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La topología encuentra

la neurociencia

Daniela Egas Santander Octubre 2018

Esquema

El proyecto "Blue Brain Project” (BBP)

Esquema

El proyecto "Blue Brain Project” (BBP)

Caja de herramientas de topología algebraica

Esquema

El proyecto "Blue Brain Project” (BBP)

Caja de herramientas de topología algebraica

Topología y neurociencia

Esquema

El Blue Brain Project

R econstrucción digital del corteza somatosensorial de la rata Lo más biológicamente preciso posible Búsqueda de principios organizativos Explotar altos niveles de organización

Analizar: estructura y funcionamiento

El Blue Brain Project

Corteza somatosensorial

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

Reconstrucción digital de las capas 1 a 6

Corteza somatosensorial

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

Reconstrucción digital de las capas 1 a 6

Cinco ratas de 14 días de edad

Corteza somatosensorial

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

Reconstrucción digital de las capas 1 a 6

Cinco ratas de 14 días de edad

Información biológica esencial:

Corteza somatosensorial

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

Reconstrucción digital de las capas 1 a 6

Cinco ratas de 14 días de edad

Información biológica esencial:

grosor de cada capa

Corteza somatosensorial

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

Reconstrucción digital de las capas 1 a 6

Cinco ratas de 14 días de edad

Información biológica esencial:

grosor de cada capa

morfologías neuronales precias

Corteza somatosensorial

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

Reconstrucción digital de las capas 1 a 6

Cinco ratas de 14 días de edad

Información biológica esencial:

grosor de cada capa

morfologías neuronales precias

densidades y proporción de los diferentes tipos de neuronas en cada capa

Corteza somatosensorial

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

Reconstrucción digital de las capas 1 a 6

Cinco ratas de 14 días de edad

Información biológica esencial:

grosor de cada capa

morfologías neuronales precias

densidades y proporción de los diferentes tipos de neuronas en cada capa

probabilidad de conexión entre los diferentes tipos de neuronas

Corteza somatosensorial

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

42 microcircuitos

~ 31 000 neuronas

~ 8 milliones conexiones synápticas

Simulaciones de actividad espontánea y evocada

Varios experimentos in vitro e in vivo reproducidos digitalmente, sin ajuste de parámetros

Microcircuitos neuronales

Circuitos neuronales y grafos

Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección

Synapsis químicas imponen una dirección preferencial

Circuitos neuronales y grafos

Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección

Synapsis químicas imponen una dirección preferencial

Circuitos neuronales y grafos

Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección

Synapsis químicas imponen una dirección preferencial

Circuitos neuronales y grafos

Grafo

Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección

Synapsis químicas imponen una dirección preferencial

Circuitos neuronales y grafos

Grafo

Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección

Synapsis químicas imponen una dirección preferencial

Circuitos neuronales y grafos

Grafo

Grafo dirigido

Synapsis eléctricas (gap junctions) la información se puede transmitir en cualquier dirección

Synapsis químicas imponen una dirección preferencial

Circuitos neuronales y grafos

Grafo

Grafo dirigido

Matriz de adyacencia "Neocortical Microcircuit Portal"

https://bbp.epfl.ch/nmc-portal/downloads

Cuantificando complejidad

Topología algebraica

Cuantificando complejidad

Topología algebraica

Estudio de conectividad

Cuantificando complejidad

Topología algebraica

Estudio de conectividad

Siguiente paso después de la teoría de grafos

Cuantificando complejidad

Topología algebraica

Estudio de conectividad

Siguiente paso después de la teoría de grafos

Propiedades locales a globales

Cuantificando complejidad

Topología algebraica

Estudio de conectividad

Siguiente paso después de la teoría de grafos

Propiedades locales a globales

Construir espacios a partir de bloques de básicos

Cuantificando complejidad

Topología algebraica

Estudio de conectividad

Siguiente paso después de la teoría de grafos

Propiedades locales a globales

Construir espacios a partir de bloques de básicos

Determinar sus propiedades globales a partir de los bloques

Cuantificando complejidad

Complejo simplicial ordenado

Simplices geómetrica

Simplices geómetrica

Simplices geómetrica

Simplices geómetrica

Simplices geómetrica

Complejo simplicial ordenado

Imágenes: Wikipedia (complejo simplicial, complejo simplicial abstracto)

complejo simplicial no es complejo simplicial

Bloques:símplices

Bloques:símplices

Bloques:símplices

Bloques:símplices

Bloques:símplices

Propiedades globales:agujeros

1 simplice 3 simplices 4 simplices 1 agujero

Propiedades globales:agujeros

1 simplice 3 simplices 8 simplices 1 agujero

Intuición

Borde

Complejo de cadenas

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

1

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

1

Definición

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas de K es

Cp espacio vectorial (sobre cualquier cuerpo)

