Matematica i -semana_01

Matemática I

Semana 1

ConjuntosRelaciones y Operaciones con Conjuntos

Sistema de los Números Reales Ecuaciones Lineales con una Variable

Aplicaciones

Matemática I

¿Qué es un conjunto?

Un conjunto es una idea primitiva de la matemática.

Los conjuntos son agrupaciones de objetos matemáticos, llamados elementos, los que permiten modelar diferentes situaciones.

2

CONJUNTO

ELEMENTO

Notación y Determinación de un Conjunto

En general :los conjuntos se denotan con letras mayúsculas (A, B, C, …)los elementos se denotan con letras minúsculas ( a, b, c, …)

Determinación por extensión:Se denotan todos sus elementos.Ejemplo: A = {a, b, c, d, e}

Determinación por comprensiónSe define una propiedad común a todos sus elementos.Ejemplo: B = {x / x es un número natural menor que 5}

Relación de pertenencia

• Para expresar la pertenencia denotamos: x ∈ A

se lee: “ x pertenece al conjunto A”

• Para expresar la no pertenencia denotamos: x ∉ B

se lee: “ x no pertenece al conjunto B”

La relación de pertenencia vincula:

Elemento con Conjunto

Conjuntos Numéricos

Naturales: N = { 1; 2; 3; … }

Enteros: Z = { …;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … }

Racionales: Q = { / a b Z, b 0 }

Irracionales: I = { x / x ≠ ; a b Z, b 0 }

Reales: R = { x / x Q x I}

b

a

b

a

Diagrama de los Conjuntos Numéricos

IQ

N

Z

R

Conjuntos Característicos

Conjunto Vacío o Nulo: Es el conjunto que no tiene elementos.

Se le representa por los símbolos

Se define como:

Conjunto Unitario: es un conjunto que tiene un solo elemento.

Por ejemplo: A = {0}, B = {w}

Conjunto Universal: Contiene todos los elementos en un

contexto particular. En general, se le representa por la letra U.

Conjunto Finito: Es un conjunto en el que se pueden listar todos

sus elementos.

Por ejemplo:

C = {x / x es un mes del año}e

f m

CONJUNTO FINITO

ay

jl

g

s

o

n

d

Conjunto Infinito: Es un conjunto en el que no se pueden listar

todos sus elementos.

Por ejemplo:

L = {x / x es un punto de la recta }

CONJUNTO INFINITO

Matemática I

ConjuntosRelaciones y Operaciones con Conjuntos

Sistema de los Números Reales Ecuaciones Lineales con una Variable

Aplicaciones

Relación de Inclusión:

Un conjunto A está incluido en un conjunto B (A es

subconjunto de B) cuando cada elemento de A es también

elemento de B.

Simbolicamente: A B ( x A x B )

Relaciones entre conjuntos

NOTA: En caso de no inclusión, ponemos: E F

A Bx

BA

La relación de inclusión vincula: Conjunto con Conjunto

A B B A

Propiedades:

1) , para todo .

2)

A A

E F F G E G

Relación de igualdad:

Un conjunto A es igual a un conjunto B cuando el

conjunto A tiene los mismos elementos que el conjunto B.

Simbolicamente: A = B ( A B B A )

A = B NOTA: En caso de desigualdad, ponemos: E ≠ F

Conjuntos disjuntos:

Un conjunto A es disjunto de un conjunto B cuando ningún

elemento de A pertenece al conjunto B.

A y B son conjuntos disjuntos

A B

Relaciones entre conjuntos

ACTIVIDAD 1

5 2

/ , , 0, 1, 25

kA x x Q x k

2 1/ , , ,

1 2 10B x x Q x t N x

t

1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

1.1

1.2

2. Sean los conjuntos: 0, 1, 3, 7, 8 , 0, 1, 5A B

Determinar:a) ¿Qué subconjuntos no vacíos de A no están incluidos en B ?b) ¿Qué subconjuntos no vacíos de B no están incluidos en A ?

