PROBLEMAS ADITIVOS 2.1 Resolver problemas aditivos con nmeros fraccionarios y decimales en distintos contextos. Definicin de operaciones con fracciones: supongamos que queremos medir el segmento AB tomando como unidad de medida el segmento CD. Inmediatamente nos damos cuenta que la unidad de medida CD no cabe un nmero de veces entero de veces en AB. Ahora bien, podemos observar que dividiendo la unidad CD en cuatro partes iguales, cada una de ellas cabe 7 veces en AB. Si cada una de las partes en que hemos dividido el segmento CD se le llama 14 CD, entonces AB= 74 CD. Decimos tambin que la medida de AB con dicha unidad es el nmero fraccionario, que puede ser el quebrado o la fraccin 74. El numerador 7 designa el nmero de partes que contiene la cantidad medida; el denominador 4 representa el nmero de partes en que se divide la unidad. Ambos, numerador y denominador, son los trminos de la fraccin y definimos fraccin es un par ordenado de nmeros enteros, llamados numerador y denominador. C D

A

B

Adicin. La suma de dos fracciones ab,cd es otra fraccin que contiene por numerador el producto del numerador de una de ellas por el denominador de la otra, ms el producto del numerador de esta ltima por el denominador de la primera, y por denominador el producto de los denominadores de ambas fracciones: ac +bd =ad+bccd. 23+15=2*5+3*13*5=1315 Si las fracciones tienen el mismo denominador, para sumarlas, nicamente sumaremos los numeradores: ab+cb=a+cb 123+73=193

De la misma manera, si tenemos en vez de dos fracciones tenemos que sumar tres o ms fracciones, operaremos as: ab+cd+mn=adn+cbn+mbdbdn 13+56+24=1*6*4+5*3*4+2*6*33*6*4=24+60+3672=12072=53 Regla: para sumar varias fracciones con distintos denominadores, se opera del siguiente modo: 1) La suma es una nueva fraccin que tiene por denominador el producto de los denominadores de cada una de las fracciones. 2) El numerador es una suma de tantos sumandos como fracciones a sumar, siendo cada sumando el producto de cada numerador por el producto de los denominadores de las dems fracciones. Aun podemos simplificar mas el proceso de sumar fracciones utilizando el concepto de mnimo comn denominador. Regla: para sumar varias fracciones con distinto denominador, se procede de la manera siguiente: 1) La suma de dichas fracciones es otra fraccin que tiene denominador el mnimo comn denominador de las fracciones. por

2) El numerador de la fraccin suma, es una suma de tantos sumandos como fracciones a sumar siendo cada sumando el producto del numerador de cada fraccin por cociente de dividir el mnimo comn denominador entre el numerador de esa fraccin. 13+56+24 m.c.m (3, 6,4)=12 13+56+24=

4*1+2*5+3*212= 2012=53

Sustraccin. Dadas dos fracciones ab,cd, definimos su diferencia como: una nueva fraccin que tiene por denominador el producto de los denominadores y como numerador una diferencia cuyo minuendo es el producto del numerador de la primera fraccin por el denominador de la segunda, y como sustraendo el producto del numerador de la segunda por el denominador de la primera: ab - c d=a*d-b*cb*d 53 - 45=5*5-4*33*5=25-1215=1315 En el caso de que ambas fracciones tengan igual denominador, su diferencia es otra fraccin que tiene por denominador el mismo de las fracciones y por numerador la diferencia de los numeradores. ab - c b=a-cb 53 -23=33 En el caso de que tengamos que operar combinadamente con sumas y restas y diferencias de fracciones, indicamos a continuacin la manera de proceder: ab +cd - mn=adn+cbn-mbdbdn 13 - 15 + 94 - 53 =1*5*4*3-1*3*4*3+9*3*5*3-5*3*5*43*5*4*3=60-36+405300180=105180

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS.

