraemos1/10deaguadeltercerrecipienteparaverterlaenelprimerrecipiente,obteniendonuevelitrosencadarecipiente,qucantidaddeaguatenacadaunodeellos?
3. Tresamigosfueronaladulcera.Miguelgast$27ycompruncarameloydospaletas.Luisgast$41ycompruncarameloydoschocolates.Hugopag$34poruncaramelo,unapaletayunchocolate.Culeselpreciodecadagolosina?
Resuelveentucuadernodenotascadaunadelassituacionesplanteadas,ydeterminaencadaunadeellas:sistemadeecuacionesymtododesolucin.Elijelaopcinquemuestraelresultadocorrectodecadauna.
1.Ungrupode20personasentrehombres,mujeresyniossereneparacelebrarelcumpleaosdeunodeellos.Elnmerodehombresymujeresasistentesresultasereltripledelnmerodenios.Adems,sihubieraasistidolamamdeCarlitos,elnmerodemujeresseraigualaldeloshombres.Cuntoshombres,mujeresyniosasistieronalareunin?
a)Hombres:5Mujeres:7Nios:8
b)Hombres:7Mujeres:5Nios:8
c)Hombres:8Mujeres:7Nios:5
d)Hombres:5Mujeres:6Nios:9
2. En una competencia deportiva participan cincuenta atletas distribuidos en trescategoras: infantiles, juveniles y veteranos. El doble del nmero de atletasinfantiles,porunaparte,excedeenunaunidadalnmerodejuvenilesy,porotra,coincideconelquntuplodelnmerodeveteranos.Determinaelnmerodeatletasquehayencadacategora.
a)Infantiles:15Juveniles:29Veteranos:6
b)Infantiles:6Juveniles:15Veteranos: 29
c)Infantiles:29Juveniles:15Veteranos: 6
d)Infantiles:15Juveniles: 6Veteranos:29
3.LaSra.Juliacomprparasudespensa5kgdeazcar,3kgdearrozy4kgdefrijol;parasumamcompr4kgdeazcar,5kgdearrozy3 kgdefrijol;yparasusuegra2kgdeazcar,5 kgdearrozy5kgdefrijol.Sipagporseparadocadacuentaconunimportede$151, $141 y $149,respectivamente,cuntocuestaelkilogramodecadaartculo?
Autoevaluacin
B8
283
B8 ResuelveecuacioneslinealesIII
a)Azcar:12Arroz:16Frijol:9
b)Azcar:9Arroz:16Frijol:12
c)Azcar:12Arroz:9Frijol: 16
d)Azcar: 9Arroz:12Frijol:16
Apartirdelasituacinplanteadarealizaloquesepide.
1.Enunafrutera,por2kgdemanzana,2kgdeperayunmeln,cobraronauncliente$119.Otrapersonacompr4kgdemanzana, 1kgdeperaydosmelones,porloscuales lecobraron$154; unatercerapersonapag$93por2kgdemanzanay 3 melones.Cuntocuestacadafruta?
a) Encuentraelsistemaquemodelalasituacin.
b) Resuelve el sistema por dosmtodos:mtodo algebraico de sustitucin ymtodonumricopordeterminantes.
c) Especificaturespuesta.
Escala de rango
Nombredelalumno:
Escala de valoracin:0Nulo1 Deficiente2Aceptable 3Satisfactorio
Aspectos observables S No Estimacin
Comprendilasituacinplanteada
Encontrelsistemacorrectamente
Resolvielsistemaporlosdosmtodos
Indiclarespuestaespecficamente
TOTAL:Cal
Total=
1012
=
Observaciones:Nombredequienrevis:
Evaluacin Formativa
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