bloque 8 matematicas

BLO

QU

E

8 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

Comprendelosmtodospararesolversistemasdetresecuacionescontresincgnitas(3x3).

Mtodonumricopordeterminantes. Mtodoalgebraicodesustitucin. Ubicaeinterpretasituacionesdiversas

utilizandosistemas3x3.

Resuelve ecuaciones lineales III

BLO

QU

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8 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores

SUG

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AP

REN

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NID

AD

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COM

PET

ENCI

AConstruyeeinterpretamodelos

aritmticos,algebraicosygrficosaplicandolaspropiedadesdelosnmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentacinyresolucindesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaractersticaspresentesentablas,grficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.

Reconoceodescribe,mediantelenguajeoraloescrito,situacionesquepuedenmodelarsemediantesistemasdeecuacioneslineales 3x3.

Asocialospuntosdeinterseccinconlassolucionesdeunsistema 3x3.

Reconocegrficamentecundounsistema3x3tieneuna,ningunaoinfinitassoluciones.

Resuelvepormediodedeterminantes,sistemasdeecuaciones3x3.

Resuelveporsustitucinalgunossistemas3x3.

Reconoceenunagrficalasolucindeunsistemadeecuaciones3x3.

Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosmbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunsistemadeecuaciones3x3.

Efectalascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesmodeladasconsistemaslineales3x3dondesepresentandistintasunidadesdemedicin.

Obtienelasolucindesistemasdeecuacioneslineales3x3.

Aplicaelmtodonumricopordeterminantespararesolversistemas3x3.

Utilizaelmtododesustitucinpararesolverunsistema 3x3.

Representaysolucionasituacionesdiversasutilizandosistemas3x3.

Expresaideasyconceptosdesistemasdeecuacionescontresincgnitasempleandorepresentacionesenlenguajecomn,simblicoogrfico.

Ejecutainstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocmocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedelasolucindeunaecuacinde3x3.

Aprecialasimplicidaddelosmtodosnumricospararesolversistemas3x3.

Valoralautilidaddelossistemas3x3pararepresentarysolucionardiversassituaciones.

Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuenta,enlasactividadesquelesonasignadas.

Asumeunaactitudpropositivaquefavorecelasolucindeproblemasendistintosmbitos.

Promueveeldilogocomomecanismoparalasolucindeconflictos.

270

B8 B8

Enestebloqueabordaremoselsistemadetresecuaciones linealescontresincgnitas,tambinllamadosistema3x3,conloscualesmodelaremosdiversassituaciones,aplicandopara la solucindel sistemaelmtodoalgebraicodesustitucinyelmtodonumricopordeterminantes.

Efectaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopcinquemuestraelresultadocorrecto.

1.Culeslaexpresinalgebraicaquerepresentaquelasumadetresnmerosenterosconsecutivoses72?

a) ( )( )x x+1 x+2 =72b) x y z 72+ + =

c) ( ) ( )x+ x+1 + x+2 =72d) xyz 72=

2.Elvalordexenlaecuacin ( )3 4x 7 2x 57

= es:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

3.Alsumardosnmeros,obtenemosunresultadocuatrovecesmayorqueelnmeromenor.Adems,cuandoalnmeromenorlesumamos15yalmayorlerestamos13setienenresultadosiguales.Qunmerosson?

a) 14 y 42 b) 24 y 41 c) 20 y 35 d) 15 y 53

4. Unaparejahacesulistadeloquenecesitaycalculagastarentrelosdos$850.Ellaeliminaunartculocuyocostoeralanovenapartedesupedidoyl,asuvez,eliminaotroequivalenteaunoctavodelimportedesulista.Asellospodrngastar$100menos.Elimporteoriginaldecadaunoera:

a)Ella:$400l:$450

b)Ella:$450l:$400

c)Ella: $500l:$350

d)Ella:$350l:$500

INTRODUCCIN

Evaluacin diagnstica

B8

271

B8 ResuelveecuacioneslinealesIII

5.Unatinadebaosellenaenmediahoraconlallavedelaguacalienteyen15minconlallavedeaguafra.Silatinasedesaguaen60min,enqutiemposellenalatinaconlasdosllavesyeldesageabierto?

a) 10 min b) 12 min c) 13 min d) 15 min

6.Cmorepresentarasunsistemadetresecuacioneslinealescontresincgnitas?

7.Quentiendesporresolverunsistemadeecuacioneslineales3 x 3?_______________

____________________________________________________________________

Modelandoconsistemasdeecuaciones.

Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos clculos necesarios, registrndolos en su cuaderno de notas, para encontrar elsistema de ecuaciones quemodela la situacin planteada, as como su respuestacorrespondiente.