2.2 resolver problemas que impliquen la multiplicacin y divisin con nmeros fraccionarios en distintos contextos. Producto. Dadas dos fracciones ab,cd, su producto es otra fraccin que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores: ab * cd =a*cb*d Si el producto se extiende a , mas de dos factores, se operara de igual modo: ac *cd *mn *tq =a*c*m*tb*d*n*q En el caso de que queramos multiplicar un numero entero por una fraccin, operaremos como si el numero entero fuese una fraccin cuyo denominador es uno a*mn=a1*mn=a*m1*n 1.- Tres nios tienen 234l de jugo de naranja cada uno. Cuntos litros tienen en total? 114*124=13216=8.25 l o 114*3=334=8.25 l 2.- Una lancha recorre 3812 km en 134 horas. Qu distancia puede recorrer en una hora? 1544 x 74 44 x=884 =442=221=22km

Divisin . Dadas dos fracciones ab,cd, su cociente es otra fraccin, cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fraccin por el denominador de la segunda fraccin y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda: ab:cd=a*dc*b En el caso de que queramos obtener el producto de un numero entero por una fraccin operaremos como si el numero entero fuese una fraccin cuyo denominador es 1: a: bd=a1:bd=a*db*1 Ejemplo: 13:45=5*14*3=512 0 1345 medios por medios extremos por extremos. 2.3 Resolver problemas que impliquen la multiplicacin de nmeros decimales en distintos contextos.

Definicin. Se llama fraccin decimal aquella fraccin ordinaria cuyo denominador es la unidad seguida de ceros. Por ejemplo: las fracciones 210,25100,31000 son fracciones decimales. Unidades decimales. Consideraremos la sucesin de fracciones 110, 1100,11000,110000 que llamaremos: una decima, una centsima, una milsima, un diezmilsima etc. Cada una de ellas representa la decima parte de la anterior y la primera es la decima parte de 1. Con esta notacin, una fraccin cualquiera puede considerarse como la suma de una parte entera y de las unidades decimales de diversos ordenes. Por ejemplo, la fraccin : 435361000=400001000+30001000+5001000+301000+61000=43+5001000 +301000+61000=43+5 10+3100+61000 En notacin decimal, el numero 43536 lo escribimos tambin en la forma 43.536 La fraccin 37410000 se escribir en notacin decimal como 0.0374 en general dada una fraccin decimal para ponerla en forma decimal se escribir el numerador, y a continuacin se separaran con una coma tantas cifras como ceros tenga el denominador, empezando por la derecha. Definicin. Llamaremos nmero decimal a toda fraccin decimal escrita en la forma ltimamente indicada. Para leer un nmero decimal, se enuncia la parte entera y a continuacin la parte decimal, como si fuera un numero entero, aadiendo despus la denominacin de las unidades que representan su ultima cifra. De esta manera el numero 43.536 lo leeramos: 43 unidades 536 milesimas, aunque se acostumbra abreviar y entonces se dice slo: cuarenta y tres punto quinientos treinta y seis. El numero 0.018 lo leeramos: cero punto dieciocho milsimas. Propiedades de los nmeros decimales. 1. El valor de un numero decimal no se altera al aadir o suprimir a la derecha de la ultima cifra del punto un numero cualquiera de ceros. Ejemplo: los nmeros 0.025 y 0.02500 representan el mismo numero decimal, pues las fracciones decimales correspondientes son equivalentes. En efecto, 251000=2500100000. 2. Si un nmero decimal se corre el punto a la derecha o a la izquierda n lugares, el numero queda respectivamente multiplicado o dividido por 10n; e inversamente, para multiplicar o dividir un numero decimal o entero por una potencia de 10, se corre el punto a la derecha tantos lugares como ceros tenga dicha potencia de 10. Ejemplos: 1.-435.01*1000=435010 2.- 435.01/1000= 0.43501 3.- 23.701*100=2370.1

Suma. Para sumar varios nmeros decimales se operar como si fuesen enteros, colocando siempre los sumandos de tal manera que los puntos se correspondan todas entre si. Una vez efectuada la suma, el punto se colocara en la misma columna en que se encuentren todas los puntos de los sumados. 4.005 + 0.0137 + 945.9 + 374 1323.9187 Sustraccin. Para restar dos nmeros decimales se escribe el minuendo encima del sustraendo, haciendo coincidir los puntos de dichos nmeros. Posteriormente se aaden tantos ceros como hagan falta a la derecha de uno o de otro para que ambos tengan el mismo nmero de cifras. Una vez hecho esto, se efectua la operacin como si fuesen nmeros enteros. Ejemplos: efectuar 0.01-0.00537 y 8.539-7.6 0.01000 8.539 -0.00573 -7.600 0.00427 0.939