Base de Cp son las p-simplices de K

Diferencial

Ejercicio

Bordes

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

Bp = im(dp+1) ✓ Cp

d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)

) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1

1

Definición

Los p-bordes de K es el subespacio vectorial:

Bordes

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

Bp = im(dp+1) ✓ Cp

d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)

) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1

1

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

Bp = im(dp+1) ✓ Cp

d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)

) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1

1

Definición

Los p-bordes de K es el subespacio vectorial:

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

Bp = im(dp+1) ✓ Cp

d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)

) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1

Zp = ker(dp) ✓ Cp

d1((a, b) + (b, c)� (a, c))

= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))

= b� a+ c� b� (c� a) = 0

) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

1

CiclosDefinición

Los p-ciclos de K es el subespacio vectorial:

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

Bp = im(dp+1) ✓ Cp

d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)

) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1

Zp = ker(dp) ✓ Cp

d1((a, b) + (b, c)� (a, c))

= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))

= b� a+ c� b� (c� a) = 0

) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

1

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

Bp = im(dp+1) ✓ Cp

d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)

) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1

Zp = ker(dp) ✓ Cp

d1((a, b) + (b, c)� (a, c))

= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))

= b� a+ c� b� (c� a) = 0

) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

1

CiclosDefinición

Los p-ciclos de K es el subespacio vectorial:

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

Bp = im(dp+1) ✓ Cp

d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)

) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1

Zp = ker(dp) ✓ Cp

d1((a, b) + (b, c)� (a, c))

= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))

= b� a+ c� b� (c� a) = 0

) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

1

Sea K un complejo simplicial ordenado. El complejo de cadenas

de K es

• 8p✏p � 0 un espacio vectorial Cp

• Base de Cp �! p-simplices de K• Differencial

d : Cp ! Cp�1

d(v0, v1, . . . , vp) = (v1, v2. . . , vp)�(v0, v2, . . . , vp)+. . .±(v0, v1, . . . , vp�1)

±(v0, v1, . . . , vp�1)

d2 = 0

Bp = im(dp+1) ✓ Cp

d2((a, b, d)) = (b, d)� (a, d) + (a, b)

) (b, d)� (a, d) + (a, b) 2 B1

Zp = ker(dp) ✓ Cp

d1((a, b) + (b, c)� (a, c))

= d1((a, b)) + d1((b, c))� d1((a, c))

= b� a+ c� b� (c� a) = 0

) (a, b) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

1

CiclosDefinición

Los p-ciclos de K es el subespacio vectorial:

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)

Definición

Definimos una clase de equivalencia en los p-ciclos de K

en este caso decimos que z y z' son homólogos.

Classes de homología

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

Definición

Definimos una clase de equivalencia en los p-ciclos de K

en este caso decimos que z y z' son homólogos.

Classes de homología

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)

Ejercicio:

HomologiaDefinición

La p-homología de K:

donde [z] es la clase de equivalencia de z.

Ejercicio es un espacio vectorial

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)

Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}

�p(K) = dim(Hp(K))

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)

Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}

�p(K) = dim(Hp(K))

Imagen:Edelsbrunner, Harer, Computational Topology: An Introduction, (2010)

HomologiaDefinición

La p-homología de K:

donde [z] es la clase de equivalencia de z.

Ejercicio es un espacio vectorial

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)

Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}

�p(K) = dim(Hp(K))

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)

Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}

�p(K) = dim(Hp(K))

Imagen:Edelsbrunner, Harer, Computational Topology: An Introduction, (2010)

96 IV Homology

It follows that every p-boundary is also a p-cycle or, equivalently, that Bp

is a subgroup of Zp. Figure IV.1 illustrates the subgroup relations among thethree types of groups and their connection across dimensions established bythe boundary homomorphisms.

B

Z

Cp+1

p+1

p+1

C

Z

B

p

p

p

C

Z

B

p−1

p−1

p−1

0 0 0

p+2 p+1 p p−1

Figure IV.1: The chain complex consisting of a linear sequence of chain, cycle, andboundary groups connected by homomorphisms.