1. En la siguiente figura se tena un entero en cada cuadrado, cada nmero de lasegunda, tercera y cuarta fila era igual a la sumade los nmeros colocados enlos dos cuadradosqueestn inmediatamente arribade l. Los nmeros fueronborradosconeltiempo.QunmeroestaraenelcuadradomarcadoconlaletraA?

a) 2 b) 3 c) 5 d)7

Alfinalizareljaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.

Correspondeenestebloqueabordarlossistemasdeecuacionessimultneascontresincgnitas,loscualestambinsonllamadossistemasdedimensiones

Actividad introductoria

SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTNEAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCGNITAS

272

B8 B8 3 x 3.Engeneral,unaecuacinlinealcontresincgnitasesunaigualdaddelaformaax+by+cz=dyelsistema 3 x 3 esrepresentadoportresdeestasigualdades.

Siexistenlostresvaloresx,y,zquesatisfacensimultneamentelasecuacionesdelsistemadado,elsistematienesolucin:es la terna (x,y,z)denmerosreales;enestecasosedicequeelsistemaescompatible.Deotromodo,elsistemapuedetenerunainfinidaddesoluciones,yelsistemaescompatibleindeterminado;sielsistemanotienesolucinsedicequeesincompatible.

Setieneunsistemadeecuacionessimultneascontresincgnitas,si consideramos tres ecuaciones de primer grado con tresincgnitascomosigue:

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d3a3x + b3y + c3z = d3

dondex,yyzsonlasincgnitasy 1 2 3 1 2 3 1 2 3a ,a ,a ,b ,b ,b ,c , ,c c

Hay mltiples situaciones que conducen a plantear ecuaciones con tresincgnitas.

Ejemplo

Enciertaheladera,porunacopadehelado,doshorchatasycuatrogalletas,cobran$34 un da.Al siguienteda, por cuatro copas delmismohelado y cuatro galletas,cobran$44; yaltercerdason$26porunahorchataycuatrogalletas.Tienesmotivosparapensarqueenalgunodelostresdassepresentunacuentaincorrecta?

Solucin

Planteamiento:

Preciodelacopadehelado:x

Preciodelahorchata:y

Preciodelagalleta:z

Porunacopadehelado,doshorchatasycuatrogalletassecobr$34:

x + 2y + 4z = 34

Porcuatrocopasdeheladoycuatrogalletassecobr$44:

4x + 4z = 44

Porunahorchataycuatrogalletassecobr$26:

y+4z = 26

B8

273


Sistemadeecuacionesquemodelalasituacin:

x y zx z

y z

+ + =+ =

+ =

2 4 3411

4 26

Observaquelosvaloresdedosdelasvariablesx,y,zdeterminanelvalordelatercera.

Encuentraelsistemadeecuacionesquemodelacadaunadelassituacionessiguientes.

1.Se tienen tres recipientes concierta cantidaddeagua.Si se vierte1/3 deaguadelprimeroenelsegundoyluego 1/4 deaguadelsegundoenel terceroy,porltimo,extraemos1/10 del aguadel tercer recipienteparaverterlaenelprimerrecipiente,yseobtienennuevelitrosencadarecipiente,qucantidaddeaguatenacadaunodeellos?

2.Tresamigosfueronaladulcera.Miguelgast $27 ycompruncarameloydospaletas.Luisgast$41 ycompruncarameloydoschocolates.Hugopag$34poruncaramelo,unapaletayunchocolate.Culeselpreciodecadagolosina?

3.Ungrupodeveintepersonasentrehombres,mujeresyniosse reneparacelebrarel cumpleaosdeunodeellos.Elnmerodehombresymujeresasistente resultaserel tripledelnmerodenios.Adems, sihubieraasistido lamamdeCarlitos,elnmerodemujeressera igualal de los hombres. Cuntos hombres,mujeres y nios asistieron a lareunin?

4.Enunacompetenciadeportivaparticipancincuentaatletasdistribuidosentrescategoras:infantiles,juvenilesyveteranos.Eldobledelnmerodeatletasinfantiles,porunaparte,excedeenunaunidadalnmerodejuvenilesy,porotra,coincideconelquntuplodelnmerodeveteranos.Determinaelnmerodeatletasquehayencadacategora.

5.LaSra.Juliacomprparasudespensa5kgdeazcar,3kgdearrozy4 kgdefrijol;parasumamcompr4kgdeazcar,5kgdearrozy 3kgdefrijol;yparasusuegra2kgdeazcar,5 kgdearrozy5kgdefrijol.Sipagpor separadocada cuenta conun importede$151, $141 y $149 respectivamente,cuntocuestacadaartculo?