Multiplicacin. Dados dos nmeros decimales cualesquiera, para multiplicarlos se opera exactamente igual como si fuesen enteros, separando despus de la derecha del producto tantas cifras decimales como suma de las que haya en ambos factores. Ejemplos: 45.79 89.01 * 0.005 *7.6 0.22895 53406 62307 676.476

Una lancha recorre 7.20 metros por segundo. Qu distancia recorrer en 2 segundos? y en 1.9, 1.8, 1.7,1.1 segundos? y en 0.9,0.8,0.7, ,0.1segundos? Por qu unos productos son mayores y otros son menores que 7.20? R= Los primeros 9 resultados son menores a 7.20 metros/segundo ya que todava no se completa un segundo al momento de completar un segundo tenemos la distancia 7.20 metros por segundo dados en el dato del problema, a medida que aumenta el tiempo aumenta la distancia como se puede apreciar en la tabla. Distancia. (m/s) 0.72 1.44 2.16 2.88 3.6 4.32 5.04 5.76 6.48 7.2 7.92 8.64 9.36 10.08 10.8 11.52 12.24 12.96 Tiempo Formula (s) D=7.20*. 1 0.1 D=7.20*. 2 0.2 D=7.20*. 3 0.3 D=7.20*. 4 0.4 D=7.20*. 5 0.5 D=7.20*. 6 0.6 D=7.20*. 7 0.7 D=7.20*. 8 0.8 D=7.20*. 9 0.9 D=7.20* 1 1 D=7.20* 1.1 1.1 D=7.20* 1.2 1.2 D=7.20* 1.3 1.3 D=7.20* 1.4 1.4 D=7.20* 1.5 1.5 D=7.20* 1.6 1.6 D=7.20* 1.7 1.7 D=7.20* 1.8 1.8

13.68 14.4

D=7.20* 1.9 D=7.20* 2

1.9 2

El hierro pesa .88 veces lo que pesa el cobre. Una pieza de cobre pesa 7.20 gramos . Cunto pesa una pieza de hierro del mismo tamao? Por qu el resultado es menor que 7.20 gramos? R= el resultado es menor que 7.20 gramos dado que el hierro pesa .88 veces de lo que pesa el cobre por lo tanto cuando tengamos un gramo de cobre tendremos .88 gramos de hierro segn el ejemplo. Hierro (gr) 0.88 1.056 1.232 1.408 1.584 1.76 1.936 2.112 2.288 2.464 2.64 2.816 2.992 3.168 3.344 3.52 3.696 3.872 4.048 Formula Ph=1*.88 Ph=1.2*.89 Ph=1.4*.89 Ph=1.6*.89 Ph=1.8*.88 Ph=2*.88 Ph=2.2*.88 Ph=2.4*.88 Ph=2.6*.88 Ph=2.8*.88 Ph=3*.88 Ph=3.2*.88 Ph=3.4*.88 Ph=3.6*.88 Ph=3.8*.88 Ph=4*.88 Ph=4.2*.88 Ph=4.4*.88 Ph=4.6*.88 Cobre (gr) 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6

4.224 4.4 4.576 4.752 4.928 5.104 5.28 5.456 5.632 5.808 5.984 6.16 6.336

Ph=4.8*.88 Ph=5*.88 Ph=5.2*.88 Ph=5.4*.88 Ph=5.6*.88 Ph=5.8*.88 Ph=6*.88 Ph=6.2*.88 Ph=6.4*.88 Ph=6.6*.88 Ph=6.8*.88 Ph=7*.88 Ph=7.2*.88

4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7 7.2

RECTAS Y ANGULOS. 2.4 Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ngulo para resolver diversos problemas geomtricos. Elementos geomtricos. Plano: Las superficies que utilizamos para escribir, como una pizarra o una cuartilla, que podemos considerar carecen de una tercera dimensin, son elementos adecuados para dar una idea del plano. En este sentido, diremos que un plano es la superficie de una cuartilla, y las infinitas cuartillas que podamos adosar unas junto a otras, alrededor de la primera. Recta: dados dos planos cualesquiera y , se llama recta la interseccin de ambos: . Al igual que en el plano, la idea de recta es la de un ente de infinita longitud. *El smbolo significa interseccin. Punto: dado un plano cualesquiera y dos rectas a y b distintas y contenidas en l, tal que a b, llamaremos punto a la interseccin a b. si a b=, las dos rectas se llaman paralelas. Es inmediato comprobar que dos puntos, A y B, determinan una sola recta. * El smbolo significa conjunto vacio. Segmento: Porcin de recta comprendida entre dos de sus puntos (los extremos). Semirrecta: dada una recta r y un punto P, perteneciente a ella, P divide a la recta en dos partes distintas llamadas semirrectas, y que designaremos por

rp+ y rp- (fig. 1). origen de las semirrectas. rpFig.1 P rp+

El punto P se llama punto

Mediatriz de un segmento: dado un segmento de recta, es la perpendicular en su punto medio.