3. Sean los conjuntos:

/ , es impar , / , es múltiplo de 5 ,

/ , es par , / , es múltiplo de 4

A x x Z x B x x Z x

C x x Z x D x x Z x

Establecer todas las relaciones de inclusión que puede haber entre dichos conjuntos.

Operaciones entre conjuntos

1. Unión: A B = { x / x A x B }

Propiedades:

i) A: A = A

ii) A: A U = U

AB

A B

C D

C D

E

F

E F

2. Intersección: A B = { x / x A x B }

AB

A B

E

F

E F

i) A: A =

ii) A: A U = A

iii) Distributiva: A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Operaciones entre conjuntos

Propiedades:

C D

C D

CA

A

U

3. Diferencia: A B = { x / x A x B }

AB

A B

E

F

E F

C D

C D

4. Complemento de un conjunto

Dado A U,

Ac = { x U / x A } = U A

Operaciones entre conjuntos

1. (Ac)c = A

2. A Ac = U

3. A Ac =

4. A - =A

5. A - A =

6. - A =

7. (U)c =

8. ()c = U

9. Leyes de De Morgan:

(A B)c = Ac Bc

(A B)c = Ac Bc

10. A B = A Bc

Propiedades de la diferencia y el complemento:

ACTIVIDAD 2

1. Para los conjuntos A y B, determine

1.1) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7}

1.2)

2. Para los conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {3, 5, 7, 9}

B = {3, 4, 9}, C = {3, 6, 7, 9}, determine:

3. Se tienen los conjuntos P = {x / x es un polígono regular} , C = {x / x es un cuadrilátero} , T = {x / x es un triángulo equilátero}

P C

T

1 2 3

45

6

7

2A / , , , , 101x x y y y a a a

, , y A B A B A B B A

¿Cuáles de las regiones enumeradas en el diagrama son vacías?

B /y y y

a) A B C b) C

A B C c) A B C

CARDINAL DE UN CONJUNTO NÚMERO DE ELEMENTOS

Notación:

Propiedad: n A B n A n B n A B

Ejemplo: Si A , , , , entonces (A) = 5a b c d e n

Ejemplo de la propiedad:

A , , , , , B , , , , A B , a b c d e d e f g d e

5 4 2 7n A B

( )n A

Cardinal de un conjunto

Problemas para resolver

1) Determinar por comprensión los siguientes

conjuntos:

1, 4, 7, 10, 13, 16

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56

A

B

2) Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo U.

Si A B B A A B

determinar cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

A A B B B A A B

CB A

CA B A B

}10/{ xNxxU

}9;3{ BA }10;9{CA }2;1{)( C

CB

C

CBA

3) Se define:

en donde se cumple que:

Determine el conjunto A

4)A

B

C

Expresar mediante operaciones la parte sombreada de la figura adjunta.

5) Expresar mediante operaciones la parte sombreada de cada figura:

AB

C

a)

b)E F

G

7) En un salón de clase hay 15 extranjeros, de los cuales 10 sonhombres. Si se sabe que 15 hombres no son extranjeros y que entotal hay 30 mujeres, ¿cuántos estudiantes hay en clase?

6) De un grupo de 70 estudiantes, 32 hablan inglés, 26 español, 37francés, 6 inglés y español, 9 español y francés y 12 inglés yfrancés. ¿Cuántos estudiantes hablan los tres idiomas?

8) Un investigador de mercados realiza una encuesta sobre hábitosde lectura de revistas en Lima, resultando que: 9.8% leen Oiga,22.9% Selecciones, 12.1% Caretas, 5.1% Oiga y Selecciones,3.7% Oiga y Caretas, 6% Selecciones y Caretas y 32.4% leen almenos una de las revistas mencionadas. Determine el porcentajede personas que:

a) no leen ninguna de las revistas citadas

b) leen exactamente dos de las revistas.

9) Se realiza una encuesta a una muestra de postulantes a la

universidad sobre su preferencia respecto a las carreras

profesionales de Administración, Derecho y Economía,

obteniéndose los siguientes resultados:

60% prefieren Administración, 59% Derecho, 50% Economía,

38% Administración y Derecho, 22% Administración y Economía,

y el número estudiantes que no prefieren ninguna de las tres

profesiones es igual a los que solo prefieren Derecho. Si los que

prefieren las tres profesiones son el 40% de los que prefieren

Derecho y Economía, determine:

(a) El porcentaje de estudiantes que prefieren solo Derecho.