Actividad

274

B8 B8 Ecuaciones simultneas de tres por tres, con y sin solucin

Para resolver un sistema de ecuaciones simultneas lineales con tresincgnitas,podrnaplicarse losmtodosalgebraicosvistosenel sistema2 x 2: sumay resta,sustitucin, igualacinodeterminantes;sinembargo,enestebloqueenfocaremosnuestroestudioalmtodoalgebraicodesustitucinyalmtodonumricopordeterminantes.Nuevamente,paraelsistema3 x 3,paracualquiermtodoqueseaplique,lasolucindelsistemaeslamisma.

Mtodo algebraico de sustitucin

Paraaplicarestemtodosesiguenlossiguientespasos:

1. Seeligeunadelasecuacionesdelsistema,enlacualsedespejaunadelasincgnitas.

2. Sesustituyeeldespejeobtenidoenlasotrasdosecuacionesdelsistema,quedandodosecuacionescondos incgnitas,esdecir,unsistema2 x 2 queyasabemosresolver.

3. Los valores encontrados para dos de las incgnitas se sustituyen en eldespejeobtenidoenelprimerpaso,encontrandoaselvalordelaterceraincgnita.

4. Lasolucindelsistemasonlosvaloresobtenidosdelastres incgnitas,esdecir,laterna(x,y,z),comprobandoconellosqueseverificanlastresigualdades.

Ejemplo

Enseguida,seresuelveunsistemadeecuaciones3 x 3 porelmtododesustitucin,siguiendolospasosarribadescritos.

( )( )( )

2x y z 1 1x 5y 2z 3 24x 3y 5z 5 3

+ = + = + =

1.Seeligedespejaryenlaecuacin(1)donde:

y = 1 2x + z

O bien, y = 2x + z + 1

2.Sustituyendoeldespejeanteriorenlaecuacin(2)seobtiene:

x 5(2x + z + 1) + 2z = 3

Sesimplifica, x + 10x 5z 5 + 2z = 3

Sialefectuarelpaso2yresolverlaecuacinenunasolavariableseobtiene0x = c, 0y = c, o 0z=cconc 0,elsistemanotienesolucinysiresulta0x = 0, 0y = 0 o 0z = 0elsistematieneunainfinidaddesoluciones

B8

275


11x 3z = 3 + 5

11x 3z = 2 (4)

Alsustituirelmismodespeje,ahoraenlaecuacin(3)seobtiene:

4x + 3(2x + z + 1) 5z = 5sesimplifica: 4x 6x + 3z + 3 5z = 5

2x 2z = 5 3 2x 2z = 8x + z = 4 (5)

Delasecuacines(4) y (5)setieneelsistema2 x 2siguiente:

( )( )

11x 3z 2 4x z 4 5 =

+ =

Ahoraseresuelveestesistema,aplicandoelmtodomsadecuado.

Atendiendoalassugerenciasdelbloqueanterior,seeligeresolverporelmtododesustitucin:

Seeligedespejarxenlaecuacin(5),donde:

x = 4 z

Alsustituirestedespejeenlaecuacin(4),seobtiene:

11(4 z ) 3z = 2

Alresolverlaecuacintenemos:44 11z 3z = 2 14z = 2 44

z=

=4214

3

Alsustituirz=3 eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:

x = 4 (3) = 1

Lasolucindelsistemaobtenido2 x 2sonlosvaloresz = 3 y x = 1

3. Alsustituirestosvalores x = 1 y z = 3eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,seencuentraaselvalordelavariabley.

y = 2x + z + 1y = 2(1) + (3) + 1

y = 2 + 3 + 1y = 2

276

B8 B8 4. As,lasolucindelsistemaformadoporlasecuaciones (1), (2) y (3)eslaterna

(1, 2 ,3):

Comprobacin:( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 3 1 11 5 2 2 3 3 24 1 3 2 5 3 5 3

+ = + = + =

Dondeobservamosqueseverificanlasigualdades.

Mtodo numrico por determinantes

Abordaremosahoraelmtodopordeterminantes,observaconatencincmoseformanyresuelvenlosdeterminantes.

Dadounsistemadeecuaciones3 x 3:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

+ + =+ + =+ + =

Paraencontrarlasolucindelsistemasedesarrollancuatrodeterminantes,formadosdelasiguientemanera:

El primer determinante lo denotaremos con la letra D y se forma con loscoeficientes de las incgnitas: horizontalmente (las filas) contienen a loscoeficientes de cada ecuacin en el orden de x, y, z y verticalmente (lascolumnas)correspondenaloscoeficientesdeunamismavariable.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b cD a b c

a b c=

Eldeterminante3 x 3 asobtenidoseresuelvecomosemuestraenelsiguienteesquema: se aumentan las dos primeras filas, y se multiplican los trescoeficientesquesetienenendiagonal(anotandolosresultadosdelproductoenladerechaeizquierda).Alasumadelosproductosobtenidadeladerechaselerestalasumadelosproductosobtenidosalaizquierda.