A

B

Bisectriz de un ngulo: dado un ngulo se denomina bisectriz de la semirrecta que, pasando por el vrtice de , divide a en dos ngulos iguales. Bisectriz.

b

b/2

1.- Dibujar un segmento y su mediatriz. Construir un triangulo con dos de sus vrtices en los extremos del segmento. El tercer vrtice sobre la mediatriz qu tipo de triangulo es? R = se forma un triangulo equiltero.

2.- Dado un segmento y su mediatriz dibujar un rombo.

3.- Dada una circunferencia localizar su centro.

4.- Las diagonales de un cuadriltero son los segmentos que unen dos vrtices opuestos. En el cuadrado, las bisectrices y las diagonales coinciden. Dibujar otro cuadriltero con esta propiedad.

FIGURAS PLANAS. 2.5 Construir polgonos regulares a partir de distintas informaciones.

JUSTIFICACION DE FORMULAS. 2.6 Justificar las formulas de permetro y rea de tringulos, cuadrilteros y polgonos regulares. reas de polgonos. De un rectngulo: si para hallar el rea del rectngulo de la figura tomamos como unidad el cuadrado de lado u, vemos que dicho rectngulo contiene al cuadrado de lado u 32 veces, y diremos que su area es 32 U, donde U es el area del cuadrado de lado u. Dicho nmero 32 es claro que lo hemos obtenido como producto de las veces que contiene la base del rectngulo a la unidad u, por las veces que contiene la altura de dicho rectngulo a la unidad u. resumiendo, podemos decir que el area de un rectngulo es igual al producto de las medidas de su base y su altura. A=b*h u.

Ejercicio: hallar el rea de un rectngulo cuya base es de 3.2 metros y tiene una altura de 3.8m. A=b*h

A= (3.2m) (1.6m)=5.125m2 Del cuadrado: un cuadrado es un rectngulo cuya base es igual a su altura, por lo tanto, su rea A ser: A= L*L Ejercicio encontrar el rea de un cuadrado cuya altura es de 7.6 m y cuya base es de 7.6 m. A=L*L A= (7.6m)*(7.6m)=57.76 m2. Del paralelogramo: supongamos un paralelogramo cualquiera ABCD. Trazando las alturas BM y CN, obtenemos dos tringulos rectngulos ABM y CDN que son iguales, puesto AB=CD, BM=CN y los ngulos A=D y B=C por ser sus lados paralelos. De las anteriores relaciones se deduce que el rea del paralelogramo ABCD y la del rectngulo MBCN son iguales, ahora bien, el rea de este ultimo rectngulo es: AreaMBCN=MN *BM, pero MN=AD, luego AreaMBCN=AreaABCD=AD*BM, y resumimos: el area de un paralelogramo cualquiera es igual al producto de las medidas de su base por su altura como en la figura.

Del triangulo: dado un triangulo ABC, a partir de el podemos formar el paralelogramo ABCB, cuya rea es el doble del rea del triangulo ABC. Ahora bien, AreaABCB =AC*BM, luego AreaABC=12AC*BM=12*Base*altura y resumimos: el rea de un triangulo es igual al semiproducto de la medida de una de sus bases por la altura correspondida.

Del rombo: dado que el rombo es un paralelogramo, su area la podemos hallar mediante la frmula rea=b*h, siendo b su base y h su altura. Ahora bien, dado un rombo ABCD, trazando las dos diagonales, lo descomponemos en cuatro triangulos, que podemos recomponerlos tal como se muestra:

La nueva figura es un paralelogramo cuya rea es rea=AC *OB, pero AC = diagonal del rombo ABCD y OB= semidiagonal del rombo ABCD. Luego el rea de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales.