(b) El porcentaje de estudiantes que prefieren Administración y

Economía.

10) (PC1, 2012.0)

Si , simplifique:

10) (PC1, 2012.0)

Si , simplifique: AB

Solución:Considerando

q; r

AB

Sean p, q, r, s, t y u las cantidades de elementos de cada conjunto en el diagrama.

Luego:

r; s; t; u s; u

p; s; t; u p; q q; r; s; t; u

s; t; u

s; t; u

Rpta: C

A Bp

q r

s

t

u

11) La oficina de servicios académicos de la universidad, publicó el

siguiente reporte respecto del total de alumnos matriculados en

Matemática I:

•El 55% aprobó la primera práctica ;

•El 30% aprobó la segunda práctica ;

•El 50% aprobó la tercera práctica ;

•El 10% aprobó las tres prácticas ;

•El 40% de los que aprobaron la primera no aprobaron ninguna

otra;

•El 20% de los que aprobaron la primera también aprobaron la

segunda pero no la tercera;

•El 14% no aprobó ninguna práctica y 256 aprobaron la segunda

y tercera práctica.

Determine el número total de alumnos.

Solución:Podemos considerar que el total de estudiantes es 100k.

10k

N = 100k

III

III

22k 11k

14k256 - 10k

55k 30k

50k

x

y

z

40

55 22100

k k 20

55 11100

k k

22 11 10 55 12k k k z k z k

11 256 30 19 256k x k x k

12 256 50 38 256k y k y k

55 19 256 256 10 38 256 14 100 16k k k k k k k

Se tiene según el enunciado:

De las regiones:

Luego: 100 16 1600N

Matemática I

ConjuntosRelaciones y Operaciones con Conjuntos

Sistema de los Números Reales Ecuaciones Lineales con una Variable

Aplicaciones

Sistema de los Números Reales

En el conjunto R se definen dos operaciones: adición y multiplicación.Se cumplen las siguientes propiedades para todo:a, b, c R

Asociatividad:

Conmutatividad:

y a b c a b c a b c a b c

y a b b a a b b a

Elementos neutros:

Existen en dos elementos únicos 0 y 1 tales que:

0 y 1a a a a

Elementos inversos:Para a, existe un único inverso aditivo , tal que:

0a a

Para a, si a es diferente de cero, existe un único

llamado inverso multiplicativo , tal que:1

1a a

Distributividad: a b c a b a c

Ra

Adición

Conmutativa

Asociativa

Elemento Neutro

Elemento Inverso

Distributiva

Cuadro Resumen de las Propiedades Fundamentales

a + b = b + a a b = b a

(a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c)

! 0 / a + 0 = a ! 1 / a .1 = a

a R, ! –a / a + (-a) = 0

a R - {0}, ! a-1 / a.a-1 = 1

a (b + c) = ab + ac

Multiplicación

Operaciones inversas

De la adición y la multiplicación, se desprenden las

siguientes operaciones:

La suma se indica

y se denomina diferencia.

a b a b

1. Sustracción

1El producto se indica /

y se denomina cociente.

a b a b

2. División

ACTIVIDAD 3

1. Determinar por extensión:

y sitúe los valores de x sobre una línea numérica.

¿Es cierto que M está incluido en Q?

1/ , , 5

nM x x n n

n

2. Determinar el inverso aditivo y el inverso multiplicativo (si existe)

de los siguientes números:3

a) 4

b) , 0, 0r

r tt

c) , a b a b d) 0

3. Si u es el inverso aditivo de w y x es el inverso multiplicativo

de y, reducir la expresión:

32

2x y u wxyu wyx

wx

Matemática I

ConjuntosRelaciones y Operaciones con Conjuntos

Sistema de los Números Reales Ecuaciones Lineales con una Variable

Aplicaciones

EcuacionesUna ecuación es una declaración en donde dos expresiones son iguales. Las ecuaciones pueden ser:

• Verdadera:

• Falsa:

• Condicional:

7 3 10

5 4 2

5 9x

Resolver o solucionar una ecuación (condicional) esdeterminar el valor de la variable que hace verdadera aesta ecuación.