Cuandoenunsistema3 x3, unadelasecuacionesnotieneunavariable,el

coeficienteconsiderado

paraellaalmomentode

resolvereldeterminante

escero.

B8

277


SiD= 0, xD 0, yD 0 y zD 0 elsistemanotienesolucin.

SiD= 0, xD =0, yD =0y

zD = 0 elsistematieneunainfinidadde

soluciones.

Paradesarrollarcadauno

delosdeterminantes,

seaumentaronlasdos

primerasfilas.

Los tresdeterminantes restantes sedenotanpor , ,x y zD D D y se formanal

cambiarlacolumnadelavariabledeldeterminantequesebuscaporlacolumnaformadapor lossegundosmiembrosdelasecuaciones,esdecir,sisebusca

xD secambialacolumnadeloscoeficientesdexporlossegundosmiembros

delasecuaciones,yassucesivamentepara yy zD D .Unavezformadocadadeterminante,seresuelvetalcomoseprocedieneldeterminanteD.

SiD0,lasolucindelsistemaesnicayseencuentraalefectuarlassiguientesdivisiones:

xDxD

=

yDyD

=

zDzD

=

Ejemplos

Resolvamoselmismosistema3 x 3 delejemploanterior,ahoraconelmtodopordeterminantesyobservemosquelasolucineslamisma.

278

B8 B8 ( )( )( )

2x y z 1 1x 5y 2z 3 24x 3y 5z 5 3

+ = + = + =

Seresuelvenlosdeterminantes:

Efectuamoslasdivisionescorrespondientes,ylisto:

xD 28x 1D 28

= = = yD 56

y 2D 28

= = = zD 84

y 3D 28

= = =

Lasolucindelsistemaformadoporlasecuaciones(1), (2) y (3)enesteejemploeslaterna(1, 2 ,3).

Comprobacin:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 3 1 11 5 2 2 3 3 24 1 3 2 5 3 5 3

+ = + = + =

B8

279


Observemosqueseverificanlasigualdades.

Veamosqueelsistemaquesemuestraacontinuacinesincompatible,esdecir,notienesolucin.

Apliquemosprimeroelmtododesustitucin.

( )( )

( )

3x 4y 2z 1 12x 3y z 2 2

5x y z 5 3

+ = + = + =

Tenemos:1.Elegimosdespejarzenlaecuacin(3)donde:

z = 5 5x + y

Obien, z = 5x + y + 5

2.Alsustituireldespejeanteriorenlaecuacin(1)seobtiene:

3x 4y + 2(5x + y + 5) = 1

Sesimplifica,3x 4y 10x + 2y + 10 = 1 7x 2y = 1 10

7x 2y = 9 (4)

Alsustituirelmismodespeje,ahoraenlaecuacin(2),seobtiene:

2x 3y + (5x + y + 5) = 2

Sesimplifica: 2x 3y 5x + y + 5 = 2 7x 2y = 2 5 7x 2y = 3 (5)

Delasecuacines(4) y (5)setieneelsistema2 x 2siguiente:

= =7 2 9 47 2 3 5x yx y

( )( )

Almultiplicarpor(1)laecuacin(5)ysumarestasecuaciones,setiene: + =

+ =

+ =

7 2 97 2 3

0 0 6

x yx y

x y

Locualindicaqueelsistemanotienesolucin.

280

B8 B8 Apliquemosahoraelmtodopordeterminantes.

( )( )

( )

3x 4y 2z 1 12x 3y z 2 2

5x y z 5 3

+ = + = + =

Tenemos:

PuestoqueD =0,Dx0,D

y0yD

z0,elsistemano tiene solucin.

B8

281


Actividad

I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultneas3 x 3 por elmtodoalgebraicodesustitucinyel mtodonumricopordeterminantes.