Paralela media y rea de un trapecio. Se denomina paralela media de un trapecio al segmento al segmento que une los puntos medios de los dos lados no paralelos. Dicho segmento es paralelo a las dos bases del trapecio, y adems posee la propiedad que es igual a la semisuma de dichas bases, es decir MN=AD+BC2 En efecto trazando por N una paralela a AB, se obtienen los dos triangulos CNP y QND, que son iguales, pues todos sus ngulos son iguales, y adems CN=ND. De la figura se deduce: BP=MN=AQ, por ser segmentos de paralelas comprendidos entre paralelas. Ahora bien: BP=BC+CP AQ=AD-QD MN = BC+ CP MN= AD-CP ya que CP=QD

Sumando las dos igualdades anteriores, se tiene: 2MN=BC+AD MN=BC+AD2 Veamos ahora que el area de ABCD es igual a la paralela media por la altura. En efecto, como SQND=SCNP SABCD=SAQBP, pero SAQBP por ser un paralelogramo es igual a AQ*BT=MN*BT, y finalmente SABCD=MN*BT =BC*AD2 *BT, que escribimos: el rea de un trapecio es igual al producto de las medidas de la semisuma de sus bases por su altura.

reas: de un polgono. Si se trata de un polgono cualquiera ABCDE, para hallar su rea se descompone en figuras ms sencillas, por ejemplo tringulos, entonces se calcula el rea total como suma de las reas parciales de cada una de las figuras en que lo hemos descompuesto. reaABCDE = +reaBCD+reaABD+reaADE

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD. 2.7 Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo valor faltante en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales. Comparacin de nmeros y magnitudes. La comparacin entre dos nmeros o magnitudes cualesquiera se presenta espontneamente no solo en la resolucin de problemas matemticos, si no en la vida normal como consecuencia del ms simple anlisis. Cuando decimos que la correlacin de fuerzas entre dos ejrcitos A y B es de 2 a 1 no estamos sino comparando de manera inconsciente ambos ejrcitos. El modo de comparar o relacionar dos o varios nmeros o magnitudes del mismo gnero no es nico, sino que existen varios. Razn aritmtica. Dados dos nmeros a y b cualesquiera, su razn aritmtica es una sustraccin que nos va a dar un criterio de cuantas veces uno contiene al otro. Ejemplo: cuando comparamos 5 y 2 lo hacemos a travs de su razn aritmtica 5-2=3. El primer termino de la razn (5) se llama antecedente, al segundo trmino (2) se le denomina consecuente y a la diferencia entre ambos

razn. Las razones aritmticas, cual verdaderas diferencias que son, poseen todas las propiedades de estas, pudindoseles aplicar por lo tanto la propiedad fundamental de la diferencia. Una razn aritmtica no se altera si se suma o resta un mismo nmero a los dos trminos de dicha razn: a-b=c a+n-b+n=c a-n-b-n=c

Observemos que, como consecuencia inmediata de esta propiedad, podemos construir a partir de una misma razn aritmtica, infinitas razones equivalentes. Ejemplo: a partir de la razn 5-2=3 obtenemos las siguientes: 5+1-2+1=3 5+4-2+4=3 5-2-2-2=3 Esta ltima caracterstica es la que nos va a facilitar la definicin de proporcin aritmtica. Proporcin aritmtica. Se denomina as la igualdad de dos razones aritmticas. Ejemplo: las razones 5-2 y 11-8 son equivalentes, definiendo por tanto una proporcin que representaremos como 5-2:11-8, y en general escribiremos a-b:c-d. Toda proporcin consta, por tanto, de cuatro trminos que llamaremos extremos y medios. Son extremos el antecedente de la primera razn y el consecuente de la segunda, y medios el consecuente de la primera razn y el antecedente de la segunda.

Propiedades de las proporciones aritmticas. En toda proporcin aritmtica, la suma de los trminos extremos es igual a la suma de los trminos medios. En efecto: si a-b=c-d, sumando a los dos miembros de la igualdad el numero d, resulta: a-b+d=c-d+d a-b+d=c. Si sumamos b a los miembros tenemos: a-b+d+b=c+b a+d=c+b Razn geomtrica de dos nmeros. Razn geomtrica de dos nmeros es el cociente de la divisin del primero por el segundo. La diferencia entre fraccin y razn estriba en que, mientras en la definicin de fraccin el numerador y el denominador han de ser nmeros enteros, en la razn, el numerador y denominador, que se llaman antecedente y consecuente respectivamente, pueden ser nmeros cualquiera: enteros, decimales, fraccionarios, etc. Asi por ejemplo podemos comparar 3.95 y 4.01 que escribiremos 3.954.01.