Ecuaciones lineales con una variable

Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:

0, donde 0ax b a

Teoremas relativos a la igualdad

• Teorema 1: Monotonía de la adición

Si , entonces a b a c b c

Si , entonces a c b c a b (cancelación)

• Teorema 2: Monotonía de la multiplicación

Si , entonces a b a c b c

Si , 0, entonces a c b c c a b (cancelación)

Conjunto al que pertenecen todas las soluciones de

dicha ecuación lineal.

Conjunto solución de una ecuación lineal

Por ejemplo:

1. Para la ecuación: 2x – 3 = 7, se tiene: CS. = { 5 }

2. Para la ecuación: 2x – 3 = 2x – 3, se tiene: CS. = R.

3. Para la ecuación: 2x – 3 = 2x + 3, se tiene CS. =

1. Ecuación lineal compatibleTiene al menos una solución. Puede ser de dos clases.

i) Ecuación compatible determinada: Cuando tiene un número finito de soluciones.

ii) Ecuación compatible indeterminada: Cuando tiene un número infinito de soluciones.

Clasificación de las ecuaciones lineales según el conjunto solución

2. Ecuación lineal incompatible.No tiene solución. Su conjunto solución es vacío.

Ejercicio: Resuelva las siguientes ecuaciones y determine, según su CS, a qué tipo pertenece.

25)5(4)52(2

xxx

25)5(4)52(2

xxx

xxxx 25)5(4)52(2

1) Resolver: 6 2 3 34 2 3 4

5 3 2 4

x xx x x

3) ¿Cuántas avellanas de 6 soles el kilo y cuántas de 5 soles el kilodeben mezclarse para constituir 120 kilos de avellanas que sevendan a 5,50 soles el kilo?

4) Una solución líquida contiene 40% de alcohol y 60% de agua.Una segunda solución contiene 20% de alcohol y 80% de agua.¿Qué cantidades de cada solución deben tomarse para formar80 litros de una solución que contenga 35% de alcohol?

Problemas para resolver

2) Resolver: 2 12 1 3 1 4 6

3 2 5 5 3

xx x x x

5) Una persona tiene un capital de 2 500 dólares y otro 1 000dólares. El primero ahorra diariamente 3 dólares y el segundo2,50 dólares, ¿cuánto tiempo deberá transcurrir para que elcapital del primero sea el doble que el del segundo?

6) Enrique decide asistir al parque de diversiones en el que juegael “tiro al blanco” con la condición de que por cada tiro queacierte recibirá a soles y pagará b soles por cada uno de los quefalle. Después de n tiros ha recibido c soles. ¿Cuántos tiros dioen el blanco?

Problemas para resolver

Problema resuelto

Un automóvil consume un galón de gasolina si recorre 40 km en

ciudad o 50 km en carretera, siendo el precio de un galón de

gasolina de 12 soles. Al recorrer su auto 750 kilómetros, cierta

persona gastó 27 soles menos de lo que hubiera gastado si todo

el recorrido hubiera sido en ciudad ¿Cuánto recorrió en ciudad y

cuánto en carretera?

Resolución:

Definición de variable

x : Recorrido en ciudad

750 - x : Recorrido en carretera

Por cada kilómetro recorrido en ciudad gasta 12/40 = 0.30 soles

y por cada kilómetro recorrido en carretera gasta 12/50 = 0.24

soles.

750 0.30 225 soles

Si todo el recorrido hubiera sido en ciudad, habría gastado:

Pero el gasto real por su recorrido ha sido:

0.30 0.24 750x x

Por la condición del enunciado, tenemos:

0.30 0.24 750 225 27x x

Resolviendo la ecuación, resulta: x = 300

Luego, recorrió 300 km en ciudad y 450 km en carretera