Homology groups. Since the boundaries form subgroups of the cyclegroups, we can take quotients. In other words, we can partition each cyclegroup into classes of cycles that differ from each other by boundaries. Thisleads to the notion of homology groups and their ranks, which we now defineand discuss.

Definition. The p-th homology group is the p-th cycle group modulo thep-th boundary group, Hp = Zp/Bp. The p-th Betti number is the rank of thisgroup, βp = rankHp.

Each element of Hp = Hp(K) is obtained by adding all p-boundaries to a givenp-cycle, c + Bp with c ∈ Zp. If we take any other cycle c′ = c + c′′ in thisclass, we get the same class, c′ + Bp = c + Bp, since c′′ + Bp = Bp for everyc′′ ∈ Bp. This class is thus a coset of Hp and is referred to as a homology class.Any two cycles in the same homology class are said to be homologous, whichis denoted as c ∼ c′. We may take c as the representative of this class butany other cycle in the class does as well. Similarly, addition of two classes,(c + Bp) + (c0 + Bp) = (c + c0) + Bp, is independent of the representatives andis therefore well defined. We thus see that Hp is indeed a group, and becauseZp is abelian so is Hp.

The cardinality of a group is called its order. Since we use modulo 2 coeffi-cients, a group with n generators has order 2n. For example, the base 2 loga-

Números de BettiDefinición

Los números de Betti de K son:

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)

Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}

�p(K) = dim(Hp(K))

Números de BettiDefinición

Los números de Betti de K son:

Circuito neuronal Complejo simplicial ordenado

Número de símplices, Números de Betti

2

d1((a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)) = 0

) (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c) 2 Z1

z ⇠ z0 () z � z0 2 Bp

(a, b) + (b, c)� (a, c) ⇠ (a, d)� (b, d) + (b, c)� (a, c)

Hp(K) = {[z]|z 2 Zp}

�p(K) = dim(Hp(K))

Abundancia de simplices

M.Reimann et. al. Cliques of Neurons Bound into Cavities Provide a Missing Link between Structure and Function, Front. Comput. Neurosci, (2017)

Validación in vitro

Simplices y funcionamiento

Las neuronas que pertenecen a simplices de alta dimensión tienen una alta correlación de picos de corrientes (spiking correlation)

Números de betti e individuos

b1

b3

Estudiando la actividad cerebral

Estudiando la actividad cerebral

Grafos de transmisión y respuesta

Grafos de transmisión y respuesta

Estimular el microcircuito.

Grafos de transmisión y respuesta

Estimular el microcircuito.

Serie de subgrafos

Grafos de transmisión y respuesta

Estimular el microcircuito.

Serie de subgrafos

Grafos de transmisión y respuesta

Estimular el microcircuito.

Serie de subgrafos

aristas i j

Grafos de transmisión y respuesta

Estimular el microcircuito.

Serie de subgrafos

aristas i j

Grafos de transmisión y respuesta

i e j están conectados

La neurona j dispara a lo sumo 10 ms después de la neurona i

Estimular el microcircuito.

Serie de subgrafos

aristas i j

Simplices en grafos TR

Simplices en grafos TR

Formación de classes de homología

Estudiar otros sistemas con modelados con grafos dirigidos

Aprendizaje y memoria

Análisis topológico de datos

Perspectivas

Giuseppe Chindemi, Henry Markram, Max Nolte, and Michael Reimann (Blue Brain Project, EPFL) Rodrigo Perin (Laboratory of Neural Microcircuitry, EPFL) Paweł Dłotko (Swansea) Dejan Govc, Ran Levi and Daniel Lütgehetmann (Aberdeen) Katharine Turner (Australian National University) Stefania Ebli, Kathryn Hess, Nicolas Ninin, Gard Spreeman, Martina Scolamiero (Laboratory for Topology and Neuroscience, EPFL) Nicolas Antille and Jonas Karlsson (visualization)

Referencias

Colaboradores

H. Markram et al. Reconstruction and Simulation of Neocortical Micro-circuitry, Cell, 2015.

M.Reimann et. al. Cliques of Neurons Bound into Cavities Provide a Missing Link between Structure and Function, Front. Comput. Neurosci, (2017) Edelsbrunner, Harer, Computational Topology: An Introduction, (2010)