Razn de dos cantidades homogneas. Supongamos dos montones de naranjas, A y B, que queremos comparar para ello la mejor idea ser contarlos; supongamos que una vez contados arrojan las cantidades A=6 naranjas y B=12 naranjas. Ahora podemos decir que la razn de A y B es de 6 a 12 o de 1 a 2, o sea, 612=12. Tambin podemos decir que la razn de B a A es de 12 a 6 o de 2 a 1, o sea, 126=21. En general definimos: razn de dos cantidades homogneas A y B es la razn de los nmeros que resultan de medirlas con la misma unidad. Dado que la razn geomtrica de dos nmeros o magnitudes homogneas no es mas que una divisin generalizada, dicha razn mantendr las propiedades de la divisin, y por lo tanto podemos enunciar la siguiente propiedad. Propiedad fundamental de las razones geomtricas. Una razn geomtrica no se altera cuando se multiplican o dividen sus dos trminos por un mismo nmero. Ejemplo: la razn 12 es equivalente a las 24,36,2040, etc. Al igual que en las razones aritmticas esta propiedad nos permite definir el concepto de proporciones geomtricas. Proporcin geomtrica. Se denomina as a la igualdad de dos razones geomtricas ab=cd que leeremos a es a b, como c es a d. Los cuatro nmeros que se comparan se llaman trminos de la proporcin. El primero y el ultimo (a y d) se llaman extremos, y los segundo y tercero (b y c) se llaman medios. As mismo el primero y el tercero (a y c) se denominan antecedentes y el segundo y el cuarto termino (b y d) consecuentes. El cuarto termino (d) de una proporcin tambin se llama cuarta proporcional de los otros tres. Una proporcin se dice continua cuando sus medios son iguales; el trmino medio se llama entonces media proporcional, y cualquiera de los extremos tercera proporcional: as en la proporcin 39=927, 9 es media proporcional de 3 y 27, y 27 es tercera proporcional de 9 y 3. Teorema fundamental de las proporciones. En una proporcin, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Y recprocamente, dados cuatro datos nmeros cualesquiera a, b, c, d, tales que verifiquen que a*c=b*d, estos cuatro nmeros forman una proporcin: la ab=cd. En efecto sea la proporcin ab=cd; multiplicando los dos miembros de la misma por b, nos queda a*bb=c*bd a=c*bd. multiplicando ahora por de los dos nmeros nuevos miembros, obtenemos a*d=c*b*dd a*d=c*b

Recprocamente, si se verifica que a*d=b*c, dividiendo, ambos miembros por d, se tiene a*dd=b*cd a=b*cd. dividiendo ahora por b: ab=b*cb*d ab=cd.

Como consecuencia fundamental de este teorema, deducimos que en una proporcin puede alterarse el lugar de sus trminos formando otras proporciones, siempre que se verifique la propiedad de que el producto de sus extremos sea igual al de sus medios. Ejemplo: 37=1228 312=728 287=123 2812=73.

Magnitudes. Directamente proporcionales. Dadas dos magnitudes A y B, diremos que son directamente proporcionales cuando a cada cantidad de A le corresponde una sola cantidad de B y recprocamente. Y tambin adems al multiplicar un A por un nmero fijo k, B tambin queda multiplicada por dicho numero.

Los lados de un triangulo miden respectivamente 5, 8 y 11 cm. Si en un triangulo hecho a escala de ste, el lado correspondiente a 5 cm mide 8 cm, Cunto deben medir los otros dos lados? 85=1.6 85*5=8 85*8=12.8 85*11=17.6

2.8 Interpretar el efecto de la aplicacin sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas. 1.- Una fotografa se reduce con una escala de 12 y enseguida se reduce nuevamente con una escala de 14. Cul es la reduccin total que sufre la fotografa original? R=4*2=8 reduccin total. 1 .5 =2 2 .25 =8

2.-Una fotografa se ampla con una escala de 1 a 3 y enseguida se reduce con una escala de 13. Cul es el efecto final en relacin con la fotografa original? R= No sufre cambios la foto. 1 3=3 1 13= 3 3/3=1

Resuelve los dos problemas anteriores utilizando una fotografa de 216 cm2 . R1= 216/2=108, 108/4= 27 Comprobacin= 27*8=216 cm2. R2=216*3=648cm2 216/13 = 648cm2. 648/648=1