1. x y z 23x 2y z 42x y 2z 2

+ + = = + + =

2. 3x 4y 2z 1

2x 3y z 25x y z 5

+ + = + = + =

3. 2x 5y 3z 0

x y z 02x y 0

+ = + = =

4. 4x y z 4x y 4z 1

2x y 7z 3

+ = + = + =

5. 4x y 5z 257x 5y z 173x y z 21

+ = + = + =

6. 2x 5y 16

x 3y 2z 2x z 4

+ = + = + =

7. x 3y z 52x y 5z 7

x 10y 8z 9

+ = + = + =

8. x 2y 3z 2x 8y 27z 0

x y z 1

+ = + = =

II.Dadoqueyamodelastecadaunadelassituacionessiguientesporsucorrespondientesistema de ecuaciones, encuentra la solucin al utilizar alguno de los mtodosabordados,comprubalaydalarespuestacorrectaalasituacindada.

1. En cierta heladera, por una copadehelado, dos horchatas y cuatrogalletas,cobran$34unda.Otroda,porcuatrocopasdelmismoheladoycuatrogalletas,cobran$44,yuntercerdason$26porunahorchataycuatrogalletas.Tienesmotivos para pensar que en alguno de los tres das se present una cuentaincorrecta?

282

B8 B8 2.Setienentresrecipientesconciertacantidaddeagua.Sisevierte1/3 deagua

delprimeroenelsegundoyluego 1/4 deaguadelsegundoenelterceroy,porltimo,extraemos1/10deaguadeltercerrecipienteparaverterlaenelprimerrecipiente,obteniendonuevelitrosencadarecipiente,qucantidaddeaguatenacadaunodeellos?

3. Tresamigosfueronaladulcera.Miguelgast$27ycompruncarameloydospaletas.Luisgast$41ycompruncarameloydoschocolates.Hugopag$34poruncaramelo,unapaletayunchocolate.Culeselpreciodecadagolosina?

Resuelveentucuadernodenotascadaunadelassituacionesplanteadas,ydeterminaencadaunadeellas:sistemadeecuacionesymtododesolucin.Elijelaopcinquemuestraelresultadocorrectodecadauna.

1.Ungrupode20personasentrehombres,mujeresyniossereneparacelebrarelcumpleaosdeunodeellos.Elnmerodehombresymujeresasistentesresultasereltripledelnmerodenios.Adems,sihubieraasistidolamamdeCarlitos,elnmerodemujeresseraigualaldeloshombres.Cuntoshombres,mujeresyniosasistieronalareunin?

a)Hombres:5Mujeres:7Nios:8

b)Hombres:7Mujeres:5Nios:8

c)Hombres:8Mujeres:7Nios:5

d)Hombres:5Mujeres:6Nios:9

2. En una competencia deportiva participan cincuenta atletas distribuidos en trescategoras: infantiles, juveniles y veteranos. El doble del nmero de atletasinfantiles,porunaparte,excedeenunaunidadalnmerodejuvenilesy,porotra,coincideconelquntuplodelnmerodeveteranos.Determinaelnmerodeatletasquehayencadacategora.

a)Infantiles:15Juveniles:29Veteranos:6

b)Infantiles:6Juveniles:15Veteranos: 29

c)Infantiles:29Juveniles:15Veteranos: 6

d)Infantiles:15Juveniles: 6Veteranos:29

3.LaSra.Juliacomprparasudespensa5kgdeazcar,3kgdearrozy4kgdefrijol;parasumamcompr4kgdeazcar,5kgdearrozy3 kgdefrijol;yparasusuegra2kgdeazcar,5 kgdearrozy5kgdefrijol.Sipagporseparadocadacuentaconunimportede$151, $141 y $149,respectivamente,cuntocuestaelkilogramodecadaartculo?

Autoevaluacin

B8

283


a)Azcar:12Arroz:16Frijol:9

b)Azcar:9Arroz:16Frijol:12

c)Azcar:12Arroz:9Frijol: 16

d)Azcar: 9Arroz:12Frijol:16

Apartirdelasituacinplanteadarealizaloquesepide.

1.Enunafrutera,por2kgdemanzana,2kgdeperayunmeln,cobraronauncliente$119.Otrapersonacompr4kgdemanzana, 1kgdeperaydosmelones,porloscuales lecobraron$154; unatercerapersonapag$93por2kgdemanzanay 3 melones.Cuntocuestacadafruta?

a) Encuentraelsistemaquemodelalasituacin.

b) Resuelve el sistema por dosmtodos:mtodo algebraico de sustitucin ymtodonumricopordeterminantes.

c) Especificaturespuesta.

Escala de rango

Nombredelalumno:

Escala de valoracin:0Nulo1 Deficiente2Aceptable 3Satisfactorio

Aspectos observables S No Estimacin

Comprendilasituacinplanteada

Encontrelsistemacorrectamente

Resolvielsistemaporlosdosmtodos

Indiclarespuestaespecficamente

TOTAL:Cal

Total=

1012

=

Observaciones:Nombredequienrevis:

Evaluacin Formativa

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